Гидравлика, водоснабжение и канализация

Потенциальная энергия положения этого объема равна:

(63)

Рис. 17 Схема к выводу уравнения Бернулли

а кинетическая энергия этого же объема

(64)

Рассматриваемый объем обладает также потенциальной энерги-¹ ей давления. Представим, что в сечении I-I имеется поршень, движущийся со скоростью 1>1 в направлении сечения II-II. Этот поршень за время ?t пройдет путь х₁?t. Сила давления на этот поршень равна . Следовательно, произведенная поршнем работа будет равна:

(65)

Совершенно очевидно, что выражение (65) будет представлять собой потенциальную энергию давления рассматриваемого объема.

Тогда общее количество энергии, внесенной потоком в рассматриваемый участок за время ?t через сечение I-I, будет равно:

Аналогично можно получить суммарную энергию, вынесенную потоком через сечение II-II за время ?t:

.

По закону сохранения энергии суммарная энергия, внесенная через сечение I-I, при установившемся движении должна быть равна суммарной энергии, вынесенной через сечение II-II, с учетом затрат энергии на преодоление гидравлических сопротивлений при движении жидкости от сечения I-I к сечению II-II. Затраченную энергию можно выразить в виде произведения веса рассматриваемого объема на некоторую высоту (потери высоты):

(66)

Тогда:

.

Так как, согласно уравнению постоянства расхода, Q₁=Q₂=Q и, кроме того, , можем написать:

Или, заменяя сg на г:

(67)

Отнесем все члены уравнения (67) к единице веса, для чего разделим их на гQ. Тогда

(68)

или в общем виде:

(69)

Следовательно, для всех сечений потока можно записать:

(70)

где z - расстояние от плоскости сравнения до центра тяжести сечения; р - давление в центре тяжести в этом сечении; х - средняя скорость в этом сечении; h_пот - удельная энергия, затраченная на преодоление сопротивлений от начального до рассматриваемого сечения.

Удельная механическая энергия потока в любом его сечении равна:

Уравнение (70) носит наименование уравнения Бернулли. В приведенном выводе этого уравнения скорости движения отдельных частиц жидкости в пределах живого сечения приняты одинаковыми и равными средней скорости. Если учитывать неравномерность распределения скоростей по живому сечению, то уравнение (70) получает следующий вид:

(71)

Рис. 18 Схема, поясняющая понятие скоростного напора

Коэффициент учитывает влияние неравномерности распределения скоростей по сечению на удельную кинетическую энергию потока, вычисленную по средней скорости (см. §20 и 21). Коэффициент называют коррективом кинетической энергии или коэффициентом Кориолиса.

Сумма первых двух членов уравнения (71) -пьезометрический напор, по аналогии - скоростной напор, а h_пот - потерянный напор. Сумму первых трех членов уравнения Бернулли называют полным напором.

Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли. Все члены уравнения Бернулли выражаются в единицах длины, поэтому каждый из них может называться высотой:

z - геометрическая высота, или высота положения;

р/г - пьезометрическая высота, или высота гидродинамического давления;

- высота, соответствующая скоростному напору;

h_пот- высота, соответствующая потерям напора.

Следовательно, геометрический смысл уравнения Бернулли может быть сформулирован так: при установившемся движении жидкости сумма четырех высот (высоты положения, пьезометрической высоты, высоты, соответствующей скоростному напору, и высоты, соответствующей потерям напора) остается неизменной вдоль потока. Кроме того, каждый из членов уравнения Бернулли выражает удельную энергию потока, т. е. энергию, приходящуюся на единицу веса движущейся жидкости:

z - удельная энергия положения;

р/г - удельная энергия гидродинамического давления;

- удельная кинетическая энергия;

h_пот - потери удельной энергии.

Тогда энергетический смысл уравнения Бернулли можно сформулировать следующим образом: при установившемся движении жидкости сумма четырех удельных энергий (энергии положения, энергии гидродинамического давления, кинетической энергии и потерь энергии) остается неизменной вдоль потока.

Если в каком-либо сечении потока жидкости (рис. 18) установить две трубки - пьезометрическую 1 и скоростную 2, нижний изогнутый конец которой направлен против течения, то в скоростной трубке создается дополнительное давление от воздействия скорости движущейся жидкости. Высота подъема жидкости в скоростной трубке больше высоты подъема жидкости в пьезометрической трубке на скоростной напор .

Все члены уравнения Бернулли представлены графически на рис. 19 Здесь в четырех выбранных сечениях потока SS установлены пьезометрические и скоростные трубки.

Если соединить уровни жидкости в пьезометрах, то получим пьезометрическую линию, или линию потенциальной удельной энергии. Она находится на расстоянии z + р/г от плоскости сравнения.

Рис. 19 Графическое изображение членов уравнения Бернулли

1 - напорная линия, или линия суммарной удельной энергии; 2 - пьезометрическая линия или линия потенциальной удельной энергии; 3 - линия плоскости сравнения

Падение этой линии на единицу длины называется пьезометрическим уклоном J.

Соединяя уровни жидкости в скоростных трубках, получим напорную линию или линию, суммарной (потенциальной и кинетической) удельной энергии. Падение напорной линии на единицу длины называется гидравлическим уклоном i и характеризует потери напора на единицу длины. Из рис. 19 видно, что с удалением от начального сечения I потери напора возрастают.

§16. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ

На основании уравнения Бернулли сконструирован ряд приборов, таких как водомер Вентури, водоструйный насос, эжектор и пр.

На рис. 20 показан горизонтальный трубопровод диаметром D, на котором устроено сужение диаметром d. В нормальной и суженной частях установлены два пьезометра (в сечениях /-/ и //-//).

Ж

Рис. 21 Схема водоструйного насоса

Рис. 20 Схема водомера

Вентури

Пренебрегая потерями напора между сечениями I-I и II-II, а также неравномерностью распределения скоростей по сечению ( = 1) и принимая, что плоскость сравнения 00 проходит через ось трубопровода, можем записать уравнение Бернулли в таком виде:

. (72)

Отсюда следует, что с увеличением скорости движения давление должно уменьшаться и, наоборот, с уменьшением скорости давление должно увеличиваться. Это положение используется в водомере Вентури, где по разности показаний пьезометров h (см. рис. 20), зная диаметры D и d, можно определить расход.

В водоструйном насосе (рис. 21) вода из бака I поступает в трубопровод, имеющий сужение. В узком сечении скорость струи возрастает, и. струя увлекает за собой воздух, находящийся в смесительной камере, благодаря чему происходит подсасывание жидкости по трубке, опущенной в бак 2. При больших скоростях движения жидкость будет подсасываться из бака 2 непрерывно. По этому же принципу работают эжекторы и гидроэлеваторы.

§17. УРАВНЕНИЕ РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Уравнение равномерного движения жидкости устанавливает зависимость между силами сопротивления и потерями напора подлине потока.

Рис. 22 Схема к выводу уравнения равномерного движения жидкости

Рассмотрим равномерное движение жидкости в трубе на участке l (рис. 22). Примем следующие обозначения:

щ - площадь живого сечения потока;

х - средняя скорость движения жидкости;

г - удельный вес жидкости;

ч - смоченный периметр;

R- гидравлический радиус;

ф₀ - сила трения на единице площади поверхности соприкасания потока со стенками, h_l - потери напора по длине.

Сила трения по всей поверхности выделенного участка равна:

(73)

В единицу времени эта сила производит работу

. (74)

По закону сохранения энергии работа сил трения на поверхности соприкасания равна энергии, затрачиваемой потоком на преодоление трения на рассматриваемом участке. Количество энергии, затраченной в единицу времени, отнесенное ко всему весу жидкости, равно

. (75)

Приравнивая правые части уравнений (74) и (75), получим:

(76)

или

(77)

Как уже указывалось, отношение является гидравлическим уклоном i, а отношение щ/ч- гидравлическим радиусом R. Поэтому в окончательном виде можно записать:

. (78)

Уравнение (78) является основным уравнением равномерного движения.

Глава 6. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

§18. ВИДЫ СОПРОТИВЛЕНИЙ (ПОТЕРЬ НАПОРА)

Решение многих практических задач гидравлики сводится к установлению зависимости, определяющей изменение скорости и давления по длине потока. Для этого могут быть использованы:

уравнение постоянства расхода

и уравнение Бернулли

Эти уравнения обычно имеют три неизвестных: х, р и h_пот, поэтому для их решения необходимо третье уравнение. В качестве третьего уравнения используют зависимость потерь напора от скорости х и ряда других факторов.

Потери напора (энергии) потока вызываются сопротивлениями двух видов:

сопротивлениями по длине, обусловленными силами трения;

местными сопротивлениями, обусловленными изменениями скорости потока по величине и направлению.

Потери напора по длине трубопровода обычно определяют по формуле Дарси-Вейсбаха

, (79)

а местные потери - по формуле Вейсбаха

(80)

где л - коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси); l - длина трубопровода; d - диаметр трубопровода; х - средняя скорость потока за местным сопротивлением; о - коэффициент местного сопротивления.

Коэффициенты л и о безразмерны. Экспериментальные исследования показали, что эти коэффициенты зависят от многих факторов, в частности, от режима движения и шероховатости стенок.

§19. ДВА РЕЖИМА ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Предположение о существовании двух режимов движения жидкости было высказано великим русским ученым Д.И. Менделеевым еще в 1880 г. В 1883 г. это предположение было подтверждено экспериментально английским ученым О. Рейнольдсом. Рейнольдс пропускал воду через стеклянные трубки разного диаметра, регулируя скорость движения воды в них кранами 1 и 5 (рис. 1.27). По тонкой трубке 3 с заостренным концом ко входу в стеклянную трубку 4 подводилась окрашенная жидкость из сосуда 2. Средняя скорость в трубке 4 площадью сечения щ определялась по объему воды х, поступившей в сосуд 6 за время t:

.

Опыты, проводившиеся при постоянном напоре (для его поддержания была использована сливная труба 7), показали, что при малых скоростях движения воды в трубке 4 краска движется в ней в виде тонкой струйки, не перемешиваясь с водой. После достижения определенной для данных условий опыта средней скорости движения воды, когда движение частиц жидкости приобретает как бы беспорядочный характер, струйка краски начинает размываться, отчего вся вода в трубке окрашивается.

Рис. 23 Схема экспериментальной установки, использованной О. Рейнольдсом для доказательства существования двух режимов движения жидкости

Таким образом, поток жидкости в трубке может характеризоваться двумя режимами: 1) ламинарным (параллельно струйным) и 2) турбулентным (беспорядочным).

Опыты О. Рейнольдса, а также исследования других ученых показали, что основным критерием для определения режима движения жидкости служит безразмерный параметр Re (число Рейнольдса):

(81)

где н - кинематическая вязкость.

Число Рейнольдса, при котором ламинарный режим переходит в турбулентный, называют критическим. По исследованиям Рейнольдса, Rе_кр=2320. При Rе<2320 движение жидкости происходит при ламинарном режиме, при Rе > 2320 движение жидкости происходит при турбулентном режиме. Скорость, соответствующую критическому числу Рейнольдса, называют критической скоростью

(82)

При безнапорном движении жидкости число Рейнольдса определяют по формуле:

, (83)

где R - гидравлический радиус.

§20. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И ПОТЕРИ НАПОРА ПРИ ЛАМИНАРНОМ РЕЖИМЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

При ламинарном режиме потока слои жидкости движутся параллельно друг другу. Теоретический закон распределения скоростей по живому сечению потока с ламинарным режимом в трубопроводе выражается формулой Стокса

(84)

где и - скорость движения слоя жидкости dу на расстоянии у от оси трубы; i - гидравлический уклон; r - радиус трубы; м - динамическая вязкость.

Таким образом, скорости распределяются в трубе по закону параболы с максимумом на ее оси:

(85)

Средняя скорость равна половине максимальной:

. (86)

При ламинарном режиме корректив кинетической энергии = 2. Потери напора при ламинарном режиме движения определяются по формуле Пуазейля

(87)

Из формулы (87) следует, что при ламинарном режиме движения потери напора пропорциональны скорости в первой степени.

Сопоставление формул (87) и (79) позволяет установить, что коэффициент гидравлического трения при ламинарном режиме зависит от числа Рейнольдса и равен:

. (88)

Теоретические зависимости распределения скоростей по живому сечению потока (84) и потерь напора (87) хорошо подтверждаются опытами.

§21. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ РЕЖИМЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

При турбулентном режиме скорость движения в каждой точке потока постоянно изменяется по величине и направлению, колеблясь около некоторого среднего значения (пульсации скорости), называемого осредненной местной скоростью.

Осредненные скорости в данных точках практически постоянны и направлены вдоль оси потока. Поэтому при турбулентном режиме движение жидкости условно можно рассматривать как параллельноструйное и применять к нему уравнение Бернулли. В дальнейшем изложении осредненную скорость будем называть местной скоростью в данной точке.

Теоретических решений распределения скоростей по сечению потока и определения потерь напора для турбулентного режима нет.

Немецкий ученый Прандтль создал полуэмпирическую теорию турбулентности, в основу которой положена условная схема разделения потока жидкости в трубе на турбулентное ядро в центре и тонкий ламинарный слой по периметру у стенки трубы с выступами шероховатости ? (рис. I.30). Полученное по этой полуэмпирической теории турбулентности распределение скоростей выражается зависимостью

где u_*- так называемая динамическая скорость; или скорость касательного напряжения (измеряется в единицах скорости); ч - универсальная постоянная Прандтля, равная по опытам Никурадзе 0,4.

Динамическую скорость определяют по формуле

. (90)

Исследования последних лет подтверждают справедливость формулы (88), но при условии, что ч-величина переменная.

Приближенно распределение скоростей при турбулентном режиме может быть выражено степенной формулой*.

(90)

Формула (90) проще и удобнее формулы (88).

При турбулентном режиме корректив кинетической энергии = 1,03... 1,2. На практике обычно принимают = 1,1. Корректив кинетической энергии при турбулентном режиме значительно меньше, чем при ламинарном режиме. Это объясняется сравнительно большей равномерностью распределения скоростей по сечению потока при турбулентном режиме.

§22. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕРЬ НАПОРА ПО ДЛИНЕ

Как уже говорилось, потери напора по длине трубопровода обычно определяют по формуле (78). При этом необходимо устанавливать значения коэффициента гидравлического трения л, что составляет одну из сложнейших проблем механики жидкости, не получившую до сих пор полного теоретического решения.

На рис. 25 представлен экспериментальный график зависимости коэффициента л, от числа Рейнольдса, полученный во Всесоюзном теплотехническом институте Г.А. Муриным. На этом графике изменение коэффициента л, представлено рядом кривых, каждая из которых соответствует определенной относительной шероховатости, т. е. отношению , где - эквивалентная шероховатость, равная диаметру фракции песка, при устройстве из которого искусственной равномерной шероховатости сопротивление трубопровода равняется сопротивлению трубопровода с естественной шероховатостью. Таким образом, на графике дана зависимость коэффициента л от числа Рейнольдса и относительной шероховатости.

Рис. 25 График Г.А. Мурина

На графике можно выделить три области: 1 - область гидравлически гладких труб, соответствующую сравнительно малым числам Рейнольдса; 2 - область вполне шероховатого трения (область квадратичного закона), соответствующую сравнительно большим числам Рейнольдса; 3 - переходную область между ними. В области гидравлически гладких труб коэффициент л зависит только от числа Рейнольдса. В переходной области коэффициент л зависит от числа Рейнольдса и относительной шероховатости. В области квадратичного сопротивления коэффициент % зависит только от относительной шероховатости.

Полуэмпирическая теория турбулентности дает следующее объяснение приведенным закономерностям изменения коэффициента л. Толщина ламинарного слоя, расположенного у стенки русла, изменяется в зависимости от числа Рейнольдса. С уменьшением числа Рейнольдса толщина ламинарного слоя увеличивается, а с увеличением числа Рейнольдса она уменьшается. В области гидравлически гладких труб, соответствующей сравнительно малым числам Рейнольдса, выступы шероховатости стенок русел полностью находятся в ламинарном слое и по существу не оказывают сопротивления движению жидкости. В этой области сопротивление движению обусловливается только внутренними сопротивлениями, вызванными турбулентным перемешиванием. В области квадратичного сопротивления, соответствующей большим числам Рейнольдса, вследствие относительно малой толщины ламинарного слоя выступы шероховатости стенок русел попадают в ядро течения и оказывают дополнительное сопротивление движению жидкости. В переходной области выступы шероховатости стенок русел частично находятся в ламинарном слое, а частично попадают в ядро течения. В этой области сопротивления движению жидкости, обусловленные внутренними сопротивлениями и шероховатостью стенох русел, соизмеримы.

Для опреде-"' я коэффициента гидравлического трения л при
турбулентном режиме предложен ряд обобщенных формул, действительных для всех областей потока. Например, широкое распространение имеет формула Кольбрука:

(91)

Для области гидравлически гладких труб она преобразуется в формулу Прандтля:

(92)

Таблица 1.1

Рекомендуемые значения эквивалентной шероховатости k₉ для труб из различных материалов

Труба	Состояние труб	kэ. мм
Стальная:	Новые	0,02-0.1
цельнонатянутая	Битумизированные	До 0,04
	Водопроводные, бывшие в эксплуатации	1,2-1,5
	Очищенные после многих лет эксплуатации	До 0,04
	Новые или старые в хорошем состоянии;	0,04-0,1
	сварные или клепаные соединения
	Новые битумизированные	~0.05
цельносварная	Бывшие в эксплуатации, равномерная коррозия	~ 0,15
	Изнутри покрыты лаком, но не свободны	0,95-1
	от окисления; загрязнены в процессе
	эксплуатации в воде, но не коррозированы
	Новые	0,25-1
	Асфальтированные	0,12-0,3
Чугунная	Водопроводные, бывшие в эксплуатации	1,4
	Очищенные после многих лет эксплуатации	0,3-0,5
Бетонная и же-	Эксплуатируемые при средних условиях	2,5
лезобетонная
Асбестоцемент-	Новые	0,05-0.1
ная	Эксплуатируемые при средних условиях	~0,6

а для области квадратичного сопротивления - в формулу Никурадзе:

1/ = 2lg r/k_э:,+ 1,74. (93)

Для расчета трубопроводов различного назначения (тепловых сетей, газопроводов и т. д.) можно применять формулу А.Д. Альтшуля:

(94)

Для области гидравлически гладких труб она принимает более простой вид, практически совпадающий с широко известной формулой Блазиуса:

(95)

а для области квадратичного сопротивления она приводится к формуле Шифринсона:

(96)

При практических расчетах значения эквивалентной шероховатости принимают с учетом материала стенок русла и их состояния, зависящего, в частности, от продолжительности и условий эксплуатации (табл. 1.1).

Расчет водопроводных сетей из стальных и чугунных труб, бывших в эксплуатации, обычно проводят по формулам Ф.А. Шевелева:

при v < 1,2 м/с (в переходной области)

(97)

при м/с (в области квадратичного сопротивления:

(98)

Для нахождения коэффициента л при расчете трубопроводов из других материалов или трубопроводов, предназначенных для транспортирования жидкостей, отличающихся от воды, применяют другие эмпирические формулы.

Потери напора в трубах некруглого сечения, а также при безнапорном движении можно определять по формуле Дарси-Вейсбаха:

(99)

Эта зависимость получена из формулы (1.55) путем замены диаметра d гидравлическим радиусом R, равным

R = d/4. (100)

Возможность подобного преобразования формулы (78) подтверждается хорошим согласованием зависимости (99) с опытными данными. Коэффициент гидравлического трения л в этой зависимости вычисляют по приведенным выше выражениям с учетом формулы (100).

§23. ПОТЕРИ НАПОРА В МЕСТНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЯХ

Как уже указывалось, местные потери напора возникают вследствие изменения скорости по величине и направлению и зависят в основном от геометрических размеров и форм местных сопротивлений.

При решении практических задач местные потери напора определяют по формуле (79). При этом необходимо выбрать коэффициент местного сопротивления ж.

Обычно коэффициент местного сопротивления ж определяют экспериментальным путем и выражают в виде эмпирических формул, графиков или в табличной форме. Лишь для некоторых местных сопротивлений получены теоретические зависимости.

Ниже приводятся зависимости и данные для определения коэффициентов местных сопротивлений.

Внезапное расширение потока (потери на удар). На основании теоремы импульса сил была выведена формула Борда (рис. 26)

(101)

Учитывая, что

Рис. 26 Схема внезапного сужения потока

Рис. 27 Схема внезапного расширения потока

можем записать

или (102)

Сопоставляя формулы (102) и (79), получим:

(103)

И

где индексы / и 2 у ж соответствуют используемой при расчете скорости: х₁ или х₂

Внезапное сужение потока. При внезапном сужении (рис. 1.33) происходит сжатие струи (ее площадь сечения уменьшается до щ_с). Учитывая, что потери напора обусловлены в основном расширением струи (увеличением ее площади сечения от щ_с до щ₂)_е коэффициент ж можем определить по формуле (103):

Заменяя степень'Сжатия струи коэффициентом сжатия

(104)

получим:

(105)

Коэффициент сжатия е можно принимать по табл. 1.2, составленной по теоретическим зависимостям Н.Е. Жуковского.

Таблица 1.2

Значения коэффициента сжатия е

	е		е
0,01	0,611	0,6	0,662
0,1	0,612	0,7	0,687
0,2	0,616	0,8	0,722
0,3	0,622	0,9	0,781
0.4	0,633	1	1
0,5	0,644

Диафрагма. При установке диафрагмы в трубе постоянного сечения (рис. 1.34) коэффициент ж определяют аналогично предыдущему по формуле

(106)

где щ_д - площадь отверстия диафрагмы; е - коэффициент сжатия, равный щ_с/щ_д (значение е принимают по табл. 1.2).

Рис. 28 Схема влияния диафрагмы на поток

Рис. 29 Схема потока в диффузоре

Диффузор. Коэффициент ж диффузора (рис. 29) определяют в долях от потерь напора на внезапное расширение

(107)

где k₁ - коэффициент, учитывающий уменьшение потерь напора в диффузоре по сравнению с потерями напора при внезапном расширении с тем же соотношением сечений соединяемых труб; коэффициент k₁ зависит от угла конусности б₁ (табл. 1.3).

Конфузор. Коэффициент ж конфузора (рис. 1.36) определяют в долях от потерь напора при внезапном сужении*, исходя из того же принципа, что был использован для определения коэффициента ж диффузора:

(108)

где k₂ - коэффициент; учитывающий уменьшение потерь напора в конфу-зоре по сравнению с потерями напора при внезапном сужении; коэффициент k₂ зависит от угла сходимости б₂.

Таблица 1.3

Значения коэффициента k₁ диффузора

б1, град	k1
4	0,12
8	0,14
12	0,23

Примечание. При угле конусности б₁ < 50° коэффициент k₁ -=. = sin б₁,, а при б₁>50° его можно принимать равным 1.

Таблица 1.4

Значения коэффициента диффузора сопротивления задвижки

h/d	ж	h/d	ж
1	0	4/8	2,06
7/8	0,07	3/8	3,52
6/8	0,26	2/8	17
5/8	0,81	1/8	97,8

Таблица 1.5

Значения коэффициента сопротивления пробкового крана

У гол поворота	ж	Угол поворота
5	0,05	50	52,6
10	0,29	60	206
20	1,56	65	486
30	5,47	82	?

Рис. 30 Схема расположения задвижки в трубе

Задвижка. Коэффициент ж задвижки при различной степени ее открытия (рис. 30) можно принимать по табл. 1.4.

Пробковый кран. Коэффициент ж пробкового крана при различной степени его открытия можно принимать по табл. 1.5.

Значения коэффициентов ж других местных сопротивлений можно найти в справочниках.

§24. ОБЩИЕ ПОТЕРИ НАПОРА

Общие потери напора определяют путем арифметического суммирования потерь напора по длине и потерь, вызванных отдельными местными сопротивлениями:

h_пот= (109)

Этот метод определения потерь напора получил название принципа наложения потерь.

Таким образом, в трубопроводе постоянного диаметра общие потери напора равны:

(110)

или

(111)

Если обозначить через ж _l, получим:

(112)

Метод наложения потерь напора применим только в том случае, если перед местными сопротивлениями поток успевает стабилизироваться, т. е. кривая распределения скоростей приобретает нормальный вид, соответствующий равномерному движению воды. Длина стабилизирующего прямолинейного участка составляет от 10 до 30 d, где d - диаметр трубопровода.

При близком расположении местных сопротивлений друг от друга принцип наложения потерь напора дает ошибочные результаты. В этом случае потери напора следует определять экспериментально.

Глава 7. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ, ЧЕРЕЗ НАСАДКИ И ВОДОСЛИВЫ

§25. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ МАЛОГО ОТВЕРСТИЯ В ТОНКОЙ СТЕНКЕ ПРИ ПОСТОЯННОМ НАПОРЕ

Отверстие считают малым, если его размер по высоте значительно меньше напора - не более 0,1Н. Тонкой стенкой считают такую, у которой отверстие имеет заостренную кромку; при этом струя вытекающая из отверстия, преодолевает лишь местные сопротивления.

Рассмотрим сосуд, имеющий в вертикальной стенке отверстие площадью щ, через которое вытекает жидкость под постоянным напором Н (рис. 1.39). При вытекании струи жидкости из отверстия на некотором расстоянии от него наблюдается сжатие ее поперечного сечения. Отношение площади сжатого сечения щ _с к площади отверстия щ называют коэффициентом сжатия:

е= щ _с./ щ. (113)

По характеру сжатие бывает полным, если струя получает сжатие по всему периметру отверстия, и неполным, если струя не имеет бокового / сжатия с одной или нескольких сторон, например, когда отверстие примыкает к стенке или ко дну сосуда, которые при этом являются как бы направляющими для вытекающей струи.

Полное сжатие будет совершенным, если отверстие расположено на значительном расстоянии от боковых стенок и дна сосуда, так что они не оказывают влияния на сжатие струи (когда т>3а, где т - расстояние от стенок или дна, а - размер отверстия), и несовершенным, если на него оказывают влияние стенки или дно сосуда.

Рис. 31 Схема свободного истечения жидкости из малого отверстия в тонкой стенке

При истечении жидкости из отверстия задача сводится к определению скорости истечения и расхода жидкости. Составим уравнение Бернулли для сечений I-I и cc (сжатое сечение струи на рис. 31). За плоскость сравнения примем плоскость пп, проходящую через центры отверстия и сжатого сечения. Обозначая скорость движения на свободной поверхности через х_с и считая, что давление на свободной поверхности и в центре тяжести сжатого сечения равно атмосферному, получим:

Потери напора в рассматриваемом случае вызываются местным сопротивлением входа в отверстие

Тогда

И далее

(114)

Принимая обозначения

(115)

H₀ = H +, (116)

окончательно получим:

(117)

где - коэффициент скорости.

Если скорость подхода х₀ мала, то формула получает более простой вид:

(118)

Коэффициент скорости для рассматриваемого случая принимают равным 0,97.

Расход через малое отверстие в топкой стенке при постоянном напоре легко определить по формуле

(119)

Подставляя в эту зависимость значения щ_c из выражения (1.90) и х из выражения (1.94), получим:

(120)

Произведение коэффициентов сжатия е и скорости ф называют коэффициентом расхода отверстия , т. е.

Окончательная формула для расхода через малое отверстие в тонкой стенке имеет такой вид:

(121)

При х₀ - 0 формула (1.98) принимает вид:

(122)

На основании многочисленных опытов установлено, что значение коэффициента при полном совершенном сжатии колеблется в пределах 0,59-0,63, составляя в среднем около 0,62. По последним исследованиям коэффициенты е, ц и м являются функциями числа Рейнольдса.

§26. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ МАЛОГО ОТВЕРСТИЯ В ТОНКОЙ СТЕНКЕ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПОРЕ

Истечение жидкости при переменном напоре представляет собой один из примеров неустановившегося движения жидкости. Ниже приведено описание его двух простейших случаев.

Опорожнение резервуара. Рассмотрим заполненный жидкостью резервуар площадью горизонтального сечения Щ, в дне которого уст роено отверстие площадью щ. Пусть при опорожнении резервуара начальный напор над центром тяжести отверстия был H₁ а конечный - Н₂ (рис. 32). Если за время опорожнения резервуара притока жидкости не происходит, то опорожнение резервуара можно рассчитывать по формуле

(123)

Рис. 33 Схема выравнивания уровней в сообщающихся сосудах

Рис. 32 Схема опорожнения резервуара через отверстие в его дне

Принимая в формуле (123) Н₂ = 0, получим формулу для времени полного опорожнения резервуара

(124)

Зависимость (124) может быть представлена также в следующем виде:

(125)

где W - объем резервуара; Q - расход жидкости при начальном напоре.

Следовательно, время полного опорожнения резервуара при переменном напоре в 2 раза больше времени, потребного для вытекания из резервуара того же количества жидкости при постоянном напоре, равном начальному напору Н₁.

Выравнивание уровней в сообщающихся сосудах. Примем, что в начальный момент времени уровень в резервуаре 1 превышает уровень в резервуаре 2 на высоту Н (рис. 33).Обозначим площади горизонтальных сечений резервуаров 1 и 2 соответственно Щ₁ и Щ ₂, напоры над центром тяжести отверстия соответственно z₁ и z₂, их разность Н.

Время, потребное для полного выравнивания уровней жидкости в сообщающихся резервуарах 1 и 2, можно определить по формуле

(126)

В результате выравнивания уровней в сообщающихся сосудах уровень в резервуаре 1 опустится на высоту H₁ а уровень в резервуаре 2 поднимется на высоту H₂.

§27. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ НАСАДКИ

Насадком называют короткую трубу, присоединенную к отверстию в тонкой стенке. Длина насадка равна трем-пяти диаметрам отверстия.

Рис. 34 Насадки различной формы

По форме насадок может быть внешним цилиндрическим /, внутренним цилиндрическим 2, коническим сходящимся 3, коническим расходящимся 4 и коноидальным 5 (рис. 34).

Расход через насадок определяют по формуле (121), где коэффициент расхода принимают в зависимости от формы насадка по табл. 1.6.

Внешний цилиндрический насадок (рис. 35). Вследствие криволинейности линий тока на подходе к насадку струя жидкости непосредственно после входа в насадок образует сжатое сечение cc, а из насадка вытекает полным сечением, т. е. коэффициент сжатия такого насадка е= 1.

Таблица 1.6

Значения коэффициентов расхода , скорости ц, сжатия е и сопротивления ж отверстий и насадков

Отверстие или насадок		ц	е	ж
Малое отверстие круглого сечения в тонкой стенке	0,62	0,97	0,64	0,06
Цилиндрический насадок:
- внешний	0,82	0,82	1	0,5
- внутренний	0,707	0,707	1	1
Конический насадок:
- сходящийся (и=13024')	0,94	0,96	0,98	0,09-0,06
- расходящийся (и=5...70)	0,45-0,5	0,45-0,5	1	4-3
Коноидальный насадок	0,98	0,98	1	0,04

Коэффициент расхода внешнего цилиндрического насадка равен 0,82, т.е. насадок увеличивает расход по сравнению с отверстием в тонкой стенке в 1,32 раза ( отверстия составляет 0,62). Увеличение расхода в насадке объясняется наличием вакуума в сжатом сечении, который создает подсос жидкости. Если к отверстию в сжатом сечении подсоединить жидкостный вакуумметр (см. рис. 35), то жидкость в трубке поднимется на высоту h_вак?0,75 Н.

Внешние цилиндрические насадки широко применяют на практике. Как насадки такого типа работают водовыпуски в плотинах, трубы под насыпями и т. д.

Рис. 35 Схема протекания жидкости через внешний цилиндрический насадок

Внутренний цилиндрический насадок. Этот насадок имеет большее сопротивление на входе, чем внешний. Его коэффициент расхода - 0,707, а коэффициент сжатия е= 1.

Конический сходящийся насадок. Коэффициент расхода этого насадка зависит от угла конусности и (см. рис. 34). При этом наибольший коэффициент расхода _тах = 0,94 получается при угле конусности и = 13°24'.

Такие насадки дают струю с большими скоростями, поэтому их применяют в качестве сопел турбин, гидромониторов и брандспойтов.

Конический расходящийся насадок. Этот насадок дает малую выходную скорость, но вызывает большие потери напора. При угле конусности 5-7° коэффициент расхода = 0,5, а коэффициент сжатия е = 1.

Такую форму насадков используют при устройстве дорожных труб, водовыпусков оросительных систем и отсасывающих труб турбин ГЭС.

Коноидальный насадок. Форма внутренней поверхности этого насадка близка к форме струи, вытекающей из отверстия; гидравлические сопротивления в нем очень малы. В связи с этим коэффициент расхода этого насадка равен 0,97-0,98.

§28. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ВОДОСЛИВЫ

Водосливом называют сооружение (стенку), через которое происходит перелив жидкости.

Классификация водосливов. По профилю различают водосливы с тонкой стенкой (рис. 36, а), с широким порогом (рис. 36, б) и практического профиля (рис. 36, в).

Рис. 36 Водосливы различного профиля

Рис. 37 Схема незатопленного (а) и затопленного (б) водосливов

По типу сопряжения струи с нижним бьефом различают незатопленные (рис. 37, а) и затопленные (рис. 37, б) водосливы. В незатопленных водосливах уровень воды в нижнем бьефе не влияет на расход и на условия перелива, а в затопленных влияет. Водослив считают незатопленным, даже если уровень воды в нижнем бьефе лежит выше порога водослива, т е. h_б> Р, но относительный перепад z/P > 0,7. В затопленном водосливе z/P < 0,7. Здесь Р - высота стенки водослива; h_б - глубина воды в нижнем бьефе; z - разность уровней в бьефах.

По форме вырезав стенке водосливы бывают прямоугольными, трапецеидальными, треугольными, круглыми, параболическими и т. д.

По условиям бокового сжатия потока различают водосливы без бокового сжатия (когда ширина русла равна ширине водослива) и водосливы с боковым сжатием (ширина русла больше ширины водослива).

Основная формула расхода через незатопленный водослив без бокового сжатия имеет вид:

где m - коэффициент расхода водослива, зависящий от его типа и напора;

b - ширина водослива; H - напор на пороге водослива

Боковое сжатие потока и подтопление водослива учитывается введением в данную формулу соответствующих коэффициентов. Особо в этой формуле учитывается скорость подхода воды к водосливу.

Глава 8. РАСЧЕТ НАПОРНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ

§29. НАЗНАЧЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ТРУБОПРОВОДОВ

Для перемещения жидкостей и газов применяют трубопроводы, изготовленные из разных материалов (стали, чугуна, бетона, пластмассы, асбестоцемента и др.). Трубопроводы бывают напорные и безнапорные, короткие и длинные, простые и сложные.

Пропускная способность напорных трубопроводов существенно зависит от потерь напора по длине и в местных сопротивлениях (стыках, арматуре и т. п.).

Трубопроводы малой длины и с большим числом местных сопротивлений, потери напора в которых превышают 10% потерь напора по длине (коммуникации насосных станций, лабораторий, маслопроводы и др.), называют короткими.

К длинным относят трубопроводы большой протяженности, в которых потери напора на преодоление местных сопротивлений незначительны (не более 10% потерь напора по длине).

Трубопроводы из труб одного или нескольких диаметров без ответвлений и без раздачи расхода по пути движения жидкости называют простыми.

Трубопроводы из сети труб различного диаметра с магистральными линиями и с ответвлениями (тупиковые, кольцевые) называют сложными.

§30. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО РАСЧЕТА ТРУБОПРОВОДОВ

Гидравлический расчет трубопроводов позволяет решать три основные задачи:

определять необходимый напор для пропуска известного расхода воды при заданном диаметре труб;

определять пропускную способность труб заданного диаметра при известных потерях напора;

определять сечение трубопроводов при заданных расходах воды и потерях напора.

Потери напора в трубопроводе слагаются из потерь на трение по длине и потерь на преодоление местных сопротивлений, т. е.

(127)

Потери напора по длине трубопроводов определяют по формуле Дарси-Вейсбаха:

где л- коэффициент сопротивления трения по длине l; d_p - расчетный внутренний диаметр труб, м; х - средняя скорость движения жидкости, м/с; R - гидравлический радиус.

Если для круглой трубы определить скорость движения жидкости

(128)

то потери напора по длине можно вычислить по формуле

(129)

где - удельное сопротивление, т. е. сопротивление 1 м трубопровода.

Сопротивление по всей длине / трубопровода составит S_l = А_l1 и тогда

(130)

Потери напора на единицу длины трубопровода называют гидравлическим уклоном i, т. е.

(131)

Коэффициент сопротивления л при движении воды в новых и бывших в эксплуатации трубопроводах из различных материалов определяют по зависимостям, полученным во ВНИИ ВОДГЕО д-ром техн. наук Ф. А. Шевелевым:

для новых стальных труб

для стальных чугунных труб, бывших в эксплуатации

При гидравлических расчетах водопроводных труб удельное сопротивление можно подсчитать по формуле, составленной с учетом увеличения коэффициента X вследствие возрастания шероховатости стенок труб во время их эксплуатации в результате коррозии или образования отложений:

(132)

Эта формула справедлива при скорости движения воды х ?1,2 м/с. При меньших скоростях в значения удельных сопротивлений вводится поправочный коэффициент К_n на неквадратичность зависимости потерь напора от средней скорости движения жидкости. Тогда формулы (1.106) и (1.107) приобретают такой вид:

(133)

Значения поправочного коэффициента К_n изменяются от 1 до 1,4 при изменении скорости от 1,2 до 0,2 м/с. Поправочный коэффициент определяют по формуле

Потери напора на преодоление местных сопротивлений определяют по формуле:

(134)

По аналогии с формулой (129) можно записать

При расчетах трубопроводов местные потери можно выразить в виде потерь напора на трение по эквивалентной длине. При этом h_м = h_lэ, т. е. У жQA_мlQ² = A_tL_эQ² или A_ll_э = А_мУ ж, откуда

(135)

Величину 1_Э называют эквивалентной длиной трубопровода, соответствующей данному местному сопротивлению с коэффициентом ж.

Расход можно определить из уравнения (1.107): Q = . Для определения расхода и скорости жидкости, протекающей по трубопроводу, пользуются также (преимущественно для каналов и труб некруглого сечения) уравнением Шези:. Применение уравнения Шези изложено в §38.

При расчете трубопроводов используют не только удельное и общее сопротивление А_l, и S_l, но и другие гидравлические характеристики, например, проводимость трубопроводов:

(136)

- расходная характеристика:

(137)

Расходная характеристика и проводимость, соответствующие местным сопротивлениям, по аналогии будут представлены следующими соотношениями:

и

Расход жидкости, движущейся по трубопроводу, может быть определен через проводимость Р_l т. е.

(138)

Для упрощения расчетов по приведенным формулам составлены таблицы значений удельных сопротивлений А_l с поправочным коэффициентом К_n (прил. 1). При гидравлическом расчете стальных труб стандартных диаметров можно использовать прил. 2.

Диаметр трубопровода определяют в зависимости от расхода перекачиваемой жидкости и скорости ее движения по формуле

где d -диаметр трубы, м; Q - расчетный расход воды, м³/с; х- средняя скорость движения, м/с; для малых диаметров (до 400 мм) х принимается в пределах 0,7-1 м/с, а для средних и больших диаметров - 1 - 1,5 м/с.

Следует иметь в виду, что с уменьшением диаметров трубопровода при одном и том же расходе увеличиваются скорость и потери напора, а с увеличением скорости и потерь напора возрастают эксплуатационные расходы. С увеличением же диаметра трубопровода скорость и потери напора уменьшаются. В связи с этим при определении диаметра трубопровода необходимо учитывать требования экономичности и технической целесообразности, иначе говоря, стремиться к определению экономически найвыгоднейшего диаметра, соответствующего минимуму его приведенной стоимости, включающей затраты на строительство и на эксплуатацию трубопровода. Выбор экономичного диаметра трубопровода приобретает особое значение при гидравлическом расчете внешних водопроводных сетей. Экономически наивыгоднейшие диаметры водопроводных труб определяют по расчетному расходу воды с учетом экономического фактора Э по формуле

Величина Э, зависящая главным образом от стоимости электроэнергии, труб и их укладки, изменяется от 0,5 до 1 (для европейской части СССР Э = 0,75).

Для ускорения гидравлического расчета водопроводных труб пользуются таблицами, составленными Ф.А. Шевелевым (см. прил. 2).

§31. ОСНОВЫ РАСЧЕТА ПРОСТЫХ КОРОТКИХ И ДЛИННЫХ ТРУБОПРОВОДОВ

Короткий трубопровод. Составим уравнение Бернулли для се-ченнм /-/ и //-// относительно плоскости сравнения 00 при истечении жидкости из трубопровода в атмосферу (рис. 38):

Обозначив действующий напор Н = Н₁ -Н₂ и пренебрегая скоростным напором /(2g), получим.

Тогда, обозначая через , получим:

откуда

где - коэффициент скорости, а ж_с - коэффициент сопротивления системы.

Расход жидкости определяют по формуле

(139)

где м - коэффициент расхода; щ - площадь сечения трубы; Н - действующий напор

На рис. 39 изображена схема сифона, который служит для перепуска воды из одного резервуара в другой. Сифон является коротким трубопроводом. Расчет сифонных трубопроводов сводится к определению их пропускной способности по формуле (139) и предельного значения высоты z. Составим уравнение Бернулли для сечений /-/ и //-// относительно плоскости сравнения 00:

Имея в виду, что

получим

Тогда

Высоту z следует принимать такой, чтобы вакуумметрическая высота во избежание кавитации не была больше 7 м.

Рис. 39 Схема к гидравлическому расчету сифона

Длинный трубопровод. Рассмотрим длинный простой трубопровод, имея в виду, что при его расчете местными потерями напора обычно пренебрегают.

Аналогично предыдущему из уравнения Бернулли следует, что

т. е. весь имеющийся напор Н расходуется на преодоление сопротивлений трения h_l.

Используя расчетные гидравлические характеристики, получим известные уже зависимости для потерь напора:

или

При расчете простого трубопровода его длина / обычно изпест-на, так же как материал и конфигурация. Неизвестной может быть одна из трех величин h_l, Q или d.

Для решения таких задач применяют приведенные формулы и в зависимости от задания определяют по таблицам значения А_l.

§32. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ТРУБОПРОВОДОВ

Последовательным называют соединение в одну нитку трубопроводов разных диаметров. При этом общие потери напора во всем трубопроводе получают путем сложения потерь напора, определенных па каждом отдельном участке:

Используя полученные ранее уравнения, запишем:

или

Принимая во внимание зависимость (130) для области квадратичного сопротивления, можем написать:

т.е.

или

где S_c - сопротивление системы трубопроводов

Таким образом, систему с последовательным соединением трубопроводов разного диаметра можно рассматривать как один простой трубопровод, сопротивление которого равно сумме сопротивлений отдельных последовательно соединенных трубопроводов. Используя формулу (130) и учитывая, что весь напор Н затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений, т. е. Н = h_l, можно решить и обратную задачу, т. е. при заданных Н, 1₁ 1.₂,.... 1_п и d₁ d₂,..., d_n определить пропускную способность всей системы по формуле

(140)

§33. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ТРУБОПРОВОДОВ

Параллельно соединенные трубопроводы относятся к сложным системам (сетям), подробный расчет которых приведен в разделе II данного учебника. Ниже даны основные расчетные зависимости.

Из рис. 40 видно, что в узловой точке А поток жидкости в магистрали разветвляется, а в точке В вновь сливается- Потери напора в каждой ветви одинаковы и равны h_пот. К узлу А притекает расход Q, а вытекает из него следовательно:

(141)

Распределение расходов по отдельным ветвям сети производят пропорционально проводимостям каждой линии. Так как q_i =, где Pi - проводимость каждой линии, то из формулы (141) получим:

Q= (142)

где или - проводимость системы.

Так как q_i/P_i =, то и Q/P_c = , следовательно

(143)

Для гидравлического расчета сети кроме уравнения (141) составляют уравнения потерь напора для каждой ветви по формуле (127). Пьезометрические напоры в точках А и В для всех участков будут одинаковыми, т. е.

§34. ОСНОВЫ РАСЧЕТА ТРУБОПРОВОДОВ ПРИ РАВНОМЕРНОЙ РАЗДАЧЕ РАСХОДА ПО ПУТИ

Если на участке трубопровода длиной l имеется путевой расход воды Q_n, то на единицу длины расходуется воды Q/L Расход воды, движущейся дальше по трубопроводу, называют транзитным Q_T,.

Через сечение /-/ (рис. 1.49) будет проходить расход

или

На бесконечно малом участке трубы потери напора

dh_l= или

На всей длине

а при Q_T = 0

(144)

При непрерывной раздаче воды потери напора в 3 раза меньше, чем при сосредоточенном расходе в конце трубы.

Для определения расхода удобнее пользоваться формулой

(145)

где б- коэффициент эквивалентности, принимаемый равным 0,5.

...