Основы статистики

Значения интеграла Лапласа при различных величинах t табулированы и представлены в статистических справочниках. При обобщении результатов выборочного наблюдения наиболее часто используются следующие уровни вероятности и соответствующие им значения t:

р	0,683	0,950	0,954	0,997
t	1	1,96	2	3

Например, если при расчете предельной ошибки выборки мы используем значение 1=2, то с вероятностью 0,954 можно утверждать, что расхождение между выборочной средней и генеральной средней не превысит двухкратной величины средней ошибки выборки.

Теоретической основой для определения границ генеральной доли, т.е. доли единиц, обладающих тем или иным вариантом признака, является теорема Вернули. Согласно данной теореме вероятность получения сколь угодно малого расхождения между выборочной долей и генеральной долей при достаточно большом объеме выборки будет стремиться к единице. С учетом того, что вероятность расхождения между выборочной и генеральной долями подчиняется нормальному закону распределения, эта вероятность также определяется по функции F(t) при заданном значении t.

Процесс подготовки и проведения выборочного наблюдения включает ряд последовательных этапов:

Определение цели обследования.

Установление границ генеральной совокупности.

Составление программы наблюдения и программы разработки данных.

Определение вида выборки, процента отбора и метода отбора.

Отбор и регистрация наблюдаемых признаков у отобранных единиц.

Расчет выборочных характеристик и их ошибок.

Распространение полученных результатов на генеральную совокупность.

В зависимости от состава и структуры генеральной совокупности выбирается вид выборки или способ отбора. К наиболее распространенным на практике видам относятся:

собственно-случайная (простая случайная) выборка;

механическая (систематическая) выборка;

типическая (стратифицированная, расслоенная) выборка;

серийная (гнездовая) выборка.

Отбор единиц из генеральной совокупности может быть комбинированным, многоступенчатым и многофазным.

Комбинированный отбор предполагает объединение нескольких видов выборки. Так, например, можно комбинировать типическую и серийную, серийную и собственно-случайную выборки. Ошибка такой выборки определяется ступенчатостью отбора.

Многоступенчатым называется отбор, при котором из генеральной совокупности сначала извлекаются укрупненные группы, потом - более мелкие и так до тех пор, пока не будут отобраны те единицы, которые подвергаются обследованию.

Многофазная выборка, в отличие от многоступенчатой, предполагает сохранение одной и той же единицы отбора на всех этапах его проведения; при этом отобранные на каждой стадии единицы подвергаются обследованию, каждый раз - по более расширенной программе.

6.2 Собственно-случайная (простая случайная) выборка

Собственно-случайная выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности в целом, без разделения ее на группы, подгруппы или серии отдельных единиц. При этом единицы отбираются в случайном порядке, не зависящем ни от последовательности расположения единиц в совокупности, ни от значений их признаков.

Прежде чем производить собственно-случайный отбор, необходимо убедиться, что все без исключения единицы генеральной совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку, в списках пли перечне отсутствуют пропуски, игнорирования отдельных единиц и т.п. Следует также установить четкие границы генеральной совокупности таким образом, чтобы включение или невключение в нее отдельных единиц не вызывало сомнений. Так, например, при обследовании торговых предприятий необходимо указать, включит ли генеральная совокупность торговые павильоны, коммерческие палатки, передвижные торговые точки и прочие подобные объекты; при обследовании студентов важно определиться, будут ли приниматься во внимание студенты-заочники, экстерны, учащиеся в магистратуре, лица, находящиеся в академическом отпуске и т.п.

Для проведения отбора единиц в выборочную совокупность используется один из математических алгоритмов, например, метод прямой реализации, включающий следующие этапы:

Все единицы генеральной совокупности, расположенные в случайном порядке или ранжированные по какому-либо признаку, нумеруются от 1 до N.

С помощью процессора случайных чисел получают п значений в интервале от 1 до N. Если первоначально случайные числа получены в интервале от 0 до 1, их необходимо умножить на N и округлить по правилам до целого значения.

Из сформированного списка единиц генеральной совокупности отбираются единицы, соответствующие по номеру полученным случайным числам.

Упрощенным вариантом метода прямой реализации является отбор единиц в выборочную совокупность на основе таблицы случайных чисел. Для проведения отбора могут быть использованы цифры любого столбца данной таблицы, при этом необходимо учитывать объем генеральной совокупности.

Рассмотрим процедуру отбора на основе фрагмента таблицы случайных чисел. Предположим, объем генеральной совокупности составляет 70000 единиц и требуется сформировать выборку объемом 500 единиц, то цифры таблицы следует перегруппировать, для получения пятизначных чисел следующим образом:

5489 5583 3156 0835 1988

3522 0935 7877 5665 7020

7555 7579 2550 2487 9477

5759 3554 5080 9074 7001

6303 6895 3371 3196 7231

Для формирования выборки мы должны взять 500 чисел в интервале от 00001 до 70000. Таким образом, нам следует из списка единиц генеральной совокупности отобрать единицы под номером 54895, 35220, 57593 и т.д. При этом номера свыше 70000 (75557. 93578 и подобные) будут проигнорированы.

При проведении бесповторного отбора повторяющиеся номера следует учитывать только один раз. При повторном отборе, если тот или иной номер случайно встретится еще один или более раз, соответствующая этому номеру единица в каждом случае повторно включается в выборочную совокупность.

После проведения отбора с использованием какого-либо алгоритма, реализующего принцип случайности, или на основе таблицы случайных чисел, необходимо определить границы генеральных характеристик. Для этого рассчитываются средняя и предельная ошибки выборки.

Средняя ошибка повторной собственно-случайной выборки определяется по формуле:

(6.1.)

С учетом выбранного уровня вероятности и соответствующего ему значения ( предельная ошибка повторной собственно-случайной выборки составит:

Размещено на http://www.allbest.ru/

(6.2.)

Тогда можно утверждать, что при заданной вероятности генеральная средняя будет находиться в следующих границах:

(6.3.)

Предположим, в результате выборочного обследования доходов домохозяйств региона, осуществленного на основе собственно-случайной повторной выборки, получен следующий ряд распределения (табл. 6.1).

Таблица 6.1. Результаты выборочного обследования доходов домохозяйств региона

Доход, тыс. руб.	До 5	5-10	10-15	15-20	20 и более
Число домохозяйств	52	354	475	170	49

Рассмотрим определение границ генеральной средней, в данном примере - среднего дохода домохозяйства в целом по данному региону, опираясь только на результаты выборочного обследования. Для определения средней ошибки выборки нам необходимо прежде всего рассчитать выборочную среднюю величину и дисперсию изучаемого признака (табл. 6.2).

Таблица 6.2. Расчет среднего дохода домохозяйства и дисперсии

Средняя ошибка выборки составит:

Определим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954 (t=2):

Установим границы генеральной средней (тыс. руб.):

11,6 - 0,28 ? x^Ї ?11,6 + 0,28

или

11,32 ?xЇ? 11,88.

Таким образом, на основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно заключить, что средний доход домохозяйства в целом по региону лежит в пределах от 11,3 до 11,9 тыс. руб.I

При расчете средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки необходимо учитывать поправку на бесповторность отбора:

(6.4)

Если предположить, что представленные в табл. 7.1 данные являются результатом 5%-ного бесповторного отбора (следовательно, генеральная совокупность включает 22000 домохозяйств), то средняя ошибка выборки будет несколько меньше:

Соответственно уменьшится и предельная ошибка выборки, что вызовет сужение границ генеральной средней. Особенно ощутимо влияние поправки на бесповторность отбора при относительно большом проценте выборки.

Мы рассмотрели определение границ генеральной средней. Рассмотрим теперь, как определяются границы генеральной доли, т.е. границы доли единиц, обладающих тем или иным значением признака.

Воспользуемся еще раз данными табл. 7.1 для того, чтобы определить границы доли домохозяйств, доходы которых составляют менее 10 тыс. руб. Согласно результатам обследования, численность таких домохозяйств составила 52+354=406. Определим выборочную долю и дисперсию:

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Предельная ошибка выборки с заданной вероятностью составит:

A_w = 2•0,014 = 0,028.

Определим границы генеральной доли:

0,369 - 0,028 <р< 0,369 + 0,028

или

0,341 <р<0,397.

Следовательно, с вероятностью 0.954 можно утверждать, что доля домохозяйств, имеющих доходы менее 10 тыс. руб., в целом по данному региону находится в пределах от 34,1 до 39,7%.

Мы рассмотрели определение границ генеральной средней и генеральной доли по результатам уже проведенного выборочного наблюдения, при известном объеме выборки или проценте отбора. На этапе же проектирования выборочного наблюдения именно объем выборочной совокупности и требует определения.

Чем больше объем выборки, тем меньше значения средней и предельной ошибок выборочного наблюдения и, следовательно, тем уже границы генеральной средней и генеральной доли. В то же время, необходимо учитывать, что большой объем выборки приводит к удорожанию обследования, увеличению сроков сбора и обработки материалов, требует привлечения дополнительного персонала и соответствующего материально-технического обеспечения. Затраты всех ресурсов на 20-30%-ное выборочное наблюдение уже сопоставимы с расходами на сплошное обследование. При этом не следует забывать, что статистические характеристики, полученные по выборочной совокупности, всегда имеют вероятностную основу и всегда будут уступать результатам сплошного наблюдения по точности и надежности. Поэтому при подготовке выборочного наблюдения необходимо определить тот минимально необходимый объем выборки, который обеспечит требуемую точность полученных статистических характеристик при заданном уровне вероятности.

Представим формулу (6.2) следующим образом:

(6.5.)

Отсюда можно вывести формулу для определения необходимого объема собственно-случайной повторной выборки:

(6.6.)

Полученный на основе использования данной формулы результат всегда округляется в большую сторону. Например, если мы получили, что необходимый объем выборки составляет 493,1 единицы, то обследовав 493 единицы мы не достигнем требуемой точности. Поэтому, для достижения желаемого результата обследованием должны быть охвачены 494 единицы. С другой стороны, рассчитанное значение необходимого объема выборки свободно может быть увеличено в большую сторону на несколько единиц. Если мы располагаем необходимыми ресурсами, если по причинам организационного порядка (компактность расположения единиц, фиксированная нагрузка на каждого регистратора и т.п.) мы вполне можем охватить больший объем, то включение в выборочную совокупность 500 или, например, 550 единиц только уменьшит значения полученных случайной и предельной ошибок.

Как видно из формулы (6.6) необходимый объем выборки будет тем больше, чем выше заданный уровень вероятности и чем сильнее варьирует наблюдаемый признак. В то же время повышение допустимой предельной ошибки выборки приводит к снижению необходимого ее объема.

Расчет необходимого объема выборки предполагает, что организаторы выборочного наблюдения уже на этапе его проектирования располагают по крайней мере косвенными данными о вариации изучаемых признаков. Источниками таких данных могут служить:

а) результаты исследования данного объекта в предшествующие периоды;

б) результаты исследования аналогичных объектов (жителей других населенных пунктов, предприятий других регионов и т.п.);

в) специально проведенное небольшое по объему выборочное обследование данного объекта, ставящее целью лишь изучение вариации наблюдаемых признаков.

При определении необходимого объема выборки для определения границ генеральной доли задача оценки вариации решается значительно проще. Если дисперсия изучаемого альтернативного признака неизвестна, то можно использовать ее максимальное возможное значение:

Например, предприятию связи с вероятностью 0,954 необходимо определить удельный вес телефонный разговоров продолжительностью менее 1 минуты с предельной ошибкой 2%. Сколько разговоров нужно обследовать в порядке собственно-случайного повторного отбора для решения этой задачи?

Для получения ответа па поставленный вопрос воспользуемся формулой (6.6) и будем ориентироваться на максимальную возможную дисперсию доли телефонных разговоров такой продолжительности. Расчет приводит к следующему результату:

Таким образом, обследованием должны быть охвачены не менее 2500 разговоров на предмет их продолжительности.

Необходимый объем собственно-случайной бесповторной выборки может быть определен по следующей формуле:

(6.7.)

Укажем на одну особенность формулы (6.7). При проведении вычислений объем генеральной совокупности должен быть выражен только в единицах, а не в тысячах или в миллионах единиц. Например, подставив в данную формулу общую численность населения региона, выраженную в тысячах человек, мы не получим правильное значение необходимой численности выборки, также выраженное в тысячах человек, как это иногда бывает в других расчетах. Результат вычислений будет неверен.

6.3 Механическая (систематическая) выборка

Механическая выборка может быть применена в тех случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т.е. имеется определенная последовательность в расположении единиц (табельные номера работников, списки избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т.п.). Для проведения отбора желательно, чтобы все единицы также имели порядковые номера от 1 до N.

Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объемов выборочной и генеральной совокупностей. Так. если их совокупности в 500000 единиц предполагается отобрать 10000 единиц, то пропорция отбора составит Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы. Например, при пропорции 1:50 (2%-ная выборка) отбирается каждая 50-я единица, при пропорции 1:20 (5%-ная выборка) -каждая 20-я единица и т.д.

Интервал отбора также можно определить как частное от деления 100% на установленный процент отбора. Так, при 2%-ном отборе интервал составит 50 (100%:2%), при 4%-ном отборе - 25 (100%:4%). В тех случаях, когда результат деления получается дробным, сформировать выборку механическим способом при строгом соблюдении процента отбора не представляется возможным. Например, по этой причине нельзя сформировать 3%-ную или 6%-ную выборки.

Генеральную совокупность при механическом отборе можно ранжировать или упорядочить по величине изучаемого или коррелирующего с ним признака, что позволит повысить репрезентативность выборки. Однако в этом случае возрастает опасность систематической ошибки, связанной с занижением значений изучаемого признака (если из каждого интервала регистрируется первое значение) или его завышением (если из каждого интервала регистрируется последнее значение). Поэтому целесообразно из каждого интервала отбирать центральную или одну из двух центральных единиц. Например, при 5%-ной выборке интервал отбора составит 20 единиц, тогда отбор целесообразно начинать с 10-й или с 11-й единицы. В первом случае в выборку попадут 10, 30, 50, 70 и с таким же интервалом последующие единицы; во втором случае - единицы с номерами 11, 31, 51, 71 и т.д.

При механической выборке также может появиться опасность систематической ошибки, обусловленной случайным совпадением выбранного интервала и циклических закономерностей в расположении единиц генеральной совокупности. Так, при переписи населения 1989 г. в ходе 25%-го выборочного обследования семей имела место опасность попадания в выборку квартир только одного типа (например, только однокомнатных или только трехкомнатных), так как на лестничных площадках многих типовых домов располагаются именно по 4 квартиры. Чтобы избежать систематической ошибки, в каждом новом подъезде счетчик менял начало отбора.

Для определения средней ошибки механической выборки, а также необходимой ее численности, используются соответствующие формулы, применяемые при собственно-случайном бесповторном отборе (7.4 и 7.7). При этом, определив необходимую численность выборки и сопоставив ее с объемом генеральной совокупности, как правило, приходится производить соответствующее округление для получения целочисленного интервала отбора.

Например, в области зарегистрировано 12000 фермерских хозяйств. Определим, сколько из них нужно отобрать в порядке механического отбора для определения средней площади сельхозугодий с ошибкой ±2 га. (Р=0,997). По результатам ранее проведенного обследования известно, что среднее квадратическое отклонение площади сельхозугодий составляет 8 га. Произведем расчет, воспользовавшись формулой 6.7.:

С учетом полученного необходимого объема выборки (143 фермерских хозяйства) определим интервал отбора: 12000:143=83,9. Определенный таким способом интервал всегда округляется в меньшую сторону, так как при округлении в большую сторону произведенная выборка не достигнет рассчитанного по формуле необходимого объема. Следовательно, в нашем примере, из общего списка фермерских хозяйств необходимо отобрать для обследования каждое 83-е хозяйство. При этом процент отбора составит 1,2% (100%:83).

6.4 Типическая (стратифицированная) выборка

Типический отбор целесообразно использовать в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности объединены в несколько крупных типических групп. Такие группы также называют стратами или слоями, в связи с чем типический отбор также называют стратифицированным или расслоенным. При обследованиях населения в качестве типических групп могут быть выбраны области, районы, социальные, возрастные или образовательные группы, при обследовании предприятий - отрасли или подотрасли, формы собственности и т.п.

Рассматривать генеральную совокупность в разрезе нескольких крупных групп единиц имеет смысл только в том случае, если средние значения изучаемых признаков по группам существенно различаются. Например, с большой уверенностью можно предположить, что доходы населения крупного города будут в среднем выше доходов населения. проживающего в сельской местности; численность работников промышленного предприятия в среднем будет выше численности работников торгового или сельскохозяйственного предприятия; средний возраст студентов будет значительно меньше среднего возраста занятого населения и, тем более, пенсионеров. В то же время, нет никакого смысла при выделении типических групп ориентироваться на признак, не связанный или очень слабо связанный с изучаемым.

Отбор единиц в выборочную совокупность из каждой типической группы осуществляется собственно-случайным или механическим способом. Поскольку в выборочную совокупность в той или иной пропорции обязательно попадают представители всех групп, типизация генеральной совокупности позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. В то же время, в выделенных типических группах обследуются далеко ire все единицы, а только включенные в выборку. Следовательно, на величине полученной ошибки будет сказываться различие между единицами внутри этих групп, т.е. внутригрупповая вариация. Поэтому, ошибка типической выборки будет определяться величиной не обшей дисперсии, а только ее части - средней из внутригрупповых дисперсий.

Предположим, общая численность населения области составляет 1,5 млн. чел., в том числе городское - 900 тыс. чел. и сельское - 600 тыс. чел. Если в ходе выборочного наблюдения планируется обследовать 100 тыс. жителей, то эта численность должна быть поделена пропорционально объему типических групп следующим образом:

городское население -

сельское население -

Средняя ошибка типической выборки определяется по формулам:

(повторный отбор) (6.8.)

(бесповторный отбор) (6.9.)

где уЇ² - средняя из внутри групповых дисперсий.

Рассмотрим данный вариант типической выборки на условном примере.

Предположим, 10%-ный бесповторный типический отбор безработного населения, пропорциональный размерам районов, проведенный с целью оценки продолжительности периода поиска работы, привел к следующим результатам (табл. 6.3).

Таблица 6.3. Результаты обследования безработного населения области

Район	Всего зарегистрировано безработных, чел.	Обследовано, чел.	Число недель поиска работы
			средняя	дисперсия
А	5000	500	7	36
Б	8200	820	15	64
В	2100	210	5	9

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Определим среднюю и предельную ошибки выборки (с вероятностью 0,954):

Рассчитаем выборочную среднюю:

В результате проведенных расчетов с вероятностью 0,954 можно сделать вывод, что среднее число недель, затрачиваемых на поиск работы, в целом по области находится в пределах:

11,0 - 0.34 < хЇ < 11,0 + 0,34.

При определении необходимого объема типической выборки в рассмотренных выше формулах (6.6) и (6.7) общую дисперсию наблюдаемого признака необходимо заменить на среднюю из внутригрупповых дисперсий. Тогда данные формулы примут следующий вид:

(повторный отбор) (6.10.)

(бесповторный отбор) (6.11.)

Предположим, в рассмотренном выше примере нам необходимо определить среднее число недель, затрачиваемых на поиск работы, с предельной ошибкой ± 1 неделя. Учитывая величину полученной ранее средней из внутригрупповых дисперсий, определим необходимый объем типической выборки при условии бесповторного отбора:

Таким образом мы получили, что при заданных условиях для достижения требуемой точности достаточно обследовать выборочным методом всего 186 чел. Распределим эту численность на три района рассматриваемой области пропорционально их размерам по числу зарегистрированных безработных:

Расчеты показывают, что в районе А необходимо обследовать 61 чел., в районе Б -100 чел., и в районе В - 25 чел.

Мы рассмотрели типический отбор, пропорциональный объему типических групп. Второй вариант формирования типической выборки заключается в отборе единиц, пропорциональном вариации признака в типических группах. Логика такого отбора заключается в следующем: если внутри какой-либо типической группы наблюдаемый признак варьирует слабо, то для определения границ генеральных характеристик из данной группы достаточно обследовать относительно небольшое число единиц; при сильной же вариации признака объем выборки должен быть соответственно увеличен.

6.5 Серийная выборка

Сущность серийной выборки заключается в собственно-случайном либо механическом отборе групп единиц (серий), внутри которых производится сплошное обследование. Единицей отбора при этой выборке является группа или серия, а не отдельная единица генеральной совокупности, как это имело место в рассматриваемых ранее выборках.

Данный способ отбора удобен в тех случаях, когда единицы генеральной совокупности изначально объединены в небольшие более или менее равновеликие группы или серии. В качестве таких серий могут выступать упаковки с определенным количеством готовой продукции, партии товара, студенческие группы, бригады и другие подобные объединения.

В большинстве случаев серийная выборка имеет не столько методологические, сколько организационные преимуществами перед другими способами формирования выборочном совокупности. Например, в Великобритании серийный отбор используется в обследованиях населения, когда серией являются домохозяйства, объединенные общим почтовым индексом. В случайном порядке производится выборка индексов и под обследование попадают все домохозяйства, имеющие индекс попавших в выборочную совокупность матовых отделений.

В связи с тем, что при серийном отборе внутри отобранных групп обследуются все исключения единицы, внутригрупповая вариация признака не отразится на ошибках Порочного наблюдения. В то же время, обследуются не все группы, а только попавшие в выборку. Следовательно на ошибках получаемых характеристик будут отражаться различия между группами, которые определяются межгрупповой дисперсией. Поэтому средняя ошибка серийной выборки определяется по формулам:

(бесповторный отбор), (6.12.)

где: r - число отобранных серий;

R - общее число серий.

Межгрупповую дисперсию при равновеликих группах вычисляют следующим образом:

(6.13.)

Рассмотрим следующий пример. Предположим, партия готовой продукции предприятия упакована в 160 ящиков по 25 изделий в каждом. В целях контроля соблюдения параметров технологического процесса проведена 5%-иая серийная выборка, в ходе которой отбирался каждый 20-й ящик. Все изделия, находящиеся в отобранных ящиках были подвергнуты сплошному обследованию, заключающемуся в определении их точного веса. Полученные результаты представлены в следующей таблице:

Таблица 6.4. Результаты выборочного обследования готовой продукции

Номер коробки	1	2	3	4	5	6	7	8
Средний вес изделия в ящике, г	563	545	548	560	555	561	547	552

С вероятностью 0,954 требуется определить границы среднего веса изделия во всей партии.

На основе приведенных в таблице внутригрупповых средних определим средний вес изделия по выборочной совокупности:

С учетом полученной средней рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Рассчитаем среднюю и предельную ошибки выборки:

Определим границы генеральной средней:

553,9-4,4?xЇ?553,9 + 4,4.

На основе результатов проведенных расчетов с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний вес изделия в целом по всей партии продукции находится в пределах от 549,5 г до 558,3 г.

Для определения необходимого объема серийной выборки при заданной предельной ошибке используются следующие формулы:

(повторный отбор);

(бесповторный отбор). (6.14)

Предположим, в рассмотренном выше примере необходимо определить границы среднего веса изделия с предельной ошибкой + 3,0 г. Используя полученные выше данные о вариации веса определим, сколько ящиков с изделиями нужно обследовать в порядке бесповторной серийной выборки, чтобы получить результат с заданной точностью и при выбранном уровне вероятности:

Выполненный расчет позволяет заключить, что для получения границ генеральной средней с заданной точностью необходимо обследовать не менее 17 ящиков с изделиями, отобранных собственно-случайным или механическим способом.

7. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений

7.1 Причинность, регрессия, корреляция

Исследование объективно существующих связей между социально-экономическими явлениями и процессами является важнейшей задачей теории статистики. В процессе магнетического исследования зависимостей вскрываются причинно-следственные отношения между явлениями, что позволяет выявлять факторы (признаки), оказывающие основное влияние на вариацию изучаемых явлений и процессов. Причинно-следственные отношения - это такая связь явлений и процессов, когда изменение одного из них - причины ведет к изменению другого - следствия.

Финансово-экономические процессы представляют собой результат одновременного воздействия большого числа причин. Следовательно, при изучении этих процессов необходимо выявлять главные, основные причины, абстрагируясь от второстепенных.

В основе первого этапа статистического изучения связи лежит качественный анализ, связанный с анализом природы социального или экономического явления методами экономической теории, социологии, конкретной экономики. Второй этап - построение модели связи, базируется на методах статистики: группировках, средних величинах, и так далее. Третий, последний этап - интерпретация результатов, вновь связан с качественными особенностями изучаемого явления. Статистика разработала множество методов изучения связей. Выбор метода изучения связи зависит от познавательной цели и задач исследования.

Признаки по их сущности и значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса. Признаки, обуславливающие изменения других, связанных с ними признаков, называются факторными, или просто факторами. Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, называются результативными.

В статистике различают функциональную и стохастическую зависимости. Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного п и лика соответствует одно и только одно значение результативного признака.

Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, среднем, при большом числе наблюдений, то такая зависимость называется стохастической. Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков. экономический вариация статистика сводка

Связи между явлениями и их признаками классифицируются по степени тесноты, отравлению и аналитическому выражению.

По степени тесноты связи различают (табл. 7.1):

Таблица 7.1. Количественные критерии оценки тесноты связи

Величина показатели связи	Характер связи
До ±0,3	Практически отсутствует
±0,3 - ±0,5	слабая
±0,5 - ±0,7	умеренная
±0,7 - ±1,0	сильная

По направлению выделяют связь прямую и обратную. Прямая - это связь, при которой с увеличением или с уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значении результативного признака. Так, рост объемов производства способствует увеличению прибыли предприятия. В случае обратной связи значения результативного признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с изменением факторного признака, то есть обратная - это связь, при которой с увеличением или с уменьшением значений одного признака происходит уменьшение или увеличение значений другого признака. Так, снижение себестоимости единицы производимой продукции влечет за собой рост рентабельности.

По аналитическому выражению выделяют связи прямолинейные (или просто линейные) и нелинейные. Если статистическая связь между явлениями может быть приблизительно выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью вида:

(7.1.)

Если же связь может быть выражена уравнением какой-либо кривой, то такую связь называют нелинейной или криволинейной, например:

параболы -

(7.2.)

гиперболы -

;

и т.д..

Для выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике используются методы: приведения параллельных данных; графический; аналитических группировок; корреляции, регрессии.

Метод приведения параллельных данных основан на сопоставлении двух или нескольких рядов статистических величин. Такое сопоставление позволяет установить наличие связи и получить представление о ее характере.

Графически взаимосвязь двух признаков изображается с помощью поля корреляции. В системе координат на оси абсцисс откладываются значения факторного признака, а на оси ординат - результативного. Каждое пересечение линий, проводимых через эти оси, обозначаются точкой. При отсутствии тесных связей имеет место беспорядочное расположение точек на графике. Чем сильнее связь между признаками, тем теснее будут группироваться точки вокруг определенной линии, выражающей форму связи.

В статистике принято различать следующие виды зависимостей:

1. Парная корреляция - связь между двумя признаками (результативным и факторным, или двумя факторными).

Частная корреляция - зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.

Множественная корреляция - зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

Корреляционный анализ имеет своей задачей количественное определение тесноты и направления связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).

Теснота связи количественно выражается величиной коэффициентов корреляция, которые, давая количественную характеристику тесноты связи между признаками, позволяют определять «полезность» факторных признаков при построении уравнения множественной регрессии. Знаки при коэффициентах корреляции характеризуют направление связи между признаками.

Регрессия тесно связана с корреляцией и позволяет исследовать аналитическое выражение взаимосвязи между признаками.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком), обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторных признаков).

Одной из проблем построения уравнений регрессии является их размерность, то есть определение числа факторных признаков, включаемых в модель. Их число должно быть оптимальным. Сокращение размерности за счет исключения второстепенных, несущественных факторов позволяет получить модель, быстрее и качественнее реализуемую. В то же время, построение модели малой размерности может привести к тому, что она будет недостаточно полно описывать исследуемое явление или процесс.

При построении моделей регрессии должны соблюдаться следующие требования:

Совокупность исследуемых исходных данных должна быть однородной и математически описываться непрерывными функциями.

Возможность описания моделируемого явления одним или несколькими уравнениями причинно-следственных связей.

Все факторные признаки должны иметь количественное (числовое) выражение.

Наличие достаточно большого объема исследуемой совокупности (в последующих примерах в целях упрощения изложения материала это условие нарушено, т.е. объем очень мал).

Причинно-следственные связи между явлениями и процессами должны описываться линейной или приводимой к линейной форме зависимостью.

Отсутствие количественных ограничений на параметры модели связи.

7.Постоянство территориальной и временной структуры изучаемой совокупности. Соблюдение данных требований позволяет построить модель, наилучшим образом описывающую реальные социально-экономические явления и процессы.

7.2 Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Парная регрессия позволяет получить аналитическое выражение связи между двумя признаками: результативным и факторным.

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически, однако существуют более общие указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображению. Если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, то это свидетельствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи - гиперболическая. Если результативный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а факторный значительно быстрее, то используется параболическая или степенная регрессия.

Оценка параметров уравнений регрессии (а_0, а_1, и а₂ - в уравнении параболы второго порядка) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели (а_0, а₁), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

(7.3.)

где п - объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения).

В уравнениях регрессии параметр ао показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных в уравнении факторных признаков. Коэффициент регрессии а₁ показывает, на сколько в среднем изменяется значение результативного признака при увеличении факторного признака на единицу собственного измерения.

Пример.

Имеются следующие данные о размере страховой суммы и страховых возмещений на автотранспортные средства одной из страховых компаний г. Москвы на 01.01.2004 г.

Таблица 7.2. Зависимость между размером страховых возмещений и страховой суммой на автотранспорт одной из страховых компаний г. Москвы на 01.01.2004 г.

№ автомобиля в регистре	Объем страхового возмещения (тыс. долю США),Yi	Стоимость застрахованного автомобиля (тыс. долл. США), Xi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,1 1,3 0,1 2,6 0,1 0,3 4,6 0,3 0,4 7,3	8,8 9,4 10,0 10,6 11,0 11,9 12,7 13,5 15,5 16,7
Итого	17,1	120,1

Предположим наличие линейной зависимости между рассматриваемыми признаками.

Построим расчетную таблицу для определения параметров линейного уравнена регрессии объема страхового возмещения (табл. 7.3).

Таблица 7.3 Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии

№ автомобиля в регистре	Объем страхового возмещения (тыс. дол. США),Yi	Стоимость застрахованного автомобиля (тыс. долл. США), Xi	x2	xy	yЇx
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	0,1 1,3 0,1 2,6 0,1 0,3 4,6 0,3 0,4 7,3	8,8 9,4 10,0 10,6 11,0 11,9 12,7 13,5 15,5 16,7	77,44 88,36 100,00 112,00 121,00 141,61 161,29 182,25 240,25 278,89	0,88 12,22 1,00 27,56 1,10 3,57 58,42 4,05 6,20 121,91	0,052 0,362 0,672 0,982 1,188 1,653 2,066 2,479 3,513 4,133
Итого	17,1	120,1	1503,45	236,91	17,100

Система нормальных уравнений для данного примера имеет вид:

Отсюда: ао= -4,4944; а₁ = 0,5166.

Следовательно,yЇ_x= -4,4944+0,5166 х.

Значения у_х в таблице 8.3 получены путем подстановки значений факторного признака x_i (стоимость застрахованного автомобиля) в уравнение регрессии

yЇ_x= -4,4944+0,5166 х.

Коэффициент регрессии а₁ = 0,5166 означает, что при увеличении стоимости застрахованного автомобиля на 1 тыс. долл. США, объем страхового возмещения (тыс. долл. США) возрастет в среднем на 0,5166 тыс. долл. США.

7.3 Множественная (многофакторная) регрессия

Изучение связи между тремя и более связанными между собой признаками носит название множественной (многофакторной) регрессии:

Построение моделей множественной регрессии включает несколько этапов:

Выбор формы связи (уравнения регрессии);

Отбор факторных признаков;

Обеспечение достаточного объема совокупности.

Выбор типа уравнения затрудняется тем, что для любой формы зависимости можно выбрать целый ряд уравнений, которые в определенной степени будут описывать эти связи. Основное значение имеют линейные модели в силу простоты и логичности их экономической интерпретации.

Важным этапом построения уже выбранного уравнения множественной регрессии является отбор и последующее включение факторных признаков.

С одной стороны, чем больше факторных признаков включено в уравнение, тем оно лучше описывает явление. Однако модель размерностью 100 и более факторных признаков сложно реализуема и требует больших затрат машинного времени. Сокращение размерности модели за счет исключения второстепенных, экономически и статистически несущественных факторов способствует простоте и качеству ее реализации. В то же время построение модели регрессии малой размерности может привести к тому, что такая модель будет недостаточно адекватна исследуемым явлениям и процессам.

Проблема отбора факторных признаков для построения моделей взаимосвязи может быть решена на основе интуитивно-логических или многомерных математико-статистических методов анализа.

Наиболее приемлемым способом отбора факторных признаков является шаговая регрессия (шаговый регрессионный анализ). Сущность метода шаговой регрессии заключается в реализации алгоритмов последовательного «включения», «исключения» или «включения-исключения» факторов в уравнение регрессии и последующей проверке их статистической значимости. Алгоритм «включения» заключается в том, что факторы поочередно вводятся в уравнение так называемым «прямым методом». При проверке значимости введенного фактора определяется, на сколько уменьшается сумма квадратов остатков и увеличивается величина множественного коэффициента корреляции (R²). Одновременно используется и алгоритм последовательного «исключения», сущность которого заключается в том, что исключаются факторы, ставшие незначимыми по статистическим критериям.

Фактор является незначимым, если его включение в уравнение регрессии только изменяет значения коэффициентов регрессии, не уменьшая суммы квадратов остатков и не увеличивая их значения. Если при включении в модель соответствующего факторного признака величина множественного коэффициента корреляции увеличивается, а коэффициента регрессии не изменяется (или меняется несущественно), то данный признак существенен и его включение в уравнение регрессии необходимо. В противном случае, фактор нецелесообразно включать в модель регрессии.

При построении модели регрессии возможна проблема мультиколлинеарности, под которой понимается тесная зависимость между факторными признаками, включенными в модель (r_xy > 0,8).

Наличие мультиколлинеарности между признаками вызывает:

искажение величины параметров модели, которые имеют тенденцию к завышению, чем осложняется процесс определения наиболее существенных факторных признаков;

изменение смысла экономической интерпретации коэффициентов регрессии.

В качестве причин возникновения мультиколлинеарности между признаками можно выделить следующие:

изучаемые факторные признаки являются характеристикой одной и той же стороны изучаемого явления или процесса. Например: показатели объема производимой продукции и среднегодовой стоимости основных фондов одновременно включать в модель не рекомендуется, так как они оба характеризуют размер предприятия;

факторные признаки являются составляющими элементами друг друга. Например: показатели выработки продукции на одного работающего и численность работающих одновременно в модель включать нельзя, так как в основе расчета показателей лежит один и тот же показатель - численность работающих на предприятии.

* факторные признаки по экономическому смыслу дублируют друг друга.

Устранение мультиколлинеарности может реализовываться через исключение из корреляционной модели одного или нескольких линейно-связанных факторных признаков или преобразование исходных факторных признаков в новые, укрупненные факторы.

Вопрос о том, какой из факторов следует отбросить, решается на основании качественного, логического анализа изучаемого явления, а также на основе анализа тесноты связи между результативным (у) с каждым из сильно коллинеарно связанных факторных признаков. Из дальнейшего анализа целесообразно исключить тот факторный признак, которого с результативным наименьшая.

Качество уравнения регрессии зависит от степени достоверности и надежности исходных данных и объема совокупности. Исследователь должен стремиться к увеличению - числа наблюдений, так как большой объем наблюдений является одной из предпосылок построения адекватных статистических моделей.

Аналитическая форма связи результативного признака от нескольких факторных чается и называется многофакторным (множественным) уравнением регрессии или моделью связи.

Линейное уравнение множественной регрессии имеет вид:

- теоретические значения результативного признака, полученные в результате подстановки соответствующих значений факторных признаков в уравнение регрессии;

x_1,x₂,…,x_k -- факторные признаки;

a₁,а₂,…,а_k -- параметры модели (коэффициенты регрессии).

Параметры уравнения могут быть определены графическим методом или методом наименьших квадратов.

Пример.

По следующим данным о выручке (у), спросу по номиналу (x₁) и объему продаж (х₂) корпоративных ценных бумаг определим зависимость между признаками.

Таблица 7.4. Основные характеристики корпоративных ценных бумаг

Серия ценной бумаги	Выручка млрд. руб.,y	Спрос по номиналу, млрд.руб., x1	Объем продаж по номиналу, млрд.руб., x2
0001 0002 0003 0004 0005 0006 0007	3,0 5,4 5,9 4,8 3,3 3,4 5,3	6,8 11,2 9,1 6,9 6,4 6,9 12,2	3,5 6,7 6,8 5,9 3,8 4,3 6,9
Итого	31,1	59,5	37,9

Система нормальных линейных уравнений имеет вид:

Для определения параметров линейного уравнения регрессии составим расчетную таблицу:

Таблица 8.5 Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии выручки от реализации корпоративных ценных бумаг

Серия ценной бумаги	Выручка млрд. руб.,y	Спрос по номиналу, млрд.руб., x1	Объем продаж по номиналу, млрд.руб., x2	x21	x1x2	x1y	x22	x2y
0001 0002 0003 0004 0005 0006 0007	3,0 5,4 5,9 4,8 3,3 3,4 5,3	6,8 11,2 9,1 6,9 6,4 6,9 12,2	3,5 6,7 6,8 5,9 3,8 4,3 6,9	46,24 125,44 82,81 47,61 40,96 47,61 148,84	23,80 75,04 61,88 40,71 24,32 29,67 84,18	20,40 60,48 53,69 33,12 21,12 23,46 64,66	12,25 44,89 46,24 34,81 14,44 18,49 47,61	10,50 36,18 40,12 28,32 12,54 14,62 36,57
Итого	31,1	59,5	37,9	539,51	339,6	276,93	218,73	178,85

Система уравнений примет следующий вид:

Таким образом:

7.4 Собственно-корреляционные параметрические методы изучения связи

Измерение тесноты (силы) и направления связи является важной задачей изучения количественного измерения взаимосвязи социально-экономических явлений. Оценка тесноты связи между признаками предполагает определение меры соответствия вариации результативного признака и одного (при изучении парных зависимостей) или нескольких (множественных зависимостей) факторных признаков.

Линейный коэффициент корреляции (К. Пирсона) характеризует тесноту и правление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формулы расчета данного коэффициента:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

(7.5)

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой:

(7.6)

где a_i - коэффициент регрессии в уравнении связи;

а_х - среднее квадратическое отклонение соответствующего, статистически существенного, факторного признака.

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1: [-1?r?1]. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При этом интерпретаций выходных значений коэффициента корреляции можно осуществлять следующим образом (табл. 7.6).

Таблица 7.6. Оценка линейного коэффициента корреляции

Значение линейного коэффициента связи	Характеристика связи	Интерпретацию связи
r=0	отсутствует	-
0<r<1	прямая	с увлечением x увеличивается y
-1<r<0	обратная	с увеличением x уменьшается y наоборот
r=1	функциональная	каждому значению факторного признака строго соответствует одно значение результативного признака

Пример.

На основе выборочных данных о деятельности 6 предприятий одной из отраслей промышленности Российской Федерации оценить тесноту связи между трудоемкостью продукции предприятия (X, чел.-час.) и объемом ее производства (Y, млн. руб.)

Таблица 7.7. Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции

№ п/п	Объем произведенной продукции, млн. руб., Y	Затраты на 100 изделий, чел.-час,X	yx	y2	x2
1 2 3 4 5 6	221 1070 1001 606 779 789	96 77 77 89 82 81	21216 82390 77077 53934 63878 63909	48841 1144900 1002000 367236 606841 622520	9216 5929 5929 7921 6724 6561
Сумма	4466	502	362404	3792338	42280
Средняя	744,33	83,67	60400,67	632056,33	7046,67

1. Используя формулу (7.4), получаем:

2. По формуле (7.5) значение коэффициента корреляции составило:

Таким образом, результат по всем формулам одинаков и свидетельствует о сильной обратной зависимости между изучаемыми признаками.

В случае наличия линейной или нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по данным группировки, когда д² характеризует отклонения групповых средних результативного показателя от 1бщей средней:

(7.7)

где з- корреляционное отношение;

у² - общая дисперсия;

уЇ² - средняя из частных (групповых) дисперсий;

д² - межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних).

Все эти дисперсии есть дисперсии результативного признака.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

(7.8.)

гдед² - дисперсия выровненных значений результативного признака, то есть рассчитанных по уравнению регрессии;

у² - дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного признака;

у²_ост - остаточная дисперсия.

Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 (0? з ?1)

Для измерения тесноты связи при множественной корреляционной зависимости, то есть при исследовании трех и более признаков одновременно, вычисляется множественный и частные коэффициенты корреляции.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции для двух факторных признаков вычисляется по формуле:

(7.9.)

Где r_yxi - парные коэффициенты корреляции между признаками.

Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1 и по определению положителен: О?R?1. Приближение R к единице свидетельствует о сильной зависимости между признаками.

На основе данных таблицы 8.4 рассчитаем коэффициент множественной корреляции:

Множественный коэффициент корреляции составит:

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками x₁ и x₂ при фиксированном значении других (k-2) факторных признаков, то есть когда влияние x₃ исключается, то есть оценивается связь между x₁ и x₂ в «чистом виде».

...