Основы статистики

В случае зависимости у от двух факторных признаков x₁ и x₂ коэффициенты частной корреляции имеют вид:

(7.10.)

Где r - парные коэффициенты корреляции между указанными в индексе переменными.

В первом случае исключено влияние факторного признака х₂, во втором - х_1. На основании приведенных выше данных о зависимости трех факторов деятельности предприятий вычислим частные коэффициенты корреляции (табл. 8.4):

7.5 Принятие решений на основе уравнений регрессии

Интерпретация моделей регрессии осуществляется методами той отрасли знаний, к которой относится исследуемое явление. Но всякая интерпретация начинается со статистической оценки уравнения регрессии в целом и оценки значимости входящих в модель факторных признаков.

Прежде всего необходимо рассмотреть коэффициенты регрессии. Чем больше величина коэффициента регрессии, тем значительнее влияние данного Признака на моделируемый.

Знаки коэффициентов регрессии говорят о характере влияния на результативный признак. Если факторный признак имеет знак плюс, то с увеличением данного фактора результативный признак возрастает; если факторный признак имеет знак минус, то с его увеличением результативный признак уменьшается.

Если экономическая теория подсказывает, что факторный признак должен иметь положительное значение, а он имеет знак минус, то необходимо проверить расчеты параметров уравнения регрессии. Такое явление чаще всего бывает в силу допущенных ошибок при решении. Однако следует иметь ввиду, что когда рассматривается совокупное влияние факторов, то в силу наличия взаимосвязей между ними характер их влияния может меняться.

С целью расширения возможностей экономического анализа, используются частные коэффициенты эластичности, определяемые по формуле:

(7.11.)

где xЇ_i - среднее значение соответствующего факторного признака;

уЇ - среднее значение результативного признака;

а₁ - коэффициент регрессии при соответствующем факторном признаке. Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на 1%.

Рассчитаем коэффициент эластичности (x₁) по исходным данным о зависимости между выручкой (у), спросом по номиналу (x₁) и объемом продаж по номиналу (х₂) корпоративных ценных бумаг одной из корпораций, приведенным в таблице 7.4.

Это значит, что при увеличении спроса по номиналу на ценные бумаги на 1%, выручка от их реализации снизится на 0,16%, а при увеличении объема продаж по номиналу на 1%, выручка увеличится на 1,07%.

Частный коэффициент детерминации:

d_xi = r_yxi • в_xi (7.12.)

где r_yxi - парный коэффициент корреляции между результативным и i-ым факторным признаком;

в_xi - соответствующий стандартизованный коэффициент уравнения множественной регрессии:

(7.13.)

Частный коэффициент детерминации показывает на сколько процентов вариация результативного признака объясняется вариацией /- го признака, входящего в множественное уравнение регрессии.

По данным, приведенным в таблице 8.4 рассчитаем частный коэффициент детерминации для фактора х₁ - спрос по номиналу на ценные бумаги:

Определим частный коэффициент детерминации для фактора х₂ -- объем продаж ценных бумаг по номиналу:

Полная экономическая интерпретация моделей регрессии позволяет выявить резервы развития и повышения деловой активности субъектов рыночной экономики.

7.6 Методы изучения связи качественных признаков

При наличии соотношения между вариацией качественных признаков говорят об их ассоциации, взаимосвязанности. Для оценки связи в этом случае используют ряд показателей.

Коэффициент ассоциации и контингенции. Для определения тесноты связи двух качественных признаков, каждый из которых состоит только из двух групп, применяются коэффициенты ассоциации и контингенции.

Для их вычисления строится таблица, которая показывает связь между двумя явлениями, каждое из которых должно быть альтернативным, то есть состоящим из двух качественно отличных друг от друга значений признака (например, изделие годное или бракованное).

Таблица 7.8. Таблица для вычисления коэффициентов ассоциации и контингенции

a	b	a+b
c	d	c+d
a+c	b+d	a+b+c+d

Коэффициенты вычисляются по формулам:

ассоциации:

(7.14.)

контингенции:

(7.15.)

Коэффициент контингенции всегда меньше коэффициента ассоциации. Связь считается подтвержденной, если К_а ? 0,5 или К_к ? 0,3 .

Пример. Исследуем связь между участием населения одного из городов в экологических акциях и уровнем его образования. Результаты обследования характеризуются следующими данными:

Таблица 7.9. Зависимость участия населения города в экологических акциях от образовательного уровня

Группы рабочих	Численность населения города	Из них
		Участвующих в акциях	не участвующих в акциях
Имеют среднее образование Не имеют среднее образование	100 100	78 32	22 68
Итого	200	110	90

Таким образом, связь между участием населения города в экологических акциях и его образовательным уровнем имеет место, но не столь существенна.

Когда каждый из качественных признаков состоит более чем из двух групп, то для определения тесноты связи возможно применение коэффициентов взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова. Эти коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

(7.16.)

Гдец² - показатель взаимной сопряженности;

ц - определяется как сумма отношений квадратов частот каждой клетки таблицы к произведению итоговых частот соответствующего столбца и строки. Вычитая из этой суммы «1», получим величину ц²:

K₁ - число значений (групп) первого признака;

К₂ - число значений (групп) второго признака.

Чем ближе величина К_п и К_ч к 1 тем теснее связь.

Таблица 7.10. Вспомогательная таблица для расчета коэффициента взаимной сопряженности

Пример.

С помощью коэффициента взаимной сопряженности исследуем связь между себестоимостью продукции и накладными расходами на ее реализацию.

Таблица 7.11. Зависимость между себестоимостью продукции и накладными расходами на ее реализацию

Накладная расходы	Себестоимость	Итого
	Низкая	Средняя	Высокая
Низкие Средние Высокие	19 7 4	12 18 10	9 15 26	40 40 40
Итого	30	40	50	120

Связь слабая.

Особое значение для оценки связи имеет биссериальный коэффициент корреляции, который дает возможность оценить связь между качественным альтернативным и количественным варьирующим признаками. Данный коэффициент вычисляется по формуле:

(7.17)

Где уЇ₂ и уЇ_х - средние в группах;

у_y - среднее квадратическое отклонение фактических значений признака от средyнего уровня;

р - доля первой группы;

q - доля второй группы;

Z - табулированные (табличные) значения Z -распределения в зависимости от р.

Пример.

Распределение предприятий одной из отраслей промышленности по уровню дохода и источникам средств существования характеризуется следующими данными:

Таблица 7.12. Зависимость уровня доходов сотрудников коммерческой структуры от уровня их образования

Источник средств	Уровень доходов, (млн. руб.)	Всего
	200 - 300	300 - 400	400 - 500	500 - 600
	250	350	450	550
Банковский кредит Собственные средства	5 9	7 4	6 2	4 1	22 16
Итого	14	11	8	5	38

Величина биссериального коэффициента корреляции также подтверждает умеренную тесноту связи между изучаемыми признаками.

7.7 Ранговые коэффициенты связи

В анализе социально-экономических явлений часто приходится прибегать к различным условным оценкам с помощью рангов, а взаимосвязь между отдельными признаками измерять с помощью непараметрических коэффициентов связи.

Ранжирование - это процедура упорядочения объектов изучения, которая выполняется на основе предпочтения. Ранг - это порядковый номер значений признака, расположенных в порядке возрастания или убывания их величин. Если значения признака имеют одинаковую количественную оценку, то ранг всех этих значений принимается равным средней арифметической из соответствующих номеров мест, которые они определяют. Данные ранги называются связными.

Среди непараметрических методов оценки тесноты связи наибольшее значение имеют ранговые коэффициенты Спирмена (с_xy ) и Кендалла (ф_xy). Эти коэффициенты могут быть использованы для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками (рейтинги, уровни образования, квалификации и т.п.).

Коэффициент корреляции рангов (коэффициент Спирмена) рассчитывается по формуле:

(7.18.)

где d²_i - квадраты разности рангов;

п - число наблюдений (число пар рангов).

Коэффициент Спирмена принимает значения в интервале [-1; 1].

Пример.

По данным о прибыли и объеме кредитных вложений 10 коммерческих банков одного из регионов Российской Федерации на 01.01.2004 г. определить с помощью коэффициента Спирмена зависимость между этими признаками.

Таблица 7.13. Расчет коэффициента Спирмена

Ранговый коэффициент корреляции Кендалла (ф_xy) также может использоваться для измерения взаимосвязи между качественными и количественными признаками, характеризующими однородные объекты и ранжированные по одному принципу. Расчет рангового коэффициента Кендалла осуществляется по формуле:

(7.19.)

где п - число наблюдений;

S - сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий

по второму признаку.

Расчет данного коэффициента выполняется в следующей последовательности:

Значения X ранжируются в порядке возрастания или убывания;

Значения Y располагаются в порядке, соответствующем значениям X;

Для каждого ранга Y определяется число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Суммируя таким образом числа, определяется величина Р, как мера соответствия последовательностей рангов по X и Y и учитывается со знаком (+);

Для каждого ранга Y определяется число следующих за ним значений рангов, меньших его величины. Суммарная величина обозначается через Q и фиксируется со знаком (-);

Определяется сумма баллов по всем членам ряда.

В приведенном примере (таблица 7.11)

Р=1+8+1+6+4+3+3+2+1=29 0 = (-8) + О + (-6) + О + (-1) + (-1) + О + О + О = -16

Таким образом:

что свидетельствует о практическом отсутствии связи между рассматриваемыми признаками по данной совокупности коммерческих банков.

Как правило, коэффициент Кендалла меньше коэффициента Спирмена. При достаточно большом объеме совокупности значения данных коэффициентов имеют следующую зависимость:

Связь между признаками признается статистически значимой, если значения коэффициентов ранговой корреляции Спирмена и Кендалла больше 0,5.

Для определения тесноты связи между произвольным числом ранжированных признаков применяется множественный коэффициент ранговой корреляции (коэффициент конкордации) W, который вычисляется по формуле:

(7.20)

Где m - количество факторов

п - число наблюдений

S - отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов

Пример.

Определим тесноту связи между объемом реализованной продукции, прибылью численностью работающих по 10 предприятиям отрасли.

Таблица 7.14 Расчет коэффициента конкордации

№ предприятия	Уставной капитал, млн.руб., X	Число выставленных акций, Y	Число занятых на предприятиях, Z	Rx	Ry	Rz	Сумма строк	Квадраты сумм
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	3069 1720 4217 2465 2740 1910 2928 1866 1815 2379	871 945 1578 697 631 510 830 873 482 676	320 326 333 342 351 366 379 382 402 405	9 1 10 6 7 4 8 3 2 5	7 9 10 5 3 2 6 8 1 4	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	17 12 23 15 15 12 21 19 12 19	289 144 529 225 225 144 441 361 144 361
Итого	-	-	-	-	-	-	165	2863

что свидетельствует о слабой связи между рассматриваемыми признаками.

Ранговые коэффициенты Спирмена, Кендалла и конкордации имеют то преимущество, что с помощью их можно измерять и оценивать связи как между количественными так и между атрибутивными признаками, которые поддаются ранжированию.

8. Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

8.1 Понятие о рядах динамики и их виды

Процессы и явления социально-экономической жизни общества, являющиеся предметом изучения статистики, находятся в постоянном движении и изменении. Для того, чтобы выявить тенденции и закономерности социально-экономического развития явлений, статистика строит особые ряды статистических показателей, которые называются рядами динамики (иногда их называют временными рядами), то есть - это ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке. В англоязычной литературе для временных рядов используется термин «time series».

Ряды динамики получаются в результате сводки и обработки материалов периодического статистического наблюдения. Повторяющиеся во времени (по отчетным периодам) значения одноименных показателей, в ходе статистической сводки (гл.2) систематизируются в хронологической последовательности. Значения показателя, составляющие ряд динамики, называются уровнями ряда.

Каждый ряд динамики характеризуется двумя параметрами: значениями времени и соответствующими им значениями уровней ряда. Уровни ряда обычно обозначаются «y_t»: у_ьу₂ и т.д. В качестве показателя времени в рядах динамики могут указываться отдельные периоды (сутки, месяцы, кварталы, годы и т.д.) времени или определенные моменты (даты). Время в рядах динамики обозначается через «t».

Ряды динамики, как правило, представляют в виде таблицы или графически.

Ряды динамики могут быть классифицированы по следующим признакам:

*В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин. При этом ряды динамики абсолютных величин рассматриваются как исходные, а ряды относительных и средних величин - как производные.

Ряды динамики абсолютных величин наиболее полно характеризуют развитие процесса или явления, например, грузооборота транспорта, инвестиций в основной капитал, добычи топлива, уставного капитала коммерческих банков и т.д.

Ряды относительных величин могут характеризовать во времени темпы роста (или снижения) определенного показателя; изменение удельного веса того или иного показателя в совокупности или изменение показателей интенсивности отдельных явлений, например, удельного веса приватизированных предприятий в той или иной отрасли; производства продукции на душу населения; структуры инвестиций в основной капитал по отраслям экономики, индекса потребительских цен и т.д.

Ряды динамики средних величин служат для характеристики изменения уровня явления, отнесенного к единице совокупности, например: данные о среднегодовой численности занятых в экономике; о средней урожайности отдельных сельскохозяйственных культур, о средней заработной плате в отдельных отраслях и т.д.

*В зависимости от характера временного параметра ряды динамики делятся на моментные и интервальные.

Уровни моментных рядов динамики характеризуют явление по состоянию на определенный момент времени.

Пример. Моментный ряд динамики, характеризующий численность персонала строительной фирмы на 1-е число каждого месяца за первое полугодие 2004 г., представлен в таблице 8.1.

Таблица 8.1.

Дата	1.01	1.02	1.03	1.04	1.05	1.06
Численность персонала, чел	780	810	880	930	940	970

Следует помнить, что моментные ряды абсолютных величин нельзя суммировать. Бессмысленно, например, складывать численность персонала по состоянию на 1 января, 1 февраля и т.д. Полученная сумма ничего не выражает, так как в ней многократно повторяются одни и те же единицы совокупности.

Ряд, в котором уровни характеризуют результат, накопленный или вновь произведенный за определенный интервал времени, называется интервальным.

Пример. Интервальный ряд динамики, характеризующий динамику объема розничного товарооборота во всех каналах реализации в регионе, представлен в таблице 8.2.

Таблица 8.2.

Дата	2000	2001	2002	2003	2004
Товарооборот, млн. руб.	28,3	31,9	38,3	42,3	45,2

Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда вполне реальный показатель, например, общий объем розничного товарооборота за 2000-2004 г.г.

* В зависимости от расстояния между уровнями, ряды динамики подразделяются на ряды с равноотстоящими уровнями и неравноотстоящими уровнями во времени. Ряды динамики следующих друг за другом периодов или следующих через определенные промежутки дат называются равноотстоящими (табл. 8.1 и табл. 8.2). Если же в рядах даются прерывающиеся периоды или неравномерные промежутки между датами, то ряды называются не равноотстоящими (табл. 8.3).

Пример. Рядом динамики с не равноотстоящими уровнями во времени может служить объем экспорта продукции предприятия, представленный в таблице 8.3.

Таблица 8.3

Годы	1993	1996	1998	2000	2004
Объем экспорта, млн. долл.	1110	1220	1320	1450	1640

*По числу показателей можно выделить изолированные (одномерные) и комплексные (многомерные) ряды динамики. Если ведется анализ во времени одного показателя ряда, то ряд динамики изолированный (например, данные о производстве газа по годам). В многомерном ряду представлена динамика нескольких показателей, характеризующих одно явление.

8.2 Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики

Важнейшим условием правильного построения рядов динамики является сопоставимость всех входящих в него уровней. Данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета.

Рассмотрим основные причины несопоставимости уровней ряда динамики.

Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменения единиц измерения и единиц счета. Нельзя сравнивать и анализировать цифры о производстве тканей, если за одни годы оно дано в погонных метрах, а за другие - в квадратных метрах.

На сопоставимость уровней ряда динамики непосредственно влияет методология учета или расчета показателей. Например, если в одни годы среднюю урожайность считали с засеянной площади, а в другие - с убранной, то такие уровни будут несопоставимы.

В процессе развития во времени, прежде всего, происходят количественные изменения явлений, а затем на определенных ступенях совершаются качественные скачки, приводящие к изменению закономерностей явления. Поэтому научный подход к изучению рядов динамики заключается в том, чтобы ряды, охватывающие большие периоды времени, разделять на такие, которые бы объединяли лишь однокачественные периоды развития совокупности, характеризующейся одной закономерностью развития.

Процесс выделения однородных этапов развития рядов динамики носит название периодизации динамики. Вопрос о том, какие этапы развития прошло то или иное явление за определенный исторический отрезок времени, решается теорией той науки, к области которой относится изучаемая совокупность явлений.

Важно также, чтобы в ряду динамики интервалы или моменты, по которым определены уровни, имели одинаковый экономический смысл. Скажем, при изучении госта поголовья скота бессмысленно сравнивать цифры поголовья по состоянию на 1 октября с данными 1 января, так как первая цифра включает не только скот, оставшийся на зимовку, но и предназначенный к убою, а вторая цифра включает только скот, оставленный на зимовку.

Уровни ряда динамики могут оказаться несопоставимыми по кругу охватываемых объектов вследствие перехода ряда объектов из одного подчинения в другое.

Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменений территориальных границ областей, районов и так далее.

Следовательно, прежде чем анализировать динамический ряд, надо, исходя из цели исследования, убедиться в сопоставимости уровней ряда и, если последняя отсутствует, добиться ее дополнительными расчетами. Для того, чтобы привести уровни ряда динамики к сопоставимому виду, иногда приходится прибегать к приему, который носит название смыкание рядов динамики. Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых являются несопоставимыми. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах).

Пример. Предположим, что в N-ом регионе имеются данные об общем объеме оборота розничной торговли за 1999-2001 гг. в фактически действующих ценах, а за 2001-рЮ04 гг. - в сопоставимых ценах (табл. 8.4.).

Таблица 8.4. Динамика общего объема оборота розничной торговли

Годы	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Оборот розничной торговли, млрд. руб. (в фактически действующих ценах)	9,7	0	1,2	-	-	-
Оборот розничной торговли, млрд. руб. (в сопоставимых ценах)	-	-	22,8	4,6	5,2	6,1
Сомкнутый рад абсолютных величин (в сопоставимых ценах; млрд. руб.)	21,3	21,5	22,8	24.6	25,2	26,1
Сопоставимый ряд относительных величин (в % к 2001г.)	92,9	94,3	100	107,9	110,5	114,5

Решение. Чтобы проанализировать динамику общего объема розничной торговли за 1999-2004 гг., необходимо сомкнуть (объединить) приведенные выше два ряда в один. А чтобы уровни нового ряда были сопоставимы, необходимо пересчитать данные 1999-2001 гг. в сопоставимые цены. Для этого на основе данных об объеме розничной торговли за 2001 г. в фактических и сопоставимых ценах находим соотношение между ними: 22,8:21,2 = 1,08. Умножая на полученный коэффициент данные за 1999-2001 гг., приводим их, таким образом, к сопоставимому виду с последующими уровнями. Сомкнутый (сопоставимый) ряд динамики показан в предпоследней строке таблицы 8.4.

Другой способ смыкания рядов заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (в нашем примере - уровни 2001 г.), как до изменений, так и после изменений (для нашего примера - в фактических и сопоставимых ценах, т.е. 21,2 и 22,8) принимаются за 100%, а остальные пересчитываются в процентах по отношению к этим уровням соответственно (в нашем примере в фактических ценах - по отношению к 21,2, в сопоставимых ценах - к 22,8). В результате получаем сомкнутый ряд динамики, который показан в последней строке таблицы 8.4.

Та же проблема приведения к сопоставимому виду возникает и при параллельном анализе развития во времени экономических показателей отдельных стран, административных и территориальных районов. Это, во-первых, вопрос о сопоставимости цен сравниваемых стран, во-вторых, вопрос о сопоставимости методики расчета сравниваемых показателей. В таких случаях ряды динамики приводятся к одному основанию, то есть к одному и тому же периоду или моменту времени, уровень которого принимается за базу сравнения, а все остальные уровни выражаются в виде коэффициентов или в процентах по отношению к нему.

8.3 Аналитические показатели ряда динамики

На практике для количественной оценки динамики явлений широко применяется ряд основных аналитических показателей. К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста. При этом принято сравниваемый уровень называть отчетным, а уровень, с которым происходит сравнение - базисным.

Абсолютный прирост (?) характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста. В общем случае абсолютный прирост может быть представлен в виде:

?_i = y_i - y_i-k, (8.1.)

где y_i - текущий уровень ряда динамики; i = 2,3,..., n; k = l,2,...,n-l.

При k = 1 от текущего уровня y_i вычитается предыдущий уровень y_i-k, и получается формула для расчета цепного абсолютного прироста:

?_ц = y_i - y_i-1 (8.2.)

При k = i-1 из формулы (8.1) вытекает выражение для базисного абсолютного прироста, определяемого относительно начального уровня ряда:

?_б = y_i - y₁ (8.3.)

Для записи формулы базисного абсолютного прироста в более общем виде уровень y₁ в формуле (8.3) может быть заменен на уровень ряда динамики, принятый за базу сравнения - у₀ :

?_б = y_i - y₀ (8.4.)

Показатель интенсивности изменения уровня ряда - в зависимости от того, выражается ли он в виде коэффициента или в процентах, принято называть коэффициентом роста или темпом роста. Иными словами, коэффициент роста и темп роста представляют собой две формы выражения интенсивности изменения уровня. Разница между ними заключается только в единице измерения.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы).

Темпы роста характеризуют отношение двух сравниваемых уровней ряда в виде:

(8.5.)

где y_i -- текущий уровень ряда динамики; i = 2,3,... ,n; k = 1,2,... ,п-1.

Отметим, что индекс уровня y_i-k, находящийся в знаменателе, определяется так же, как и в случае абсолютного прироста. Следовательно, из выражения формулы (8.6) в зависимости от значений индекса к получаются формулы для расчета цепных и базисных темпов роста.

Цепной темп роста будет равен:

(8.6.)

Базисный темп роста может быть представлен в виде:

(8.7.)

где y₁ - уровень ряда динамики, принятый за базу сравнения.

Темп роста всегда число положительное. Если темп роста равен 100%, то значение уровня не изменилось, если больше 100%, то значение уровня повысилось, а если меньше 100% - понизилось.

Темп прироста характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Определенный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения. Темп прироста рассчитывается как отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения:

(8.8.)

где y_i -- текущий уровень ряда динамики; i = 2,3,...,n; k = 1,2,...,n-1.

Если темп роста всегда положительное число, то темп прироста может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

При k = 1 получаем цепной темп прироста:

(8.9.)

Преобразовав выражение формулы (8.9), можно показать зависимость цепного темпа прироста от соответствующего темпа роста:

(8.10.)

где Тр_ц - цепной темп роста.

Базисный темп прироста равен отношению базисного абсолютного прироста к уровню ряда, принятому за базу сравнения:

(8.11.)

По аналогии с формулой (8.11) получаем:

(8.12.)

где Тр_б - базисный темп роста.

Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же периоды времени показывает, что в реальных экономических процессах замедление темпов прироста не всегда сопровождается уменьшением абсолютных приростов. Поэтому на практике часто проводят сопоставление этих показателей. Для этого рассчитывают абсолютное значение одного процента прироста. Оно представляет собой одну сотую часть базисного уровня и в то же время - отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста:

(8.13.)

Таким образом, базисные показатели динамики характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда от периода, к которому относится базисный уровень, до данного (i-ro) периода. Цепные показатели динамики характеризуют интенсивность изменения уровня от периода к периоду (или от даты к дате) в пределах изучаемого промежутка времени.

Пример. По данным о числе проданных квартир в N-ом регионе рассчитаем аналитические показатели ряда динамики (табл. 8.5).

Таблица 8.5.

Годы	Число проданных квартир, тыс.ед.	Абсолютный прирост, тыс. ед.	Темп роста, %	Темп прироста, %	Абсолютное значение одного процента прироста, тыс.ед.
		по сравнению с предыдущем годом	по сравнению с 2000 г.	по сравнению с предыдущем годом	по сравнению с 2000 г.	по сравнению с предыдущем годом	по сравнению с 2000 г.
А	1	2	3	4	5	6	7	8
2000	108	…	-	…	100,0	...	-	...
2001	107	-1	-1	99,1	99,1	-0,9	-0,9	1,08
2002	110	+3	+2	102,8	101,9	+2,8	+1,9	1,07
2003	111	+1	+3	100,9	102,8	+0,9	+2,8	1,10
2004	112	+1	+4	100,9	103,7	+0,9	+3,7	1,11

Решение.

* Рассчитаем цепные и базисные абсолютные приросты (формулы 8.2 и 8.3):

Цепные:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Базисные:

и т.д. (см. табл. 8.5. гр.3)

* Рассчитаем цепные и базисные темпы приросты (формулы 8.6 и 8.7):

Цепные:

и т.д. (см. табл. 8.5. гр.4)

Базисные:

и т.д. (см. табл. 8.5 гр.5)

*Рассчитаем цепные и базисные темпы прироста (формулы 8.10 и 8.12):
Цепные:

и т.д. (см. табл. 8.5 гр.6)

Базисные:

и т.д. (см. табл. 8.5 гр.7)

*Рассчитаем абсолютное значение одного процента прироста (формула 8.13):

и т.д. (см. табл. 8.5 гр.8)

8.4 Средние показатели в рядах динамики и методы их исчисления

Каждый ряд динамики можно рассматривать как некую совокупность m меняющихся во времени показателей, которые можно обобщать в виде средних величин. Для обобщения данных по рядам динамики рассчитываются: средний уровень ряда; средний абсолютный прирост; средний темп роста и прироста.

Средний уровень ряда динамики (уЇ) рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Такие средние обобщают хронологическую вариацию. В хронологической средней отражается совокупность тех условий, в которых развивалось изучаемое явление в данном промежутке времени.

Средний уровень ряда определяется по-разному для моментных и интервальных рядов.

* Для интервальных равноотстоящих рядов средней уровень находится по формуле простой средней арифметической:

(8.14.)

где n - число уровней или длина ряда.

* Для интервальных неравноотстоящих рядов средний уровень находится по формуле взвешенной средней арифметической:

(8.15.)

где t_i -- продолжительность интервалов времени между уровнями (число периодов времени, при которых значение уровня не изменяется).

Пример. В таблице 8.7. приведен интервальный ряд динамики с равноотстоящими уровнями. По этим данным можно рассчитать среднегодовой уровень числа проданных квартир за 2000-2004 гг. Он будет равен 347 тыс.ед. (уЇ = 1735/5), то есть в среднем ежегодно число проданных квартир в регионе за 2000-2004 гг. составило полученное значение.

* Средний уровень моментного равноотстоящего ряда динамики находится по формуле средней хронологической простой:

(8.16.)

* Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической взвешенной:

(8.17.)

где t - продолжительность интервала времени между соседними уровнями.

Пример. Покажем расчет среднего уровня моментного ряда динамики с равноотстоящими уровнями по данным о численности работников фирмы на 1-е число каждого месяца 2004 г. (чел.):

1/I1/II1/III1/IV

347350349351

Среднемесячная численность работников фирмы за 1 квартал (по формуле 8.16) составит:

Пример. Известна списочная численность рабочих организаций на некоторые даты 2004 г. (чел.)- Ряд динамики имеет не равноотстоящие уровни во времени:

1/I 1/III 1/VI 1/IX 1/I-1995

530 570 520 430 550

Среднегодовая численность работников за 1994 г. (по формуле 8.17) составит:

Обобщающим показателем абсолютной скорости изменения явления во времени является средний абсолютный прирост за весь период, ограничивающий ряд динамики. Скоростью в данном случае будем называть прирост (уменьшение) в единицу времени. Для его определения используется формула средней арифметической простой:

(8.18.)

Подставив в числитель выражение для цепных абсолютных приростов, получим более удобную форму записи для среднего абсолютного прироста:

(8.19.)

где у_n и y₁ - соответственно конечный и начальный уровни ряда динамики.

Пример. По данным таблицы 8.7 определим средний абсолютный прирост числа проданных квартир за период 2000-2004 гг. Он будет равен 1,0 тыс.ед. [(112-108): 4].

Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста. Он показывает, сколько в среднем процентов последующий уровень составляет от предыдущего в течение всего периода наблюдения.

Средний темп (коэффициент) роста рассчитывается по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:

(8.20.)

Выразив цепные коэффициенты (темпы) роста через соответствующие уровни ряда, получим:

(8.21.)

Пример. По данным таблицы 8.7 рассчитаем средний темп роста числа проданных квартир за период 2000-2004 гг. по формуле 8.21:

или по формуле:

Когда приходится производить расчет средних темпов роста по периодам различной продолжительности (не равноотстоящие уровни), то используют среднюю геометрическую, взвешенную по продолжительности периодов. Формула средней геометрической взвешенной будет иметь вид:

(8.22.)

где t - интервал времени, в течение которого сохраняется данный темп роста.

Средний темп прироста не может быть определен непосредственно на основании последовательных темпов прироста или показателей среднего абсолютного прироста. Для его вычисления необходимо сначала найти средний темп роста, а затем его уменьшить на единицу или на 100%:

(8.23.)

Пример. По данным таблицы 8.7 был рассчитан средний темп роста числа проданных квартир за 2000-2004 гг. равный 100,9%, отсюда средний темп прироста будет равен:

8.5 Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики.

Под основной тенденцией развития ряда динамики понимают изменение, определяющее общее направление развития. Это -- систематическая составляющая долговременного действия. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике рассматриваемого показателя, в других случаях она может не просматриваться из-за ощутимых случайных колебаний. Например, в отдельные моменты времени сильные колебания розничных цен могут заслонить наличие тенденции к росту или снижению этого показателя. Поэтому для выявления основной тенденции развития в статистике применяются 2 группы методов:

* сглаживание или механическое выравнивание отдельных уровней ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

* выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отражала тенденцию, присущую ряду и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

Рассмотрим методы каждой группы.

Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни. Например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд помесячной динамики, ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями. Уровни нового ряда могут быть получены путем суммирования уровней исходного ряда, либо могут представлять средние уровни.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание ряда динамики. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчете средних уровней они как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя.

Каждое звено скользящей средней - это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода, если число уровней ряда динамики нечетное.

Нахождение скользящей средней по четному числу членов рядов динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимся в середине интервала сглаживания. Например, средняя, найденная для четырех уровней, относится к середине между вторым и третьим, третьим и четвертым уровнями и так далее. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим, суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних.

Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического выравнивания для анализа основной тенденции.

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени - у = f(t).

При таком подходе изменение явления связывают лишь с течением времени, считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени. Правильно построенная модель должна соответствовать характеру изменения тенденции исследуемого явления. Выбранная функция позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней ряда динамики.

Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.

Полиномы имеют следующий вид:

полином первой степени yЇ_t=a₀+a₁t

полином второй степени

yЇ_t =a₀+a₁t + a₂t²(8.24.)

полином третьей степени yЇ_t =a₀ +a₁t + a₂t² +a₃t³

полином n-ой степени yЇ_t =a₀ +a₁t + a₂t²+...+a_ntⁿ

Здесь а₀; a₁; а₂; ... а_n - параметры полиномов, t - условное обозначение времени. В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, например, параметр а₀ характеризует средние условия развития ряда динамики, параметр a₁ - скорость роста, параметр а₂ - ускорение роста, параметр а_n - изменение ускорения.

Оценка параметров в моделях (8.24) находится методом наименьших квадратов. Как известно, суть его состоит в определении таких параметров (коэффициентов), при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной. Таким образом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения:

(8.25.)

где y_t - фактическое значение уровня ряда динамики; y_t - расчетное значение; п - длина ряда динамики.

В результате минимизации выражения (8.25) получается система нормальных уравнений:

(8.26.)

где n - число членов в ряду динамики, t=l,2,...,n

Система 8.26, состоящая из «р» уравнений, содержит в качестве известных величин ?y, ?yt,…,?yt^p, то есть суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда, умноженные на показатели времени в степени 1,2,...,р и неизвестных величин a_j. Решение этой системы относительно а₀, ai,...,a_p и дает искомые значения параметров.

Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще. Обозначим последовательные параметры полиномов как а₀, a₁, a₂. Тогда системы нормальных уравнений для оценивания параметров прямой yЇ_t = а₀ + a₁t примет вид:

(8.27.)

для параболы второго порядка (y_t=a₀+a₁t+a₂t²):

(8.28.)

Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величины Yt, yt² и т.д. не зависят от конкретных уровней ряда. Эти суммы являются функциями только числа членов в динамическом ряду. Для них получены следующие формулы:

(суммирование по t = 1+п).

Другой подход к упрощению расчетов заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, а так же уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до переноса начала координат t было равно 1,2,3,...,n, то после переноса:

для нечетного числа уровней ряда t =...;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; ...

для четного числа уровней ряда t =...;-5;-3;-1; 1; 3; 5; ...

Следовательно, ?t и все ?t^p, у которых «р» - нечетное число, равны 0. Таким образом, все члены уравнений, содержащие St с такими степенями, могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:

(8.29.)

для параболы второго порядка:

(8.30.)

Решая системы (8.29) и (8.30), получим величины параметров соответствующих полиномов.

При сглаживании ряда динамики по показательной кривой (y_t=a₀a₁^t) для определения параметров применяется также метод наименьших квадратов, но только к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров показательной функции необходимо решить следующую систему уравнений:

(8.31.)

Если ?t=0, то параметры уравнения lg а₀ и lg a₁ находим по формулам:

Пример. Необходимо определить основную тенденцию ряда динамики числа проданных квартир в N-ом регионе за 2000-2004 гг.

Таблица 8.6. Таблица исходных и расчетных данных

Годы	Число проданных квартир, тыс.ед.	t	t2	yt	yЇt
А	1	2	3	4	5
2000 2001 2002 2003 2004	108 107 ПО HI 112	-2 -1 0 +1 +2	4 1 0 1 4	-216 -107 0 +111 +224	107,2 108,4 109,6 110,8 112,0
Итого	548	0	10	+12	548,0

Первые две графы - ряд динамики, подвергаемый выравниванию, дополняются графой 2, в которой показана система отсчета времени «t». Причем эта система выбирается таким образом, чтобы Yt = 0. В качестве функции выравнивания выбрано уравнение прямой линии: yЇ_t = а₀ + a_tt, параметры данного уравнения находим по упрощенным формулам:

Затем в графах 3 и 4 проводим необходимые расчеты и находим: Уу = 548; Yyt = 12; yt² = 10. Отсюда:

Уравнение прямой будет иметь вид: y_t = 109,6 + 1,21.

На основе этого уравнения находятся выровненные годовые уровни путем подстановки в него соответствующих значений «t» (графа 5 таблицы 8.6).

Полученное уравнение показывает, что численность проданных квартир в регионе растет в среднем на 1,2 тысяч единиц в год. Таким образом, величина параметра a_i в уравнении прямой показывает среднюю величину абсолютного прироста выровненного ряда динамики.

Сумма уровней эмпирического ряда (?y_i) полностью совпала с суммой расчетных значений выровненного ряда (?yЇ_e).

8.6 Методы выявления сезонной компоненты

При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонных колебаний» или «сезонных волн», а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным, или просто сезонным рядом динамики.

Сезонные колебания характеризуются специальным показателями, которые называются индексами сезонности (I_s). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам или кварталам. Данные за несколько лет (обычно не менее трех) берутся для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года.

Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по фактическим данным без их предварительного выравнивания.

Для каждого месяца определяется средняя величина уровня, например, за три года (у_Їi), затем из них рассчитывается среднемесячный уровень для всего ряда (уЇ) и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, то есть:

(8.32.)

Пример. За 2002-2004 гг. по месяцам имеются данные о числе зарегистрированных браков населением N-ro города. Рассчитать индексы сезонности методом постоянной средней (табл. 8.8).

Рассчитанные индексы сезонности характеризуют сезонную волну числа зарегистрированных браков населения во внутригодовой динамике, где пик регистрации приходится на январь месяц.

Таблица 8.7. Динамика зарегистрированных браков населения N-гo города за 2002-2004 гг.

Месяцы	Зарегистрировано браков, шт.	Индекс Сезонности %
	2002	2003	2004	В среднем за три года
январь	190	155	145	163,3	120,7
февраль	165	140	135	146,7	108,4
март	150	153	135	146,0	107,9
апрель	135	140	146	140,3	103,0
май	135	136	131	134,0	99,0
июнь	123	130	136	129,7	95,9
июль	125	128	125	126,0	93,1
август	120	125	124	123,0	90,9
сентябрь	118	118	120	118,7	87,7
октябрь	126	130	128	128,0	94,6
ноябрь	130	131	135	132,0	97,6
декабрь	138	131	139	136,0	100,5
Средний уровень ряда	137,9	134,8	133,3	135,3	100,0

Если же ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии, то прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики.

При использовании способа аналитического выравнивания ход вычислений индексов сезонности следующий:

по соответствующему полиному вычисляются для каждого месяца (квартала) выровненные уровни на момент времени (t);

вычисляются отношения фактических месячных (квартальных) данных (y_i) к соответствующим выровненным данным (уЇ _t) в процентах

-находятся средние арифметические из процентных отношений, рассчитанных по одноименным периодам I_i=(I_i+I₂+I₃+…+In):n, где n - число одноименных периодов.

В общем виде формулу расчета индекса сезонности данным способом можно записать так:

(8.33.)

Расчет заканчивается проверкой правильности вычислений индексов, так как средний ...