Экономический анализ ОАО "Сибирьсетьремонт"

Факторы интенсивного развития производства можно подразделить на две большие группы. Факторы первого рода связаны с мобилизацией имеющихся резервов и, как правило, не требуют значительных капитальных вложений. Факторы второго рода связаны с перестройкой деятельности хозяйствующих субъектов на базе использования достижений научно - технического прогресса и новейших управленческих и финансовых технологий. Именно вторая группа факторов является сердцевиной интенсификации деятельности хозяйствующих субъектов и повышения ее результативности.

Наиболее распространенным видом анализа в хозяйственной практике является детерминированный факторный анализ, т.е. анализ зависимостей между показателями с помощью жестко детерминированных факторных моделей. экономический финансовое платежеспособность корреляционный

Основным результатом детерминированного факторного анализа является разложение прироста результативного показателя, обусловленного совместным влиянием или изменением факторных признаков, на сумму частных приростов результативного показателя, любой из которых обусловлен изменением только одного фактора.

Жестко детерминированный факторный анализ в анализе финансово-хозяйственной деятельности используется для решения нескольких типовых задач. Приемы решения этих задач разработаны достаточно давно и имеют стандартную форму. Рассмотрим типовые задачи факторного анализа и способы их решения.

1.5 Информационная база анализа

Приступая к проведению анализа финансово-хозяйственной деятельности, рекомендуется прежде всего определить конкретные цели проведения каждой из процедур. Цели определяются аналитиками с учетом интересов пользователей информации, которая будет получена по результатам анализа. Всех аналитиков и пользователей можно условно разделить на две группы: внешних и внутренних. Интересы их различны, а часто и противоположны. Основной принцип, в соответствии с которым отдельные категории аналитиков и пользователей относят к той или иной группе, - это доступ к информационным потокам предприятия.

Внутренние пользователи, проводя анализ или контролируя его проведение, могут (в меру своей компетентности, разумеется) получать любую информацию, касающуюся текущей деятельности и перспектив предприятия. Внешним пользователям приходится довольствоваться лишь сведениями из официальных источников (прежде всего из бухгалтерской отчетности) и строить свои выводы на информации, которую сочли возможным опубликовать внутренние пользователи.

Глубина, достоверность и объективность аналитических выводов обеспечивается аналитической обработкой разнообразных источников информации.

Наибольшую роль в обеспечении анализа финансово-хозяйственной деятельности играют внутренние источники информации:

Бухгалтерская отчетность должна содержать следующие основные формы: "Бухгалтерский баланс" - форма №1, "Отчет о прибылях и убытках" - форма №2, "Отчет об изменениях капитала" - форма №3, "Отчет о движении денежных средств" - форма №4, "Приложение к бухгалтерскому балансу" - форма №5.

Статистическая отчетность должна быть представлена следующими формами федерального государственного статистического наблюдения: "Сведения о производстве и отгрузке товаров и услуг" -- форма № П-1, "Сведения oб инвестициях" - форма № П-2, "Сведения о финансовом состоянии организации" - форма № П-3, "Сведения о численности, заработной плате и движении работников" форма № П-4, "Сведения о численности и заработной плате работников по видам деятельности" - форма № 1-т, "Сведения о затратах на производство и продажу продукции (товаров, работ, услуг)" - форма № 5-з, "Сведения о наличии и движении основных фондов (средств) и других нефинансовых активов" - форма № 11.

Основным источником информации о финансовой деятельности предприятия является бухгалтерская отчетность. Анализ бухгалтерской отчетности - это процесс, при помощи которого оценивается прошлое и текущее финансовое положение предприятия. Однако при этом главной целью является оценка финансово-хозяйственной деятельности предприятия относительно будущих периодов.

Стратегия управления заключается в выборе и обосновании политики привлечения и эффективного размещения ресурсов (в том числе финансовых средств) коммерческой организации, тактика управления - в конкретизации поставленных целей в виде системы планов и их ресурсного обеспечения по различным параметрам (временному, материально-техническому, информационному, кадровому и т.д.). В зависимости от горизонта планирования состав и структура используемых или планируемых к использованию ресурсов существенно различаются. Так, если весь объем ресурсов на каждом уровне управления (стратегический, тактический, оперативный) условно принять за единицу, то на стратегическом уровне (t > 1 года) большая доля будет приходиться на финансовые ресурсы; напротив, на оперативном уровне (определяется продолжительностью технологии производственного процесса и учетного цикла) большая доля будет приходиться на материальные и трудовые ресурсы.

Отсюда можно сделать два основных вывода. Во-первых, в той или иной степени роль анализа и прогнозирования важна на всех уровнях управления (стратегический, тактический, оперативный), однако особое значение она приобретает в плане стратегии развития предприятия. Во-вторых, анализ представляет собой ведущее связующее звено между учетом и принятием управленческих решений, поэтому является основным компонентом обеспечения бескризисного развития хозяйствующего субъекта.

Анализ финансово-хозяйственной деятельности предприятия может быть более или менее развернутым, углубленным или, наоборот, экспресс-анализом. Анализу может подвергаться какое-то одно направление деятельности (например, анализ размещения и особенностей функционирования сбытовой сети или анализ денежных и иных расчетов предприятия) - в этом случае анализ будет тематическим. Если же в сферу интересов аналитической группы входит все предприятие как комплекс, тогда такой анализ следует называть комплексным.

В ряде случаев анализируются специальные аспекты деятельности предприятий, и тогда терминология, касающаяся видов анализа, отражает природу анализируемых аспектов: инвестиционный анализ подразумевает разработку и оценку инвестиционных программ предприятия, в рамках маркетингового анализа проводится изучение рынков сбыта производимой продукции и т.д.

Завершающим этапом экономического анализа деятельности хозяйствующего субъекта является обобщающая оценка производственного и экономического потенциала, а также результативности его финансово-хозяйственной деятельности. Необходимость проведения этого анализа вытекает из того, что с помощью локального изучения каждого из показателей или групп показателей можно исследовать лишь отдельные стороны работы предприятия и нельзя сделать обобщающую характеристику его нынешнего положения и результатов работы в истекшем периоде. Это обусловливает то, что объективную оценку можно сделать лишь путем комплексного рассмотрения системы экономических показателей деятельности.

Важнейшими задачами комплексного анализа состояния и результативности работы предприятия являются:

· оценка производственного и экономического потенциала предприятия;

· определение динамики важнейших экономических показателей в сравнении с предыдущим периодом;

· оценка степени выполнения бизнес-плана за истекший год;

· обобщение резервов укрепления производственно-экономического потенциала, развития бизнеса и повышения результативности финансово-хозяйственной деятельности.

Для оценки деятельности предприятия используются: протоколы решений наблюдательных и исполнительных органов управления предприятия, материалы, полученные при проведении анализа всех ранее рассмотренных направлений анализа, данные годового отчета и пояснительной записки к нему, заключение внешних аудиторов.

2. Теоретические аспекты использования экономико-математического моделирования

2.1 Сущность, содержание экономико-математического моделирования

Термин экономико-математическое моделирование нужно понимать как обобщающее название комплекса экономических и математических научных дисциплин, объединенных для изучения социально-экономических систем и процессов.

Рассмотрим следующую ситуацию. Допустим, мы хотим продать автомобиль и решили дать объявление о продаже в газете "Из рук в руки". Естественно, перед нами встает вопрос: какую цену указать в объявлении?

Очевидно, мы будем руководствоваться информацией о цене, которую выставляют другие продавцы подобных автомобилей. Что значит "подобные автомобили"? - Очевидно, это автомобили, обладающие близкими значениями таких факторов, как год выпуска, пробег, мощность двигателя. Проглядев колонку объявлений, мы формируем свое мнение о рынке интересующего нас товара и, возможно, после некоторого размышления, назначаем цену.

На этом простейшем примере на самом деле можно проследить основные моменты эконометрического моделирования. Рассмотрим наши действия более формализовано.

Мы поставили задачу определить цену - величину, формируемую под воздействием некоторых факторов (года выпуска, пробега и т. д.). Такие зависимые величины обычно называются зависимыми (объясняемыми) переменными, а факторы, от которых они зависят, - объясняющими.

Формируя общее мнение о состоянии рынка, мы обращаемся к интересующему нас объекту и получаем ожидаемое значение зависимой переменной при заданных значениях объясняющих переменных.

Указанная конкретная цена - наблюдаемое значение зависимой переменной зависит также и от случайных явлений - таких, например, как характер продавца, его потребность в конкретной денежной сумме, возможные сроки продажи автомобиля и др.

Продавец-одиночка вряд ли будет строить какую-либо математическую модель, но менеджер крупного салона, специализирующегося на торговле автомобилями на вторичном рынке, скорее всего, захочет иметь более точное представление об ожидаемой цене и о возможном поведении случайной составляющей. Следующий шаг и есть эконометрическое моделирование.

Общим моментом для любой эконометрической модели является разбиение зависимой переменной на две части - объясненную и случайную.

Сформулируем задачу моделирования самым общим, неформальным образом: на основании экспериментальных данных определить объясненную часть и, рассматривая случайную составляющую как случайную величину, получить (возможно, после некоторых предположений) оценки параметров ее распределения.

Таким образом, эконометрическая модель имеет следующий вид:

Наблюдаемое значение зависимой = переменной	Объясненная часть, зависящая от значений объясняющих + переменных	Случайная составляющая
Y =	f(X) +	е (2.1)

Остановимся теперь на целях моделирования. Предположим, получено следующее выражение для объясненной части переменной Y - цены автомобиля:

y= l 8000-1000*1-0,5x₂, (2.2)

где y - ожидаемая цена автомобиля (в условных денежных единицах);

Х ₁ - срок эксплуатации автомобиля (в годах);

X₂-пробег (в тыс. км).

Каково практическое применение полученного результата? Очевидно, во-первых, он позволяет понять: как именно формируется рассматриваемая экономическая переменная - цена на автомобиль. Во-вторых, он дает возможность выявить влияние каждой из объясняющих переменных на цену автомобиля (так, в данном случае цена нового автомобиля (при Х ₁₌0, Х ₂=0) 18000 у.е., при этом только за счет увеличения срока эксплуатации на 1 год цена автомобиля уменьшается в среднем на 1000 у.е., а только за счет увеличения пробега на 1 тыс. км - на 0,5 у.е.). В-третьих, что, пожалуй, наиболее важно, этот результат позволяет прогнозировать цену на автомобиль, если известны его основные параметры. Теперь менеджеру не составит большого труда определить ожидаемую цену вновь поступившего для продажи автомобиля, даже если его год выпуска и пробег не встречались ранее в данном салоне.

Основные математические предпосылки эконометрического моделирования.

Пусть имеется р объясняющих переменных Х ₁,..., Х_р и зависимая переменная Y. Переменная Y является случайной величиной, имеющей при заданных значениях факторов некоторое распределение. Если случайная величина Y непрерывна, то можно считать, что ее распределение при каждом допустимом наборе значений факторов (Х ₁, Х ₂,..., Х_р) имеет условную плотность .

Обычно делается некоторое предположение относительно распределения Y. Чаще всего предполагается, что условные распределения Y при каждом допустимом значении факторов - нормальные. Подобное предположение позволяет получить значительно более "продвинутые" результаты. Впрочем, заметим здесь же, что порой предположение о нормальности условных распределений Y приходится отвергнуть.

Объясняющие переменные Xj(j = 1,..., р) могут считаться как случайными, так и детерминированными, т. е. принимающими определенные значения. Проиллюстрируем этот тезис на уже рассмотренном примере продажи автомобилей. Мы можем заранее определить для себя параметры автомобиля и искать объявления о продаже автомобиля с такими параметрами. В этом случае неуправляемой, случайной величиной остается только зависимая переменная - цена. Но мы можем также случайным образом выбирать объявления о продаже, в этом случае параметры автомобиля - объясняющие переменные - также оказываются случайными величинами.

Классическая эконометрическая модель рассматривает объясняющие переменные Xj как детерминированные, однако, как мы увидим в дальнейшем, основные результаты статистического исследования модели остаются в значительной степени теми же, что и в случае, если считать Xj случайными переменными.

Объясненная часть - обозначим ее Y_e - в любом случае представляет собой функцию от значений факторов - объясняющих переменных: Y_e=f(X₁,.., Х_р).

Таким образом, эконометрическая модель имеет вид

Y = f(X₁,..,X_p) + e.

Наиболее естественным выбором объясненной части случайной величины Y является ее среднее значение - условное математическое ожидание , полученное при данном наборе значений объясняющих переменных (Х ₁, Х ₂,..., Х_р).

На самом деле, по своему смыслу объясненная часть - это ожидаемое значение зависимой переменной при заданных значениях объясняющих.

Уравнение М_х (Y) = f(x₁,.., x_p) называется уравнением регрессии. При таком естественном выборе объясненной части эконометрическая модель имеет вид:

Y=M_x(Y) + е, (2.3)

где е - случайная величина, называемая возмущением или ошибкой.

Сразу же отметим, что эконометрическая модель не обязательно является регрессионной, т.е. объясненная часть не всегда представляет собой условное математическое ожидание зависимой переменной.

Рассмотрим, например, следующую задачу: определить зависимость затрат Y на какой-либо товар от дохода X. Допустим, имеются данные опроса ста человек и сто пар чисел (x₁,у ₁),..., (x₁₀₀,у ₁₀₀)- Анализируя эти данные, мы получаем (отложим пока вопрос - каким образом) зависимость Y_e = f(X).

Однако может оказаться, что данные о доходе, полученные в результате опроса, на самом деле являются искаженными, - например, в среднем заниженными, т.е. объясняющие переменные измеряются с систематическими ошибками. В этом случае люди, действительно обладающие доходом X, будут на самом деле тратить на исследуемый товар в среднем величину, меньшую, чем f(X), т.е. в рассмотренном примере объясненная часть не есть условное математическое ожидание зависимой переменной.

Систематические ошибки измерения объясняющих переменных - одна из возможных причин того, что эконометрическая модель не является регрессионной. В экономических исследованиях подобная ситуация встречается достаточно часто. Одним из возможных путей устранения этого, как правило, довольно неприятного обстоятельства, является выбор других объясняющих переменных.

С математической точки зрения регрессионные модели оказываются существенно более простым объектом, чем эконометрическая модель общего типа. Отметим здесь некоторые свойства регрессионной модели.

Рассмотрим равенство

Y= M_X(Y) + е

и возьмем от обеих частей математическое ожидание при заданном наборе значений объясняющих переменных X. В этом случае М_х (Y) есть числовая величина, равная своему математическому ожиданию, и мы получаем равенство М_х (е) = 0 (2.4), (а значит, и М (е) = 0), т.е. в регрессионной модели ожидаемое значение случайной ошибки равно нулю. Можно показать, что отсюда следует (если объясняющие переменные рассматриваются как случайные величины) некоррелированность случайных ошибок и объясняющих переменных X. Это обстоятельство оказывается наиболее существенным условием состоятельности получаемых количественных результатов анализа эконометрической модели.

Чтобы получить достаточно достоверные и информативные данные о распределении какой-либо случайной величины, необходимо иметь выборку ее наблюдений достаточно большого объема. Выборка наблюдений зависимой переменной Y и объясняющих переменных Xj (j = 1,..., р) является отправной точкой любого эконометрического исследования.

Такие выборки представляют собой наборы значений (х_i1,..., х_ip, y_i), где i = 1,…,n; p - количество объясняющих переменных, п - число наблюдений.

Как правило, число наблюдений п достаточно велико (десятки, сотни) и значительно превышает число р объясняющих переменных. Проблема, однако, заключается в том, что наблюдения y_i, рассматриваемые в разных выборках как случайные величины Y_i и получаемые при различных наборах значений, объясняющих переменных X_j, имеют, вообще говоря, различное распределение. А это означает, что для каждой случайной величины Y_i мы имеем всего лишь одно наблюдение. Разумеется, на основании одного наблюдения никакого адекватного вывода о распределении случайной величины сделать нельзя, и нужны дополнительные предположения.

В классическом курсе эконометрики рассматривается два типа выборочных данных.

Пространственная выборка или пространственные данные (cross-sectional data). В экономике под пространственной выборкой понимают набор показателей экономических переменных, полученный в данный момент времени. Для эконометриста, однако, такое определение не очень удобно - из-за неоднозначности понятия "момент времени". Это может быть и день, и неделя, и год. Очевидно, о пространственной выборке имеет смысл говорить в том случае, если все наблюдения получены примерно в неизменных условиях, т. е. представляют собой набор независимых выборочных данных из некоторой генеральной совокупности.

Таким образом, мы будем называть пространственной выборкой серию из я независимых наблюдений (р+l)-мерной случайной величины (Х ₁,..,Х_р;Y). (При этом в дальнейшем можно не рассматривать X_j как случайные величины.) В этом случае различные случайные величины Y_i оказываются между собой независимыми, что влечет за собой некоррелированность их возмущений, т. е. r(е_i, е_j) = 0 при I = j, (2.5), где r(е_i, е_j) - коэффициент корреляции между возмущениями е_i и е_j. Условие (2.5) существенно упрощает модель и ее статистический анализ.

Как определить, является ли выборка серией независимых наблюдений? На этот вопрос нет однозначного ответа. Формальное определение независимости случайных величин, как правило, оказывается реально непроверяемым. Обычно за независимые принимаются величины, не связанные причинно. Однако на практике далеко не всегда вопрос о независимости оказывается бесспорным.

Вернемся к примеру о продаже машины. Пусть Y - цена машины, X -год выпуска, а (х ₁, у ₁),…, (х_п, у_п) - серия данных, полученная из газеты "Из рук в руки". Можно ли считать эти наблюдения независимыми?

Различные продавцы не знакомы между собой, они дают свои объявления независимо друг от друга, так что предположение о независимости наблюдений выглядит вполне разумно. С другой стороны, человек, назначающий цену за свой автомобиль, руководствуется ценами предыдущих объявлений, так что и возражение против независимости наблюдений также имеет право на существование.

Из этого можно сделать вывод, что решение о пространственном характере выборки в известной степени субъективно и связано с условиями используемой модели. Впрочем, то же самое можно сказать о многих предположениях, которые делаются в математической статистике и особенно ее приложениях.

Итак, эконометрическая модель, построенная на основе пространственной выборки экспериментальных данных (х_i, у_i), имеет вид:

у_i = f(х_i) + е_j, i = 1,..., п, (2.6)

где ошибки регрессии удовлетворяют условиям: М (е _i) = 0, (2.7), r(е_i, е_j) = 0, (2.8).

D(е _i) = , (2.9)

Что касается условия (2.9), то здесь возможны два случая:

а) = при всех i и j. Свойство постоянства дисперсий ошибок регрессии называется гомоскедастичностъю. В этом случае распределения случайных величин Y_j отличаются только значением математического ожидания (объясненной части);

б) ? . В этом случае имеет место гетероскедастичностъ модели. Гетероскедастичность "портит" многие результаты статистического анализа и, как правило, требует устранения.

Как определить, является ли изучаемая модель гомо- или гетероскедастичной? - В некоторых случаях это достаточно очевидно. Например, цена автомобиля, которому пятнадцать лет, вряд ли может подняться выше 2000 у.е., так что стандартная ошибка цены в этом случае вряд ли может быть больше, чем 300-400 у.е. Между тем автомобиль, которому два года, может стоить и 7000, и 17 000 у.е., т.е. стандартная ошибка заведомо не меньше 1500-2000 у.е.

Однако во многих случаях гетероскедастичностъ модели далеко не столь очевидна, и требуется применение методов математической статистики для принятия решения о том, какой тип модели будет рассматриваться.

Временным (динамическим) рядом называется выборка наблюдений, в которой важны не только сами наблюдаемые значения случайных величин, но и порядок их следования друг за другом. Чаще всего упорядоченность обусловлена тем, что экспериментальные данные представляют собой серию наблюдений одной и той же случайной величины в последовательные моменты времени. В этом случае динамический ряд называется временным рядом. При этом предполагается, что тип распределения наблюдаемой случайной величины остается одним и тем же (например, нормальным), но параметры его меняются в зависимости от времени.

Модели временных рядов, как правило, оказываются сложнее моделей пространственной выборки, так как наблюдения в случае временного ряда вообще говоря не являются независимыми, а это значит, что ошибки регрессии могут коррелировать друг с другом.

Следует особенно отметить, что имея только ряд наблюдений без понимания их природы, невозможно определить, имеем мы дело с пространственной выборкой или временным рядом. Пусть, например, имеется 500 пар чисел (х ₁, у ₁),…., (х ₅₀₀, у ₅₀₀), где Y - цена автомобиля, а X - год выпуска. Данные взяты из газеты "Из рук в руки". Возможны следующие варианты:

- п газет было упорядочено по дате их выпуска, и из каждой газеты было выбрано (случайным образом) по одному объявлению. - В этом случае мы, очевидно, можем считать, что имеем дело с временным рядом;

- газеты были произвольным образом перемешаны, и невзирая на дату выпуска случайным образом было отобрано п объявлений. - В этом случае мы, скорее всего, можем считать, что наша выборка - пространственная.

При этом, вообще говоря, возможно, что в обоих случаях мы получим один и тот же набор числовых данных. Более того, теоретически возможно даже и то, что они окажутся в той же последовательности! Однако во втором случае мы должны постулировать некоррелированность ошибок регрессии.

Можно выделить шесть основных этапов эконометрического моделирования: постановочный, априорный, этап параметризации, информационный, этапы идентификации и верификации модели.

Остановимся подробнее на каждом из этих этапов и рассмотрим проблемы, связанные с их реализацией.

1-й этап (постановочный). Формируется цель исследования, набор участвующих в модели экономических переменных. " В качестве цели эконометрического моделирования обычно рассматривают анализ исследуемого экономического объекта (процесса); прогноз его экономических показателей, имитацию развития объекта при различных значениях экзогенных переменных (отражая их случайный характер, изменение во времени), выработку управленческих решений.

При выборе экономических переменных необходимо теоретическое обоснование каждой переменной (при этом рекомендуется, чтобы число их было не очень большим и, как минимум, в несколько раз меньше числа наблюдений). Объясняющие переменные не должны быть связаны функциональной или тесной корреляционной зависимостью, так как это может привести к невозможности оценки параметров модели или к получению неустойчивых, не имеющим реального смысла оценок, т. е. к явлению мультиколлинеарности.

Забегая вперед, отметим, что для отбора переменных могут быть использованы различные методы, в частности процедуры пошагового отбора переменных. А для оценки влияния качественных признаков (например, пол, образование и т. п.) могут быть использованы фиктивные переменные. Но в любом случае определяющим при включении в модель тех или иных переменных является экономический (качественный) анализ исследуемого объекта.

2-й этап (априорный). Проводится анализ сущности изучаемого объекта, формирование и формализация априорной (известной до начала моделирования) информации.

3-й этап (параметризация). Осуществляется непосредственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, выявление входящих в нее связей.

Основная задача, решаемая на этом этапе, - выбор вида функции f(X) в эконометрической модели, в частности, возможность использования линейной модели как наиболее простой и надежной. Весьма важной проблемой на этом (и предыдущих) этапе эконометрического моделирования является проблема спецификации модели, в частности: выражение в математической форме обнаруженных связей и соотношений; установление состава экзогенных и эндогенных переменных, в том числе лаговых; формулировка исходных предпосылок и ограничений модели. От того, насколько удачно решена проблема спецификации модели, в значительной степени зависит успех всего эконометрического моделирования.

4-й этап (информационный). Осуществляется сбор необходимой статистической информации - наблюдаемых значений экономических переменных (х_i1, х_i2,… х_ip; у_i1, у_i2,…,у_iq), i = 1,…, п (2.10).

Здесь могут быть наблюдения, полученные как с участием исследователя, так и без его участия (в условиях активного или пассивного эксперимента).

5-й этап (идентификация модели). Осуществляется статистический анализ модели и оценка ее параметров. Реализации этого этапа посвящена основная часть учебника.

С проблемой идентификации модели не следует путать проблему ее идентифицируемости, т. е. проблему возможности получения однозначно определенных параметров модели, заданной системой одновременных уравнений (точнее, параметров структурной формы модели, раскрывающей механизм формирования значений эндогенных переменных, по параметрам приведенной формы модели, в которой эндогенные переменные непосредственно выражаются через предопределенные переменные).

6-й этап (верификация модели). Проводится проверка истинности, адекватности модели. Выясняется, насколько удачно решены проблемы спецификации, идентификации и идентифицируемости модели, какова точность расчетов по данной модели, в конечном счете, насколько соответствует построенная модель моделируемому реальному экономическому объекту или процессу. Обсуждение указанных вопросов проводится в большинстве глав настоящего учебника.

Следует заметить, что если имеются статистические данные, характеризующие моделируемый экономический объект в данный и предшествующие моменты времени, то для верификации модели, построенной для прогноза, достаточно сравнить реальные значения переменных в последующие моменты времени с соответствующими их значениями, полученными на основе рассматриваемой модели по данным предшествующих моментов.

Приведенное выше разделение эконометрического моделирования на отдельные этапы носит в известной степени условный характер, так как эти этапы могут пересекаться, взаимно дополнять друг друга и т. п.

2.2 Регрессионный и корреляционный анализ

Регрессионный анализ. В практике экономических исследований имеющиеся данные не всегда можно считать выборкой из многомерной нормальной совокупности, когда одна из рассматриваемых переменных не является случайной или, когда линия регрессии явно не прямая и т. п. В этих случаях пытаются определить кривую (поверхность), которая дает наилучшее (в смысле метода наименьших квадратов) приближение к исходным данным. Соответствующие методы приближения получили название регрессионного анализа.

Методы и модели регрессионного анализа занимают центральное место в математическом аппарате эконометрики.

Задачами регрессионного анализа являются установление формы зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

Регрессионный анализ характеризует количественную связь факторных и результативных признаков. С его помощью можно установить, насколько изменится результативный признак при изменении факторных признаков на единицу, если уровни всех других факторов принять неизменными.

К уравнениям регрессионною анализа относятся прямая, гипербола,

парабола, экспонента, логарифмическая функция и др.

Линейная парная регрессия. Рассмотрим в качестве примера зависимость между сменной добычей угля на одного рабочего Y (т) и мощностью пласта X (м) по следующим (условным) данным, характеризующим процесс добычи угля в n = 10 шахтах, отраженного в таблице 2.1.

Таблица 2.1 - Зависимость сменной добычи угля на одного рабочего от мощности пласта, т/м

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Xi	8	11	12	9	8	8	9	9	8	12
Yi	5	10	10	7	5	6	6	5	6	8

Уравнение регрессии будем искать в виде линейного уравнения:

y= b₀ + b₁x (2.11)

Отвлечемся на время от рассматриваемого примера и найдем формулы расчета неизвестных параметров уравнения линейной регрессии.

Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры b₀ и b₁ выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений y_t от значений y_t, найденных по уравнению регрессии (2.11), была минимальной:

S = (y₁ - y_i)² = (b₀ + b₁x_i - y_i)², > min. (2.12)

Следует отметить, что для оценки параметров b₀ и b₁| возможны и другие подходы. Так, например, согласно методу наименьших модулей следует минимизировать сумму абсолютных величин и отклонений |y₁ - y_i|.

Однако метод наименьших квадратов существенно проще при проведении вычислительной процедуры и дает, как мы увидим далее, хорошие по статистическим свойствам оценки. Этим и объясняется его широкое применение в статистическом анализе.

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных S=S(bo, bi) (2.12) приравниваем к нулю ее частные производные, т. е.

(2.13)

откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

(2.14)

Теперь, разделив обе части уравнений (2.12) на п, получим систему нормальных уравнений в виде:

(2.15)

где соответствующие средние определяются по формулам:

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

Подставляя значение

(2.20)

Из первого уравнения системы (2.15) в уравнение регрессии (2.5), получим

y= (2.21) или

y - (2.22)

Коэффициент b₁ называется выборочным коэффициентом регрессии (или просто коэффициентом регрессии) Y по X.

Коэффициент регрессии Y по X показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при увеличении переменной X на одну единицу.

Решая систему (2.22), найдем:

(2.23)

где - выборочная дисперсия переменной X:

(2.24)

Cov(X, Y) - выборочный корреляционный момент или выборочная ковариация:

(2.25)

Отметим, что из полученного уравнения регрессии (2.22) следует, что линия регрессии проходит через точку , т. е.

.

Основные положения регрессионного анализа. Оценка параметров парной регрессионной модели. Теорема Гаусса - Маркова.

Рассматриваемая в регрессионном анализе зависимость Y от X может

быть представлена в виде модельного уравнения регрессии.

В силу воздействия неучтенных случайных факторов и причин отдельные наблюдения переменной Y будут в большей или меньшей мере отклоняться от функции регрессии ц(Х). В этом случае уравнение взаимосвязи двух переменных (парная регрессионная модель) может быть представлено в виде:

(2.26)

где - случайная переменная, характеризующая отклонение от функции регрессии.

Рассмотрим линейный регрессионный анализ, для которого функции ц(Х) линейна относительно оцениваемых параметров:

(2.27)

Допустим, что для оценки параметров линейной функции регрессии (2.21) взята выборка, содержащая п пар значений переменных , где i = =1,2,3,…,п. В этом случае линейная парная регрессионная модель имеет вид:

(2.28)

Следует отметить основные предпосылки регрессионного анализа.

1. В модели (2.28) возмущение е_i есть величина случайная, а объясняющая переменная x_i - величина не случайная.

2. Математическое ожидание возмущения е_i равно нулю: М(е_i) = 0 (2.29)

3. Дисперсия возмущения е_i постоянна для любого i:

D(е_i) = у² (2.30)

4. Возмущения е_i и е_j не коррелированны: М(е_i е_j) = 0(i ? j). (2.31)

5. Возмущение е_i есть нормально распределенная случайная величина.

В этом случае модель (2.28) называется классической нормальной линейной регрессионной моделью (Classical Normal Linear.Regression model).

Для получения уравнения регрессии достаточно предпосылок 1-4.

Требование выполнения предпосылки 5 (т. е. рассмотрение "нормальной регрессии") необходимо для оценки точности уравнения регрессии и его параметров.

Оценкой модели (2.28) по выборке является уравнение регрессии y= b₀ + b₁x (2.1). Параметры этого уравнения b₀ и b₁ определяются на основе метода наименьших квадратов.

Воздействие неучтенных случайных факторов и ошибок наблюдений в модели (2.22) определяется с помощью дисперсии возмущений (ошибок) или остаточной дисперсии у². Несмещенной оценкой этой дисперсии является выборочная остаточная дисперсия.

(2.32)

где y_{i -} групповая средняя, найденная по уравнению регрессии;

- выборочная оценка возмущения е_i или остаток регрессии.

В математической статистике для получения несмещенной оценки дисперсии случайной величины соответствующую сумму квадратов отклонений от средней делят не на число наблюдений п, а на число степеней свободы (degress of freedom) n - m, равное разности между числом независимых наблюдений случайной величины п и числом связей, ограничивающих свободу их изменения, т. е. число m уравнений, связывающих эти наблюдения. Поэтому в знаменателе выражения (2.22) стоит число степеней свободы п - 2, так как две степени свободы теряются при определении двух параметров прямой из системы нормальных уравнений (2.6).

Появляется такой вопрос, являются ли оценки b₀, b₁, s² параметров в₀, в₁, у² "наилучшими"? Ответ на этот вопрос даст теорема.

Теорема Гаусса-Маркова. Если регрессионная модель (2.24) удовлетворяет предпосылкам 1-4, то оценки b_о (2.9), b₁ (2.11) имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок (Best Linear Unbiased Estimator, или BLUE).

Таким образом, оценки b₀ и b₁ в определенном смысле являются наиболее эффективными линейными оценками параметров в₀ и в_1.

Рассмотрим еще один важный метод получения оценок широко используемый в эконометрике, - метод максимального правдоподобия.

Для применения метода максимального правдоподобия должен быть известен вид закона распределения вероятностей, имеющихся выборочных данных.

Полагая выполнение предпосылки 5 регрессионного анализа, т. е. нормальную классическую регрессионную модель (2.28), будем рассматривать значения у_i как независимые нормально распределенные случайные величины с математическим ожиданием

являющимся функцией от x_i, и постоянной дисперсией у².

Следовательно, плотность нормально распределенной случайной величины у_i:

(2.33)

Функция правдоподобия, выражающая плотность вероятности совместного появления результатов выборки, имеет вид:

(2.34)

Согласно методу максимального правдоподобия в качестве оценок параметров в₀, в₁ и у² принимаются такие значения которые максимизируют функцию правдоподобия L.

Очевидно, что при заданных значениях x₁, x₂,…., x_n объясняющей переменной X и постоянной дисперсии у² функция правдоподобия L достигает максимума, когда показатель степени при е будет минимальным по абсолютной величине, т. е. при условии минимума функции:

(2.35)

что совпадает с условием (2.5) нахождения оценок b₀ и b₁ квадрметодом наименьших квадратов. Следовательно, оценки b₀ и b₁ параметров в₀, в₁ совпадают с оценками метода максимального правдоподобия . Для нахождения оценки максимального правдоподобия параметра у², максимизирующей функцию L, качественных соображений уже недостаточно и необходимо прибегнуть к методам дифференциального исчисления.

Приравняв частную производную , получим:

(2.36)

где параметры в₀ и в₁ заменены их оценками b₀ и b₁,. Сравнивая с полученной ранее несмещенной оценкой s², видим, что оценка метода максимального правдоподобия параметра у² является смещенной.

В соответствии со свойствами оценок максимального правдоподобия оценки (b₀, b₁) и (а значит, и s²) являются состоятельными оценками.

Множественный регрессионный анализ. Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии. Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости одной зависимой переменной Y от нескольких объясняющих переменных X₁, X₂,..., Х_п. Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.

Обозначим i-e наблюдение зависимой переменной y_i, а объясняющих переменных - x_i1, x_i2,..., x_ip. Тогда модель множественной линейной регрессии можно представить в виде:

(2.37)

где i = 1,2,..., n; е_i удовлетворяет приведенным выше предпосылкам.

Модель (2.31), в которой зависимая переменная y_i, возмущения е_i и объясняющие переменные x_i1, x_i2,..., x_ip удовлетворяют предпосылкам регрессионного анализа, а также предпосылке о невырожденности матрицы значений объясняющих переменных, называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии. Включение в регрессионную модель новых объясняющих переменных усложняет получаемые формулы и вычисления. Это приводит к целесообразности использования матричных обозначений. Матричное описание регрессии облегчает как теоретические концепции анализа, так и необходимые расчетные процедуры.

Введем обозначения: Y=(y₁, y₂,..., y_п)' - матрица-столбец, или вектор, значений зависимой переменной размера п ¹;

(2.38)

- матрица значений объясняющих переменных, или матрица плана размера пЧ(р+1).

в = (в₀ в₁ …. в_р)'

- матрица-столбец, или вектор, параметров размера (р+1); е = (е₁, е₂,..., е_n)' - матрица-столбец, или вектор, возмущений (случайных ошибок, остатков) размера п.

Тогда в матричной форме модель (2.38) примет вид:

Y=Xв + е. (2.39)

Оценкой этой модели по выборке является уравнение:

Y=Xb + e, (2.40)

где b =(b_ob,...b_p)', e = (e₁ e₂... е_n)'.

Под мультиколлинеарностъю понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных. Мультиколлинеарность может проявляться в функциональной (явной) и стохастической (скрытой) формах. При функциональной форме мультиколлинеарности по крайней мере одна из парных связей между объясняющими переменными является линейной функциональной зависимостью. В этом случае матрица XX особенная, так как содержит линейно зависимые векторы-столбцы и ее определитель равен нулю, т. е. нарушается предпосылка 6 регрессионного анализа. Это приводит к невозможности решения соответствующей системы нормальных уравнений и получения оценок параметров регрессионной модели.

Однако в экономических исследованиях мультиколлинеарность чаще проявляется в стохастической форме, когда между хотя бы двумя объясняющими переменными существует тесная корреляционная связь. Матрица Х'Х в этом случае является неособенной, но ее определитель очень мал.

В то же время вектор оценок b и его ковариационная матрица ?_b пропорциональны обратной матрице (Х'Х)^-1, а значит, их элементы обратно пропорциональны величине определителя |Х'Х|. В результате получаются значительные средние квадратические отклонения (стандартные ошибки) коэффициентов регрессии b_o, b₁,..., b_p и оценка их значимости по t-критерию не имеет смысла, хотя в целом регрессионная модель может оказаться значимой по F-критерию.

Оценки становятся очень чувствительными к незначительному изменению результатов наблюдений и объема выборки. Уравнения регрессии в этом случае, как правило, не имеют реального смысла, так как некоторые из его коэффициентов могут иметь неправильные с точки зрения экономической теории знаки и неоправданно большие значения.

Точных количественных критериев для определения наличия или отсутствия мультиколлинеарности не существует. Тем не менее имеются некоторые эвристические подходы по ее выявлению.

Один из таких подходов заключается в анализе корреляционной матрицы между объясняющими переменными X₁, X₂,..., X_p и выявлении пар переменных, имеющих высокие коэффициенты корреляции (обычно больше 0,8). Если такие переменные существуют, то говорят о мультиколлинеарности между ними.

Полезно также находить множественные коэффициенты детерминации между одной из объясняющих переменных и некоторой группой из них. Наличие высокого множественного коэффициента детерминации (обычно больше 0,6) свидетельствует о мультиколлинеарности.

Другой подход состоит в исследовании матрицы Х'Х. Если определитель матрицы Х'Х либо ее минимальное собственное значение л_min близки к нулю (например, одного порядка с накапливающимися ошибками вычислений), то это говорит о наличии мультиколлинеарности. О том же может свидетельствовать и значительное отклонение максимального собственного значения л_man матрицы Х'Х от ее минимального собственного значения л_min.

Для устранения или уменьшения мультиколлинеарности используется ряд методов. Самый простой из них (но далеко не всегда возможный) состоит в том, что из двух объясняющих переменных, имеющих высокий коэффициент корреляции (больше 0,8), одну переменную исключают из рассмотрения. При этом, какую переменную оставить, а какую удалить из анализа, решают в первую очередь на основании экономических соображений. Если с экономической точки зрения ни одной из переменных нельзя отдать предпочтение, то оставляют ту из двух переменных, которая имеет больший коэффициент корреляции с зависимой переменной.

Другой метод устранения или уменьшения мультиколлинеарности заключается в переходе от несмещенных оценок, определенных по методу наименьших квадратов, к смещенным оценкам, обладающим, однако, меньшим рассеянием относительно оцениваемого параметра, т. е. меньшим математическим ожиданием квадрата отклонения оценки b_j от параметра в_{j -} или М (b_{j -} в_j)².

Действительно, пусть максимально допустимый по величине доверительный интервал для оцениваемого параметра в_j есть (в_j - ?, в_j + ?). Тогда доверительная вероятность, или надежность оценки, определяемая площадью под кривой распределения на интервале (в_j - ?, в_j + ?) будет в данном случае больше для оценки по сравнению с в_j.

Соответственно средний квадрат отклонения оценки от оцениваемого параметра будет меньше для смещенной оценки, т. е.

M( - в_j)² < M(b_j - в_j)². (2.41)

При использовании "ридж-регрессии" (или "гребневой регрессии") вместо несмещенных оценок рассматривают смещенные оценки, задаваемые вектором:

(2.42)

где ф - некоторое положительное число, называемое "гребнем" или "хребтом", Е_р+1 - единичная матрица (р+1)-го порядка. Добавление ф к диагональным элементам матрицы Х'Х делает оценки параметров модели смещенными, но при этом увеличивается определитель матрицы системы нормальных уравнений - вместо (Х'Х) он будет равен .

Таким образом, становится возможным исключение мультиколлинеарности в случае, когда определитель |Х'Х| близок к нулю.

Для устранения мультиколлинеарности может быть использован переход от исходных объясняющих переменных X₁, X₂,..., X_n, связанных между собой достаточно тесной корреляционной зависимостью, к новым переменным, представляющим линейные комбинации исходных. При этом новые переменные должны быть слабокоррелированными либо вообще некоррелированными. В качестве таких переменных берут, например, так называемые главные компоненты вектора исходных объясняющих переменных, изучаемые в компонентном анализе, и рассматривают регрессию на главных компонентах, в которой последние выступают в качестве обобщенных объясняющих переменных, подлежащих в дальнейшем содержательной (экономической) интерпретации.

Ортогональность главных компонент предотвращает проявление эффекта мультиколлинеарности. Кроме того, применяемый метод позволяет ограничиться малым числом главных компонент при сравнительно большом количестве исходных объясняющих переменных.

Еще одним из возможных методов устранения или уменьшения мультиколлинеарности является использование пошаговых процедур отбора наиболее информативных переменных. Например, на первом шаге рассматривается лишь одна объясняющая переменная, имеющая с зависимой переменной Y наибольший коэффициент детерминации. На втором шаге включается в регрессию новая объясняющая переменная, которая вместе с первоначально отобранной образует пару объясняющих переменных, имеющую с Y наиболее высокий (скорректированный) коэффициент детерминации. На третьем шаге вводится в регрессию еще одна объясняющая переменная, которая вместе с двумя первоначально отобранными образует тройку объясняющих переменных, имеющую с Y наибольший (скорректированный) коэффициент детерминации, и т. д.

Процедура введения новых переменных продолжается до тех пор, пока будет увеличиваться соответствующий (скорректированный) коэффициент детерминации (более точно - минимальное значение ).

До сих пор мы рассматривали регрессионную модель, в которой в качестве объясняющих переменных (регрессоров) выступали количественные переменные (производительность труда, себестоимость продукции, доход и т. п.). Однако на практике достаточно часто возникает необходимость исследования влияния качественных признаков, имеющих два или несколько уровней (градаций). К числу таких признаков можно отнести: пол (мужской, женский), образование (начальное, среднее, высшее), фактор сезонности (зима, весна, лето, осень) и т. п.

...