Анализ базисного индекса промышленного производства

2.2 Моделирование и прогнозирование динамики индекса промышленного производства (С+D+E)

При изучении временных рядов наибольший интерес у исследователей вызывает описание и моделирование их динамики. Методы, которые применяются для обработки временных рядов, во многом опираются на различные характеристики и теорию, разработанную в разделе математической статистики и эконометрики, которая основана на достаточно жестких требованиях к исходным данным (таким как предположение о типе их распределения, однородности, случайности и прочее). В то же время при изучении экономических временных рядов даже проверка выполнимости этих требований в должной мере зачастую затруднена или вовсе невозможна. Среди причин, вызывающих трудности при моделировании индикаторов ОБС, в первую очередь следует назвать небольшую длину временных рядов и плохую сопоставимость уровней ряда, обусловленную частой эволюцией методик расчета индикаторов. Поэтому выводы, полученные с помощью формально-статистического инструментария, должны восприниматься с осторожностью и дополняться содержательным анализом.

На Рисунке 2 представлена помесячная динамика ИПП. Ряд ИПП, выбранный для анализа, представляет собой базисный временной ряд месячной частоты за период с января 2010 по март 2015 года, общее количество уровней ряда -- 63.

Рисунок 15. Базисный индекс промышленного производства, январь 2010-март 2015гг., %

Графический анализ временного ряда позволяет утверждать, что динамика базисного индекса ИПП определяется случайной и детерминированной компонентой. Детерминированная компонента, на первый взгляд, содержит возрастающий со временем линейный тренд и сезонную составляющую, которая описывает колебания с медленно увеличивающейся, практически постоянной амплитудой и частотой, равной 12 месяцев.

2.2.1 Статистическое исследование систематической и сезонной составляющей в динамике базисного ИПП (C+D+E)

Решение задач по исследованию динамики и прогнозированию временных рядов обычно начинается с графического анализа, однако при этом не всегда четко прослеживается наличие тренда. В такой ситуации необходимо выяснить, действительно ли для описываемого процесса (в наше случае для динамики ИПП) характерно некое устойчивое долговременное развитие. Для проверки наличия/отсутствия тренда в динамике ИПП используем сразу нескольких критериев, имеющих разную мощность. Суть и методология проведенных расчетов описана в [40], отметим только, что все перечисленные методы проверяют гипотезу об отсутствии тренда. Результаты применения критериев удобно представить в виде таблицы.

Таблица 15. Результаты проверки гипотезы о наличии тренда в динамике базисного ИПП (С+D+E) за 2010-март 2015гг., %

Метод	Критерий «восходящих и нисходящих серий»	Критерий серий, основанный на медиане выборки	Метод Фостера-Стюарта
Статистика	6 < 7	16 < 25	5,13 >1,98
	31 < 35	10>4	24,7 > 1,98
Нулевая гипотеза	отвергается	отвергается	отвергается

Источник: расчет автора на основании теоретических материалов, изложенных в [17]

Таким образом, все используемые тесты однозначно указывают на наличие некой тенденции в исследуемом временном ряду.

На следующем этапе исследования для описания тенденции базисного ИПП были применены кривые роста, которые представляют собой различные функции от времени: .

Рисунок 16. Динамика базисного ИПП (С+D+E) за 2010 - март 2015 гг. и ее аппроксимация различными видами моделей тренда

Поскольку ранее уже было определено, что базисный ИПП изменяется в соответствии с неким трендом, на данном шаге попытаемся подобрать для тренда оптимальную модель.

Проведем графический анализ различных вариантов тренда. Отметим, что линейную и экспоненциальную модель трудно признать удачной, так как они, на первый взгляд, сильно сглаживают поведение ИПП. Полученное на основе линейной и экспоненциальной модели прогнозное значение может оказаться сильно завышенным, так как прогнозирование на основе моделей такого типа базируется на экстраполяции, то есть на продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом ([41]). Значительно ближе к фактическим данным ложатся уровни, выровненные по полиномиальной модели, хотя прогнозное значение может быть несколько занижено. Подкрепим графический анализ расчетами.

Таблица 16. Динамика базисного ИПП (С+D+E) за 2010 - март 2015 гг. и ее аппроксимация различными видами тренда

Вид тренда	Модель	Характеристики качества модели
			Сумма квадратов отклонений
Линейный		0,29	3035,7
Логарифмический		0,36	2720,4
Полиномиальный		0,35	2798,0
Степенная		0,39	2725,1
Экспоненциальный		0,30	3057,0

Источник: расчет автора в пакете Stata

Согласно Таблице 3, наиболее приемлемыми моделями тренда следует считать степенную и логарифмическую, так как у этих моделей сумма квадратов отклонений -- наименьшая, а -- наибольший. Проверка на значимости данных уравнения регрессии, используя F-статистику, а также проверка на значимость отдельных его коэффициентов с помощью t-статистики показала, что в обоих случаях гипотеза о незначимости отвергается на уровне . Кроме того, множественный коэффициент детерминации показывает, что уравнения регрессии описывают 36% и 39% вариации результирующего признака вошедшими в модель показателями, а остальная часть вариации обусловлена действием неутонченных факторов.

Рассмотрим остатки степенной и логарифмической модели.

График остатков логарифмической модели	График остатков степенной модели

Рисунок 17. График остатков логарифмической и экспоненциальной модели тренда для базисного ИПП, январь 2010 - март 2015 гг.

На основании графического анализа Рисунков 2 и 4 можно сделать вывод о том, что для базисного ряда ИПП (С+D+E) характерно наличие мультипликативной сезонности. Однако, так как амплитуда колебаний ряда со временем не сильно изменяется, в некоторых случаях, будем считать сезонность аддитивной.

Для исследования сезонности рассчитаем индексы сезонности двумя способами:

где - уровень исходного базисного ряда ИПП в соответствующий месяц 2014 года; - среднемесячное значение ИПП за все месяцы (общая средняя), - соответствующий уровень тренда определенного месяца в 2014 году.

Рассчитанные значения индекса сезонности усредняются по определенным месяцам и затем сравниваются со значением 100%. Если средний индекс сезонности превышает 100% -- это свидетельствует о влиянии сезонного фактора в сторону увеличения уровней динамического ряда и наоборот.

Рисунок 18. График сезонной волны базисного ИПП (С+D+E) за 2010 - март 2015 гг., %

Как показывает график индексы сезонности, рассчитанные с помощью среднего уровня ряда и на основании тренда, отражают схожую динамику ИПП. Наибольшее падение исследуемого показателя наблюдается в январе, когда индекс сезонности равен 91% и 93% соответственно для тренда и среднего уровня, а максимальное значение ИПП достигает в декабре.

2.2.2 Построение адаптивной модели Хольта-Уинтерса для базисного ряда ИПП

В настоящее время одним из наиболее популярных направлений исследования и прогнозирования одномерных временных рядов считаются адаптивные методы, которые способны быстро приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий. Одним из самых простых адаптивных моделей, является экспоненциальное сглаживание. В общем виде такие методы не подходят для моделирования ИПП, потому что они не учитывают существование тренда и сезонности в данных. Однако, существует несколько расширений стандартного экспоненциального сглаживания, среди которых стоит выделить модель Хольта-Уинтерса или модель тройного экспоненциального сглаживания, которая используется при наличии тренда и сезонности. Различают модели Хольта-Уинтерса для аддитивной и мультипликативной сезонности. Для построения модели базисного ИПП приемлемой является аддитивная модель Хольта-Уинтерса, которая учитывает наличие тренда и аддитивной сезонности. Уравнения модели экспоненциального сглаживания с линейным трендом и аддитивной сезонностью имеют вид:

Рекуррентная форма	Скорректированная на ошибку форма
, ,	, .

Здесь -- сглаживающий параметр для уровня ряда; -- сглаживающий параметр для тренда; -- сглаживающий параметр для сезонных факторов; является сглаженным уровнем ряда, вычисленным после того, как получено значение есть сглаженный тренд в конце периода; является сглаженным сезонным фактором в конце периода; является числом периодов времени, на которые вперед строится прогноз; есть число периодов, составляющих один период сезонности; есть ошибка прогноза на один шаг из предыдущего момента, а предсказанное значение является прогнозом на m периодов вперед от момента .

При подгонке модели к динамике базисного ИПП, оптимальные параметры модели были оценены следующим образом.



Таблица 17. Параметры модели Хольта-Уинтерса для базисного ИПП (С+D+E)

	Оценка	Стандартная ошибка	t	Знач.
Альфа (уровень)	0,59997	0,13	4,79	0,00
Гамма (тренд)	0,00002	0,08	0,00	1,00
Дельта (сезонность)	0,00001	0,16	0,00	1,00

Источник: расчет автора в пакете SPSS

В этой модели коэффициент гамма и дельта, отражающие изменения тренда и сезонного эффекта, являются незначимыми, в то время как коэффициент для уровня (альфа) значим и равен 0,6. Рекуррентная форма модели примет вид:

, , .

Поскольку гамма и дельта незначима, величина тренда и сезонной вариации ИПП остается постоянной во времени.

Рисунок 19. Результаты построения аддитивной модели Хольта-Уинтерса для базисного ИПП (С+D+E) за 2010 - июнь 2015 гг.

Как показывает Рисунок 6, модельные значения почти копируют исходный ряд. Однако, несмотря на неплохую в целом подгонку, впадины аппроксимируются недостаточно хорошо, модель их сначала переоценивает, а затем недооценивает.

Анализ ряда остатков модел показал отсутствие значимой автокорреляции. Однако гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается. С точки зрения прогнозирования, данную проблему часто игнорируют, так как главным является близость эмпирических данных к значениям, которые получены в результате моделирования. Предполагается, что если теоретические значения исследуемой случайной величины повторяют динамику эмпирических в некий промежуток времени, то данная близость сохраниться и на прогнозируемый интервал.

Прежде чем строить прогноз, оценим качество подгонки модели временного ряда. Для этого имеется ряд способов, среди которых мы уже прошли анализ остатков и графический анализ того, насколько хорошо модель аппроксимирует имеющийся ряд.

Далее, разобьем ряд на две части (в пропорции 51/12 наблюдений), из которых первую используем для оценивания модели, а вторую -- для сравнения построенного по модели прогноза с реальными значениями ряда. Как и ранее, по 51 наблюдению получаем аддитивную модель Хольта-Уинтерса со значимым коэффициентом альфа, равным 0,6. Таким образом, для построения прогноза второй части ряда мы используем почти ту же модель, что и раньше.

Рисунок 20. Результаты построения аддитивной модели Хольта-Уинтерса для базисного ИПП (С+D+E) за 2010 - март 2014 гг.и прогноз на апрель 2014 -- март 2015 гг.

По построенной модели строится прогноз на апрель 2014 -- март 2015 гг. Мы видим, что модель склонна недооценивать на пиках и впадинах истинные значения ряда. Однако, истинные значения не выходят за границы доверительного интервала прогноза, что говорит о достаточно хорошем качестве модели. Поэтому используем ее для построения прогноза на апрель-июнь 2015 года в дальнейших рассуждениях.

2.2.3 Моделирование и прогнозирование базисного ИПП (С+D+E) с помощью моделей авторегрессии и скользящего среднего (ARMA)

На данном этапе исследования будет предпринята попытка использовать сезонную модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего SARIMA для моделирования динамики ИПП. Выбор данного класса моделей определяется тем, что модели SARIMA способны на основе учета влияния предшествующих уровней ряда и ошибок прогноза на предыдущих этапах очень точно описывать временные ряды, обладающие широким диапазоном характеристик. SARIMA могут успешно моделировать как стационарные, так и нестационарные временные ряды, содержащие тренд и сезонные колебания.

Модель SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s является расширением класса моделей ARIMA(p,d,q), которая, в свою очередь, является расширением класса моделей ARMA(p,q). В общем виде процесс ARMA описывается уравнением:

где в качестве объясняющих переменных рассматриваются лаговые значения зависимой переменной с интервалами сдвига (AR часть) и скользящее среднее порядка для остатков авторегрессии (MA часть). Однако прежде, чем приступать к построению такого рода моделей, необходимо проверить исходный временной ряд на стационарность. Этот вопрос важен потому, что стационарные и нестационарные временные ряды обладают различными статистическими характеристиками и оцениваются разными способами. Временной ряд называется стационарным (в широком смысле, слабо стационарным, стационарным второго порядка или ковариационно стационарным), если выполнены следующие условия [40]:

для любых и .

Данные выражения можно интерпретировать следующим образом: поведения ряда в настоящем и будущем совпадает с его поведением в прошлом, на свойства не влияет выбор точки начала отсчета.

Если нестационарный временной ряд взятием d последовательных разностей приводятся к стационарному виду, его называют рядом AutoRegressive Integrated Moving Average или ARIMA(p,d,q). Отметим, что в большинстве случаев модели ARIMA, описывающие экономические временные ряды имеют параметры, принимающие небольшие значения, часто 1 или 2. Если же в данных присутствует сезонность, которая говорит о тесной связи уровня ряда с данными одноименных месяцев (кварталов) предыдущего года, то нельзя обойтись моделью ARIMA(p,d,q) c коэффициентами p, и q низкого порядка. В таких случаях принято использовать модель SARIMA(p,d,q)(P, D, Q)_s, где p - порядок AR, d - параметр дифференцирования, q - порядок MA, P - порядок сезонной AR, D - параметр сезонного дифференцирования, Q - порядок сезонного MA и s - лаг сезонности.

Модели SARIMA(p,d,q)(P, D, Q)_s позволяют строить весьма точные краткосрочные прогнозы и могут подойти для описания различных временных рядов, кроме того, их достаточно просто проверить на адекватность. Однако к минусам этих моделей можно отнести потребность в большом количестве исходных данных и отсутствие простого способа корректировки параметров модели.

Перейдем от теории к практике моделирования базисного ряда ИПП (С+D+E). Начнем с проверки временного ряда на стационарность.

График исследуемого ряда содержит тренд и сезонную компоненту, то есть среднее и дисперсия зависят от времени, а, значит, базисный ИПП скорее всего не стационарен. Анализ коррелограммы говорит о явном наличии сезонности у исследуемого ряда. Чтобы описать динамику ИПП с помощью модели, включающей параметры авторегрессии и скользящего среднего, необходимо привести ряд к стационарному виду. На практике для этого применяют один из двух способов: 1) выделение линейной трендовой составляющей; 2) взятие первых разностей. Первый способ используют, когда имеют дело с процессом типа TSP (trend stationary process), а второй -- DSP (diferencing stationary process). Для определения типа исследуемого ряда, проведем два теста:

o Расширенный тест Дики-Фуллера (ADF Test);

o Тест Квятковского-Филлипса-Шмидта-Шина (KPSS Test).

Расширенный тест Дики-Фуллера позволяет учитывать корреляцию высших лагов, путем предположения о том, что ряд описывается моделью и добавлением разностей порядка в правую часть уравнений. Исходя из специфики данных (период сезонных колебаний-12 месяцев), в модель включим 12 лагов.

Для реализации теста ADF воспользуемся процедурой Доладо, Джинкинса и Сосвилла-Риверо, согласно которой на первом этапе оценивается уравнение:

и проверяется нулевая гипотеза или процесс относится к типу DS. По имеющимся данным о динамике ИПП методом наименьших квадратов было оценено уравнение регрессии (результаты оценки представлены ниже). Для коэффициента при t-статистика оказалась равна -2.3. Сравним это значение с критической статистикой Дики-Фуллера, равной -3.5. Видим, что -2.3>-3.5, а, значит, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу о том, что ряд принадлежит к типу DS, то есть что он имеет единичный корень.

На втором шаге оценим регрессию вида:

,

то есть из числа регрессоров первой модели уберем переменную . Результат оценки уравнения регрессии представлен ниже. Видим, что коэффициент при переменной t значим, значит, тренд в первую модель был включен не напрасно, то есть первая модель правильно специфицирована. Процедура Доладо, Джинкинса и Сосвилла-Риверо закончена.

По результатам ADF теста, не отвергается гипотеза о том, что временной ряд ИПП (C+D+E) относится к типу DS.

Для проверки достоверности полученных результатов при анализе рядов на принадлежность их к классу DS и TS принято использовать не один, а несколько тестов. Руководствуясь этим правилом, применим так же KPSS-тест. Основное отличие этого теста от ранее рассмотренного ADF теста состоит в том, что в качестве нулевой он проверяет гипотезу о принадлежности ряда к типу TS-рядов. Оценивается уравнение:

,

где -- стохастический тренд. Проверяется нулевая гипотеза против альтернативной гипотезы :

следовательно является рядом типа TS;

следовательно не является рядом типа TS.

Реализация KPSS теста показала, что при включении 12 лагированных переменных в модель, наблюдаемая статистика теста равна 0,176, а критическая -- 0,148 (при ). Наблюдаемое значение больше критического, поэтому нулевая гипотеза отвергается.

Таким образом, выводы ADF и KPSS тестов согласуются, поэтому временной ряд динамики базисного ИПП с высокой долей вероятности можно считать реализацией процесса типа DS. Чтобы привести ряд к стационарному виду, воспользуемся процедурой взятия последовательных разностей. После взятия первой разности -- для учета линейного тренда и первой сезонной разности -- для учета сезонности, ряд стал похож на стационарный.

Рисунок 21. Результаты дифференцирования базисного ИПП (С+D+E), 2010-март 2015гг., %

Рисунок 21 наглядно иллюстрирует, что продифференцированный ряд имеет нулевое среднее и у ряда отсутствует сезонная составляющая. Его автокорреляционная и частная автокорреляционная функции представлены на Рисунке 22.

Рисунок 22. АКФ и ЧАКФ для продифференцированного ряда базисного ИПП (С+D+E)

Значения АКФ и ЧАКФ убывают, причем значения ЧАКФ убывают по экспоненте. Следовательно, можно предположить, что данный временной ряд описывается процессом SARIMA(p,d,q,)(P,D,Q)_s. Исходя из анализа АКФ и ЧАКФ была выдвинута гипотеза о том, каким процессом можно описать исходный временной ряд. Исследуем несколько вариантов, среди которых:

ь sarima (4.1.0)(0.1.0) ь sarima (4.1.1)(0.1.0) ь sarima (0.1.4)(0.1.0) ь sarima (1.1.4)(0.1.0)	ь sarima (1.1.0)(1.0.0) ь sarima (1.1.1)(1.0.0) ь sarima (0.1.1)(1.0.0) ь sarima (1.1.0)(0.0.1)	ь sarima (1.1.0)(0.0.1) ь sarima (1.1.1)(0.0.1) ь sarima (1.1.0)(1.0.1) ь sarima (1.1.1)(1.0.1)

Все перечисленные модели были проверены на адекватность с помощью двух критериев: (1) оценки коэффициентов модели должны значимо отличаться от нуля; (2) остатки модели должны быть похожи на белый шум.



Таблица 18. Проверка адекватности различных моделей SARIMA для описания динамики базисного ряда ИПП за 2010-март 2015 гг.

Модель	Значимость коэффициентов	Анализ остатков
sarima (1.1.0)(0.1.0)	Коэффициент при первом лаге значим	Значимая корреляция на 4-ом лаге ЧАКФ
sarima (4.1.0)(0.1.0)	Коэффициенты AR при первом, втором и четвертом лаге значимы. Исключим AR(3)	Значимая корреляция отсутствует. Нулевая гипотеза о норм. распр. остатков не отвергается
sarima (4.1.1)(0.1.0) (только AR(4))	АR(4) значима, MA(1) значима	Значимая корреляция отсутствует. Нулевая гипотеза о норм. распр. остатков не отвергается
sarima (0.1.1)(0.1.0)	Коэффициент при первом лаге значим	Значимая корреляция на 4-ом лаге
sarima (0.1.4)(0.1.0)	Все коэффициенты модели не значимы, кроме MA(1)	Значимая корреляция отсутствует. Нулевая гипотеза о норм. распр. остатков не отвергается
sarima (0.1.0)(1.0.0)	Коэффициенты модели значимы	Значимая корреляция на 1-ом, 4-ом и 12-ом лаге
sarima (0.1.4)(1.0.0)	Коэффициенты модели значимы	Значимая корреляция на 12-ом лаге
sarima (0.1.0)(1.0.0)	Коэффициенты модели значимы	Значимая корреляция на 1,4, 12-ом лаге
sarima (0.1.1)(1.0.0)	Коэффициенты модели значимы	Значимая корреляция на 4, 12-ом лаге
sarima (1.1.0)(1.0.0)	Коэффициент при АR(1) не значим	Значимая корреляция на 1, 4, 12-ом лаге
sarima (0.1.0)(0.0.1)	Коэффициент модели значимы	Значимая корреляция на 1,2,11 и 12-ом лаге
sarima (1.1.0)(0.0.1)	Коэффициент модели значимы	Значимая корреляция на 2 и 12-ом лаге
sarima (2.1.0)(0.0.1)	Коэффициент модели значимы	Значимая корреляция на 12-ом лаге
sarima (0.1.0)(1.0.1)	Коэффициенты модели значимы	Значимая корреляция на 1,4-ом лаге
sarima (0.1.1)(1.0.1)	Коэффициент модели MA(1) не значим	Значимая корреляция на 1,2,4-ом лаге
sarima (0.1.4)(1.0.1)	Коэффициент модели MA(4) не значим	Значимая корреляция на 1,2,4-ом лаге
sarima (1.1.0)(1.0.1)	Коэффициент модели AR(1) не значим	Значимая корреляция на 1,2,4-ом лаге
sarima (4.1.0)(1.0.1)	Коэффициент модели AR(4) не значим	Значимая корреляция на 1,2,4-ом лаге
sarima (1.0.0)(0.1.0)	Коэффициент модели значимы	Значимая корреляция на 1и 4-ом лаге
sarima (1.0.1)(0.1.0)	Коэффициент модели значимы	Значимая корреляция на 4-ом лаге
sarima (4.0.0)(0.1.0)	Коэффициент модели значимы	Значимая корреляция на 4-ом лаге
sarima (4.0.4)(0.1.0)	Коэффициент модели значимы	Значимая корреляция на 12-ом лаге
sarima (0.0.1)(0.1.0)	Коэффициент модели значимы	Значимая корреляция на 2 и 3-ем лаге
sarima (3.0.1)(0.1.0)	Коэффициент модели значимы	Значимая корреляция отсутствует
sarima (0.0.4)(0.1.0)	Коэффициент модели значимы	Значимая корреляция на 1 и 2-ом лаге
sarima (2.0.1)(0.1.0)	Коэффициент модели значимы	Значимая корреляция отсутствует

Расчет автора в пакете SPSS

Заметим, что при оценке ряда первых сезонных разностей мы строили модели не для стационарного ряда. Поэтому, sarima (3.0.1)(0.1.0) не будем рассматривать далее из-за невыполнения предпосылки стационарности моделируемого ряда.

В результате проверки, для дальнейшего анализа была отобрана 1 модель -- sarima (4.1.0)(0.1.0).

Рисунок 23. Подгонка динамики базисного ИПП (C+D+E) моделью SARIMA(4.1.0)(0.1.0), 2010-март 2015гг., %

Качество подгонки модели достаточно хорошее.. Модель sarima (4.1.0)(0.1.0) имеет три значимых параметра (при AR(1), AR(2) и AR(4)), оценки которых строятся по 46-ти наблюдениям. Для оценки прогнозной силы sarima (4.1.0)(0.1.0) разобьём ряд на 2 части. По первой части -- 57 наблюдению выберем и оценим модель, а по второй -- 6 наблюдениям сравним наблюдаемые и рассчитанные значения.

Рисунок 24. Результаты построения модели SARIMA для базисного ИПП (С+D+E) за 2010 - сентябрь 2014 гг. и прогноз на ноябрь 2014-март 2015 гг., %

Модель sarima (4.1.0)(0.1.0) оказалась устойчивой к изменению объема выборки, при уменьшении длины ряда коэффициенты модели практически не изменились, остатки модели остались некоррелированными и гипотеза о их нормальном распределении вновь не была отвергнута. Мы видим, что модель склонна недооценивать на пиках и впадинах истинные значения ряда. Однако, истинные значения не выходят за границы доверительного интервала прогноза, что говорит о достаточно хорошем качестве модели. Поэтому используем ее для построения прогноза на апрель-июнь 2015 года.

Рисунок 25. Прогноз значений базисного ИПП (С+D+E) на апрель-июнь 2015 гг. по модели sarima (4.1.0)(0.1.0)

Для улучшения качества подгонки sarima (4.1.0)(0.1.0) модели, базисный индекс ИПП был исследован на наличие выбросов. Было обнаружено два выброса: сдвиг уровня в январе 2013 года и аддитивный выброс в декабре 2014 года.

Сдвиг уровня -- выброс, изменяющий все значения ряда на одинаковую величину, начиная с некоторого момента времени. Данный выброс можно интерпретировать, как результат изменения среды, в которой генерируются значения ряда. Такое изменение произошло в начале 2013 года, когда экономика России начала резкое замедление. Последнее обусловило структурное изменение динамики ИПП.

Аддитивный выброс -- это экстремальное значение отдельного уровня ряда. Механизм возникновения такого выброса отличается от механизма формирования значений ряда в целом. Так, рост промышленного производства в декабре 2014 года, обусловлен влиянием ранее не действовавших факторов поддержки выпуска, а так же ажиотажным потребительским спросом в этот период. К факторам, поддерживавшим рост ИПП в декабре 2014 года можно отнести:

o импортозамещение, проявившееся в резком росте выпуска пищевой промышленности. В декабре 2014 года выпуск сыров вырос на 32,7% к декабрю 2013 года, мяса птицы - на 5,8%, рыбы и рыбных консервов - на 5,7%.

o военные расходы по программе перевооружения -- данные не публикуются, но VTB Capital усматривает их проявление во всплеске не детализируемого выпуска транспортной техники;

o Строительство газопровода «Сила Сибири», давшее заказы металлургическим заводам. В частности, рост производства труб в декабре достиг 39% в годовом сопоставлении, производство проката и выплавка стали выросли на 5.4% и 3.5% соответственно;

o «Бегство от рубля» в недвижимость -- всплеск продаж жилья и, как следствие, рост жилищного строительства и спроса на строительные материалы. Выпуск кирпича в декабре был на 5.8% больше прошлогоднего, цемента - 5.1%;

o «Бегство от рубля», вызвавшее беспрецедентный всплеск потребительских расходов и, как следствие, подъем в отраслях, работающих на потребительский рынок (бытовая техника, легковые автомобили). Выпуск приемной телевизионной аппаратуры совершил скачок на 47.1% против декабря прошлого года, легковых автомобилей в декабре произведено на 12.7% больше, чем в ноябре, грузовых - на 28.4%.

Влияние приведенной совокупности факторов, перестало ощущаться уже в январе, где решающую роль в определении динамики ИПП начало играть сжатие внутреннего спроса.

В результате учета двух указанных выбросов, качество подгонки модели улучшилось.

2.2.4 Сравнительный анализ моделей

В результате исследования динамики ИПП были получены несколько моделей, при этом, анализ качества моделей показал, что для прогнозирования динамики базисного ИПП (С+D+E) можно использовать только аддитивную модель Хольта-Уинтерса и sarima (4.1.0)(0.1.0) с учетом и без учета выбросов. Каждая из моделей обладает своими преимуществами и недостатками, в связи с чем весьма затруднительно сделать однозначный вывод о достоверности какой-либо одной из них. Для наглядности, на Рисунке 29 сведем воедино модельные значения и полученные прогнозы.

Рисунок 26. Результаты построения прогнозов по различным моделям для базисного ИПП (С+D+E) на апрель 2014-март 2015 гг., %

Рисунок 14 иллюстрирует, что все построенные модели склонны плохо оценивать впадины, а на остальных участках временного ряда аппроксимация достаточно хорошая. При этом, лучше всех описывает впадины модель sarima (4.1.0)(0.1.0) с учетом выбросов. Подкрепим визуальный анализ расчетными значениями. Рассчитаем сумму квадратов остатков всех моделей на временном промежутке с февраля 2011 по март 2015 гг., то есть на том промежутке, для которого рассчитаны значения всех моделей.



Таблица 19. Сумма квадратов остатков для моделей базисного ИПП (С+D+E) февраль 2011-март 2015 гг.

Модель	Сумма квадратов остатков
Аддитивная модель Хольта-Уинтерса	113,79
sarima (4.1.0)(0.1.0)	149,74
sarima (4.1.0)(0.1.0) с учетом выбросов	97,65

Расчет автора в пакете SPSS

Однако, хорошее качество подгонки не гарантирует высокой прогнозной силы модели. Для сравнения прогнозной силы моделей вновь разобьём исходный ряд на 2 части. По первой части, состоящей из 51 наблюдения, оценим имеющиеся 3 модели. Затем, осуществив прогноз на 12 месяцев вперед, рассчитаем:

ь сумму квадратов ошибок прогноза ²;

ь среднюю абсолютную ошибку прогноза ;

где -- период прогноза, -- фактическое и прогнозное значения ряда в момент времени . Результат сведем в таблицу.

Таблица 20. Ошибки прогноза для базисного ИПП (С+D+E) на апрель 2014-март 2015 гг.

	sarima(4.1.0)(0.1.0)	sarima(4.1.0)(0.1.0) с учетом выбросов	аддитивная модель Хольта-Уинтерса
Сумма квадратов ошибок прогноза	56,6	51,5	78,5
Средняя абсолютная ошибка прогноза	1,4%	1,3%	1,8%

Расчет автора в пакете Excel

Согласно Таблице 20, наибольшей точностью прогноза обладает модель sarima(4;1;0)(0;1;0) с учетом выбросов. Значение характерное для всех рассматриваемых моделей, свидетельствует в пользу их хорошего прогнозного качества.

Возвращаясь к Рисунку 26, заключаем, что доверительные интервалы всех моделей практически одинаковы. Пересечение доверительных интервалов, означает, что статистического различиях прогнозов, полученных разными моделями нет.

Таблица 21. Прогнозные значения для базисного ИПП (С+D+E) на апрель 2014-март 2015 гг.

	sarima (4.1.0)(1.0.0)	sarima (4.1.0)(0.1.0) с учетом выбросов	Модель Хольта-Уинтерса
апрель 2015	116,6	118,1	117,4
май 2015	117,97	117,3	117,2
июнь 2015	118,6	118,2	118,5

Расчет автора в пакете SPSS

Опираясь на проверку прогнозной силы моделей, можно сделать вывод о том, что прогнозные значения, полученные с помощью sarima (4.1.0)(1.0.0) с учетом выбросов лучше всего должны соответствовать реальности.

Итак, проведенный анализ базисного ИПП (С+D+E) показывает, что у анализируемого временного ряда присутствует календарная, сезонная и нерегулярная составляющие динамики, которые делают уровни базисного ИПП не сопоставимыми во времени. Для того, чтобы обеспечить сопоставимость уровней ИПП проведем его сезонную декомпозицию методом X12, в котором отсутствует часть недостатков, присущих методу классической декомпозиции (с помощью скользящей средней).

На данном этапе исследования уже определено, что ряд ИПП:

o характеризуется мультипликативной сезонностью;

o представляет собой переменную типа потока, поэтому на его динамику окажут существенное влияние эффект «торговых дней» (будем различать выходные и рабочие дни, високосные года);

o имеет два выброса, сдвиг уровня (level shift) в январе 2013 и аддитивный выброс в декабре 2014 (additive outlier);

o хорошо моделируется с помощью sarima (4.1.0)(0.1.0).

Используя имеющуюся информацию, получим результаты сезонной декомпозиции, которые представлены на Рисунке 6, вынесенном в основную часть работы (см. Глава 2, пункт 2.2., стр.53).

2.2.5 Некоторые дополнительные сведения о моделировании базисного ИПП с помощью SARIMA моделей

Рисунок 27. Выборочная АКФ и ЧАКФ для ИПП (С+D+E) за 2010 - март 2015 гг.

Таблица 22. Схема согласования результатов тестирования временного ряда с помощью тестов на принадлежность к TS и DS рядам (на примере тестов ADF и KPSS)

ADF / KPSS	Нулевая гипотеза	Альтернативная гипотеза
	H0: TS не отвергается	H1: TS отвергается
H0: DS не отвергается	Исход 1	Исход 2
H1: DS отвергается	Исход 3	Исход 4
(1) если наблюдается исход 1, то это можно объяснить низкой мощностью обоих критериев; (2) если наблюдается исход 2, то это говорит в пользу DS-гипотезы; (3) если наблюдается исход 3, то это говорит в пользу TS-гипотезы; (4) если наблюдается исход 4, то это может говорить о том, что процесс порождения данных не описывается DS или TS моделями, а может быть, например, дробно-интегрированным процессом или процессом с нелинейным трендом.

Характеристики модели sarima (4.1.0)(0.1.0)

Таблица 23. Оценка модели sarima (4.1.0)(0.1.0), 2010 -- март 2015 гг., %

Sample (adjusted): 2011M06 2015M03
Included observations: 46 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
AR(1)	-0.447707	0.145576	-3.075411	0.0037
AR(2)	-0.384989	0.167635	-2.296584	0.0267
AR(3)	-0.094249	0.175222	-0.537880	0.5935
AR(4)	-0.414794	0.163207	-2.541514	0.0148
R-squared	0.354101	Mean dependent var	-0.157872
Adjusted R-squared	0.307965	S.D. dependent var	2.256217
S.E. of regression	1.876916	Akaike info criterion	4.180078
Sum squared resid	147.9582	Schwarz criterion	4.339091
Log likelihood	-92.14180	Hannan-Quinn criter.	4.239645
Durbin-Watson stat	1.887612
Inverted AR Roots	.38+.64i	.38-.64i	-.60+.62i	-.60-.62i

Источник: Расчет автора в пакете Eviews

Таблица 24. Оценка модели sarima (4.1.0)(0.1.0) после исключения AR(3), 2010 -- март 2015 гг., %

Sample (adjusted): 2011M06 2015M03
Included observations: 46 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
AR(1)	-0.424838	0.138074	-3.076891	0.0036
AR(2)	-0.331720	0.134131	-2.473092	0.0174
AR(4)	-0.377842	0.146816	-2.573577	0.0136
R-squared	0.349652	Mean dependent var	-0.157872
Adjusted R-squared	0.319403	S.D. dependent var	2.256217
S.E. of regression	1.861341	Akaike info criterion	4.143465
Sum squared resid	148.9774	Schwarz criterion	4.262724
Log likelihood	-92.29969	Hannan-Quinn criter.	4.188140
Durbin-Watson stat	1.915844
Inverted AR Roots	.39+.59i	.39-.59i	-.60+.64i	-.60-.64i

Источник: Расчет автора в пакете Eviews

Таблица 25. Оценка модели sarima (4.1.0)(0.1.0) по урезанному ряду с 2010 по сентябрь 2015 гг., %

Sample (adjusted): 2011M06 2014M09
Included observations: 40 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
AR(1)	-0.377342	0.154244	-2.446400	0.0193
AR(2)	-0.318419	0.154589	-2.059774	0.0465
AR(4)	-0.356855	0.154392	-2.311359	0.0265
R-squared	0.275431	Mean dependent var	-0.075000
Adjusted R-squared	0.236265	S.D. dependent var	1.968307
S.E. of regression	1.720141	Akaike info criterion	3.994728
Sum squared resid	109.4787	Schwarz criterion	4.121394
Log likelihood	-76.89455	Hannan-Quinn criter.	4.040526
Durbin-Watson stat	1.928348
Inverted AR Roots	.39+.58i	.39-.58i	-.58+.63i	-.58-.63i

Ни один корень характеристических уравнений не лежит за пределами единичной окружности, что является доказательством стационарности остатков модели.

Рисунок 28. АКФ и ЧАКФ остатков модели sarima (4.1.0)(0.1.0)

Таблица 26. LM-тест для остатков модели sarima (4.1.0)(0.1.0)

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	1.362489	Prob. F(2,41)	0.2674
Obs*R-squared	1.595249	Prob. Chi-Square(2)	0.4504

Источник: расчет автора в Eviews

Приведены результаты теста, в котором в регрессионную модель был включен первый и второй лаг остатков. Проверялась гипотеза об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при лаговых остатках. Согласно тесту, нулевая гипотеза не отвергается. При добавлении в регрессию более высоких порядков лагов остатков, приходим к аналогичным выводам.

Таблица 27. Проверка на нормальность остатков модели sarima (4.1.0)(0.1.0)

Название теста	Наблюдаемое значение	p-value
Тест Дурника-Хансена (Doornik-Hansen)	2,13	0,34
Тест Шапиро-Уилка (Shapiro-Wilk W)	0,98	0,46
Тест Лиллифорса (Lilliefors)	0,1	0,26
Тест Жака-Бера (Jarque-Bera)	1,29	0,52

Источник: расчет автора в Gretl

Во всех тестах гипотеза о нормальном распределении остатков модели не отвергается.

Таблица 28. Проверка на гетероскедастичность остатков модели sarima (4.1.0)(0.1.0) с помощью теста Уайта

Heteroskedasticity Test: White
F-statistic	1.051434	Prob. F(6,39)	0.4078
Obs*R-squared	6.404869	Prob. Chi-Square(6)	0.3794
Scaled explained SS	7.241924	Prob. Chi-Square(6)	0.2991

Источник: расчет автора в EViews

Sample: 2011M06 2015M03
Included observations: 46
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	2.074535	1.211403	1.712505	0.0947
GRADF_01^2	0.375506	0.170034	2.208409	0.0332
GRADF_01*GRADF_02	0.165636	0.177053	0.935521	0.3553
GRADF_01*GRADF_03	-0.096782	0.200219	-0.483381	0.6315
GRADF_02^2	-0.113462	0.14526	-0.781097	0.4395
GRADF_02*GRADF_03	0.19425	0.192987	1.006547	0.3204
GRADF_03^2	0.089022	0.209104	0.425731	0.6726
R-squared	0.139236	Mean dependent var	3.238639
Adjusted R-squared	0.006811	S.D. dependent var	5.267583
S.E. of regression	5.249613	Akaike info criterion	6.293454
Sum squared resid	1074.779	Schwarz criterion	6.571726
Log likelihood	-137.7494	Hannan-Quinn criter.	6.397696
F-statistic	1.051434	Durbin-Watson stat	1.729122
Prob(F-statistic)	0.407831

Источник: расчет автора в EViews

Гипотеза наличии гетероскедастичности отвергается, так как регрессия в целом не значима.

Таблица 29. Результаты ARCH теста остатков модели sarima (4.1.0)(0.1.0)

Heteroskedasticity Test: ARCH
F-statistic	3.617318	Prob. F(1,43)	0.0639
Obs*R-squared	3.491821	Prob. Chi-Square(1)	0.0617

Источник: расчет автора в EViews

Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Sample (adjusted): 2011M07 2015M03
Included observations: 45 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	2.697113	0.914062	2.950688	0.0051
RESID^2(-1)	0.277209	0.145752	1.901925	0.0639
R-squared	0.077596	Mean dependent var	3.696434
Adjusted R-squared	0.056145	S.D. dependent var	5.164509
S.E. of regression	5.017435	Akaike info criterion	6.107141
Sum squared resid	1082.51	Schwarz criterion	6.187437
Log likelihood	-135.4107	Hannan-Quinn criter.	6.137075
F-statistic	3.617318	Durbin-Watson stat	2.033291
Prob(F-statistic)	0.063894

Источник: расчет автора в EViews

Регрессия в целом не значима. При добавление квадратов остатков более высоких лагов регрессия остается не значимой, поэтому заключаем, что в остатках модели sarima(4.1.0)(0.1.0) ARCH-эффект отсутствует.

Характеристики модели sarima (4.1.1)(0.1.0)

Таблица 30. Оценка модели sarima (4.1.1)(0.1.0)

Sample (adjusted): 2011M06 2015M03
Included observations: 46 after adjustments
Convergence achieved after 7 iterations
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
AR(4)	-0.35156	0.161074	-2.18258	0.0344
MA(1)	-0.54789	0.135367	-4.04748	0.0002
R-squared	0.319376	Mean dependent var	-0.15787
Adjusted R-squared	0.303907	S.D. dependent var	2.256217
S.E. of regression	1.882411	Akaike info criterion	4.145489
Sum squared resid	155.9127	Schwarz criterion	4.224995
Log likelihood	-93.3462	Hannan-Quinn criter.	4.175272
Durbin-Watson stat	1.858515
Inverted AR Roots	.54+.54i	.54+.54i	-.54+.54i	-.54+.54i
Inverted MA Roots	0.55

Источник: Расчет автора в пакете Eviews

Ни один корень характеристических уравнений не лежит за пределами единичной окружности, что является доказательством стационарности остатков модели.

Рисунок 29. АКФ и ЧАКФ остатков модели sarima (4.1.1)(0.1.0)

Таблица 31. LM-тест для остатков модели sarima (4.1.1)(0.1.0)

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	0.435219	Prob. F(1,43)	0.513
Obs*R-squared	0	Prob. Chi-Square(1)	1

Источник: расчет автора в Eviews

Приведены результаты теста, в котором в регрессионную модель был включен первый лаг остатков. Проверялась гипотеза об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при лаговых остатках. Согласно тесту, нулевая гипотеза не отвергается. При добавлении в регрессию более высоких, приходим к аналогич...