Рассмотрим уравнениеII.

Матрица, составленная из коэффициентов у переменных, которые не входят в рассматриваемое уравнение, имеет ранг 3, определитель подматрицы 33 этойматрицы отличен от нуля.

Условие достаточности идентификации для уравнения II выполняется.

Рассмотрим III уравнение.

Матрица, составленная из коэффициентов у переменных, которые не входят в рассматриваемое уравнение, также имеет ранг 3.

Условие достаточности идентификации для уравнения III выполняется.

Получили, что все уравнения сверхидентифицированы. Для оценки коэффициентов каждого из уравнений воспользуемся двухшаговым МНК.

а)Представим приведенную форму модели в виде

R_t=A₁+A₂R_t-1+A₃I_t-1+A₄D_t+A₅GR_t;

I_t=B₁+B₂R_t-1+B₃I_t-1+B₄D_t+B₅GR_t;

V_t=C₁+C₂R_t-1+C₃I_t-1+C₄D_t+C₅GR_t;

s_t=E₁+E₂R_t-1+E₃I_t-1+E₄D_t+E₅GR_t.

Определим коэффициенты каждого из приведенных уравнений отдельно обычным МНК. Затем рассчитаем значения эндогенных переменных V_t, s_t, которые используются в правой части модели, подставляя в уравнения приведенной формы соответствующие значения независимых переменных.

б)Заменим эндогенные переменные, которые выступают в качестве факторовисходных структурных уравнений, их расчетными значениями

R_t=a₁+c_11t+c₁₂R_t-1;

I_t=a₂+c₂₁s_t+c₂₂I_t-1;

s_t=a₃+c_31t+c₃₂D_t-1.



Каждое из полученных уравнений обрабатывается отдельно обычным МНК и определяются структурные параметры a₁, c₁₁, c₁₂, a₂, c₂₁, c₂₂, a₃, c₃₁, и c₃₂.

2. При исключении из модели тождества дохода, количество предопределенныхпеременных модели уменьшается на 1 (исключается переменнаяGR_t). Число эндогенных переменных также снижается на единицу - переменная V_t становится экзогенной. В функции потребления и функции финансового рынка справа будут находиться только независимые переменные.

Функция инвестиций определяет зависимость переменной I_t, отпеременной s_t (которая зависит только от независимых переменных) и лаговой переменной I_t-1. Следовательно, мы получим рекурсивную систему. Для получения ее параметров можно воспользоваться обычным МНК, при этом нет необходимости исследования системы на идентификацию.

Контрольные вопросы

1. Что такое системы одновременных уравнений в экономическом моделировании?

2. Охарактеризуйте виды систем уравнений, которые применяются в эконометрике.

3. Охарактеризуйте методы, применяемые при нахождении структурных коэффициентов модели у разных видов систем уравнений.

4. Дайте определения эндогенным, экзогенным, предопределеннымпеременным.

5. Охарактеризуйте структурную и приведенную форму модели.

6. Что такое идентификация модели?

7. На какие виды делятся структурные модели с точки зрения идентифицируемости?

8. В чем суть необходимого и достаточного условия идентификации уравнения?

9. Что собой представляет и как применяется косвенный МНК?

10. Что собой представляет и как применяется двухшаговый МНК?

Выполните задания

Задание 4.1.

Проверить идентифицируемость эконометрической модели:

у₁= b₁₂у₂ + b₁₃у₃ + а₁₁х₁ + а₁₂х₂;

у₂= b₂₁у₁ +а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃;

у₃= b₃₁у₁ + b₃₂у₂+а₃₁х₁ + а₃₃х₃+ а₃₄х₄.

Задание 4.2.

Проверить идентифицируемость эконометрической модели:

у₁= b₁₂у₂ + b₁₃у₃ + а₁₁х₁ + а₁₂х₂;

у₂= b₂₁у₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃;

у₃= b₃₁у₁ + b₃₂у₂+а₃₁х₁ + а₃₃х₃+ а₃₄х₄.

Задание 4.3.

Проверить уравнения на условия идентификации:

у₁= b₁₂у₂+ b₁₃у₃ + а₁₁х₁ + а₁₂х₃;

у₂= b₂₁у₁ + а₂₂х₂ + а₂₃х₃ +а₂₄х₄;

у₃= b₃₁у₁ + b₃₂у₂+а₃₁х₁ + а₃₂х₂.

Задание 4.4.

По данным в таблице построить эконометрическую модель, используя косвенный МНК:

у₁= b₁₂у₂ + а₁₁х₁;

у₂= b₂₁у₁ + а₂₂х₂.

№ региона	X1	X2	Y1	Y2
1	1	5	2	5
2	2	4	3	6
3	3	6	4	7
4	2	3	5	8
5	4	6	6	5

Задание 4.5.

По данным в таблице построить эконометрическую модель, используя двухшаговый МНК:

у₁= b₁₂(у₂ +х₁);

у₂= b₂₁у₁ + а₂₂х₂.

№ региона	X1	X2	Y1	Y2
1	1	5	2	5
2	2	4	3	6
3	3	6	4	7
4	2	3	5	8
5	4	6	6	5

Задание 4.6.Проверить возможность идентификации модели. Какие переменные являются экзогенными, какие эндогенными. Привести к приведенной форме модели.

Размещено на http://www.allbest.ru/

I_t = b₀ + b₁s_t + b₂I_t-1

s_t = c₀+ c₁V_t + c₂D_t

V_t = R_t + I_t+ P_t

где R- расходы на потребление;

V - ВВП;

I - инвестиции;

s - процентная ставка;

D - денежная масса;

P - государственные расходы;

t, t-1- текущий и предыдущий период.

Задание 4.7. Проверить возможность идентификации модели. Какие переменные являются экзогенными, какие эндогенными. Привести к приведенной форме модели.

V_t = a₀ + a₁V_t-1 + a₂I_t

I_t = b₀ + b₁V_t + b₂U_t

R_t = c₀ + c₁V_t + c₂R_t-1 + c₃P_t

U_t = d₀ + d₁U_t-1 + d₂W_t

где V - национальный доход;

R- расходы на потребление;

I - чистые инвестиции;

U - валовая прибыль;

P - индекс стоимости жизни;

W - объем продукции промышленности;

t-1 - предыдущий период;

t - текущий период.

4.5 Самостоятельная работа студентов

Литература для самостоятельной работы

1. Новиков, А. И. Эконометрика: учеб. пособие: Дашков и К, 2013, -224 с.

2. Кремер, Н. Ш. Эконометрика: Учеб. для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко.-М. : ЮНИТИ, 2012. -310с.

3. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю., Сиротин В.П. Эконометрика: Учебно-методический комплекс.-М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. - 144 с.

4. Бардасов С.А. Эконометрика: Учебное пособие. Издательство: Тюмень: ТГУ. 2010.

5. Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования : учеб. пособие / Л. О. Бабешко. - Изд. 4-е. - М. : КомКнига, 2010. - 428 с.

6. Эконометрика: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, Н. А. Брызгалов и др.; под ред. В. Б. Уткина. -М.: Дашков и К, 2012. -304 с.

7. Ильченко А.Н. Практикум по экономико-математическим методам: учеб. пособие / А. Н. Ильченко, О. Л. Ксенофонтова, Г. В. Канакина. - М.: Финансы и статистика: ИНФРА-М, 2009. - 287 с.

8. Айвазян С.А. Методы эконометрики. М. Магистр, 2009.

INTERNET-ресурсы

1.http://subscribe.ru/archive/science.humanity.econometrika/200007/17050500.html

2. http://www.cemi.rssi.ru/rus/publicat/e-pubs/ep97001/1.htm

3. http://www.softlist.ru/cgi-bin/program.cgi?id=1988 - 7К

4. http://web.ido.ru/WWW/Courses.nsf/CoursesList?Open&About=055 - 2К

5. http://www.freeware32.ru/download.php3?id=1335 - 17К

6. http://www.nes.ru/Acad_year_2001/Prob_Stat.htm

ТЕМА 5. Задачи экономического анализа, решаемые на основе регрессионных эконометрических моделей

5.1 Измерение связи между зависимыми и независимыми факторами

Линейная корреляция.

а) для несгруппированных данных.

Если между двумя явлениями х иу существует линейное стохастическое соотношение - линейная регрессия, то степень интенсивности связи можно измерить, используя коэффициент корреляции r_xy. Корреляция в широком смысле слова означает связь, соотношение между объективно существующими явлениями и процессами. Соотношение между регрессией и корреляцией можно представить в виде следующей схемы, предложенной Браве и Пирсоном.

Пусть заданы значения переменных х и у, между которыми существует линейное соотношение.

у, х - средние значения переменных или их математические ожидания;

n - число проведенных наблюдений;

у_х- стандартное отклонение х;

у_у - стандартное отклонение у.

Представим уравнение

в виде

Величина

показывает среднее приращение увеличинамиу_упри увеличении х на одно значение у_х.Значениеrопределяет тесноту связи и называется простым линейным коэффициентом корреляции или выборочным коэффициентом корреляции или парным коэффициентом или коэффициентом корреляции.

Используют другие модификации формулы для r.

В данной формуле у_х и у_у - выборочные средние квадратические отклонения для переменных х и у, а у_ху-выборочная ковариация или выборочный корреляционный момент.

Определение. Отклонение математического ожидания произведения случайных величин х и уотпроизведения их математических ожиданийназываетсяковариацией, т.е.

Ковариация случайных величин определяет как степень их связи, так и рассеяние вблизи точки (х, у). Наличие размерности у ковариации затрудняет ее использование при оценке зависимости случайных величин. У коэффициента корреляции этих недостатков нет.

Практические расчеты наиболее удобно выполнять по формуле

Свойства коэффициента корреляции:

-1?r? 1. Связь тем теснее, чем ближе | r_ух | к 1.

При r = 1 между отклонениями х_i - х и у_i - усуществует прямая линейная связь, а при r= -1 обратная.

r = 0 показывает на отсутствие линейной связи, а не на отсутствие связи вообще.

Вычисляя коэффициент корреляции для линейной регрессии безразлично, какая переменная является зависимой, а какая объясняющей, т.е. r_ух = r_ху.

Коэффициент корреляции не изменится, если переменные подвергнуть преобразованию или изменить их единицы измерения.

б) при сгруппированных данных.

Отклонения х_j - х взвешиваем по частотам g_ij-го интервала значений независимой переменной х, отклонения у_k - у - по частотам h_kk-го интервала зависимой переменной у, а произведение отклонений (х_j - х)(у_к - у) - по условным частотам p_kj.

Поэтому

Коэффициент корреляции, вычисленный по несгруппированному материалу более точен, чем коэффициент корреляции, вычисленный по сгруппированным данным, так как не зависит от погрешности, вносимой группировкой данных.

в) Взаимосвязь коэффициентов корреляции, детерминации и регрессии.

Коэффициент а₁ линейной регрессии y = а₀ + а₁x переменной у на х определяется отношением

Коэффициент корреляции задается следующим соотношением:



Квадрат этого коэффициента называется коэффициентом детерминации. Он служит для оценки качества линейной функции и в случае линейной регрессии определяется следующим соотношением:

Это отношение показывает, какой частью изменчивости фактора хобусловлено общее рассеяние значений переменной у. Это соотношение можно преобразовать:

Если коэффициент детерминации равен 1, то эмпирические данные лежат на корреляционной прямой, а если он равен 0, то не существует линейной зависимости у от хв статистическом понимании. Коэффициент детерминации является безразмерной величиной, не реагирующей на преобразования переменных.

С коэффициентом детерминации связано понятие меры неопределенности регрессии:

Рассмотрим теперь сопряженную регрессию:

Тогда

и поэтому

г) Линейная множественная корреляция.

Коэффициент множественной корреляции является показателем тесноты связи исследуемого набора факторов с анализируемым признаком, т.е., оценивает тесноту совокупного влияния факторов на результатинаходится по формуле

где у_у²- общая дисперсия зависимой переменной,

Величина коэффициента множественной корреляции должно быть не меньше максимального парного коэффициента корреляции:

= 1, 2, …m.

При линейной зависимости формула коэффициента множественной корреляции может выражаться через парные коэффициенты регрессии следующим образом:

гдеr_ухiявляются парными коэффициентами корреляции результирующей переменной с каждым фактором.

Частные коэффициенты корреляции показывают влияние фактора х_iнау, при неизменных значениях других факторов и определяются формулой

прогнозирование экономический детерминация

или рекуррентной формулой



Частные коэффициенты корреляции лежат в интервале от -1 до 1. В целом качество построенной множественной регрессии оценивает коэффициент детерминации по формулеR²yx1…xm.

д) Неучтенные факторы и их влияние на рассматриваемые коэффициенты

На коэффициент корреляции при экономических расчетах могут оказывать влияние следующие факторы:

- географический фактор: природно-климатические и физико-географические условия;

- фактор времени: следует учитывать, за какой период по экономическим данным вычисляется коэффициент корреляции - за месяц, квартал, год;

- однородность группировки социально-экономических явлений по комплексу признаков. Исследователь должен располагать теоретически обоснованным критерием определения статистической однородности.

Нелинейная корреляция.

а) для уравнения парной регрессии.

Для уравнения нелинейной парной регрессии, так же, как и для линейной, вводится индекс корреляции:



где Т. к.

то индекс корреляции выражается как

Выполняется 0?R?1;чем ближе Rк единице, тем надежней найденное уравнение.

Если нелинейное уравнение после преобразования принимает линейную форму, то может быть использован коэффициент корреляции линейной регрессии, величина которого равна индексу корреляции R_ху= r_уz, где z -величина фактора после преобразования, к примеру, z= lnxилиz = 1/x.Рассмотрим, например, равностороннюю гиперболуy = b + a/x.Выполнив замену1/x=z, получим линейное уравнение y = b + az, коэффициент корреляции для которого: r=az/y . Возводя в квадрат, получим:

Продолжая преобразования, придем к следующей формуле

следовательно,

Так как

и , то

Итак, получаем формулу индекса корреляции

Заменяяzна 1/х, получаем , и, соответственно . Подобные преобразования для других функций, для которых требование МНК выполнимо и преобразования не изменяют зависимую переменную, приводят к аналогичному результату.

Если же преобразования уравнения к линейному виду касаются зависимой переменной, то коэффициент корреляции, вычисленный по преобразованным значениям факторов, лишь приближенно оценивает тесноту связи и с индексом корреляции может не совпадать.

Так, например, у степенной функции после преобразования к линейному уравнению коэффициент корреляции вычисляется для значений логарифмовх и у, то есть . Квадрат этого значения характеризует отношение сумм квадратов отклонений не для значений у, а для их логарифмов:

Между тем, при вычислении индекса корреляции берутся суммы квадратов отклонений значений у, а не логарифмов их значений. Для этого определяют теоретические значения у, как антилогарифмы рассчитанных величин lny, и остаточную сумму квадратов в виде. Тогда индекс корреляции вычисляется по формуле:

Мы видим, что знаменатели и числители при расчетеисущественно различаются.

Отметим также, что сопряженные регрессии при линейной связи имеют равные коэффициенты корреляции, , а при криволинейной зависимости .

Индекс детерминации при сравнении с коэффициентом детерминации служит обоснованием возможности применения линейной регрессии. Чем значение коэффициента детерминации меньше значения индекса детерминациитем больше кривизна регрессии. Близость этих значений означает, что может быть использована линейная функция. При предположение о линейной зависимости оправданно. Иначе оценка существенности различия коэффициентов и проводится с использованиемt-критерия Стьюдента:

, где - ошибка отклонения между и .

При t_ф >t_тразличия между разными коэффициентами корреляции существенны, поэтому замена нелинейного вида регрессии линейной функцией невозможна. При 2>t различия несущественны, применение линейной регрессиивозможно.

б) для уравнения множественной регрессии

Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции.

Например, пусть прибыль фирмы описывается уравнением

у = a₀ + а₁x₁ + а₂x₂ + а₃lnx₃+ а₄lnx_{4 ,}

где х₁ -расходы на рекламу;

х₂ - капитал фирмы;

х₃ - доля рынка, занимаемая фирмой в продаже данной группы товаров в регионе;

х₄ - темп роста объема продаж по сравнению с прошлым годом.

Несмотря на то, что факторых₁и х₂ заданы линейно, а х₃, х₄ -логарифмами, оценка тесноты связи может производиться с использованием линейного коэффициента множественной корреляции.

Не так обстоит дело с нелинейной по оцениваемым переменным регрессией. Пусть анализируется производственная функция Кобба-Дугласа:

, где P- объем производства, К - величина капитала, L -затраты труда,b₁+b₂=1.Логарифмируя, получаем линейное уравнение вида:

LnP = lna + b₁lnК + b₂lnL.

Индекс детерминации нелинейных функций называют «квази R²», для его вычисления сначала находят теоретические значения lny, потом трансформируют их через антилогарифмы, и далее определяют «квази R²» по формуле:

Индекс множественной корреляции, определенный как «квази R²», не равен совокупному коэффициенту корреляции.

Для того чтобы не допустить превышения тесноты связи, используется модифицированный коэффициент множественной корреляции. Он рассчитывается по формуле, которая содержит поправку на количество степеней свободы:

,

где n - количество наблюдений, m - количество факторов.

Чем больше значениеm, тем сильнее разница между.

Для линейной регрессии скорректированный коэффициент корреляции вычисляется аналогично индексу множественной корреляции. Но в линейной регрессии m- это число факторов модели, а в криволинейной регрессии это количество коэффициентов при х. Например, в линейной регрессии у = a₀ + а₁x₁+а₂x₂имеем m = 2, а для уравнения регрессии вида

у = a₀ + а₁x₁²+а₁₂x₁ + а₂x₂ +а₂₂x₂²

количество параметров при х равно 4, то есть m = 4.

5.2 Влияние отдельных факторов на результативную переменную

Понятие эластичности и еесвойства.

Эластичность функции была введена Аланом Маршаллом при анализе функции спроса. Это математическое понятие может применяться для любых дифференцируемых функций.

Эластичность функции у =f(x) в точке х₀определяется следующим пределом:

Часто в обозначении эластичности опускаютх₀. Эластичность Е_у является коэффициентом пропорциональности между относительными приращениями величин х и у .При увеличении х на один процент у увеличивается приблизительно на Е_у процентов.

Вычисление эластичности производится по нескольким эквивалентным формулам (при существовании конечной производной функции у =f(x) в точке х₀):

Свойства эластичности:

а)для эластичности суммы у=у₁+…+у_п положительных функций у_iвыполняется соотношение Е_minЕ_уЕ_max, где Е_min(Е_max) - это минимальная (максимальная) эластичность функций у_i;

б)эластичность произведения u=u(x) и v=v(x) равна сумме эластичностей этих функций: Е_uv = Е_u +Е_v;

в)эластичность частного u=u(x) и v=v(x) равна разности эластичностей этих функций: Е_uv = Е_u - Е_v;

г) эластичность сложной функции у=f(g(t)) удовлетворяет равенству Е_уt= Е_уxЕ_xt;

д) эластичность обратной функции Е_ху=Е_ух^-1.

Примеры:

у = х+С,

у=х^а,

Как видим, эластичность степенной функции является константой. В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора x. В силу этого для них обычно рассчитывается средний показатель эластичности

Пример5.1. По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции y от факторов, приведенных в таблице. Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат. Проранжировать факторы по силе влияния. Данные представлены в таблице 5.1.

Таблица 5.1.

Объем производства (х1)	у(х1)=0,62+58,74•(1/х1)	2,64
Трудоемкость единицы продукции (х2)	у(х2)=9,3+9,83•х2	1,38
Оптовая цена за 1т. энергоносителя (х3)	у(х3)=11,75+х31,6281	1,503
Доля прибыли, изымаемая государством (х4)	у(х4)=14,87•1,016х4	26,3

Тогда получаем:

a) для линейной функции у=b+ax

b) для гиперболы у=b+a/x

c) для степенной функции у=bx^а

d) для показательной функции у=bа^х

Наиболее слабое влияние на изменение признака у оказывает факторx₄, поскольку коэффициент эластичности по абсолютной величине имеет самое низкое значение 0,1813.

Это означает, что при росте доли прибыли, изымаемой государством, на 1% себестоимость увеличится на 0,18%. Наиболее сильное влияние на изменение признака у оказывает факторx₃, поскольку коэффициент эластичности по абсолютной величине имеет самое высокое значение 1,6281. Это означает, что при росте цены за одну тонну энергоносителя на 1%, себестоимость возрастет на 1,63%.

Упорядочим факторы по силе влияния на изменение себестоимости:

Ранг	Факторный признак	Обозна- чение	Коэффициент эластичности	Комментарий
1	Доля прибыли, изымаемой государством	x4	0,1813	Инфраэластичность. Влияние практически отсутствует. Фактор оказывает наименьшее влияние на себестоимость
2	Трудоемкость единицы продукции	x1	0,5933	При изменении трудоемкости единицы продукции на 1% себестоимость изменится на 0,59%. Инфраэластичность, влияние слабое.
3	Объем производства	x2	-0,9728	Между изменением объема производства и себестоимости существует обратная зависимость. С увеличением объема производства на 1% себестоимость снижается на 0,97%.
4	Цена за одну тонну энерго-носителя	x3	1,6281	При изменении фактора на 1% себестоимость изменяется на 1,63%. Ультраэластичность, влияние сильное. Фактор оказывает наибольшее влияние на себестоимость

Пример5.2. В таблице 5.2. указаны парные коэффициенты корреляции. Провести анализ целесообразности включения заданных факторов в модель множественной линейной регрессии.

Таблица 5.2.

	у	x1	x2	x3	x4
у	1
x1	0,71	1
x2	0,58	0,53	1
x3	0,08	0,2	0,13	1
x4	0,62	0,81	0,3	0,25	1

Между y и x₃ связь практически отсутствует. Между y и x₁ связь сильная, между y и x₂, x₄ - умеренная.

Отсюда следует вывод о нецелесообразности включения фактора x₃ в модель множественной линейной регрессии (коэффициент парной корреляции с результатом равен 0,08).

Между факторами x₁ и x₄ существует сильная прямая связь (коэффициент парной корреляции >0,8). Для того чтобы избежать явления мультиколлинеарности, один из этих факторов должен быть исключен из анализа. Исключается фактор x₁, умеренно коррелирующий с x₂ (коэффициент их парной корреляции равен 0,53). Факторы, включенные в модель множественной регрессии: x₂, x₄.

5.3 Практический блок

Пример

По данным таблицы 5.3 изучается зависимость Y(тыс. руб.) - прибыли торгового предприятия от следующих факторов:

X1 - товарные запасы (тыс. руб.);

X2 - фонд зарплаты (тыс. руб.);

X3 -торговые издержки (тыс. руб.);

X4 -продажи(тыс. руб.).

Таблица 5.3.

Месяц	У	Х1	Х2	Х3	Х4
I	41321,6	300284,1	19321,8	42344,9	100340,0
2	40404,3	49107,2	20577,9	49000,4	90001,3
3	37222,1	928388,7	24824,9	50314,5	29302,0
4	37000,8	724949,1	28324,9	48216,4	11577,4
5	29424,8	730855,3	21984,8	3301,3	34209,8
6	20348,2	2799881,1	11000,0	21284,2	29300,0
7	11847,1	1824351,2	4328,9	28407,8	19531,9
8	14320,6	1624500,8	7779,4	40116,0	17343,2
9	18239,5	1115200,9	18344,1	32205,0	4391,0
10	22901,5	1200947,5	20937,3	30105,3	14993,2
11	27391,9	1117850,9	27344,3	40294,4	104300,0
12	44808,4	1379590,0	31939,5	42239,8	119804,3
13	40629,3	588365,8	29428,6	55584,3	155515,1
14	31324,8	434281,9	30375,8	49888,2	60763,2
15	34847,9	1428243,6	33000,9	59866,5	8763,2
16	33241,3	1412181,6	31322,6	49975,8	4345,4
17	29971,3	1448274,1	20971,8	3669,9	48382,1
18	17114,9	4074616,7	11324,9	26032,9	10168,0
19	8944,9	1874299,0	8341,5	29327,2	22874,4
20	17499,6	1525436,5	10481,1	40510,0	29603,0
21	19244,8	1212238,9	18329,9	37444,7	16605,7
22	34958,3	1154327,2	29881,5	36427,2	32124,6
23	44900,8	1173125,0	34928,6	51485,6	200485,0
24	57300,3	1435664,9	41824,9	49959,9	88558,6

Задание:

1. Построить линейную (аддитивную) множественную регрессию для заданной статистики данных.

2. Оценить адекватность построенного уравнения.

3. Определить значимые и незначимые переменные.

4. Построить уравнение со статистически значимыми переменными. Привести экономическую интерпретацию всем параметрам модели.

5. Проверить полученную регрессию на автокорреляцию остатков.

6. Для полученной регрессии проверить условие гомоскедастичности остатков, используя метод Голдфельда-Квандта.

Решение:

На рис. 5.2представлен регрессионный анализ (с использованием Пакета анализа EXCEL).

Рис. 5.2. Вывод итогов



Во второй колонке внизу (под заголовком «Коэффициенты») находятся полученные коэффициенты регрессии:

a₀ = 7825.51, a₁=-0.00098, a₂=0.8806, a₃=0.0094, a₄=0.0617. Получено уравнение множественной регрессии в виде:

у=7825.51 - 0.00098х₁+ 0.8806х₂ +0.0094х₃ +0.0617х₄.

Во второй строке таблицы «R-квадрат»--коэффициент детерминацииR². Имеем R²= 0,8178, что свидетельствует о том, что вариабельность балансовой прибыли - Y на 81,78% объясняется изменениями факторов - X₁, Х₂, X₃, X₄. Это свидетельствует об адекватности регрессии.

«Нормированный R-квадрат» -коэффициент детерминации, поправленный по количеству степеней свободы. Он также указывает на достаточно высокую адекватность модели.

Анализ колонок 4 и 5 (под заголовками «t-статистика» и «Р-Значение») дает возможность сделать вывод о значимости лишь коэффициентов при X2 и Х4, так как только для них t-статистика больше 2,Р-значение меньше 0.05. Значит, при уровне значимости, равном 0.05,включение в модель факторов X1 и Х3нецелесообразно.

Построим теперь уравнение зависимости прибыли - Yот значимых факторовX2 и Х4. Регрессионный анализ полученной регрессии приведен в табл.5.4.

Таблица 5.4 - Регрессионная статистика

Множественный R	0,902446
R-квадрат	0,814410
Нормированный R-квадрат	0,796734
Стандартная ошибка	5515,5398
Наблюдения	24
Дисперсионный анализ

Оценим адекватность полученной регрессии:

ВеличинаR²= 0,81441показывает, что вариация переменной Yна 81,441% объясняется вариацией включенных в уравнение переменных Х2 и Х4.Этимподтверждается адекватность модели.

Значение откорректированного коэффициента детерминации (0,796734) выросло по сравнению с предыдущей моделью, в которой были все объясняющие факторы (0,77944).

Оценим значимость построенной модели. В табл.5.4 t-статистика факторов Х2 и Х4 больше 2, Р-значение <0,05, следовательно, включенные в уравнение факторы при значимости = 0.05являются значимыми. Получили уравнение балансовой прибыли торгового предприятия в следующем виде:

= 5933,10 + 0,9162*Х2+ 0,0645*Х4.

Экономическая интерпретация параметров модели:

Коэффициент а₁ = 0,9162, показывает, что при увеличении X2 (фонда зарплаты)на 1 тыс. руб. Y(балансовая прибыль) возрастает в среднем на 916,2 руб., а коэффициент а₂ = 0,0645 означает, что при увеличенииХ4(объемов продаж) на 1 тыс. руб. Yв среднем возрастает на 64,5 тыс. руб. Анализ t-статистики и Р-значений показывает значимость полученных коэффициентов.

Рассчитаем средние коэффициенты эластичности.

Для этого рассчитаем сначала средние значения переменных.

=29800,4, =22371,6, =52220,1.

Э_х2=0,9162*22371,6/29800,4=0,688.

Коэффициент эластичности второго фактора - рост фонда зарплаты на 1% увеличиваетYна 0,688%.

Э_х4=0,0645*52220,1/29800,4=0,114.

Этот коэффициент эластичности показывает увеличениеY на 0,114% при росте объема продаж на 1%.

Выполняя задание 5,вновь обратимся к “Пакету анализа” в EXCEL.

Предварительно отсортируем данные по возрастанию фактораX4, считая, что дисперсия отклонений зависит от величины этого фактора.

Выделим из табл.3 первые и последние т =8 строк.

Дисперсионный анализ модели, построенной по первым 8 строкам, приведен в таблице 5.5.

Таблица 5.5.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	5,070Е+08	2.530E+08	20,96	0.0037
Остаток	5	ЕSS1=6.040E+07	1.210E+07
Итого	7	5.670E+08

Дисперсионный анализ уравнения, построенного по последним 8 строкам, приведен в таблице 5.6.

Таблица 5.6.

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1,770Е+08	884590	1.00062	0.39865
Остаток	5	ЕSS2=3.980E+08	795769
Итого	7	5.750E+08

Вычислим F_расч= ESS₂/ESS₁= 3,980Е+08/6,040Е+07 = 6,59.

Для нахождения табличного значения F_расчобратимся к функцииFРАСПОБР(0,05;6;6), встроенной в EXCEL(в категории «статистических»), где 0,05 - вероятность ошибки; 8-2=6-количество степеней свободы распределения Фишера. F_расч больше FPACПOБP(0,05;6;6)=4.3, следовательно, модель гетероскедастична.

Выполняя задание 6 определяем значения отклонений е_i=y_i-, для всехi (i=1,2,..., n). Это можно сделать, установив в диалоговом окне Регрессияфлажок Остатки.

В табл.5.7представлены результаты вычислений.

Получили значение d=6,50Е+08/6,40Е+08 = 1,016.

В таблице критических значений распределения Дарбина-Уотсона находим два значения: d_ниж - нижнюю границу и d_верх - верхнюю границу (табл.5.8.).

В нашем примере 2 фактора (m=2), d_ниж = 1,19,d_верх = 1,55.

Полученное значение dудовлетворяет 0dd_ниж. Таким образом, существует положительная автокорреляцияостатков.



Контрольные вопросы

1. Какие факторы влияют на величину стандартных ошибок выборочных коэффициентов регрессии?

2. Как связаны выборочные коэффициенты регрессии с коэффициентом корреляции величин х и у?

3. Какой коэффициент характеризует долю объясненной дисперсии в общем значении дисперсии зависимой переменной?

4. На какие этапы делится проверка качества регрессии?

5. Что выражает коэффициент детерминации R²и как он рассчитывается?

6. В каких эконометрических задачах используется распределение Фишера?

7. Какие распределения используются для оценки качества линейной регрессии?

8. Какие показатели отражают независимость отклонений анализируемой переменной от полученной линии регрессии? Какими средствами осуществляется проверка независимости?

9. Когда необходимо исключение из рассмотрения незначимых переменных и добавление новых?

10. Что показывает коэффициент эластичности Е_у, средний коэффициент эластичности ?_у, и как они вычисляются?

11. В каких случаях наблюдается положительная автокорреляция остатков?

12. Проверка качества полученных оценок параметров уравнения с использованием различных критериев.

13. Порядок использования инструментальных переменных

14. Фиктивные переменные и их назначение.

15. Каковы особенности применения в практике регрессионных моделей?

Задачи для самооценки

Задача 5.1.Имеется информация о товарообороте и доходах населенияРоссии за 2010 - 2012 гг.

Месяц	Товарооборот, в % к пред.месяцу	Доходы населения в % к пред.месяцу	Месяц	Товаро- оборот в % к пред.месяцу	Доходы населения в % к пред.месяцу
Январь	91,6	79,6	Июль	102,4	102,7
Февраль	92,6	100,6	Август	106,9	96,7
Март	104,4	102,8	Сентябрь	96,8	81,6
Апрель	101,6	106,7	Октябрь	92,8	107,9
Май	97,8	92,6	Ноябрь	100,5	69,8
Июнь	98,8	110,2	Декабрь	108,2	122,9
Июль	100,9	96,7	Январь	80,1	63,8
Август	103,8	97,2	Февраль	96,8	107,5
Сентябрь	104,7	98,6	Март	106,1	103,4
Октябрь	100,5	105,7	Апрель	97,6	108,1
Ноябрь	101,6	97,5	Май	100,4	93,8
Декабрь	116,1	129,8	Июнь	100,8	104,2
Январь	82,6	63,9	Июль	100,2	97,3
Февраль	91,7	104,4	Август	106,8	104,9
Март	103,5	101,8	Сентябрьь	100,8	98,8
Апрель	100,4	105,6	Октябрь	102,4	104,7
Май	99,3	91,4	Ноябрь	100,6	99,8
Июнь	99,1	102,7	Декабрь	116,1	136,8

Необходимо:

Построить трендовую и сезонную составляющую (отдельно для каждого показателя).

Оцените значимость построенных моделей.

Определите корреляцию и эластичность показателей.

Задача 5.2.Имеются следующие данные по торговым предприятиям.

Номер предприятия	Годовой валовой доход, млн. руб.	Среднегодовая стоимость, млн. руб.
		оборотных средств	основных фондов
1	204	119	104
2	64	128	58
3	46	117	55
4	114	80	64
5	122	98	31
6	86	105	54
7	115	128	58
8	58	122	48
9	83	113	39
10	239	157	110
11	162	117	89
12	76	99	47

Необходимо:

Построить линейную множественную регрессию и пояснить экономический смысл полученных параметров.

Рассчитать частные коэффициенты эластичности.

Определить коэффициенты регрессии.

Определить силу связи анализируемой переменной и факторов.

Определить коэффициенты корреляции, множественный коэффициент корреляции.

Дать оценку полученной регрессии по коэффициенту детерминации.

5.5 Самостоятельная работа студентов

Литература для самостоятельной работы

1. Новиков, А. И. Эконометрика: учеб. пособие: Дашков и К, 2013, -224с.

2. Кремер, Н. Ш. Эконометрика: Учеб. для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко.-М. : ЮНИТИ, 2012. -310с.

3. Бывшев, В. А. Эконометрика: учеб. пособие / В. А. Бывшев. -М.: Финансы и статистика, 2009 . -477с.

4. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю., Сиротин В.П. Эконометрика: Учебно-методический комплекс. - М.: Изд. центр ЕАОИ. 2008. - 144 с.

5. Бардасов С.А. Эконометрика: Учебное пособие. Издательство: Тюмень: ТГУ. 2010.

6. Бабешко Л.О. Основы эконометрического моделирования : учеб. пособие / Л. О. Бабешко. - Изд. 4-е. - М. : КомКнига, 2010. - 428 с.

7. Эконометрика: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, Н. А. Брызгалов и др.; под ред. В. Б. Уткина. -М.: Дашков и К, 2012. -304 с.

8. Ильченко А.Н. Практикум по экономико-математическим методам: учеб. пособие / А. Н. Ильченко, О. Л. Ксенофонтова, Г. В. Канакина. - М.: Финансы и статистика: ИНФРА-М, 2009. - 287 с.

9. Айвазян С.А. Методы эконометрики. М. Магистр, 2009.

INTERNET-ресурсы

1. http://upereslavl.botik.ru/UP/ECON/econometrics/top1/tsld006.htm

2. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

3. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/index.htm

4. http://www.statsoft.ru/home/textbook/def ault.htm

5. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

6. http://www.dataforce.net/~antl/article/econometric

7. http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/study.htm

8. http://www.tvp.ru/vnizd/mathem4.htm

9. http://www.kgtu.runnet.ru/WD/TUTOR/textbook/modules/stmulreg.html

10. http://www.shpargalka.ru/statis.ru/doc/shpr_e31.htm

11. http://www3.unicor.ac.ru/d024/p011993.htm

12. http://www.gauss.ru/educat/systemat/butenkov/.asp

13. http://crow.academy.ru/econometrics/seminars_/sem_08_/sem_08.htm

14. http://crow.academy.ru/econometrics/lectures_/lect_03_/index.htm

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

1. Изучение теоретического материала

Теоретический материал, представленный в УМК, является конспектом лекций, содержащим необходимый набор утверждений (без подробностей их доказательств и вывода и соответствующих формул), но с достаточно подробным обоснованием их применения для решения конкретных экономических задач. При изучении теоретического материала следует тщательно разобрать приведенные в нем примеры, а затем примеры в рекомендованной литературе, и выполнить предлагаемые упражнения. Стиль решения задач(основные идеи обосновываются ссылками на использованные утверждения и формулы) должен быть использован студентами при выполнении контрольных работ.

В приложении 4 приведен краткий курс Эконометрики (базовый уровень) для магистрантов, не изучавших в бакалавриате (специалитете) начальный курс эконометрики. Рекомендуется для данной категории магистров сначала изучить базовый курс, а затем приступить к изучению продвинутого курса.Для углубленного изучения математического аппарата следует обратиться к общедоступным учебникам по эконометрике, перечень которых содержит раздел «Основная рекомендуемая литература». Раздел «Дополнительная литература» может служить для расширения круга математических методов, используемых в эконометрике.

2. Решение практических задач

Цель семинарских занятий - получить практические навыки решения конкретных задач из основных разделов эконометрики. Решение предлагаемых на семинарах задач является средством контроля приобретенных студентами при самостоятельной работе навыков и знаний, а также необходимо студентам для самооценки их подготовленности.

Изложение решения примеров не должно загромождаться текстовыми формулировками используемых определений и утверждений («краткость - сестра таланта»), простые алгебраические и арифметические преобразования пояснять не следует. Подробность изложения должна соответствовать подробности решения подобных примеров в теоретических материалах. Базовые идеи решения необходимо обосновывать ссылкой на соответствующие утверждения и используемые формулы.

3. Выполнение контрольных работ

Контрольная работа является частью итогового контроля навыковизнаний студентов по всем разделам дисциплины. Задания на контрольную работу содержатся в соответствующем разделе ниже. Номер варианта определяется номером студента в списке группы.

Изложение решений в контрольной работе также должно быть кратким, не загромождаться текстовыми формулировками используемых определений и утверждений, простые алгебраические и арифметические преобразования пояснять не следует. Подробность изложения решений задач должна соответствовать подробности решения подобных примеров в теоретических материалах. Основные идеи решения необходимо обосновывать ссылкой на соответствующие утверждения и используемые формулы.

4. Критерии оценки выполнения практических и контрольных работ

Оценка выполнения практической работы проводится по 5-бальной системе:90-100% решенных студентом задач соответствует оценке "отлично", 75-89% - оценке "хорошо", 60-74% - оценке "удовлетворительно", 0-59 % - оценке "неудовлетворительно".

Контрольная работа обеспечивает итоговый контроль навыков и знаний студентов по всей дисциплине. Оценка за каждое задание контрольной работы - зачет или не зачет.

Зачет ставится за правильное выполнение задания, допускаются небольшие погрешности в вычислениях. Оценка за контрольную работу - зачтено, если зачтены все контрольные задания по всем темам дисциплины.

Если практические задания по всем темам дисциплины выполнены на положительную оценку, и зачтена контрольная работа, то студент допускается к итоговому зачету.

При неудовлетворительной оценке за практическую работу по отдельной теме студент должен решить другие примеры из тех же тем, за которые получены неудовлетворительные оценки.

Если не зачтенаконтрольная работа, то студент должен сделать работу над ошибками, после чего выполнить другой вариант, предложенный преподавателем.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ

1. Эконометрика: цели, методы, проблемы, типы переменных.

2. История отечественных и зарубежных эконометрических исследований.

3. Состояние и перспективы развития эконометрики.

4. Классификация эконометрических моделей.

5. Определения и основные понятия эконометрики.

6. Исследование взаимосвязи социально-экономических явлений.

7. Причинность, регрессия, корреляция.

8. Корреляционно-регрессионный анализ в экономике. Анализ и обобщение статистической информации.

9. Этапы эконометрического исследования.

10. Что такое линейная регрессия?

11. Дайте определения парной и множественной регрессии.

12. Что такое спецификация и параметризация уравнения регрессии? Как они осуществляются?

13. Какими могут быть критерии качества оценки линейной регрессии?

14. В чем сущность метода наименьших квадратов (МНК)?

15. Сформулируйте общую задачу статистической оценки параметров на примере оценки параметров линейной регрессии.

16. Сформулируйте свойства несмещенности, состоятельности и эффективности оценок параметров. Обладают ли этими свойствами оценки параметров линейной регрессии, полученные с помощью МНК?

17. В чем различие, смысловое и количественное, теоретических значений коэффициентов регрессии и их выборочных значений?

18. Какие факторы влияют на величину стандартных ошибок выборочных коэффициентов регрессии?

19. Как связаны выборочные коэффициенты регрессии с коэффициентом корреляции величин х и у?

20. Какой показатель характеризует долю объясненной с помощью регрессии дисперсии в общей дисперсии зависимой переменной?

21. Из каких этапов состоит проверка качества оцененного уравнения регрессии?

22. Как рассчитывается и что показывает коэффициент детерминации R²?

23. В каких задачах эконометрики используется распределение Фишера?

24. Таблицы каких распределений используются при оценке качества линейной регрессии?

25. Какие показатели характеризуют независимость отклонений зависимой переменной от линии регрессии? Как осуществляется проверка этой независимости?

26. В каких случаях наблюдается положительная автокорреляция остатков?

27. Каковы особенности практического применения регрессионных моделей?

28. Как осуществляется прогнозирование экономических показателей с использованием моделей линейной регрессии?

29. Как можно оценить «естественный» уровень безработицы с использованием модели линейной регрессии?

30. В каких случаях необходимо уточнение линейной регрессионной модели и как оно осуществляется?

31. Когда необходимо выведение из рассмотрения незначимых объясняющих переменных и добавление новых переменных?

32. В каких случаях осуществляется построение нелинейных спецификаций уравнения регрессии с последующей их линеаризацией?

33. Приведите примеры нелинейных моделей регрессии и их линеаризацию.

34. Какие проблемы спецификации ошибок возника...