Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пермский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования

«Национальный исследовательский университет

«Высшая школа экономики»

Факультет экономики, менеджмента и бизнес-информатики

Выпускная квалификационная работа

по направлению подготовки 38.04.05 «Бизнес-информатика»

образовательная программа «Информационная аналитика в управлении предприятием»

???????????? ??????????? ?????????? ???????????? ??????? ??? ??????????????? ?? ?????????? ??????

Гарафутдинов Роберт

Пермь, 2018 год



Аннотация

Выпускная квалификационная работа посвящена исследованию возможности применения фрактального анализа для прогнозирования на финансовых рынках.

Настоящая работа состоит из введения, трех глав и заключения.

Первая глава включает анализ области исследований, в том числе обзор современных подходов к прогнозированию на финансовых рынках, теоретические аспекты фрактального анализа финансовых рынков, обзор актуальных научных работ в данной области и описание существующих в рамках подхода методов анализа и прогнозирования финансовых временных рядов.

Вторая глава посвящена разработке методики исследования возможностей применения фрактального подхода для предсказания будущих значений ценовых рядов с использованием инструментальных средств, выбранных в результате выполненного анализа.

Третья глава описывает проведенное эмпирическое исследование, а именно: использование упрощенного подхода к применению фрактальных методов для прогнозирования финансовых временных рядов, предпрогнозный анализ данных, прогнозирование динамики показателей, а также анализ и интерпретацию полученных результатов.

Работа содержит 99 страниц текста, 29 иллюстраций, 13 таблиц.

Ключевые слова: фракталы, фрактальная размерность, длинная память, персистентность, показатель Херста, индекс фрактальности, R/S-анализ, детрендированный флуктуационный анализ, временные ряды, ARFIMA, финансовые инструменты, прогнозирование.



Оглавление

• Введение
• Глава 1. Анализ области исследований
• 1.1 Обзор современных подходов к прогнозированию финансовых рынков
• 1.1.1 Фундаментальный анализ
• 1.1.2 Технический анализ
• 1.1.3 Статистический подход
• 1.1.4 Нейросетевой анализ
• 1.1.5 Фрактальный и мультифрактальный подходы
• 1.1.6 Сравнение подходов
• 1.2 Теоретические аспекты фрактального анализа финансовых рынков 15
• 1.2.1 Размерность и фракталы
• 1.2.2 Фрактальная природа финансовых рынков
• 1.3 Обзор актуальных научных работ в области фрактального анализа и прогнозирования финансовых рынков
• 1.4 Фрактальные методы анализа и прогнозирования финансовых временных рядов
• 1.4.1 Методы вычисления фрактальных характеристик финансовых рядов
• 1.4.2 Фрактальные методы прогнозирования временных рядов2
• Выводы по главе
• Глава 2. Разработка методики исследования возможностей применения фрактального подхода для прогнозирования финансовых временных рядов
• 2.1 Постановка задачи исследования
• 2.1.1 Объект прогнозирования
• 2.1.2 Горизонт прогнозирования
• 2.1.3 Критерии оценки качества прогнозов
• 2.2 Описание исследования
• 2.2.1 «Наивный» подход к прогнозированию
• 2.2.2 Предпрогнозный анализ фрактальных свойств рядов
• 2.2.3 Построение и тестирование прогнозных моделей
• 2.3 Обзор и выбор программных инструментов исследования
• 2.3.1 Формирование критериев выбора инструмента
• 2.3.2 Сравнительная характеристика и выбор инструмента
• Выводы по главе
• Глава 3. Проведение эмпирического исследования
• 3.1 «Наивный» подход к прогнозированию временных рядов финансовых данных
• 3.2 Предпрогнозный анализ данных
• 3.3 Построение и тестирование прогнозных моделей
• 3.4 Выводы по главе
• Заключение
• Библиографический список
• Приложение 1


Введение

Функционирование современной рыночной экономики невозможно без привлечения и перераспределения капиталов. Одним из главных механизмов для решения этих задач является фондовый рынок, где капитал перераспределяется с помощью купли-продажи ценных бумаг. Более обширным институтом, включающим в себя в том числе рынок ценных бумаг, являются финансовые рынки. Объектом сделок на них выступают финансовые ресурсы, среди которых не только акции и облигации, но и деньги, так называемые биржевые товары, различные производные инструменты и другие активы, способные в том или ином виде приносить доход.

Отечественный финансовый рынок, характеризующийся интенсивным ростом количества находящихся в обращении финансовых инструментов и объемов торгов, стал важной и неотъемлемой частью экономической жизни нашей страны, что обусловило включение России в систему мирового финансового рынка, присвоение ей международных кредитных рейтингов.

Наличие достаточно высоких финансовых рисков (то есть рисков потери денежных средств) у инвесторов, работающих на рынках, обуславливает необходимость анализа и прогнозирования изменения котировок финансовых инструментов. Желание игроков предсказать динамику рынка, «обыграть» его и, как следствие, заработать породило большое количество исследований, теорий и подходов к решению данной проблемы. Классическими являются фундаментальный анализ (Graham, Dodd, «Security Analysis», 1934) и технический анализ (Edwards, Magee, «Technical Analysis of Stock Trends», 1948), активно применяются и более новые методы, такие как статистическое моделирование (Box, Jenkins, «Time Series Analysis: Forecasting and Control», 1970).

Эффективность различных подходов к прогнозированию рынков является дискуссионным вопросом, в некоторых ситуациях те или иные из них позволяют получать достаточно точные предсказания, в некоторых не работают совсем. Так как на курсы финансовых инструментов единовременно влияет огромное количество факторов - макро-, микроэкономических, политических, психологических и т.д., может создаться впечатление, что они не подчиняются никаким закономерностям и являются практически непредсказуемыми величинами, а их динамика - не детерминированный (зависящий от некоторых «начальных условий»), а стохастический процесс. Это постулирует так называемая гипотеза эффективного рынка (Efficient Market Hypothesis, EMH; Fama, «Efficient Capital Markets: a Review of Theory and Empirical Work», 1970).

В настоящее время становится очевидным, что развитие науки и прогресс в современном мире уже не могут ограничиться углублением в одну конкретную отрасль, они требуют открытия новых методов, возникающих на стыке нескольких областей. Выявление общих черт между явлениями в самых разнообразных сферах жизни дает возможность найти новые инструменты для исследования, которые зачастую оказываются более информативными для описания рассматриваемого объекта, чем привычные классические методы.

Не так давно (в исторических масштабах) появилась альтернативная EMH концепция: гипотеза фрактального рынка (Fractal Markets Hypothesis, FMH; Peters, «Fractal Market Analysis: Applying Chaos Theory to Investment and Economics», 1994). Согласно ей, процесс ценообразования на рынках глобально детерминирован, зависим от «начальных условий», прошлые значения цен влияют на будущие, а финансовые инструменты обладают фрактальными свойствами. Если выявить эти свойства, становится возможным прогнозировать будущее поведение финансовых рынков с достаточно высокой точностью.

До недавнего времени фрактальному анализу финансовых рынков на постсоветском пространстве не уделялось должного внимания, о чем свидетельствует сравнительно небольшое число русскоязычных научных публикаций по этой тематике. Так, количество работ в разделе «Экономика. Экономические науки» научной электронной библиотеки eLIBRARY.RU по запросу «фрактальный» составило 226, а по запросу «технический анализ» - 10685 (по состоянию на 17.05.2018). В последние десятилетия в связи с затяжным кризисным состоянием экономики интерес к данной области растет. Проблемой применения фрактального подхода для анализа и прогнозирования экономических показателей занимались такие исследователи, как Л. Кириченко [14], [22], [26], [25], [23], [24], Н. Старченко и М. Дубовиков [15], Е. Кривоносова [29], [30], [28], Ю. Балагула [9], [8], Г. Осипов [40], М. Прудский [44] и др. Тем не менее, данное направление остается достаточно слабо разработанным; фрактальные методы применяются ограниченно (см. раздел 1.3), несмотря на возможные перспективы. Таким образом, актуальность работы обусловлена необходимостью исследования применимости фрактального анализа к решению задач прогнозирования на финансовых рынках, оценки практической значимости различных методов.

Объектом исследования является прогнозирование на финансовых рынках, в частности, краткосрочные прогнозы конкретных значений и направления динамики котировок финансовых инструментов, торгуемых на Московской и мировых биржах.

Предметом исследования выступает применение фрактального анализа для прогнозирования на финансовых рынках.

Цель работы - исследовать возможность применения фрактального анализа для повышения точности краткосрочных прогнозов котировок финансовых инструментов.

Для достижения цели были сформулированы следующие задачи:

1. Выполнить анализ области исследований:

- осуществить обзор современных подходов к прогнозированию финансовых рынков;

- рассмотреть теоретические аспекты фрактального анализа финансовых рынков;

- провести обзор актуальных научных работ в данной области;

- описать применяемые в рамках подхода методы анализа и прогнозирования финансовых временных рядов.

2. Разработать методику исследования возможностей применения фрактального подхода для прогнозирования с использованием инструментальных средств, выбранных в результате проведенного анализа.

3. Провести эмпирическое исследование:

- испробовать «наивный» подход к применению фрактальных методов для прогнозирования финансовых временных рядов;

- выполнить предпрогнозный анализ данных;

- осуществить прогнозирование динамики показателей;

- проанализировать полученные результаты.

Теоретическую базу исследования составляет гипотеза фрактального рынка, изложенная в трудах Б. Мандельброта и Э. Петерса, и методы фрактального анализа и прогнозирования финансовых временных рядов, рассмотренные в работах Н. Старченко и М. Дубовикова, А. Зиненко, Л. Кириченко, Ю. Балагулы, М. Прудского, Е. Кривоносовой.



Глава 1. Анализ области исследований

Целью данной главы является ознакомление с теоретическими основами фрактального анализа финансовых рынков, существующими в рамках него подходами и методами исследования и предсказания финансовых рядов. Для достижения цели логично ответить на следующие вопросы:

- каковы современные подходы к прогнозированию финансовых рынков, их достоинства и ограничения;

- в чем заключаются теоретические аспекты фрактального анализа финансовых рынков;

- каковы научные достижения в данной области;

- какие методы анализа и прогнозирования финансовых временных рядов применяются в рамках фрактального подхода.

Ответы на поставленные вопросы и определяют содержимое первой главы.

1.1 Обзор современных подходов к прогнозированию финансовых рынков

Попытки изучить и предугадать будущее поведение экономики предпринимаются давно. В настоящее время существуют и с различными степенями успеха применяются разнообразные методики анализа и прогнозирования финансовых рынков. Ниже рассмотрены и проанализированы по критерию соответствия цели данной работы наиболее популярные из них.



1.1.1 Фундаментальный анализ

Фундаментальный и технический анализ - два часто упоминаемых вместе классических подхода, каждый из которых имеет собственных сторонников (и, соответственно, противников другого).

Первый подход был предложен Б. Грэмом и Д. Доддом [17]. Предметом исследования фундаментального анализа является отчетность компаний, а в основу его методов положены попытки определить реальную стоимость их активов и предсказать будущие доходы. Целью анализа является определение «справедливой» стоимости акций компании: предполагается, что на рынке существуют акции, которые в настоящий момент недооценены либо переоценены, то есть их «справедливая» стоимость не соответствует рыночной. Долго так продолжаться не может, рынок стремится к равновесию, и рыночная стоимость акций должна прийти в соответствие со «справедливой». Применение этой методологии имеет достаточно высокую трудоемкость; оно включает изучение финансово-хозяйственного положения компании за ряд лет, оценивание эффективности управления ею и попытки предсказать перспективы ее развития.

В настоящее время подход продолжает развиваться и находит новые направления. М. Ефимовым с его помощью определяется способность компании генерировать будущие доходы для определения эффективности инвестиционных решений, в работе Я. Русяева предложен метод прогнозирования стоимости компаний, в основу которого положен расчет коридора справедливой стоимости [29].

К достоинствам фундаментального анализа можно отнести то, что он позволяет определять основные тенденции на рынке, а также выявить влияющие на них факторы, и, следовательно, повысить объективность и качество принимаемых инвестиционных решений [19]. Среди ограничений можно выделить следующее:

- применяемая информация не дает преимуществ инвестору, так как общедоступна;

- процесс анализа отчетности компаний является трудоемким и слабо подвержен автоматизации;

- применение подхода в условиях нестабильной экономической и политической ситуации осложнено в связи с ее высокой изменчивостью;

- на слабо развитых рынках существуют трудности с доступностью информации о компаниях [51].

1.1.2 Технический анализ

Основоположником технического анализа считается Ч. Доу, идеи которого были систематизированы и развиты Р. Эдвардсом и Дж. Маги [53]. Подход базируется на гипотезе эффективного рынка (сформулирована Ю. Фама) [3], согласно которой вся существенная информация, в том числе и непубличная, немедленно и в полной мере отражается на рыночной курсовой стоимости ценных бумаг. Единственной достоверной информацией считаются данные о биржевых сделках. В них отражаются действия всех участников рынка, в том числе обладающих инсайдерской информацией. Рынком движут настроения и ожидания игроков на нем, и оценивается не сам актив, стоящий за инструментом, а действия участников. Постулируется, что игроки на рынке мало отличаются и мотивацией, и поведением, и при аналогичных условиях всегда действуют одинаково. Шаблоны их поведения являются типовыми, их можно распознать на графике котировок и среагировать соответственно [29]. Таким образом, основным инструментом в рамках подхода является визуальный анализ ценовых графиков.

Современные исследования расширяют возможности прогнозирования с помощью технического анализа: например, в работе С. Володина исследуется эффективность подхода для сверхкраткосрочных операций [29].

Преимуществом технического анализа в сравнении с фундаментальным является следующее:

- технический анализ учитывает важный психологический фактор, необходимый для адекватной оценки ситуации;

- в цене содержится вся повлиявшая на нее информация, в том числе скрытая и недоступная обработке средствами фундаментального анализа [51];

- технический анализ хорошо поддается автоматизации, существует множество предназначенных для него инструментов, в том числе и доступных всем желающим на специализированных веб-ресурсах.

К недостаткам подхода относится его субъективность: каждый трейдер читает и интерпретирует фигуры (паттерны) на ценовых графиках по-своему. Кроме того, технический анализ не раскрывает причин колебаний, а предлагает лишь следовать за ними [19].

1.1.3 Статистический подход

Статистический подход к моделированию финансовых временных рядов основывается на построении по имеющимся данным приближенной модели, отражающей статистическую зависимость, для описания и прогноза поведения рассматриваемого процесса [29]. Для анализа используется временной ряд и шум - последовательность некоррелирующих и одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием.

В рамках данного подхода наиболее широко применяются линейные статистические модели. К ним относятся авторегрессионные модели скользящего среднего - ARMA (Auto Regression Moving Average). Шум является неотъемлемой частью модели, без учета его поведение смоделированного процесса существенно отличается от поведения исследуемого ряда. Подобные методы хорошо разработаны и часто используются в прикладных задачах. Они реализованы практически во всех программных решениях, ориентированных на статистическую обработку данных.

Тем не менее, статистический подход развивается. Разработке метода прогнозирования временных (в том числе финансовых) рядов с помощью статистических моделей посвящена, например, диссертация И. Чучуевой [52], в которой показано, что предложенная автором модель демонстрирует результаты, сравнимые по точности прогноза с нейросетями, на временных рядах различной природы.

Важными достоинствами данного класса моделей являются их простота и прозрачность моделирования по причине подробно разработанных методик, а также, ввиду популярности, доступность многочисленных примеров применения.

К недостаткам же линейных статистических моделей относят: большое число параметров, идентификация которых неоднозначна и ресурсоемка; низкую адаптивность; линейность и, как следствие, отсутствие способности моделирования нелинейных процессов, часто встречающихся на практике [52].

1.1.4 Нейросетевой анализ

Данный подход можно назвать одним из наиболее перспективных. Искусственная нейронная сеть (ИНС) является математической моделью мозга человека, состоящей из множества относительно простых элементов (так называемых искусственных нейронов, являющихся упрощенной версией нервных клеток живого организма) и связей между ними. Особенность ИНС в том, что она не программируется на решение какой-то задачи по жестко заданному алгоритму, а обучается, как и человеческий мозг. Благодаря этому нейросети способны решать сложные нестандартные задачи, такие как распознавание образов или прогнозирование [32].

Базовой архитектурой ИНС, предназначенных для прогнозирования, является многослойный персептрон [5]. Нейросеть обучается на специальном участке временного ряда (так называемой обучающей выборке) и становится способна предсказывать будущие значения таких рядов путем поиска неких закономерностей, паттернов в имеющихся данных. Процесс обучения представляет собой многопараметрическую задачу нелинейной оптимизации и заключается в нахождении коэффициентов связей между нейронами.

На сегодняшний день нейросетевой анализ переживает период активного развития по причине своей доказанной на практике эффективности, возможности точного построения прогнозов, а также широких вычислительных возможностей современного аппаратного обеспечения, способного реализовывать соответствующие алгоритмы на больших массивах данных. Например, исследование, проведенное М. Маджумдер и А. Хуссейном, дало точность построения прогноза 89,7% на исключительно волатильном рынке Индии [29].

Достоинства подхода: способность ИНС устанавливать скрытые нелинейные зависимости между прошлыми и будущими значениями показателей; отсутствие каких-либо требований о выполнении вероятностных предпосылок для ряда [48]; результатами прогнозирования являются конкретные значения, не требующие интерпретации.

В то же время существуют и недостатки:

- невозможность анализировать и прогнозировать качественно выраженные значения;

- сложность выбора алгоритма (архитектуры сети) и ресурсоемкость процесса обучения;

- необходимость в достаточно больших обучающих выборках, которые не всегда доступны.

Вышеперечисленное ограничивает применение нейронных сетей для задач анализа временных рядов, обладающих высокой степенью неопределенности [7], то есть практически всех финансовых рядов. Тем не менее, существует много подтверждений высокой эффективности подхода в задачах прогнозирования экономических величин [10].

1.1.5 Фрактальный и мультифрактальный подходы

Основоположником и популяризатором фрактальной теории является Б. Мандельброт [36]. Фрактальный и мультифрактальный подходы к анализу экономических процессов в настоящее время развиваются достаточно динамично. Исследования в рамках области затрагивают в основном фондовые и валютные рынки, хотя имеются работы, в которых фрактальный анализ применяется к финансовым показателям отдельного предприятия [29], [38].

Как уже отмечалось во введении, идея фрактального подхода к анализу финансовых рынков заключается в следующем предположении: часто финансовые ряды обладают признаками фракталов (самоподобием, дробной размерностью, степенными законами распределения), что можно использовать для предсказания их поведения в будущем.

Процессы, обладающие фрактальными свойствами, можно разделить на две группы: монофрактальные и мультифрактальные [26]. Если монофрактальный временной ряд - ряд с постоянными стабильными характеристиками фрактальности на любом диапазоне масштабов, то мультифрактал - это комплексный фрактал, который определяется не единственным, а несколькими последовательно сменяющими друг друга алгоритмами построения. Мультифрактальные процессы допускают разложение на участки с различными локальными масштабными свойствами и характеризуются спектром показателей. В финансах мультифрактальность означает изменение фрактальных показателей после агрегирования временного ряда к другому интервалу, например, при переходе от часовых показателей к дневным [54].

Существуют модификации авторегрессионных моделей временных рядов, учитывающие их фрактальные свойства, в частности, модели класса ARFIMA (AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Данные модели считаются наиболее точными для целей анализа финансовых временных рядов среди авторегрессионных [16], [44]. Например, в работе [8] на примере цен на нефть показано, что подобные модели, учитывающие наличие в ряду длинной памяти, позволяют уменьшить ошибку прогноза в сравнении с обычными авторегрессионными моделями.

К достоинствам фрактального подхода относится то, что он позволяет более адекватно описывать рыночные процессы, законы распределения риска и доходности в сравнении с классическим подходом (EMH). Другое его преимущество заключается в способности описывать сложные динамические процессы по большому счету единственным числом (в случае монофрактала) - величиной фрактальной размерности.

Это же является и недостатком: в природе не существует идеальных фракталов, то есть объектов, полностью описываемых одним лишь показателем. Как правило, реальные динамические процессы обладают лишь частичным самоподобием, масштабной инвариантностью и другими фрактальными свойствами. Из этого вытекает и такое ограничение, как сложность идентификации фрактальных рядов.

1.1.6 Сравнение подходов

Для наглядности основные достоинства и недостатки рассмотренных подходов к прогнозированию финансовых рынков сведены в таблицу 1.1.

Таблица 1.1. Сравнительная характеристика подходов

Подход	Преимущества	Ограничения
Фундаментальный анализ	Позволяет определять тенденции на рынке и факторы, которыми они обусловлены.	Сложности в применении на слаборазвитых рынках и в кризисные периоды; не позволяет учесть всю информацию, влияющую на цены; обладает высокой трудоемкостью и требует специальных экономических знаний.
Технический анализ	Учитывает всю возможную информацию, т.к. она отражается в ценах; хорошо поддается автоматизации, инструменты для которой широко доступны.	Не позволяет выявить факторы, влияющие на рынок; интерпретация результатов субъективна.
Статистическое моделирование	Относительная простота применения; прозрачность моделирования по причине доступности для анализа всех промежуточных вычислений.	Неприменимость к моделированию нелинейных процессов; сложность идентификации параметров для достижения адекватных прогнозов.
Нейросетевой анализ	Позволяет моделировать нелинейные процессы; не предъявляет требований к характеру распределения входных рядов; предсказывает конкретные значения, не требующие интерпретации.	Высокая сложность выбора архитектуры сети; ресурсоемкость процесса обучения; необходимость больших массивов данных для обучения.
Фрактальный (мультифрактальный) подход	Лучше описывает динамику рыночных процессов, чем подходы, основанные на гипотезе эффективного рынка; для описания используется один показатель - фрактальная размерность.	Единственный показатель не позволяет полностью описать реальные процессы; сложность идентификации фрактальных рядов.

Имеет смысл дать обоснование выбора подхода, использованного в работе. Для этого применен метод исключения.

Фундаментальный и технический анализ, во-первых, требуют достаточно глубоких специальных знаний (первый - в области экономики и финансов, второй -непосредственно методов и приемов трейдинга), а во-вторых, являются давно известными и хорошо разработанными.

Статистическое моделирование также не является инновационным подходом, такие модели широко используются, однако не всегда пригодны для описания экономических, рыночных процессов.

Прогнозирование средствами ИНС - относительно новая методология, уже доказавшая свою эффективность, но ее успешное применение опять же требует специальных знаний и опыта работы с нейросетями.

Таким образом, в данной работе рассмотрен фрактальный (монофрактальный) подход к анализу финансовых рынков как один из наиболее перспективных, позволяющий взглянуть на традиционные проблемы с новой стороны, и исследованы возможности его применения для прогнозирования их динамики. Еще более перспективным является мультифрактальный подход, так как он лучше описывает реальные процессы, но автором было решено его не касаться по причине повышенной сложности применения. Кроме того, монофрактальные методы анализа являются к нему первым шагом, который в любом случае необходимо совершить.

1.2 Теоретические аспекты фрактального анализа
финансовых рынков

Прежде чем говорить о приложении фрактальной теории к анализу и прогнозированию финансовых рядов, необходимо раскрыть некоторые ее основополагающие аспекты.

1.2.1 Размерность и фракталы

Чтобы дать представление о фракталах, следует начать с понятия размерности.

Размерность некоторого геометрического объекта или множества - это его число измерений [33]. Например, пространство, в котором мы существуем, трехмерно, и любой физический объект в нем имеет размерность, равную трем. Это общее интуитивное представление. В математике существует раздел, изучающий размерности. Ниже рассмотрены некоторые их виды.

Топологическую размерность (размерность Лебега) можно определить как минимальное количество координат, необходимое для описания множества [15]. Так, точка (либо конечное множество точек) имеют топологическую размерность 0, гладкая кривая - 1, плоскость - 2, объемное тело - 3. С математической точки зрения можно сказать, что увеличение линейных размеров объекта в 2 раза приводит к увеличению его размеров в 2^DТ раза, где D_Т - топологическая размерность.

Данный вид размерности может принимать только целые значения. Он хорошо подходит для описания идеализированных, гладких множеств, таких как прямая линия, куб, сфера и т.д. Однако, как заметил автор фрактальной геометрии Б. Мандельброт при исследовании реальных природных объектов, «облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой» [36]. В природе идеальные геометрические формы почти не встречаются, что ограничивает пригодность евклидовой геометрии как метода описания реального мира [20].

Известен так называемый «парадокс береговой линии», описанный Л. Ричардсоном и позднее Б. Мандельбротом [49]. Он состоит в том, что точную длину береговой линии определить невозможно, так как при уменьшении меры она становится более извилистой, и в результате ее длина возрастает. Получается, что длина природного объекта в общем случае зависит от длины измерительного отрезка и от масштаба рассмотрения (рисунок 1.1). Другой необычной особенностью береговой линии является ее самоподобие - свойство, из-за которого линия выглядит одинаково на любом масштабе (с какой бы детальностью ее не разглядывали, всегда будут присутствовать изгибы, изломы).

Рис. 1.1. Зависимость длины береговой линии от выбранного измерительного отрезка

Издавна известны и самоподобные математические структуры, такие как кривая Пеано, множество Кантора, функция Вейерштрасса, снежинка Коха. Для их анализа Ф. Хаусдорфом было предложено новое определение размерности компактного множества в произвольном метрическом пространстве [15]. Он заметил, что если такое множество покрывать шарами радиусом д, то минимальное число шаров N(д) с уменьшением их радиуса возрастает по степенному закону:

(1.1)

Показатель D_H получил название размерности Хаусдорфа-Безиковича. Его формула имеет следующий вид:

(1.2)

Можно сказать, что хаусдорфова размерность D_H является обобщением понятия топологической размерности D_Т. D_H идеальных объектов (гладких кривых, поверхностей) совпадает с их D_T. В случае же самоподобных структур D_H всегда превышает D_Т и является нецелой (дробной) величиной.

Эта величина показывает, насколько плотно и равномерно элементы множества заполняют пространство. Береговая линия, в зависимости от ее изрезанности, может иметь разное значение размерности Хаусдорфа: при малой изрезанности D_H приближается к 1, при большой - к 2. Фрактальная кривая размерностью, близкой к 2, фактически заполняет пространство и становится полосой (рисунок 1.2).



Рис. 1.2. «Идеальные» объекты и кривая Пеано, обладающая дробной размерностью

Множества, для которых справедливо неравенство D_H > D_T, Мандельброт назвал фракталами, а их размерность предложил называть фрактальной и обозначать D [36]. В дальнейшем тексте работы термин «размерность» и обозначение D означают именно этот тип размерности.

Ниже описан один из способов вычисления фрактальной размерности [39]. Пусть берется некоторая D-мерная геометрическая структура и ее стороны последовательно делятся на M равных частей. На каждой итерации каждая из полученных на предыдущем шаге часть также делится на M частей. Каждый уровень будет состоять из M^D частей предыдущего уровня. Данный процесс представлен на рисунке 1.3.

Рис. 1.3. Демонстрация определения фрактальной размерности

Пусть количество полученных частей обозначается N:



(1.3)

Прологарифмировав обе части уравнения (1.3), получим

(1.4)

Далее можно выразить величину D: решив уравнение

, (1.5)

получим

(1.6)

Это простейший способ определения размерности объекта. Становится понятным, что вычислить D аналитически возможно только у достаточно простых, гладких геометрических множеств без изъянов. Для реальных объектов D находят посредством приближенных численных методов.

Стоит заметить, что в зависимости от способа вычисления помимо хаусдорфовой выделяют и другие виды фрактальных размерностей, например, размерность Минковского [39] (клеточную), размерность минимального покрытия [15].

Наличие дробной размерности является важнейшим признаком фракталов. Не существует точного определения данной сущности, сам Мандельброт охарактеризовал ее так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Можно сказать, что фракталы - это фигуры, обладающие следующими свойствами [44]:

1) Самоподобие или масштабная инвариантность. Отдельные составляющие объекта подобны всему объекту целиком, вследствие чего при различных масштабах объект выглядит одинаково. Ярким примером природного фрактала с таким свойством является лист папоротника.

2) Масштабирование по степенному закону. Изменение характеристик объекта с изменением масштаба рассмотрения имеет степенную зависимость.

3) Фрактальная (дробная, нецелая) размерность, которая превосходит топологическую. При увеличении соотношение между масштабом и каким-либо параметром фрактала постоянно и равно фрактальной размерности [29]. Эта величина - основной показатель, характеризующий фрактальные структуры. Визуально она воспринимается как «изломанность», «извилистость» [9].

На рисунке ниже изображен один из широко известных модельных фракталов - снежинка Коха. Хорошо заметны свойства масштабной инвариантности и дробной размерности.

Рис. 1.4. Снежинка Коха

Сущность фрактального анализа как инструмента описания различных объектов заключается в том, что производится обработка масштабированием фрактальной структуры и описывается распределение какой-либо структурной характеристики (или меры) при этом масштабировании [28]. Вычисляется фрактальная размерность, и ее значения в определенных диапазонах позволяют судить о поведении объекта.

Фрактальными характеристиками могут обладать не только математические абстракции и природные сущности, но и временные ряды, являющиеся численным дискретным описанием непрерывных динамических процессов. Как правило, когда говорят об анализе и прогнозировании финансовых рынков, подразумевают исследование именно ценовых рядов финансовых инструментов. Если обратить внимание на графики котировок акций или валют, можно заметить их сильную изрезанность (фрактальную размерность), а также то, что при рассмотрении на различных временных масштабах они выглядят похоже, нельзя с уверенностью сказать, дневные это курсы, месячные или минутные (самоподобие).

Оказалось, что фрактальная геометрия как инструмент описания применима во множестве областей науки [14], [44], в том числе в физике, геодезии (можно вспомнить береговую линию), медицине, биологии, компьютерной графике, информационных технологиях (популярным приложением является исследование сетевого трафика [23]), а также может быть использована в анализе экономических систем, в частности, финансовых рынков.

1.2.2 Фрактальная природа финансовых рынков

Сложившиеся в 60-х - 70-х гг. прошлого века методы анализа финансовых рынков (модель оптимального инвестиционного портфеля Г. Марковица, модель оценки долгосрочных активов CAPM У. Шарпа, модель ценообразования опционов Блека - Шоулза и др.) до сих пор широко применяются [18]. Эти модели основаны на так называемом вероятностном подходе, согласно которому характеристики финансовых активов рассматриваются как случайные величины, подчиняющиеся определенным законам распределения вероятностей, в частности, нормальному [34] (гипотеза эффективного рынка, EMH).

Однако такие события, как обвал фондового рынка США 1987 г., кризисы 1992, 1995, 1998, 2008 гг. не вписывались в постулаты вероятностного подхода, ведь согласно классическим финансовым моделям резкие скачки или обвалы не должны происходить никогда [29], а если происходят, объясняются случайными флуктуациями, отклонениями, которые нужно игнорировать. Было показано, что указанные модели действуют только в периоды стабильного состояния рынка [18].

Американским математиком Б. Мандельбротом было обнаружено, что кривая распределения вероятностей изменения рыночных котировок не соответствует гауссовской нормальной кривой, риск наступления большого отклонения доходности фактически значительно выше, чем при нормальном распределении [35], то есть редкие события на рынках происходят чаще, чем принято ожидать (название данного явления - «толстые хвосты», fat tails) (рисунок 1.5).

Рис. 1.5. Иллюстрация нормального и распределения с «толстыми хвостами»

Например, согласно анализу Фама промышленного индекса Доу-Джонса, колебания, превышающие пять стандартных отклонений, случались в пять тысяч раз чаще, чем предсказывала нормальная кривая. Кроме того, полученные Мандельбротом кривые распределения вероятностей имели более высокие пики [18].

Мандельброт предположил, что динамика фондовых рынков не является случайной, а подчиняется некоему степенному закону [18]. Также он обнаружил, что кривые доходностей за различные временные промежутки (1, 5, 10, 20, 30 и 90 дней) выглядят одинаково, то есть масштабно-инвариантны [42]. В своей книге [35] Мандельброт сформулировал так называемую гипотезу фрактального рынка (FMH) как альтернативу гипотезе эффективного рынка (EMH) [3]. В качестве принципиально нового инструмента оценки рисков он предложил использовать фрактальную геометрию и показал, что с помощью фрактальной теории можно создавать очень правдоподобные ценовые диаграммы котировок акций или фондовых индексов, а с помощью фрактальной размерности оценивать риски вложения в те или иные активы. Э. Петерс провел расчеты, подтверждающие, что современный рынок имеет фрактальную природу [42].

Фрактальность рынков, согласно гипотезе FMH, связана с тем, что для устойчивости рынка на нем должны присутствовать инвесторы с разными инвестиционными горизонтами (от нескольких часов до нескольких лет). Это и приводит к масштабной инвариантности ценовых рядов на соответствующем временном интервале [15]. Если рынок имеет один горизонт инвестирования, на нем возникает нехватка ликвидности и, как следствие, паника [42].

Реальные временные ряды экономических показателей (котировок акций, курсов валют, показателей финансовой отчетности предприятий) демонстрируют сложное непериодическое поведение, при котором тренды и флэты хаотическим образом сменяют случайное блуждание. Развитие и прогнозирование таких рядов эффективно описывать методами фрактальной параметризации, то есть использования для описания ряда количественных параметров [30]. Основным показателем, характеризующим фрактальные временные ряды, как и фрактальные структуры в целом, является их фрактальная размерность [37]. Она связана с таким свойством рядов, как персистентность или наличие «длинной (долгой, долговременной) памяти» [9]. Следует раскрыть данное понятие подробнее.

Важной характеристикой динамики временных рядов является длительность реакции на внешние шоки. Математически это свойство может быть описано с помощью автокорреляционной функции. Чем быстрее она затухает, тем меньше продолжительность присутствия во временном ряде последствий внешнего шока. В этом смысле говорят об эффекте памяти во временных рядах [9]. Явление, название «длинной памятью», было обнаружено британским гидрологом Г. Херстом, изучавшим историческую статистику разливов Нила. Он заметил, что за разливами выше среднего в следующем периоде следовали разливы еще большие; при смене направления и наступлении засушливого периода за ним следовали более засушливые. Таким образом, персистентный временной ряд обладает способностью поддерживать тенденцию изменения. Согласно Мандельброту, данный эффект имеет место и на финансовых рынках. Причем сильная зависимость между предыдущими и последующими значениями со временем уменьшается весьма медленно (автокорреляционная функция такого процесса убывает гиперболически) [18] (рисунок 1.6). Чтобы численно охарактеризовать свойство персистентности, Херстом был введен показатель H, позднее названный его именем [9].



Рис. 1.6, а. Пример процесса с длинной памятью

Рис. 1.6, б. Автокорреляционная функция процесса с длинной памятью

Связь характеристик «наличие длинной памяти» и «размерность» временного ряда состоит в следующем [37]. Методами математического анализа доказано, что если фрактальная размерность принимает значение 1,5, то приращения во временном ряду независимы между собой (ряд соответствует случайному блужданию). Случай, когда фрактальная размерность меньше 1,5, соответствует персистентному ряду, то есть ряду, характеризующемуся эффектами длинной памяти. Обратная ситуация (размерность больше 1,5) отвечает антиперсистентному поведению временного ряда (подробнее об интерпретации фрактальных показателей см. раздел 1.4.1.3).

Таким образом, суть фрактального анализа временных рядов заключается в том, чтобы выяснить, насколько исследуемые ряды близки к фрактальным, и определить характер связи между линией тренда и фрактальной размерностью D. Выявление этой зависимости является важнейшей задачей применения фрактальной теории к анализу финансовых рядов, позволяющей определить основные законы динамики ряда и на их основе прогнозировать как общие тенденции развития финансового рынка, так и конкретные значения финансовых показателей [50].

Для большинства естественных временных рядов аналитическое нахождение фрактальной размерности невозможно, поэтому D определяют численно: либо непосредственно, либо через величины, связанные с ней простым соотношением (например, показатель Херста H) [30]. Для этого применяются различные методы, рассмотренные в параграфе 1.4.

Однако, прежде чем переходить к описанию методов, следует изучить современное положение дел в области применения фрактального подхода к анализу рыночных процессов.

1.3 Обзор актуальных научных работ в области фрактального анализа и прогнозирования финансовых рынков

Проблемой применения фрактального подхода к анализу финансовых рынков и их прогнозированию занимались многие авторы.

Так, Ю. Балагула применял методы фрактального анализа для характеристики длинной памяти и других свойств временных рядов биржевых оптовых цен на электроэнергию. Полученные результаты свидетельствовали о персистентном характере анализируемых временных рядов, наличии в них длинной памяти [9]. Согласованные результаты были получены и А. Зиненко, рассматривающей алгоритм R/S-анализа и применение его к временным рядам биржевых котировок [18].

А. Мансуровым изучалась зависимость валютных кризисов от фрактальной размерности валютных курсов. Было показано, что наиболее устойчивым состоянием макроэкономических систем является состояние, характеризующееся фрактальной размерностью 1,5. Существенное отклонение фрактальной размерности от указанного значения свидетельствует о переходе рынка в нестабильную фазу, сопровождающуюся кризисными явлениями [37].

В. Андриенко анализировал показатель Херста фондовых индексов разных стран в предкризисный период, результатами было подтверждено изменение фрактальной размерности ряда перед его резкими скачками [4].

В работе М. Дубовикова и Н. Старченко [15] предложены новые фрактальные показатели: размерность минимального покрытия и связанный с ней индекс фрактальности. На примере временных рядов акций компаний, входящих в индекс Доу-Джонса, показано, что минимальный масштаб, необходимый для определения введенных показателей с приемлемой точностью, содержит на два порядка меньше данных, чем соответствующий масштаб для определения показателя Херста методом нормированного размаха. Это дает возможность рассматривать индекс фрактальности в качестве локального показателя стабильности временного ряда, в то время как показатель Херста ввиду необходимости большого количества значений ряда для достаточно точного вычисления методом R/S-анализа может быть определен лишь для широких временных интервалов, в течение которых фрактальные свойства ряда могут неоднократно меняться.

В статье Е. Кривоносовой и коллектива авторов [30] выполнено сравнение нескольких наиболее распространенных методов определения фрактальных характеристик (метод клеточного покрытия, метод минимального покрытия, R/S-анализ) на примере реальных временных рядов экономических показателей, приведено сопоставление полученных фрактальных характеристик. Также сделан согласованный с результатами предыдущих исследований вывод о взаимосвязи фрактальной характеристики временного ряда с кризисными состояниями системы. В своей диссертационной работе [29] Е. Кривоносова рассматривает использование методов фрактального и мультифрактального анализа для оценки степени стабильности работы предприятия и прогнозирования критических событий для котировок акций и индексов на фондовом рынке в рамках оценки инвестиционных и кредитных рисков.

Л. Кириченко с коллективом авторов занималась исследованием мультифрактальных характеристик нестабильных финансовых временных рядов, в частности, обобщенного показателя Херста. Полученные значения показателя до и после начала кризиса позволили утверждать, что предкризисный период функционирования финансового рынка характеризуется узким диапазоном его колебаний, который существенно увеличивается после начала кризиса [25].

Среди работ, посвященных проблеме применения фрактального анализа для прогнозирования не просто критических точек, а конкретных значений ряда, можно выделить следующие труды.

И. Дегтяренко и группа авторов рассматривали вопросы построения прогностической модели ARFIMA на примере модельного фрактального процесса. Была описана методика определения параметров модели на основе использования метода детрендированного флуктуационного анализа (ДФА) и показано, что эффективность ее применения позволяет увеличить горизонт удовлетворительного прогноза поведения фрактального процесса на 6% по сравнению с применением подхода оценки параметров, базирующегося на методе Виттла [13].

В работе Е. Остапенко и Т. Дунаевой прогнозировались цены акций компании Google с использованием моделей класса ARMA и ARFIMA. Модель ARFIMA продемонстрировала лучшие прогностические свойства, так как ее погрешность оказалась ниже. Был сделан вывод о том, что игнорирование наличия длинной памяти у временных рядов приводит к появлению большей погрешности, нежели учет длинной памяти при фактическом ее отсутствии [41]. Этот же результат (превосходство модели с длинной памятью перед моделью ARMA) был получен в статье Ю. Балагулы в соавторстве с Ю. Абакумовой на примере цен на нефть [8].

Также фрактальной авторегрессией пользовался М. Прудский при построении краткосрочного прогноза курса доллара к рублю. Им были сделаны выводы о том, что модель обладает способностью делать краткосрочные прогнозы и является более точной в сравнении с другими статистическими моделями из-за учета ею фрактальных свойств [44].

И. Белолипцевым и С. Фархиевой был предложен подход к прогнозированию финансовых временных рядов на основе нейросетевых моделей, принимающих на вход фрактальные характеристики временного ряда (а именно, индекс фрактальности). На примере курсов акций ОАО «Татнефть» показано, что использование индекса фрактальности улучшает прогностические свойства модели [10].

А. Кричевский исследовал возможности прогнозирования временных рядов с длинной памятью, используя как фрактальную авторегрессию, так и нейросети вида многослойный персептрон. Полученные им результаты свидетельствовали о меньшей ошибке прогноза у моделей ARFIMA [31].

Также прогнозированию при помощи методов фрактального и мультифрактального анализа посвящены работы иностранных авторов Т. Люкса, Т. Кайзоджи, Л. Кальве, А. Фишера, Ф. Шмидта и др. [29].

Как показывает выполненный обзор актуальной научной литературы в области применения фрактального анализа на финансовых рынках, в основном данный подход используется авторами для подтверждения гипотезы о фрактальности и персистентности финансовых временных рядов, а также для исследования возможности предсказывать критические точки (кризисы). Для определения фрактальных свойств рядов чаще всего используется исторически первый и наиболее простой такого рода метод - R/S-анализ в совокупности с показателем Херста, реже применяется метод ДФА. Перспективным методам мультифрактального анализа уделяется не так много внимания. Также было обнаружено достаточно мало работ, посвященных прогнозированию значений финансовых временных рядов. Среди рассмотренных наибольшей популярностью пользуются модели с длинной памятью (в частности, ARFIMA), которые, согласно выводам ряда авторов, могут предложить получение достаточно точных прогнозов. Тем не менее, применение ARFIMA на примере российского финансового рынка изучено недостаточно хорошо, слишком мало примеров успешных предсказаний, полученных данным методом, поэтому требуется дальнейшее исследование его эффективности.

В следующем параграфе подробно рассмотрены наиболее популярные из применяющихся исследователями методы фрактального анализа и прогнозирования.

1.4 Фрактальные методы анализа и прогнозирования финансовых временных рядов

Процесс предсказания динамики финансовых рядов можно разделить на два этапа: предпрогнозный анализ и собственно построение прогнозов. Предварительный анализ, как правило, заключается в исследовании ряда и выявлении у него фрактальных свойств, оценивании фрактальных показателей. Затем эти показатели тем или иным способом используются в построении предсказывающих моделей.

Классификация наиболее широко применяемых методов фрактального анализа представлена в виде схемы на рисунке 1.7. В следующей части параграфа они раскрыты подробно.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.7. Основные методы фрактального анализа финансовых рынков

1.4.1 Методы вычисления фрактальных характеристик
финансовых рядов

Как показал обзор научных работ, основной характеристикой структуры, оцениваемой в процессе фрактального анализа, является ее размерность. Это же справедливо для временных рядов, о размерности которых говорят применительно к кривой их графика. Именно на основе размерности ряда, ее динамики на его различных участках можно судить о поведении фрактального процесса, тенденции его развития.

Размерность тесно связана с персистентностью процесса, наличием у него длинной памяти, из-за чего ее часто вычисляют через показатель Херста H по формуле:

D = 2 - H (1.7)

Стоит отметить, что H в отличие от фрактальной размерности D является показателем, разработанным специально для анализа временных рядов [9].

Также ряд русскоязычных авторов среди фрактальных характеристик выделяют так называемый индекс фрактальности, вычисляемый в процессе определения размерности методом минимального покрытия [15], [29].

...