1.4.1.1 Методы оценивания фрактальной размерности

Непосредственное определение фрактальной размерности чаще всего проводят с помощью одного из двух методов - метода клеточного покрытия временного ряда либо метода минимального покрытия [30]. Следует отметить, что существуют и менее распространенные подходы, например, через корреляционный интеграл с помощью алгоритма Грассбергера-Прокаччиа, но в данной работе они рассмотрены не будут ввиду малоизвестности.

Метод клеточного покрытия

Клеточный метод является наиболее простым и распространенным способом определить размерность множества. Его идея состоит в том, что контуры изображения фигуры покрываются некоторым количеством квадратов стороной д таким образом, чтобы число этих квадратов N(д) оказалось минимально возможным [9]. Если уменьшать величину д, то N(д) будет расти по степенному закону: , где D - размерность. Преобразуя это выражение, можно получить формулу клеточной размерности (ее также называют размерностью Минковского [39]):

(1.8)

На практике при вычислении D плоскость с изображением (например, графиком изменения экономической переменной) покрывают сеткой и считают число квадратов, на которых лежит хотя бы одна точка кривой. Затем поступательно уменьшают д и считают соответствующие значения N(д). После в двойном логарифмическом масштабе строится график функции N(д), который аппроксимируется прямой с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Тогда D определяется как тангенс угла наклона этой прямой или же коэффициент при независимой переменной уравнения линейной регрессии , где b - свободный член. Клеточный метод проиллюстрирован на рисунке 1.8.

Рис. 1.8. Иллюстрация применения метода клеточного покрытия

Метод минимального покрытия и индекс фрактальности

Метод минимального покрытия, детально разработанный в трудах М. Дубовикова и Н. Старченко (например, [15]), позволяет характеризовать локальную динамику процесса. Для этого сужается репрезентативный масштаб до значений, при которых временной ряд не меняет своего поведения, и определяется локальная фрактальная размерность [30].

Алгоритм метода состоит из следующих шагов. Пусть процесс характеризуется некоторой функцией y = f(t) на отрезке [], i = 1, 2, …, m. Отрезок [a, b] разбивается на m сегментов равной длины . Затем график функции покрывается прямоугольниками с основанием д таким образом, чтобы это покрытие было минимальным по площади. Тогда высота прямоугольника на отрезке [t_i-₁, t_i] будет равна амплитуде A_i(д), равной разности максимального и минимального значения f(t) на данном отрезке. Накопленная амплитуда на всем отрезке вычисляется как , а площадь минимального покрытия как S_µ(д) = V_f(д)д. Очевидно, что при сокращении длины отрезка д точность вычисления площади покрытия будет увеличиваться. Имеет место степенная зависимость S_µ(д) ~ д^2-D при д > 0, где D - фрактальная размерность. Из этой формулы следует, что

V_f (д) ~ д-^µ при д > 0, (1.9)

где

µ = D_µ - 1 (1.10)

Показатель D_µ авторы назвали размерностью минимального покрытия, а µ - индексом фрактальности. В работе [15] показано, что клеточное и минимальное покрытия совпадают (и, следовательно, совпадают вычисленные указанными способами размерности), однако для реальных фрактальных процессов они могут давать различные приближения величины S(д) к асимптотическому режиму.

Показатель µ вычисляют аналогично клеточной размерности: как взятый с отрицательным знаком коэффициент при независимой переменной в уравнении линейной регрессии , где b - свободный член. Иллюстрация метода минимального покрытия для дискретного ряда данных приведена на рисунке 1.9.

Рис. 1.9. Минимальное покрытие при различных значениях длины отрезка д

Стоит отметить, что при анализе данных котировок авторы метода использовали не одномерный ряд цен, а двумерный, на каждый момент времени (в частности, день) содержащий максимальную и минимальную цены инструмента [15]. В расчете данная специфика учитывается таким образом, что верхняя граница амплитуды A_i(д) определяется по вектору максимальных цен, а нижняя соответственно по вектору минимальных. Причем такой подход позволяет в качестве наименьшей длины отрезка брать единицу, то есть шаг, с которым дискретизирован временной ряд (например, один день), а размахом в этом случае будет разница максимального и минимального внутридневных курсов.

Показано, что для приемлемо точного определения размерности минимального покрытия достаточно репрезентативных интервалов длиной 32 и иногда даже 16 дней. Заметно, что значения функции V_f (д) в двойных логарифмических координатах хорошо ложатся на прямую линию даже на таком временном масштабе (то есть функция имеет быстрый выход на асимптотический режим) (рисунок 1.10 [15]).

Рис. 1.10. Зависимость lnV_f (д) от ln д на интервале 32 дня (курсы акций Coca-Cola)

Размерность - величина, которая может быть определена для любой природной или модельной структуры, если ее можно изобразить графически. Для анализа временных рядов часто используют другую характеристику - показатель Херста.

1.4.1.2 Методы оценивания показателя Херста

Ниже рассмотрены три наиболее часто используемых метода, позволяющих вычислять показатель Херста H и делать выводы о характере поведения фрактального процесса.

Метод нормированного размаха (R/S-анализ)

R/S-анализ предложен Г. Херстом в 50-х гг. XX в. и до сих пор является одним из наиболее популярных подходов в исследованиях фрактальных рядов самой различной природы, что подтверждается обзором научных работ. Можно сказать, что для вычисления H он является «родным» методом, и некоторые авторы, говоря о показателе Херста, подразумевают его оценивание именно посредством метода нормированного размаха. Идея R/S-анализа состоит в том, что существует степенная зависимость вида

, (1.11)

где R - размах вариации (под вариацией показателя понимается накопленное отклонение его от среднего значения),

S - стандартное отклонение показателя,

д - количество значений показателя в группе,

c - некоторая константа.

Вычисляемая статистика R/S является размахом, нормированным стандартным отклонением, что и дало название методу. В [18] подробно описан его алгоритм.

Пусть дан временной ряд x(t) длиной n + 1. Прежде всего его приводят к так называемым «логарифмическим прибылям» [40] («доходностям») y(t):

(1.12)

Далее работают с преобразованными данными. Ряд y(t) длиной n делится на m групп значений по д элементов. Для каждой i-ой группы (i = 1, 2, …, m) рассчитываются:

- среднее значение ;

- накопленные отклонения от среднего , образуя m рядов Y _i(t);

- размах R_i = max(Y_i(t)) - min(Y_i(t));

- стандартное отклонение ;

- R/S-статистика (нормированный размах) по формуле R_i / S_i;

После полученные m величин R/S усредняются, и получается двойка элементов <R/S(д), д>. Такие вычисления проводят для различных значений д. Показатель Херста H определяется как коэффициент при независимой переменной в уравнении линейной регрессии , где с - свободный член.

Стоит отметить, что величина д не может принимать значения, меньшие 10, при этом очевидно, что она является собственным делителем количества элементов в ряду n, поэтому выборку нужно формировать таким образом, чтобы максимизировать число собственных делителей - это положительно скажется на точности вычисления H. Кроме того, для достижения приемлемой точности значение n должно быть достаточно высоко (несколько тысяч). В [15] показано, что на интервалах порядка нескольких десятков значений оценивание H не имеет смысла, так как функция R/S(д) имеет медленный выход на асимптотический режим (рисунок 1.11).

Рис. 1.11. Зависимость lnR/S (д) от ln д на интервале 32 дня (курсы акций Coca-Cola)

Для проверки состоятельности расчета показателя Херста Э. Петерс предлагает перемешать исходные данные случайным образом и вычислить H повторно [42]. Если ряд обладает длинной памятью и было получено высокое значение H, то при перемешивании оно должно существенно снизиться, в противном случае либо неудачно сформирована выборка данных, либо имеются ошибки методики.

Метод детрендированного флуктуационного анализа (ДФА)

Метод ДФА в настоящее время является основным методом определения самоподобия для нестационарных временных рядов [24] (по-видимому, автор научной работы имеет в виду не распространенность метода, а его способность оценивать H с высокой точностью и относительную простоту). Алгоритм его состоит из следующих шагов [2].

Пусть имеется временной ряд x(t). Строится кумулятивный ряд y(t), каждый член которого вычисляется по формуле , где - среднее значение x(t). Далее ряд y(t) разбивается на N сегментов длиной д. Для каждого сегмента вычисляется флуктуационная функция

, (1.13)

где Y_m(t) - локальный m-полиномиальный тренд в пределах данного сегмента (то есть значение функции тренда в точке t) (рисунок 1.12).



Рис. 1.12. Построение m-полиномиальных трендов на участках ряда y(t) длиной д = 100 (моделью тренда является полином порядка m = 1)

Затем N полученных функций F(д) усредняются. Такие вычисления повторяются для различных значений д, результатом является набор двоек <, д>. Для самоподобных процессов имеет место степенная зависимость:

(1.14)

Соответственно H определяется как коэффициент при независимой переменной в уравнении линейной регрессии , где b - свободный член.

Метод вейвлет-преобразований

Вейвлет-анализ является на сегодняшний день одной из самых перспективных технологий анализа данных [47]. Вейвлет - это математическая функция, позволяющая анализировать различные частотные компоненты данных. Вейвлет-преобразования широко применяются, например, для очистки сигнала от шума: можно предположить, что информация о помехе содержится в высокочастотной области спектра сигнала, а полезная информация - в низкочастотной [43].

Метод оценивания показателя Херста через вейвлеты является наиболее сложным из рассмотренных. Он подробно описан в работах Л. Кириченко, например, [22]. Данный метод основан на свойствах детализирующих вейвлет-коэффициентов, полученных на разных уровнях декомпозиции исследуемого временного ряда. Пусть случайный процесс x(t) является самоподобным, тогда детализирующие коэффициенты на каждом уровне разложения также обладают свойством самоподобия:

, (1.15)

где det(j, k) - k-ый детализирующий коэффициент уровня разложения j, k = 1, 2, …, N_j,

N_j - количество вейвлет-коэффициентов на уровне разложения j.

Это свойство вытекает из свойств вейвлет-базиса, полученного путем масштабирования материнских вейвлетов.

Если для самоподобного процесса x(t) существуют моменты 2-го порядка, то для вейвлет-коэффициентов, полученных в результате декомпозиции данного процесса, выполняется равенство:

(1.16)

Величина вейвлет-энергии M|det(j,k)|² на масштабном уровне j вычисляется следующим образом:

, (1.17)

Из (1.15)-(1.16) следует, что изменение ее значений подчиняется степенному закону:



E_j ~ 2^(2H+1)j (1.18)

Традиционно H можно вычислить через коэффициент при независимой переменной в уравнении линейной регрессии ,
где b - свободный член.

Сравнение методов оценивания показателя Херста

В работе [24] проведен сравнительный анализ рассмотренных методов оценивания H. Показано, что для стационарных временных рядов пригодны все три из них, однако на рядах небольшой длины наиболее точные результаты дают методы ДФА и вейвлет-преобразований. Для нестационарных рядов (каковыми являются практически все финансовые ряды) R/S-анализ неприменим, однако данное ограничение обходится предварительным преобразованием исходного ряда (например, к логарифмическим доходностям). Два других метода обладают достаточной точностью. В то же время использование аппарата вейвлет-преобразований предъявляет повышенные требования к уровню подготовки пользователя, для него необходим опыт работы и специализированное программное обеспечение.

Подытожив сказанное, можно составить сравнительную таблицу.

Таблица 1.2. Сравнение методов оценивания H

	Метод
	R/S-анализ	ДФА	Вейвлет-преобразования
Достоинства	Простота, приемлемая точность при достаточно больших объемах выборки.	Простота, приемлемая точность на выборках разного объема.	Приемлемая точность на выборках разного объема.
Недостатки	Несостоятельность на малых выборках, необходимость предобработки данных для анализа нестационарных рядов.	-	Высокая сложность применения.



В данной работе при оценивании фрактальности процессов через показатель Херста автором было решено не использовать метод вейвлетов, а сосредоточиться на двух других. В частности, для «наивного» подхода к прогнозированию финансовых показателей применить R/S-анализ, а для более основательного - метод флуктуационного анализа с исключенным трендом.

1.4.1.3 Интерпретация значений и сравнение фрактальных характеристик финансовых рядов

В предыдущих разделах работы были рассмотрены несколько показателей, характеризующих фрактальность динамических процессов: это фрактальная размерность D, индекс фрактальности µ и показатель Херста H, которые позволяют судить о таких свойствах, как самоподобие, персистентность и наличие длинной памяти у временного ряда. Как можно убедиться, все эти величины и понятия тесно связаны между собой, и фундаментальной индикативной характеристикой процесса, отражающей фрактальные свойства, остается размерность его графика (не зря данному понятию было уделено несколько страниц в первой главе работы). В [30] проведен сравнительный анализ указанных показателей и показана их взаимосвязь.

Значение фрактальных показателей D, H и µ соотносится со сложным непериодическим поведением реальных временных рядов. В разделе 1.2.2 возможные состояния процесса уже упоминались, однако следует раскрыть их более подробно.

Хаотический процесс может пребывать в одном из трех состояний (в некоторых работах также говорят о цветах шума [9], [41], [48]).

Тренд - персистентный участок, на котором поддерживается тенденция изменений. Если в текущем периоде показатель увеличивался, с большой долей вероятности он продолжит расти и в следующем периоде (рисунок 1.13).

Рис. 1.13 . Модельная реализация нестационарного процесса с трендом

Флэт - антиперсистентный участок, направление изменений на котором постоянно меняется (чаще, чем при случайном характере процесса). Такой характер динамики называют «возврат к среднему». Если в текущем периоде показатель увеличивался, с большой долей вероятности в следующем периоде направление сменится, в результате чего его значение не может далеко уйти от среднего (рисунок 1.14).

Рис. 1.14 . Модельная реализация стационарного процесса с флэтом

Случайное блуждание (броуновское движение, винеровский процесс) - промежуточное состояние между трендом и флэтом. Динамика процесса случайна, будущие значения не зависят от прошлых (рисунок 1.15).

Рис. 1.15. Модельная реализация случайного блуждания

Рассмотренные фрактальные показатели позволяют идентифицировать состояние определенного участка временного ряда и прогнозировать его дальнейшее поведение. В таблице 1.3 приведено их сопоставление [30].

Таблица 1.3. Взаимосвязь показателей фрактальности ряда

Показатели фрактальности	Диапазон значений	Характер временного ряда экономического показателя
		Антиперсистентный (флэт)	Случайный (стохастический)	Персистентный (тренд)
Показатель Херста H	[0; 1]	0 < H < 0,5	H = 0,5	0,5 < H < 1
Фрактальная размерность D	[1; 2]	1,5 < D < 2	D = 1,5	1 < D < 1,5
Индекс фрактальности µ	[0; 1]	0,5 < µ < 1	µ = 0,5	0 < µ < 0,5

Из таблицы видно, что все три показателя согласуются друг с другом. Ниже приведена интерпретация их значений на примере фрактальной размерности D.

D ? (1; 1,5). Финансовые временные ряды имеют долговременную корреляцию (длинную память), возникает персистентное состояние рынка. Причем близкое к единице значение фрактальной размерности указывает на скорое окончание действующего тренда. Для описания динамики таких рядов применимы модели с длинной памятью, например, ARFIMA.

D = 1,5 ± 0,05. При значении фрактальной размерности в узком интервале поведение системы стохастическое и хорошо описывается классическими статистическими методами, такими как ARIMA-модели.

D ? (1,5; 2). Чем ближе D к 2, тем более нелинейным становится временной ряд, возникает антиперсистентное состояние курса акций, временная кривая курса становится неустойчивой, сильно изрезанной и готова в любой момент перейти в новое состояние. При таком диапазоне фрактальной размерности остается лишь использовать анализ фундаментальных факторов состояния экономики или вовсе отказаться от прогнозирования.

Можно сказать, что при D > 1 (персистентность) и D > 2 (антиперсистентность) фрактальные свойства процесса усиливаются. В работах [30], [37] показано, что наиболее устойчивым состоянием экономических систем является состояние случайного блуждания, характеризующееся размерностью 1,5. Существенное отклонение D от указанного значения (усиление фрактальности) свидетельствует о переходе рынка в нестабильную фазу, сопровождающуюся кризисными явлениями.

Таким образом, значение фрактальной размерности может служить индикатором дальнейшего поведения финансового временного ряда и его принципиальной предсказуемости. Это положение автором предполагается использовать при исследовании возможности прогнозирования на финансовых рынках в рамках данной работы.

Что касается выбора используемых для анализа фрактальных характеристик, то было решено использовать все три рассмотренных показателя, при этом консолидирующей индикативной величиной принять размерность D, вычисляя ее как через индекс фрактальности µ, так и через показатель Херста H. Подробнее методика исследования описана в главе 2.

Итак, выше были рассмотрены методы, пригодные для осуществления предпрогнозного анализа финансовых рядов. В следующем разделе описаны некоторые популярные подходы к предсказанию поведения этих рядов, основанные на их фрактальных свойствах.

1.4.2 Фрактальные методы прогнозирования временных рядов

Как было отмечено в параграфе 1.3, научных работ, посвященных прогнозированию финансовых временных рядов на несколько шагов вперед, достаточно мало. В трудах о фрактальном анализе предметом исследования преимущественно становится выявление фрактальных свойств рядов и предсказание критических точек. Объяснением этому факту является открытая дискуссия вокруг принципиальной предсказуемости цен финансовых активов. Согласно теории эффективного рынка, котировки фондовых инструментов являются случайными величинами, их динамика подобна броуновскому случайному процессу, и поэтому получение сколько-нибудь точного прогноза невозможно. С другой стороны, в литературе приводятся многочисленные свидетельства того, что поведение биржевых котировок не случайно, а теория эффективного рынка подвергается обоснованному сомнению [10]. В любом случае вопрос возможности прогнозирования нуждается в дополнительных исследованиях.

Наиболее часто используемый подход к прогнозированию уровней финансовых рядов на основе фрактального анализа - моделирование процессов с длинной памятью (ARFIMA), он и рассмотрен ниже. Также встречаются работы, в которых рассматривается применение нейросетевых моделей. Нужно заметить, что «фрактальным» такой метод можно назвать лишь условно: особенность в том, что на вход ИНС подают помимо прочих данных величины фрактальных показателей временного ряда, обработка которых осуществляется в соответствии со стандартными алгоритмами обучения нейросети. Такой подход описан во многих работах, посвященных фрактальному анализу, например, в [10], [31]. Достоинства и недостатки ИНС описаны в параграфе 1.1, можно лишь добавить, что, согласно некоторым исследованиям, использование фрактальных показателей для обучения нейросети увеличивает точность ее прогнозов [10]. Так как нейросетевой подход ранее в данной работе было решено не использовать, подробно рассмотрен он не будет.

Авторегрессионные модели скользящего среднего с длинной памятью

Широко известна, давно и успешно применяется методология прогнозирования временных рядов ARMA(p, q) (авторегрессионная модель скользящего среднего), предназначенная для моделирования стационарных процессов, где p - порядок авторегрессии (количество прошлых значений ряда, используемых моделью), q - порядок скользящего среднего (количество прошлых значений ошибки). На данном этапе не лишним будет раскрыть понятие стационарности, уже упоминаемое в предыдущей части работы.

Можно дать следующее интуитивное определение стационарности временного ряда [21]. Она означает, что его поведение в будущем будет похоже на его поведение сейчас, то есть это свойство ряда, благодаря которому он в разное время ведет себя похожим образом. Эта неизменность ряда во времени весьма полезна для построения прогнозов.

Если обращаться к формальным определениям, существует два типа стационарности:

1) Сильная (строгая, стационарность в узком смысле). Ее наличие означает постоянство законов распределения на любом взятом промежутке ряда, то есть совместное распределение m наблюдений не зависит от сдвига по времени.

2) Слабая (стационарность в широком смысле). Ее условием является постоянство математического ожидания, дисперсии и ковариационной функции вне зависимости от точки отсчета.

В прикладных исследованиях обычно используется стационарность в широком смысле, так как ее наличие проще выявлять, используя некоторые статистические тесты (например, тест Дики-Фуллера).

Очевидно, что, например, процесс с ярко выраженным трендом стационарным не является: его математическое ожидание изменяется с течением времени. Однако существуют некоторые технические приемы, позволяющие приводить нестационарные ряды к стационарности.

Так, существует расширение модели ARMA(p, q) под названием ARIMA(p, d, q), предложенное Боксом и Дженкинсом [11] и предназначенное для моделирования нестационарных процессов. ARIMA-методология предполагает приведение временного ряда к стационарности путем взятия целочисленных разностей порядка d (на практике эта величина обычно не превышает 2 [21]).

Еще одним вариантом приведения ряда к стационарному виду является взятие нецелых (дробных) разностей (d является нецелым числом). По преобразованному ряду обучается модель ARMA(p, q). Полученная в результате этих операций модель носит название ARFIMA(p, d, q) (подход предложен Хоскингом [48]). Взятие дробных разностей достигается путем разложения (1 - L)^d в ряды Тейлора, где L - лаговый оператор. Идея метода заключается в том, что взятие целых разностей может быть излишним для ряда данных (стационарность может лежать где-то между d = 0 и d = 1) [46]. Модель ARFIMA описывается следующим уравнением [8]:

Ф(L)(1 - L)^d X_t = µ + И(L)е_t,, (1.19)

где X_t - исследуемый процесс (временной ряд),

L - оператор сдвига (лаговый оператор),

Ф(L) - полином степени p от L,

И(L) - полином степени q от L,

d - порядок интегрирования процесса X_t,

µ - свободный член.

Имеет смысл заметить, что нестационарный процесс, d-ые разности которого стационарны, называют процессом, интегрированным порядка d [21].

Величину d также называют оператором дробного дифференцирования (то есть процесса взятия дробных разностей исходного ряда). Он аппроксимируется следующим рядом:

, (1.20)

где Г - гамма-функция.

При d ? (0; 1) автокорреляционная функция такого процесса убывает гиперболически, то есть крайне медленно. Параметр d может служить мерой длинной памяти - чем больше его значение, тем память «длиннее» [8]. Кроме того, так как величина d аппроксимируется суммой бесконечного количества элементов ряда, этот факт является математической интерпретацией длинной памяти. Помимо этого, дробное дифференцирование дает возможность более точно описать реальный непрерывный процесс путем его преобразования в дискретный посредством разбивания процесса на более мелкие компоненты, чем при целочисленном дифференцировании. Все это дает право предполагать, что модель ARFIMA обладает потенциальными возможностями для описания фондовых рынков, а полученные с ее помощью результаты являются более достоверными по сравнению с другими моделями, не учитывающими наличие длинной памяти (ARMA, ARIMA) [16], [41].

Существует прямая связь между показателем Херста и оператором дифференцирования d:

d = H - 0,5, (1.21)



что позволяет использовать для оценки d рассмотренные ранее методы (R/S-анализ, ДФА, вейвлет-преобразования) [48]. Также существуют и другие способы оценивания данного параметра; в частности, широко распространенными являются методы GPH (названный так по именам создателей Geweke и Porter-Hudak) [8] и Виттла [13].

К достоинствам моделей класса ARFIMA, помимо доказанной рядом авторов сравнительной достоверности прогнозов, относится то, что необходимый предпрогнозный этап анализа позволяет сделать выводы о характере исследуемых процессов (нет большого смысла применять ARFIMA для предсказания случайных или антиперсистентных рядов). В то же время некоторые авторы к недостаткам таких моделей относят: недостаточную согласованность со свойствами и характеристиками реальных процессов; необходимость привлечения экспертов к подбору параметров в режиме отладки модели; зачастую громоздкий математический аппарат [14].

Таким образом, были рассмотрены все вопросы, поставленные в начале главы. В следующем параграфе обобщены выводы по ней.

Выводы по главе

Итак, в первой главе было произведено ознакомление с основами фрактального анализа финансовых рынков, для чего были получены ответы на ряд вопросов. Следует кратко воспроизвести их.

1. Существуют различные подходы к анализу и прогнозированию финансовых рынков, среди них наибольшую популярность завоевали фундаментальный и технический анализ, статистическое моделирование, нейросетевой анализ, а также фрактальный (мультифрактальный) подход. Последние два являются наиболее новыми и перспективными, хотя основаны на совершенно различных теоретических постулатах и предполагают решение разных классов задач. Так, нейросеть является универсальным аппроксиматором, восстанавливающим скрытые нелинейные зависимости в данных, что позволяет предсказывать будущие значения временных рядов, сама же модель остается «черным ящиком». Фрактальный анализ направлен не столько на прогнозирование конкретных значений, сколько на предсказание кризисных ситуаций путем описания характера поведения реальных динамических процессов на том или ином временном участке, хотя фрактальные методы экстраполяции существуют, при этом не слишком хорошо исследованы. В данной работе было решено рассматривать фрактальный подход ввиду его перспективности и не очень активного применения к анализу финансовых рынков отечественными авторами.

2. Суть фрактального анализа финансовых рынков состоит в том, что ряды котировок финансовых инструментов обладают свойствами фракталов, что позволяет описывать их методами фрактальной геометрии и предсказывать будущее поведение, что доказано во многих работах [35], [42]. К таким свойствам относится наличие длинной памяти (долговременной автокорреляционной зависимости), что свидетельствует о влиянии прошлых цен на будущие. Для численной характеристики фрактальных процессов используются различные показатели, основным из которых является величина фрактальной размерности. Различные диапазоны принимаемых ей значений соответствуют разным состояниям процесса (тренд, флэт, случайное блуждание), а также сигнализируют о наступлении «критических точек» (существенных отклонений значений ряда).

3. Результаты обзора актуальных научных работ в данной области можно свести в таблицу.

Таблица 1.4. Обзор работ по фрактальному анализу финансовых рынков

Решаемая задача	Авторы	Применяемые подходы (методы)
Выявления фрактального характера финансовых временных рядов	Ю. Балагула	R/S-анализ, спектральный метод (GPH)
	А. Зиненко	R/S-анализ
Исследование точности фрактальных показателей и методов фрактального анализа	М. Дубовиков, М. Старченко	Метод минимального покрытия, R/S-анализ
	Е. Кривоносова и др.
Предсказание кризисных ситуаций	А. Мансуров	Метод ДФА
	Е. Кривоносова	Фрактальные (R/S-анализ, методы клеточного и минимального покрытия) и мультифрактальные (МФ-ДФА, вейвлет-преобразования, анализ с использованием показателя Гельдера) методы
	Л. Кириченко и др.	МФ-ДФА, вейвлет-преобразования
	В. Андриенко	R/S-анализ
Предсказание конкретных значений котировок	И. Дегтяренко и др.	ДФА, ARFIMA- моделирование
	Е. Остапенко, Т. Дунаева	R/S-анализ, ARFIMA-моделирование
	М. Прудский	R/S-анализ, ARFIMA-моделирование
	И. Белолипцев, С. Фархиева	Метод минимального покрытия, нейросетевое моделирование
	А. Кричевский	R/S-анализ, ARFIMA и нейросетевое моделирование

В целом можно сказать, что во всех исследованиях были получены положительные результаты, продемонстрировавшие эффективность фрактального подхода. На основе результатов обзора литературы был осуществлен выбор методов, применяемых в настоящей работе.

4. Наиболее широко применяемые методы выявления фрактальности - R/S-анализ, метод минимального покрытия, метод ДФА, методы прогнозирования будущих значений ценовых рядов - модели ARFIMA и нейронные сети, обучаемые на фрактальных характеристиках. Описание и алгоритмы данных методов (за исключением нейросетей, которые решено не использовать) рассмотрены подробно.

Таким образом, поставленная в первой главе задача была успешно решена. Следующим этапом является разработка методики исследования применения фрактального подхода для прогнозирования на финансовых рынках на основе рассмотренных методов, которой посвящена вторая глава.

Глава 2. Разработка методики исследования возможностей применения фрактального подхода для прогнозирования финансовых временных рядов

Цель второй главы - сформировать методику исследования, которое должно решить главную проблему, поставленную в работе: позволяет ли применение фрактального анализа увеличить точность прогнозов финансовых рядов в сравнении с другими подходами.

Для достижения цели следует осветить следующие основные вопросы.

1. Постановка задачи. Необходимо определить: объект прогнозирования; горизонт прогнозирования; критерии оценки качества прогнозов.

2. Описание исследования. Следует раскрыть: основные этапы; подробную последовательность шагов для достижения результата с указанием конкретных приемов и методов.

3. Выбор программных инструментов исследования. Нужно: дать сравнительную характеристику существующим программным решениям; осуществить выбор наиболее подходящего из них для целей исследования.

Раскрытие поставленных вопросов составляет содержимое второй главы.

2.1 Постановка задачи исследования

В рамках параграфа даны ответы на вопросы: что предсказывать; как далеко предсказывать; как определить качество прогноза.

2.1.1 Объект прогнозирования

Первый очевидный шаг исследования заключается в выборе входных данных для анализа и их получении из надежных источников. В качестве изучаемых показателей было решено взять котировки восьми финансовых инструментов, выбранных произвольным образом среди удовлетворяющих следующим условиям: имеют достаточно длинную историю значений (не менее чем с 2000-го года); имеются данные о дневных ценах открытия, закрытия, максимуме и минимуме.

Были выбраны финансовые инструменты, относящиеся к различным классам активов, в том или ином виде (непосредственно или в качестве базовых активов фьючерсов) торгуемых на российской и зарубежных фондовых биржах. Их список представлен в таблице.

фрактальный финансовый рынок

Таблица 2.1. Исследуемые финансовые инструменты

Класс актива	Наименование	Тикер	Единица измерения	Источник данных
Фондовые индексы	Индекс МосБиржи	IMOEX	-	МосБиржа
	Индекс S&P 500	^GSPC	-	Yahoo Finance
Долевые инструменты	Обыкновенные акции Лукойл	LKOH	рубли	Финам
	Обыкновенные акции Сбербанк	SBER	рубли	Финам
	Обыкновенные акции Microsoft	MSFT	доллары США	Yahoo Finance
	Обыкновенные акции Amazon	AMZN	доллары США	Yahoo Finance
Валютные пары	Курс доллара США к рублю	USDRUB	рубли	Финам
	Курс евро к рублю	EURRUB	рубли	Финам

Анализируемый период - с 01.01.2000 по 01.05.2018. Предполагается изучить ряды с разными шагами дискретизации: день, неделя, месяц. Информация о фрактальных показателях на различных масштабах рассмотрения позволит судить о наличии мультифрактальных свойств изучаемых процессов.

Ценовые данные на каждый момент времени должны включать четыре измерения: цена открытия (OPEN), цена закрытия (CLOSE), максимальная (HIGH) и минимальная (LOW) цены. При обработке данных всеми рассмотренными ранее методами, за исключением метода минимального покрытия, предполагается оперировать средними ценами за период (AVG), вычисленными по формуле

. (2.1)

Согласно специфике метода минимального покрытия, для расчета индекса фрактальности используется не одно измерение, а два: цены HIGH и LOW.

Важно сделать примечание относительно предварительной обработки данных, а именно, восстановления пропущенных значений и устранения выбросов. Эти операции типичны для анализа данных, в том числе финансовых временных рядов, и являются хорошо изученными (см., например, [27]). Однако в данной работе автором было решено их не проводить по следующим причинам:

- рынки инертны, являются устойчивыми к выбросам, цены фиксируются автоматически, и если цена принимает аномально высокое (низкое) значение, это не выброс, а критическая точка, анализом которых в том числе и занимается фрактальный подход;

- торги осуществляются не каждый календарный день, поэтому пропуски в данных являются естественными: цены отсутствуют не потому, что не были зафиксированы, а потому что не существуют;

- в изученных работах по фрактальному анализу рынков подобная обработка не проводилась.

Впрочем, экономический процесс является непрерывным, важные для рынка события происходят постоянно, и если во время бездействия бирж случился какой-то инцидент, он отразится на ценах лишь в момент открытия новой торговой сессии, а мог бы и раньше. Так или иначе, вопрос о пропусках в финансовых временных рядах и их влиянии на результаты анализа остается дискуссионным.

Пусть величина n является горизонтом (числом шагов) прогнозирования, n ? N. Решено предсказывать следующие величины:

- n будущих значений ряда;

- n направлений будущих приращений значений ряда (под направлением приращения понимается рост или снижение).

2.1.2 Горизонт прогнозирования

Планируется осуществлять краткосрочные прогнозы на 3 шага вперед (в зависимости от длины периода это может быть 3 дня или 3 месяца). Такое решение продиктовано природой финансового рынка: по мнению некоторых исследователей [6], [20], рынок, как и многие естественные процессы, является глобально детерминированным с локальными случайными флуктуациями, и на длинных горизонтах с приемлемой точностью можно прогнозировать только некоторые тенденции, но не конкретные значения цен. Таким образом, n = 3.

2.1.3 Критерии оценки качества прогнозов

Выбранные предсказываемые величины имеют разный характер: конкретные значения ряда - непрерывный, а направления приращений - дискретный. Следовательно, в первом случае можно говорить о задаче прогнозирования (а конкретно, с учетом выбора модели, задаче регрессии), во втором - о задаче классификации, в данном случае бинарной. Соответственно, метрики оценивания качества моделей будут отличаться.

1. Качество прогноза конкретных значений решено оценивать с помощью широко употребимого показателя средней абсолютной ошибки в процентах MAPE [52]:

, (2.2)

где n - длина горизонта прогнозирования,

- фактическое значение показателя в момент времени t,

- предсказанное значение показателя в момент времени t.

Чем меньше величина MAPE, тем точнее прогноз. Очевидно, этот критерий можно использовать при сравнении нескольких прогнозов.

2. Качество предсказания направлений приращений (?) имеет смысл оценивать стандартными для классификации метриками: accuracy, precision, recall, F-measure.

Пусть имеется два класса: положительный (единица, ? > 0) и отрицательный (нуль, ? < 0). Гипотетически возможна ситуация, когда величина котировки в следующем периоде может не измениться, но это маловероятно, поэтому в целях упрощения расчетов метрик принят бинарный подход к задаче классификации.

Accuracy (точность) - доля всех объектов в выборке, отнесенных к правильному классу:

, (2.3)

где TP (true positive) - количество положительных объектов, правильно отнесенных к классу положительных объектов,

TN (true negative) - количество отрицательных объектов, правильно отнесенных к классу отрицательных объектов,

FP (false positive) - количество отрицательных объектов, ошибочно отнесенных к классу положительных объектов,

FN (false negative) - количество положительных объектов, ошибочно отнесенных к классу отрицательных объектов.

Precision (специфичность) - доля объектов, отнесенных к правильному классу, среди всех объектов, которые были отнесены к этому классу:

(2.4)



Recall (полнота) - доля объектов, отнесенных к правильному классу, среди всех объектов этого класса (то есть объектов выборки, которые действительно относятся к этому классу):

(2.5)

В отличие от единственной величины accuracy, метрики precision и recall могут быть вычислены для каждого класса, однако при бинарной классификации принято оценивать их для целевого (положительного). Чем выше каждый из этих трех показателей, тем выше качество классификации, в данном случае прогноза. В общем случае качество классификации можно сравнивать со случайным угадыванием, то есть таким «черным ящиком», который равновероятно выдает либо «1», либо «0». Для данной простейшей модели и несмещенной тестовой выборки, состоящей поровну из нулей и единиц, указанные метрики имели бы значение 0,5. Если они превышают 0,5 для каждого класса, можно говорить о качестве прогноза как минимум лучшем, чем при случайном угадывании.

Существует агрегатный показатель, учитывающий величины precision и recall с равными весами, так называемый F-measure (F-мера):

(2.6)

Чем выше значение F-measure, тем выше качество классификации.

2.2 Описание исследования

Исследование предполагается проводить в несколько этапов, которые охарактеризованы ниже.

1. «Наивный» этап. На данной стадии решено воспроизвести упрощенную методику прогнозирования финансовых рядов, описанную М. Прудским в статье [44]. Полученные положительные результаты позволили бы сделать вывод о том, что даже при таком подходе фрактальный анализ позволяет улучшать качество прогнозирования.

2. Предпрогнозный анализ фрактальных свойств рядов. Второй этап направлен на исследование характера изучаемых ценовых рядов, с тем чтобы можно было судить о динамике их фрактальных свойств, идентифицировать состояние процесса и делать выводы о возможности построения прогнозов.

3. Построение и тестирование прогнозных моделей. Третий этап заключается в непосредственной попытке краткосрочного прогнозирования динамики исследуемых рядов.

2.2.1 «Наивный» подход к прогнозированию

Наивность подхода заключается в том, что используется самый простой метод фрактального анализа (R/S-анализ) и предполагается, что рассматриваемые временные ряды не меняют своих фрактальных свойств со временем, что теоретически должно позволить моделям давать прогнозы приемлемого качества на протяжении всей их длины. Это предположение выглядит достаточно сомнительным в отношении реальных самоподобных процессов, тем не менее было решено опробовать и такой подход.

В качестве предсказывающего алгоритма используется статистическая модель с длинной памятью класса ARFIMA. Чтобы можно было сопоставить ее прогнозы с какими-то другими, чего не было сделано автором оригинальной методики [44], на тех же данных обучается классическая ARIMA-модель, не учитывающая фрактальных свойств ряда. Нужно добавить, что модели рассматриваются как «черные ящики», принимающие на вход обучающую выборку, а также некоторые регулирующие параметры и генерирующие прогнозные значения на выходе, при этом не играет роли, какой именно математический алгоритм используется при обучении. Наличие такого готового инструментария является обязательным условием при выборе программного средства, который рассмотрен в параграфе 2.3.

Общая последовательность шагов на данном этапе представлена в виде блок-схемы (рисунок 2.1). Следует пояснить некоторые из них.

Операция «Загрузка данных» предполагает, что ряд уже содержит средние за период значения. В противном случае их необходимо вычислить по формуле (2.1).

Преобразование исходных значений ряда к логарифмическим доходностям осуществляется по формуле (1.12). Так как в [9] показано, что исходный ряд и его логарифмические доходности имеют различные значения фрактальных характеристик, разный характер персистентности и длинной памяти, очевидно, что при дальнейшем моделировании следует использовать именно ряд лог-доходностей.



Рис. 2.1. Алгоритм «наивного» этапа

Процедура устранения в ряду автокорреляции первых порядков, упоминаемая в [44], раскрыта в [23]. Она обусловлена тем, что краткосрочная линейная зависимость смещает значения показателя Херста и демонстрирует наличие длинной памяти, даже если ее нет. Для устранения краткосрочной памяти по всему ряду обучается AR(1)-модель и вычисляются ее остатки. Если исходный ряд имел долгосрочную зависимость, то она сохраняется, в то время как краткосрочная устраняется.

Оценка показателя Херста H выполняется по AR(1)-остаткам в соответствии с алгоритмом R/S-анализа, изложенным в разделе 1.4.1.2 (за исключением шага с вычислением лог-доходностей, который был выполнен ранее). Параметр d ARFIMA-модели вычисляется по формуле (1.21).

Процедура дробного дифференцирования ряда по формуле (1.20) заключается в том, что каждый t-ый член ряда x(t) преобразуется в соответствующий член ряда y(t) через функцию (уравнение слегка модифицировано автором в сравнении с приведенным в [1]):

(2.7)

Можно описать на некотором псевдокоде алгоритм процедуры, производящей эти вычисления для каждого члена ряда x(t).

Для каждого t от 1 до Длина(x) Цикл

y[t] = x[t]

Для каждого k от 1 до t - 1 Цикл

c = d

Для каждого i от 1 до k - 1 Цикл

c = c * (i - d)

Конец цикла

c = c / Факториал(k)

y[t] = y[t] - c * x[t - k]

Конец цикла

Конец цикла

Предполагается, что тест Дики - Фуллера производится посредством готовой функции, возвращающей информацию об отклонении гипотезы. Целочисленное дифференцирование ряда x(t) заключается в вычислении первых разностей его членов по формуле:

(2.8)

Процедура идентификации ARMA-модели состоит в том, что обучается большое количество моделей с разными порядками p, q, и из них выбирается наилучшая по байесовскому информационному критерию BIC (меньше - лучше):

, (2.9)

где N - размер обучающей выборки,

k - количество параметров модели (p + q + свободный член),

RSS - сумма квадратов остатков модели.

Так как выдвинута гипотеза о неизменности фрактальных свойств ряда на всей его длине, можно предположить, что модели одинаковых порядков должны быть способны приемлемо описывать ряд на любом его участке. Ввиду этого решено производить вычисление показателя BIC при кросс-валидации (или так называемым методом скользящего окна). Суть данного подхода в том, что аппроксимируется множество моделей на различных обучающих выборках фиксированного размера, равномерно покрывающих весь анализируемый ряд (в соответствии с оригинальной методикой величина выборки взята 40 [44]), для каждой из моделей выполняется тест Льюнга-Бокса на отсутствие автокорреляции в остатках (не прошедшие его модели отбрасываются), затем рассчитываются необходимые показатели модели, и итоговая величина каждого из показателей берется как среднее арифметическое их значений для всех моделей. Шаг «скольжения» окна (обучающей выборки) принят величиной 10 (рисунок 2.2).



Рис. 2.2. Кросс-валидация результатов моделирования

Вычисленные BIC усредняются для каждого сочетания <p, q>, и в качестве результирующего сочетания принимается то, для которого BIC наименьший. Данный участок общего алгоритма можно наглядно конкретизировать следующим псевдокодом.

array = Объявить массив()

Для каждого b от 1 до Длина(x) - 40 Цикл

Для каждого p от p_min до p_max Цикл

Для каждого q от q_min до q_max Цикл

train = x[b, b + 40]

model = Обучить ARMA(train)

BIC = Вычислить BIC(model)

Если Тест Льюнга Бокса(model) = ИСТИНА Тогда

array.Добавить(model, BIC)

Конец если

Конец цикла

Конец цикла

Конец цикла

Усреднить BIC по всем моделям с одинаковыми p и q в массиве(array)

model = Найти в массиве модель с наименьшим BIC(array)

Извлечь порядки p и q(model)

Наконец, последним шагом является оценка показателя MAPE модели ARMA(p, q). Она также производится методом кросс-валидации: модели обучаются на участках длиной 40 наблюдений, затем осуществляется прогноз на 3 значения вперед, и по этому прогнозу вычисляется величина MAPE, которая затем усредняется по всем моделям (рисунок 2.2). Такой метод позволит оценить способность модели давать адекватные прогнозы не только на каком-то определенном сегменте, а на протяжении всего ряда данных, в том числе предсказывать его будущие значения.

Ниже приведен псевдокод данного алгоритма.

array = Объявить массив()

Для каждого b от 1 до Длина(x) - (40 + 3) Цикл

train = x[b, b + 40]

test = x[b + 41, b + 43]

model = Обучить ARMA(train)

Если Тест Льюнга Бокса(model) = ИСТИНА Тогда

prediction = model(test)

prediction = Проинтегрировать(prediction)

prediction = Восстановить ряд по лог-доходностям(prediction)

MAPE = Вычислить MAPE(test, prediction)

array.Добавить(MAPE)

Конец если

Конец цикла

MAPE = Среднее(array)

Важное уточнение по поводу вычисления MAPE: так как модели обучались на продифференцированном ряде лог-приростов, они и предсказывают такие же трансформированные значения. Но цель моделирования - получать прогнозы будущих исходных уровней ряда, поэтому, по мнению автора, показатель MAPE необходимо оценивать именно по исходному уровню. Для этого следует сначала проинтегрировать имеющийся ряд разностей, а затем выполнить процедуру, обратную вычислению логарифмических доходностей.

Интерес может вызвать процедура восстановления ряда по его дробным разностям (то есть интегрирование). Ее алгоритм отражен в псевдокоде ниже. Для лучшего понимания процесса на рисунке 2.3 показаны входные данные, необходимые алгоритму.

Рис 2.3. Входные данные алгоритма интегрирования

restored = Объявить массив()

Для t от t_first до t_first + Длина(y) - 1 Цикл

ti = t - t_first + 1

restored[ti] = y[ti]

limit = t - 1

j = 1

Пока j <= limit Цикл

c = d

ci = 1

Пока ci <= j - 1 Цикл

c = c * (ci - d)

ci = ci + 1

Конец цикла

c = c / Факториал(j)

restored[ti] = restored[ti] + c * x[t - j]

j = j + 1

Конец цикла

x[Длина(x) + 1] = restored[ti]

Конец Цикла

Итогом первого этапа будет две величины: значения показателя средней абсолютной ошибки в процентах (для ARFIMA и ARIMA) для каждого из анализируемых рядов. Какая из величин меньше, та модель и дает в среднем более точные прогнозы на любом из участков ряда.

Учитывая, что анализироваться будет 8 финансовых инструментов и для каждого будет рассчитано 2 показателя, всего на выходе данного этапа будет 8·2 = 16 значений. Следует дать им обозначения: MAPE(ARF)_i, MAPE(AR)_i, где i - номер инструмента, i = 1, 2, …, 8.

2.2.2 Предпрогнозный анализ фрактальных свойств рядов

Второй этап исследования заключается в анализе динамики выбранных финансовых инструментов с использованием двух характеристик: индекса фрактальности µ и показателя Херста H, вычисленного методом ДФА. Предположительно обе этих величины должны давать достаточно точную оценку фрактальной размерности D, рассчитываемой через них по формулам (1.10), (1.7), однако нет уверенности, что значения D совпадут. Поэтому выводы о самоподобном характере рядов и возможности их прогнозирования будут сделаны на основе обоих показателей независимо.

...