Так как известно, что на длинных временных интервалах фрактальные свойства реальных экономических процессов многократно меняются (ряд обладает локальными характеристиками фрактальности [15]), решено оценивать D не как единичное значение, полученное по всему ряду или фиксированному его отрезку, а как функцию D(t), вычисленную на множестве участков («окон»), равномерно покрывающих ряд с некоторым смещением относительно друг друга. На рисунке 2.4 представлена иллюстрация выбранного подхода, описанного в работах [10], [15].

Рис. 2.4. Вычисление размерности в виде функции D(t)

Общий алгоритм данной стадии представлен в виде блок-схемы (рисунок 2.5).



Рис. 2.5. Алгоритм предпрогнозного фрактального анализа

Следует прокомментировать некоторые его шаги.

Как и на «наивном» этапе, операция «Загрузка данных» предполагает на выходе ряд не только с ценами OPEN, CLOSE, HIGH и LOW, но и уже рассчитанной по формуле (2.1) средней ценой за период.

Длина «окна» (локального участка) является не фиксированной, предполагается взять несколько значений, соответствующих степеням двойки (что обусловлено спецификой методов минимального покрытия и ДФА), в диапазоне от 32 элементов (верхняя граница будет обусловлена вычислительными мощностями компьютера и установлена опытным путем).

Горизонт прогнозирования (число предсказываемых значений ряда) планируется принять в размере 3, как это было указано в разделе 2.1.2. Необходимо отметить, что, несмотря на отсутствие на данном этапе операций прогнозирования, эта величина требуется для обеспечения соответствия границ участков, на которых определяются локальные характеристики, и границ обучающих выборок, по которым будут аппроксимированы модели на следующем этапе, а обучающие выборки в любом случае необходимо выделять с учетом следующих за ними тестовых отрезков, чтобы не вырваться за границу ряда.

В качестве шага скольжения предлагается выбрать 1. Впрочем, величина данного параметра также может быть сильно ограничена снизу вычислительными ресурсами компьютера.

Оценка показателя Херста выполняется методом ДФА, алгоритм которого представлен в разделе 1.4.1.2. Так как метод широко известен и применяется, предполагается, что в программных пакетах он реализован.

В то же время, забегая вперед, стоит отметить, что готовой реализации метода минимального покрытия в них обнаружено не было. Это не удивительно, потому что метод предложен отечественными авторами относительно недавно [15], однако возникает необходимость собственной его реализации. Ниже представлен ее алгоритм, основанный на описании в 1.4.1.1, в виде псевдокода. Входными параметрами процедуры являются два ряда данных: максимальные (high) и минимальные (low) цены (например, дневные или месячные); предполагается, что их длина являет собой значение степени двойки (32, 64, 128 и так далее).

array = Объявить массив()

powmax = Логарифм по основанию 2(Длина(high))

Для pow от 0 до powmax Цикл

m = 2^pow

L = Длина(high) / m

V = 0

x0 = 1

Пока x0 <= Длина(high) Цикл

Если (x0 = Длина(high)) И (L > 1) Прервать цикл

x1 = x0 + L - 1

A = Максимум(high[x0, x1]) - Минимум(low[x0, x1])

V = V + A

x0 = x1 + 1

Конец цикла

array.Добавить(V, L)

Конец цикла

lnX = Логарифм натуральный(array.Извлечь(L))

lnY = Логарифм натуральный(array.Извлечь(V))

model = Линейная регрессия(Y = lnY, X = lnX)

µ = -1 * model.Извлечь коэффициент при X()

Величины фрактальных размерностей исчисляются через полученные значения H и µ по формулам (1.10), (1.7).

В результате для ряда котировок будет получено две последовательности величин D, вычисленных разными способами. По ним будут построены графики функций D(t), по поведению которых можно судить о фрактальных свойствах ряда в динамике.

Всего анализу подвергнутся 8 финансовых инструментов, и для каждого из них будут рассчитаны D_H(t), Dµ(t):

- на трех различных масштабах M: день (M1), неделя (M2), месяц (M3);

- при разной длине «окна» W: 32 (W32), 64 (W64), 128 (W128)…, w - количество возможных длин.

На выходе данного этапа для каждого инструмента будет 2·3·w = 6w рядов значений разной длины. Следует дать им обозначения: D_H(t)_M,W,i, Dµ(t)_M,W,i, где i - номер инструмента, i = 1, 2, …, 8.

2.2.3 Построение и тестирование прогнозных моделей

Наконец, третий этап заключается в непосредственной попытке краткосрочного прогноза будущего поведения исследуемых рядов. В качестве основных прогнозирующих «черных ящиков» используются модели класса ARFIMA. Для возможности сопоставления результатов предсказания моделей с длинной памятью с какими-либо еще решено на тех же данных обучать модель ARIMA, а также использовать примитивные методы прогнозирования будущих значений ряда по среднему и последнему известному значению.

Предполагается обучать модели по всем выделенным на предыдущем этапе локальным участкам ряда, предсказывать следующие за ними 3 значения, вычислять показатели качества прогнозов, но при этом не усреднять их, как это было предложено в рамках «наивного» подхода, а сохранять в виде последовательности значений. В результате можно будет каждую из метрик представить как функцию от момента времени t и величины обучающей выборки (представление о таком подходе дают рисунки 2.2, 2.4). Сравнивая кривые локальных фрактальных размерностей и метрик качества аппроксимированных на соответствующих участках моделей, можно проверить выдвинутые в 1.4.1.3 предположения и в целом судить о возможностях прогнозирования процессов в различных состояниях (тренд, флэт, случайное блуждание).

Общий алгоритм этапа построения прогнозов приведен в виде блок-схемы на рисунке 2.6. Так или иначе, в процессе исследования необходимо пройти по всем его «веткам», потому что нужно рассмотреть различные объекты предсказания и модели, но если представлять схему в виде линейной последовательности шагов, она будет излишне вытянутой по вертикали, с трудом восприниматься и нерационально расходовать место на странице (а у автора нет цели искусственно увеличить объем данной работы).

Традиционно следует прокомментировать некоторые шаги алгоритма, нуждающиеся в раскрытии. Так, на данном этапе исследования модели ARFIMA и ARIMA предполагается рассматривать как «черные ящики» в еще более высокой, нежели при «наивном» подходе, степени, то есть при их обучении не оценивать предварительно какие-либо параметры моделей, а отдать все под контроль «автоматике» (алгоритмам аппроксимации). Это означает, что используемый программный инструмент должен быть способен подобрать оптимальные порядки p, q и параметр d модели для данной конкретной выборки. Подавать моделям на вход решено исходные уровни ряда без каких-либо предварительных преобразований (по уже упомянутой ранее причине: фрактальные свойства оригинального ряда и трансформированного могут отличаться [9]). Следовательно, рассчитывать метрики можно непосредственно по предсказанным значениям.



Рис. 2.6. Алгоритм предпрогнозного фрактального анализа



Прогнозным рядом «модели», предсказывающей по последнему значению, является последнее значение обучающей выборки, продублированное 2 раза. Модель, предсказывающая по среднему, выдает среднее арифметическое значение трех последних элементов обучающая выборки, также дважды продублированное.

Преобразование уровней ряда в классы «1», «0» осуществляется по следующей формуле:

, (2.10)

где C - выбранный класс,

x_t - предсказанное значение,

x_t-₁ - значение, предшествующее предсказанному.

Для вычисления метрик классификации такие преобразования выполняются как для прогнозного ряда, так и фактического (тестовой выборки).

Будут исследованы котировки восьми активов, и для каждого из них будут рассчитаны MAPE (по четырем моделям) и F-measure (по двум моделям):

- на трех различных масштабах M: день (M1), неделя (M2), месяц (M3);

- при разной длине «окна» W: 32 (W5), 64 (W6), 128 (W7)…, w - количество возможных длин.

На выходе данного этапа для каждого инструмента будет 6·3·w = 18w рядов значений разной длины. Следует дать им обозначения, i - номер инструмента, i = 1, 2, …, 8 (таблица 2.2):



Таблица 2.2. Результирующие показатели этапа прогнозирования

Метрика	Прогнозирующая модель
	ARFIMA	ARIMA	Последнее значение	Среднее значение
MAPE	MAPE(ARF)(t)M,W,i	MAPE(AR)(t)M,W,i	MAPE(last)(t)M,W,i	MAPE(avg)(t)M,W,i
F-measure	Fm(ARF)(t)M,W,i	Fm(AR)(t)M,W,i	-	-

Также имеет смысл выполнить корреляционный анализ метрик качества прогнозирования и функций размерности. Он поможет ответить на вопрос, существует ли линейная взаимосвязь между величиной размерности и точностью предсказания различными методами. В качестве меры взаимосвязи используется коэффициент корреляции Пирсона.

Таким образом, в данном параграфе был описан порядок проведения исследования, детально охарактеризованы его шаги. В последней части второй главы рассмотрен другой важный вопрос - выбор программного средства.

2.3 Обзор и выбор программных инструментов исследования

Разработав методику эмпирического исследования, следует рассмотреть существующие программные инструменты для его практической реализации и выбрать один (либо несколько) из них. Эффективным подходом к проблеме принятия решений в условиях неопределенности является применение так называемого метода анализа иерархий (МАИ) [45]. Благодаря высокой степени формализованности и детально разработанному математическому аппарату данный метод позволяет трансформировать субъективные экспертные решения в объективные, поэтому хорошо подходит для решения задачи выбора программного инструмента.



2.3.1 Формирование критериев выбора инструмента

Первое, что необходимо сделать для выбора наилучшей из нескольких альтернатив - выработать критерии сравнения. Для этого были сформулированы требования, которым должен отвечать подходящий программный пакет. К ним были отнесены следующие:

- поддержка всех выбранных методов фрактального анализа (вычисление фрактальной размерности разными методами, вычисление показателя Херста разными методами, поддержка ARFIMA-моделирования);

- доступность (бесплатность или наличие полнофункциональной демоверсии);

- возможность экспорта данных в стандартном формате (например, csv);

- относительная невысокая сложность освоения.

Также был составлен ряд критериев, соответствие которым не является обязательным, но желательно. Среди них:

- встроенные средства визуализации результатов анализа;

- возможность расширения функционала путем написания собственных программных модулей;

- наличие русскоязычного интерфейса.

Таким образом, было отобрано 7 наиболее важных, по мнению автора, критериев сравнения программных продуктов.

2.3.2 Сравнительная характеристика и выбор инструмента

На сегодняшний день разработано большое количество программных средств анализа данных, в которых предлагаются как различные способы и методы фрактального анализа, так и инструменты для реализации собственных алгоритмов. Ниже приведены некоторые из них (обзор не претендует на полное и разностороннее исследование рынка программных пакетов статистического анализа и моделирования).

MATLAB + FracLab

MATLAB - пользующийся широкой популярностью пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноименный язык программирования, используемый в этом пакете. Продукт не является бесплатным, но существует ограниченная по времени использования пробная версия.

FracLab - набор расширений для MATLAB, содержащий широкий спектр средств фрактального и мультифрактального анализа. Распространяется бесплатно.

R (язык, интерпретатор и среда разработки)

R - язык программирования для статистической обработки и визуализации данных, а также свободная программная среда вычислений с открытым исходным кодом в рамках проекта GNU. Обладает богатой библиотекой готовых функций, реализующих различные математические алгоритмы, в том числе для вычисления фрактальных показателей и прогнозирования временных рядов.

Fractan

Программа Fractan разработана В. Сычевым в качестве средства практической реализации методов, изложенных в его магистерской диссертации «Вычисление стохастических характеристик физиологических данных». Она предназначена для моделирования и математической обработки данных, в том числе для определения фрактальной размерности D и показателя Херста Н. Приложение написано для ОС Windows 95/98/NT, однако работает и в современных редакциях ОС Windows вплоть до Windows 10. Распространяется бесплатно.

Судя по количеству публикаций, найденных по запросу «fractan» в системе eLIBRARY.RU (108 на 15.05.2018), программа пользуется некоторой популярностью при исследованиях в области фрактального анализа.

OxMetrics

OxMetrics - математический пакет из нескольких модулей, обеспечивающих интегрированное решение для эконометрического анализа временных рядов, прогнозирования, финансового эконометрического моделирования и статистического анализа данных поперечного сечения. Бесплатной версии, доступной для скачивания, обнаружить не удалось.

Timing Solution

Timing Solution - программа для расчета и анализа рыночных циклов. Как утверждается на сайте компании-разработчика, является лидирующим в мире программным обеспечением по альтернативным методам прогнозирования финансовых рынков. Среди особенностей программы: нейросетевое прогнозирование, вейвлет-анализ циклов финансовых данных, исследование циклических процессов в котировках, квантовая механика в биржевых прогнозах, прогнозирование финансовых данных при помощи математической теории хаоса, и т.д. Имеет полнофункциональную демоверсию.

В таблицу сведены сравнительные характеристики рассмотренных продуктов.

Таблица 2.3. Сравнение программных продуктов по установленным критериям

Продукт Критерий	MATLAB + FracLab	R	Fractan	OxMetrics	Timing Solution
Вычисление размерности разными методами	да*	да*	нет	да*	нет
Вычисление H разными методами	да	да*	нет	да	да
Моделирование ARFIMA	да	да*	нет	да	нет
Наличие бесплатной версии	да	да	да	нет	да
Возможность экспорта данных	да	да	да	да	да
Легкость освоения	нет	нет	да	да	да
Средства визуализации	да	да	да	да	да
Написание собственных модулей	да	да	нет	да	нет
Русский интерфейс	нет	нет	да	нет	нет

* требуется написание собственной процедуры

Как можно заметить, ни одно решение не явилось удовлетворяющим всем ранее выдвинутым запросам, в том числе и тем из них, соответствие которым было заявлено как обязательное. Так что требования к инструментам были смягчены, и было решено сделать строго обязательным только одно из них: наличие бесплатной версии. Этому требованию не удовлетворило единственное решение - OxMetrics, которое было исключено из рассмотрения.

К оставшимся четырем вариантам было решено применить МАИ с целью проранжировать их по степени соответствия предъявленным требованиям. Алгоритм метода изложен в труде его автора [45]. Описание процесса применения метода вынесено в приложение 1, в основном тексте работы представлены только результаты.

По итогам использования МАИ инструментальные средства расположились в следующем порядке (по убыванию предпочтительности):

1. R.

2. MATLAB.

3. Timing Solutions.

4. Fractan.

Было решено для экспериментов с эмпирическими данными использовать в первую очередь готовые библиотеки и собственные пользовательские процедуры языка R, а прочие решения применять в том случае, если с использованием основного возникнут сложности.

Таким образом, были рассмотрены все вопросы, заявленные в начале второй главы. В следующем параграфе обобщены выводы по ней.



Выводы по главе

Во второй главе была разработана методика исследования, призванная ответить на вопрос о применимости и эффективности фрактального анализа в решении проблемы прогнозирования на финансовых рынках. Для этого были раскрыты несколько вопросов.

1. Была сформулирована постановка задачи: выбраны анализируемые объекты (8 различных биржевых финансовых инструментов), определен горизонт прогнозирования (3 шага), выбраны критерии оценки качества прогнозов (показатель MAPE для предсказания точных значений котировок и F-measure для направлений их приращений).

2. Были определены и детально охарактеризованы этапы исследования. К ним относятся:

- «наивный» этап, повторяющий методику из работы [44] с некоторыми корректировками (так, в оригинальной статье автором не была проведена процедура верификации построенной модели);

- этап предпрогнозного анализа данных с целью изучения их локальных фрактальных характеристик в динамике и подготовки предварительных выводов о возможности моделирования и предсказания;

- этап построения и верификации прогнозных моделей по сформированным ранее критериям.

Некоторые процедуры, предусмотренные настоящей методикой (например, дробное дифференцирование ряда и оценивание индекса фрактальности), потребовали разработки алгоритмов их реализации, которые были описаны средствами псевдокода. В целом автор стремился описать методику как можно более детально, чтобы при ее техническом воплощении при помощи программных инструментов понадобилось минимум алгоритмизации.

3. Наконец, был осуществлен сравнительный обзор и выбор программного инструмента исследования средствами метода анализа иерархий. Наиболее подходящей альтернативой среди прочих был признан язык программирования и анализа данных R. Именно на нем с использованием готовых библиотек и специально написанных пользовательских процедур и функций производятся все расчеты в третьей главе.

В результате поставленная во второй главе задача была успешно решена. Сформированная методика может служить не только средством достижения цели, поставленной в данной работе, но и стать в какой-то степени ориентиром для исследователей, занимающихся проблемами применения фрактального анализа к задаче прогнозирования временных рядов, так как содержит идеи, не встреченные автором в других научных работах; в частности, оригинальным подходом является выявление зависимости точности прогнозирования от состояния процесса, определяемого по величине локальной фрактальной размерности, методом корреляционного анализа.

Последняя глава работы посвящена апробации разработанной методики на реальных исторических финансовых данных и анализу полученных в процессе нее результатов.



Глава 3. Проведение эмпирического исследования

Целью третьей, заключительной, главы является разрешение основного вопроса, поставленного в данной работе: позволяет ли применение фрактального анализа увеличить точность краткосрочных прогнозов финансовых временных рядов в сравнении с другими подходами? Средством достижения цели служит проведение исследования в соответствии с разработанной в предыдущей главе методикой, то есть апробация этой методики. Она включает 3 этапа.

1. «Наивный» этап, заключающийся в воспроизведении методики, описанной в одной из работ, с целью проверить, действительно ли такой подход является эффективным, потому что у автора на этот счет имеются обоснованные сомнения.

2. Предпрогнозный анализ фрактальных свойств рядов. Задачей данной стадии является оценка локальных фрактальных характеристик рассматриваемых процессов, формирование предварительного мнения о возможности их прогнозирования.

3. Построение и тестирование прогнозных моделей. Цель финального этапа эмпирического исследования - собственно ответ на вопрос о положительном влиянии фрактального подхода на точность прогнозов динамики финансовых инструментов.

Поскольку в качестве программного инструмента был выбран язык программирования R, понадобилось написать ряд процедур для реализации предусмотренных методикой алгоритмов.

Описание каждого из этапов, некоторых возникших нюансов, с которыми пришлось столкнуться в процессе апробации методики, комментарии и характеристика полученных результатов составляют содержимое третьей главы.



3.1 «Наивный» подход к прогнозированию временных рядов финансовых данных

Как уже упоминалось, задачей данного этапа было повторение результатов, полученных в [44], в соответствии с приведенной там методикой, в которую пришлось внести небольшие корректировки (в частности, добавить стадию верификации полученной модели, опущенную в оригинальном исследовании).

В процессе реализации описанного в 2.2.1 алгоритма пришлось столкнуться с некоторыми нюансами. Так, в ряду дневных лог-доходностей акций Сбербанка был обнаружен выброс - аномально высокое значение. Как оказалось, с 20.07.2007 произошло дробление акций в 1000 раз, из-за которого цена одной обыкновенной акции пропорционально снизилась. Для обеспечения сопоставимости цен до и после указанной даты пришлось доработать функцию загрузки данных, добавив следующее условное действие: если инструмент - акции Сбербанка, значения ряда по 17.07.2007 включительно разделить на 1000.

Кроме того, вычислить показатель Херста по алгоритму R/S-анализа, описанному в 1.4.1.2, удалось не для всех инструментов (пользовательская функция возвращала пустое значение). Предположительно причиной явилась неудачная длина ряда лог-доходностей, содержащая недостаточное количество собственных делителей. Пришлось для некоторых инструментов отсечь 1-3 значения доходностей слева, что привело к существенному росту числа собственных делителей и успешному вычислению H. Здесь стоит отметить, что алгоритм R/S-анализа был запрограммирован самостоятельно, несмотря на обилие в библиотеках R соответствующих готовых функций, так как автором статьи [44] он также был реализован вручную, и неизвестно, какая из имеющихся типовых реализаций повторяет его с достаточной точностью.

Результатом данного этапа явились величины, приведенные в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Показатели точности моделей, рассчитанные при кросс-валидации

Показатель	Инструмент
	IMOEX	^GSPC	LKOH	SBER	MSFT	AMZN	USDRUB	EURRUB
H	0,522	0,521	0,496	0,575	0,517	0,522	0,583	0,550
MAPE(AR)	1,726	0,950	2,075	2,457	1,559	2,765	0,518	0,607
MAPE(ARF)	1,724	0,954	2,074	2,457	1,563	2,777	0,527	0,613
Разница в величине ошибки (AR-ARF)	0,002	-0,004	0,001	0,000	-0,006	-0,012	-0,009	-0,006

Можно констатировать, что в соответствии с интерпретацией показателя Херста, приведенной в разделе 1.4.1.3, динамика логарифмических доходностей всех рассмотренных инструментов оказалась близка к случайному блужданию. Наиболее персистентным оказался ряд курсов доллара; величина его H = 0,583 не совпадает с полученной в оригинальном исследовании (H = 0,6294), но это можно объяснить большим количеством исторических данных (статья была опубликована 6 лет назад).

Также можно сказать, что выводы автора публикации подтвердились: модель ARFIMA действительно «обладает способностью делать краткосрочные прогнозы курса доллара», а также ценовых рядов других финансовых инструментов. Однако точность модели при этом невелика: в частности, средняя величина ошибки значительно превышает среднее суточное изменение котировок (или, можно сказать, волатильность), которое для курса доллара составило 0,329%. Что особенно важно в свете цели данного этапа (проверить, окажется ли такой подход к фрактальному анализу эффективным), точность не превышает точности классической модели с краткосрочной памятью ARIMA, они оказались сопоставимы. Предположительными причинами низкой эффективности прогнозов являются:

- недостатки методики - рассмотрение рядов как процессов со статическими, неизменными на всей их длине фрактальными свойствами;

- низкий уровень персистентности рядов, что приводит к величине оператора d модели ARFIMA, близкой к 0, вследствие чего дробные разности почти не отличаются от исходных логарифмических доходностей, и на данных как в случае ARFIMA, так и ARIMA обучается практически одна и та же ARMA-модель, из чего следуют очень похожие прогнозы.

Результаты данного этапа исследования были представлены в виде доклада на конференции «Математика и междисциплинарные исследования - 2018» в секции «Менеджмент и математическое моделирование в экономике».

Таким образом, как и ожидалось, «наивное» приложение фрактального анализа к задаче прогнозирования не позволяет получать краткосрочные предсказания приемлемой точности. Более обоснованный подход представлен в следующем параграфе.

3.2 Предпрогнозный анализ данных

Текущая стадия заключается в анализе локальных фрактальных характеристик исследуемых процессов. Вопрос, на который необходимо ответить по итогам ее завершения, - существует ли возможность предсказывать будущие значения рядов с точки зрения теории, тех гипотез, которые описаны в разделе 1.4.1.3?



Рис. 3.1. Детальный алгоритм процедуры вычисления размерностей при различном характере входных данных

Так как приведенный в 2.2.2 алгоритм является достаточно общим, имеет смысл представить более детальное описание процедуры вычисления размерностей при разном характере исходных данных в виде блок-схемы (рисунок 3.1).

В качестве горизонта прогнозирования выбрана величина 3, то есть три будущих значения. Рассмотрено поведение рядов на разных масштабах: дневном, недельном и месячном. В связи с возникшими сложностями при получении исторических данных котировок некоторых финансовых инструментов из внешних источников, указанных в таблице 2.1, были загружены только дневные значения, а недельные и месячные получены из них пересчетом посредством специализированных функций R.

Длины локального участка для вычисления по нему размерностей выбраны следующие: 32, 64, 128, 256, 512. При этом на месячном масштабе рассматривались только участки до 128 элементов включительно, потому что количество месяцев не превысило 230.

В разделе 1.4.1.2, где описан метод ДФА оценивания показателя Херста, был опущен один важный момент, связанный с выбором степени полинома, аппроксимирующего локальные тренды. В работе [24] приведен критерий, по которому можно выбрать эту величину: рекомендуется увеличивать степень тренда до тех пор, пока вычисленное значение H не перестанет изменяться. Чтобы не увеличивать сложность программного кода, решено в рамках применения метода ДФА использовать этот критерий в несколько упрощенной форме, а именно, пытаться вычислять H при степенях полинома от 1 до 5, полагая, что на достаточно небольших выборках тренды более высокой степени маловероятны. Сразу использовать наибольшую степень 5 не оказалось возможным по той причине, что при излишне высоких величинах используемая готовая функция, как выяснилось, приводит к возникновению исключительной ситуации и остановке исполнения программы.

Был обнаружен еще один нюанс. Как оказалось, Московской Биржей до конца 2002 года публиковались для своего индекса (IMOEX) только цены закрытия, поэтому внутридневной размах данного инструмента за этот период получился нулевым. В связи с этим в алгоритм расчета размерности минимального покрытия пришлось внести изменения, могущие привести к небольшому снижению точности, в особенности на малых размерах «окна» - при оценке индекса фрактальности методом линейной регрессии не учитывать двойку значений <V_f (д), д>, если V_f (д) = 0. В результате число наблюдений в обучающей выборке регрессии в некоторых случаях сократилось на единицу, и его минимально возможное значение составило не 6, а 5.

На выходе представленного выше алгоритма получилось 104 файла формата CSV, содержащих по 2 ряда данных: размерность D_H, вычисленная через показатель Херста методом ДФА, и размерность D_µ, рассчитанная через индекс фрактальности методом минимального покрытия. Каждый из этих файлов имеет следующую структуру (рисунок 3.2).

Рис. 3.2. Структура хранения вычисленных размерностей

Заполнение некоторых участков ряда пустыми значениями (NA) необходимы для соотносимости между собой рядов размерностей и исходных рядов котировок, взаимного соответствия их нумерации. Это позволит поместить на одну координатную сетку графики тех и других с целью визуального анализа.

После расчета размерностей для всех 8 инструментов с различными комбинациями параметров был произведен визуальный анализ всех полученных 312 графиков (на каждый случай по 3 графика: котировки, D_H, D_µ). Приводить каждую тройку графиков в тексте работы, а также в приложениях нецелесообразно ввиду их чрезмерно большого количества, поэтому ниже для ознакомления с полученными результатами представлены лишь несколько из них (рисунки 3.3-3.7).

На рисунке 3.3 можно заметить несколько неожиданное поведение размерности D_H, вычисленной через показатель Херста: ее величина часто принимает значение менее 1, в то время как объект размерностью единица - это гладкая кривая.

Рис. 3.3. Соответствие графика котировок графикам размерностей (на примере дневных значений курса доллара, длина «окна» 32)

Можно предположить, что на интервале в 32 наблюдения метод ДФА не позволяет оценить размерность с достаточной точностью (как было выяснено опытным путем, готовая функция, использованная в качестве программной реализации метода, при такой длине участка использует всего 2 двойки <, д> для построения регрессии, чего, очевидно, недостаточно). Поэтому на участке размером 32 следует ориентироваться на размерность минимального покрытия D_µ, которая демонстрирует более ожидаемое поведение: ее величина колеблется вокруг значения 1,5, что означает случайное блуждание и, как было выяснено в теоретической главе, процесс с близкой к такой величине размерностью является наиболее стабильным.

Заметно, что резкие скачки и провалы размерности до величин, близких к 1, соответствуют «критическим точкам» на графике котировок, причем чем круче пики и падения цен, тем более резкими являются падения и пики размерности. На рисунке 3.3 видно несколько таких участков. Ниже для наглядности представлены увеличенные фрагменты данного графика в дневном масштабе (рисунок 3.4).

Рис. 3.4. Графики котировок и размерностей курса доллара, дневные значения, фрагмент

При увеличении масштаба рассмотрения становится заметно, что график дневной волатильности, на 18-летнем промежутке выглядящий как гладкая кривая с близкой к единице размерностью, в действительно таковой не является, он весьма зазубрен. Стоит увеличить масштаб еще сильнее, чтобы увидеть, какой фигуре на графике котировок соответствует скачок значения D_µ от 1,4 до 1,7 (рисунок 3.5).

Видно, что начиная с 15 ноября ряд курсов доллара принимает достаточно выраженное антиперсистентное состояние (направление его динамики начинает часто меняться), и этот факт вполне отражает размерность минимального покрытия, перешедшая в диапазон, соответствующий флэту (D_µ ? 1,7). Интересно, что D_H почти никак не реагирует на изменение состояния процесса, что еще раз подтверждает неинформативность показателя при столько малой длине локального участка (32 наблюдения).

Рис. 3.5. Графики котировок и размерностей курса доллара, дневные значения, фрагмент в очень крупном масштабе



Для примера ниже приведены графики с недельным и месячным шагом дискретизации (длина «окна» 32).

Главный вывод, который можно сделать по итогам изучения графиков - финансовые ряды действительно обладают весьма переменчивыми фрактальными свойствами, об этом свидетельствуют изрезанные кривые размерностей. В большей степени это свойство проявляется на более мелких масштабах, что закономерно. Также величина размерности чутко реагирует на резкие скачки (провалы), и этим подтверждаются результаты, полученные в других исследованиях.

Рис. 3.6. Графики котировок и размерностей курса доллара, недельный масштаб



Рис. 3.7. Графики котировок и размерностей акций курса доллара, месячный масштаб

Кроме того, на примере валютной пары USD/RUB видно, что характер процесса изменения котировок тяготеет к случайному блужданию, величина D_µ колеблется около 1,5 с периодическими падениями до 1,3-1,4 и взлетами до вплоть до 1,7, то есть ряд в целом близок к случайному, но на некоторых участках обладает свойствами персистентности и антиперсистентности. Из этого можно заключить, что курс доллара может поддаваться прогнозированию. Про другие инструменты можно в целом сказать то же самое (тяготение к случайному блужданию, периодическая смена состояний).

Что касается выявления мультифрактальных свойств рядов, то визуально, на основе приведенных графиков, судить об их наличии достаточно сложно. По всей видимости, для этого необходимо применять некоторые другие методики и тесты, например, описанные в [24].

Таким образом, вопросы, которые должен был раскрыть данный параграф, свои ответы получили. Финансовые ряды обладают длинной памятью и должны прогнозироваться. Собственно моделированию посвящен параграф 3.3.



3.3 Построение и тестирование прогнозных моделей

Цель последнего этапа исследования - подтверждение (или опровержение) гипотезы о том, что фрактальный подход к построению прогнозов позволяет увеличить их точность. Следует конкретизировать цель в виде вопросов, поиску ответов на которые посвящен данный параграф.

1. Позволяют ли модели с длинной памятью (на примере ARFIMA) повышать качество точечных прогнозов финансовых рядов в сравнении с другими моделями?

2. Влияет ли состояние процесса, определяемое по величине локальной фрактальной размерности, на точность прогнозирования?

Было решено на каждом из полученных на предыдущей стадии числовых рядов (величины размерностей инструментов на различных масштабах и при разной величине локальных участков) выполнить построение и верификацию следующих моделей:

- модель с длинной памятью (ARFIMA);

- модель с краткосрочной памятью (ARIMA);

- примитивные модели, в виде прогноза выдающие среднее значение за прошедший период, соответствующий горизонту прогнозирования (то есть 3 последних шага), и последнее известное значение;

- модели, предсказывающие направления изменений котировок (можно отнести их к классификаторам; реализованы на базе ARFIMA и ARIMA).

Для обеспечения сопоставимости результатов моделирования с величинами локальных фрактальных размерностей предполагается обучать модели на тех же участках, для которых ранее были вычислены размерности, то есть на «скользящих окнах» длинами 32, 64, 128.

В качестве метрик точности прогнозов используются: для моделей точечных прогнозов - показатель MAPE; для «классификаторов» - показатель accuracy. Здесь следует пояснить выбор наиболее простой метрики качества классификации, а не заявленной в описании методики F_меры. Он обусловлен тем, что из-за малой величины тестовой выборки (3 элемента) показатели precision и recall, как выяснилось, рассчитать не всегда возможно, так как не в каждой предсказанной серии значений фигурируют оба класса (1 и 0), иногда модель предлагает только единицы или только нули. В результате показатели TP, FP, TN, FN могут принимать нулевые значения, и метрики precision, recall и основанную на них F-measure оказывается невозможно вычислить, в то время как в формуле accuracy (2.3) нуль в знаменателе не возникнет никогда. Этот момент можно отнести к недостаткам разработанной методики, обнаруженным на этапе ее апробации.

Последовательность шагов на данном этапе практически соответствует приведенной на рисунке 3.1., только вместо оценивания размерностей обучаются и верифицируются модели.

Задача правильного подбора регулирующих параметров для таких сложных моделей, как ARFIMA, является нетривиальной. В данном исследовании было решено использовать встроенные в R функции автоматической «подгонки» (обучения) моделей: auto.arima() и arfima() из пакета forecast с параметрами по умолчанию. Алгоритмы подбирают оптимальные порядки p и q, оценивают оператор дифференцирования d, принимают решение о необходимости предварительной трансформации данных и т.д. для каждого участка ряда. Для ARFIMA и ARIMA проверяется нормальность распределения остатков на обучающей выборке посредством Q-теста Льюнга-Бокса; если для любой из моделей, обученных на участке, отклоняется гипотеза о случайности остатков, для данного участка ни одна из метрик качества прогнозов не сохраняется (чтобы избежать горизонтальных пропусков в показателях: например, ситуации, когда показатели ARIMA на выборке получены, а ARFIMA - нет).

В таблицах 3.2-3.4 приведены усредненные величины метрик качества прогнозов на различных масштабах при размере «окна», равном 64. Как выяснилось, длина обучающей выборки существенного влияния на соотношение точности предсказаний различных моделей не оказала.

Таблица 3.2. Усредненные показатели точности прогнозов дневных значений

Инструмент	Показатель точности прогноза
	MAPE(AR)	MAPE(ARF)	MAPE(avg)	MAPE(last)	acc(AR)	acc(ARF)
AMZN	2,696	2,801	3,199	46,797	0,498	0,514
IMOEX	1,714	1,745	2,061	49,817	0,514	0,527
^GSPC	0,929	0,969	1,150	49,887	0,523	0,526
LKOH	2,046	2,080	2,386	49,899	0,505	0,527
SBER	2,310	2,371	2,718	45,111	0,514	0,513
MSFT	1,548	1,624	1,841	44,411	0,504	0,509
USDRUB	0,507	0,531	0,619	44,754	0,508	0,537
EURRUB	0,617	0,643	0,743	45,670	0,514	0,523

Таблица 3.3. Усредненные показатели точности прогнозов недельных значений

Инструмент	Показатель точности прогноза
	MAPE(AR)	MAPE(ARF)	MAPE(avg)	MAPE(last)	acc(AR)	acc(ARF)
AMZN	5,383	5,449	6,600	47,475	0,513	0,533
IMOEX	3,736	3,762	4,640	50,099	0,515	0,523
^GSPC	1,894	2,001	2,433	49,985	0,480	0,533
LKOH	3,977	4,015	4,867	50,167	0,517	0,552
SBER	5,160	5,276	6,478	45,197	0,510	0,544
MSFT	2,977	3,013	3,665	44,459	0,525	0,541
USDRUB	1,383	1,342	1,694	44,791	0,518	0,559
EURRUB	1,439	1,458	1,774	45,779	0,535	0,530

Таблица 3.4. Усредненные показатели точности прогнозов месячных значений

Инструмент	Показатель точности прогноза
	MAPE(AR)	MAPE(ARF)	MAPE(avg)	MAPE(last)	acc(AR)	acc(ARF)
AMZN	9,537	9,901	12,487	50,862	0,499	0,532
IMOEX	7,799	7,091	9,799	51,185	0,526	0,544
^GSPC	4,069	4,160	5,572	50,380	0,487	0,542
LKOH	7,522	7,431	9,579	51,153	0,529	0,548
SBER	12,244	11,024	16,134	49,563	0,527	0,599
MSFT	5,560	5,812	7,800	45,476	0,568	0,600
USDRUB	4,252	4,025	4,916	45,375	0,558	0,553
EURRUB	3,762	3,598	4,435	46,555	0,564	0,599

Проанализировав представленные в таблицах данные, можно сделать следующие выводы.

Модель ARFIMA стабильно в среднем предсказывает несколько хуже, чем ARIMA. Поскольку такая разница наблюдается для всех инструментов на всех масштабах, становится очевидной некоторая закономерность. Так как многие авторы утверждают, что модели с длинной памятью лучше описывают финансовые ряды, нежели модели, не учитывающие данного свойства процессов [16], [44], а результаты эксперимента оказались строго противоположными, эта закономерность связана, по-видимому, с недостаточным качеством автоматической «подгонки» моделей этого класса под данные, требуется более тонкая настройка входных параметров.

При этом можно сказать, что обе авторегрессионные модели все же продемонстрировали лучшее качество точечных прогнозов, чем примитивные подходы предсказания по среднему значению и по последнему известному (в этом случае ошибка составила около 50%, что не выдерживает никакой критики, и это объясняется высокой изменчивостью, волатильностью финансовых инструментов). Интересно, что наивысшее качество точечных прогнозов продемонстрировали курсы валют, а также индекс S&P 500, это означает, что эти инструменты отличаются меньшей волатильностью. В целом же о прогнозах можно сказать, что они обладают низкой точностью практически для всех рассмотренных алгоритмов предсказания. Усредненную величину MAPE менее 1% показали только валютные пары с индексом S&P 500, да и то лишь на дневном масштабе. Заметно, что при увеличении масштаба величина ошибки растет.

Качество классификации направлений изменений котировок тоже оказалось невысоким, близким к случайному угадыванию - 0,5. Однако здесь просматривается интересный момент, потому что почти во всех случаях классификатор на основе ARFIMA-модели показал большее число правильных предсказаний (его accuracy стабильно выше показателя ARIMA-классификатора), и это наталкивает на мысль, что модели с длинной памятью хуже справляются с прогнозами точечных значений, но лучше определяют характер приращения (положительный или отрицательный). Это наблюдение требует более детальных исследований.

Итак, на первый вопрос, поставленный в начале параграфа, можно ответить следующим образом: превосходства фрактальных моделей в части точечных прогнозов перед ARIMA обнаружить не удалось, однако направления динамики они угадывают чаще. Следует изучить второй вопрос - о зависимости точности прогнозов и характера участка ряда, на котором обучались модели. Для этой цели были выбраны два инструмента и для них рассчитаны усредненные величины метрик прогнозов моделей ARFIMA для каждого диапазона значения размерности минимального покрытия D_µ (таблица 3.5, рисунок 3.8). Размер участка - 32 наблюдения.

Таблица 3.5. Усредненные метрики при разных состояниях процесса

Состояние процесса	USDRUB	MSFT
	День	Неделя	Месяц	День	Неделя	Месяц
Тренд (Dµ < 1,45)	MAPE	0,522	1,112	4,026	1,491	2,694	5,275
	Acc	0,501	0,533	0,562	0,512	0,538	0,389
Случайное блуждание (Dµ ? [1,45; 1,55])	MAPE	0,533	1,265	3,506	1,675	2,774	5,431
	Acc	0,525	0,504	0,526	0,516	0,521	0,557
Флэт (Dµ > 1,55)	MAPE	0,541	1,486	8,489	1,708	3,148	6,874
	Acc	0,496	0,516	0,444	0,468	0,608	0,625



Рис. 3.8. Зависимость метрик от состояния процесса

Из таблицы видно, что в данном эксперименте связи между качеством классификации направлений и состоянием процесса обнаружить не удалось. Зато о ее наличии можно говорить в случае ошибки прогноза точечных значений. На графике особенно хорошо заметно снижение качества прогноза во флэте на большом масштабе (месяц). На других масштабах тенденция более умеренная, но также присутствует. Можно осторожно говорить о наличии влияния локальных фрактальных характеристик на точность прогнозов - это ответ на второй вопрос параграфа. Данный факт подтверждается и значениями корреляций между величинами D_µ и MAPE модели ARFIMA (таблица 3.6, участок в 32 наблюдения). Линейная положительная взаимосвязь между ними очень слабо выражена, однако все-таки присутствует (коэффициент корреляции Пирсона - не 0).

Таблица 3.6. Коэффициенты корреляции размерности и показателя MAPE

Масштаб	USDRUB	MSFT
День	0,119	0,130
Неделя	0,128	0,075
Месяц	0,214	0,170

Таким образом, задачи последнего этапа исследования были выполнены, хотя результаты и оказались неоднозначными, небесспорными. В параграфе 3.4 представлены выводы по всей третьей главе.

Выводы по главе

В заключительной главе работы была осуществлена апробация разработанной методики, которая должна была ответить на вопрос о применимости и эффективности фрактального анализа для прогнозирования на финансовых рынках. Исследование было проведено в три этапа, каждый из которых позволил решить ряд задач.

1. По результатам этапа, названного автором «наивным», выяснилось, что подход к финансовому ряду как структуре, описываемой статическим показателем фрактальной размерности, оказался несостоятельным и не позволил получать краткосрочные предсказания котировок приемлемой точности, классическая ARIMA-модель дала не худшие прогнозы.

2. Стадия предпрогнозного анализа рядов котировок показала, что финансовые ряды в действительности обладают не только глобальными, но и локальными фрактальными характеристиками, которые на протяжении их длин неоднократно меняются. Было также обнаружено, что характер проанализированных процессов тяготеет к случайному, но периодически демонстрирует как наличие длинной памяти, так и антиперсистентные свойства, причем персистентных участков оказалось больше, исходя из чего можно говорить о возможности прогнозирования динамики рассмотренных финансовых рядов.

3. Наиболее противоречивые результаты принес последний этап исследования. Оказалось, что примененные модели с длинной памятью (ARFIMA) дают точечные прогнозы худшего качества, нежели модели без учета данной особенности рядов (ARIMA). В то же время первые модели лучше предсказали направление изменений котировок, также была обнаружена слабая зависимость точности прогнозов от величины фрактальной размерности на исследуемых участках, что не позволяет говорить о несостоятельности фрактального подхода к анализу и прогнозированию финансовых временных рядов.

В результате поставленный в третьей главе вопрос получил утвердительный ответ, однако данная тема требует дополнительных, вероятно, более глубоких исследований. В заключении представлены общие выводы по итогам выполненной работы.



Заключение

Целью выпускной работы было исследование возможности применения фрактального анализа для повышения точности краткосрочных прогнозов котировок финансовых инструментов.

Для достижения цели были решены все задачи, поставленные во введении.

1. Выполнен анализ области исследований.

По итогам аналитической стадии работы можно сказать, что подходов к проблеме прогнозирования динамики финансовых рынков существует достаточно много, одним из наиболее перспективных является фрактальный (мультифрактальный) подход. Идея его состоит в том, что ряды котировок финансовых инструментов обладают свойствами фракталов, что позволяет описывать их методами фрактальной геометрии и предсказывать будущее поведение.

Обзор научных работ в данной области показал, что авторы не так много внимания уделяют задаче точечного прогнозирования котировок финансовых рядов, в большинстве случаев ограничиваясь выявлением фрактальных свойств рядов и предсказанием критических точек. Учитывая результаты, полученные в третьей главе, такой сдержанный интерес к проблеме понять можно, так как задача нетривиальная и сложная.

Также были рассмотрены различные методы фрактального анализа, как простые, так и более точные.

2. Разработана методика исследования возможностей применения фрактального подхода для прогнозирования с использованием инструментальных средств (методов), выбранных в результате аналитической стадии.

Методикой предусмотрено проведение исследования в три этапа:

- осуществление наиболее простого подхода к задаче прогнозирования, описанного в одной из научных статей [44];

- предпрогнозный анализ локальных фрактальных свойств финансовых показателей;

- собственно построение и проверка предсказывающих моделей.

В качестве программной поддержки методики была выбрана собственная реализация ее алгоритмов на языке программирования и анализа данных R.

3. Проведено эмпирическое исследование в соответствии с разработанной методикой. По итогам исследования можно сделать следующие выводы.

«Наивный» подход к проблеме прогнозирования не оказался эффективным, что объясняется ярко выраженной переменной фрактальной структурой временных рядов финансовых инструментов, это показало предпрогнозное исследование, причем в большей степени это свойство проявляется на более мелких масштабах. Величина фрактальной размерности чутко реагирует на резкие скачки (провалы), и этим подтверждаются результаты, полученные в других работах. Кроме того, видно, что характер изученных процессов изменения котировок тяготеет к случайному блужданию, но на некоторых участках обладает свойствами персистентности, следовательно, финансовые ряды поддаются моделированию и прогнозированию.

Важнейшим с точки зрения ценности исследования явился этап построения и проверки прогнозных моделей, который принес неоднозначные результаты. Использованные модели с длинной памятью класса ARFIMA показали качество точечных прогнозов ниже, чем модели с краткосрочной памятью ARIMA. Однако ARFIMA-модели смогли дать более высокую точность при классификации направлений будущих изменений котировок, что является интересным фактом, требующим подробного анализа причин такого поведения. Кроме того, справедливость фрактальной г...