Основы экономико-математического моделирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Простейшие оптимизационные модели одноразовой закупки в задачах управления запасами. Основные понятия

Структуру моделей одноразовых закупок и особенности, связанные с их анализом, можно, кратко, представить следующим образом:

- задана длительность Т периода времени реализации создаваемого запаса товара (или соответствующий закон распределения вероятностей для такой длительности);

- запас создается только в момент t=0 (одноразово), причем на весь период [0;T];

- задан закон распределения вероятностей спроса на периоде времени [0;T];

- требуется определить наилучшее значение объема q=q0 создаваемого запаса;

- критерий оптимизации зависит от выбранной оптимизационной модели, в качестве которой обычно используют либо вероятностную модель, либо соответственно экономическую или логистическую модель.

Типы критериальных функций

Вероятностные - при таком подходе к решению соответствующей задачи оптимизации принимается, что вероятность наличия дефицита на указанном промежутке времени [0;Т] должна быть не большей, чем некоторая заранее задаваемая допустимая величина Рдоп, т.е.

Р{ о(T)<0}? Рдоп.

Экономические или логистические - при таком подходе к решению соответствующей задачи оптимизации принимается, что средние ожидаемые суммарные издержки (доставки, хранения, потерь из-за нереализованных излишков, из-за возможного дефицита и т.д.) должны быть минимальными.

2. Формализация моделей одноразовой закупки/поставки

Пусть:

- Т - длительность периода времени, на котором реализуется запас;

- х - реализуемые значения спроса на промежутке времени[0;Т];

- F(x) - соответствующая функция распределения спроса на [0;Т];

- f(x) - плотность распределения спроса на [0;Т].

Тогда в классической постановке задача определения наилучшего объема запасов применительно к соответствующей вероятностной оптимизационной модели имеет вид

q> min

при ограничении

1-Рдоп ? F(q),

где Рдоп - допустимая граница для вероятности дефицита;

q - объем создаваемого запаса.

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ или ЛОГИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Введем, дополнительно, следующие обозначения (применительно к ситуации, когда значение реализуемого спроса на [0;Т] составляет х):

- h(q-x) - избыточные расходы на хранение за период;

- v(q-x) - компенсация убытков продажей остатков запаса в случае, когда xq;

- c(q) - расходы по созданию запасов на указанный период.

Тогда средние ожидаемые расходы (обозначим их через L(q)) на хранение и штрафы составят . При этом задача оптимизации объема создаваемых запасов имеет вид L(q)+c(q)> min.q ?0

Оптимальный объем запаса q=q* находится далее обычными методами как точка минимума функции L(q)+c(q) в области q>0.

Соответствующая задача оптимизации с учетом временной стоимости денег

Для моделей указанного типа, в рамках которых дополнительно требуется учесть временную стоимость денег (или временную структуру процентных ставок) введем следующее обозначение. А именно, пусть rТ далее обозначает ставку наращения применительно к периоду времени [0;Т], причем длительность такого промежутка времени известна. Принимая, что все необходимые затраты по созданию такого одноразового запаса и его хранению соотносятся с началом соответствующего периода времени [0;Т], получаем следующее. Вид функций h(q-x) и c(q) при такой модификации модели можно оставить без изменения (т.е. таким же, как и для рассмотренной выше задачи оптимизации уровня создаваемого одноразово запаса). Кроме того, принимая, что денежные поступления от компенсации убытков продажей остатков запаса (случай xq) соотносятся именно с концом такого периода времени, видим, что потребуется следующая модификация указанных функций. А именно, функции v(q-x) и p(x-q) применительно к модели учета временной стоимости денег (например, по схеме простых процентов) уже должны быть соответственно модифицированы. Обозначим такие модифицированные функции далее через vВС(q-x) и pВС(x-q) соответственно. Тогда, если rТ - ставка наращения для периода времени [0;Т], то для указанных модифицированных функций имеем:

vВС(q-x)= v(q-x)/(1+ rТ),

pВС(x-q)= p(x-q)/(1+ rТ).

3. Учет рентабельности в моделях одноразовой поставки

Пусть:

q - объем создаваемого запаса (его требуется определить);

(x) - плотность распределения вероятностей спроса на (0; ) для анализируемого временного периода;

r - рентабельность реализации (для товара, покрывающего спрос);

- потери при реализации излишков (в долях от их стоимости);

- издержки дефицита (в долях от стоимости товара, не покрывающего спрос);

- издержки доставки (в долях от стоимости запаса);

h - издержки хранения (в долях от стоимости товара);

сП - стоимость единицы товара.

Тогда интересующая нас задача учета рентабельности в модели одноразовой поставки может быть представлена традиционной схемой:

При этом конечный экономический результат (как случайную величину) можно представить следующим образом:

Здесь:

S1 = xcП(1+r) - поступления от продаж (для случая x < q);

S2 = (q - x)cП(1 - ) - поступления от реализации излишков (случай x<q);

S3 = h·cП·q - x·h·cП /2 потери из-за издержек хранения для случая x<q;

(случай x q);

(случай x q);

потери из-за издержек хранения для случая x ? q.

4. Реализация принципа временной стоимости денег применительно к моделям одноразовых поставок

Разработанные в теории управления запасами методы определения наилучшего размера заказа в моделях одноразовых поставок (применительно к экономическим или логистическим постановками соответствующих задач оптимизации) ориентированы на такие модели, которые при оценке и оптимизации логистических издержек/доходов не учитывает временную структуру процентных ставок (и соответственно, временную стоимость денег). В частности, это обусловлено тем, что при оптимизации таких систем соответствующие постановки задач формулируются в виде задач минимизации суммарных годовых издержек (связанных с доставкой товара, его хранением и т.п.), причем моменты выплат соответствующих сумм не уточняются.

Для того, чтобы учесть действующие на рынке процентные ставки необходима реализация специального подхода. Этот подход основан на представлении процессов, описывающих анализируемую систему управления запасами, соответствующими денежными потоками уходящих и приходящих платежей. Каждый такой поток должен быть формализован с указанием соответствующей денежной суммы и соответствующего момента ее выплаты (для уходящего потока) или получения (для приходящего потока). Указанная формализация позволяет ввести специальный критерий оптимизации (отличающийся от использованных ранее в теории управления запасами), который понятен сегодня и приемлем для любого менеджера. А именно, это - максимизация интенсивности потока доходов. В частности, применительно к системам управления запасами при одноразовых поставках, соответствующий критерий может быть сформулирован как максимизация потока доходов на единицу поставляемого товара (в партии одноразовой поставки). Именно такой критерий будет представлен ниже для задачи определения наилучшего объема партии одноразовой поставки.

Отметим еще одну особенность, связанную с реализаций принципа временной стоимости денег в моделях управления запасами, в частности, в моделях одноразовых поставок. Оптимальное решение (выбор управляемого параметра) будет зависеть от конкретной, принятой в рамках анализируемой модели, схемы выплат издержек хранения. Действительно, различные моменты выплат соответствующих сумм применительно к различным возможным таким схемам приведут к отличающимся итоговым результатам для наращенных к концу анализируемого периода времени суммарных доходов. В данной главе рассматривается случай, когда выплаты издержек хранения реализуются по схеме, называемой в финансовой математике схемой «пренумерандо». Это означает, что указанные выплаты (для издержек хранения) осуществляются в начале рассматриваемого периода времени [0; Т], применительно к которому делается одноразовая поставка. Необходимые при этом уточнения, обусловливаемые спецификой случайного спроса на указанном периоде времени [0; Т], будут приведены при формализации соответствующего денежного потока. Далее будет представлена оптимальная стратегия для модели управления запасами с одноразовой поставкой товара при случайном спросе, позволяющая максимизировать средний ожидаемый доход на единицу поставляемой продукции.

5. Простейшая традиционная оптимизационная модель (без учета временной стоимости денег)

Представим атрибуты рассматриваемой простейшей однопродуктовой модели управления запасами с постоянным спросом и используемые далее обозначения:

-спрос на продукцию является постоянным;

- D - потребление продукции за год;

- CП - стоимость единицы продукции;

- наличие дефицита продукции недопустимо;

- Ch - затраты на хранение единицы продукции за год;

- длительность L промежутка времени реализации поставки задана;

- накладные расходы C0 на каждую поставку известны (это - издержки/потери, к-ые не зависят от объема или размера заказа);

- издержки поставок, к-ые зависят от размера заказа, при формализации модели учитываются соответственно в стоимости единицы продукции;

- значение объема/размера q заказа при поставках - оптимизируемая величина;

- длительность Т интервала времени м/у поставками связана с размером заказа q равенством Т= q/D (также оптимизируемая величина);

- величина прибыли на ед. продукции не рассматривается;

- временная стоимость денег не учитывается.

Для минимизации суммарных годовых издержек/потерь необходимо уметь определять:

1 оптимальное значение q* объема заказа для поставок, минимизирующее указанные суммарные годовые издержки/потери, - так называемый ЭКОНОМИЧНЫЙ РАЗМЕР ЗАКАЗА (EOQ).

2 оптимальное значение длительности ИНТЕРВАЛА ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА - промежутка времени Т* м/у моментами подачи очередных (соседних) заказов. Оптимальная стратегия для базовой модели (без учета вр-ой стоимости денег)

Осн-ые показатели применительно к рассматриваемой оптимизационной модели:

Т - интервал повторного заказа (в годах);

1/Т=D/q - ежегодное количество поставок (заказов);

С0/Т=С0·D/q - накладные затраты на реализуемые поставки за год;

q/2 - средний ур. запасов в течение года;

Ch·q/2 - ежегодные затраты на хранение продукции.

Задача минимизации общих годовых потерь

Используя равенство 1/Т=D/q, соответствующая задача м.б. рассмотрена как задача минимизации суммарных годовых издержек/потерь, представленных функцией Сг(q) переменной q:

Сг(q)=С0·D/q+ Ch·q/2 > min

q>0

или функцией Сг(T) переменной Т:

Сг(T)=C0/T+ Ch·D·T/2 > min T>0

6. Оптимизация стратегий управления запасам с учетом временной стоимости денег

Модификация моделей управления запасами с учетом действующих на рынке процентных ставок и определенных схем начисления процентов, естественно, приведет к другим параметрам оптимальных стратегий. Понятно, что экономисту, работающему в области логистики и реализующему на практике конкретные стратегии управления запасами, необходимо для принятия решений знать, насколько значительными могут оказаться отклонения для параметров оптимальной стратегии из-за отсутствия в соответствующей модели управления запасами требуемого рамками финансового анализа учета временной структуры процентных ставок.

Рассмотрим модификации классической модели управления запасами с постоянным спросом для случая, когда учитывается временная стоимость денег.

Особенности модели и принимаемые дополнительно обозначения:

- D - объем годового потребления соответствующего товара;

- C0 - накладные расходы на поставку одной партии товара;

- СП - стоимость единицы товара;

- РП - прибыль от реализации единицы товара;

- С0П - издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии;

- Сh - годовые издержки хранения единицы товара;

- q - размер партии заказа (оптимизируемая величина);

- Т - период поставки (в годах), связанный с показателем q равенством Т = q/D(также оптимизируемая величина);

- r - годовая ставка наращения, действующая на рынке;

- учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется в рамках схемы простых процентов.

Подчеркнем также, что далее в модели, дополнительно, принимаем следующее:

1 уходящие платежи соотносим с началом соответствующего периода поставки;

2 приходящие платежи соотносим, в среднем, с его серединой

Величины рассматриваемых потоков платежей определяются след-м образом:

-уходящие платежи (соотносим их с началом каждого периода)

C0 + C0П q + CП q + Ch q T/2;

C0 -учитывает выплаты в начале периода поставки, обуславливаемые накладными издержками на поставку заказа, к-ые не зависят от объема партии заказа; C0П q -учитывает соответствующие издержки на поставку, к-ые зависят от объема партии заказа; CПq -учитывает затраты, обуславливаемые стоимостью партии заказа; ChqT/2-представляет издержки хранения на периоде поставки, к-ыесоотносим к началу периода поставки, т.е. в рамках рассматриваемой модели соответствующие выплаты принимаются пренумерандо;

- приходящие платежи (соотносим их, в среднем, с серединой каждого периода)

(CП + РП) q;

СП•q - возвращенная стоимость партии заказа, а PП • q -- соответствующая прибыль. Разумеется, при равномерном спросе возврат стоимости партии заказа (с соответствующей прибылью) реализуется также равномерно в течение всего периода времени между поставками. Поскольку в рамках рассматриваемой здесь модели для учета временной стоимости денег (доходов/издержек) принимается схема начисления простых процентов, то нетрудно видеть, что не ограничивая общности, можно соотносить, как уже указывалось выше, момент прихода всей соответствующей суммы (CП + РП) • q именно с серединой интервала повторного заказа.

Наконец, при известном значении z0 оптимальная величина размера заказа qопт для рассматриваемой модели управления запасами с учетом временной стоимости денег находится, окончательно, по формуле

qопт = q0 / z0., а Топт=qопт/D

7. Критерий оптимизации стратегии управления запасами

Денежные потоки, характеризующие работу системы управления запасами являются периодическими с периодом Т. А именно при анализе денежных потоков с началом каждого периода времени м/у поставками соотносим уходящие платежи на таком периоде, а с его серединой - приходящие платеж. Соответствующая разница приходящих и уходящих платежей (с учетом процедур наращения суммы для уходящих платежей к моменту Т2 по заданной ставке наращения r, как этого требуют правила финансового анализа) определяет доход (или прибыль) на указанном периоде времени длительности Т, соотнесенный с серединой такого интервала. Домножая значение этого дохода на множитель 1Т получаем показатель интенсивности потока доходов, т.е. доход за единицу времени (причем, в единицах измерения Т).

Тот факт, что соответствующий доход (или прибыль) на интервале времени м/у поставками товара соотнесен именно к середине такого интервала, позволяет в рамках процедур учета временной стоимости денег по схеме простых процентов легко интерпретировать показатель интенсивности потока доходов применительно к любым другим удобным для менеджера единицам измерения времени. Например, если показатель интенсивности потока доходов составляет, скажем, 18000 у.е. (за год), то применительно к интервалу времени длительности Т=112 (месяц) соответствующий эквивалент этого показателя составит 1500 у.е. (за месяц), а применительно к интервалу времени длительности Т = 1360 (день) соответствующий эквивалент этого показателя составит 50 у.е. (за день). Как видим, показатель интенсивности потока доходов является удобным, доступным для понимания и простым в обращении средством оценки эффективности работы систем интересующего нас типа. Чем больше значение этого показателя, тем больше и суммарная наращенная к концу года прибыль при заданной ставке наращения и заданном годовом объеме поставок.

Теперь легко видеть, что желание максимизировать интенсивность потока доходов в рамках рассматриваемой модели системы управления запасом с учетом врем-ой стоимости денег приводит к след-й задаче максимизации целевой функции F:

F -- max, q > 0

где F = 1/T [ q (CП + PП) - (1 + r T/2) (C0 + C0П • q + CП • q + Ch q T/2)], причем, q и T связаны равенством Т = q/D.

Здесь в соответствии с принципами финансового анализа и финансовой математики соответствующие платежи приведены к общему моменту времени. А именно, они приведены к середине периода поставок, в связи с чем уходящие (в начале такого периода) платежи наращены по ставке r к моменту T/2.

8. Оптимальная стратегия для модели выплат издержек хранения «пренумерандо» с учетом временной стоимости денег

Рассмотрим алгоритм определения оптимального размера заказа qопт. Для его нахождения составим уравнение f'(q) = 0, т.е. Понимая, что для интересующего нас корня qопт этого уравнения имеет место неравенство qопт < q0 будем искать оптимальный размер заказа в виде qопт = q0 / z, где z >1, причем здесь величина 1/z показывает, какая именно доля от значения q0 (экономичного размера заказа, но без учета временной стоимости денег) определяет оптимальное решение (но уже для модели с учетом процентных ставок). Подставляя в последнее равенство выражение q0 / z вместо q получаем уравнение относительно z: 3 или. После очевидных упрощений имеем уравнение третьей степени относительно неизвестного z (в области z > 1). Это уравнение уже приведено к так называемому «неполному» виду, когда отсутствует член, содержащий z2, т.е. к виду z3 + pz + g = 0. Тогда интересующий нас корень указанного кубического уравнения бозначаем его через z0) определяется по формулам: где

Применительно к интересующему нас уравнению получаем формулы, позволяющие находить корень z0:,где . Наконец, при известном значении z0 оптимальная величина размера заказа qопт для рассматриваемой модели управления запасами с учетом временной стоимости денег находится, окончательно, по формуле qопт = q0 / z0. ЗАМЕЧАНИЕ. Обратите внимание на следующий факт. Анализ полученных результатов для оптимальной стратегии управления запасами показывает, что в рамках рассматриваемой модели исследуемый параметр (qопт - оптимальный размер заказа) не зависит от показателя РП, характеризующего прибыль на единицу товара, обеспечиваемую работой соответствующего звена цепи поставок. Действительно, ни значение, ни значение z0, ни значение q0, определяющие интересующий нас показатель qопт, не зависят от величины РП. При этом, само максимальное значение интенсивности потока доходов (целевая функция F в исходной постановке задачи оптимизации), естественно, уже будет зависеть от указанного показателя.

9. Особенности оптимальной стратегии при выплате издержек хранения в середине промежутка времени между поставками

Рассмотрим модификацию анализируемой модели для случая, когда контрактные условия для учета издержек хранения предполагают осуществлять их именно в середине промежутка времени между поставками. В этом случае издержки хранения будут соотноситься с моментом T/2 (середина интервала поставок). Соответственно при использовании схемы простых процентов для учета временной стоимости денег потоки уходящих платежей будут представлены в виде:

1 уходящие платежи (соотносимые с началом каждого периода) - ;

2 уходящие платежи (соотносимые с серединой каждого периода) -

При этом приходящие платежи в рамках модифицированной модели остаются прежними.

Раскрывая скобки в выражении для Fmod, избавляясь при этом от параметра T (с учетом равенства T=q/D), а также меняя знак всего выражения на противоположный и отбрасывая члены, не содержащие интересующий нас параметр q оптимальной стратегии (для оптимизации объема заказа) перепишем задачу оптимизации в виде .

Теперь простым дифференцированием находим формулу, определяющую оптимальное значение объема заказа для модифицированной модели с учетом временной стоимости издержек/доходов: Полученная формула для обобщает известную формулу Уилсона. Действительно, если временная стоимость денег не учитывается (т.е. r = 0), то в этом случае формулы для и q0 совпадают. В общем случае, когда формула для является обобщением формулы для q0. При этом рекомендации для оптимальной стратегии управления запасами с учетом временной структуры процентных ставок, как легко видеть из формулы для, приведут к меньшим размерам партии заказа и соответственно к более частым поставкам (т.к. =/D).

10. Особенности оптимальной стратегии при выплате издержек хранения в конце интервала повторного заказа

В зависимости от контрактных условий схема выплат издержек может предполагать реализацию соответствующих платежей в конце периода поставки (при поступлении очередной уже следующей партии заказа). Поэтому рассмотрим особенности анализируемой стратегии для случая, когда контрактные условия предполагают возможность учёта издержек хранения постнумерандо, т.е. в конце интервалов повторного заказа. Соответственно потоки уходящих платежей будут представлены в виде:

1 уходящие платежи, соотносимые с началом периода поставки

Cо + Cоп q +Cп q;

2 уходящие платежи, соотносимые с концом периода поставки -

Ch q Т/2.

При этом приходящие платежи остаются прежними, а задача максимизации интенсивности потока денежных доходов (обозначим такую интенсивность через Fпост) для модели с выплатой издержек хранения по схеме постнумерандо с учётом временной стоимости денег принимает вид:

Fпост max,

где, причём, величины q и T связаны равенством Т=q/D. Заметим также, что здесь выплаты СhqT/2 (относящиеся к концу периода поставки) продисконтированы в рамках схемы простых процентов к общему моменту времени учёта всех платежей. А именно, они приведены к середине периода поставки, т.е. к моменту Т/2 с учётом соответствующего значения дисконта d=r/(1+r).

После несложных преобразований интересующая нас задача оптимизации легко приводится к виду который, практически, полностью соответствует задаче оптимизации стратегии управления запасами для рассмотренной выше исходной модели. Действительно, особенность рассматриваемого здесь случая (выплаты издержек хранения постнумерандо) по сравнению с исходной моделью (выплаты этих издержек пренумерандо) отражается аналитически только наличием дополнительного множителя 1/(1+r) в слагаемом, содержащем q2. Легко видеть, что при этом в рамках задачи оптимизации в области q (0; D также будет иметь место неравенство qопт(пост) < q o, где через qопт(пост) обозначено оптимальное значение размера партии заказа в рамках модели с учётом временной стоимости денег при выплате издержек хранения постнумерандо . Кроме того, используя представленные выше (для исходной модели) методы определения параметров оптимальной стратегии управления запасами с учётом временной стоимости денег для анализируемого случая соответственно получаем следующее. При выплате издержек хранения постнумерандо оптимальный размер заказа qопт (пост) и оптимальный период поставок Топт(пост) можно находить по формулам Tопт(пост) = qопт(пост)/D, qопт(пост) = qо / zо,

11. Оптимизация стратегии управления запасами как задача максимизации рентабельности системы

Рассмотрим классическую одно-продуктовую модель управления запасами с постоянным спросом. Отметим следующие особенности модели и принимаемые далее обозначения:

D - объем годового потребления соответствующего товара;

C0 - накладные расходы на поставку одной партии товара, не зависящие от объема партии товара;

СП - стоимость единицы товара;

РП - прибыль от реализации единицы товара;

С0П - издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии;

Сh - годовые издержки хранения единицы товара;

q - размер партии заказа при поставках (оптимизируемая величина); Т - длительность периода времени между поставками (в годах), связанная с показателем q равенством Т = q /D (также оптимизируемая величина);

L - общие годовые затраты, связанные с работой анализируемой системы управления запасами;

НР - соответствующий нетто-результат финансовой деятельности.

Кроме того, дополнительно обозначим:

rП = РП /(CОП + СП) - аналог соответствующего показателя рентабельности работы с анализируемым товаром;

rЭР - показатель годовой экономической рентабельности работы системы управления запасами (напомним, что суммарные годовые затраты L и соответствующий годовой нетто-результат НР связаны этим показателем равенством НР = L • rЭР ).

12. Оптимальная стратегия, максимизирующая экономическую рентабельность (без учета временной стоимости денег)

Традиционное представление атрибутов модели при анализе показателя годовой экономической рентабельности ( rЭР )

Применительно кданному рисунку подчеркнем, что

1 для годовых затрат L, если поставки товара планируются партиями размера q, в рамках анализируемой модели имеем

L = D (CОП + CП ) + СО /Т + Сh•q/2;

2 для соответствующего нетто-результата НР имеем

НР = D РП - СО /Т - Сh•q/2.

Или (на основе представления с использованием введенного нами ранее показателя rП) НР = D •(СОП + СП ) •rП - СО /Т - Сh•q/2 .

При этом для соответствующего значения показателя экономической рентабельности ( rЭР ) из равенства rЭР = НР /L получаем rЭР =

13. Модификация модели с учетом временной стоимости денег

Для оптимизации стратегии управления запасами с учетом временной стоимости денег потребуется реализация специального подхода, основанного на представлении логистических процессов, описывающих соответствующую систему управления запасами, с помощью имеющих место уходящих и приходящих денежных потоков. Кроме того, потребуется также построение соответствующих специальных критериальных функций, понятных и естественных для менеджера или лица, принимающего решения. При этом необходимо учитывать не только объемы имеющих место денежных потоков, но и соответствующие контрактным условиям моменты выплат/поступлений для уходящих/приходящих денежных потоков.

В рамках такой модификации модели управления запасами, прежде всего, отметим дополнительные соответствующие обозначения и ограничения:

1 r - годовая ставка наращения, действующая на рынке;

2 учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется применительно к схеме простых процентов.

Обратим теперь внимание также на то, что принимаемые ниже (в рамках анализируемой здесь модификации модели управления запасами) особенности для представления соответствующих приходящих денежных потоков обусловлены следующей спецификой учета временной стоимости денег по схеме простых процентов.

А именно, если в рамках схемы простых процентов рассматриваются, например, два приходящих платежа величины Р каждый, которые соотнесены на периоде времени [0; Т] с симметричными относительно середины Т/2 такого периода моментами времени Т/2 - t и Т/2 + t, то суммарный наращенный для этих двух платежей результат к концу периода составит

Р•(1+ r•(Т/2+ t)) + Р•(1+ r•(Т/2 - t)).

Указанные денежные потоки на отдельном периоде поставок можно представить схемой T 0 УПН ППС УПС Приходящие платежи середины периода (реализация товара) Уходящие платежи начала периода (стоимость товара,издержки доставки) Уходящие платежисередины периода (издержки хранения) T/2

В соответствии с указанными атрибутами рассматриваемой модификации модели управления запасами для указанных денежных потоков запишем следующие выражения.

1 Уходящие платежи, соотносимые с началом каждого периода (обозначаем их через УПН ),

УПН = С0 + (СОП + СП )•q .

2 Уходящие платежи, соотносимые, в среднем, с серединой периода, представляющие собой оплату издержек хранения (обозначим их через УПСХ ),

УПСХ = Сh •q•Т/2 .

3 Приходящие платежи, соотносимые, в среднем, с серединой каждого периода времени между поставками (обозначим их через ППС), обусловливаемые поступлениями от реализации товара,

ППС = (СП + РП )•q .

14. Оптимальная стратегия, максимизирующая интенсивность доходов для денежных потоков в системе

Задача оптимизации стратегии управления запасами с учетом временной стоимости денег рассматривается как задача финансового анализа, связанная с максимизацией чистого приведенного дохода для представленных выше уходящих и приходящих денежных потоков в интересующей нас модификации модели управления запасами. При этом оптимизация достигается на основе максимизации вводимого показателя интенсивности F потока доходов.

Все имеющие место денежные потоки на одном периоде времени [0; Т] между поставками сначала будут приведены к общему моменту времени Т/2 (середине такого периода). Тогда соответствующий суммарный результат, т.е. разность между приходящими и уходящими такими потоками определяет доход на одном периоде времени между поставками товара. Умножая такой суммарный результат дохода на множитель 1/Т получаем показатель интенсивности F потока доходов, т.е. доход за единицу времени, причем в единицах измерения Т.

Требование максимизации интенсивности потока доходов в рамках рассматриваемой модификации модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег приводит к задаче максимизации следующей целевой функции

F > max,

F = 1/Т [ППС - УПС - УПН •(1+ r•Т/2)] .

Подставляя в выражение для F приведенные выше значения для объемов соответствующих денежных потоков после несложных преобразований получаем следующую формулу для показателя интенсивности F потока доходов:

F = D•[РП - СОП - C0•r/2 ]

Соответственно после этого для нахождения оптимального размера партии заказа получим уже следующую задачу минимизации

f(q) > min

f(q)=+q•[Ch+r•(CОП+СП)].

Применительно к рассматриваемой в этой главе модификации модели с учетом временной стоимости денег (по схеме простых процентов с годовой ставкой наращения r) оптимальный размер партии заказа (обозначим его через q), максимизирующий интенсивность потока доходов.

15. Оптимизация стратегии управления запасами как задача максимизации рентабельности собственных средств

При использовании заемных средств соответствующие задачи оптимального управления запасами каждое лицо, принимающее решение, уже может рассматривать как задачи максимизации рентабельности собственные средств. Требование учета временной стоимости денег делает соответствующие постановки задач уже не эквивалентными их классическому аналогу. Понятно, что модификация соответствующих моделей управления запасами с учетом действующих на рынке процентных ставок и с учетом использования заемных средств, а также оптимизация таких моделей либо на основе максимизации рентабельности системы, либо на основе максимизации показателя чистого приведенного дохода может привести, вообще говоря, к другим (отличным от предлагаемых в рамках классической теории) параметрам оптимальных стратегий. При этом лицам, принимающим решения при реализации на практике конкретных стратегий управления запасами, необходимо понимать, насколько существенными окажутся соответствующие отклонения в рекомендациях для основных таких параметров стратегий управления, и насколько перспективными окажутся возможности повышения эффективности работы системы за счет учета указанных особенностей в критериальных функциях.

Задача оптимизации классической системы управления запасами с постоянным спросом будет рассмотрена с учетом ситуации использования заемных средств. Анализируется как модификация модели, в рамках которой учет временной структуры процентных ставок не требуется, так и модификация модели с учетом временной стоимости денег (по схеме простых процентов). Другими словами, в отличие от соответствующего анализа аналогичной классической модели при оптимизации стратегии управления запасами дополнительно будет указано как именно для денежных потоков выплат издержек и потоков денежных поступлений следует учитывать указанные особенности. При учете временной стоимости денег процедуры оптимизации стратегий управления запасами уже зависят также и от конкретной, принятой в рамках модели схемы выплат издержек хранения. Указанные выплаты могут быть привязаны к различным вариантам таких схем. Возможные варианты этих схем мало влияют на параметры оптимальной стратегии. Поэтому достаточно провести анализ для любой их них.

Для модификаций моделей анализируемой системы управления запасами критерием оптимизации стратегии управления является либо максимизация показателя рентабельности собственных средств, либо максимизация чистого приведенного дохода при заданном объеме годовых поставок анализируемого товара и заданной годовой ставке наращения в рамках схемы простых процентов.

16. Модификация классического варианта модели при использовании заемных средств (без учета временной стоимости денег)

Введем необходимые дополнительные обозначения:

1 SCC - сумма собственных средств в соответствующих затратах бизнеса для анализируемых логистических процессов;

2 SЗC - сумма заемных средств (причем SCC + SЗC = L) в соответствующих затратах бизнеса для анализируемых логистических процессов;

3 rк - годовая кредитная ставка (так называемая средняя заемная ставка процента для используемых заемных средств);

4 НРС - “собственный” годовой нетто-результат (НРС =НР - rк• SЗC);

5 б - отношение заемных средств к собственным (б = SЗC / SCC ), т.е. соответствующее плечо финансового рычага (в терминологии финансового менеджмента);

6 rСС - соответствующий годовой показатель рентабельности собственных средств (собственные годовые затраты SCC и указанный “собственный” нетто-результат НРС связаны этим показателем равенством НРС = SCC • rСС ).

При анализе показателя рентабельности собственных средств rСС можно использовать хорошо известную в финансовом менеджменте формулу для эффекта финансового рычага:

rСС = rЭР + б•( rЭР - rк ),

Поскольку для интересующего нас показателя rСС можно записать также равенство rСС = rЭР • (1+ б) - б• rк, то очевидно, что задача максимизации показателя рентабельности собственных средств в рамках анализируемой модели управления запасами оказывается эквивалентной задаче максимизации показателя экономической рентабельности rЭР соответствующего бизнеса. Следовательно, оптимальное решение при выборе размера партии заказа (который будет максимизировать рентабельность собственных средств) в данном случае также достигается при хорошо известных классических рекомендациях.

Для тех, кто не владеет понятием эффекта финансового рычага, соответствующий вывод можно получить и на основе формальных математических преобразований, не используя указанное понятие. А именно, для интересующего нас показателя рентабельности собственных средств последовательно выпишем равенства

rCC = (1+б)•НР/L - б•rк

Последнее равенство, как раз и позволяет получить такие же выводы, которые были сделаны выше на основе использования понятия эффекта финансового рычага. Таким образом, задача максимизации показателя рентабельности собственных средств эквивалентна задаче максимизации показателя экономической рентабельности

rЭР = НР /L, что и было доказано выше иным способом.

17. Модификация традиционной модели, позволяющая учитывать временную стоимость издержек/доходов

Для оптимизации стратегии управления запасами с учетом временной стоимости денег потребуется реализация специального подхода, основанного на представлении логистических процессов, описывающих соответствующую систему управления запасами, с помощью имеющих место уходящих и приходящих денежных потоков. Кроме того, потребуется также построение соответствующих специальных критериальных функций, понятных и естественных для менеджера или лица, принимающего решения. При этом необходимо учитывать не только объемы имеющих место денежных потоков, но и соответствующие контрактным условиям моменты выплат/поступлений для уходящих/приходящих денежных потоков. В рамках такой модификации модели управления запасами, прежде всего, отметим дополнительные соответствующие обозначения и ограничения:

1 r - годовая ставка наращения, действующая на рынке;

2 учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется применительно к схеме простых процентов.

Применительно к анализируемой модификации модели управления запасами принимаем:

1 суммарные уходящие платежи на периоде поставок, представляющие издержки доставки (включая соответствующие накладные расходы) и расходы на оплату стоимости партии заказа, соотносим с начальными моментами каждого соответствующего периода времени между поставками;

2 указанные уходящие в начале периода платежи покрываются (частично) соответствующим поступлением заемных средств в начале периода;

3 реализация товара происходит равномерно на периоде времени между поставками и поэтому суммарные соответствующие приходящие платежи (величины СП+РП за каждую единицу товара) соотносим, в среднем, с серединой такого периода;

4 издержки хранения на периоде времени между поставками в соответствии с контрактными условиями выплачиваются в середине соответствующего интервала, причем из собственных средств, так что кредитную составляющую для них далее не учитываем;

5 погашение заемных обязательств по средствам, использованным в начале периода реализуется равномерно на соответствующем периоде времени и поэтому такие уходящие платежи также в суммарном выражении соотносим, в среднем, с серединой периода времени между поставками.

В соответствии с указанными атрибутами рассматриваемой модификации модели управления запасами запишем следующие выражения.

1 Уходящие платежи, соотносимые с началом каждого периода (обозначаем их через УПН ), -

УПН = С0 + (СОП + СП )•q

При этом составляющая такого денежного потока, характеризующая затраты именно заемных средств (обозначаем ее через УПНЗ), для которой требуется учесть заданную кредитную ставку на момент Т/2 погашения заемных обязательств по схеме простых процентов, принимается равной

УПНЗ = УПН•б /(1+ б)

2 Приходящий денежный поток соответствующих заемных средств, соотносимый с началом каждого периода времени между поставками (обозначим его через ППН ).

ППН = УПНЗ = УПН•б /(1+ б)

(с учетом указанной выше доли заемных средств в выплатах начала периода).

3 Уходящие платежи, соотносимые, в среднем, с серединой периода (обозначим их через УПС ), включающие

? уходящие платежи погашения заемных обязательств (обозначим их через УПСЗ ) - УПСЗ = (1+ rк•Т/2)•ППН = = (1+ rк•Т/2)•УПН • б /(1+ б)

т.к. доля заемных средств в указанных выше выплатах начала периода при заданном отношении б заемных средств к собственным средствам составляет б /(1+ б); ? уходящие платежи оплаты издержек хранения (обозначим их через УПСХ ), реализуемые, как уже подчеркивалось, из собственных средств, -

УПСХ = Сh q•Т/2

4 Приходящие платежи, соотносимые, в среднем, с серединой каждого периода времени между поставками (обозначим их через ППС), обусловливаемые поступлениями от реализации товара, -

ППС = (СП + РП)•q

Понимая структуру денежных потоков на периоде времени между поставками товара партиями размера q рассмотрим задачу оптимизации стратегии управления запасами как соответствующую задачу финансового менеджмента. А именно, как задачу максимизации чистого приведенного дохода для указанных денежных потоков или как задачу максимизации интенсивности потока доходов применительно к указанным денежным потокам уходящих и приходящий платежей для анализируемых логистических процессов.

18. Модификация базовой модели: поставки со скидкой на цену заказа (без учета временной стоимости денег)

ОСОБ-ТЬ МОДЕЛИ: в рамках основной модели дополн-но учитывается, что цена поставляемой продукции может зависеть от объема заказа, причем такая завис-ть формализуется в виде скидки на заказ, предоставляемой в случае, когда размер заказа будет не меньшим, чем оговариваемое усл-ми скидки соответствующее пороговое значение для объема заказа. А именно, пусть дополнительно к атрибутам базовой модели задано: q1 - пороговое значение размера заказа для получения скидки; СП 0 - цена ед. продукции при размере заказа меньшем q1; СП 1 - цена ед. продукции при размере заказа равном или превышающем q1.

Задача минимизации суммарных годовых потерь

Стоим-ть ед. товара при такой модиф-ии модели необходимо рассматривать как «ступенчатую» функцию переменной q. Далее принимаем: CП = CП(q). Соответствующая задача с учетом указанных особенностей модификации базовой модели м. б. записана след. образом:

С0·D/q + Ch·q/2 + CП(q) ·D > min, q>0 CП 0,

19. Модификация базовой модели: зависимость издержек доставки от объема заказа (без учета временной стоимости денег)

СОБ-ТЬ МОДЕЛИ: применительно к базовой модели, доп-но учитывается, что накладные издержки на поставку товара (С0) могут зависеть от объема заказа. Указанные издержки при такой модиф-ии модели необходимо рассм-ть как «ступенчатую» функцию переменной q. пусть С0(q) представляет такие накладные издержки для модифицир-ой модели, причем для заказов, начиная с объема q0, такие издержки увелич-ся:

Задача минимизации общих годовых потерь

Соответствующая задача с учетом указанных особ-ей модификации базовой модели м. б. записана след. образом: При любом фиксированном указанном значении С0(q) (либо значение C00, либо значение С01) суммарные годовые затраты как функция переменной q снова будут представлены выпуклой вниз линией. Предлагаемая скидка обусловливает тот факт, что составляющая таких суммарных издержек, представленная гиперболой, будет для рассматр-х случаев различной. Как видим, в рассматриваемом случае (когда при превышении объема q0 партией заказа накладные расходы на поставку увеличиваются) никаких возможностей для снижения общих затрат нет

Общие затраты (без учета константы CП ·D):

1) - при накладных расходах на доставку C00;

2) - при накладных расходах на доставку C01 (C01>C00);

3)жирная линяя соответствует накладным расходам на доставку С0(q).

20. Модификация базовой модели: зависимость издержек хранения от объема поставок (без учета временной стоимости денег)

ОСОБ-ТЬ МОДЕЛИ: прим-но к базовой модели дополн-но учитывается, что год.е изд-ки хран-я ед. продукции Ch могут зависеть от объема заказа. пусть для поставляемых партий заказа при их объеме, начиная с qh, предлагается скидка на изд-и хранения. А именно, пусть дополнительно 2 задано: qh - пороговое значение размера заказа для получения указанной скидки для издержек хранения; Сh 0 - изд-ки хран-я ед. прод-ии за год при размере партий поставок меньшем, чем qh ; Сh1 - - изд-ки хран-я ед. прод-ии за год при размере партий поставок, равном или превышающем пороговое значение qh. Издержки хранения при такой модификации модели необходимо рассм-ть как соответствующую «ступенчатую» функцию переменной q. далее принимаем: Ch =Ch(q).

Задача минимизации общих годовых потерь

Соответствующая задача с учетом указанных особенностей модификации базовой модели может быть записана следующим образом: При каждом указанном значении Сh(q) (либо Ch0, либо Сh1) суммарные годовые затраты как функция переменной q и в этой ситуации будут представлены выпуклой вниз линией. Предлагаемая скидка обусловливает тот факт, что составляющ. изд-к хранения (в суммарных годовых затратах), представленная прямой линией, будет для рассм-х случ. иметь различный тангенс угла наклона.

Общие затраты (без учета константы CП ·D):

1) - при тарифе Ch0 для издержек хранения;

2) - при тарифе Ch1 для издержек хранения (Ch1< Ch0);

3) жирная линия соответствует синтезируемому тарифу Ch(q).

Предлагаемая скидка для издержек хранения может изменить оптимальную стратегию управления запасами при qh ? EOQh (в правой части этого неравенства - экономичный размер заказа при тарифе Ch1 для издержек хранения) оптимальный размер заказа q* всегда будет определяться равенством q* = EOQh. При qh > EOQh для выбора оптимального q* следует сравнить значения общих годовых затрат в точках q= EOQ0 (экономичный размер заказа при тарифе Ch0) и q = qh, выбрав тот вариант, где затраты меньше.

21. Анализ скидок на заказ при оптимизации модели управления запасами с учетом временной стоимости денег

При данном подходе учиться временная структура % ставок применительно к денежным потокам уходящих и приходящих платежей в рамках логист-х процессов в системах управления запасами. Здесь задача оптимизации стратегии управления запасами уже будет зависеть (в отличие от классического случая) от конкретной, принятой в рамках модели схемы выплат издержек хранения, что представляется спецификой соответ-щих контрактных условий выплат таких издержек. Указанные выплаты могут быть привязаны к разл. вариантам таких схем, как:

1 выплаты издер. хранения в соот-вии со схемой «пренумерандо», т.е. в мом-т поставки соответствующей партии заказа (в начале периода хранения);

2 -//- «постнумерандо», т.е. в момент поставки следующей партии заказа (в конце периода хранения);

3 -//- в середине периода времени до момента очередной поставки товара.

Анал-тся классическая однопродуктовая модель управления запасами с постоянным спросом, с учетом временной стоимости денег и учетом предлагаемых скидок на заказ. Отметим основные атрибуты модели:

D - объем годового потребления соответствующего товара;

C0 - накладные расходы на поставку одной партии товара;

СП - стоимость единицы товара;

РП - прибыль от реализации единицы товара;

С0П - издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии;

Сh - годовые издержки хранения единицы товара;

q - размер партии заказа (оптимизируемая величина в рамках рассматриваемой модели);

Т -период поставки (в годах), связанный с показателем q равенством Т = q /D r - годовая ставка наращения, действующая на рынке;

учет временной стоимости денег реализуется применительно к схеме %. q1 - пороговое значение размера партии заказа, начиная с которого действуют условия скидки;

Соотв-нно цена единицы товара в рамках рассматриваемой модели будет уже представлена функцией СП = СП(q) переменного q, задаваемой в области q > 0 равенством:

СП(q) = СП0,

если 0 < q < q1 ;или СП1,

если q ? q1,

С0П является функцией С0П = С0П(q) переменного q, причем по аналогии с предыдущим представлением:

С0П(q) = С0П0,

если 0 < q < q1; или С0П1, если q ? q1,

Величину приб. РП от реализации товара необходимо далее представить в виде функции РП = РП(q) от объема поставок партии товара:

РП(q) = РП0,

если 0 < q < q1; или РП1, если q ? q1,

Для величины уходящих платежей (УП) на одном периоде поставки, которые соотносим с началом каждого такого периода, имеем представление

УП = C0 + C0П(q) q + CП(q) q + Ch q T /2

Для величины приходящих платежей (ПП) на одном периоде поставки, соотносимыми, в среднем, с серединой каждого периода времени между поставками, имеем представление

ПП = (CП(q) + РП(q) ) q

22. Оптимизация стратегии управления запасами с учетом временной стоимости денег при выплате издержек хранения в начале интервала повторного заказа

Требование максимизации интенсивности суммарного потока доходов по анализируемому виду товара в рамках рассматриваемой модификации модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег и предложенных условий скидки на стоимость партии заказа приводит к задаче максимизации следующей целевой функции (обозначаем ее через F) :

F = 1/T [ q (CП(q) + PП(q)) - (1 + r T /2) (C0 + C0П(q) q + + CП(q) q ) +Ch q T /2)],

Избавляясь от Т в выражении для F (с учетом равенства Т = q /D ), после несложных преобразований (они опускаются из-за ограниченности объема работы) целевая функция F = F(q) как функция переменного q приводится к виду

F(q) = D (РП(q) - С0П(q)) - С0 () - Сh - q (C0П(q) + CП(q))

Далее, опуская слагаемое, которое не зависит от q, меняя знак целевой функции на противоположный и домножая при этом для удобства записи на 2, перепишем задачу оптимизации в виде

f(q) = 2C0 D/q qCh + q2 Ch /D + qr(C0П(q) + CП(q))+2D (C0П(q) - РП(q))

При этом, образно говоря, f(q) уже характеризует соответствующие потери в интенсивности потока доходов при конкретном выборе объема q партии заказа (из-за указанного выше «перехода» к противоположному знаку целевой функции). Выделим фрагмент целевой функции f(q), который не зависит от влияния предлагаемых условий скидки. А именно, определим для этого функцию ц(q) равенством

...