Основы экономико-математического моделирования

43. Многономенклатурное планирование не покрываемого при поставках дефицита (без учета временной стоимости денег)

ОСОБЕННОСТЬ: допускается отсутствие запаса по каждому i-товару, причем при поставках (общие поставки для товаров анализируемой номенклатуры) соответствующий дефицит не удовлетворяется, например, принимается, что спрос уже будет удовлетворен “извне” по каждому дефицитному i-товару. Разумеется, это - с учетом соответствующих потерь из-за такого планируемого дефицита. Основные атрибуты модели, понятия, обозначения и соотношения сначала применительно к ситуации, когда временная стоимость денег не учитывается: Т0 - длительность интервала повторного заказа при общих поставках; qi - объем i-товара в заказе (при общей поставке); Si - максимально допустимый дефицит i-товара; Cgi - издержки неудовлетворенного дефицита на единицу i-товара за год; t1i и t2i - интервалы хранения и дефицита i-товаров на Т0; qi/2 - средний уровень запаса i-товара на t1i ; Si/2 - средний уровень дефицита i-товара на t2i ; 1/Т0 - ежегодное число поставок (общих по товарам); Di - потребление (с учетом дефицитного) i-товара за год; спрос по i-товару постоянен, так что qi + Si = T0· Di; Chi - затраты на хранение единицы i-товара за год; «баланс» промежутков t1i и t2i для i-товаров оптимален (применительно к невырожденному случаю анализа, когда Chi >0 и Cgi>0), т.е. t1i/t2i = Cgi / Chi, причем t1i + t2i =Т0; Si =qi·Chi/ Cgi, (при оптимальном указанном «балансе» применительно к указанному невырожденному случаю анализа)); qi =Т0 •Di • Cgi /(Chi+ Cgi), (при оптимальном указанном «балансе» применительно к указанному невырожденному случаю анализа). Указанная величина для анализируемой модели планирования дефицита при управлении запасами без учета временной стоимости денег традиционно в теории управления запасами представляется выражением: (при любом заданном значении длительности Т0 интервала времени между общими поставками и при заданных значениях параметров гi, характеризующих балансы для промежутков t1i и t2i по каждому i-товару в пределах заданного интервала общего повторного заказа). Подчеркнем, что здесь qi/2 - среднее количество хранимого i-товара на промежутке t1i. Соответственно величина (1 - гi)• qi/2 - среднее количество хранимого товара для всего интервала повторного заказа Т0. Поэтому, с учетом заданных годовых тарифов Chi, второе слагаемое в приведенном выше выражении представляет именно суммарные годовые потери из-за хранения товаров. Аналогично, последнее слагаемое представляет годовые потери из-за соответствующего планируемого дефицита.

44. Учет временной стоимости денег для стратегии планирования дефицита без его покрытия при поставках

Для учета временной структуры процентных ставок применительно к указанной модели управления запасами далее функционирование такой системы будет представлено соответствующими уходящими и приходящими денежными потоками. При этом, напомним, что требуется учитывать специфику контрактных условий выплаты издержек хранения, а также и штрафных потерь из-за планируемого дефицита, не покрываемого при поставках. Как мы уже знаем, моменты выплаты издержек хранения (например, по схеме «пренумерандо», «постнумерандо» и т.п.) мало влияют на параметры оптимальной стратегии управления запасами. Поэтому, далее рассмотрим только модификацию модели, при которой выплаты издержек хранения реализуются по схеме «пренумерандо». При этом, учитывая результаты проведенного анализа для такой стратегии планирования дефицита, нас будет интересовать именно случай, более близкий к практическим ситуация, когда анализируется соответствующая стратегия управления запасами применительно к группе рентабельных товаров. Критерием оптимизации, как и в предыдущих главах, является максимизация суммарного чистого приведенного дохода на основе соответствующей максимизации интенсивности суммарного потока доходов применительно к анализируемой стратегии управления запасами. Соответствующие особенности, обусловливаемые спецификой учета временной стоимости денег и выбранным критерием оптимизации, иллюстрируются для интересующего нас случая условным примером.

Особенности модели и основные обозначения. Рассматриваем классическую многопродуктовую модель управления запасами с постоянным спросом и учетом временной стоимости денег при стратегии планирования дефицита без его покрытия при поставках. Основные атрибуты модели и обозначения - следующие: N - количество анализируемых видов товаров, называемых далее i-товарами (i = 1 N); Di - объем годового потребления соответствующего товара; C0 - накладные расходы на поставку одной партии заказа; СПi - стоимость единицы товара; РПi - прибыль от реализации единицы товара; С0Пi - издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии; Сhi - годовые издержки хранения единицы товара; qi - размер партии заказа (оптимизируемая величина в рамках рассматриваемой модели); Т0 - общий период поставки (в годах), связанный с показателями qi равенствами Т0 = qi /Di (также оптимизируемые величины); r - годовая ставка наращения, действующая на рынке; учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется применительно к схеме простых процентов. Дополнительно, учитывая специфику стратегии планирования дефицита без его покрытия при поставках, обозначим: Si - максимально допустимый дефицит для i-товара (параметр, подлежащий оптимизации); Сgi - издержки из-за дефицита на единицу i-товара за год (этот показатель позволяет учитывать именно такие потери из-за дефицита i-товара, которые зависят именно от длительности промежутка времени до покрытия соответствующего дефицита); далее рассматриваем невырожденный случай анализа, когда Сgi > 0; t1i и t2i - длительности промежутков времени наличия запасов и дефицита соответственно на периоде поставок T0 для i-товара; гi = t2i/T0 - доля времени наличия дефицита (оптимизируемая величина в рамках модели) для i-товара; (1 - гi) - доля времени наличия запасов (также оптимизируемая величина) для i-товара. Для имеющих место денежных потоков в рамках рассматриваемой модели планирования дефицита отметим следующее. Уходящие платежи, обусловливаемые издержками доставки товара и оплатой его стоимости, соотносим с начальным моментом соответствующего интервала повторного заказа (при общих поставках). Приходящие платежи по товарам на периодах времени отсутствия дефицита соотносим, в среднем, с серединами таких периодов наличия запасов для i-товаров. Уходящие платежи, обусловливаемые штрафными санкциями из-за дефицита, соотносим с моментом окончания соответствующего интервала повторного заказа (при общих поставках). Уходящие платежи, обусловливаемые выплатой издержек хранения, соотносим с моментом начала такого интервала повторного заказа (выплаты издержек хранения «пренумерандо»). Пусть снова знак обозначает соответствующее суммирование по всему анализируемому количеству видов или номенклатуры i-товаров, т.е. - суммирование по i от 1 до N. Тогда величины денежных потоков в рамках такой модели определяются следующим образом. Величина уходящих платежей (УПнач) на одном интервале повторного заказа, соотносимых с началом каждого такого интервала, УПнач = C0 + У qi (C0Пi + CПi )+ У qi • Chi t1i /2. Величины приходящих платежей по i-товарам (ППi-тов), которые соотносим, в среднем, с серединой каждого соответствующего периода времени работы с i-товаром на промежутках отсутствия дефицита, ППi-тов = (CПi + РПi) • qi . Величина уходящих платежей (УПдеф), обусловливаемых штрафными издержками планируемого дефицита на интервале повторного заказа, которые соотносятся по времени с концом такого интервала, УПдеф = У Cgi•Si• t2i /2.

45. Оптимальные параметры стратегии (поставки 47рентабельных товаров)

При оптимизации систем управления запасами классические постановки задач нахождения наилучших решений формулируются, как правило, в виде соответствующих задач минимизации суммарных годовых издержек, свойственных соответствующим звеньям цепи поставок (доставка товара, его хранение, различные накладные расходы и т.п.). В то же время менеджер (аналитик, лицо, принимающее решение) уже сегодня может ставить задачи управления запасами как задачи максимизации рентабельности системы или как задачи максимизации чистого приведенного дохода для уходящих и приходящих денежных потоков, характеризующих работу соответствующей системы/подсистемы логистики Понятно, что возможность реализации соответствующего «скрытого» резерва для повышения эффективности работы указанных звеньев в цепях поставок будет привлекать внимание менеджеров, финансовых аналитиков и, в частности, лиц, принимающих решения. Понятно, что модификация соответствующих моделей управления запасами с учетом действующих на рынке процентных ставок, а также оптимизация таких моделей либо на основе максимизации рентабельности системы, либо на основе максимизации показателя чистого приведенного дохода должна отразиться на оптимальной стратегии. А именно, она приведет, вообще говоря, к другим (отличным от предлагаемых в рамках классической теории) параметрам соответствующих оптимальных стратегий: таким как размер партии заказа и длительность периода времени между поставками. Поэтому для конкретных стратегий управления запасами, реализуемых сегодня на практике, необходимо уметь оценивать, насколько существенными окажутся соответствующие отклонения в рекомендациях для основных параметров стратегий управления, и насколько перспективными окажутся возможности повышения эффективности работы системы управления запасами за счет учета скрытого резерва: учета указанных особенностей в критериальных функциях Решение задачи оптимизации классической системы управления запасами с постоянным спросом будет увязано с экономической эффективностью системы. При этом анализируется как модель, в рамках которой учет временной структуры процентных ставок не требуется, так и модель с учетом временной стоимости денег (по схеме простых процентов). Для рассмотренных ниже модификаций моделей анализируемой системы управления запасами критерием оптимизации стратегии управления является либо максимизация показателя годовой рентабельности, либо максимизация чистого приведенного дохода при заданном объеме годовых поставок анализируемого товара и заданной годовой ставке наращения в рамках схемы простых процентов. Найденные оптимальные стратегии управления запасами в рамках представленных модификаций рассматриваемой модели сравниваются с предлагаемой стратегией в рамках классического аналога такой модели (но без учета временной стоимости издержек/доходов и без учета особенностей, связанных с использованием заемных средств). Это позволяет проиллюстрировать соответствующие отклонения в рекомендациях для основных параметров стратегий управления и имеющиеся возможности повышения эффективности таких систем управления запасами за счёт учёта отмеченных выше их особенностей.

46. Атрибуты анализа и оптимизации системы без учета временной стоимости денег

Управление частотой поставки заказов. Особенность рассматриваемых в этой главе моделей оптимизации для систем управления запасами состоит в следующем: размер капитала фирмы для реализации логистических процессов в рамках соответствующего звена цепи поставок ограничен. Поэтому ЛПР (лицо, принимающее решение) требует при разработке стратегии управления запасами ограничить (в определенных и заданных им пределах) величину тех или иных годовых выплат/издержек, обусловливаемых спецификой технологии работы соответствующей системы управления запасами в рамках анализируемого звена цепи поставок. Пусть далее J обозначает среднегодовое значение интересующих ЛПР показателей (в каждом случае, естественно, они будут соответственно уточнены и формализованы; например, это будут средние годовые объемы денежных средств, «замороженные» в запасах; средние годовые потери или издержки на хранение товара; суммарная величина указанных выше денежных средств и т.п.), величину которых ЛПР требует ограничить. При этом, пусть Jдоп обозначает максимально допустимое значение для годового показателя соответствующих затрат или издержек (J), значение которых требуется ограничить при работе соответствующего звена цепи поставок. Другими словами, в рамках рассматриваемых ниже в этой главе моделей систем управления запасами дополнительно (в отличие от рассмотренных ранее моделей) при оптимизации стратегии управления запасами накладываются ограничения вида J ? Jдоп. Далее будут представлены различные модификации моделей управления запасами с такой особенностью, обусловливаемые выбором ЛПР соответствующего вида или типа тех выплат/затрат или издержек. В качестве базовой рассматриваем классическую одно-продуктовую модель управления запасами с постоянным спросом. Для удобства изложения отметим и напомним особенности модели, а также используемые обозначения (сначала применительно к ситуации, когда учет временной стоимости денег не требуется, а критерием оптимизации является именно минимизация показателя годовых издержек или потерь, обусловливаемых спецификой соответствующих логистических процессов): D - объем годового потребления соответствующего товара; C0 - накладные расходы на поставку одной партии товара, не зависящие от объема партии товара; СП - стоимость единицы товара; РП - прибыль от реализации единицы товара; С0П - издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии; Сh - годовые издержки хранения единицы товара; q - размер партии заказа при поставках (оптимизируемая величина); Т - длительность периода времени между поставками (в годах), связанная с показателем q равенством Т = q /D (также оптимизируемая величина); Управление частотой поставки заказов Здесь сначала рассмотрим простейшую ситуацию, в рамках которой ЛПР задает ограничиваемый им показатель J в именно как показатель среднегодовых потерь, обусловливаемых издержками хранения. Предварительно представим атрибуты соответствующего анализа применительно к интересующим нас одно-номенклатурным моделям систем управления запасами. Напомним, что при оптимальной стратегии управления в случае, когда дополнительно накладываемые ограничения отсутствуют, соответствующий средний годовой объем хранимого товара определяется величиной q0/2, где q0 обозначает так называемый экономичный размер заказа, характеризуемый формулой Уилсона. Поэтому, с учетом указанной формулы имеем следующее равенство для среднего годового объема хранимого товара, если параметры стратегии соответствуют традиционным рекомендациям теории q0/2 = . Понятно, что в рамках такой модели при оптимальной стратегии управления запасами соответствующие издержки хранения, которые в соответствии мы обозначаем через J, составят за год величину J0, причем J0 = . При наличии ограничений вида особенности корректирующих процедур при оптимизации стратегии управления запасами - следующие. Если J0 ? Jдоп, то представленную ранее в главе 2 традиционно рекомендуемую оптимальную стратегию (с использованием формул Уилсона) менять не следует, т.к. накладываемое ограничением условие будет выполняться в рамках классических процедур оптимизации, а суммарные издержки - вообще будут минимально возможными. Если J0 ? Jдоп, то указанную стратегию требуется корректировать, т.к. накладываемое ограничением ЛПР условие для классической оптимальной стратегии не выполняется, причем необходимо понимать, что при этом в рамках соответствующей (любой) корректировки суммарные издержки несколько увеличатся. В последнем случае (J0 ? Jдоп) применительно к интересующей нас модели управления запасами для снижения анализируемых издержек хранения J0 до требуемого ЛПР уровня Jдоп необходимо соответственно уменьшить размер заказа и сократить длительность интервала повторного заказа (относительно их традиционно рекомендуемых значений q0 и Т0, определяемых формулами Уилсона). Другими словами, необходимо соответственно увеличить частоту поставок товара.

47. Атрибуты анализа и оптимизации системы с учетом временной структуры процентных ставок (временной стоимости денег)

Представленные выше подходы к оптимизации стратегии управления запасами с учетом требуемых ограничений на размер доступного для ЛПР капитала при реализации логистических процессов в рамках соответствующего бизнеса не учитывали временную стоимость денег. Далее рассмотрим модификации таких моделей, позволяющие учитывать временную стоимость денег, т.е. учитывать временную структуру действующих на рынке процентных ставок. Найдем оптимальные стратегии управления запасами для таких модифицированных моделей, максимизирующие интенсивность потока доходов (применительно к уходящим и приходящим денежным потокам, характеризующим работу системы). Учитывая то, что при различных контрактных условиях для принятой схемы выплат издержек хранения соответствующие оптимальные стратегии управления запасами, как уже было показано выше, в реальных ситуациях практически совпадают, интересующее нас здесь исследование представим применительно к случаю выплаты таких издержек в середине промежутка времени хранения товара, т.е. в середине интервала повторного заказа. Сравним найденные стратегии с предлагаемой стратегией в рамках классической модели без учета временной стоимости издержек/доходов. Это позволит проиллюстрировать и подчеркнуть степень расхождения для основных параметров, определяющих оптимальное управление, а также соответствующие возможности повышения эффективности (рентабельности) системы управления запасами за счёт учёта временной стоимости денег (имеющейся временной структуры процентных ставок, действующей на рынке). Для удобства изложения напомним и уточним соответствующие особенности модели и обозначения: D - объем годового потребления соответствующего товара; C0 - накладные расходы на поставку одной партии товара; СП - стоимость единицы товара; РП - прибыль от реализации единицы товара; С0П - издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии; Сh - годовые издержки хранения единицы товара; q - размер партии заказа (оптимизируемая величина); Т - период поставки (в годах), связанный с показателем q равенством Т = q/D(также оптимизируемая величина); r - годовая ставка наращения, действующая на рынке; учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется в рамках схемы простых процентов. Кроме того, в рамках рассматриваемой здесь модификации модели управления запасами необходимо учесть требование ЛПР, обусловливаемое наличием соответствующего ограничения применительно к задаче оптимизации, которое ЛПР накладывает на максимально допустимое значение интенсивности уходящего денежного потока, характеризующего выплаты издержек хранения. Уточним соответствующую формализацию такого ограничения для рассматриваемой модификации модели. А именно, поскольку издержки хранения на одном интервале повторного заказа составляют СhqT/2, то с учетом длительности Т соответствующего интервала повторного заказа требуемое ЛПР ограничение на интенсивность указанного уходящего денежного потока выплат удобно задавать в следующем виде Сhq/2 ? Jдоп, где Jдоп - максимально допустимое значение интенсивности указанного уходящего денежного потока для ЛПР по анализируемой номенклатуре товара с учетом доступного для него капитала.

48. Оптимальная стратегия при выплате издержек хранения в середине промежутка времени между поставками товара

В рамках анализируемой здесь модификации модели принимаем следующее: уходящие платежи, обусловливаемые поставками товара, соотносим с началом каждого соответствующего интервала повторного заказа; уходящие платежи, обусловливаемые выплатой издержек хранения имеющегося запаса товара, соотносим с серединой каждого соответствующего интервала повторного заказа; приходящие платежи (выручка в рамках работы с товаром) также соотносим, в среднем, с серединой каждого соответствующего интервала повторного заказа. Величины рассматриваемых денежных потоков для такой модификации модели управления запасами определяются следующим образом: уходящие платежи начала периода времени между поставками товара (обозначаемые здесь через УПН0 и соотносимые с началом каждого такого периода) -- УПН0 = C0 + C0Пq + CПq ; здесь C0 учитывает выплаты в начале периода поставки, обуславливаемые накладными издержками на поставку заказа, которые не зависят от объема партии заказа; C0П q учитывает соответствующие издержки на поставку, которые зависят от объема партии заказа; CПq учитывает затраты, обуславливаемые стоимостью партии заказа; уходящие платежи середины периода времени между поставками товара (обозначаемые здесь через УПС0 и соотносимые с серединой каждого такого периода) -- УПС0 = ChqT/2 ; здесь ChqT/2 представляет издержки хранения на периоде поставки, которые, как уже отмечалось выше, соотносятся с серединой периода времени между поставками товара; приходящие платежи (обозначаемые здесь через ППС0 и соотносимые, в среднем, с серединой каждого соответствующего периода указанного выше типа) -- ППС0 = (CП + РП)q; здесь СПq - возвращенная стоимость партии заказа, а PПq -- соответствующая прибыль. После реализации указанных атрибутов анализа с учетом временной стоимости денег может быть записана следующим образом: при ограничении, где FCO =, причем, как и ранее, оптимизируемые параметры стратегии управления запасами q и T связаны равенством T=q/D. Упрощая вид функции FCO за счет исключения слагаемых, которые не зависят от выбора параметров q и T, заменяя при этом переменную Т на переменную q (с учетом указанного равенства T=q/D), а также меняя знак всего выражения на противоположный перепишем интересующую нас задачу оптимизации в следующем более компактном виде, как задачу минимизации потерь в интенсивности потока доходов (за счет выбора размера партии заказа): fCO = при ограничении Сhq/2 ? Jдоп . Из последнего неравенства видим, что в соответствии с заданным ограничением размер заказа при управлении запасами не может превышать некоторой пороговой величины qдоп, которую легко находим: . При этом длительность интервала повторного заказа также не может превышать соответствующей пороговой величины Тдоп, где Тдоп = . Таким образом, учитывая найденное в главе 2 значение точки минимума (оно было обозначено там через qопт(mod) ) интересующей нас функции (применительно к ситуации, когда отсутствует ограничение для оптимального размера заказа (обозначим его здесь через q*СО) в рамках рассматриваемой здесь модификации модели управления запасами с учетом временной стоимости денег и накладываемых ЛПР ограничений имеем: 1) либо, если qдоп ? qопт(mod); 2) либо, в противном случае.

49. Управление планированием дефицита (с его покрытием при поставках)

Далее в этой главе представим подходы, методы и алгоритмы, позволяющие при оптимизации стратегии управления запасами обеспечивать требования ЛПР, накладываемые им на те или иные виды затрат / издержек (в связи с имеющимися ограничениями на доступный для ЛПР капитал), в ситуации, когда для реализации требуемых ЛПР ограничений допускается использование стратегии планирования дефицита. Ограничимся случаем стратегии планирования дефицита, покрываемого при очередной поставке товара. Пусть: Jдоп - максимально допустимое значение (с точки зрения ЛПР) для показателя анализируемых издержек / затрат за год (естественно, в каждом случае они должны быть соответственно уточнены и формализованы; в частности, пусть это относится, например, к показателю средних годовых объемов денежных средств, «замороженных» в запасах); J* - значение показателя интересующих ЛПР годовых издержек / затрат при оптимальной стратегии (без планирования дефицита) для ситуации, когда отсутствуют задаваемые им ограничения; при этом считаем, что J* > Jдоп, т.е. рассматриваем ситуацию, когда при соответствующей оптимальной стратегии требуемые ограничения не выполняются и задача учета таких ограничений не является вырожденной; выполнение требуемого ЛПР ограничения при оптимизации управления запасами разрешается достигать, в частности, за счет использования стратегии планирования дефицита (покрываемого при очередной поставке товара), т.е. допускается дефицит анализируемого товара; при указанном подходе к учету задаваемого ЛПР ограничения соответствующие дополнительно возникающие издержки дефицита, обусловливаемые его планированием, также должны быть учтены в рамках задачи оптимизации стратегии управления запасами, причем они должны быть соответственно включены в анализируемые издержки / затраты, на которые ЛРП накладывает ограничения из-за ограниченности доступного ему капитала; оптимальный баланс для промежутков времени наличия i-товара и его дефицита (определяемый параметрами гi), который применительно к стратегии планирования дефицита минимизирует издержки (в моделях без учета временной стоимости денег) или максимизирует интенсивность потока доходов ЛПР (в моделях с учетом временной стоимости денег), должен быть сохранен в рамках соответствующего алгоритма оптимизации. Рассмотрим многономенклатурную модель, когда анализируемые издержки / затраты J (= J*) требуется снизить, сохранив общие поставки i-товаров, причем допускается отсутствие запасов по ним. Другими словами, рассмотрим ситуацию, когда для достижения требуемых ЛПР ограничений при управлении запасами допускается использование стратегии планирования дефицита с его покрытием при очередной поставке партии товаров. Значение показателя соответствующих издержек / затрат (которые необходимо ограничить по требованию ЛПР плюс дополнительно возникающие издержки дефицита) при оптимальной стратегии планирования дефицита (с его покрытием при очередной поставке товара) обозначим далее через JД*(ТО), подчеркивая таким обозначением, в частности, и тот факт, что указанная величина является функцией выбранного периода повторного заказа ТО для общих поставок анализируемых i-товаров. Тогда требуемое ЛПР ограничение при оптимизации стратегии управления запасами можно представить неравенством JД*(ТО) ? Jдоп Таким образом, применительно к задаче учета ограничения (задаваемого ЛПР при управлении запасами) за счет планирования дефицита имеем: если неравенство выполняется, то использование стратегии планирования дефицита обеспечивает требуемое ЛПР ограничение даже без дополнительной ее корректировки; если указанное неравенство не выполняется, то необходима соответствующая корректировка в рамках соответствующей стратегии планирования дефицита, причем на основе дополнительного изменения частоты поставок. При этом, во втором случае (когда потребуется корректировка стратегии) величину показателя JД*(ТО) рассматриваем как функцию переменной ТО. Напомним, что для монотонной функции решение неравенства относительно неизвестного значения ТО дает равенство JД*(ТО) = Jдоп. Найдя решение последнего равенства (обозначим его через ТДО*) далее обычными методами легко находим остальные параметры оптимальной стратегии управления запасами с учетом требований ЛПР и с использованием соответствующих атрибутов оптимального планирования дефицита. Ограничение, выполнение которого требует ЛПР, будет обеспечено непосредственно самим представленным подходом в рамках указанной оптимизации. Оптимальные размеры заказов i-товаров при указанной стратегии (обозначим их через qДОi*), в частности, можно находить по следующим формулам:

qДОi* = Di•TДО*.

50. Оптимальная стратегия при выплате издержек хранения пренумерандо и планировании дефицита с учетом временной стоимости денег

Далее рассмотрим модификацию интересующей нас модели оптимизации системы управления запасами с учетом требуемого ЛПР ограничения на некоторые интересующие его уходящие денежные потоки (на основе планирования дефицита), которая позволит учитывать временную стоимость денег, т.е. учитывать временную структуру действующих на рынке процентных ставок. А именно, пусть ЛПР задает совместное ограничение для интенсивности затрат на оплату запасов и издержек хранения. Представим алгоритм нахождения оптимальной стратегии управления запасами для такой модифицированной модели, максимизирующий интенсивность потока доходов (применительно к уходящим и приходящим денежным потокам, характеризующим работу системы) с учетом требуемых ЛПР ограничений. Учитывая то, что при различных контрактных условиях для схемы выплат издержек хранения соответствующие оптимальные стратегии управления запасами, применительно к реальным ситуациям практически совпадают, дальнейшее исследование представим здесь применительно к случаю выплаты таких издержек «пренумерандо», т.е. в начале промежутка времени хранения товара (момента поставки партии i-товаров). Особенность рассматриваемой здесь оптимизационной многономенклатурной модели управления запасами, помимо соответствующей специфики учета временной стоимости издержек/доходов, а также ограничений, задаваемых ЛПР на интенсивности некоторых интересующих его уходящих потоков (из-за ограниченности доступного для ЛПР капитала), состоит также в следующем. Далее считаем, что допускается дефицит каждого вида i-товара, который должен быть покрыт при очередной поставке. Модель учитывает издержки дефицита, причем, как и ранее, они будут представлены в виде издержек или штрафов, которые зависят от длительности промежутка времени до его покрытия (формализуются в виде штрафов за каждую единицу времени дефицита для каждой единицы дефицитного товара). Кроме того, в рамках рассматриваемой здесь модификации модели управления запасами необходимо учесть требование ЛПР, обусловливаемое наличием соответствующего ограничения применительно к задаче оптимизации, которое ЛПР накладывает на максимально допустимое значение интенсивности интересующего его уходящего денежного потока.

51. Особенности моделей управления запасами

Отметим, кратко, что особенности анализа моделей управления запасами (УЗ) обусловливаются, в частности, следующими факторами: характером спроса (процесс реализации запаса в общем случае представляет собой случайный процесс); спецификой требований учета длительностей промежутков времени для процедур пополнения запасов (которые также являются, вообще говоря, случайными величинами); выбором возможного подхода к принятию решений о пополнении запасов, в рамках которого будут предопределяться: объемы приращения запасов, моменты подачи заказов на такое пополнение (включая и моменты поступления заказов); выбором критерия оптимизации работы системы УЗ (минимизация суммарных годовых затрат или издержек; максимизация показателя экономической рентабельности системы; максимизация суммарного чистого приведенного дохода; максимизация интенсивности потока доходов и т.д.); желаниями или требованиями учета временной стоимости денег в рамках таких моделей (учет временной структуры действующих на рынке процентных ставок); спецификой дополнительных атрибутов, которые требуется учитывать в рамках соответствующей структуризации системы управления запасами. Представление модели УЗ случайным процессом. Пусть о(t) - случайный процесс, значения которого соответствуют объему имеющегося запаса в момент времени t. Если начальный запас q0 (q0 = о(0)) задан, то развитие траектории о(t) во времени определяется случайным спросом и соответствующими решениями о пополнении запаса.

52. Особенности стратегий управления запасами

Решения о пополнении запасов в соответствующей системе управления запасами могут быть формализованы различным образом. Представленная ниже схема иллюстрирует это: Здесь моменты подачи заказов ti определяются по запланированным значениям текущего (или, так называемого, календарного) времени (таким образом, ti - задаваемые величины в рамках соответствующего алгоритма управления). Здесь моменты подачи заказов ti определяются “точками” заказов. А именно: как моменты достижения процессом о(t) запланированных уровней состояния запасов (таким образом, ti - случайные величины). Однокомпонентные (однономенклатурные), - это модели, в которых рассматривается только один вид товара или продукта. Альтернативой им являются соответственно многокомпонентные (многономенклатурные) модели. детерминированные, - это модели, в которых все атрибуты или параметры системы определяются как постоянные (без учета факторов случайности); в противном случае, модели - стохастические или вероятностные. дискретные (по времени), - это модели, в которых все изменения состояний системы (расход запаса, моменты его пополнения) происходят в случайные моменты времени, являющиеся целочисленными случайными величинами. СТАТИЧЕСКИЕ (одноразовой закупки), - это модели, применительно к которым соответствующая их специфика предполагает, что возможен только одноразовый заказ на создание запаса. Альтернативой им являются соответственно ДИНАМИЧЕСКИЕ модели. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ (по стратегии управления), - это модели, в которых заказ пополнения запаса производится в конце каждого периода времени длительности Т; если управление пополнения запасов реализуется по состоянию текущих запасов, то такое управление относят к стратегиям с критическими уровнями. ПЛАНИРОВАНИЯ ДЕФИЦИТА, - это модели, в которых априори планируется дефицит, что может быть обусловлено, например, экономическими или другими соображениями. ЗАМЕЧАНИЕ. В общей классификации необходимо учитывать: варианты построения соответствующих систем снабжения; особенности представления спроса в модели; характер задержек при поставках заказов на пополнение запаса; специфику формализации функций затрат на поставки; специфику формализации функций издержек хранения; возможные ограничения; возможные скидки особенности организации управления моментами подачи заказов на пополнение запаса и способы определения объема заказа; дополнительные особенности, обуславливаемые априорной возможностью отсутствия запасов (например, так называемые стратегии планирования дефицита).

53. Задача оптимального выбора объема товара для одноразовой поставки

Указанная задача выбора объема запаса (соответствующего объема одноразовой поставки) формулируется следующим образом ПОСТАВКИ, МАКСИМИЗИРУЮЩИЕ РЕНТАБЕЛЬНОСТЬ (равномерное распределение спроса) Рассмотрим отдельно случай, когда спрос для анализируемого периода одноразовой поставки распределен равномерно на [a; b]. В таком случае (x) = 1/(b - a) для x (a; b) и (x) = 0 для x (a; b). При этом Или После вычисления соответствующих определенных интегралов рассматриваем как функцию переменной q: Задача выбора оптимального объема q* такой одноразовой поставки теперь может y = 1(q) y = (q) qmin y q y = 2(q) быть записана как задача минимизации средних ожидаемых потерь в рентабельности: Легко видеть, что функция (q) (как сумма указанных функций 1(q) и 2(q)) имеет единственную точку минимума qmin, которую находим из уравнения (q) = 0: Таким образом, q2min является средневзвешенным величин a2 и b2 с весами соответственно. Поэтому a2 q2min b2. Другими словами, решение qmin попадает в интервал (a; b). Следовательно, оптимальное значение объема одноразовой поставки q*, максимизирующее ожидаемую рентабельность при случайном спросе, имеющем равномерный закон распределения вероятностей на [a; b], определяется равенством При этом, максимально возможную среднюю ожидаемую экономическую рентабельность находим по приведенной выше формуле для функции переменной q при q = q*.

54. Учет рентабельности при одноразовых поставках

Пусть: q - объем создаваемого запаса (его требуется определить); (x) - плотность распределения вероятностей спроса на (0; ) для анализируемого временного периода; r - рентабельность реализации (для товара, покрывающего спрос); - потери при реализации излишков (в долях от их стоимости); - издержки дефицита (в долях от стоимости товара, не покрывающего спрос); - издержки доставки (в долях от стоимости запаса); h - издержки хранения (в долях от стоимости товара); сП - стоимость единицы товара. Тогда интересующая нас задача учета рентабельности в модели одноразовой поставки может быть представлена традиционной схемой: При этом конечный экономический результат (как случайную величину) можно представить следующим образом: Здесь: S1 = xcП(1+r) - поступления от продаж (для случая x < q); S2 = (q - x)cП(1 - ) - поступления от реализации излишков Подставляя в последнее равенство выражение q0 / z вместо q получаем уравнение относительно z. После очевидных упрощений имеем: . Наконец, учитывая равенство получаем следующее уравнение относительно неизвестного z в области z > 1. Как видим, мы получили уравнение третьей степени относительно неизвестного z (в области z > 1). Это уравнение уже приведено к так называемому «неполному» виду, когда отсутствует член, содержащий z2, т.е. к виду z3 + pz + g = 0. При этом, подчеркнем, что в нашей ситуации имеет место «неприводимый» случай, причем выполняются неравенства p < 0 и g < 0. В такой ситуации удобно для решения уравнения использовать подход тригонометрического метода решения. Тогда интересующий нас корень указанного кубического уравнения (обозначаем его через z0) определяется по формулам (см., например, [Г.Корн, Т.Корн - Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М., Наука, 1974]). Применительно к интересующему нас уравнению получаем формулы, позволяющие находить корень z0. Наконец, при известном значении z0 оптимальная величина размера заказа qопт для рассматриваемой модели управления запасами с учетом временной стоимости денег находится, окончательно, по формуле qопт = q0 / z0. ЗАМЕЧАНИЕ. Обратите внимание на следующий факт. Анализ полученных результатов для оптимальной стратегии управления запасами показывает, что в рамках рассматриваемой модели исследуемый параметр (qопт - оптимальный размер заказа) не зависит от показателя РП, характеризующего прибыль на единицу товара, обеспечиваемую работой соответствующего звена цепи поставок. Действительно, ни значение, ни значение z0, ни значение q0, определяющие интересующий нас показатель qопт, не зависят от величины РП. При этом, само максимальное значение интенсивности потока доходов (целевая функция F в исходной постановке задачи оптимизации), естественно, уже будет зависеть от указанного показателя.

55. Особенности стратегии при выплате издержек хранения в середине периода времени между поставками товаров

В этом случае издержки хранения удобно соотносить с моментом Tоб/2 (середина интервала общих поставок). Соответственно при использовании схемы простых процентов для учета временной стоимости денег потоки уходящих платежей в рамках такой модификации будут представлены следующим образом: * уходящие платежи (соотносимые с началом каждого периода) - C0+ Cопi qi + Cпi qi * уходящие платежи (соотносимые с серединой каждого периода) - Chi qiТоб/2 максимизации интенсивности потока доходов Fmod для модели принимает вид: Fmod max Где Fmod = qiCпi+Pпi- ChiTоб /2 - 1+rTоб /2C0+qiCопi+qiCпi, причем, как и ранее, qi и Tоб связаны равенствами Tоб = qi /Di. Перепишем задачу оптимизации в виде. Теперь простым дифференцированием находим формулу, определяющую оптимальное значение Тоб(mod) длительности периода времени между общими поставками для модифицированной модели с учетом временной стоимости издержек/доходов. Соответственно для оптимальных значений qi*(mod) размеров i-заказов в партии общих поставок в этом случае имеем qi*(mod) = Di Тоб(mod). Полученная формула для Тоб(mod) обобщает соответствующую известную классическую формулу. Рекомендации для оптимальной стратегии управления запасами с учетом временной структуры процентных ставок, как легко видеть из формулы для Тоб(mod), приведут к меньшим объемам партии заказа (в частности, и меньшим размерам i-заказов в партии поставок) и соответственно к более частым поставкам.

56. Особенности стратегии при выплате издержек хранения в конце интервала повторного заказа

Рассмотрим особенности анализируемой стратегии для случая, когда контрактные условия предполагают возможность учёта издержек хранения постнумерандо, т.е. в конце каждого периода времени хранения товара. Соответственно уходящие денежные потоки будут представлены в виде: уходящие платежи, соотносимые с началом периода между поставками - Cо + ?Cопi·· qi + ?Cпi ?qi; уходящие платежи/потери, соотносимые с концом периода между поставками - ?(Chi + rЗ СПi) qi ? Тоб /2. При этом приходящие платежи остаются прежними, а задача максимизации интенсивности потока денежных доходов принимает вид: Fпост max. Через qi*(пост) обозначено оптимальное значение размеров i-заказов в партии общей поставки, а через Тоб*(пост) - оптимальное значение длительности периода времени между общими поставками в рамках модели с учётом временной стоимости денег при выплате издержек хранения постнумерандо. При выплате издержек хранения постнумерандо оптимальный размер заказа qi*(пост) и оптимальный период поставок Тоб*(пост) можно находить по формулам qi*(пост) = Тоб*(пост) ?Di, Тоб*(пост) = Тоб0 / о (пост).

57. Оптимальная стратегия, максимизирующая интенсивность доходов для денежных потоков в системе

Требование максимизации интенсивности потока доходов (обозначим далее такую интенсивность через F ) с учетом временной стоимости денег приводит к задаче максимизации следующей целевой функции F > max, где F = 1/Т •[ППС - УПС - УПН •(1+ r•Т/2)] . Здесь, как это требуется правилами финансового анализа и финансовой математики, соответствующие уходящие платежи УПН начала периода наращены к середине периода времени между поставками (множитель (1+r•Т/2)). Остальные денежные потоки в рамках рассматриваемой модификации модели уже были соотнесены с указанной серединой интервала [0; Т] После некоторых преобразований для нахождения оптимального размера партии заказа получим уже следующую задачу минимизации f(q) > min где f(q)=+q•[Ch+r•(CОП+СП)]. Применительно к рассматриваемой в этой главе модификации модели с учетом временной стоимости денег (по схеме простых процентов с годовой ставкой наращения r) оптимальный размер партии заказа (обозначим его через q* ), максимизирующий интенсивность потока доходов. Как видно из полученной формулы на параметры оптимальной стратегии управления запасами уже влияет величина ставки наращения (r) для учета временной стоимости денег в рамках принятой схемы простых процентов.

58. Модификация классического варианта модели при использовании заемных средств (без учета временной стоимости денег)

Введем необходимые дополнительные обозначения применительно к рассматриваемой здесь модификации модели в рамках анализа рентабельности собственных средств: SCC - сумма собственных средств SЗC - сумма заемных средств rк - годовая кредитная ставка (так называемая средняя заемная ставка процента для используемых заемных средств); НРС - “собственный” годовой нетто-результат (НРС =НР - rк• SЗC); б - отношение заемных средств к собственным (б = SЗC / SCC ), т.е. соответствующее плечо финансового рычага (в терминологии финансового менеджмента); rСС - соответствующий годовой показатель рентабельности собственных средств При использовании заемных средств традиционное представление атрибутов модели, связанное с анализом показателя рентабельности собственных средств rСС. Подчеркнем также, что при анализе показателя рентабельности собственных средств rСС можно использовать хорошо известную в финансовом менеджменте формулу для эффекта финансового рычага: rСС = rЭР + б•( rЭР - rк ), где, напомним, б = SЗC / SCC обозначает заданное плечо финансового рычага, а rк - среднюю заемную ставку процента для используемых заемных средств (кредита). Оптимальное решение при выборе размера партии заказа в данном случае достигается при хорошо известных классических рекомендациях.

59. Учет зависимости издержек доставки от объема заказа (без учета временной стоимости денег)

ОСОБЕННОСТЬ МОДЕЛИ: применительно к базовой модели, дополнительно учитывается, что накладные издержки на поставку товара (С0) могут зависеть от объема заказа. Указанные издержки при такой модификации модели необходимо рассматривать как «ступенчатую» функцию переменной q. А именно, пусть С0(q) представляет такие накладные издержки для модифицированной модели, причем для заказов, начиная с объема q0, такие издержки увеличиваются:. Как видим, в рассматриваемом случае (когда при превышении объема q0 партией заказа накладные расходы на поставку увеличиваются) никаких возможностей для снижения общих затрат нет. ЗАМЕЧАНИЕ. В противном случае, т.е. в случае C01C00); 3)жирная линяя соответствует накладным расходам на доставку С0(q). 66. Зависимость издержек хранения от объёма поставок Эфф-сть работы предприятий различных отраслей зависит от эффективности управления имеющимися запасами. Затраты на хранение слишком больших запасов могут уменьшить доходность предприятия. Поддержание запасов на слишком низком уровне сопряжено с риском возникновения дефицита, остановкой производства. Под запасом понимается всё то, на что имеется спрос и что выключено временно из потребления. Под организацией поставок поним. определение объёмов поставок и периодичность заказов. К издержкам хранения запасов, учитываемых в моделях управления запасами, относятся лишь издержки, зависящие от величины запасов. Например, издержки физического присутствия материальных ценностей на складе (естествен. убыль, плата за производ. фонды) и потери от иммобилизации (не участв. В производстве) средств запасов. Рассм. модель оптим. партии поставки, которая строится на след. предположениях. Спрос н в ед. времени явл-ся постоянным. Заказанная партия доставляется одновременно. Дефицит недопустим. Затраты К на организацию поставки постоянны и не зависят от величины партии q. Издержки содержания ед. продукции за ед. времени составляют S. Динамика уровня запаса I в базовой модели: I q 0 ф 2 ф 3 ф ф Уровень запаса сниж-ся равномерно от q до 0. После чего подаётся заказ на поставку новой партии величины q. Заказ вып-ся мгновенно. Уровень запаса восстанавливается до величины q. Интервал времени между поставками ф назыв. циклом. Издержки в течение цикла Lц состоят из ст-сти заказа К и затрат на содержание запаса, кот. пропорциональны средней величине запаса (I = q/2) и длине цикла ф (ф= q/ н). Тогда: Lц = К+ S*( q/2)*(q/ н). Разделив это выражение на длину цикла ф, получим общие затраты в ед. времени: L=(K* н)/q + S * (q/2).

60. Максимальный размер дефицита

Управление запасами - важная часть общей политики управления оборотными активами предприятия, основная цель которой - обеспечение бесперебойного процесса производства и реализации продукции при минимизации совокупных затрат по обслуживанию запасов. Избыток запасов приводит к увеличению затрат на их хранение, росту налога на имущество, неполучению возможных доходов из-за замораживания финансовых ресурсов в запасах, потерям в результате физической порчи и моральному старению запасов. Дефицит запасов вызывает остановку производства, падение объёмов реализации, в некоторых случаях - необходимость срочно приобретать необходимое сырьё и материалы по завышенным ценам. Следствием является недополучение предприятием возможной прибыли. Максимальный размер дефицита в разл.моделях: 1) модель планирования дефицита с его покрытием при очередной поставке (без учёта времен. ст-сти денег): Где, D - объём годового потребления соотв. товара, С0 - общие накладные расходы на поставку 1 партии товара, Сh - годовые издержки хранения ед. товара, СВ - издержки из-за дефицита на единицу продукции за год; они представляются в виде издержек или штрафов, которые зависят от длительности промежутка времени до покрытия дефицита (формализуются в виде штрафов за каждую единицу времени дефицита для каждой единицы дефицитного товара). 2) модель планирования дефицита без его покрытия при поставках без учёта временной ст-сти денег: Сд - издержки неудовлетворённого дефицита на ед. продукции за год. 3) традицион. многономенклатурная модель планирования дефицита, покрываемого при очередной поставке без учёта времен. ст-сти денег: Где - вектор потребления i-товаров; - вектор с компонентами Chi·CBi/(Chi+CBi); - соответствующее скалярное произведение указанных векторов.

61. Задача оптимизации стратегии управления запасами при выплате издержек хранения пренумерандо

Пусть q- оптимальный объём заказа i-го товара, Тоб - общий период поставки в годах, С0 - общие накладные расходы на поставку 1 партии товара, r - ставка наращения = (D1, D2, …, DN) - вектор годового потребления i-товаров; = (C1, C2, …, CN ) - вектор соответствующих годовых затрат на хранение единицы i-товаров ; - скалярное произведение векторов и, представляющее число, определяемое по формуле = D1 • C1 + D2 • C2 + … + DN • CN ; опп - вектор, равный сумме векторов оп = (Cоп1, Cоп2, …, CопN) и п = (Cп1, Cп2, …, CпN); опп - скалярное произведение векторов и опп. Проведём анализ интересующей нас целевой функции F = F(Тоб) в рамках задачи максимизации интенсивности потока доходов для соответствующей системы управления запасами. Раскрывая скобки в выражении для F (с учетом равенств Тоб = qi/Di ) и упорядочивая слагаемые по степеням Тоб, домножая при этом для удобства на 2, причем опуская слагаемые, которые не зависят от Тоб, и меняя знак целевой функции на противоположный, перепишем задачу оптимизации в виде 2C0 /Тоб Тоб () Тоб r(опп)+ Тоб2 min . Анализируя последнее выражение для целевой функции легко видеть, что в этой записи первое слагаемое (специально выделенное и взятое в квадратные скобки), рассматриваемое как функция переменного Тоб в области Тоб > 0, имеет единственную точку минимума Тоб0 (для нее справедливо равенство Тоб0), для которой справедливы рекомендации, имеющиеся в теории применительно к соответствующей модели, но без учета временной структуры процентных ставок и, соответственно, без учета временной стоимости денег. При этом остальные слагаемые в последней записи соответствующей задачи минимизации, рассматриваемые (отдельно) как функции переменного Тоб в интересующей нас области Тоб > 0 имеют минимум в точке Тоб =0. Заметим, что точка минимума (обозначим ее через Тоб* ) для функции F(Тоб ) окажется расположенной в интервале (0; Тоб0), т.е. левее рекомендуемой в теории точки Тоб0 применительно к модели, когда временная структура процентных ставок не учитывается. Другими словами, оптимальное значение Тоб* длительности периода времени между общими поставками с учетом временной стоимости денег не совпадает с классическими рекомендациями. А именно, - оно всегда будет меньшим, т.е. всегда при учете соответствующих процентных ставок в рамках анализируемой многономенлатурной модели управления запасами выполняется неравенство Тоб* < Тоб0 . При этом, соответственно, и для значений оптимальных объемов i-заказов qi* в поставляемой партии также выполняются неравенства: qi* < qi0, где qi0 - рекомендуемые в теории (без учета временной стоимости денег) объемы i-заказов при общих поставках.