Основы экономико-математического моделирования

62. Оптимальные параметры для стратегии планирования не покрываемого дефицита

Основные понятия и обозначения: D - объём годового потребления соотв. товара, Т- интервал повтор. заказа, оптимизируемая величина, q - размер партии заказа, оптимизируемая величина, Smax - макс. допустимый планир. дефицит продукции, оптимизируемая величина, С0 - общие накладные расходы на поставку 1 партии товара, Сh - годовые издержки хранения ед. товара, Сд - издержки неудовлетворённого дефицита на ед. продукции за год, EOQ - экономичный размер заказа, I/T - ежегодное количество поставок, 1-? - доля времени отсутствия дефицита. Для нахождения оптимальных параметров стратегии управления запасами при планировании дефицита без его покрытия при поставках применительно к традиционной постановке такой задачи оптимизации в теории управления запасами в невырожденном случае Ch>0 и CB >0 можно воспользоваться следующими формулами. Период повторного заказа: Оптимальный размер заказа: или Максимальный размер дефицита: В случае, когда издержки дефицита отсутствуют, (т.е. Cд = 0) задача минимизации суммарных годовых потерь принимает следующий вид: Таким образом, оптимальная стратегия, соответствующая такому случаю оптимизации планируемого дефицита, который не покрывается при поставках товара, дает «вырожденное» решение: *=1 и Т . Другими словами, в такой ситуации для анализируемой модели управления запасами указанное «вырожденное» решение означает отказ от поставок соответствующего товара (издержки дефицита отсутствуют, а суммарные годовые потери будут равными нулю). Снова обратим здесь внимание на то, что если товар будет достаточно рентабельным, то никакого менеджера такое «оптимальное» решение не устроит. Поэтому, естественно, менеджер или лицо, принимающее решения, будет искать как другие критерии, так и другие подходы к оптимизации стратегии планирования дефицита. Целевая функция F = F(Т,г) как функция переменных Т и г имеет вид: F(Т, г) = (1-)D (РП - С0П) - С0 - •Т (1 -г)2 - Т•г2 - - (CП + PП)D •Т (1 - г)2 Далее, меняя знак целевой функции на противоположный и умножая при этом для удобства записи на 2/D, перепишем задачу оптимизации в виде: f(Т,) min, где функция f(Т,) определяется равенством f(Т,) = 2C0 /ТD Т(1 - г)2 •[Ch + d(CП+РП) + Тг2•Сg - 2(1-)(РП - СОП) . Разумеется, при этом f(Т,) уже характеризует соответствующие потери в интенсивности потока доходов при конкретном выборе интервала повторного заказа и параметра, характеризующего «баланс» для промежутков времени дефицита и наличия запасов на таком интервале. закупка деньги пренумерандо

63. Планирование запасов при общих поставках

Создание качественных и комплексных запасов - важнейшая предпосылка и гарантия ритмичности работы предприятия. Запасы материалов на складе принято делить на текущие (переходящие) и страховые (резервные). Рассм. модель планирования запасов при общих поставках без учёта временной ст-сти денег: Особенность модели: учитывается произвольное количество N видов i-товаров (i = ), по каждому из которых планируется свой запас. При этом поставка всех товаров - каждый раз общая, т.е. в партии заказа представлены все виды анализируемых товаров, причем размер заказа для каждого вида i-товара - «свой». Отметим соответствующие атрибуты модели и обозначения: 1) отсутствие запасов по каждому виду i-товаров недопустимо (i = ); 2) спрос на i-товар постоянен; Di - его годовое потребление; 3) поставки общие; 4) Т0 - интервал повторного заказа; 5) затраты на хранение единицы i-товара - Chi (зависят от i-товара); 6) накладные затраты одной поставки - С0 (общие для партии заказа); 7) объем заказа i-товара - qi (в партии общей поставки); 8) ежегодное количество поставок - 1/Т0 (где Т0 - в годах); 9) средний годовой уровень запаса i-товара - qi/2. Величина суммарных годовых затрат опр-ся след. образом:, причем для любого фиксированного Т = T0 имеем: qi = T0 ·Di . Введём дополнительно обозначения, которые помогут в удобном виде формализовать задачу нахождения оптимальной стратегии применительно к многономенклатурной модели управления запасами. А именно, пусть: =(D1,D2,…,DN) - вектор потребления i-товаров =(Ch1,Ch2,…,ChN) - вектор затрат на их хранение; - скалярное произведение этих векторов (напомним, что это - число, которое ищут по формуле = D1 Ch1+ D2 Ch2+ …+ DN ChN ). Задача нахождения оптимальной стратегии: Соответствующая задача теперь может быть рассмотрена как задача минимизации суммарных затрат, представленных функцией СГ(Т0) переменной Т0: СГ(Т0) = Задача свелась к аналогичной задаче для базовой модели управления запасами, что позволяет легко найти основные параметры оптимальной стратегии. А именно, сначала находим оптимальное значение интервала Т0* повторного заказа, затем (с учетом равенств q*i = Di•Т0*) находим оптимальный размер заказа q*i по каждому i-товару. Интервал повторного заказа: (в годах).

64. Анализ при выплате издержек пренумерандо

Пусть знак обозначает соответствующее суммирование по всему анализируемому количеству видов или номенклатуры товаров, т.е. - суммирование по i от 1 до N. Тогда величины рассматриваемых денежных потоков, очевидно, определяются следующим образом: 1) уходящие платежи (соотносимые с началом каждого периода) -- C0 + C0Пi qi + CПi qi + Chi qi Tоб /2 ; подчеркнем, что здесь слагаемое C0 учитывает выплаты в начале периода поставки, обуславливаемые накладными издержками на поставку заказа, которые не зависят от объемов i-товаров в поставляемой партии заказа; слагаемое C0Пi qi учитывает соответствующие издержки на поставку, которые зависят от объемов i-заказов; слагаемое CПi qi учитывает затраты, обуславливаемые стоимостью партии i-заказов; слагаемое Chi qi Tоб /2 представляет издержки хранения на периоде поставки по всей группе товаров, которые, как уже отмечалось выше, соотносим с началом периода поставки, то есть в рамках рассматриваемой модели соответствующие выплаты принимаются пренумерандо; 2) приходящие платежи (соотносимые, в среднем, с серединой каждого периода времени между поставками) -- (CПi + РПi) qi ; здесь СПi qi - «возвращенная» стоимость партии i-заказа после реализации соответствующего товара, а PПi qi - соответствующая прибыль. При равномерном спросе возврат стоимости партии заказа (с соответствующей прибылью), естественно, реализуется по каждому i-товару также равномерно в течение всего периода времени между соседними общими поставками. Поскольку в рамках рассматриваемой здесь модели для учета временной стоимости денег (доходов/издержек) принимается схема начисления простых процентов, то заметим, что, не ограничивая общности, можно соотносить, как уже указывалось и было принято выше, момент прихода всей соответствующей денежной суммы (CПi + РПi)qi именно с серединой интервала между общими поставками.

65. Параметры оптимальной стратегии управления при выплате издержек хранения пренумерандо с учётом временной структуры процентных ставок

Основными параметрами явл-ся оптим. длительность периода времени Тоб* между общими поставками и оптим. размеры i-заказов qi* в партиях поставок. Введём дополнительные обозначения: = (D1, D2, …, DN) - вектор годового потребления i-товаров; = (C1, C2, …, CN ) - вектор соответствующих годовых затрат на хранение единицы i-товаров ; - скалярное произведение векторов и, представляющее число, определяемое по формуле = D1 • C1 + D2 • C2 + … + DN • CN ; опп - вектор, равный сумме векторов оп = (Cоп1, Cоп2, …, CопN) и п = (Cп1, Cп2, …, CпN); опп - скалярное произведение векторов и опп. В рамках рассматриваемой модели далее достаточно указать алгоритм определения оптимального периода времени Тоб* между общими поставками по соответствующей группе товаров. Для его нахождения составим уравнение F(Тоб ) = 0, т.е. уравнение: () r(опп ) Тоб r( ) 2C0 /(Тоб )2 = 0 . Для корня Тоб* этого уравнения имеет место неравенство Тоб*< Тоб0 будем искать оптимальное значение длительности интервала времени между поставками в виде Тоб* = Тоб0 / z, где z >1, Тоб0 - оптимальный период времени между общими поставками, но без учета временной стоимости денег. Подставляя в последнее равенство выражение Тоб / z вместо Тоб получаем: Это - уравнение третьей степени относительно неизвестного z (в области z > 1), которое уже приведено к «неполному» виду, когда отсутствует член, содержащий z2, т.е. к виду z3 + pz + g = 0. Для упрощения расчётов интересующий нас корень кубического уравнения (обозначаем его через z0) определяется по формулам:, где . При известном значении z0 оптимальная величина длительности Тоб* периода времени между общими поставками и оптимальные размеры i-заказов qi*, максимизирующие интенсивность потока доходов и суммарный чистый дисконтированный доход для рассматриваемой модели управления запасами с учетом временной стоимости денег, находятся, окончательно, по формулам Тоб* = Тоб0 / z0 qi* = Тоб* Di . В рамках рассматриваемой модели исследуемые параметры (оптимальная длительность периода времени Тоб* между общими поставками и оптимальные размеры i-заказов qi* в партиях поставок) не зависят от показателей РПi, характеризующих прибыль на единицу i-товара. Действительно, ни значение, ни значение z0, ни значение Тоб0, определяющие интересующий нас показатель Тоб*, не зависят от величин РПi . При этом, само максимальное значение интенсивности потока доходов (целевая функция F в исходной постановке задачи оптимизации) естественно, будет зависеть от указанного показателя.

66. Задача нахождения оптимальной стратегии при минимизации суммарных годовых потерь

Основные обозначения и понятия: Di - годовое потребление i-го товара, T0 - интервал повторного заказа, Сh - затраты на хранение ед. i-го товара, С0 - накладные затраты одной поставки (общие для партии заказа), qi - объём заказа i-го товара, 1/ T0 - ежегодное количество поставок, Определим вектор как сумму векторов:, где - вектор стоимостей i-товаров. - скалярное произведение векторов и, представляющее число, определяемое по формуле = D1 • C1 + D2 • C2 + … + DN • CN; - скалярное произведение векторов и . Соответствующая задача теперь может быть рассмотрена как задача минимизации указанных суммарных годовых потерь, которые представлены следующей функцией переменной Т0: . Интересующая нас задача оптимального управления запасами (с учетом «замороженных» денежных средств, обусловливаемых среднегодовым уровнем стоимости запасов) снова свелась к аналогичной задаче для исходной многономенклатурной модели: требуется только учесть замену показателя на показатель в соответствующей задаче минимизации. Поэтому, для параметров оптимальной стратегии в рамках рассм. модификации модели можно использовать формулы, относящиеся к исходной многономенклатурной модели, причем с использованием указанной замены. Интервал повторного заказа ( для модифицированной модели): Экономичный размер заказа (i-заказа для модифицированной модели): Поскольку скалярные произведения и связаны неравенством <, то рассматриваемая модификация приведет к уменьшению значения оптимального интервала повторного заказа при желании учитывать потери, обусловливаемые «замороженными» денежными средствами, в «среднегодовом уровне» стоимости запасов.

67. Понятие периода регенерации

Понятие периода регенерации рассм. на примере планирования дефицита без его покрытия при поставках с учётом времен. ст-сти денег. Задача оптимизации стратегии управления при выплате издержек хранения пренумерандо: В отличие от классического подхода теории управления запасами задача оптимизации стратегии управления запасами при планировании дефицита, не покрываемого при поставках, рассматривается именно как соответствующая задача финансового анализа или финансового менеджмента. Эта задача состоит в максимизации чистого приведенного дохода для соответствующих уходящих и приходящих денежных потоков, причем на основе использования показателя интенсивности потока доходов (или прибыли). Показатель интенсивности потока доходов удобно ввести (из-за периодического характера денежных уходящих и приходящих потоков с соответствующим периодом, равным Т) как интенсивность потока доходов на одном специально выделяемом периоде регенерации, который периодически многократно повторяется во времени. Определим период регенерации для анализируемой модели системы управления запасами следующим образом: 1) его длительность совпадает с длительностью интервала повторного заказа T; 2) его середина совпадает с началом указанного интервала. При анализе потоков платежей на одном периоде регенерации требуется все рассматриваемые выплаты и поступления привести к одному и тому же моменту времени. В качестве такого момента времени удобно выбрать именно середину периода регенерации (т.е. момент соответствующей поставки). Приведем все денежные потоки (приходящие и уходящие) в рамках одного такого периода к указанному моменту времени. Суммарный полученный результат после умножения на 1Т, даст показатель интенсивности потока доходов (доход за единицу времени). Требование максимизации интенсивности суммарного потока доходов в рамках рассматриваемой модификации модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег и планируемого дефицита приводит к задаче максимизации целевой функции (обозначаем ее через F): F max, где функция F = 1/T [q (CП + PП) •(1 - d t1 /2) - C0 - (C0П+CП) q - Cд S гТ /2 - Ch q t1/2)] q - размер партии заказа (оптимизируемая величина), C0 - накладные расходы на поставку одной партии товара; СП - стоимость единицы товара; РП - прибыль от реализации единицы товара; С0П - издержки доставки единицы товара; Сh - годовые издержки хранения единицы товара; Сд - издержки из-за дефицита на единицу товара за год, t1 и t2 - длительности промежутков времени наличия запасов и дефицита товара соответственно на периоде поставок T; г = t2/T - доля времени наличия дефицита (оптимизируемая величина в рамках модели); (1 - г) = t1/T - доля времени наличия запасов (также оптимизируемая величина).

68. Многономенклатурное планирование дефицита

Рассм. на примере традиционной многономенклатурной модели планирования дефицита, покрываемого при очередной поставке без учёта времен. ст-сти денег. Особенность: допускается дефицит по каждому i-товару, но в момент поставки (общей) партии товаров весь имеющийся дефицит полностью покрывается (удовлетворяется) из объема поставки с учетом соответствующих издержек дефицита. Рассм. невырожденный случай анализа, когда издержки хранения и издержки дефицита не равны нулю, т.е. они заведомо должны учитываться при построении оптимизационной модели, в отличие от вырожденного или граничного случая анализа соответствующей системы управления запасами. Атрибуты математической модели: Si - максимально допустимый дефицит i-товара; CBi - издержки из-за дефицита на единицу i-продукции (за год). t1i и t2i - промежутки наличия запаса и дефицита i-товара на Т; гi = t2i/Т - доля времени наличия дефицита для i-товара; 1-гi = t1i/Т - доля времени наличия запасов для i-товара; рассматривается ситуация применительно к невырожденному случаю анализа, когда Chi >0 и CBi >0, где, Chi - показатель годовых издержек хранения на единицу i-товара. Прежде, чем будут представлены параметры оптимальной стратегии применительно к невырожденному случаю анализа (Chi >0 и CBi >0), напомним, что для каждого i-товара в рамках классического или традиционного аналога модели (без учета временной стоимости денег) параметр гi, когда по этому товару планируется дефицит, при оптимальной стратегии должен быть равен величине: гi = Chi/(Chi+CBi). Таким образом, при построении соответствующей оптимизационной многономенклатурной модели планирования дефицита при управлении запасами для функции общих затрат Chi/(Chi+CBi) представляет оптимальную долю времени отсутствия дефицита по i-товару в рассматриваемой ниже модели. Учитывая равенства гi = Chi/(Chi+CBi), которые выполняются при любом заданном значении интервала повторного заказа Т0, а также с учетом известных оптимальных балансов для промежутков t1i и t2i по каждому i-товару, величина суммарных годовых издержек: Интервал повторного заказа (общий): Экономичный размер заказа (i-товара): Максимальный размер дефицита (i-товара): - вектор потребления i-товаров; - вектор с компонентами Chi·CBi/(Chi+CBi); - соответствующее скалярное произведение указанных векторов.

69. Экономичный размер заказа

Основные предположения

1. Спрос на продукт известен.

2. Время реализации заказа (поставки) известно и постоянно.

3. Получение товара происходит мгновенно.

4. В модели не учитываются оптовые скидки.

5. Дефицит не допускается.

Переменные

· Q * -- оптимальный размер заказа

· C -- издержки размещения заказа

· R -- ежегодный (annual) спрос на продукт

· P -- издержки на покупку единицы продукта

· F -- коэффициент издержек хранения запаса; доля издержек на покупку продукта, который используется в качестве издержек хранения (обычно 10-15 %, хотя при определённых обстоятельствах может устанавливаться на уровне от 0 до 1)

· H -- издержки хранения единицы товара в год (H = PF)

Формула оптимального размера заказа для единственного продукта может быть представлена как точка минимума следующей функции издержек:

Общие издержки = издержки на закупку + издержки размещения заказа + издержки хранения, что соответствует:

Продифференцировав обе части уравнения и приравняв выражение к нулю, получим:

В результате получим:

Решим относительно Q:

Знак (*) означает оптимальный размер заказа.

70. Зависимость издержек от объема поставок

ОСОБЕННОСТЬ МОДЕЛИ: учитывается, что годовые издержки хранения единицы продукции C_h могут зависеть от объема заказа. А именно, пусть для поставляемых партий заказа при их объеме, начиная с q_h, предлагается скидка на издержки хранения.

А именно, пусть дополнительно к атрибутам базовой модели главы 2 задано:

o q_h - пороговое значение размера заказа для получения указанной скидки для издержек хранения;

o С_{h 0} - издержки хранения единицы продукции за год при размере партий поставок меньшем, чем q_h ;

o С_h1 - - издержки хранения единицы продукции за год при размере партий поставок, равном или превышающем пороговое значение q_h.

Издержки хранения при такой модификации модели необходимо рассматривать как соответствующую «ступенчатую» функцию переменной q. А именно, далее принимаем: C_h =C_h(q), причем:

Задача минимизации общих годовых потерь

Соответствующая задача с учетом указанных особенностей модификации базовой модели главы 2 может быть записана следующим образом:

При каждом указанном значении С_h(q) (либо C_h0, либо С_h1) суммарные годовые затраты как функция переменной q и в этой ситуации будут представлены выпуклой вниз линией. Предлагаемая скидка обусловливает тот факт, что составляющая издержек хранения (в суммарных годовых затратах), представленная прямой линией, будет для рассматриваемых случаев иметь различный тангенс угла наклона.

Графическое представление дает рисунок.

Общие затраты (без учета константы C_П ·D): 1) - при тарифе C_h0 для издержек хранения; 2) - при тарифе C_h1 для издержек хранения (C_h1< C_h0); 3) жирная линия соответствует синтезируемому тарифу C_h(q).

Как видно из рис., предлагаемая скидка для издержек хранения может изменить оптимальную стратегию управления запасами (относительно ситуации в рамках базовой модели, когда отсутствует предложение такой скидки). А именно, при q_h ? EOQ_h (в правой части этого неравенства - экономичный размер заказа при тарифе C_h1 для издержек хранения) оптимальный размер заказа q^* всегда будет определяться равенством q^* = EOQ_h. При q_h > EOQ_h для выбора оптимального q^* следует сравнить значения общих годовых затрат в точках q= EOQ₀ (экономичный размер заказа при тарифе C_h0) и q = q_h, выбрав тот вариант, где затраты меньше.

71. Оптимальный размер партии поставки с учетом временной стоимости денег

Рассмотрим отдельно случай, когда случайный спрос на товар для анализируемого периода времени [0; Т], применительно к которому реализуется одноразовая поставка, имеет равномерное распределение вероятностей на [а; в]. Напомним, что в таком случае f(x) = 1/(в - а) для х(а; в) и f(x) = 0 для х (а; в). Следовательно, интересующие нас определенные интегралы будут представлены следующими функциями переменной q:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Заметим, что сумма последних двух найденных выражений составляет

Размещено на http://www.allbest.ru/

Наконец,

.

Поэтому, для среднего ожидаемого суммарного дохода Д(q) к моменту окончания периода времени [0; Т] получаем следующее равенство, представляющее этот показатель как функцию переменной q:

Д(q)=(1+ ) (С_П+Р_П)

Соответственно интересующая нас функция F(q) для анализируемого случая принимает вид

F(q)=(1+ ) (С_П+Р_П)

Избавляясь здесь от выражений (слагаемых), которые не зависят от выбора объема поставляемой партии товара, домножая при этом для удобства записи оставшееся выражение на 2(b-a) и меняя его знак на противоположный, рассмотрим эквивалентную задачу минимизации полученной таким образом функции f(q), т.е. задачу

f(q) > min,

f(q)=

Легко видеть, что здесь первое слагаемое представляет собой линейную функцию (переменной q), а второе - гиперболу. Единственную точку минимума (обозначим ее через q⁰ ) находим из так называемых условий первого порядка (из уравнения ). А именно, опуская промежуточные преобразования (из-за ограниченности объема работы), приведем окончательную формулу для соответствующей точки минимума:

Заметим, что очевидным образом выполняется неравенство q⁰ a. В частности, при отсутствии накладных расходов ( т.е. при С₀ = 0) получаем равенство q⁰ = a. При очень больших накладных расходах ( т.е. в случае С₀ >) может оказаться, что найденный параметр q⁰ окажется большим, чем b, т.е. точка минимума функции f(q) не попадет в область соответствующих ограничений q. Оптимальное значение q^* объема одноразовой поставки в рамках рассматриваемой модели находим с учетом указанных ограничений и отмеченного ранее вида графика оптимизируемой функции.

72. Планирование запасов по товарам отдельно

В качестве условного примера рассмотрим модель с тремя видами продуктов. Необходимые параметры приведены в таблице.

Параметры анализируемых товаров

Продукт	1	2	3
Потребление Di (ед. продукции)	D1 = 12000	D2 = 25000	D3 = 6000
Издержки Chi (у.е./за год)	Ch1 = 0,6	Ch2 = 0,4	Ch3 = 1,2
Издержки C0i (у.е.)	C01 = 20	C02 = 20	C03 = 20
Стоимость ед. товара Cпi (у.е.)	CП1 = 3	CП2 = 2	CП3 = 6

Параметры оптимальных стратегий по i-товарам (отдельно, i=1,2,3) приведены в таблице.

Параметры оптимальных стратегий.

Стратегия	1	2	3
Интервал повт. зак.

Размещено на http://www.allbest.ru/

T1* = 0,0745 (27 дней)	T1* = 0,0632 (23 дней)	T1* = 0,0745 (27 дней)
Объемы поставок qi* : qi* = Di Ti*	q1* = 894	q2* = 1581	q3* = 447
Издержки хранения Xi*: Xi* = Chi qi*/2	X1* = 268,2	X2* = 316,2	X3* = 268,2
Издержки поставок Пi*: Пi* = C0i/Ti*	П1* = 268,2	П2* = 316,2	П3* = 268,2
Стоимость запасов Сзi: Сзi = qi*Cпi/2	СЗ1 = 1341	СЗ2 = 1581	СЗ3 = 1341

Следовательно, при оптимальном управлении запасами по каждому виду товаров отдельно в рамках этого условного примера имеем:

Ш общие накладные расходы на поставки по всем этим товарам составляют 852,6 (у.е.);

Ш общие издержки хранения по всем анализируемым товарам составляют 852,6 (у.е.);

Ш общие (минимально возможные в рамках рассматриваемой модели при независимых поставках этих товаров) суммарные накладные расходы на поставки и суммарные издержки на хранение по всем товарам равны 1705,2 (у.е.);

Ш средняя стоимость запасов по всем анализируемым товарам составляет 4263 (у.е.).

Обратите внимание на совпадение приведенных выше показателей для X_i* и П_i* применительно к каждому виду товара (i=1,2,3). Дайте самостоятельно соответствующее пояснение.

73. Параметры оптимальной стратегии управления с учетом временной структуры процентных ставок

Понятно, что в рамках рассматриваемой модели далее достаточно указать алгоритм определения оптимального размера заказа q_опт. Для его нахождения составим уравнение f'(q) = 0, т.е.

.

Понимая, что для интересующего нас корня q_опт этого уравнения имеет место неравенство q_опт < q₀ будем искать оптимальный размер заказа в виде q_опт = q₀ / z, где z >1, причем здесь величина 1/z показывает, какая именно доля от значения q₀ (экономичного размера заказа, но без учета временной стоимости денег) определяет оптимальное решение (но уже для модели с учетом процентных ставок). Подставляя в последнее равенство выражение q₀ / z вместо q получаем уравнение относительно z:

или

После очевидных упрощений имеем:

Наконец, учитывая равенство получаем следующее уравнение относительно неизвестного z в области z > 1:

.

Как видим, мы получили уравнение третьей степени относительно неизвестного z (в области z > 1). Это уравнение уже приведено к так называемому «неполному» виду, когда отсутствует член, содержащий z², т.е. к виду z³ + pz + g = 0.

При этом, подчеркнем, что в нашей ситуации имеет место «неприводимый» случай, причем выполняются неравенства p < 0 и g < 0. В такой ситуации удобно для решения уравнения использовать подход тригонометрического метода решения. Тогда интересующий нас корень указанного кубического уравнения (обозначаем его через z₀) определяется по формулам (см., например, [Г.Корн, Т.Корн - Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М., Наука, 1974] ) :

.

Применительно к интересующему нас уравнению получаем формулы, позволяющие находить корень z₀:

,

.

Наконец, при известном значении z₀ оптимальная величина размера заказа q_опт для рассматриваемой модели управления запасами с учетом временной стоимости денег находится, окончательно, по формуле

q_опт = q₀ / z₀.

Размещено на Allbest.ru

...