Основы экономико-математического моделирования

ц(q) = 2C0 D/q qCh + q2 Ch /D.

Кроме того, функция ц(q) является выпуклой и имеет единственную точку минимума, которая, кстати, будет находиться левее точки q0 =, дающей решение (по формуле Уилсона) применительно к классической модели управления запасами, не учитывающей особенности рассматриваемой здесь модификации, т.е. не учитывающей временную стоимость денег и не учитывающей предлагаемую скидку.

Функция 0 (q) (верхняя линия) Функция 1 (q) (нижняя линия) q1 q0 * Потери в интенсивности потока доходов q. Иллюстрация зависимости потерь в интенсивности потока доходов от объема партии заказа (условия скидки приемлемы) 0 Для определения оптимального размера партии заказа следует просто сравнивать интенсивности потоков доходов соответственно при q = q0*; при q = q1 и при q = q1*, выбрав тот размер партии заказа из указанных трех возможных вариантов, при котором такая интенсивность будет большей.

23. Оптимизация стратегии управления запасами с учетом временной стоимости денег при выплате издержек хранения в конце интервала повторного заказа

Величины денежных потоков в рамках такой модификации модели определяются следующим образом.

1 Для величины уходящих платежей на одном периоде поставки, которые соотносим с началом (УП(Н)) каждого такого периода, имеем представление

УП(Н) = C0 + C0П(q) q + CП(q) q.

2 Для величины уходящих платежей на одном периоде поставки, которые соотносим с концом (УП(К)) каждого такого периода, имеем представление

УП(К) = Ch q T /2

Задача макс-ии интенсивности потока денежных доходов с выплатой издержек хранения постнумерандно с учётом временн. стоимости денег и предлаг. скидки принимает вид:

Fпост = 1/T [ q (CП(q) + PП(q)) - (1 + r T /2) (C0 + C0П(q) q+ CП(q)q ) +Chq T(1- )/2)],

После преобразований функция Fпост = Fпост(q) как функция переменного q : Fпост(q) = D (РП(q) - С0П(q)) - С0 () - Сh - q (C0П(q) + CП(q)) +q2,

Соотв-щая задача мин. потерь в интенсивности потока доходов с целью макс. чистого дохода в рамках анализируемых логист. процессов может быть представлена в виде fпост(q) = 2C0 D/q qCh + qr(C0П(q) + CП(q)) - q2 Ch /D + 2D (C0П(q) - РП(q))

Таким образом, для модели выплат издержек хранения постнумерандо структура функции fпост(q) при определении оптимального размера партии заказа q0*(пост) оказывается такой же, как и для пренумерандо. Следовательно необходимо сравнивать интенсивности потоков доходов

Fпост(q) при q = q0*(пост) ; при q = q1 и при q = q1*(пост),

выбрав тот вариант организации поставок, где такая интен-сть будет больше. Формулы следующие:

а) при q = q0* (пост) имеем

Fпост(q0*(пост)) = D (РП0 - С0П0 ) - С0 ( ) - Сh - q0*(пост)(C0П0 + СП0) + q0*2(пост);

в) при q = q1 имеем

Fпост(q1) = D (РП1 - С0П1 ) - С0 ( ) - Сh - q1 (C0П1 + СП1) + q12

с) при q = q1*(пост) формула для определения Fпост(q1*) аналогична предыдущей с учетом соответствующей замены q1 на q1*(пост). При этом значение q0*(пост): q0*(пост) = q0 /Z0(пост),

q1*(пост) = q0 /Z1(пост),

24. Оптимизация стратегии управления запасами с учетом временной стоимости денег при выплате издержек хранения в середине интервала повторного заказа

Задача максимизации интенсивности потока денежных доходов для интересующей нас здесь модификации модели (обозначим указанную интенсивность через Fсред) с выплатой издержек хранения в середине интервала повторного заказа, причем с учётом временной стоимости денег и предлагаемой скидки принимает вид:

Fпост = 1/T [ q (CП(q) + PП(q)) - (1 + r ·T /2) (C0 + C0П(q) q + CП(q)q ) +Chq T/2)]

После несложных преобразований (они опускаются из-за ограниченности объема работы) интересующая нас целевая функция Fсред = Fсред(q) как функция переменного q легко приводится к виду

Fсред(q) = D (РП(q) - С0П(q)) - С0 () - Сh - q (C0П(q) + CП(q)) .

Соответствующая задача минимизации потерь в интенсивности потока доходов с целью максимизации чистого приведенного дохода в рамках анализируемых логистических процессов может быть в следующем виде

fсред(q) = 2C0 D/q qCh + qr(C0П(q) + CП(q)) + 2D (C0П(q) - РП(q))

в области q > 0 с учетом отмеченных выше особенностей представлений для функций CП(q), C0П(q) и PП(q).

Если в выражении для fсред(q) формально заменить CП(q), C0П(q) и PП(q) соответственно на конкретные значения CП0, C0П0 и PП0, то получим функцию, которую по аналогии с рассмотренной выше модификацией модели обозначим через ц0 сред(q). Эта функция имеет единственную точку минимума q0*(сред), которую можно находить по формуле, найденной нами в главе 2, но применительно к указанным значениям параметров CП0, C0П0 и PП0 рассматриваемой здесь модели.

Таким образом, для модели выплат издержек хранения в середине интервала повторного заказа структура функции fсред(q) при определении оптимального размера партии заказа q0*(сред) оказывается такой же, как и структура рассмотренной ранее функции f(q) для модели выплат издержек хранения пренумерандо.

а) при q = q0* (сред) имеем

Fсред(q0*(сред)) = D (РП0 - С0П0 ) - С0 ( ) - Сh - q0*(сред)(C0П0 + СП0);

в) при q = q1 имеем

Fсред(q1) = D (РП1 - С0П1 ) - С0 ( ) - Сh - q1 (C0П1 + СП1).

с) при q = q1*(сред) формула для определения соответствующей интенсивности потока доходов Fпост(q1*) аналогична предыдущей, но с учетом требуемой замены q1 на q1*(сред).

25. Модель планирования дефицита с его покрытием при очередной поставке (без учета временной стоимости денег)

ОСОБ-ТЬ: допускается отсутствие запаса для анализируемого товара, более того, при УЗ соответствующий дефицит заранее планируется (т.е. в течение нек-го промежутка времени на интервале повторного заказа товара заведомо не будет). При этом в момент очередной поставки такой дефицит полностью удовлетворяется из объема поставки, причем с учетом соответствующих издержек из-за планируемого дефицита.

Основные понятия и обозначения:

Т - интервал повторного заказа (оптимизируемая величина) q - размер партии заказа (оптимизируемая величина);

S - макс-но допустимый планируемый дефицит продукции (оптим-емая величина);

СВ - издержки из-за дефицита на ед-у продукции за год;

(q-S) - остаток заказа размера q после удовлетворения дефицита в момент очередной поставки партии товара;

t1 и t2 - промежутки наличия запаса и дефицита товара на Т;

г = t2/Т - доля времени наличия дефицита (01);

1-г = t1/Т - доля времени наличия запасов;

D и Ch - параметры базовой модели.

Задача минимизации суммарных потерь

традиционно рассматривается как задача минимизации суммарных годовых издержек/потерь, характеризуемых представленным ниже выражением:

С0 (1/T) + Сh· (q-S)·(1- г)/2 + СB·S· г/2 > min

Параметры оптимальной стратегии:

ПЕРИОД ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА

ОПТИМАЛЬНЫЙ РАЗМЕР ЗАКЗА

МАКСИМАЛЬНЫЙ РАЗМЕР ДЕФИЦИТА

26. Модель планирования дефицита без его покрытия при поставках (без учета временной стоимости денег)

ОСОБ-ТЬ: допускается отсутствие запаса для анализируемого товара, более того, соответствующий дефицит заранее планируется (т.е. в течение нек-ого промежутка времени на интервале повторного заказа товара заведомо не будет). При этом спрос на продукцию на таких промежутках (т.е. промежутках типа t2) не удовлетворяется при поставках, например, принимается, что дефицит будет покрыт “извне” (несмотря на наличие соответствующих издержек из-за такого планируемого дефицита).

Основные понятия и обозначения:

Т- интервал повторного заказа (оптимизируемая величина );

q - размер партии заказа (оптимизируемая величина);

S - макс-но допустимый планируемый дефицит продукции (оптим-мая величина);

D и Ch - параметры базовой модели;

Cg - издержки неудовлетворенного дефицита на единицу продукции за год;

t1 и t2 - интервалы хранение товара и дефицита на Т;

t2/T = г - доля времени наличия дефицита;

S/2 - средний уровень дефицита на t2;

t1/Т = 1-г - доля времени отсутствия дефицита;

q/2 - средний уровень запаса на t1;

1/Т - ежегодное количество поставок (Т - в годах);причем q = t1·D, S= t2·D и S + q = T·D.

27. Оптимальное планирование дефицита с его покрытием при очередной поставке в моделях уз с учетом врем-й стоимости денег

Отметим основные атрибуты модели и используемые далее обозначения:

D - объем годового потребления соответствующего товара;

C0 - накладные расходы на поставку одной партии товара;

СП - стоимость единицы товара;

РП - прибыль от реализации единицы товара;

С0П - издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы;

Сh - годовые издержки хранения единицы товара;

q - размер партии заказа (оптимизируемая величина);

Т - период поставки (в годах), связанный с показателем q равенством Т = q /D (оптимизируемая величина);

r - годовая ставка наращения, действующая на рынке;

учет временной стоимости денег реализуется применительно к схеме простых %ов.

Введем дополнительно следующие обозначения:

S - максимально допустимый дефицит товара (параметр, подлежащий оптимизации); (q - S) - остаток заказа после покрытия дефицита;

СВ - издержки из-за дефицита на единицу товара за год;

t1 и t2 - длительности промежутков времени наличия запасов и дефицита товара соответственно на периоде поставок T;

г = t2/T - доля времени наличия дефицита (оптимизируемая величина);

(1 - г) - доля времени наличия запасов (также оптимизируемая величина).

Величины денежных потоков в рамках такой модели опред-ся следующим образом.

1 для величины уходящих платежей (УПН) на одном периоде поставки, к-ые соотносим с нач.каждого такого периода:

УПН = C0 + q (C0П + CП )+ ( q - S)• Ch t1 /2.

2-для величины приходящих платежей (ППС), к-ые соотносим, в среднем, с серединой каждого периода времени работы с товаром на промежутках отсутствия дефицита,

ППС = (CП + РП) (q - S).

3-для величины приходящих платежей (ППД), связанных с покрытием дефицита и соотносимыми по времени с нач.следующего периода поставки, имеем представление ППД = (CП + РП) S - CB•S•T•г/2.

Оптимальное значение размера заказа q* - Оптимальное значение для уровня максимально допустимого дефицита (S*)

28. Оптимальное планирование дефицита без его покрытия при поставках в моделях управления запасами с учетом временной стоимости денег

Основные атрибуты модели и используемые далее обозначения:

D - объем годового потребления соответствующего товара;

C0 - накладные расходы на поставку одной партии товара;

СП - стоимость единицы товара;

РП - прибыль от реализации единицы товара;

С0П - издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы;

Сh - годовые издержки хранения единицы товара;

q - размер партии заказа (оптимизируемая величина);

Т - период поставки (в годах), связанный с показателем q следующим равенством Т = q /D (оптимизируемая величина);

r - годовая ставка наращения, действующая на рынке;

учет временной стоимости денег реализуется применительно к схеме простых %в. Введем дополнительно следующие обозначения:

S - максимально допустимый дефицит товара (параметр, подлежащий оптимизации); Сg - издержки из-за дефицита на единицу товара за год;

t1 и t2 - длительности промежутков времени наличия запасов и дефицита товара соответственно на периоде поставок T;

г = t2/T - доля времени наличия дефицита (оптимизируемая величина);

(1 - г) = t1/T - доля времени наличия запасов (также оптимизируемая величина). Величины денежных потоков в рамках такой модели определяются след.образом.

1-Для величины уходящих платежей поставки (УПП) на одном периоде поставки, к-ые соотносим с нач.каждого такого периода:

УПП = C0 + q (C0П + CП )+ q•Ch t1 /2.

2 -Для величины приходящих платежей от товара (ППТ), к-ые соотносим, в среднем, с серединой каждого периода времени работы с товаром на промежутках отсутствия дефицита:

ППТ = q • (CП + РП)

3-Для величины уходящих платежей (УПД), обусловливаемых издержками планируемого дефицита на интервале повторного заказа, к-ые соотносятся по времени с концом такого интервала, :

УПД = Cg•S• t2 /2.

Требование максимизации интенсивности суммарного потока доходов в рамках рассматриваемой модификации модели системы УЗ с учетом временной стоимости денег и планируемого дефицита приводит к задаче максимизации следующей целевой функции (F) : F max,где функция

F = 1/T [q (CП + PП) •(1 - d t1 /2) - C0 - (C0П+CП) q - Cg S гТ /2 - Ch q t1/2)]

29. Анализ для спец. случая: издержки дефицита отсут-ют

Рассмотрим отдельно задачу оптимизации такой стратегии применительно к случаю, когда “штрафные” издержки дефицита отсутствуют, т.е. когда в модели априори принимается, что Cg = 0 (нет штрафов из-за непоставленного товара). Подчеркнем, что при этом в неявной форме при оптимизации учитывается только упущенная выгода, что обусловливается значениями соответствующих денежных потоков. В этом случае выражение для f(Т,) соответственно имеет более простой вид:

f(Т,) = +Т(1-)2а - 2(1-)П,

где для сокращения записи использованы обозначения

а = Сh + d(СП + РП), П = РП - СОП (при очевидном требовании а0).

Условия первого порядка (?f/?Т = 0 и ?f/? = 0 соответственно) имеют вид: Оптимальные параметры стратегии УЗ следует искать на границе области допустимых значений переменных и Т. А именно, в таком случае выбор необходимо сделать из двух следующих вариантов:

-либо =0 (дефицит не планируется) и соответственно оптимальный интервал повторного заказа определяется равенством ;

-либо =1 и соответственно Т>? (в этом случае товар не поставляется, - работать с ним не рентабельно). Если при оптимальной стратегии дефицит не планируется (*=0), то остальные параметры оптимальной стратегии определяются равенствами:

Т* = q* = S* = 0.

В случае совместной системы уравнений (для условий первого порядка) оптимальному решению соответствует равенство f=0, а следовательно, и равенство F=0. Другими словами, в указанном случае интенсивность доходов окажется равной нулю, т.е. товар можно не поставлять.

30. Учет издержек дефицита при оптимизации стратегии управления запасами

Анализируя параметры оптимальной стратегии для интересующей нас модели управления запасами сначала рассмотрим отдельно ситуацию, когда (РП - СОП) = 0. Разумеется, эту ситуацию можно упрощенно интерпретировать как такую, когда для анализируемого товара имеет место «нулевая» рентабельность.

Следовательно, в рассматриваемой ситуации имеем: .

Чтобы найти оптимальную стратегию в общем случае поступим следующим образом. В исходное соотношение вместо переменной Т подставим соответствующую формулу, выражающую Т через. После этого возведем обе части такого равенства в квадрат. Получим квадратное уравнение относительно неизвестного. Напомним, кстати, что задача минимизации f(Т,) рассматривается при ограничениях. После упрощений (они опускаются из-за ограниченности объема работы) соответствующее квадратное уравнение, представленное уже по степеням. Обратим теперь внимание на то, что применительно к реальным ситуациям на практике указанное неравенство скорее всего не будет иметь места. Действительно, в этом нетрудно убедиться, если учесть, что годовое потребление (D) может измеряться сотнями или тысячами единиц товара, а штрафные издержки дефицита и издержки хранения на единицу товара (Cg и Ch) могут быть соизмеримы с показателем прибыли. Поэтому, скорее всего, только в случае, когда издержки поставки на единицу товара (СОП) будут очень близки к показателю прибыли (РП) для единицы товара, т.е. в случае, практически не рентабельного товара, неравенство может иметь место. Поэтому для нахождения оптимальной стратегии необходимо сделать выбор из следующих двух возможных вариантов:

1Либо * = 0 (дефицит не планируется) и соответственно оптимальный интервал повторного заказа определяется равенством;

2 Либо * = 1 и соответственно Т>? (товар вообще не поставляется, если это допускается бизнесом, т.к. с ним работать не рентабельно).

Из экономических соображений понятно, что второй из указанных вариантов относится именно к товару с отрицательной рентабельностью. Кроме того, также понятно, что для рентабельных товаров соответствующее решение о планировании дефицита, не покрываемого при поставках, приведет только к снижению показателя интенсивности потока доходов.

Дополнительно отметим также следующие особенности анализируемой оптимальной стратегии применительно к указанным реальным ситуациям.

1 Оптимальный уровень максимально допустимого дефицита (S*) равен нулю.

2 Оптимальное значение г* доли времени наличия дефицита равно нулю.

3 Оптимальное значение (1- г*) доли времени наличия запасов равно 1.

4 Оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия запасов и дефицита предполагает полное отсутствие дефицита.

31. Многономенклатурная модель: общие поставки (без учета временной стоимости денег)

ОСОБЕННОСТЬ модели: учитывается произвольное количество N видов i-товаров (i = ), по каждому из которых планируется свой запас. При этом поставка всех товаров - каждый раз общая, т.е. в партии заказа представлены все виды анализируемых товаров, причем размер заказа для каждого вида i-товара - «свой».

Отметим соответствующие атрибуты модели и обозначения:

отсутствие запасов по каждому виду i-товаров недопустимо (i = );

спрос на i-товар постоянен;

Di - его годовое потребление; поставки общие;

Т0 - интервал повторного заказа;

затраты на хранение единицы i-товара - Chi (зависят от i-товара);

накладные затраты одной поставки - С0 (общие для партии заказа);

объем заказа i-товара - qi (в партии общей поставки);

ежегодное количество поставок - 1/Т0 (где Т0 - в годах);

средний годовой уровень запаса i-товара - qi/2.

32. Реализация принципа временной стоимости денег в классических многономенклатурных моделях стратегий управления запасами

При учете временной стоимости денег решение задачи оптимизации стратегии управления запасами уже будет зависеть (в отличие от классического случая) от конкретной, принятой в рамках модели схемы выплат издержек хранения, что представляется спецификой соответствующих контрактных условий выплат таких издержек. Указанные выплаты могут быть привязаны к различным вариантам таких схем. Можно рассмотреть задачу оптимизации работы многономенклатурной системы управления запасами применительно к следующим модификациям моделей:

1 выплаты издержек хранения в соответствии со схемой анализе «пренумерандо», что применительно к рассматриваемой модели системы управления запасами соответствует реализации таких выплат в момент общей поставки соответствующей партии заказа (т.е. до реализации периода хранения партии товара);

2 выплаты издержек хранения в соответствии со схемой «постнумерандо», что применительно к рассматриваемой модели системы управления запасами соответствует реализации таких выплат в момент общей поставки уже следующей партии заказа (т.е. после реализации периода хранения партии товара);

3 выплаты таких издержек в середине периода времени, в течение которого реализуется хранение партии товара, т.е. в середине периода времени между общими поставками.

Для всех таких модификаций моделей систем управления запасами в качестве критерия оптимизации стратегии управления далее принимается максимизация суммарной интенсивности доходов. При этом, естественно, учитываются все имеющие место в рамках конкретной системы управления запасами уходящие и приходящие денежные потоки, характеризующие анализируемую систему

Атрибуты анализируемой модели

Рассматриваем классическую много продуктовую модель управления запасами с постоянным спросом, общими поставками и с учетом временной стоимости денег. Отметим следующие особенности модели и принимаемые далее обозначения:

N произвольное количество видов или номенклатуры товаров, которые далее называются i-товарами (i = 1, 2, … N);

Di - объем годового потребления соответствующего i-товара;

C0 - общие накладные расходы на поставку одной партии товара;

СПi - стоимость единицы i-товара;

РПi - прибыль от реализации единицы i-товара;

С0Пi - издержки доставки единицы i-товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии;

Сhi - годовые издержки хранения единицы i-товара;

qi - размер партии i-заказа в общей партии поставки (оптимизируемые величины в рамках рассматриваемой модели);

Тоб - общий период поставки (в годах), связанный с показателями qi равенствами Тоб = qi /Di (также оптимизируемая величина);

r - годовая ставка наращения, действующая на рынке; учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется применительно к схеме простых процентов.

Подчеркнем, что в рамках анализируемой здесь модели, применительно к соответствующим денежным потокам, характеризующим работу системы управления запасами, также принимаем следующее: уходящие платежи соотносим с начальными моментами каждого соответствующего периода времени между поставками; приходящие платежи соотносим, в среднем, с серединами таких периодов

Анализ при выплате издержек хранения пренумерандо

Пусть далее знак обозначает соответствующее суммирование по всему анализируемому количеству видов или номенклатуры товаров, т.е. - суммирование по i от 1 до N. Тогда величины рассматриваемых денежных потоков, очевидно, определяются следующим образом:

1 уходящие платежи (соотносимые с началом каждого периода) --

C0 + C0Пi qi + CПi qi + Chi qi Tоб /2

2 приходящие платежи (соотносимые, в среднем, с серединой каждого периода времени между поставками) --

(CПi + РПi) qi

подчеркнем, что здесь СПi qi - «возвращенная» стоимость партии i-заказа после реализации соответствующего товара, а PПi qi - соответствующая прибыль.

33. Задача оптимизации стратегии управления запасами при выплате издержек хранения пренумерандо

Для удобства записи соответствующей задачи введем, дополнительно, следующие обозначения. Пусть

= (D1, D2, …, DN) - вектор годового потребления i-товаров;

= (C1, C2, …, CN ) - вектор соответствующих годовых затрат на хранение единицы i-товаров ;

- скалярное произведение векторов и, представляющее число, определяемое по формуле = D1 • C1 + D2 • C2 + … + DN • CN ;

опп - вектор, равный сумме векторов оп = (Cоп1, Cоп2, …, CопN) и п = (Cп1, Cп2, …, CпN);

опп - скалярное произведение векторов и опп.

Вернемся к анализу интересующей нас целевой функции F = F( Тоб ) в рамках рассматриваемой задачи максимизации интенсивности потока доходов для соответствующей системы управления запасами. Раскрывая скобки в выражении для F (с учетом равенств Тоб = qi /Di ) и упорядочивая слагаемые по степеням Тоб, домножая при этом для удобства на 2, причем опуская слагаемые, которые не зависят от Тоб, и меняя знак целевой функции на противоположный, перепишем задачу оптимизации в виде

2C0 /Тоб Тоб () Тоб r(опп)+ Тоб2 () min

первое слагаемое (специально выделенное и взятое в квадратные скобки), рассматриваемое как функция переменного Тоб в области Тоб > 0, имеет единственную точку минимума Тоб0 (напомним, что для нее справедливо равенство Тоб0, - см. При этом остальные слагаемые в последней записи соответствующей задачи минимизации, рассматриваемые (отдельно) как функции переменного Тоб в интересующей нас области Тоб > 0 имеют минимум в точке Тоб =0.

Теперь нетрудно видеть, что точка минимума (обозначим ее через Тоб* ) для функции F(Тоб ) окажется расположенной в интервале (0; Тоб0), т.е. левее рекомендуемой в теории точки Тоб0 применительно к модели, когда временная структура процентных ставок не учитывается. А именно, - оно всегда будет меньшим, т.е. всегда при учете соответствующих процентных ставок в рамках анализируемой многономенлатурной модели управления запасами выполняется неравенство

Тоб* < Тоб0 .

При этом, соответственно, и для значений оптимальных объемов i-заказов qi* в поставляемой партии также выполняются неравенства

qi* < qi0,

где qi0 - рекомендуемые в теории (без учета временной стоимости денег) объемы i-заказов при общих поставках.

Насколько велико соответствующее расхождение для этих основных параметров стратегии управления запасами и какие возможности для повышения эффективности системы дает учет временной стоимости денег можно будет увидеть из дальнейшего анализа.

Параметры оптимальной стратегии управления при выплате издержек хранения пренумерандо с учетом временной структуры процентных ставок

Понятно, что в рамках рассматриваемой модели далее достаточно указать алгоритм определения оптимального периода времени Тоб* между общими поставками по соответствующей группе товаров. Для его нахождения составим уравнение F(Тоб ) = 0, т.е. уравнение

r(опп ) Тоб r( ) 2C0 /(Тоб )2 = 0

Понимая, что для интересующего нас корня Тоб* этого уравнения имеет место неравенство Тоб* < Тоб0 будем искать оптимальное значение длительности интервала времени между поставками в виде Тоб* = Тоб0 / z, где z >1, причем здесь величина 1/z показывает, какая именно доля от значения Тоб0 (оптимального периода времени между общими поставками, но без учета временной стоимости денег) определяет оптимальное решение для этого показателя (но уже для модели с учетом процентных ставок). Подставляя в последнее равенство выражение Тоб / z вместо Тоб получаем уравнение относительно неизвестного z в области z 1, которое после несложных преобразований приводится к следующему виду:

Это - уравнение третьей степени относительно неизвестного z (в области z > 1), которое уже приведено к «неполному» виду, когда отсутствует член, содержащий z2, т.е. к виду z3 + pz + g = 0. При этом, подчеркнем, что здесь, как и в ситуации главы 2, имеет место «неприводимый» случай, причем выполняются неравенства p < 0 и g < 0. Поэтому далее удобно для решения уравнения использовать подход тригонометрического метода решения.Применительно к интересующему нас уравнению получаем формулы, позволяющие находить корень z0 :,

Где: Наконец, при известном значении z0 оптимальная величина длительности Тоб* периода времени между общими поставками и оптимальные размеры i-заказов qi*, максимизирующие интенсивность потока доходов и суммарный чистый дисконтированный доход для рассматриваемой модели управления запасами с учетом временной стоимости денег, находятся, окончательно, по формулам

Тоб* = Тоб0 / z0

qi* = Тоб* Di

34. Особенности стратегии при выплате издержек хранения в конце интервала повторного заказа

Потоки уходящих платежей будут представлены в виде:

1уходящие платежи, соотносимые с началом периода поставки -

Cо + ?Cопi·· qi + ?Cпi ?qi;

2уходящие платежи, соотносимые с концом периода поставки -

?Chi qi ? Тоб /2.

При этом приходящие платежи остаются прежними, а задача максимизации интенсивности потока денежных доходов (обозначим такую интенсивность через Fпост) для модели с выплатой издержек хранения по схеме постнумерандно с учётом временной стоимости денег принимает вид:

Fпост max,

где, причём, как и ранее, величины qi и Tоб связаны равенствами Тоб =qi /Di. Заметим также, что здесь выплаты ?Сhiqi ? Tоб /2 (относящиеся к концу периода поставки) уже продисконтированы в рамках схемы простых процентов к общему моменту времени учёта всех платежей. А именно, они приведены к середине периода поставки, т.е. к моменту Тоб/2 с учётом соответствующего значения дисконта d = r/(1+r).

При этом будут иметь место неравенства

qi*(пост) < qi0,

Тоб*(пост) < Тоб0,

где через qi*(пост) обозначено оптимальное значение размеров партии i-заказов, а через Тоб*(пост) - оптимальное значение длительности периода времени между общими поставками в рамках модели с учётом временной стоимости денег при выплате издержек хранения по схеме постнумерандо.

При выплате издержек хранения постнумерандо оптимальный размер заказа qi*(пост) и оптимальный период поставок Тоб*(пост) можно находить по формулам

qi*(пост) = Тоб*(пост) ?Di,

Тоб*(пост) = Тоб0 / о (пост),

35. Особенности стратегии при выплате издержек хранения в середине периода времени между поставками товаров

Далее в этом пункте рассмотрим (в кратком изложении) модификацию исходной анализируемой модели для случая, когда контрактные условия для учета издержек хранения предполагают осуществлять их в середине периода времени между поставками партии товара (для среднего хранимого объема товара в течение периода времени между поставками). В этом случае издержки хранения удобно соотносить с моментом Tоб/2 (середина интервала общих поставок). Соответственно при использовании схемы простых процентов для учета временной стоимости денег потоки уходящих платежей в рамках такой модификации будут представлены следующим образом:

* уходящие платежи (соотносимые с началом каждого периода) -

C0+ Cопi qi + Cпi qi

* уходящие платежи (соотносимые с серединой каждого периода) -

Chi qiТоб/2

При этом приходящие платежи в рамках модифицированной модели остаются прежними. Соответственно задача максимизации интенсивности потока доходов Fmod для модифицированной модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег принимает вид:

Fmod max

Fmod = qiCпi+Pпi- ChiTоб /2 - 1+rTоб /2C0+qiCопi+qiCпi,

причем, как и ранее, qi и Tоб связаны равенствами Tоб = qi /Di.

Соответственно для оптимальных значений qi*(mod) размеров i-заказов в партии общих поставок в этом случае имеем

qi*(mod) = Di Тоб(mod).

Полученная формула для Тоб(mod) обобщает соответствующую известную классическую формулу. Действительно, если временная стоимость денег не учитывается (т.е. r =0), то в этом случае формулы для Тоб(mod) и Тоб0 совпадают. В общем случае, когда формула для Тоб(mod) является обобщением формулы для Тоб0. При этом рекомендации для оптимальной стратегии управления запасами с учетом временной структуры процентных ставок, как легко видеть из формулы для Тоб(mod), приведут к меньшим объемам партии заказа (в частности, и меньшим размерам i-заказов в партии поставок) и соответственно к более частым поставкам. Для оценки соответствующего расхождения и иллюстрации возможностей повышения эффективности системы управления запасами за счет учета временной стоимости издержек/доходов при анализе оптимальной стратегии управления запасами в рамках такой модификации модели управления запасами обратимся к условиям рассмотренного выше примера.

36. Модификация многономенклатурной модели: учет средней стоимости запасов при минимизации общих издержек (без учета временной стоимости денег)

ОСОБЕННОСТЬ: дополнительно, в постановке задачи минимизации общих годовых издержек учитывается величина денежных средств, аккумулируемых в запасах по всем видам i-товаров, в среднем, в течении года. При этом, если СПi стоимость единицы i-товара, то СПi·qi/2 - средний годовой уровень стоимости запасов по i-товару. Необходимость хранения запасов (когда дефицит i-товаров не допустим) влечет издержки, обусловливаемые не только их хранением, но и потерями из-за «замороженных» в запасах денежных сумм. Пусть далее показатель rЗ характеризует долю таких потерь относительно средней величины аккумулируемых в запасах «замороженных» денежных средств (например, это - соответствующая депозитная ставка, на основе которой можно характеризовать потери из-за того, что анализируемая сумма не находится на депозитном счете). Тогда интересующая нас составляющая в общей сумме средних годовых потерь в рамках соответствующей рассматриваемой ниже модификации модели будет представлена выражением rЗСПi·qi/2 (например, это - упущенная выгода из-за вынужденного отказа от возможности держать соответствующие денежные средства на депозитном счете). Остальные атрибуты модели и их обозначения - прежние. Указанная величина суммарных годовых потерь для анализируемой модели с учетом указанной особенности определяется выражением: причем для любого фиксированного Т = T0 имеем: qi = T0 ·Di .

Задача нахождения оптимальной стратегии при минимизации суммарных годовых потерь

Соответствующая задача теперь может быть рассмотрена как задача минимизации указанных суммарных годовых потерь, которые представлены следующей функцией переменной Т0: . Как видим, в рамках рассматриваемой модификации интересующая нас задача оптимального управления запасами (с учетом «замороженных» денежных средств, обусловливаемых среднегодовым уровнем стоимости запасов) снова свелась к аналогичной задаче для исходной многономенклатурной модели: требуется только учесть замену показателя на показатель в соответствующей задаче минимизации. Поэтому, для параметров оптимальной стратегии в рамках интересующей нас модификации модели можно использовать приведенные ранее формулы, относящиеся с исходной многономенклатурной модели, причем с использованием указанной замены.

37. Реализация принципа временной стоимости денег в многономенклатурных моделях управления запасами с учетом потерь от «замороженных» в товарах ден. средств

Рассматриваем классическую многопродуктовую модель управления запасами с постоянным спросом, общими поставками и с учетом временной стоимости денег. Напомним, что необходимость хранения запасов (когда дефицит i-товаров не допустим) влечет издержки, обусловливаемые не только их хранением, но и потерями из-за «замороженных» в запасах денежных сумм. Отметим следующие особенности модели:

N произвольное количество видов или номенклатуры товаров, для которых реализуются общие поставки и которые далее называются соответственно i-товарами (i = 1, 2, … N);

Di - объем годового потребления соответствующего i-товара;

C0 - накладн. расходы на поставку одной партии тов-а, не зависящие от V партии ; СПi - стоимость единицы i-товара;

РПi - прибыль от реализации единицы i-товара;

С0Пi - издер. доставки ед. i-товара, не включающие накладные расходы на поставку; Сhi - годовые издержки хранения единицы i-товара;

qi - размер i-заказа в партии при общих;

Тоб - общий период поставки (в годах), связанный с показателями qi равенствами Тоб = qi /Di (также оптимизируемая величина);

r - годовая ставка наращения, действующая на рынке;

учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется в рамках схемы простых процентов.

rЗ - показатель, который характеризует годовую долю потерь относительно величины аккумулируемых в запасах «замороженных» денежных средств (например, это - соответствующая годовая депозитная ставка, на основе которой можно характеризовать потери из-за того, что анализируемая сумма не находится на депозитном счете).

Требование максимизации интенсивности суммарного потока доходов при общих поставках по всей группе товаров в рамках рассматриваемой модификации модели системы управления запасами с учетом потерь из-за «замороженных» в запасах денежных средств, а также с учетом временной стоимости денег приводит к задаче максимизации следующей целевой функции (обозначаем ее через F):

F = 1/Tоб [ qi (CПi + PПi) - (1 + r Tоб /2) (C0 + C0Пi qi + CПi qi + rЗ CПi qi Tоб /2 + Chi qi Tоб /2)],

Сравним анализируемую модель с классическим её аналогом

F0 (Тоб ) = Di (CПi + PПi)

Легко видеть, что такая задача оптимизации (как частный случай поставленной выше задачи максимизации интенсивности доходов для рассматриваемой модификации модели системы управления запасами) полностью эквивалентна задаче минимизации годовых потерь в рамках представленного в начале главы классического варианта модели (без учета временной стоимости денег).

38. Модификация модели при выплате издержек хранения в середине периода времени между поставками товара

Рассмотренная выше исходная модель предполагала, что выплаты издержек за хранение товара реализуются пренумерандо (т.е. в начале периода поставки). Далее в этом пункте рассмотрим (в кратком изложении) модификацию исходной анализируемой модели для случая, когда контрактные условия для учета издержек хранения предполагают осуществлять их в середине периода времени между поставками товара. В этом случае издержки хранения удобно соотносить с моментом Tоб/2 (середина интервала между поставками). Соответственно при использовании схемы простых процентов для учета временной стоимости денег потоки уходящих платежей в рамках такой модификации будут представлены следующим образом:

* уходящие платежи (соотносимые с началом каждого периода) -

C0+ Cопi qi + Cпi qi

* уходящие платежи/потери (соотносимые с серединой каждого периода) -

(Chi +rЗCПi)qiТоб/2

При этом приходящие платежи в рамках модифицированной модели остаются прежними. Соответственно задача максимизации интенсивности потока доходов Fmod для модифицированной модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег принимает вид: Fmod max

Fmod = qiCпi+Pпi - (Chi + rЗCПi )Tоб /2 - 1+rTоб /2C0+qiCопi+qiCпi,

причем, как и ранее, qi и Tоб связаны равенствами Tоб = qi /Di. Перепишем задачу оптимизации в виде. Теперь простым дифференцированием находим формулу, определяющую оптимальное значение Тоб(mod) длительности периода времени между общими поставками для модифицированной модели с учетом временной стоимости издержек/доходов.

Соответственно для оптимальных значений qi*(mod) размеров i-заказов в партии общих поставок в этом случае имеем qi*(mod) = Di Тоб(mod).

Полученная формула для Тоб(mod) обобщает представленную в начале главы формулу, соответствующую традиционному подходу к управлению запасами без учета временной стоимости денег. Действительно, если временная стоимость денег не учитывается (т.е. r =0), то в этом случае формулы для Тоб(mod) и Тоб0 просто совпадают. В общем случае, когда формула для Тоб(mod) является обобщением формулы для Тоб0. При этом рекомендации для оптимальной стратегии управления запасами с учетом временной структуры процентных ставок, как легко видеть из формулы для Тоб(mod), приведут к меньшим размерам партии заказа и соответственно к более частым поставкам.

39. Традиционная многономенклатурная модель планирования дефицита, покрываемого при очередной поставке (без учета временной стоимости денег).

ОСОБЕННОСТЬ: допускается дефицит по каждому i-товару, но в момент поставки (общей) партии товаров весь имеющийся дефицит полностью покрывается (удовлетворяется) из объема поставки с учетом соответствующих издержек дефицита. Оставим прежними обозначения, принятые нами ранее. Дополнительные атрибуты математической модели:

Si - максимально допустимый дефицит i-товара;

CBi - издержки из-за дефицита на единицу i-продукции (за год). t1i и t2i - промежутки наличия запаса и дефицита i-товара на Т;

гi = t2i/Т - доля времени наличия дефицита для i-товара;

1-гi = t1i/Т - доля времени наличия запасов для i-товара;

рассматривается ситуация применительно к невырожденному случаю анализа, когда Chi >0 и CBi >0, где, напомним, Chi - показатель годовых издержек хранения на единицу i-товара.

Прежде, чем будут представлены соответствующие параметры оптимальной стратегии Для каждого i-товара в рамках классического или традиционного аналога модели (без учета временной стоимости денег) параметр гi, представляющий долю времени, когда по этому товару планируется дефицит, при оптимальной стратегии должен быть равен величине

гi = Chi/(Chi+CBi)

Таким образом, при построении соответствующей оптимизационной многономенклатурной модели планирования дефицита при управлении запасами для функции общих затрат удобно сразу же учесть эту особенность (соответственно далее величина CBi/(Chi+CBi) представляет оптимальную долю времени отсутствия дефицита по i-товару.

40. Постановка задачи оптимального планирования дефицита в многономенклатурных моделях управления запасами с учетом временной стоимости денег

Особенности модели и основные обозначения. Анализируется классическая многопродуктовая модель управления запасами с постоянным спросом и с учетом временной стоимости денег применительно к стратегии планирования дефицита с его покрытием при очередной поставке. Отметим основные атрибуты модели и используемые далее обозначения: N - количество анализируемых видов товаров, называемых далее i-товарами (i = 1 N); Di - объем годового потребления соответствующего товара; C0 - накладные расходы на поставку одной партии заказа; СПi - стоимость единицы товара; РПi - прибыль от реализации единицы товара; С0Пi - издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии; Сhi - годовые издержки хранения единицы товара; qi - размер партии заказа (оптимизируемая величина в рамках рассматриваемой модели); Т0 - общий период поставки (в годах), связанный с показателями qi равенствами Т0 = qi /Di (также оптимизируемые величины); r - годовая ставка наращения, действующая на рынке; учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется применительно к схеме простых процентов. Введем дополнительно следующие обозначения: Si - максимально допустимый дефицит для i-товара (параметр, подлежащий оптимизации); (qi - Si) - остаток заказа для i-товара после покрытия дефицита; СВi - издержки из-за дефицита на единицу i-товара за год (этот показатель позволяет учитывать именно такие потери из-за дефицита i-товара, которые зависят именно от длительности промежутка времени до покрытия соответствующего дефицита); напомним, что далее рассматриваем невырожденный случай анализа, когда СВi > 0; t1i и t2i - длительности промежутков времени наличия запасов и дефицита соответственно на периоде поставок T0 для i-товара; гi = t2i/T0 - доля времени наличия дефицита (оптимизируемая величина в рамках модели) для i-товара; (1 - гi) - доля времени наличия запасов (также оптимизируемая величина) для i-товара. В данной задаче уходящие платежи соотносятся с начальными моментами каждого периода времени между поставками товара. Приходящие платежи по товару на периодах отсутствия дефицита соотносим, в среднем, с серединами таких периодов наличия запасов. Приходящие платежи для товаров, покрывающих дефицит (с учетом соответствующих издержек дефицита) соотносим с моментом покрытия дефицита. Пусть знак, как и ранее, обозначает соответствующее суммирование по всему анализируемому количеству видов или номенклатуры i-товаров, т.е. - суммирование по i от 1 до N. Тогда величины денежных потоков в рамках такой модели определяются следующим образом: для величины уходящих платежей (УПН) на одном периоде поставки, которые соотносим с началом каждого такого периода, имеем представление: УПН = C0 + qi (C0Пi + CПi )+( qi - Si)• Chi t1i /2. Здесь слагаемое C0 учитывает выплаты в начале периода поставки, обуславливаемые накладными издержками на поставку заказа, которые не зависят от объема товара в поставляемой партии заказа; слагаемое qiC0Пi учитывает соответствующие издержки на поставку, которые зависят от объема заказа каждого i-товара; слагаемое qi CПi учитывает затраты, обусловливаемые стоимостью партии заказа; множители (qi - Si)/2 в последнем слагаемом учитывают количество единиц i-товара, которые имеются, в среднем, на промежутке времени хранения запасов (применительно к одному периоду поставок), а множители Chit1i учитывают издержки хранения на одну единицу i-товара для указанного промежутка времени. для величины приходящих платежей (ППСi), которые соотносим, в среднем, с серединой каждого соответствующего периода времени работы с i-товаром на промежутках отсутствия дефицита для такого i-товара, имеем представление ППСi = (CПi + РПi) (qi - Si). (qi - Si)CПi - «возвращенная» стоимость i-товара в заказе после его реализации, а (qi - Si)РПi - соответствующая прибыль. для величины приходящих платежей (ППД), связанных с покрытием дефицита и соотносимыми по времени с началом следующего периода поставки, имеем представление ППД = (CПi + РПi) Si - T0 •CBi•Si• гi/2. Здесь каждое отдельное слагаемое вида (CПi + РПi)S характеризует величину поступлений для i-товара объемом Si, которые имели бы место без издержек дефицита; величина T0 •CBi•Si•гi /2 - суммарные потери из-за дефицита, связанные с издержками за каждую единицу времени дефицита для каждой единицы дефицитного i-товара на периоде поставки. Вся указанная денежная сумма (ППД) соотносится с моментом покрытия дефицита при очередной общей поставке партии товара.

41. Оптимизация соответствующей стратегии управления: выплата издержек хранения пренумерандо

Классический подход к оптимизации стратегий управления запасами предполагает нахождение такой стратегии, при которой минимизируются суммарные (годовые) издержки на поставку и хранение товаров. В данной главе в отличие от классического подхода интересующая нас задача оптимизации стратегии управления запасами рассматривается как задача максимизации вводимого ниже показателя интенсивности потока доходов (или прибыли). Показатель интенсивности потока доходов для систем управления запасами рассматриваемого типа вводим (из-за периодического характера денежных уходящих и приходящих потоков с соответствующим периодом, равным выбираемому интервалу повторного заказа при общих поставках Т= Т0) как интенсивность потока доходов на одном так называемом периоде регенерации. Для этого определим указанный период регенерации для анализируемой многономенклатурной модели системы управления запасами следующим образом: его длительность совпадает с длительностью выбираемого периода общей поставки Т= T0; при этом его середина совпадает с началом периода поставки. Тогда, поскольку временная стоимость денег для уходящих и приходящих потоков платежей учитывается по схеме простых процентов, интересующие нас денежные потоки применительно к введенному таким образом периоду регенерации можно будет представить соответственно рисунком 9.3. Требование максимизации интенсивности суммарного потока доходов в рамках рассматриваемой модификации модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег и планируемого дефицита приводит к задаче максимизации следующей целевой функции (обозначаем ее через F): F max, t12/2 T0/2 T0 3T0/2 O Время Период регенерации УПН ППД ППС2. Соответствующая точка максимума определит оптимальное значение интервала повторного заказа T0*, при котором интенсивность потока доходов будет наибольшей. Обратим внимание на то, что здесь, как это требуется принципами финансового анализа и финансовой математики, соответствующие платежи уже приведены к общему моменту времени. А именно, - они приведены к моменту общей поставки партии товаров. Поэтому приходящие платежи, соотнесенные с серединой периода времени наличия запасов, дисконтированы с учетом дисконта d = r/(1+r) к указанному моменту. При этом напомним, что в соответствии с принятыми выше обозначениями параметр Т измеряется в годах, так что соответствующую размерность имеет и представленный здесь показатель F интенсивности потока доходов.

42. Сравнение с традиционными рекомендациями теории

Для сравнения с известным традиционно используемым результатом модели планирования дефицита с его покрытием при очередной поставке в рассматриваемом невырожденном случае, но для ситуации, когда временная стоимость денег не учитывается, обратим внимание на следующее. При r=0 (соответственно и d=0) все атрибуты и параметры полученного оптимального решения соответствуют известным традиционным рекомендациям (см., например, формулы, представленные в начале этой главы). При этом для ситуации, когда временная стоимость денег учитывается (т.е. при r>0 и соответственно d>0), расхождение с такими традиционными рекомендациями модели планирования дефицита становятся очевидными. В частности, оптимальный баланс для длительностей промежутков времени наличия дефицита и наличия запасов при учете временной стоимости денег оказывается (применительно к каждому i-товару) более предпочтительным для промежутков наличия дефицита. Это легко видеть из приведенной выше формулы, определяющей отношение гi*/(1-гi*). Соответственно изменятся и рекомендации для параметров Si * и qi * (см. также приведенные выше формулы). А именно: полученные в этой работе формулы для qi * и Si * очевидным образом иллюстрируют следующий факт. При учете временной структуры процентных ставок (r > 0) оптимальный размер заказа для стратегии планирования дефицита должен быть меньшим, чем этого требует общепринятая формула для этого показателя (см. формулы начала этой главы) на основе традиционных рекомендаций. Кроме того, оптимальное значение максимально допускаемого дефицита, в свою очередь, должно быть большим, чем этого требует соответствующая общепринятая формула для такого показателя на основе указанных традиционных рекомендаций. Полученные здесь результаты для стратегии планирования дефицита применительно к многономенклатурной модели управления запасами можно представить, кратко, в более удобном для расчетов виде следующим образом. Пусть - вектор годового потребления i-товаров; - вектор, компоненты *i которого определяются формулами *i =(Chi+d(CПi+PПi))/(Chi+CBi+ d(CПi+PПi)), ; - вектор, компоненты СBi которого определяются формулами СBi = CBi·*i, ; - соответствующее скалярное произведение указанных векторов. Тогда параметры оптимальной стратегии управления запасами для рассматриваемой модели можно определять по следующему алгоритму. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЕРИОД ПОВТОРНОГО ЗАКАЗА при общих поставках - по формуле . ЭКОНОМИЧНЫЙ РАЗМЕР ЗАКАЗА (i-товара) при общих поставках - по формуле . МАКСИМАЛЬНЫЙ РАЗМЕР ДЕФИЦИТА (i-товара) при общих поставках - по формуле . Для иллюстрации предложенного алгоритма нахождения параметров оптимальной стратегии управления запасами рассматриваемой модификации модели планирования дефицита (с учетом временной стоимости денег), а также для иллюстрации изменения таких параметров по сравнению с рекомендациями традиционного подхода (без учета временной стоимости издержек/доходов) рассмотрим следующую условную ситуацию с тремя видами продуктов.

...