Математизация почвоведения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Математизация науки. Математизация почвоведения

МАТЕМАТИЗАЦИЯ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ -- процесс применения понятий и методов математики в естественных, технических и социально-экономических науках для количественного анализа исследуемых ими явлений. Хотя математизация научного знания началась давно, но только в период современной научно-технической революции приобрела большой размах и значение. Наряду с традиционными областями применения математики, какими являются механика, астрономия, физика и химия, ее методы стали проникать в такие отрасли науки, которые раньше считались не поддающимися математизации ввиду их особой сложности (биология, экономика, социология, лингвистика и др.).

Как и любая другая модель, математическая модель, во-первых, отображает некоторые существенные свойства и отношения оригинала, во-вторых, в точно определенном смысле замещает его и, в-третьих, дает новую информацию о нем. Однако в отличие от материальных моделей они являются разновидностями концептуальных моделей, которые отображают количественно-структурные отношения исследуемых процессов и являются оперативно-символическими по характеру применения. Часто такое моделирование характеризуют как искусство применения математики, причем перевод существенных факторов исследуемых явлений на язык математики считают самой трудной стадией моделирования.

Математизация почвоведения, интенсивно идущая последние 30 - 40 лет и несомненно являющаяся естественным результатом развития, с одной стороны, самого почвоведения, а с другой - математики и вычислительной техники, была предугадана гением В.В. Докучаева, связавшего превращение созданной им науки в точную с возможностью, в частности, преодоления тех трудностей, которые возникают в связи с необходимостью иметь дело с переменными величинами, трудно поддающимися "цифровому обозначению" (Докучаев, 1886). К мысли о статистической природе свойств почв почвоведы пришли давно и по крайней мере до того, как статистические методы анализа данных нашли применение в исследовании почв. Отражением этих представлений, например, явилась дискуссия по целесообразности использования смешанных образцов

2. Системный анализ и его основные понятия (Система и ее основные свойства, элемент, внутренний состав системы, окружающая среда, структура системы, закон функционирования, модель системы)

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ - совокупность методов и средств, используемых при исследовании и конструировании сложных и сверхсложных объектов, прежде всего методов выработки, принятия и обоснования решений при проектировании, создании и управлении социальными, экономическими, человеко-машинными и техническими системами.

Система - совокупность элементов, которая обладает следующими признаками:

связями, которые позволяют посредством переходов по ним от элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности;

свойством, отличным от свойств отдельных элементов совокупности.

Элемент - некоторый объект (материальный, энергетический, информационный), который обладает рядом важных для нас свойств, но внутреннее строение (содержание) которого безотносительно к цели рассмотрения.

Структура - относительно устойчивая фиксация связей между элементами системы. Структуры делятся на простые и сложные в зависимости от числа и типа взаимосвязей между элементами.

Целостность системы - это ее относительная независимость от среды и других аналогичных систем.

Эмерджентность - несводимость (степень несводимости) свойств системы к свойствам элементов системы.

Под поведением (функционированием) системы будем понимать ее действие во времени. Изменение структуры системы во времени можно рассматривать как эволюцию системы. Цель системы - предпочтительное для нее состояние. Целенаправленное поведение - стремление достичь цели. Обратная связь - воздействие результатов функционирования системы на характер этого функционирования. Если обратная связь усиливает результаты функционирования, то она называется положительной, если ослабляет - отрицательной.

МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ математический или физический аналог реальной системы, в котором характер протекания основных процессов подобен протеканию таких же процессов в реальной системе

Практически любой объект с определенной точки зрения может быть рассмотрен как система. Вопрос состоит в том, насколько целесообразна такая точка зрения.

3. Математическое моделирование как научная методология. Множественность моделей. Интерпретация моделей. Анатомия математических моделей (переменные состояния, внешние переменные, контролирующие переменные, математические уравнения, параметры, универсальные константы). Вычислительный эксперимент

Под математическим моделированием понимают описание в виде уравнений и неравенств реальных физических, химических, технологических, биологических, экономических и других процессов. Как методология научных исследований математическое моделирование сочетает в себе опыт различных отраслей науки о природе и обществе, прикладной математики, информатики и системного программирования для решения фундаментальных проблем. Математическое моделирование объектов сложной природы - единый сквозной цикл разработок от фундаментального исследования проблемы до конкретных численных расчетов показателей эффективности объекта. Результатом разработок бывает система математических моделей, которые описывают качественно разнородные закономерности функционирования объекта и его эволюцию в целом как сложной системы в различных условиях. Вычислительные эксперименты с математическими моделями дают исходные данные для оценки показателей эффективности объекта. Поэтому математическое моделирование как методология организации научной экспертизы крупных проблем незаменимо при проработке народнохозяйственных решений. (В первую очередь это относится к моделированию экономических систем).

Множество математических моделей можно разделить на две большие группы: аналитические модели, в которых для определения значения переменных состояния модели могут быть получены аналитические выражения, позволяющие для любых входных функций и начальных условий непосредственно определять значения интересующих нас величин, и имитационные модели, в которых ЭВМ является принципиально необходимым аппаратом исследования, так как значения переменных состояния модели рассчитываются по входным и начальным данным с помощь» набора математических операций, записанных в виде машинной программы.

После того как модель исследована, возникает задача ее интерпретации, т.е. перевода утверждений, полученных относительно модели, на утверждения относительно системы-оригинала. Интерпретация модели не является строго однозначной, так как разобравшись в менее сложной системе, нужно применить полученные результаты к более сложной. Поэтому при разработке математических моделей почвенных процессов нужно помнить, что они должны быть хорошо интерпретируемы.

переменные состояния (х1->переменные состояния->у1) - внутренние (промежуточные) переменные, совокупность которых полностью характеризует свойства системы;

внешние переменные (х1) , характеризующие внешние воздействия на входы системы;

контролирующие переменные (y1) представляющие те реакции на внешние воздействия и те состояния системы, которые интересны для исследователя.

Математические уравнения - абстрактные формализованные представления закономерностей поведения реальной системы. (то что происходит в переменных состояниях)

Параметры - условия в которых все происходит

Постоянные константы- закономерности.

Под вычислительным экспериментом понимают создание и изучение математических моделей на ЭВМ. Необходимо изучить поведение, т.а. решить входящие в нее уравнения при различных значениях параметров, управляющих исследуемыми процессами. Модель должна быть доброкачественной т.е. правильно отражать те особенности изучаемых процессов, которые интересуют исследователя. Информация заложенная в модель, должна- быть надежной. Если модель реалистична, то исследователь получает возможность, проводя вычислительный эксперимент как бы изучать саму природу. Вычислительный эксперимент похож на обычный. На ЭВМ (экспериментальной установке) проводится серия расчетов (измерений), в результате которых исследователь получает совокупность чисел, описывающих поведение изучаемой системы. На заключительном этапе проводится анализ результатов, сопоставление их с данными натурных экспериментов и становится ясно, удачно ли выдрана модель. При необходимости она уточняется и "цикл" вычислительного эксперимента повторяется снова.



4. Особенности почвы как объекта моделирования. Сложность, открытость, динамичность, нелинейность, иерархичность, пространственно-временная гетерогенность. Сложный характер взаимодействия с окружающей средой

Важные особенности почвы как объекта моделирования: 1) высокая сложность и иерархичность строения, 2) незамкнутость, 3) влияние внешей среды, 4) целостность, 5) динамичность, 6) нестационарность, 7) инерционность, 8) нелинейность.

Сложность. Современное генетическое почвоведение исходит из понятия о почве как об очень сложной структурной системе, состоящей из множества иерархических подсистем, и в свою очередь являющейся подсистемой в системе более высокого уровня - экосистеме. С математической точки зрения сложность строения системы означает, что ее нельзя описать каким-нибудь одним параметром. Описание ее состояния требует задания многих характеристик. На математическом языке это формулируется так: фазовое пространство системы многомерно.

Открытость. Почва является открытой системой, т.е. находится в состоянии постоянного обмена веществом и энергией с округающей средой. Отсюда следует вывод о необходимости совместного моделирования как почвенных процессов, так и процессов в окружающей среде.

Нелинейность. Нелинейность почвы обусловлена нелинейным характером подавляющего большинства ее внутренних и внешних связей. С нелинейностью почвы связаны значительные трудности при моделировании почвенных процессов. Все вышесказанное свидетельствует о том, что по сложности внутреннего строения и по количеству и разнообразии внутренних и внешних связей, почва относится к числу наиболее сложных природных систем, чем и обусловлены большие трудности, возникающие на пути математического моделирования в почвоведении.

Иерархичность. Почва имеет структуру.

Пространственно-временная гетрогенность. Почва разделена по времени и месту формирования, условиям.

Сложный характер взаимодействия с окр.средой. Почва находится в непрерывном взаимодействии с окружающей средой. Это взаимодействие характеризуется большим числом разнообразных связей. Связи системы с внешней средой в целях анализа подразделяют на элементы, именуемые .факторами и условиями окружающей среды. Факторам среды свойственна динамичность, тогда как стабильные, не изменяющиеся во времени воздействия, называются условиями среды (Куркин, 1976). Многим связям почвы с окружающей средой свойственна динамичность, носящая крайне сложный характер. Следовательно окружающая среда, в которую "погружена" почва является полифакторной. Монодоминантность возникает, если один из факторов, находясь либо в максимуме, либо наоборот, в минимуме, оказывает на систему столь сильное влияние, что подавляет действие всех остальных факторов (низкая температура в тундре, недостаточная влагообесиеченность в сухих степях и т.п.). Синергизм - взаимоусиление действия на систему двух или более факторов. Например, высокий уровень залегания грунтовых вод и их высокая минерализация приводит к засолению почв. Антагонизм - взаимокомпенсация действия на систему двух или большего числа факторов. Например, влияние повышенной температуры на испарение влаги из почвы может быть в значительной степени компенсировано высокой относительной влажностью воздуха. Математическое следствие: модель почвы должна содержать много параметров, характеризующих полифакторную внешнюю среду, в которой она Функционирует.

Возможные цели моделирования.

Моделирование высвечивает пробелы в наших знаниях об исследуемой системе и следовательно модели могут играть важную роль в планировании новых наблюдений и экспериментов. Математические модели могут служить целям интеграции информации об изучаемой системе, так как позволяют связать в единое целое результаты отдельных локальных исследований, перевести их на единый математический язык и эффективно использовать при решении поставленной задачи. Очень часто модели строят с целью прогнозирования последствий тех или иных антропогенных воздействий на изучаемые системы.

5. Классификация моделей по Федорову и Гильманову (концептуальные - математические; аналитические-численные; дискретные -непрерывные; статические -динамические; точечные- пространственные; етерминированные- стохастические)

По типу реализации модели различаются на реальные и идеальные/ К первой группе относятся натурные и аналоговые модели. Трудности, возникающие в работе с этими моделями, связаны с установлением степени их адекватности к системе оригиналу, а также часто носят технический характер. Идеальные модели подразделяются в свою очередь на концептуальные (словесные и графические) и математические модели, которые выражаются языком математических символов.

Множество математических моделей можно разделить на две большие группы: аналитические модели, в которых для определения значения переменных состояния модели могут быть получены аналитические выражения, позволяющие для любых входных функций изначальных условий непосредственно определять значения интересующих нас величин, и имитационные модели, в которых ЭВМ является принципиально необходимым аппаратом исследования, так как значения переменных состояний модели рассчитываются по входным и начальным данным с помощь набора математических операций, записанных в виде машинной программы.

Как аналитические, так и имитационные модели могут подразделяться на детерминированные и стохастические (вероятностные). В детерминированных моделях значения переменных состояния модели определяются однозначно с точностью до ошибок вычислений. В стохастических моделях для каждой переменной может быть получено распределение всех возможных значений, характеризуемое такими показателями как математическое ожидание, дисперсия и т.п. По характеру временного описания динамики переменных состояния модели различаются на дискретные и непрерывные. Дискретные модели описывают поведение системы в фиксированные моменты времени. В непрерывных моделях значения переменных состояния могут быть найдены для любого момента времени рассматриваемого интервала.

6. Классификация моделей в соответствии с целями моделирования (регрессионные,имитационные и базовые (минимальные)). Достоинства и недостатки каждого из этих классов моделей

Имитационные модели имитируют реальность, при этом, как правило, эксперимент многократно повторяется. Имитационная модель --математическая модель изучаемой системы, предназначенная для использования в процессе машинной имитации. Она является по существу программой для компьютера, а эксперимент над ней состоит в наблюдении за результатами расчетов по этой программе при различных задаваемых значениях вводимых экзогенных переменных. Имитационное моделирование используется в случаях, когда применение математических аналитических моделей неадекватно или является слишком сложным. Хотя методы имитационного моделирования не слишком элегантны, они являются очень гибкими и мощными в применении. Они шаг за шагом воспроизводят процесс функционирования системы. Эта система может включать ряд стохастических переменных. В имитационном моделировании, как и в большинстве методов исследования операций, при построении моделей и их последующем анализе широко используются компьютеры. В этой области применение компьютеров становится особенно важным, поскольку значимую и обоснованную информацию из имитационной модели можно получить только после проведения расчетов для различных случайных чисел. Если мы заинтересованы в нахождении стационарного состояния модели, необходимо сделать расчет за длительный период моделируемой переменной времени и таким образом получить средние значения соответствующих статистических характеристик. Если же моделируемый период слишком мал, то на средние значения переменных могут оказывать воздействие начальные (стартовые) колебания.

Термину регрессионная модель, используемому в регрессионном анализе, можно сопоставить синонимы: «теория», «гипотеза». Эти термины пришли из статистики, в частности из раздела «проверка статистических гипотез». Регрессионная модель есть прежде всего гипотеза, которая должна быть подвергнута статистической проверке, после чего она принимается или отвергается. Регрессионная модель объединяет широкий класс универсальных функций, которые описывают некоторую закономерность. При этом для построения модели в основном используются измеряемые данные, а не знание свойств исследуемой закономерности. Такая модель часто неинтерпретируема, но более точна. Это объясняется либо большим числом моделей-претендентов, которые используются для построения оптимальной модели, либо большой сложностью модели. Нахождение параметров регрессионной модели называется обучением модел Недостатки регрессионного анализа: модели, имеющие слишком малую сложность, могут оказаться неточными, а модели, имеющие избыточную сложность, могут оказаться переобученными. Примеры регрессионных моделей: линейные функции, алгебраические полиномы, ряды Чебышёва, нейронные сети без обратной связи, например, однослойный персептрон Розенблатта, радиальные базисные функции и прочее

Минимальные (базовые) - минимально необходимый набор данных и формул. Не всегда отображают всю суть, но быстры в расчетах.

7. Классификация почвенных моделей с учетом иерархических уровней организации

С математической точки зрения сложность строения системы означает, что ее нельзя описать каким нибудь одним параметром. Описание ее состояния требует задания многих характеристик. На математическом языке это формулируется так: фазовое пространство системы многомерно.

Структурные модели описывают поровое пространство элементарного представительного объема почвы на двух уровнях - макроуровне, размеры которого сопо-ставимы с размерами почвенных горизонтов, и микроуровне, размеры которого сопоставимы с размерами структурных почвенных элементов.

Модели водного и теплового режима почв.

Классификация современных экологических моделей (динамические биогеохимические и биоэнергетические модели; статические биогеохимические и биоэнергетические модели; модели динамики популяций; структурно-динамические модели; Fuzzy модели; индивидуально-основанные модели; нейронные сети; пространственные; стохастические; экотоксикологические; гибридные).

Модель Динамическая - модель, имитирующая развитие процесса или поведение моделируемого объекта во времени.

Статическая модель -- математическая модель, в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени.

биогеохимические модели - пример цикл углерода (атмосфера-почва-растение), учитывает фазовые изменения веществ. Исследует, соответственно, в динамике.

биоэнергетические модели - определение потока биогенных элементов и их накопления в биомассе в экосистеме

модели динамики популяций позволяет изучить изменение популяции во времени (рост, колебания или падения численности, как пример)

Динамическая структурная система должна отображать вход в систему, промежуточное состояние и выход. Позволяет отследить изменение одного фактора и его влияние на другие во времени.

Fuzzy модели - модели, в которых берется интервал от одного значения до другого, а не два значения (т.е. берется не 0 и 1, а интервал от 0 до 1). Теория нечеткой логики - это раздел прикладной математики, посвященный методам анализа данных, характеризующихся высокой неопределенностью.

Индивидуально ориентированное моделирование использует подход, в рамках которого основным объектом модели является индивид, представляющий собой уникальную, дискретную единицу, у которой есть некоторый набор характеристик, изменяющихся в течение жизненного цикла. Каждый из индивидов взаимодействует с другими индивидами. Модели этого типа строят «снизу вверх», начиная с элементов системы (индивидов). Модельер определяет поведение только индивидов, а общее поведение системы является результатом совокупной деятельности многих индивидов, каждый из которых следует своим собственным правилам взаимодействия со средой и другими индивидами. Целью моделирования в этом случае является понимание того, каким образом интегральные свойства системы возникают из множества локальных взаимодействий между ее элементами (индивидуумами).

Искусственная нейронная сеть (ИНС) -- математическая модель, а также её программное или аппаратное воплощение, построенная по принципу организации и функционирования биологических нейронных сетей.

Для решения информационных и расчетных задач, анализа, моделирования, отображения обстановки и местности многочисленные пользователи применяют пространственные (трехмерные) модели местности. Вместе с электронными картами они являются составной частью картографического обеспечения имеющихся и создаваемых систем управления, информационно-расчетных систем.

Стохастическая модель -- такая экономико-математическая модель, в которой параметры, условия функционирования и характеристики состояния моделируемого объекта представлены случайными величинами и связаны стохастическими (т.е. случайными, нерегулярными) зависимостями, либо исходная информация также представлена случайными величинами. Следовательно, характеристики состояния в модели определяются не однозначно, а через законы распределения их вероятностей. Моделируются, например, стохастические процессы в теории массового обслуживания, в сетевом планировании и управлении и в других областях. При построении С.м. применяются методы корреляционного и регрессионного анализа, другие статистические методы.

Экотоксикологические модели, описывают воздействие химических агентов на популяции и биоценоз.

Гибридные системы -- математические модели систем управления, в которых непрерывная динамика, порождаемая в каждый момент времени одной из априорно заданного набора непрерывных систем, перемежается с дискретными операциями, подающими команды либо на мгновенное переключение с одной системы на другую, либо на мгновенную перестройку с заданных текущих координат на другие координаты, либо на то и другое одновременно.

Основные методологические принципы моделирования (принцип итеративности и принцип соответствия точности и сложности). Характеристика моделей (реалистичность, точность, общность, наглядность, модульность; способность к качественному и количественному развитию).

Любое исследование является процессом, предполагающим определенную последовательность операций, использования методов, оценки результатов предварительных, промежуточных и конечных. Это характеризует итерационное строение процесса исследования. Его успех зависит от того, как мы выберем эти итерации, как будем их комбинировать.

Принцип соответствия сложности модели требуемой точности результатов моделирования. В общем плане проблема “точность - сложность” формулируется в виде одной из двух оптимизационных задач:

- задается точность результатов моделирования, а затем минимизируется сложность модели;

- имея модель определенной сложности, стремятся обеспечить максимальную точность результатов моделирования.

Для оценки моделей используют три основных показателя: реалистичность, точность и общность.

Реалистичность это степень, с которой утверждения, полученные на основе модели, соответствуют нашим представлениям об изучаемой системе; Точность - количественная оценка степени совпадения модельных и экспериментальных результатов; Общность - область применимости модели, число различных ситуаций, которые модель отражает.

Эти требования к моделям противоречивы. Повышение реалистичности и общности, как правило, сопровождается снижением точности. Поэтому приходится выбирать оптимальное соотношение этих показателей в соответствии с целями моделирования.

Наглядность - не только особое свойство психических образов, но и свойство математического объекта в рамках определенного дидактического процесса. Таковым он становится, когда у статистически достоверной выборки обучаемых возникают наглядные перцептивные образы.

Модульный принцип построения математических моделей (подсистем) позволяет использовать типовые решения на отдельных этапах проектирования, строить разветвленные и гибкие вычислительные схемы.

Модели различаются по степени качественной и количественной адекватности исследуемому объекту относительно выбранных характеристик, по возможностям их исследования.

Этапы построения математических моделей сложных динамических систем. Постановка задачи; выбор объекта исследования и определение его временных и пространственных границ; сбор необходимых данных и оценка их качества; выбор типа модели; концептуализация модели; формализация модели; выбор метода решения; реализация модели; верификация модели; анализ чувствительности; калибровка; проверка; заключительный синтез.

1 шаг - постановка задачи. На этом этапе формулируются основные вопросы, ответы на которые планируют получить с помощью модели. На первом этапе определяется проблема, для решения которой предполагается использовать метод моделирования. От выбора проблемы зависит успех всей работы, так как, с одной стороны, можно выбрать проблему, не поддающуюся решению методом моделирования, а с другой - взяться за проблему, для решения которой не требуется вся мощь этого метода. Определить проблему важно также для того, чтобы сконцентрировать ограниченные исследовательские ресурсы в заданном направлении. В соответствии с выбранной проблемой устанавливаются цели моделирования. Модели могут задумываться с разными целями: 1) для организации и четкого, наглядного представления ин? формации об изучаемом объекте в соответствии с изучаемой проблемой; 2) для определения исследовательских приоритетов и планирования экспериментов; 3) для определения роли и важности отдельных процессов по отношению к решаемой проблеме; 4) для проверки гипотез о взаимодействиях отдельных элементов и подсистем и характере функционирования системы; 5) для оценки устойчивости системы; 6) для прогноза поведения системы при изменении внутренних характеристик и внешних условий; 7) для выбора оптимального управления в соответствии с выбранным критерием; 8) для оценки рисков.

2 шаг - выбор объекта исследования и сбор данных. В соответствии с поставленными задачами выбирается объект исследования, и определяются его пространственные границы и временной масштаб. Также выясняется место изучаемой системы, как элемента в системе более высокого иерархического уровня. На этом этапе осуществляется первоначальный сбор данных об объекте исследования.

3 шаг - выбор типа модели На этом этапе выбирается тип модели, который позволяет решить поставленную задачу. С этой целью рассматриваются и сравниваются опубликованные ранее модели, направленные на решение подобных задач и оценивается качество собранной информации об изучаемой системе. Если данных достаточно для экспериментального обеспечения модели, то переходят к следующему этапу. В противном случае нужно проводить дополнительные исследования для получения недостающих данных, или выбирать такой тип модели, который может быть реализован на основании имеющихся данных. В последнем случае приходится возвращаться на первый этап и корректировать постановку задачи.

4 шаг - концептуализация модели Концептуальная модель представляет собой концептуальную структуру (систему взглядов) в рамках которой мы анализируем факты. Она отражает наши представления об изучаемой системе. Так как модель ? всегда упрощение реальности, на этапе концептуализации выбирают компоненты и процессы, которые кажутся наиболее важными в свете рассматриваемой проблемы. На основе этого выбора определяют окружающую среду системы и характеризующие ее параметры, внутренний состав и структуру модели. Для сложных систем модель может иметь блочную (модульную) структуру, состоящую из ряда блоков, каждый из которых представляет одну из подсистем изучаемой системы. В этом случае на этапе концептуализации формулируют гипотезы о взаимодействии блоков. Блочный принцип построения модели позволяет описать процессы с разными характерными временами, так как для каждого блока можно выбрать свой временной шаг. Этот подход позволяет заменять отдельные блоки и использовать блоки из одних моделей при конструировании других

5 шаг - формализация модели Формализация модели - это представление системы в форме совокупности математических соотношений, описывающих ее поведение и свойства. Задачей этого этапа является переход от качественной структуры модели, которая только устанавливает наличие или отсутствие связей между переменными, к математической (аналитической) структуре, устанавливающей конкретный вид зависимостей между переменными состояния и внешними переменными модели. При этом опираются на уже известные за? коны, результаты статистического анализа экспериментальных данных, экспертные оценки и гипотезы о характере связей между переменными.

6 шаг - выбор метода решения Методы решения можно разделить на аналитические и алгоритмические. В первом случае результат представляет собой аналитическое выражение или их совокупность. Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. Если поставленная задача хотя бы в упрощенном варианте допускает аналитическое решение, его обязательно следует получить. Прежде чем пользоваться ЭВМ, задачу необходимо всесторонне исследовать аналитическими методами. Аналитические методы - «старое, но грозное оружие» ? не теряют своего значения.

7 шаг - реализация математической модели Реализация модели - получение, если это возможно, решения в аналитической форме или разработка компьютерной про?граммы для реализации численного метода решения. Большинство программ, реализующих математические модели, состоят из трех основных частей: 1. подготовка и проверка исходных данных модели; 2. решение задачи (реализация вычислительного алгоритма); 3. отображение полученных результатов (в числовом, графическом или текстовом виде).

8 шаг - верификация модели Верификация - это проверка того, что включенные в модель формальные соотношения правильно отражают выбранную концепцию, что они не имеют внутренних противоречий и несоответствий в размерности, что предусмотренные математические пре? образования не содержат ошибок и программа составлена правильно. Прежде чем переходить к работе с моделью, необходимо убедиться в ее корректности и правильном функционировании всех алгоритмов и программ модели. Для этого нужно выполнить отладку программы и провести независимое тестирование.

9 шаг - анализ чувствительности На этом этапе проверяют чувствительность переменных состояния модели к изменениям начальных условий, параметров, структуры модели, внешних переменных и управляющих функций. Это позволяет выявить переменные с высокой и низкой чувствительностью, а так же от каких параметров и внешних переменных сильнее всего зависит поведение модели. Анализ чувствительности помогает определить ключевые моменты функционирования системы в контексте изучаемой проблемы и установить исследовательские приоритеты. Он показывает пути совершенствования модели, путем уточнения ее параметров и изменения структуры. Результаты анализа чувствительности полезны при верификации, калибровке и проверке модели. Известно много различных методов анализа чувствительности, которые классифицируют как математические и графические.

10 шаг - калибровка (подбор значений параметров) Калибровка - это попытка найти лучшее соответствие между расчетными и наблюдаемыми данными путем варьирования значений некоторых параметров. Для некоторого набора значений параметров вычисляются значения переменных состояния, которые сравниваются с их экспериментальными оценками. Выбирают тот набор значений параметров, который дает наименьшие расхождения с экспериментальными значениями.

11 шаг - проверка адекватности модели Под адекватностью математической модели понимается степень соответствия результатов моделирования экспериментальным данным, характеризующим изучаемую систему. Проверка должна осуществляться по независимым данным, не использовавшимся при калибровке модели.

12 шаг ? заключительный синтез Моделирование сложных динамических систем никогда не бывает полностью завершенным. На каждом из этапов моделирования могут возникать трудности, для преодоления которых необходимо корректировать модель. Например, расширять спи? сок переменных состояния, уточнять вид функций, используемых для описания взаимодействий между переменными, уточнять значения параметров и др. Разработка модели итеративный процесс, обеспечивающий ее постоянное обновление и развитие, результатом которого являются новые знания об изучаемой системе

8. Источники неопределенностей в почвенных и экологических моделях. Природная вариабельность объекта исследования. Ошибки, возникающие при определении структуры модели, выборе сценария и оценке параметров

Источники неопределенностей в моделяхТак как модель всегда является упрощенным представлением реальности, любое предсказание имеет неопределенность.Неопределенности обусловлены, как природной вариабельностью моделируемых явлений, так и ошибками, сделанными в процессе определения качественной и аналитической структуры модели, при оценке параметров и выборе ситуаций, для которых модель будет реализована.

Ошибки, возникающие на разных этапах построения и реализации модели не являются независимыми, а могут взаимодействовать самым неожиданным образом, увеличивая неопределенность предсказаний.

Источники неопределенностей в моделях

Природная вариабельность ->Структура модели - Выбор сценария - Входы и параметры - Прогнозы

Ошибки, возникающие при определении структуры модели При определении структуры модели возникает проблема выбора числа компонентов модели. Оно зависит от цели моделирования и выбранного масштаба. Нужно помнить, что ошибки динамических моделей заметно возрастают уже при агрегировании переменных, различающихся по скоростям оборота более чем в три раза. Выбор уровня сложности модели, который минимизирует ошибки предсказаний, является непростой задачей, так как при увеличении детальности описания особенно за счет включения процессов, параметры которых трудно измерить, возрастает неопределенность модельных предсказаний. Лучшим подходом в этих обстоятельствах является построение серий последовательно усложняющихся моделей. Этот способ реализует два методологических принципа системного анализа: принцип итеративности, состоящий в последовательном совершенствовании модели, и принцип соответствия сложности и точности. В результате построения серии получают модель минимальной сложности для заданной точности экспериментальных данных.

Ошибки, возникающие при выборе сценария Неопределенность модельных предсказаний значительно возрастает, когда модели применяются к областям большим, чем их внутренний масштаб. Например, когда локальные (точечные) модели, при построении которых исходили из предположения о гомогенности климатических и почвенных условий в пределах единичной площади, применяются в региональном масштабе.

В этом случае важно оценить как отказ от предположения о пространственной однородности внешних условий сказывается на ошибках моделирования.

Как известно, для нелинейных функций значение функции, определенное по среднему значению аргумента не равно среднему значению функций, определенных раздельно для каждого из значений аргументов. Следовательно, ошибки моделирования при переходе от локального к региональному масштабу будут возрастать в тех случаях, когда модель содержит нелинейные функции от изменяющихся в пространстве входных переменных.

Ошибки агрегирования зависят не только от степени нелинейности, используемых в модели функций, но и от пространственного масштаба агрегирования.

Ошибки, связанные с оценкой параметров Для исследования зависимости предсказаний от точности значений параметров широко применяется анализ чувствительности. Показатели чувствительности представляют собой производную интересующего модельного предсказания (переменной отклика) по параметру. Анализ чувствительности позволяет выявить параметры, к которым переменная отклика наиболее чувствительна. Для уменьшения ошибок моделирования эти параметры следует определять наиболее точно. Анализ чувствительности показывает также путь усложнения модели в тех случаях, когда ее адекватность недостаточна. Усложнять модель целесообразно путем уточнения описания тех процессов, к параметрам которых модель наиболее чувствительна. Исследование неопределенности предсказаний позволяет определить пути совершенствования моделей.

9. Статические биогеохимические модели. Их достоинства и недостатки. Энвирон-анализ

Статические модели не рассматривают изменения системы во времени.

Статические биогеохимические модели относятся к классу компартментальных концептуально-балансовых моделей, отражающихзаконы сохранения вещества. Основы методологии построения таких моделей заложены в работах Г. Одума(1961), Дж. Форрестера (1961), А.А. Ляпунова и Яблонского (1963), А.А. Ляпунова и А.А. Титляновой (1971), Н.И.Базилевич (1978). Статические модели характеризуют усредненные по времени ситуации. При построении таких моделей система разбивается на блоки (компартменты), содержащие определенные запасы вещества и обменивающиеся им между собой и окружающей средой. На основе экспериментальных данных определяются запасы вещества в выделенных блоках, скорости обмена между ними, а также скорости входных и выходных потоков. Модель представляют в виде численной потоковой диаграммы с указанием запасов и скоростей потоков. Достоинства статических биогеохимических моделей

При их построении, как правило выявляют недостаточно изученные звенья круговорота вещества в экосистемах, что позволяет использовать их как эффективный инструмент планирования исследований. Такие модели, несмотря на их схематичность и известную условность, могут быть полезны для описания квазистационарных состояний или для описания усредненной по времени ситуации. Они могут служить эталоном - точкой отсчета для мониторинга окружающей среды. Недостатки Статический характер, они отражают только среднюю картину круговорота вещества в экосистемах за определенный временной интервал. Энвирон-анализ В конце 70-х - начале 80-х годов прошлого века был предложен метод анализа компартментальных моделей, получивший название энвирон-анализа. ЭНВИРОН - совокупность тех блоков и потоков между ними, с которыми рассматриваемый блок связан либо непосредственно, либо через другие блоки. ВХОДНОЙ ЭНВИРОН - совокупность блоков, выходы из которых рано или поздно поступят на вход рассматриваемого блока вместе с соответствующими потоками. ВЫХОДНОЙ ЭНВИРОН - совокупность блоков, в которые рано или поздно поступит частица вещества, прошедшая через рассматриваемый блок вместе с соответствующими потоками. Используя матричные соотношения этого метода, можно вычислить, какая доля выходящего из i-гокомпартмента потока попадает в j-й, оценить среднее время, проводимое веществом в компартменте, сделать количественные выводы о роли того или иного процесса в функционировании экосистемы. Энвирон-анализ предлагает исследование только лишь стационарного состояния системы, поскольку одним из его исходных требований является постоянство потоков и запасов вещества.

10. Динамические модели. Используемый математический аппарат. Фазовое пространство. Фазовая траектория. Фазовый портрет. Стационарное состояние системы

Динамическими системами называют любые системы (физические, химические, биологические, экономические, социальные и.др.), состояние которых изменяется во времени дискретно или непрерывно. В математическом понимании динамической системой является любой объект, для которого однозначно определено понятие состояния, как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение начального состояния с течением времени. Почва относится к динамическим системам. Функционирование почвы, как целостной системы, является результатом взаимодействия составляющих ее компонентов. Понять динамические свойства почвы можно на основе системного подхода, анализируя поведение каждого из ее компонентов, как результат его взаимодействия с другими компонентами. Одним из наиболее эффективных методов изучения изменений почв с течением времени является построение и анализ динамических моделей. Анализ динамических свойств моделей, характеризующих разные аспекты функционирования почв, позволяет лучше понять особенности ее динамики. Для описания динамических систем используются различный математический аппарат (дифференциальные уравнения, дискретные отображения, теория марковских цепей и др.). В настоящем курсе мы рассмотрим динамические модели, представленные дифференциальными уравнениями. Математический язык дифференциальных уравнений для описания динамических систем был предложен Исааком Ньютоном (1642-1727). В настоящее время он широко используется при построении моделей в самых разных областях науки. Для того чтобы определить динамическую систему, модель которой мы хотим построить, нужно задать конечное число переменных, однозначно характеризующих ее состояние. Предположим, что в соответствии с поставленной проблемой, для характеристики состояния почвы выбрано n различных компонентов. Каждый iкомпонент характеризуется переменной состояния xi. В качестве переменных состояния могут быть выбраны концентрации различных веществ, численность микроорганизмов, и др. Закон изменения динамической системы во времени можно в общем виде представить системой nдифференциальных уравнений: (1)



Где xi - переменные состояния ; fi -известные функции;

t -время

Особый интерес представляет случай системы (1), когда правые части не зависят явно от переменной t: (2)

такие системы называются автономными. Динамические модели этого вида получили широкое распространение в почвоведении и экологии .

Решение системы представляет собой совокупность функций, характеризующих зависимость переменных состояния от времени:

х 1(t), х 2(t),….. х i(t),….. х n(t) (3)

Лишь для небольшого класса систем дифференциальных уравнений удается найти аналитическое решение, то есть представить зависимость переменных состояния от времени в виде явно заданных математических формул. В большинстве случаев получают только численное решение.

В процессе изменения состояния системы во времени переменные хi изменяются согласно системе уравнений (2). В момент времени t каждому состоянию системы соответствует совокупность n значений переменных хi(t).

Для удобства анализа поведения динамических систем во времени используют понятие n- мерного фазового пространства- абстрактного пространства с осями координат х1, х2,... хi,… хn.. Тогда состояние динамической системы в каждый момент времени можно представить в виде точки этого пространства. Каждая точка Х этого пространства с координатами х1, х2,... хi,… хn соответствует определенному состоянию системы. Точка X(х1, х2,... хi,… хn) называется изображающей или фазовой точкой. Изменение состояния системы сопоставляется с перемещением изображающей точки в фазовом пространстве.

Пусть в начальный момент времени t=t0 координаты изображающей точки X0(х10, х20,... хi0,… хn0). В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет двигаться в соответствии с системой уравнений (2) и принимать положения X(х1, х2,... хi,… хn), соответствующие значениям х 1(t), х 2(t),… х i(t),….. х n(t). Линия, по которой движется изображающая точка в фазовом пространстве, называется фазовой траекторией.

На фазовой траектории стрелками отмечается направление движения изображающей точки.

Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных состояния представляет собой фазовый портрет системы. Характер фазовых траекторий отражает общие качественные черты поведения системы во времени.

При рассмотрении динамических характеристик модели в первую очередь определяют ее стационарные состояния.

В стационарном состоянии все производные по времени (i = 1…,n) в левых частях системы (2) обращаются в нуль. Приравнивая к нулю правые части системы уравнений (2), получим систему алгебраических уравнений (4) для определения стационарных значений переменных состояния :

Начнем знакомство с динамическими моделями с самого простого случая, когда система описывается одним дифференциальным уравнением первого порядка вида: (5) почва математический моделирование

11. Стационарное состояние системы

В стационарном состоянии значения переменных в системе не меняются со временем. Это означает, что: (6)

Следовательно f(x)=0. Корни алгебраического уравнения (6) являются стационарными состояниями системы (5).

Примеры простейших линейных динамических моделей. Модель Мальтуса (модель экспоненциального роста численности популяции). Простейшая линейная динамическая модель открытой системы. Универсальность математических моделей

Предположим, что скорость изменения значения переменной состояния пропорциональна самому ее значению:

Эта простая линейная модель демонстрирует одно из важнейших свойств математических моделей -- их универсальность, т. е. их применимость к объектам принципиально различной природы.

Поиск аналитического решения дифференциального уравнения.

Пример: Модель Мальтуса (модель экспоненциального роста численности популяции).

Модель предложена Мальтусом (1766-1834) в 1798 г. в его классической работе «О законе роста народонаселения». Мальтус -известный английский демограф и экономист, обратил внимание на тот факт, что численность популяции растет по экспоненте ( в геометрической прогрессии), в то время как производство продуктов питания растет линейно ( в арифметической прогрессии), из чего сделал справедливый вывод, что рано или поздно экспонента обязательно обгонит линейную функцию и наступит голод.

В основу модели положено простое утверждение, что скорость изменения численности населения со временем t пропорциональна его текущей численности x(t), умноженнойна сумму коэффициентов рождаемости и смертности :

Введем параметр , который является показателем удельной скорости роста и получим:

Решением уравнения (9) является функция: где x0=x(t=0) -начальная численность.

Эта модель не учитывает зависимости сложнейшего процесса изменения численности населения от множества условий и подходит только для описания изменения численности изолированной популяции, которая развивается в условиях неограниченных ресурсов. Например, динамики популяции простейших организмов, выращиваемых в культиваторе в условиях избытка пищи

Экспоненциальный рост. Зависимость численности популяции от времени

Модель экспоненциального роста (9) используется для описания широкого круга явлений (радиоактивный распад, динамика популяций, разложение растительных остатков, минерализация гумуса, рост зарплаты и др.). На первый взгляд кажется, что между ними нет ничего общего. Однако описание всех этих разнородных явлений основано на одном общем предположении, что скорость изменения значения переменной состояния пропорциональна самому ее значению. Это предположение используется в различных областях знаний, а приведенный пример демонстрирует универсальность моделей, то есть их применимость для описания объектов различной природы.

Простейшая линейная динамическая модель открытой системы

В качестве еще одного примера динамической модели рассмотрим простейшую линейную модель открытой системы, в которой происходит обмен веществами «а» и «b» с окружающей средой и обратимая реакция первого порядка превращения a-b.



Где «а» и «b» -переменные состояния, характеризующие концентрации этих веществ в системе; А,B- постоянные концентрации этих веществ во внешней среде; k1,k+2, k-2, k3- константы скоростей процессов.

Динамическая модель для этой системы имеет следующий вид:

Так как по определению в стационарном состоянии скорость изменения переменных а и b равна 0, следовательно, производные и , то приравнивая к 0 правые части (10), найдем стационарные значения а и b.

Они не зависят от начальных условий, то есть от значений переменных a и b в момент времени t=0. Это означает, что при каком бы начальном состоянии система не находилась, в ней со временем установится стационарный режим.

Хотя начальные условия не влияют на стационарные значения, они определяют характер кривых, описывающих изменения переменных состояния при переходе от начального состояния при t=0 к стационарному при t>?. На примере этой модели А.Б Рубин (1998) показал, что даже такая, до предела упрощенная, модель отражает основные черты совокупности метаболических реакций клетки как открытой системы. Она может быть использована для описания обменных процессов и в других открытых системах, например, в почве, что является еще одной демонстрацией универсальности математических моделей.

Если модели, описывающие различные объекты, основаны на одинаковых предположениях, то для их описания могут быть использованы одни и те же математические выражения. Как отмечал великий французский математик Анри Пуанкаре : "Математика - это искусство давать разным вещам одно наименование".



12. Учет временной иерархии процессов при построении динамических моделей («быстрые», «средние» и «медленные» переменные

Помочь получить модель системы, содержащую наименьшее число переменных состояния и параметров, и в то же время правильно отражающую ее основные свойства, представляющие интерес в соответствии с поставленными задачами, может учет временной иерархии изучаемых процессов.Принимая во внимание характерные времена изучаемых процессов, можно разделить переменные состояния исходной модели на «быстрые», «средние» и «медленные». Предположим, что исходная модель описывает динамику трех переменных с различными характерными временами:

Причем

Пусть мы наблюдаем за переменной y . Тогда за время Ty совсем медленная переменная z практически не будет изменяться и ее можно считать постоянным параметром, обозначим его z*. В этом случае исходную систему можно представить следующим образом:

Рассмотрим теперь уравнение для х. Эта «быстрая» переменная за время Ty успеет достичь стационарного значения. Поэтому для нее дифференциальное уравнение можно заменить алгебраическим:



Таким образом, благодаря учету иерархии времен систему трех дифференциальных уравнений удается свести к одному дифференциальному уравнению:

...