Математизация почвоведения

В химии метод такого упрощения системы носит название метода квазистационарных концентраций (КСК).

Обычно он применяется для систем химических реакций, промежуточные продукты которых являются частицами с высокой реакционной способностью (каталитические, ферментативные , биохимические процессы).

Динамические-учитывают изменения и в пространстве и во времени. Бывают точечные (дифф уравнения) и пространственные (уравнения в частных производных). Коротко-временая шкала - часы, сутки, сезоны (м/о, ОВП, влажность); средне-временная - десятки, сотни лет; долго-временная - сотни, тысячи лет. Учет временной иерархии процессов позволяет сократить число дифференциальных уравнений. «Совсем медленные» переменные (z) не меняются на временах рассматриваемых процессов, и их можно считать постоянными параметрами. Для «быстрых» переменных(х) можно вместо дифференциальных уравнений записать алгебраические уравнения для их стационарных значений, поскольку «быстрые» переменные достигают своих стационарных значений практически мгновенно по сравнению с «медленными» (y). Пусть имеется три группы переменных с различными характерными временами: dx/dt=P(x,y,z), dy/dt=Q(x,y,z), dz/dt=F(x,y,z), переменные изменяются с разными характерными временами, причем Tx<<Ty<<Tz. Пусть мы наблюдаем за переменной y, характерное время изменения которой - Ty. Тогда за время Ty «совсем медленная» переменная z практически не будет изменяться, и ее можно считать постоянным параметром, обозначим его z*. Система дифференциальных уравнений с учетом этого обстоятельства будет содержать два уравнения и может быть записана в виде: dx/dt=P(x,y,z*), dy/dt=Q(x,y,z*). Отметим, что z* не является истинно стационарным значением, «медленная» переменная z будет продолжать меняться и «вести» за собой более быстрые переменные x и y. В этом смысле медленная переменная является ведущей, или «параметром порядка». Рассмотрим теперь уравнение для x. Эта «быстрая» переменная изменяется значительно быстрее, чем y, и за время Ty успеет достичь своего стационарного значения. Значит, для переменной x дифференциальное уравнение можно заменить алгебраическим: P(x,y,z*)=0 или . Таким образом, благодаря учету иерархии времен, исходную систему из трех дифференциальных уравнений удается свести к одному дифференциальному уравнению для переменной y: . Строгим обоснованием применимости этого метода является теорема Тихонова.

13. Качественное исследование динамических моделей. Основоположники качественной теории дифференциальных уравнений. Понятие устойчивости стационарного состояния. Аналитический метод исследования устойчивости стационарного состояния (метод Ляпунова). Качественное исследование логистической модели

В случае сложных динамических моделей с большим числом переменных состояния, отражающих нелинейные взаимодействия в почвах и экосистемах, возникают серьезные математические трудности в поиске аналитических решений, если их вообще можно получить. В то же время, методы качественной теории дифференциальных уравнений позволяют определить важные динамические свойства системы, не прибегая к поиску решения системы уравнений.

Качественное исследование системы дифференциальных уравнений эффективно тогда, когда нужно предсказать характер динамического поведения системы и нет необходимости в поиске точного решения уравнений, поскольку начальные условия, значения внешних переменных и параметров системы сильно варьируют и не могут быть точно заданы. Именно с такой ситуацией обычно приходится сталкиваться при решении проблем почвоведения и экологии.Основоположники качественной теории дифференциальных уравнений: французский математик Анри Пуанкаре (1854-1912), русский математик Александр Михайлович Ляпунов (1857-1918). Качественное исследование динамических моделей дает хорошие результаты при исследовании моделей, представленных небольшим числом дифференциальных уравнений. Поэтому прежде чем приступить к качественному исследованию модели необходимо сократить число уравнений в исходной модели, оставив только те, которые отражают наиболее важные динамические свойства системы. Проводить редукцию количества уравнений модели нужно очень осторожно, так как есть риск потерять важные характеристики моделируемой системы и не только обеднить модель, но и сделать ее вообще неадекватной.

В первую очередь нас будут интересовать два вопроса: Как найти стационарные состояния? Как определить их устойчивость? Рассмотрим модель с одной переменной состояния, динамику которой описывает одно дифференциальное уравнение первого порядка: dx/dt=f(x). Пусть f(x) - - аналитическая функция.Найдем стационарные (особые) точки, обозначив их x?. По определению, в этих точкахdx/dt=0. следовательно, из условия f(x)=0 определим стационарные значения x?. Наиболее важным свойством стационарного состояния является его устойчивость. В математике существуют разные определения понятия устойчивость. В дальнейшем мы будем использовать одно из основных - устойчивость по Ляпунову. Устойчивость определяется способностью системы самопроизвольно возвращаться в стационарное состояние после внешнего возмущения, выводящего систему из стационарного состояния.Стационарное состояние системы называется устойчивым, если при достаточно малом отклонении от стационарной точки система никогда от нее далеко не уходит. Если при выходе из стационарного состояния система удаляется от него, то оно является неустойчивым Стационарное состояние устойчиво, если достаточно малое возмущение всегда остается малым.Стационарное состояние называется неустойчивым, если малое отклонение со временем увеличивается. Стационарное состояние называется асимптотически устойчивым, если малые отклонения от него со временем затухают.

Состояние А является устойчивым, так как после слабого возмущения система будет возвращаться в точку А. Напротив, состояние В неустойчиво, если в результате слабого возмущения система отклоняется от точки В, она в нее не возвращается.

Александром Михайловичем Ляпуновым был предложен аналитический метод определения устойчивости стационарных состояний, приложимый к широкому классу систем дифференциальных уравнений. Суть метода состоит в следующем. Рассмотрим простую динамическую модель: dx/dt=f(x). Пусть система отклонилась от стационарного состояния x? и перешла в соседнюю с ним точку x?+ г, где г -малое отклонение от стационарного состояния такое, что г/x?<<1. Перейдем от переменной х к переменной г, получим: d(x?+г)/dt=dг/dt=f(x?+г). Разложим стоящую в правой части этого уравнения функцию f(x?+г)в ряд Тейлора в точке x?. dг/dt=f(x?)+f'(x?)г+1/2f”(x?)г2+… Принимая во внимание, что f(x?)=0 и вводя обозначения a1=f'(x?), a2=0.5*f”(x?) перепишем выражение в виде: dг/dt=a1г+a2г+… Отбросим нелинейные члены в этом уравнении как величины более высокого порядка малости и получим линейное уравнение:dг/dt=a1г. Это уравнение называется линеаризованным или уравнением первого приближения.Решение линеаризованного уравнения находится сразу: г(t)=Ceлtгде С - произвольная постоянная, л=a1=f'(x?). Если л<0, то при t>? г >?, а следовательно первоначальное отклонение от стационарного состояния самопроизвольно затухает в силу характера поведения нашей системы. Таким образом стационарное решение рассматриваемого уравнения устойчиво по Ляпунову. Наоборот, если л>0, то t>? г >? и стационарное состояние неустойчиво. Если л=0, то уравнение первого приближения не может дать ответа на вопрос об устойчивости стационарного состояния системы. Необходимо рассматривать члены более высокого порядка в разложении Тейлора. Аналогичные рассуждения приводятся при рассмотрении устойчивости стационарного состояния более сложных динамических систем. Метод Ляпунова позволяет по знаку производной правой части исходного уравнения получить ответ на вопрос об устойчивости его стационарных состояний.

14. Качественное исследование логистической модели

Логистическая модель была впервые предложена бельгийским математиком Пьером Франсуа Ферхюльстом (1804-1849) для описания численности населения в условиях ограниченности ресурсов, поэтому в его честь получила название модель Ферхюльста. В основе логистической модели лежат следующие предположения: существует предельная численность популяции К, которую может обеспечить окружающая среда. Параметр К характеризует «емкость среды»; скорость изменения численности популяции пропорциональна самой численности, умноженной (в отличие от модели Мальтуса) на величину отклонения от предельного значения.Модель Ферхюльста имеет следующий вид: dx/dt=qx(1-x/K). Начнем исследование с поиска стационарных значений численности популяции. Из условия: dx/dt=qx(1-x/K)=0 получим два стационарных значения: x?1=0. x?2=K. Определим их устойчивость. В соответствии с аналитическим методом определения устойчивости Ляпунова для этого нужно определить знак производной функции f(x) в стационарных точках. Производная равна: f(x)=(qx-q*x2/K)=q-2qx/K. Большинство реальных процессов и соответствующих им математических моделей нелинейны. Линейные модели отвечают частным случаям и, как правило, служат лишь первым приближением к реальности. Например, модели динамики популяций сразу становятся нелинейными, если принять во внимание ограниченность доступных популяции ресурсов. Они основаны на предположении о предельной численности популяции. Эта величина, называемая емкостью экологической ниши популяции, определяется ограниченностью пищевых ресурсов, мест для гнездования, и многими другими факторами, которые могут быть различными для разных видов. Заметим, что предположения о механизмах насыщения используются при построении многих моделей в различных областях знаний. Впервые ограничиненный рост популяции описал Ферхюльст в логистической модели в 1838 году: dx/dt=qx(1-x/K). Подставим стационарные значения: f(x?1)=q-2qx/K|x=x?1=q. Показатель удельной скорости роста q величина положительная. Следовательно стационарное состояние x?1=0 неустойчиво. В точке x?2=K производная отрицательна, f(x?2)=q-2qx/K|x=x?2=-q а значит, стационарное состояние x?2=K является устойчивым. Логистическое уравнение допускает аналитическое решение, которое имеет следующий вид: x(t)=(x0Keqt)/(K-c(1-eqt)

Нелинейная модель Ферхюльста более реалистично отражает динамику численности популяции в сравнении с линейной моделью Мальтуса. Как и в предыдущих примерах логистическая модель демонстрирует универсальность математических моделей, так как широко используется не только для описания динамики численности популяций, но и во многих других случаях при описании механизмов насыщения.



15. Качественное исследование динамических моделей, представленных системой двух линейных дифференциальных уравнений. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Типы поведения линейных динамических систем вблизи стационарного состояния. Качественное исследование простейшей линейной модели динамики органического вещества почв.

Критерий Ляпунова для системы из 2-ух уравнений.

Рассмотрим характер поведения переменных при некотором небольшом отклонении системы от состояния равновесия.

Введем вместо переменных x, y новые независимые переменные о, з, определив их как смещения относительно равновесных значений переменных, т.е. x=x?+о; y=y?+з. Теперь проделаем следующую операцию, подставим выражения в уравнения dx/dt=P(x,y) и dy/dt=Q(x,y) соответственно, получим: dx?/dt+dо/dt=P(x?+о, y?+з) и dy?/dt+dз/dt=Q(x?+о, y?+з), dx?/dt=dy?/dt=0, так как x?и y? - координаты особой точки. Теперь разложим как и в случае одного уравнения, правые части полученных уравнений в ряд Тейлора соответственно по переменным о и з, отбросим нелинейные члены. Получим систему линеризованных о уравнений: dо/dt=aо+bз, dз/dt=cо+dз, где коэффициенты a, b, c, d суть значения частных производных в точке (x?,y?), т.е. a=P'x(x?,y?), b= P'y(x?,y?), c=Q'x(x?,y?), d= Q'y(x?,y?). Вернемся к нашим линейным уравнениям, общее решение системы находим следующим образом: о=Aeлt, з=Aeлt, подставив эти выражения в dо/dt=aо+bз, dз/dt=cо+dз, в получившемся выражении сократим на eлt, в итоге получим лA=aA+bB; лB=cA+dB. Получившаяся система уравнений с неизвестными А и В имеет, как известно, ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:{(a-л)/c}+{b/(d-л)}=0 Раскрыв определитель, получим так называемое характеристическое уравнение системы: л2-(a+d)л+(ad-bc)=0, решение этого уравнения дает значения показателя л1,2, при которых ненулевые для А и В решения системы: л1,2=(a+b)/2+?((a+b)2/4+bc-ad). Если подкоренное выражение отрицательно, л1,2 - комплексно-сопряженные числа. Предположим, что оба корня уравнения л2-(a+d)л+(ad-bc)=0 имеют отличные от нуля действительные части и что нет кратных корней. Тогда общее решение системы dо/dt=aо+bз, dз/dt=cо+dз, записанное в виде о=Aeлt, з=Aeлt, можно представить линейной комбинацией экспонент с показателями л1 и л2: о=С11eл1t+ С12eл2t, з= С21eл1t+ С22eл2t.

Подведем итоги, в случае если ad-bc?0 возможны 6 типов состояния равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения: 1.утойчивый узел (л1 и л2 действительны и отрицательны); 2.неустойчивый узел (л1 и л2 действительны и положительны); 3.седло (л1 и л2 действительны и имеют разные знаки); 4.устойчивый фокус (л1 и л2 комплексны и Reл<0); 5.неустойчивый фокус (л1 и л2 комплексны и Reл>0); 6. центр (л1 и л2 - мнимые). Re - это действительная часть комплексного числа, мнимая часть комплексного числа - Im.



16. Нелинейные динамические модели. Особенности поведения нелинейных динамических систем: мультистационарность; катастрофы; автоколебания; динамический хаос. Понятие аттрактор и качественные особенности аттракторов. Аттрактор Лоренца. Самоорганизация нелинейных открытых динамических систем. Почвообразование как синергетический процесс

Нелинейные динамические системы - может быть несколько стационарных состояний, переходов, разный характер поведения. Возникают периодически стационарные состояния и автоколебания (когда колебания вызваны внутренними взаимодействиями), меняется амплитуда колебаний, очень чувствительны к начальным состояниям.

Atractor- множество точек или подпространств в фазовом Пространстве, к которому приближается траектория после затухания переходных процессов.

Катастрофа-резкие изменения переменных состояний автоколебания atractor катастрофа системы, вызванные малыми возмущениями параметров, качественная перестройка сист. при малом изм. Параметров Бифуркация( ветвление) динамических систем dx/dt=F(x,б), где х-вектор параметров состояния системы(х1,х2,х3), а б-вектор параметров. F(x,б)=0, ищем стационарное состояние. x? (б), б*-бифуркационное значение б, то есть такое б, при котором в системе происходит качественная перестройка.

Аттрамктор-- компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности.

«Детерминированный хаос», - режим с очень изменчивой амплитудой колебаний. Было показано, что в нелинейных моделях с числом степеней свободы больше двух при определенных критических значениях их внутренних параметров решение системы ведет себя как случайная функция. Поэтому для обозначения этого явления были предложены термины динамическая стохастичность и динамический (или детеминированный) хаос.

Математическим образом установившихся режимов является притягивающее множество в фазовом пространстве или аттрактор (от английского toattract - притягивать). Простейший тип аттрактора представляет собой устойчивую особую точку, к которой стремятся фазовые траектории.

Режиму устойчивых колебаний системы с постоянным периодом и амплитудой в фазовом пространстве соответствует замкнутая кривая. Аттрактор в этом случае называется устойчивым предельным циклом. Физически это означает, что при отклонении от таких колебаний система спустя некоторое время вновь возвращается к ним.

Один из первых примеров детерминированного хаоса в диссипативных системах продемонстрировал американский метеоролог Эдвард Лоренц в 1963 году. Динамические системы по энергетическому признаку делятся на консервативные (характеризующиеся неизменным во времени запасом энергии) и неконсервативные (с изменяющимся во времени запасом энергии).

Лоренц предложил простейшую модель конвекции воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы). В основе этой модели лежат представления о связи потоков воздуха в атмосфере с разностью температур ее различных слоев

Непредсказуемость поведения сложных нелинейных динамических систем на больших временах обусловлена их высокой чувствительностью к начальным данным. Малые изменения начальных условий ведут к расходимости фазовых траекторий. Таким образом, в детерминированных системах с динамическим хаосом, где будущее однозначно определяется прошлым, существует конечный горизонт прогноза.

По определению Германа Хакена: «Самоорганизация--это процесс упорядочения (пространственного, временного или пространственно?временного) в открытой системе, за счёт согласованного взаимодействия множества элементов её составляющих»

Использование идей и методов синергетики имеет большое значение для развития почвоведения, так как почвообразование в широком смысле является синергетическим процессом самоорганизации почвенной системы insitu в течение ее функционирования во времени и пространстве. Почвы относятся к диссипативным системам. Диссипативными называются системы, в которых энергия со временем уменьшается. Для их непрерывного функционирования необходимы источники энергии.

Математическое моделирование биогеохимических циклов. История вопроса. Классификация моделей биогеохимических циклов в соответствии с пространственно-временным масштабом. Основные подходы к моделированию динамки органического вещества почв.

Костычев(1889)-1е уравнение минерализации орг вещества, Тюрин(1937)-мат выражение для предельного уровня накопления орг вещества в почве. Модель Йени(30е-40е): N-содержание азоты в почве,a-ежегодное поступление азота с растостатками,K-константа минерализации ( доля азота, которая минерализуется в год), dN/dt=a-KN. В любое t, N(t)=Ne+(Ne-N0)*???????, где Ne-стационарное содержание. dN/dt=0 (тк стационарное состояние), следовательно a-KN=0, а значит Ne=a/K. Сейчас существует около 250 моделей. Которые приведены в несколько классификаций. Классификация Дженкинсона(1990):1. компронтментальные модели: орг вещество=конечное число пулов, каждый пул трансформируется со своей скоростью, бывают однокомпронтментальные, двук., многок. 2. Некомпронтментальные модели: не дискретное количество пулов, а их спектр, орг вещество почвы-непрерывная функция качества, у неразлорженногоорг вещества макс качество=1, затем качество снижается до 0. Классификация Кейса Паустина(1994): 1. Процесс-ориентированные модели-основное внимание на процессы трансформации, роль организмов выражается в неявной форме, в виде коэффициентов разложения.2. Организм-ориентированные модели: деструкторы включены в модель в явном виде, это модели пищевых цепей. Классификация Монзони, Парпарата(2009) 1.Модели микробиологические, ризосферные, внутрипочвенных агрегатов 2.Модели разложения опада, подстилки 3.Почвенные: трансформации орг вещества в почве, но без описания взаимодействия почв и растений 4. Экосистемные-рассматривают все взаимодействия 5.Глобальные-описывают биосферный цикл С. Основная проблема-гетерогенность орг вещества. Пути решения проблемы: 1. Бассате,Эгрен: рассматривается непрерывный спектр качества субстрата, V разложения-непрерывная функция качества. 2. Органическое вещество=конечное количество пулов, каждый пул-своя скорость и позиция в структуре модели, максимально распространен такой подход, 3 модуля: раст ост, деструкторы, орг вещество почв.

Компартментальные модели круговорота углерода. Процесс-ориентированные модели. Ротамстедская модель RothC. Модель Century.

Ротамстедская модель RothC. Роттандстендская модель: модуль раст остатков= стойкие раст ост и легкоразлагаемые, учитывает влажность, температуру и гран состав, широко распространена, лучше всего подходит для описывания пахотных почв. Ротамстедскую модель (Roth - C), которая была разработана и параметризована на Ротамстедской опытной станции (Англия) и в настоящее время широко используется для прогнозирования изменений содержания органического углерода на различных типах почв и видов землепользований, включающих пахотные земли, пастбища и лес. Модель работает с месячным шагом, рассчитывая запас общего углерода почвы в т/га во временном диапазоне от одного года до столетия. Roth-C учитывает количество осадков (мм), температуру воздуха (°С), испарение с открытой водной поверхности (мм), поступление органического углерода в почву с растительными остатками и навозом (т/га С), процентное содержание фракции глины (0,002мм) (используется для расчета доступной растениям влаги в верхнем слое почвы и минерализации органического вещества). Модель Century Пул растительных остатков: поверхностные опад, корневой опад, устойчивый (структурный) и лабильный(метаболитический) пулы (по соотношению лигнина к N), также в модель входит лигнин и целюлоза. Учитывает также температуру, влажность и гран состав, учитывает медленные пул, пассивный пул и выщелачивание. Century - общая компьютерная модель почвенно-растительной экосистем, которая может моделировать динамики лугов, лесов, урожай и саванны. Модель моделирует динамику органического в-ва почв в природных и обрабатываемых системах и объясняет динамику С, N,P,S в почвенно-растительных системах, используя временной шаг в один месяц. Есть так же подмодель расчета содержания влаги в почве, растительная подмодель. Примеры взаимодействия подмоделей: отношение С:N, С:S, C:P влияет на продукцию растительного сообщества, при уменьшении отношения ниже заданного - происходит снижение. Содержание азота в почве так же, например, учитывает выпадение осадков и поступление с ними азота. Азот прикрепляется к углероду, теряемому в процессе дыхания. Потеря азота вместе с урожаем. Активность микробной биомассы, зависит от отношения С:Р.

17. Организм-ориентированные модели. Микробные модели динамики органического вещества почв. Простейшая микробная модель разложения органического вещества почвы.

Организм-ориентированные модели: деструкторы включены в модель в явном виде, это модели пищевых цепей. Классификация Монзони, Парпарата(2009)

1.Модели микробиологические, ризосферные, внутрипочвенных агрегатов

2.Модели разложения опада, подстилки

3.Почвенные: трансформации орг вещества в почве, но без описания взаимодействия почв и растений

4. Экосистемные-рассматривают все взаимодействия

5.Глобальные-описывают биосферный цикл С.

Моделирование скорости разложения органического вещества почв в зависимости от условий среды. Редуцирующий фактор. Температурный фактор, Фактор влажности. Текстурный фактор. Модель Struc-C.

18. Глобальные модели. Почвенные биогеохимические модели, входящие в глобальные климатические модели.

Источники неопределенностей в моделях биогеохимического цикла углерода. Проверка моделей динамики органического вещества почв. Примеры использования. Основные направления развития.

Основная причина неопределенности модельных предсказаний-неоднородность объекта.

Ошибки:

1. При определении структуры модели

2. При выборе сценари: при выборе использования модели -лес вместо агро(+ ошибки из за масштаба- регион вместо точки и тп)

3. Ошибки неточного определения параметров. Пример ошибок связанных с С: 1. Гумусовые пулы не соответствуют фракциям 2. Неопределенность в определении структуры модели

4.не всегда нелинейные связи почва-организмы отображаются в модели

5. Выбор сценария, масштабов

6. Неточная оценка параметров. Использование моделей динамики С: изучение отклика почв и экосистем на изменение хозяйственного воздействия и смену характера землепользования в различных регионах мира, использование при исследовании о оценке почвенного потенциала для секвистрации С, это эффективный метод исследования и проверки гипотез при изучении орг вещества почв. Важное направление развития динамики С: устойчивость связей между моделями и изменяемыми фракциями, постановка экспериментов по изучению механизмов стабилизации орг вещества почвы, изучение нелинейных связей.

19. Модели педогенеза. Факторные модели. Эволюционные модели. Процессные модели. Факторные модели

Они основаны на концептуальной модели, которая была очень четко сформулирована В.В. Докучаевым в работе «Главные моменты в истории оценок земель Европейской России, с классификацией русских почв», опубликованной в 1886 оду в «Материалах к оценке земель Нижегородской губернии». Цитата из этой работы приведена в первой главе. В 1899 в докладе Закавказскому статистическому комитету В.В. Докучаев впервые представил свою модель в символьной форме: П = f(К,О,Г) В, где П - почва; К - климат; О - организмы; Г - материнская порода; В - возраст почвы. В этом выражении почему?то пропущен рельеф, хотя в тексте доклада отмечается важность этого фактора почвообразования.

Ч. Шоу в 1930 году S M C V D = ( ) + + T , (5.2) где S - почва, которая формируется из породы (М) под действием климата (С) и вегетации (V) во времени (Т). D - эрозия и осадконакопление.

С.А. ВилдеWilde (1941; 1946) представил почвообразование в

виде интеграла следующего вида: S=?(g.e.b)dt где S - почва; g - геологическая почвообразующая порода; e -влияние окружающей среды; b - биологическая активность; t -время.

Уравнение Г.С. Йенни (Jenny, 1941) s = f (cl, o, r, p ,t,…) где cl - климат; о - организмы; r - рельеф; p - почвообразующие породы; t - время. Точки указывают на возможность включения дополнительных переменных. Йенни подчеркнул разницу понятия «факторы почвообразования» по В.В. Докучаеву, с почвообразующими факторами в выражении. В этом выражении они представляют собой не движущие силы почвообразования, а только переменные, определяющие состояние почвенной системы.

При создании цифровых почвенных карт успешно используется модель «SCORPAN» (McBratneyetal, 2003). S=f(s,c,o,r,p,a,n) Sc - почвенная таксономическая единица; Sa - количественная характеристика почвенного свойства; s - другие свойства почвы; c- локальные климатические характеристики; o - организмы, растительность, фауна, человек; r - рельеф; p - почвообразующая порода; a - возраст, n - пространственное положение.

2.Эволюционные модели.

Эволюционные модели используются в целях изучения временных трендов в развитии почв.Начнем знакомство с ними с широко известной модели Джонсона с соавт. (Johnson, Watson?

Stegner, 1987; Johnsonetal., 1990). Эта модель отражает представления о почвообразовании, как о совокупности разнонаправленных процессов одновременно протекающих в почве. Прогрес?сивный педогенез включает процессы, которые направлены на развитие и дифференциацию профиля. Он подразумевает увеличение мощности профиля и лучшую выраженность генетических горизонтов.

Регрессивный педогенез представляют процессы, приводящие к уменьшению мощности и гомогенизации профиля. В зависимости от условий один и тот же процесс может увеличивать или уменьшать анизотропность профиля. С течением времени в почве могут доминировать те или другие процессы. Если доминируют прогрессивные процессы, то увеличивается мощность профиля и выраженность границ между горизонтами. При доминировании регрессивных процессов профиль укорачивается, а его анизотропность снижается. Изменение состояния почвы в ландшафте во времени не является однонаправленным. Монотонные тренды в развитии почв могут наблюдаться только при длительном доминировании прогрессивного или регрессивного педогенеза. В символьной форме модель была представлена следующим выражением:

S = f (P, R),

где S - почва или свойства почвы, P - прогрессивный педогенез и R - регрессивный педогенез.

Джонатан Филлипс (Phillips, 1993) предложил модель для исследования временных трендов развития почвы в зависимости от различных комбинаций прогрессивного и регрессивного направлений. В этой модели под развитием почвы понимается увеличение мощности профиля и степени преобразования почвообразующей породы. Почвенное развитие (S) увеличивается в результате прогрессивного (Р) педогенеза и уменьшается под действием регрессивного (R). Из этого следует, что скорость почвенного развития определяется разностью скоростей прогрессивного и регрессивного педогенеза:

В модели учтена обратная связь между скоростью прогрессивного педогенеза и развитием почвы S. Скорость прогрессивного развития педогенеза уменьшается с увеличением S в результате истощения выветривающихся минералов и снижения скорости выветривания с ростом глубины профиля. Для описания этой зависимости выбрана экспоненциальная функция: где с1 - коэффициент, характеризующий максимальную скорость прогрессивных педогенных преобразований; k1 - :коэффициент, описывающий уменьшение скорости прогрессивного педогенеза с развитием почвы. Подобным образом представлена зависимость скорости регрессивного педогенеза dR/dtот развития почвы где с2 - коэффициент, характеризующий максимальную скорость регрессивного педогенеза; k2 - коэффициент, описывающий уменьшение скорости регрессивного педогенеза с развитием почвы. Вероятно, в большинстве случаев k2 допустимо не учитывать. Уравнение (5.7) можно представить в разностной форме: где St- состояние почвы в момент времени t; St-1 - состояние почвы в предыдущий момент времени t?1; ДP R ,Д - изменения состояния почвы, произошедшие в результате соответственно прогрессивного и регрессивного педогенеза за время Дt.

20. Процессные модели

Концептуальную основу математических процессных моделей педогенеза представляет модель Роя Симонсона (Simonson, 1959). Схематически она представлена на рис. I.5.3.

Известные процессные модели педогенеза условно можно разделить на две группы. Первую представляют ландшафтные модели, развитые в геоморфологии. Ландшафтные модели отражают преобразование и перемещение только твердой фазы почвы и не описывают явно циркуляцию воды и растворенных веществ в почве. Модели второй группы сосредоточены на описании образования и развития почвенного профиля. Назовем их профильными. В этих моделях в явной форме описаны потоки воды и растворенных веществ в почве.

21. Процессные модели педогенеза, рассматривающие изменения только твердой фазы почвы. Модель почвообразования, описывающая динамику мощности почвы в зависимости от скорости выветривания и эрозии

1) Процессные модели педогенеза, рассматривающие изменения только твердой фазы почвы представлены ландшафтными моделями, развитыми в геоморфологии.

Ландшафтные модели

В качестве примера ландшафтной модели мы выбрали простейший вариант модели почвообразования и развития ландшафта (Minasny, McBratney, 1999). В этой модели рассматривается ландшафт с высотой поверхности z почвенным слоем мощностью h и границей раздела почва - порода e вдоль горизонтальной оси x (рис. I.5.4). Предполагается, что скорость почвообразования зависит от скорости выветривания подстилающей породы в результате физических, химических и биологических процессов, за счет чего опускается граница раздела почва - порода. Изменение мощности почвенной толщи = выветривание + (привнос - вынос) вещества в результате эрозии.

Уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения в математической форме, в этом случае имеет вид:

где h - мощность почвенного слоя; (?e/?t) - скорость выветривания; qs- поток вещества; сs- плотность почвы; сr- плотность породы; Предполагается, что скорость физического выветривания (?e/?t) экспоненциально убывает с увеличением мощности почвенной толщи (h)

где P0 - потенциальная (или максимальная) скорость выветривания породы, а k1 - эмпирический коэффициент. Уменьшение скорости выветривания с увеличением мощности почвы связано с экспоненциальным снижением амплитуды колебаний температуры с глубиной, а также с просачиванием воды в почву и процессами ее замораживания и оттаивания. Параметры P0 и k1 определяются климатом и свойствами почвообразующей породы. Значения P0 варьируют 0.08 до 2.0 мм в год в Северной Калифорнии и от 0.05 до 0.14 мм в год в юго?восточной Австралии. Средние значения параметра k1 составляют 2?4 мм в год. Перемещение вещества в ландшафте обычно рассматривается диффузионным. В этом случае поток вещества определяется следующим образом:

где qs- поток вещества, которое перемещается по склону через единицу площади в единицу времени; D - эрозионная диффузия. Она зависит от физических свойств почвы, характера растительного покрова и погоды. Подставляя (5.14) в уравнение неразрывности (5.12) и полагая, что D и сsне изменяются в пространстве, получим уравнение почвообразования:

где сsплотность почвы, сrплотность породы. Таким образом, скорость почвообразования - изменение мощности почвенной толщи в единицу времени зависит от скорости выветривания и перемещения почвы в результате эрозии, которая определяется эрозионной диффузией (D) и кривизной склона.

Исследование модели свидетельствует о высокой чувствительности к начальным условиям, свойственной нелинейной системам. Как обсуждалось в третьей главе, нелинейные системы характеризуется сложной и многообразной динамикой. В их поведении возможно обнаружение детерминированного хаоса - режима с очень изменчивой амплитудой. Хаотическое поведение обусловлено тем, что небольшие отклонения от начальных условий в нелинейных системах со временем могут увеличиваться, в результате чего первоначально близкие траектории будут расходиться. В дальнейшем обсуждаемая модель была усовершенствована за счет перехода от одномерного (1D) к двумерному (2D) варианту и включения описания химического выветривания, приводящего к уменьшению мощности почвенной толщи в результате растворения минералов и выщелачивания растворенного вещества (Minasny, McBratney, 2001). Важным шагом в развитии модели явилось описание обратной связи, характеризующей снижение эрозии почвы при увеличении продуктивности растительного покрова. С этой целью в модель введен индекс продуктивности - функция, изменяющаяся от 0 до 1 в зависимости от мощности почвы (Minasny, McBratney, 2006).

В моделях развития ландшафта почва представлена одним слоем, мощность которого изменяется на протяжении десятков и сотен тысяч лет. Сальвадор?Бланес с соавт. (Salvador?Blanesetal., 2007) попытались построить модель почвообразования в масштабе почвенного профиля, подходящую для включения в модель развития ландшафта (Minasny, McBratney, 2001). Она включает физическое выветривание грубой и тонкой фракций почвы, химическое выветривание тонкой фракции, процессы деформации и биотурбации и описывает, как со временем в результате развития почвы изменяется внутрипрофильное распределение ее плотности, содержания грубой и тонкой фракций и минералогического состава. Обсуждаемая модель имитирует образование почвенных горизонтов в результате только физико?химического выветривания, процессов деформации и биотурбации и не описывает процессы переноса вещества, обусловленные циркуляцией воды в почве и играющие важную роль в дифференциации профиля. Тем не менее, она играет важную роль в развитии ландшафтных моделей, так как это первый шаг в направлении перехода к моделям, описывающим изменение во времени не только мощности почвенного профиля, но и образование горизонтов.



22. Процессные модели педогенеза, в явном виде описывающие миграцию вещества в почвенном профиле. Модель элювиального процесса («идеального подзола» А.И.Морозова). Модели ORTHOD, CALGIP и SOILGEN

Почва=функция факторов почвообразования (Докучаев).Почвенные модели: 1.основаны на описании изменений тв фазы и в явном виде не описывают циркуляцию воды и почвенных растворов. 2 группы моделей: а. Основаны на линейном тренде. Представляются в виде троичных диаграмм, это простейшие модели которые не рассматривают собственно процессы б. Модель MincsnyMcBratney.Это процессная модель, определяет динамику изменения почвенного слоя, которая в своюб очередь определяется разностью скоростей 2х процессов: выветривания нижележащей породы и перемещения почвенного материала в результате эрозии. 2. Модели определяющие жидкую фазу и ее взаимодействие с тв фазой. В основе уравнение неразрывности: dm/dt=-(dI/dx)±I, где dm-масса вещества в едобьема, а dI/dz-градиент потока, I-поток m через ед сечение в ед времени, z-вертикальная составляющая, положительным считается направление вниз. Вертикальная миграция растворенных веществ: d(Qc)/dt=d/dz*[D*{d(Qc)/dz}-q*c±I], где Q-обьемная влажность, c- концентрация вещества в растворе, q-поток влаги в почве, q*c-поток за счет силы гравитации, D*-коэффициент гидродинамической диффузии.а. Модель идеального подзола(УИП 5).Допущения: гомогенная, рыхлая порода (песок), состоит из 2х частей: устойчивой (кварц) и растворимой, есть органическая часть растворяющая породу(фульва), продукты растворения биофилы, биофилы выносятся, кварц остается. Суть модели в написании уравнений для каждой составляющей: воды, фульвы, вещества, биофилов, кварца. В итоге имеем 5 процессов элл. В подзоле, чтобы решить уравнения необходимо задать начальные ( порода и биофилы от 0 до z) и граничные условия( поверхность почвы-до глубины расчетов).Эта модель исследует динамику фронта иллювиирования (зоны перехода, ниже которой разрушено <30% мат породы, а выше сохранилось неразрушенным >30%). Но есть ряд вопросов: стационарен ли фронт и если есть некий предел мощности, то чем она определяется, от чего зависит и тп. Модель подзолообразования Orthod Имеет модульную структуру. Упрощения: почва на песке, бореальные леса северной америки, нет заболачивания. Модуль влагопереноса, миграции веществ, теплопереноса, растворения минералов, разложения орг части, ионного обмена, осадков и их хим состава. Разные временные шаги: у модулей влагопереноса и ионного обмена 0,1 сутки, у всех остальных=1 сутки). Модель отвечает на вопросы: сколько поступает в почву орг вещества при разложении подстилки, какие механизмы ответственны за накопление элементов в В горизонте, что выносится из профиля и тп. CALGIP -Модель формирования Са и гипсового горизонта в аридных почвах, имеет модульную природу. Модуль осадков стохастический ( то есть на выходе имеем не четкие значения, а их вероятностный диапозон). Подмодели: миграция Са и сульфат ионов, массообменСа и сульфат ионов между жидкой и тв фазами, ионообмен с ППК, растворение гипса и кальцита, динамика СО2 в газовой фазе, взаимодействие жидкой и тв фазы по закону Генри. Шаг по времени=1 сутки. Переменные: количество осадков, поступление с ними Са и сульфат ионов, поступление Са и сульфат ионов с пылью, плотность почвы, полевая влагоемкость, влагозавядание. Рассматривает вопросы: как сульфат ион меняет миграционную способность Са, на какой глубине формируются соответсвующие горизонты. Обратная задача: знаем глубину горизонтов и вычисляем условия формирования, входные функции и параметры. SOILGEN - имитационная модель для изчения мат породы. В то время как генетичисслед почвы реконстуируют исходную мат породу, эта моельреонструирует с помощью начальных условий почвообразования мат породу, беря за основу определение почвы как "функции факторов почвообразования"

23. Параметры аппроксимации и их определение (метод сканирования). Начальные приближения. Статистики для анализа параметров аппроксимации. Случайные и систематические ошибки при аппроксимации. Методы их оценки

Параметр - это числовой коэффициент или свободный член уравнения, полученный операцией подбора (аппроксимацией) выбранной функцией экспериментальных данных.

Аппроксимация по методу наименьших квадратов - операция подбора параметров выбранной функции для экспериментальных данных, основанная на нахождении минимума среднеквадратической ошибки экспериментальных данных. Критерий получения параметров нам известен, это нахождение минимума среднеквадратической ошибки

В данном случае можно представить среднеквадратическую ошибку в следующем виде (для упрощения расчета возьмем четыре пары значений):



Решением данного уравнения будут конкретные численные значения для параметров b1 и b2. Данное уравнение не удастся решить обычным способом - два неизвестных в одном уравнении. Необходимо использовать другие методы. Для нахождения значений параметров в многопараметрических нелинейных уравнениях используют алгоритмы решения вычислительных задач методами высшей математике, которые можно разделить на детерминистические и стохастические. Давайте разберем наиболее показательный детерминистический метод сканирования или симплекс?метод. Прежде всего, представим поле параметров b1 и b2 в виде крупной сетки (рис. II.3.19). В узлах сетки рассчитывается значение Sr. Начнем, например, со значения b2=0.3 и b1=0.3 (точка А). Тогда можно рассчитать Srв этой точке:

Казалось бы, что на всем поле значений b1 и b2 значение 0.28 и является минимальным, так как в других узлах значения выше, а нам ведь надо найти минимум среднеквадратичной ошибки. Однако, если «измельчить» сетку, рассчитать значения параметров в ближайших точках, то можно найти такую точку, вокруг которой все значения на рассматриваемом поле параметров будут увеличиваться. Достигнут минимум Srв рассматриваемом поле параметров. Для точки достигнутого минимума мы и определяем b1 и b2. В данном случае они равны b1= 0.628 и b2 =0.401. Таким образом, искомое уравнение после операции сканирования приобрело конкретный вид:

Заметим, что во время операции сканирования мы сделали очень важный шаг: мы начали наши расчеты с конкретных значений b1 и b2. Мы их задали равными 0.3. Эти значения называют «начальные приближения». Задавать их - большое искусство. Если их задать совсем другими, мы окажемся совсем в другом месте рассматриваемого поля и по мере движения («дробления сетки») можем оказаться не в генеральном минимуме, а в так называемом «локальном минимуме», что будет серьезной ошибкой. Даже современные расчетные программы в этом случае «зависают» и не находят нужного решения.

24. Статистики для анализа параметров



Случайные погрешности не имеют преимущественного направления (в сторону плюса или минуса) и уравновешивают друг друга. Эти погрешности возникают в результате случайных отклонений значений изучаемого показателя в исследуемой выборке (ошибка экспериментатора, единичные случаи изменения внешних условий и др.). Эти отклонения объясняет теория вероятности. В отличие от случайных отклонений систематические погрешности направлены в сторону только преувеличения или только преуменьшения в результате действия на изучаемую систему неучтенного фактора (рис. II.3.15). Таким фактором, как правило, бывает методическая неточность (смещение нуля шкалы прибора, шкала нанесена неравномерно; капилляр термометра в разных участках имеет разное сечение и др.), что нередко приводит к заметным ошибкам и, более того, к неверной интерпретации процессов. Поэтому анализ появления случайных ошибок - чрезвычайно важный этап регрессионного анализа.



Функции, наиболее употребительные в почвоведении. Оценка параметров, их связь со свойствами почв.

се множество функций, применимых к описанию явлений в природе, можно разделить на несколько больших групп в зависимости от направленности процесса:

I. Монотонные

1. Возрастающие

2. Убывающие

II. С одним экстремумом

III. С несколькими экстремумами

IV. С изломом

Монотонные (убывающие и возрастающие) функции

Все множество убывающих и возрастающих функций можно разделить на пять типов:

1. Линейная y=b1+b2x

2. Степенная (за исключением параболы)

3. Показательная и экспоненциальная

4. Логарифмическая

5. Логистическая

Функции с одним экстремумом

Среди функций, имеющих один максимум или минимум

можно выделить две, часто используемые в естественных науках:

1. Параболическая

2. Гауссовская функция и гауссовскаялогит?функция.

Функции с несколькими экстремумами

1. Полиномы 3?й и более высокой степени

2. Сплайн?функция. Кусочная функция. Состоит из нескольких разных функций.

Математические уравнения для описания экспериментальных данных.

I.Убывающие: 1.бином b1(1-x/b2); 2.степенная (x/b2)-b1; 3.Экспоненциальная b1exp(-x/b2); 4.Логистическая b1/(1-(b2/x)-b3); b1x/(x-b2);

II.Возрастающие (те же, что и убывающие, только с другими коэффициентами);

III.С одним максимумом: 1.Параболические b1-(x/b2)b3; .2.Гауссиана b1exp(-(x-b2)2/b3);

IV.С одним минимумом (те же, что и с одним максимумом, но только с другими коэффициентами);

V.С несколькими экстремумами (например, сплайн-функция или сумма 2-х гауссиан);

VI. С изломом (все функции, в которых есть модуль, например, y=|x| или y=|sinx|) из того, что встречается в природе - транспирационная трапеция; Михаэлиса-Ментен (dS/dt=V0S/(Km+S), Km - константа Михаэлиса - концентрация, при которой достигается Ѕmax скорости).

Физическое обоснование моделей влагопереноса с использованием основных гидрофизических функций. Сеточная схема расчета. Начальные условия.

1. Для каждого почвенного слоя необходимо экспериментально определить основную гидрофизическую характеристику в виде дифференциальной влагоемкости С(и, Рк?с).

2. Для каждого почвенного слоя необходимо знать и функцию влагопроводностиКвл(Рк?с). Возникает вопрос: как найти величину Квл (Рк?с) между двумя соседними слоями? Применяют несколько способов: (1) усредняют саму величину влагопроводности, (2) усредняют сначала влажность слоев, а затем находят влагопроводность для усредненной влажности и (3) усреднение с учетом толщины слоя почвы. Считается, что последний метод дает лучшие

результаты.

3. Задается конкретная глубина почвы и указывается срок, для которого надо производить расчет. Действительно, это необходимо для того, чтобы свести баланс. Глубина почвы указывается в виде верхней (обычно поверхность почвы) и нижней границ.

4. Необходимо задать и условия на нижней границе, иначе невозможно свести баланс. Обычно это либо:

- постоянная влажность или давление влаги на нижней границе (условие 1?го рода). Его используют, например, при наличии грунтовых вод в нижней части профиля;

- свободный сток или постоянный градиент давления (условие 2?го рода). Граничное условие характерно для автоморфных почв с глубоким уровнем грунтовых вод;

- поток через нижнюю границу пропорционален градиенту движущей силы и коэффициенту проводимости (обобщенное граничное условие 3?го рода). Это условие обычно используют при наличии на нижней границе плохо проницаемого слоя, в случае поступления грунтовых вод через этот слой.

5. Необходимо задать условия и на верхней границе, иначе невозможно свести баланс. Это условие формулируется в виде приходных и расходных статей: осадки, поливы, испарения итранспирация. В большинстве случаев это величины ежесуточных (декадных и пр.) экспериментальных данных. Для больших территорий и агроценозовэвапотранспирацию можно рассчитать на основе стандартных метеоданных.

Начнем с ввода почвенных гидрофизических данных - пункт 1 и 2. Имеем собственно почвенно?гидрофические данные для каждого слоя в виде основной гидрофизической характеристики и функции влагопроводности. Вспомним, что основная гидрофизическая характеристика (ОГХ) - это зависимость объемной влажности почвы (см3/см3 или безразмерная величина) от капиллярно-сорбционного давления влаги (см водного столба или другие единицы давления. Часто используется внесистемная единица pF, равная десятичному логарифму модуля давления влаги в см водного столба, величина, аналогичная pH в химии). Экспериментальное определение ОГХ, и(h) - это отдельная область физики

Экспериментальное обеспечение модели - это задание граничных (на верхней и нижней границах почвы) условий в виде потоков веществ/тепла или градиентов движущих сил, специальных почвенно-физических функций и свойств по отдельных почвенным слоям, описание педотрансферных функций, расчетная схема. 2 осн закона: 1.Закон баланса-уравнение неразрывности. ?ЗВ/dt=(?Q*?z)/?t=?q; ?Q/?t=?q/?z; dQ/dt=dq/dz ,где Q-влажность, q-поток, z-высота колонки, qвх,qвых-соотв входящий и выходящий потоки. Закон баланса воды: изменение влажности определенной толщи почвы во времени пропорционально изменению потока влаги в рассматриваемой толще колонки. Для выражения тепла через закон баланса: dT/dt=dqt/dz, для потока солей: dc/dt=dqc/dz2. Закон потока: ,Ш-водный потенциал.Особенности почвенных моделей: физическое обоснование (2 закона), пространственное распределение (всегда если есть x в пространстве, есть и dx/dz), динамичность (dx/dt), имитационность (численные методы решения, а не аналитические). Начальные условия-это пространственное (по профилю) распределение переменной состояния (влажность, температура, концентрация) в начальный (нулевой) момент времени, с которого начинаются расчеты. Граничные условия-это задание потоков, градиентов или конкретных значений переменных состояния на верхних и нижних границах почвы в каждый момент времени за рассчетный период. Модель движения воды в почве: условия на верхней границе-испарение, транспирация, осадки и поливы. Условия на нижней границе: 1.Постоянное условие-постоянная влажность (Q(zend,t)=const), 2. Закрытое условие-постоянный градиент- dQ(zend,t)/dz=0, 3.Потоковое- задан поток воды: Q(zend,t)=Kвлагопроводности* (dP/dz-1), где Р-градиент капиллярно сорбционного давления. Итого экспериментальное обеспечение моделей влагопереноса: ОГХ (послойно для всего профиля) , функция влагопроводности (послойно), условия на верхней границе, условия на нижней границе, начальные условия.

Примеры условий для моделей влагопереноса.



Экспериментальное обеспечение моделей: начальные и граничные условия (3 условия на нижней границе), почвенные функции и константы. На примере моделей влагопереноса в почвах. Почвенный блок в моделях влагопереноса. Препроцессор в моделях влагопереноса в почвах. Модели теплопереноса в почвах. Постпроцессор в моделях влагопереноса.

Вспомним, что основная гидрофизическая характеристика (ОГХ) - это зависимость объемной влажности почвы (см3/см3 или безразмерная величина) от капиллярно?сорбционного давления влаги (см водного столба или другие единицы давления. Часто используется внесистемная единица pF, равная десятичному логарифму модуля давления влаги в см водного столба, величина, аналогичная pH в химии).

В процессе работы программы функцию (ОГХ) надо вводить не в виде экспериментальных точек (пар значений функция-аргумент), а в виде функциональной зависимости, которая статистически наиболее точно описывает экспериментальные данные. Аналогично все происходит и с функцией влагопроводности, K(h).

...