Подземная нефтегазовая гидродинамика

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОДЗЕМНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

1.1 Понятие о моделировании

1.2 Модели фильтрационного течения и коллекторов

1.2.1 Модель фильтрационного течения

1.2.2 Модели коллекторов

1.2.3 характеристики коллекторов

1.3 Скорость фильтрации. Законы фильтрации

1.3.1 Пористая среда

1.3.2 Трещиноватая среда

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ

2.1 Уравнения течения для пористой среды

2.1.1 Общая система уравнений

2.1.2 Уравнения потенциального движения

2.2 Уравнения фильтрации для трещиновато-пористой среды

2.2.1 Общая система уравнений

2.3 Начальные и граничные условия

2.3.1 Начальные условия

2.3.2 Граничные условия

2.4 Замыкающие соотношения

2.4.1 Зависимость плотности от давления или уравнения состояния

2.4.2 Зависимость вязкости от давления

2.4.3 Зависимость пористости от давления

2.4.4 Зависимость проницаемости от давления

3. УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

3.1 Виды одномерных потоков

3.1.1 Описание одномерных потоков

3.2 Исследование одномерных течений

3.2.1 Задача исследования

3.2.2 Решение общего дифференциального уравнения установившегося потенциального одномерного потока. Показатель формы потока

3.2.3 Потенциальные функции

3.2.4 Анализ основных видов одномерного течения по закону Дарси

3.2.5 Анализ одномерных потоков при нелинейных законах фильтрации

3.2.6 Фильтрация в неоднородных средах

4. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ ОБ УСТАНОВИВШЕМСЯ ПРИТОКЕ К СКВАЖИНЕ

4.1. Приток к совершенной скважине

4.1.1 Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной

4.1.2 Приток к группе скважин с удаленным контуром питания

4.1.3 Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания

4.1.4 Приток к скважине, расположенной вблизи непроницаемой прямолинейной границы

4.1.5 Приток к скважине в пласте с произвольным контуром питания

4.1.6 Приток к бесконечным цепочкам и кольцевым батареям скважин

4.1.7 Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений

4.2 Приток к несовершенным скважинам

4.2.1 Виды несовершенств скважин. Приведенный радиус. Добавочное фильтрационное сопротивление

4.2.2 Экспериментальные и теоретические исследования притока жидкости к гидродинамически несовершенной скважине

4.2.3 Интерференция скважин

4.3 Взаимодействие скважин в неоднородно проницаемом и анизотропном пластах

4.4 Влияние радиуса скважины на ее производительность

5. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

5.1 Упругая жидкость

5.1.1 Понятия об упругом режиме пласта

5.1.2 Основные параметры теории упругого режима

5.1.3 Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации упругой жидкости (уравнение пьезопроводности)

5.1.4 Приток к скважине в пласте неограниченных размеров

5.1.5 Приток к скважине в пласте конечных размеров и условиях упруго-водонапорного и замкнуто-упругого режима

5.1.6 Взаимодействие скважин

5.1.7 Определение коллекторских свойств по данным исследования скважин нестационарными методами

5.2 Неустановившаяся фильтрация газа в пористой среде

5.2.1 Уравнение Лейбензона

6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ МНОГОФАЗНЫХ СИСТЕМ

6.1 Связь с проблемой нефтегазоотдачи пластов

6.2 Основные характеристики многофазной фильтрации

6.3 Исходные уравнения многофазной фильтрации

6.4 Одномерные модели вытеснения несмешивающихся жидкостей

6.5 Задача Баклея-Леверетта и ее обобщения

6.6 Задача Рапопорта-Лиса

7. ОСНОВЫ ФИЛЬТРАЦИИ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

7.1 Реологические модели фильтрирующихся жидкостей и нелинейные законы фильтрации

7.2 Одномерные задачи фильтрации вязкопластичной жидкости

7.3 Образование застойных зон при вытеснении нефти водой

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Подземная нефтегазовая гидродинамика (ПГД) наука о движении нефти, воды, газа и их смесей через горные породы, имеющие пустоты, одни из которых называют порами, другие трещинами. Жидкость, газ, смесь жидкости и газа, то есть всякая текучая среда, часто именуется общим термином флюид, если не ставится задача выделить характерные особенности движения данной среды. Горные породы, которые могут служить хранилищами нефти, газа и отдавать их при разработке носят название коллекторов.

Теоретической основой ПГД является теория фильтрации - наука, описывающая движение флюида с позиций механики сплошной среды, то есть гипотезы сплошности (неразрывности) течения.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОДЗЕМНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

1.1 Понятие о моделировании

Особенностью теории фильтрации нефти и газа в природных пластах является одновременное рассмотрение процессов в областях, характерные размеры которых различаются на порядки: размер пор (до десятков микрометров), диаметр скважин (до десятков сантиметров), толщины пластов (до десятков метров), расстояния между скважинами (сотни метров), протяженность месторождений (до сотен километров). Кроме того, неоднородность пластов (по толщине и площади) имеет характерные размеры практически любого масштаба.

Указанные неоднородности по строению залежей, широкомасштабность областей исследования, а также значительная широта фациального состава коллекторов и сложный нерегулярный характер структуры порового пространства обуславливают ограниченность и приближенность сведений о пласте и флюидах, полученных в результате геологических и геофизических исследований. Таким образом, исследование пластов невозможно без абстрактного (математического) и физического (лабораторного) моделирования.

При абстрактном моделировании реальные процессы описываются некоторой математической моделью, полученной на основе методов осреднения характерных параметров по времени, пространству и статистической выборке. Это осреднение позволяет перейти от дискретных распределений к непрерывным и, следовательно, использовать хорошо разработанные аппараты механики сплошных сред и дифференциального исчисления.

Математическое моделирование предполагает использование целого ряда зависимостей, позволяющих в той или иной мере отожествить математическую модель с реальными физическими средами и процессами. В силу разнообразия реальных сред, процессов и огромного числа взаимосвязанных факторов для получения данных зависимостей в подземной гидромеханике широко используется физическое моделирование, основанное на теории подобия.

Адекватность абстрактных и физических моделей реальным процессам требует выполнения следующих требований при их построении:

полнота - содержание достаточного числа признаков реального объекта;

непротиворечивость - включенные признаки не должны противоречить друг другу;

реализуемость - построенная математическая модель должна допускать аналитическое или численное решение, а физическая - реализацию в искусственных условиях;

компактность и экономичность - процессы сбора информации, подготовка и реализация модели должны быть максимально просты, обозримы и экономически целесообразны.

При моделировании пластов и фильтрационных процессов необходимо помнить о принципиальной невозможности достижения точного количественного описания, и, следовательно, основная задача исследования заключается в установлении качественных закономерностей, устойчивых тенденций, а также количественных соотношений, устойчивых к вариации исходных данных. Целью моделирования является не столько точное определение всех характеристик процесса, сколько расширение той совокупности сведений, которые учитываются при выборе системы разработки или метода воздействия на пласт. При этом уточнение и коррекция данных сведений возможны только на основе анализа последующего поведения пласта. Решающую роль играет постановка задачи и такой анализ результатов ее реализации, который позволяет сделать некоторые общие заключения. Следует иметь в виду, что зачастую усложнение модели, т.е. увеличение признаков сверхопределяющих основные закономерности, может привести не к увеличению точности, а к качественно неверному результату.

1.2 Модели фильтрационного течения и коллекторов

1.2.1 Модели фильтрационного течения

Теория фильтрации строится на представлении породы и заполняющего ее флюида сплошной средой. Это означает, что элементы системы флюид - порода считаются физически бесконечно малыми, но достаточно большими по сравнению с размерами пустот и зерен породы. При этом предполагается, что в одном и том же элементарном объеме содержатся одновременно порода и флюид.

Известно, что в механике сплошных сред течение жидкостей и газов описывается тремя законами сохранения: массы, количества движения и энергии. При исследовании фильтрационного течения в подземной гидромеханике используются только первые два уравнения, а изменением температуры флюида пренебрегается по причине малых скоростей течения и значительного теплообмена со скелетом пород, вследствие значительной поверхности контакта, которые практически не меняют своей температуры из-за большой своей теплоёмкости. Таким образом, процесс течения предполагается изотермическим. Необходимо отметить, что в отдельных случаях (тщательное изучение призабойной зоны, использование термических методов интенсификации добычи флюидов) используют и общую постановку - с учётом изменения температуры не только флюида, но и породы.

Для процессов, происходящих в нефтегазовых пластах при разработке, характерно наличие периодов изменения параметров течения во времени (пуск и остановка скважин, проведение работ по интенсификации притока). Такие процессы называют неустановившимися (нестационарными), а сами модели течения нестационарными. Те же модели, которые описывают процессы не зависящими от времени, называют стационарными (установившимися). При этом в данных моделях, по причине малости изменения скорости и значительного преобладания сил сопротивления над инерционными, уравнение количества движения используется не зависящим от времени и пренебрегается изменением импульса по пространству.

Моделирование фильтрационного течения по отношению к пространственному изменению параметров может проводиться в одномерной, плоской и пространственной постановках. Одномерная постановка рассматривается в том случае, когда параметры являются функцией только одной переменной - это течение по прямой или кривой.

Флюиды различны по степени сжимаемости. Так природный газ способен значительно изменять свой объём при изменении давления, вода и нефть в довольно значительном диапазоне давлений (приблизительно до 20МПа) практически несжимаемы, а при высоких давлениях обладают упругими свойствами. В связи с указанными факторами различают модели сжимаемой, несжимаемой и упругой среды. Построение каждой из указанной модели требует привлечения эмпирических уравнений состояния - соотношений, связывающих изменение объёма с изменением давления.

В области контакта флюидов при вытеснении одного другим или при выделении одного флюида из другого в каждом микрообъёме содержится два или больше флюидов, занимающих отдельные четко различимые объёмы (пузырьки газа в жидкости, капли или плёнки в газе) и взаимодействующих на поверхностях раздела. Такие системы называют многофазными (двух, трёх и т.д.) в отличие от многокомпонентных смесей (природный газ, нефть), в которых взаимодействие происходит на молекулярном уровне и поверхности раздела выделить нельзя. В гидродинамике такие среды называют однофазными или гомогенными.

В процессе движения флюиды испытывают различные деформации (сжатие, кручение, растяжение и т.д.) при изменении нагрузки (трение соседних объёмов, внешние силы), которая, отнесённая к единице площади, получила название напряжения. Само соотношение, связывающее деформацию или скорость изменения деформации с напряжением, называется реологическим соотношением или законом. Наиболее часто, применительно к жидкостям, для описания действия касательных напряжений xy на сдвиговую деформацию применяют соотношение Ньютона

подземный гидродинамика фильтрация скважина

где ux - скорость в направлении х; у - направление, перпендикулярное х; - коэффициент динамической вязкости. Довольно часто движение флюидов не подчиняется данному закону, например, при страгивании пластовой нефти требуется некоторое, отличное от нулевого, напряжение, чтобы разорвать образованные пластовой водой коллоидные структуры. Такие среды называются неньютоновскими, а модель - моделью неньютоновского течения.

1.2.2 Модели коллекторов

Моделирование коллекторов и, соответственно, классификация их параметров проводится по трём направлениям: геометрическое, механическое и связанное с наличием жидкости.

Геометрические модели. С геометрической точки зрения, все коллекторы можно подразделить на две большие группы: гранулярные (поровые) и трещиноватые. Ёмкость и фильтрация в пористом коллекторе определяется структурой порового пространства между зёрнами породы. Для второй группы характерно наличие развитой системы трещин, густота которых зависит от состава пород, степени уплотнения, мощности, структурных условий и так далее. Чаще всего имеют место коллекторы смешанного типа, для которых ёмкостью служат трещины, каверны, поровые пространства, а ведущая роль в фильтрации флюидов принадлежит развитой системе микротрещин, сообщающих эти пустоты между собой. В зависимости от того какие категории пустот являются путями фильтрации или главным вместилищем флюида различают коллекторы: трещиновато-пористые, трещиновато-каверновые и т.д. При этом первая часть в названии определяет вид пустот по которым происходит фильтрация. С целью количественного описания реальные сложные породы моделируют идеализированными моделями.

Идеализированные модели пористых сред.

Рис. 1.1. Элемент фиктивного грунта

Фиктивный грунт - среда, состоящая из шариков одного размера, уложенных во всем объёме пористой среды одинаковым образом по элементам из восьми шаров в углах ромбоэдра (рис.1.1). Острый угол раствора ромбоэдра меняется от 60о до 90о. Наиболее плотная укладка частиц при =60о и наименее плотная при =90о (куб)

С целью более точного описания реальных пористых сред в настоящее время предложены более сложные модели фиктивного грунта: с различными диаметрами шаров, элементами нешарообразной формы и так далее.

Идеальный грунт - среда, состоящая из трубочек одного размера, уложенных одинаковым образом по элементам из четырех трубочек в углах ромба. Плотность укладки меняется от угла раствора ромба.

Идеализированные модели трещиновато - пористых сред.

Трещиновато-пористые коллекторы рассматриваются как совокупность двух разномасштабных пористых сред (рис.1.2): системы трещин (среда 1), где пористые блоки играют роль “зёрен”, а трещины - роль извилистых “пор” и системы пористых блоков (среда 2).

Рис. 1.2. Схема трещиновато-пористой среды

В простейшем случае трещиноватый пласт моделируется одной сеткой горизонтальных трещин некоторой протяженности (рис.1.3), причём все трещины одинаково раскрыты и равно отстоят друг от друга (одномерный случай).

В большинстве случаев трещиноватый пласт характеризуется наличием двух взаимно-перпендикулярных систем вертикальных трещин (плоский случай). Такая порода может быть представлена в виде модели коллектора, расчленённого двумя взаимно-перпендикулярными системами трещин с равными величинами раскрытия т и линейного размера блока породы lт. В пространственном случае используют систему трёх взаимно-перпендикулярных систем трещин (рис.1.4).

Механические модели. Всякое изменение сил, действующих на горные породы, вызывает их деформацию, а также изменение внутренних усилий - напряжений. Таким образом динамическое состояние горных пород, как и флюидов, описывается реологическими соотношениями. Обычно реологические зависимости получают в результате анализа экспериментальных данных, натурных исследований или физического моделирования. Если объём пустот не изменяется или изменяется так, что его изменением можно пренебречь, то такую среду можно назвать недеформируемой. Если происходит линейное изменение объёма от напряжения, то такая среда - упругая, иначе ещё её называют кулоновской. К таким средам относятся песчаники, известняки, базальты. В упругих телах при снятии нагрузки объём восстанавливается полностью и линия нагрузки совпадает с линией разгрузки. Многие породы деформируются с остаточным изменением объёма, т.е. линия нагружения не совпадает с линией разгружения. Такие породы называются пластичными (глины), текучими (несцементируемые пески) или разрушаемыми.

Рис.1.3. Схема одномерной

Рис.1.4 Схема пространственной модели трешиноватой среды модели трешиноватой среды

Горные породы необходимо разделять по ориентированности изменения их характеристик в пространстве. С этой позиции выделяют изотропные и анизотропные тела. Изотропия - это независимость изменения физических параметров от направления, анизотропия - это различные изменения по отдельным направлениям. Понятие ориентированности, применительно к коллекторам, связано скорее с геометрией расположения частиц, трещин. Так частицы могут располагаться хаотично и упорядочно в пространстве. Упорядочные структуры - анизотропны по поверхностным параметрам.

1.2.3 Характеристики коллекторов

С точки зрения теории фильтрации значение твердого скелета горной породы, прежде всего, геометрическое, он ограничивает ту область пространства, в которой движется жидкость. Лишь только в отдельных случаях приходится рассматривать силовое взаимодействие между скелетом и прилегающей к нему жидкостью. Поэтому свойства горных пород в теории фильтрации описываются некоторым набором геометрических характеристик, осредненных по достаточно малому, по сравнению с исследуемым объемом, но содержащему большое число элементов (частиц, пор, трещин).

Параметры пористой среды. Важнейшая характеристика - полная пористость " mо ", равная отношению объема пор Vп к общему объему элемента V

. (1.1)

В связи с тем, что переток жидкости осуществляется через поверхность, представляется необходимым введение параметра, связанного с площадью. Такой геометрический параметр называется просветностью " ms " и определяется как отношение площади просветов Fп ко всей площади сечения образца F

. (1.2)

Пользоваться такими поверхностными параметрами практически не представляется возможным, так как в реальных породах они меняются от сечения к сечению и определить их можно только с помощью микроскопического анализа. Следовательно, желательно данные параметры заменить на объемные, которые можно определить достаточно надежно. Выше отмечалось, что породы можно разделить на изотропные и анизотропные. Для анизотропных коллекторов с упорядоченной структурой данные параметры нельзя заменять на объемные. Для хаотичных, изотропных сред указанная замена возможна и просветность полагают равной пористости.

В пористой среде есть тупиковые и замкнутые поры, в которых движения жидкости не происходит. В связи с этим, вполне обосновано введение понятия открытой пористости, которая описывается соотношением (1.1) , но под Vп понимается объём открытых пор Vпo.

В реальных условиях твердые зерна породы обволакиваются тонкой плёнкой, остающейся неподвижной даже при значительных градиентах давления. В этом случае подвижный флюид занимает объём, меньший Vпo и, поэтому, наряду с открытой пористостью часто пользуются понятием динамической пористости

, (1.3)

где Vпо - объем, занятый подвижной жидкостью.

В дальнейшем, под пористостью мы будем понимать динамическую пористость, кроме специально оговорённых случаев.

Пористость твердых материалов (песок, бокситы и т.д.) меняется незначительно при изменении даже больших давлений, но пористость, например, глины очень восприимчива к сжатию. Так пористость глинистого сланца при обычном давлении равна 0.4 - 0.5, а на глубине 1800м - 0.05. Для газовых и нефтяных коллекторов в большинстве случаев m=15-22%, но может меняться в широких пределах: от нескольких долей процента до 52%.

Для фиктивного грунта, исходя из геометрических построений, Слихтер вывел зависимость для полной пористости

. (1.4)

Из формулы (1.4) имеем: mo=0,259 при =60о и mo=0,476 при =90о.

Просветность ms фиктивного грунта вычисляется по формуле

, (1.5)

что даёт ms=0,0931 при =60о и ms=0,476 при =90о.

Таким образом, из формул (1.4) и (1.5) следует, что пористость и просветность фиктивного грунта не зависят от диаметра шарообразных частиц, а зависят только от степени укладки. Для реальных сред коэффициент пористости зависит от плотности укладки частиц и их размера - чем меньше размер зёрен, тем больше пористость. Последнее связано с ростом образования сводовых структур при уменьшении размера частиц.

В идеализированном представлении коэффициент пористости одинаков для геометрически подобных сред; он не характеризует размеры пор и структуру порового пространства. Поэтому для того, чтобы формулы, описывающие фиктивный грунт, можно было применить для описания реальной среды, вводится линейный размер порового пространства, а именно, некоторый средний размер порового канала или отдельного зерна пористого скелета d.

Простейшая геометрическая характеристика пористой среды - эффективный диаметр частиц грунта. Определяют его различными способами - микроскопическим, ситовым, осаждением в жидкости (седиментационным) и так далее. Эффективным диаметром частиц dэ, слагающих реальную пористую среду, называют такой диаметр шаров, образующих эквивалентный фиктивный грунт, при котором гидравлическое сопротивление, оказываемое фильтрующейся жидкости в реальном и эквивалентном грунте, одинаково. Эффективный диаметр определяют по гранулометрическому составу (рис.1.5), например, по формуле веса средней частицы

, (1.6)

где di - средний диаметр i -й фракции; ni - массовая или счетная доля i - й фракции.

Рис.1.5. Гистограмма распределения частиц по размерам

Для того, чтобы привести в соответствие диаметр, определённый ситовым или микроскопическим методами, с сопротивлением коллектора потоку флюида данный диаметр умножают на коэффициент гидравлической формы. Если же диаметры определяются гидродинамическими (седиментационными) методами, то они не требуют указанного уточнения.

Эффективный диаметр является важной, но не исчерпывающей характеристикой пористой среды, потому что он не даёт представления об укладке частиц, их форме. В то же время два образца грунта, имеющих одинаковые эффективные диаметры, но различную форму частиц и структуру укладки, имеют различные фильтрационные характеристики.

Таким образом, для определения геометрической структуры пористой среды, кроме пористости и эффективного диаметра, нужны дополнительные объективные характеристики. Одной из таких характеристик является гидравлический радиус пор R. Для идеального грунта имеется связь радиуса пор с диаметром частиц фиктивного грунта

. (1.7)

Динамика фильтрационного течения, в основном, определяется трением флюида о скелет коллекторов, которое зависит от площади поверхности частиц грунта. В связи с этим, одним из важнейших параметров является удельная поверхность Sуд , то есть суммарная площадь поверхности частиц, содержащихся в единице объёма. Для фиктивного грунта

. (1.8)

Удельная поверхность нефтесодержащих пород с достаточной точностью определяется формулой

, (1.9)

где k - проницаемость в дарси [мкм2].

Среднее значение Sуд для нефтесодержащих пород изменяется в пределах 40тыс. - 230тыс.м2/м3. Породы с удельной поверхностью больше 230тыс. м2/м3 непроницаемы или слабопроницаемы (глины, глинистые пески и так далее).

В практике нефтегазодобычи помимо чисто геометрической характеристики доли пустот (пористости) вводят параметры, связанные с наличием нефти, газа или воды:

а) насыщенность - отношение объёма Vf данного флюида, содержащегося в порах, к объёму пор Vп

. (1.10)

По виду флюида различают нефтенасыщенность, газонасыщенность, водонасыщенность.

б) связанность - отношение объёма, связанного с породой флюида Vfс, к объёму пор

. (1.11)

Важнейшей характеристикой фильтрационных свойств породы является проницаемость. Проницаемость - параметр породы, характеризующий её способность пропускать к забою скважины флюиды. Различают проницаемости: абсолютную, эффективную или фазовую и относительную. Абсолютная проницаемость - свойство породы и не зависит от свойств фильтрующегося флюида и перепада давления, если нет взаимодействия флюидов с породой. Фазовой называется проницаемость пород для данного флюида при наличии в порах многофазных систем. Значение её зависит не только от физических свойств пород, но также от степени насыщенности порового пространства флюидами и их физических свойств. Относительной проницаемостью называется отношение фазовой к абсолютной. Проницаемость измеряется: в системе СИ - м2; технической системе - дарси (д); 1д=1,02мкм2=1,02 .10-12м2.

Физический смысл проницаемости k заключается в том, что проницаемость характеризует площадь сечения каналов пористой среды, по которым происходит фильтрация.

Величина проницаемости зависит от размера пор для модели идеального грунта с трубками радиуса R

k=mR2/8, (1.12)

где R - мкм; k - д.

Для реальных сред радиус пор связан с проницаемостью формулой Котяхова

, (1.13)

где k -д; R - м; - структурный коэффициент (=0.5035/m1,1 - для зернистых сред).

Проницаемость песчаных коллекторов обычно находится в пределах k=100-1000мд, а для глин характерны значения проницаемости в тысячные доли миллидарси.

Проницаемость определяется геометрической структурой пористой среды, т.е. размерами и формой частиц, и системой их упаковки.

Имеется множество попыток теоретически установить зависимость проницаемости от этих характеристик, исходя из закона Пуазейля для ламинарного движения в трубах и Стокса для обтекания частиц при той или иной схематизированной модели пористой среды. Поскольку реальные породы не укладываются в рамки этих геометрических моделей, то теоретические расчеты проницаемости ненадёжны. Поэтому обычно проницаемость определяют опытным путём.

Так как радиус пор связан с удельной поверхностью, то с ней связана и проницаемость

, (1.14)

где при выводе учтены формулы (1.7) (1.8) и (1.12).

Параметры трещинной среды. Аналогом пористости для трещинных сред является трещиноватость mт или, иначе, коэффициент трещиноватости. Иногда данный параметр называют трещинной пористостью. Трещиноватостью называют отношение объёма трещин Vт ко всему объёму V трещинной среды.

. (1.15)

Для трещинно-пористой среды вводят суммарную (общую) пористость, прибавляя к трещиноватости пористость блоков.

Второй важный параметр - густота. Густота трещин Гт- это отношение полной длины li всех трещин, находящихся в данном сечении трещинной породы к удвоенной площади сечения f

 (1.16)

Из (1.16) следует, что для идеализированной трещинной среды

mт = Гт, (1.17)

где т - раскрытость; - безразмерный коэффициент, равный 1,2, 3 для одномерного, плоского и пространственного случаев, соответственно.

Для реальных пород значение коэффициента зависит от геометрии систем трещин в породе.

Для квадратной сетки трещин (плоский случай) Гт=1 / lт, где lт -размер блока породы. Средняя длина трещин l * равняется среднему размеру блока породы и равна

l*=1 / Гт . (1.18)

В качестве раскрытости (ширины трещины) берут среднюю величину по количеству трещин в сечении f. Среднюю гидравлическую ширину определяют, исходя из гидравлического параметра - проводимости системы трещин. Ширина трещин существенно зависит от одновременного влияния следующих двух факторов, обусловленных изменением давления жидкости, действующего на поверхность трещин:

увеличение объёма зёрен (пористых блоков) с падением давления жидкости;

увеличение сжимающих усилий на скелет продуктивного пласта.

Указанные факторы возникают из-за того, что в трещиноватых пластах горное давление, определяющее общее напряжённое состояние среды, уравновешивается напряжениями в скелете породы и пластового давления (давлением жидкости в трещинах). При постоянстве горного давления снижение пластового давления при отборе жидкости из пласта приводит к увеличению нагрузки на скелет среды. Одновременно с уменьшением пластового давления уменьшаются усилия, сжимающие пористые блоки трещиноватой породы.

Поэтому трещинный пласт - деформируемая среда. В первом приближении можно считать

, (1.19)

где т0 - ширина трещины при начальном давлении р0 ; *т=п l /т0 - сжимаемость трещины; п - сжимаемость материалов блоков; l - среднее расстояние между трещинами.

Для трещинных сред l/ т >100 и поэтому сжимаемость трещин высока.

1.3 Скорость фильтрации. Законы фильтрации

1.3.1 Пористая среда.

Скорость фильтрации. При исследовании фильтрационных течений удобно отвлечься от размеров пор и их формы, допустив, что флюид движется сплошной средой, заполняя весь объём пористой среды, включая пространство, занятое скелетом породы.

Предположим, что через поверхность F пористой среды протекает объёмный расход флюида

Q=w Fп , (1.21)

где w - действительная средняя скорость жидкости; Fп - площадь пор.

Площадь пор связана с полной поверхностью через просветность (соотношение 1.2), а для неупорядочных (изотропных) сред справедливо допущение о равенстве просветности пористости. Следовательно,

Q=w m F , (1.22)

Величина

u= w m (1.23)

называется скоростью фильтрации и определяет переток флюида, осреднённый по площади. Так как m<1, то и скорость фильтрации всегда меньше средней.

Физический смысл введения скорости фильтрации заключается в том, что при этом рассматривается некоторый фиктивный поток, в котором расход через любое сечение равен реальному расходу, поля давлений фиктивного и реального потоков идентичны, а сила сопротивления фиктивного потока равна реальной. Предполагается, что скорость фильтрации непрерывно распределена по объёму и связана со средней действительной скоростью течения равенством (1.23).

Закон Дарси (линейный закон фильтрации)

Рис.1.6. Схема наклонного пласта

В 1856г. французским инженером Дарси был установлен основной закон фильтрации - закон Дарси или линейный закон фильтрации, устанавливающий линейную связь между потерей напора Н1-Н2 и объёмным расходом жидкости Q, текущей в трубке с площадью поперечного сечения F ,заполненной пористой средой (рис.1.6). Напор для несжимаемой жидкости имеет вид

,

где z- высота положения; р/ - пьезометрическая высота; - объёмный вес; u - скорость движения жидкости.

Так как при фильтрации скорость обычно мала, то под напором понимается величина

.

Закон Дарси имеет вид

, (1.24)

где с - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом фильтрации и имеющий размерность скорости.

Закон Дарси показывает, что между потерей напора и расходом существует линейная связь.

Запишем закон Дарси в дифференциальной форме, учитывая соотношение u=Q/F,

 (1.25)

или в векторной форме

, (1.26)

где s - расстояние вдоль оси криволинейной трубки тока.

Коэффициент фильтрации с характеризует среду и жидкость одновременно, т.е. зависит от размера частиц, от их формы и степени шероховатости, пористости среды, вязкости жидкости. Этот коэффициент обычно используется в гидротехнических расчетах, где приходится иметь дело с одной жидкостью - водой. При наличии различных жидкостей, что чаще бывает в подземной гидромеханике, использовать его неудобно. Поэтому закон Дарси записывается обычно в несколько ином виде

(1.27)

, (1.28)

где - коэффициент динамической вязкости; k - коэффициент проницаемости, характеризующий среду; р= H - приведённое давление, равное истинному при z=0.

Из сравнения (1.25) и (1.28) имеем

. (1.29)

Границы применимости закона Дарси

Закон Дарси справедлив при соблюдении следующих условий:

пористая среда мелкозерниста и поровые каналы достаточно узки;

скорость фильтрации и градиент давления малы;

с) изменение скорости фильтрации и градиента давления малы.

При повышении скорости движения жидкости закон Дарси нарушается из-за увеличения потерь давления на эффекты, связанные с инерционными силами: образование вихрей, зон срыва потока с поверхности частиц, гидравлический удар о частицы и т.д. Это так называемая верхняя граница. Закон Дарси может нарушаться и при очень малых скоростях фильтрации в процессе начала движения жидкости из-за проявления неньютоновских реологических свойств жидкости и её взаимодействия с твёрдым скелетом пористой среды. Это нижняя граница.

Верхняя граница. Критерием верхней границы справедливости закона Дарси обычно служит сопоставление числа Рейнольдса Re=wa/ с его критическим значением Reкр, после которого линейная связь между потерей напора и расходом нарушается. В выражении для числа Re: w -характерная скорость течения: а - характерный геометрический размер пористой среды; - плотность жидкости. Имеется ряд представлений чисел Рейнольдса, полученных различными авторами при том или ином обосновании характерных параметров. Приведём некоторые из данных зависимостей наиболее употребляемые в подземной гидромеханике:

а) Павловского

(1.30)

Критическое число Рейнольдса Reкр=7,5- 9.

б) Щелкачёва

(1.31)

Критическое число Рейнольдса Reкр=1-12.

в) Миллионщикова

(1.32)

Критическое число Рейнольдса Reкр=0,022- 0,29.

Скорость фильтрации uкр, при которой нарушается закон Дарси, называется критической скоростью фильтрации. Нарушение скорости фильтрации не означает перехода от ламинарного движения к турбулентному, а вызвано тем, что силы инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения площади сечения, становятся при u>uкр соизмеримы с силами трения.

При обработке экспериментальных данных для определения критической скорости пользуются безразмерным параметром Дарси

, (1.33)

представляющим отношение сил вязкого трения к силе давления. В области действия закона Дарси данный параметр равен 1 и уменьшается при превышении числа Re критического значения.

Нижняя граница. При очень малых скоростях с ростом градиента давления изменение скорости фильтрации не подчиняется закону Дарси. Данное явление объясняется тем, что при малых скоростях становится существенным силовое взаимодействие между твердым скелетом и жидкостью за счет образования аномальных, неньютоновских систем, например, устойчивые коллоидные растворы в виде студнеобразных плёнок, перекрывающих поры и разрушающихся при некотором градиенте давления н , называемого начальным и зависящим от доли глинистого материала и величины остаточной водонасыщенности. Имеется много реологических моделей неньютоновских жидкостей, наиболее простой из них является модель с предельным градиентом

. (1.34)

Законы фильтрации при Re > Reкр

От точности используемого закона фильтрации зависит достоверность данных исследования скважин и определение параметров пласта. В связи с этим, в области нарушения действия закона Дарси необходимо введение более общих, нелинейных законов фильтрации. Данные законы разделяются на одночленные и двухчленные.

Одночленные законы описываются степенной зависимостью вида

(1.35)

где C, n - постоянные, 1 n 2.

Данные зависимости неудобны, так как параметр n в общем случае зависит от скорости фильтрации. В связи с этим, наибольшее употребление нашли двучленные зависимости, дающие плавный переход от закона Дарси к квадратичному, называемому формулой Краснопольского:

(1.36)

Коэффициенты А и В определяются либо экспериментально, либо теоретически. В последнем случае

(1.37)

где - структурный коэффициент и по Минскому определяется выражением

(1.38)

1.3.2 Трещиноватая среда

Линейный закон фильтрации. В трещиноватых пластах скорость фильтрации связана со средней скоростью через трещиноватость

u=mтw. (1.39)

Средняя скорость выражается через градиент давления по формуле Буссинеска при представлении течения по трещинам, как течения между двумя плоскими параллельными пластинами

(1.40)

Если использовать зависимости (1.39), (1.17), то получаем линейный закон фильтрации в трещиноватых средах

(1.41)

По аналогии с законом Дарси проницаемость трещиноватых сред равна

(1.42)

Для трещиновато-пористой среды общая проницаемость определяется как сумма межзерновой и трещинной проницаемостей.

В разделе 1.2.3.2 отмечалась необходимость рассмотрения трещинно-пористой среды как деформируемой. При таком подходе проницаемость трещинного пласта будет также изменяться с изменением давления, а именно:

(1.43)

Необходимо отметить, что данная зависимость справедлива при небольших изменениях давления. В более общем случае необходимо использовать экспоненциальную связь деформации трещин с давлением.

Границы применимости линейного закона фильтрации. Так же, как и в пористых средах в трещиноватых породах линейный закон может нарушаться при больших скоростях фильтрации из-за появления значительных по величине сил инерции. При этом значения критических чисел Рейнольдса значительно зависят от шероховатости: для гладких трещин Reкр=500, а для шероховатых - 0,4. Следует заметить, что если величина относительной шероховатости меньше 0.065, то её ролью в процессе фильтрации можно пренебречь.

Для трещиноватой среды выражение для числа Рейнольдса получается аналитически и равно

, (1.44)

а Reкр=0,4.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ

Аналитическое и численное исследование задач связано с применением основных законов течения в дифференциальной форме. Для процессов, происходящих в нефтегазовых пластах, характерно изменение основных параметров течения во времени. Такие процессы называются неустановившимися (нестационарными). Для получения дифференциальных уравнений движения выделяется бесконечно малый элемент и рассматриваются законы сохранения массы, количества движения и энергии за бесконечно малый промежуток времени. При этом используются экспериментальные соотношения, определяющие зависимость силы трения, пористости и так далее от параметров течения. Число уравнений должно равняться числу неизвестных параметров, что даёт замкнутую систему.

Для подземной гидромеханики характерно изотермическое изменение параметров вследствие значительных величин удельной поверхности коллекторов и их теплоёмкости. Таким образом, для таких процессов можно не рассматривать уравнение энергии и ограничиваться уравнениями баланса массы (неразрывности) и движения.

Уравнение энергии необходимо рассматривать в локальных областях призабойной зоны из-за значительных перепадов давления, проявления дроссельного эффекта, а также при применении тепловых методов повышения нефтегазоотдачи.

Для замыкания системы уравнений необходимо введение замыкающих соотношений, а именно уравнений состояния флюидов и пористой среды. Кроме того, для получения однозначного решения необходимо задание граничных и начальных условий.

В большинстве случаев решение задач подземной гидродинамики требует использования численных методов и только в сильно идеализированных случаях одномерного и плоского течений удаётся получить аналитическое решение.

2.1 Уравнения течения для пористой среды

2.1.1 Общая система уравнений

Для нестационарного процесса при отсутствии источников и стоков имеем:

уравнение неразрывности

; (2.1)

уравнение движения в форме Дарси

, (2.2)

где р*=р+zg, u=dG / dt, G - расход массы жидкости в единицу времени через поверхность равного потенциала (массовый дебит).

В приведённой системе уравнений k=const, =const, т.е. среда изотропна. Для анизотропной среды слоистой структуры систему координат направляют по главным осям пласта, т.е. ось z - перпендикулярна слоям, а x, y - по плоскости слоя. В такой среде чаще рассматривают фильтрацию в предельных случаях: kz=0 и kz=. При kz=0 - нет перетока газа через слои, а при kz= - dp / dz=0, т.е. давление в каждом поперечном сечении распределяется гидростатически, а компоненты скорости, параллельные х, у, распределены равномерно по поперечному сечению потока.

Движение жидкости может быть установившимся (стационарным) и неустановившимся (нестационарным). При установившимся движении параметры потока (плотность, скорость фильтрации, пористость и так далее) в каждой точке пористой среды постоянны и не зависят от времени. Таким образом, для установившейся фильтрации и уравнение неразрывности примет вид

, (2.3)

;

(a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; в сферических координатах - угол определяет изменение меридианного угла, а угол - широтного.

Для несжимаемой жидкости (=сonst) уравнение (2.3) запишется в виде

. (2.4)

2.1.2 Уравнения потенциального движения

Потенциальным течением будем называть течение, при котором проекции массовой скорости на оси ортогональной системы координат будут являться производными некоторой функции по направлениям данных осей.

Фильтрационное течение в горных породах подчиняется закону Дарси и, следовательно, потенциально. Потенциалом поля скоростей в данном случае является функция

. (2.5)

Равенство (2.5) можно переписать в виде

(2.6)

или, учитывая закон Дарси,

. (2.7)

Здесь u - вектор массовой скорости фильтрации; grad - градиент потенциала , направленный в сторону быстрейшего возрастания ,

;

(a)- декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты; i, j, k , e , e , er , ez - единичные векторы по осям координат x, y, z , , , r и z (цилиндрическая система ).

Уравнение (2.7) - это закон Дарси, записанный для потенциального течения.

Подставляя (2.7)в (2.1), получаем

, (2.8)

а для установившегося течения

. (2.9)

Уравнения (2.8) и (2.9) называют уравнениями Лапласа относительно функции , а оператор оператором Лапласа.

Уравнение Лапласа имеет два практически важных свойства:

сумма частных решений является также решением уравнения Лапласа;

произведение частного решения на константу - также решение.

Данные свойства приводят к принципу суперпозиции - сложения фильтрационных течений.

В скалярной форме оператор Лапласа имеет вид

,

где (a) - декартовые координаты; (b) - сферические координаты; (c) - цилиндрические координаты.

2.2 Уравнения фильтрации для трещиновато-пористой среды

2.2.1 Общая система уравнений

В чисто трещиноватом пласте система уравнений имеет тот же вид, что и в пористом. Для трещиновато-пористой среды следует учитывать её характерные особенности (рис.1.2):

моделирование связано с порами разных масштабов (среда 1 - роль поровых каналов играют трещины, а роль зёрен - пористые блоки; среда 2 - обычная пористая среда, образующая блоки);

между отмеченными средами при фильтрации возникает переток жидкости из пористых блоков в трещины в пределах выделенного элементарного объёма трещиновато-пористого пласта.

При этом предполагается, что в каждом элементарном объёме трещиновато-пористого пласта содержится большое число пористых блоков, так что в окрестности каждой точки вводится две скорости фильтрации, два давления, относящиеся к средам 1 и 2. На основании сказанного, уравнения неразрывности выписываются для каждой из сред, а переток учитывается членом q1,2. Наличие перетока эквивалентно существованию внутренних источников жидкости в выделенном объёме.

Для жидкости, находящейся в трещинах, имеем:

. (2.10)

Для жидкости в пористых блоках

. (2.11)

Здесь q1,2 - масса жидкости, поступающей из пористых блоков в трещины за единицу времени на единицу объёма (размерность МL-3T-1, где М - размерность массы, L - расстояния и Т - времени).

Будем полагать, что q1,2 пропорционально разности фильтрационных потенциалов первой и второй сред

q1,2= (2 - 1), (2.12)

где - коэффициент переноса, размерности L-2.

Для чисто трещиноватого пласта считаем q1,2=0 и тогда будем иметь только одно уравнение неразрывности для жидкости в системе трещин (в пористых блоках не содержится жидкость). При установившейся фильтрации жидкости в трещиновато-пористом пласте, когда во всём пласте существует только одно давление р1=р2=р получаем

(2.13)

Для чисто трещинного пласта

. (2.14)

2.3 Начальные и граничные условия

Выше было показано, что уравнения фильтрации сводятся к одному уравнению второго порядка относительно потенциала. В связи с этим, рассмотрим начальные и граничные условия для потенциала.

2.3.1 Начальные условия

= о(x,y,z) при t = 0, (2.15)

если при t = 0 пласт не возмущён, то = о = const.

2.3.2 Граничные условия

Число граничных условий равно порядку дифференциального уравнения по координатам. Граничные условия задаются на границах пласта (внешние) и на забое скважины (внутренние).

А) Внешняя граница Г

1)постоянный потенциал

(Г, t)=к=const, (2.16)

т.е. граница является контуром питания;

2) постоянный переток массы через границу

G = Fu = const, т.е. используя уравнение (2.7)

(2.17)

3) переменный поток массы через границу

(2.18)

4) замкнутая внешняя граница

 (2.19)

5) бесконечный пласт

limx (Г,t) = к = const. (2.20)

y

В) Внутренняя граница

1) постоянный потенциал на забое скважины, радиуса rc

(rc , t)=c=const ; (2.21)

2) постоянный массовый дебит (при условии выполнения закона Дарси)

; (2.22)

3) переменный потенциал на забое

(rc ,t)=f2(t) при r=rc; (2.23)

4) переменный массовый дебит

; (2.24)

5) неработающая скважина

 (2.25)

Основные граничные условия - А1, А5 и В1, В2.

2.4 Замыкающие соотношения

Для полного замыкания системы уравнений фильтрационного течения необходимо знание зависимостей , m, k, от давления.

2.4.1 Зависимость плотности от давления или уравнения состояния

Различают жидкости:

а) Несжимаемую -

=соnst. (2.26)

в) Упругую, имеющую место при нестационарных процессах за счёт расширения объёма нефти и воды при снижении давления

, (2.27)

где ж - коэффициент объёмного расширения,

Vж - объём жидкости;

ж= (7-30)10-10 Па-1- для нефти и (2,7-5)10-10Па-1 для пластовой воды.

с) Сжимаемую жидкость - газ, имеющую место при разработке газовых и газоконденсатных залежей. До рпл < 9 МПа и р < 1 МПа можно использовать уравнение состояния совершенного газа

р= R T, (2.28)

где R - газовая постоянная, Т - температура.

Совершенный газ - это газ, молекулы которого не имеют объёма и не взаимодействуют между собой.

При изотермическом процессе (Т= const ) используют соотношение

. (2.29)

Если рпл > 9 МПа, то надо использовать обобщённое уравнение состояния реального газа

р=z R T, (2.30)

где z - коэффициент сверхсжимаемости, являющийся функцией давления при изотермическом течении.

2.4.2 Зависимость вязкости от давления

До давления меньше давления насыщения вязкость можно принимать не зависящей от давления, а при больших значениях давления

. (2.31)

2.4.3 Зависимость пористости от давления

Пористость связана, в первую очередь, с давлением между частицами пористой среды - эффективным давлением эф, передающимся через поверхности контакта зёрен породы. Считается, что

эф + рпл = ргорн = const. (2.32)

Здесь р - поровое давление; ргорн= горн g H -горное давление, возникающее под действием масс горных пород над кровлей пласта средней плотности горн; Н - глубина залегания пласта.

При разработке рпл падает и, согласно (2.32), растёт эф. Увеличение эф приводит к деформации пласта, а именно, переупаковке зёрен в сторону уплотнения и даже их разрушения. Принимается, что

, (2.33)

где т - коэффициент объёмной упругости породы с пределами изменения (0,3 - 2)10-10Па-1.

2.4.4 Зависимость проницаемости от давления

В связи с уменьшением пористости при увеличении давления, также по аналогичному закону уменьшается проницаемость

. (2.34)

При р < 10 Мпа показатель в (2.27, 2.33 -2.34) меньше 1 и, следовательно, данные экспоненциальные зависимости можно разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь первыми двумя членами, получаем

, (2.36)

где - общее обозначение выше приведённых параметров.

3. Установившаяся ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ одномерная фильтрация

При данных условиях

t=0 и =0. (3.1)

3.1. Виды одномерных потоков

Одномерным называется поток, в котором параметры являются функцией только одной пространственной координаты, направленной по линии тока. К одномерным потокам относятся:

прямолинейно-параллельный:

плоско-радиальный;

радиально-сферический.

3.1.1 Описание одномерных потоков

1.Прямолинейно-параллельный поток. Траектории всех частиц жидкости - параллельные прямые, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока равны между собой, поверхности равных потенциалов (эквипотенциальные поверхности) и поверхности равных скоростей (изотахи) являются плоскими поверхностями, перпендикулярными траекториям. Законы движения вдоль всех траекторий такого фильтрационного потока идентичны, а потому достаточно изучить движение вдоль одной из траекторий, которую можно принять за ось координат - ось х.

Рис. 3.1. Схема прямолинейно-параллельного течения

а) Пласт (рис.3.1) имеет в плане полосообразную форму шириной B и длиной L, толщина пласта h постоянна, граничный контур непроницаем и непроницаемы кровля и подошва пласта. Батарея эксплуатационных скважин расположена параллельно начальному контуру нефтеносности. Приближение тем больше, чем меньше расстояние между скважинами и если заменить батарею сплошной прямолинейной выработкой - галереей, то движение жидкости к галерее будет строго прямолинейно-параллельным.

б) Поток между круговыми батареями нагнетательных и эксплуатационных скважин в случае больших радиусов батарей (угол схождения векторов скорости бесконечно мал). При этом толщина пласта постоянна, а его кровля и подошва непроницаемы.

в) в лабораторных условиях при течении через цилиндрический керн или прямую трубу постоянного сечения, заполненную пористой средой или трещинной средой.

a b

Рис. 3.2. Схема плоско-радиального течения:

a - горизонтальное сечение;

b -вертикальное сечение

2.Плоскорадиальный поток. Траектории всех частиц жидкости - прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру скважины, а скорости фильтрации во всех точках любого поперечного (перпендикулярного к линиям тока) сечения потока параллельны и равны между собой; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют цилиндрические окружности с осью, совпадающей с осью скважины. Схемы линий тока в любой горизонтальной плоскости потока будут идентичными и для характеристики потока достаточно рассмотреть движение жидкости в одной горизонтальной плоскости.

Примеры

а) Горизонтальный пласт постоянной толщины (h) и неограниченной протяженности, подошва и кровля пласта непроницаемы. Пласт вскрыт единственной гидродинамически совершенной скважиной (рис. 3.2), т.е. вскрыт на всю толщину и забой полностью открыт. Для эксплуатационной скважины поток - радиально-сходящий, а для нагнетательной - радиально-расходящий. Плоскорадиальным потоком будет занята вся зона от стенки скважины до контура питания.

б) Гидродинамически несовершенная скважина (скважина с перфорированным забоем - несовершенство по характеру вскрытия или не полностью вскрывшая пласт - несовершенство по степени вскрытия) - вблизи скважины линии тока искривляются и поток можно считать плоскорадиальным только при некотором удалении от скважины.

в) Круговая батарея эксплуатационных скважин - поток плоскорадиален на некотором удалении, т.к. жидкость движется как бы к укрупнённой скважине радиуса, равного радиусу окружности батареи.

Рис. 3.3. Схема радиально-сферического течения

3. Радиально-сферический поток. Траектории всех частиц жидкости - прямолинейные горизонтальные прямые, радиально сходящиеся к центру полусферического забоя; изотахи и эквипотенциальные поверхности перпендикулярны траекториям и образуют сферические поверхности. Скорость фильтрации в любой точке потока является функцией только расстояния этой точки от центра забоя. Следовательно, этот вид фильтрационного потока также является одномерным.

...