Подземная нефтегазовая гидродинамика

второй фазы . (6.8)

Если вытесняемая и вытесняющая фазы - слабосжимаемые упругие жидкости, то влиянием сжимаемости на распределение насыщенности можно пренебречь, так как время перераспределения давления за счет сжимаемости жидкостей, по крайней мере, на два порядка меньше, чем время вытеснения. Отсюда следует, что нестационарные процессы упругого перераспределения давления заканчиваются в начале процесса вытеснения. В некоторых случаях можно считать несжимаемым и газ в пластовых условиях.

Если жидкости и пористую среду можно предполагать несжимаемыми, то уравнения (6.7) и (6.8) упрощаются

, . (6.9)

Уравнения движения для многофазной фильтрации. При записи закона фильтрации предполагаем, что в любой точке каждая из фаз находится в термодинамическо равновесном состоянии. Тогда для течения двухфазной смеси можно ввести в рассмотрение относительные проницаемости ki() и капиллярное давление рк (), зависящее только от насыщенности.

Кроме этого, рассматриваем только однонаправленные процессы фильтрации, не учитывая гистерезисных явлений. Тогда выполняется закон фильтрации (6.4):

, (6.10)

а связь между давлениями в фазах определяется равенствами (6.5) и (6.6):

. (6.11)

Для замыкания полученной системы уравнений необходимо задать дополнительные соотношения, рассмотренные в разделе 1 и связывающие параметры фаз и пористой среды с давлением.

Постановка и решение задач на основе полной системы уравнений фильтрации неоднородных жидкостей затруднительны ввиду сложности самих уравнений, а также формулировки краевых условий, в частности, разрыва капиллярных сил на границах пористой среды (так называемых концевых эффектов), роль которых недостаточно изучена.

Анализ одномерных двухфазных потоков позволяет выявить основные эффекты и характерные особенности совместной фильтрации жидкостей.

6.4 Одномерные модели вытеснения несмешивающихся жидкостей

Наиболее разработана в настоящее время теория одномерного движения двухфазной жидкости в пористой среде. Основные допущения этой теории состоят в следующем:

жидкости предполагаются несмешивающимися (взаимно нерастворимыми);

жидкости считаются несжимаемыми, а пористая среда - недеформируемой; фазовые переходы отсутствуют; коэффициенты вязкости фаз постоянны;

относительные фазовые проницаемости и капиллярное давление являются известными однозначными функциями насыщенности;

гистерезисные явления не учитываются (рассматриваются только однонаправленные процессы).

Полная система уравнений. Основываясь на этих допущениях, выведем полную систему уравнений двухфазной фильтрации в однородной пористой среде с учетом капиллярных и гравитационных сил.

В случае прямолинейно-параллельного течения вдоль оси х (рис.6.3) уравнения неразрывности (6.9) для фаз имеют вид

, . (6.12)

Обобщенный закон Дарси (6.10) сводится к уравнениям

,

. (6.13)

Здесь - угол наклона оси х к горизонту (рис. 6.3); 1 и 2 - плотности фаз.



Рис. 6.4. Схема одномерной двухфазной фильтрации с учетом силы тяжести

Неизвестные характеристики течения , u1, u2, p1 и p2 зависят от координаты х и времени t.

Уравнения (6.12), (6.13) с учетом дополнительных соотношений образуют замкнутую систему для случаев линейного течения, являющуюся основой для решения задач вытеснения одной жидкости другой. Характерной особенностью данной системы является то, что её можно свести к одному уравнению для насыщенности. Знание распределения насыщенности в пласте позволяет проанализировать эффективность вытеснения нефти или газа несмешивающейся с ними жидкостью.

Данное уравнение представляет собой сложное нелинейное уравнение параболического типа второго порядка и точное решение получено лишь для некоторых сравнительно простых частных случаев.

Начальные и граничные условия. При решении конкретных задач для уравнения изменения насыщенности должны быть сформулированы соответствующие граничные и начальные условия. В качестве начального условия задаются значения неизвестной функции в зависимости от пространственных координат при t = 0. Можно считать, что при t = 0 насыщенность всюду постоянна (например, = *).

В случае вытеснения нефти водой естественно задать на входе в пласт (нагнетательная скважина или галерея) расход закачиваемой воды и равенство нулю скорости фильтрации нефти; из последнего условия вытекает (6.13), что k2 = 0, следовательно, на этой поверхности = *.

На выходе из пласта возможно два варианта граничных условий.

1. Можно пренебречь градиентом капиллярного давления по сравнению с градиентом давления в фазах, т. е. считать, что при x = L, откуда следует, что

при x = L. (6.14)

Экспериментально установлено, что вода не вытекает из гидрофильного пласта, а накапливается в выходном сечении, пока её насыщенность не достигнет значения *. В момент достижения значения * вода прорывается из пласта с сохранением на выходе этого значения насыщенности. Это явление получило название концевого эффекта. Математически оно приводится к сложному нелинейному граничному условию на выходе.

Указанное выше дифференциальное уравнение второго порядка для насыщенности можно упростить путем учета только одного вида сил (гравитационных или капиллярных) и получить, соответственно, две различные модели:

Модель Рапопорта Лиса. Для прямолинейно-параллельного вытеснения уравнение для насыщенности без учета силы тяжести было впервые получено в 1953 г. американскими исследователями Л. Рапопортом и В. Лисом. Поэтому модели двухфазной фильтрации с учетом капиллярных эффектов называют обычно моделями Рапопорта--Лиса.

Дифференциальное уравнение для насыщенности в данной модели - параболического типа.

Модель Баклея Леверетта. Без учета капиллярных сил двухфазная фильтрация для случая прямолинейно-параллельного вытеснения рассматривалась С. Баклеем и М. Левереттом в 1942 г., а позже независимо от них А. М. Пирвердяном, исследовавшим также случай более общего закона фильтрации при двухфазном течении.

Задачи двухфазной фильтрации без учета капиллярных сил известны как задачи (модель) Баклея - Леверетта. Задачи вытеснения такого типа в одномерной постановке изучены достаточно полно.

Уравнение насыщенности задач данного типа принадлежит к классу квазилинейных гиперболических уравнений первого порядка.

6.5 Задача Баклея Леверетта и ее обобщения

В случае одномерного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей в условиях, когда можно пренебречь капиллярным давлением, а также влиянием силы тяжести, процесс вытеснения допускает простое математическое описание.

Для обоих случаев одномерного потока (прямолинейно-параллельного и плоскорадиального) это приводит к классической в теории вытеснения модели Баклея Леверетта.

В рассматриваемом случае важное значение имеет так называемая функция Баклея Леверетта или функцией распределения потоков фаз f(), которая имеет простой физический смысл. Действительно, данная функция представляет собой отношение скорости фильтрации вытесняющей фазы к суммарной скорости, и равна объемной доле потока вытесняющей жидкости (воды) в суммарном потоке двух фаз. Таким образом, функция Баклея Лаверетта определяет полноту вытеснения и характер распределения газоконденсатонасыщенности по пласту. Задачи повышения нефте- и газоконденсатоотдачи в значительной степени сводятся к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид функции f() в направлении увеличения полноты вытеснения.



Рис. 6.5. Вид функции Баклея-Леверетта и её производной

Вид кривых функции f() и ее производной f/() показан на рис.6.5. С ростом насыщенности f() монотонно возрастает от 0 до 1. Характерной особенностью графика f() является наличие точки перегиба п , участков вогнутости и выпуклости, где вторая производная f//() соответственно больше и меньше нуля. Эта особенность в большой степени определяет специфику фильтрационных задач вытеснения в рамках модели Баклея Леверетта.

Рис. 6.6. Графики функции Баклея - Леверетта (а) и её производной (b) для различных отношений вязкости 0

Зависимость функций f() и f/() от отношения вязкостей фаз 0=1/ 2 показана рис. 6.6. Из данного рисунка следует, что с ростом отношения вязкостей кривая f() сдвигается вправо и эффективность вытеснения возрастает. Например, применение пен и загустителей, повышающих вязкость нагнетаемой воды, может значительно увеличить нефтеотдачу.

Рисю. 6.7. Устранение многозначности распределения насыщенности введением скачка

Физической особенностью модели двухфазного вытеснения Баклея - Леверетта является зависимость скорости распространения того или иного значения насыщенности от величины этой насыщенности. Это явление называется дисперсией волн. При 0 п большие насыщенности распространяются с большими скоростями, а при п 1 скорость распространения постоянного значения насыщенности начинает уменьшаться. Последнее приводит к тому, что, начиная с некоторого момента времени, распределение насыщенности оказывается многозначным (рис.6.7, кривая 1-2-3-4-5). В области данного участка одному и тому же значению х соответствуют три значения насыщенности : 1, 2 и 3, что физически невозможно, так как в каждом сечении пласта в любой момент времени может существовать только одна насыщенность. Данная неоднозначность устраняется введением скачка насыщенности (рис.6.7, отрезок 1-3-5). Скорость распространения скачка при этом равна скорости распространения насыщенности. Необходимо отметить, что в действительности математический скачок насыщенности не имеет места. Он появляется в решении вследствие пренебрежения капиллярными силами, за счет которых появляется некоторая “переходная зона” вблизи фронта вытеснения, в которой насыщенность изменяется непрерывно.

Точные решения задачи о вытеснении нефти (или газа) водой применяются при оценочных инженерных расчетах параметров разработки с использованием процесса заводнения.

В общем случае неодномерного вытеснения, а также при учете сжимаемости одной из фаз рассмотренная задача уже не сводится к одному уравнению для насыщенности. Необходимо совместно определять давление и насыщенность. Численные решения таких задач могут быть получены лишь на ЭВМ.

6.6 Задача Рапопорта - Лиса

Учет капиллярного скачка давления рк, который задается в виде известной эмпирической функции насыщенностей, приводит к теории следующего приближения - модели Рапопорта - Лиса. При этом пренебрегаем силой тяжести.

Рис. 6.8. Распределение насыщенности в стабилизированной зоне

Действие капиллярных сил проявляется в основном вблизи фронта вытеснения, где градиенты насыщенности велики. Эти силы приводят к “размазыванию” фронта, поэтому при учете капиллярных сил скачок насыщенности отсутствует и насыщенность изменяется непрерывно.

Тем не менее, экспериментально было обнаружено существование так называемой стабилизированной зоны насыщенности, которая перемещается, не изменяя своей формы, и распределение насыщенности в ней при постоянной скорости вытеснения - стационарно. В теории Баклея - Лаверетта (при пренебрежении капиллярными силами) стабилизированная зона моделируется скачком. Модель Рапопорта - Лиса позволяет определить ширину данной зоны l (рис. 6.8) и распределение насыщенностей по ней.

7. ОСНОВЫ ФИЛЬТРАЦИИ НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЕЙ

При очень малых перепадах течение жидкостей в пластах, как отмечалось ранее, не подчиняется закону Дарси и поведение жидкости аномально. Данная аномальность связана с физико-химическим взаимодействием фильтрующихся жидкостей с материалом пористой среды, а сами жидкости при этом получили название неньютоновские.

Кроме этого, наличие нелинейной связи тензора скоростей деформации с тензором напряжения может проявляться и в ряде других случаев. Так повышенное содержание в нефтях высокомолекулярных компонентов (смол, асфальтенов, парафина) приводит к проявлению неньютоновских свойств флюидов при их фильтрации, т.е. появлению предельного напряжения сдвига.

Развитие методов воздействия на природные залежи с целью увеличения нефте- и газоконденсатоотдачи приводит к значительному расширению ассортимента веществ, закачиваемых в продуктивные пласты. Многие из этих веществ (высокомолекулярные соединения, полимеры) не обладают свойствами ньютоновских жидкостей. Поэтому рассмотрение особенностей фильтрации неньютоновских систем приобретает самостоятельное значение.

Для простоты будем рассматривать нелинейные законы фильтрации, описывающие только безинерционные движения при условии, что фильтрующиеся жидкости обладают неньютоновскими свойствами.

7.1 Реологические модели фильтрующихся жидкостей и нелинейные законы фильтрации

Течение ньютоновской жидкости описывается законом Ньютона:

, (7.1)

где - -динамический коэффициент, - касательное напряжение; du/dy - градиент скорости в направлении перпендикулярном направлению течения х. Зависимость между и du/dy является в этом случае прямой линией, проходящей через начало координат (рис. 7.1, кривая 2).

Жидкости, не подчиняющиеся закону трения (7.1), называются аномальными или неньютоновскими. Неньютоновские жидкости можно разбить на три класса.

1. Стационарно реологические жидкости - касательное напряжение зависит только от градиента скорости:

. (7.2)

Рис. 7.1. Зависимость касательного напряжения от градиента скорости: жидкость: 1 - дилатантная; 2 - неньютоновская; 3 - псевдопластичная; 4 - вязкопластичная

2. Нестационарно реологические жидкости - связь между и du/dy зависит от времени действия напряжений

. (7.3)

Вязкоупругие жидкости - среды, обладающие свойствами как твердого тела, так и жидкости, а также способные к частичному восстановлению формы после снятия напряжений. Для таких сред зависимость между касательными напряжениями и градиентом скорости более сложная; она включает производные по времени как напряжений, так и градиента скорости.

Среди неньютоновских жидкостей первого класса, описываемых уравнением (7.2), можно выделить три типа:

Вязкопластичные жидкости, для которых уравнение (7.2) имеет вид:

при >0 , (7.4)

при 0 .

Графическое представление этой зависимости, называемое реологической кривой, приведено на рис. 7.1 (кривая 4). В равенство (7.3), кроме коэффициента вязкости , входит также постоянная 0, называемая начальным (или предельным) напряжением сдвига. Считается, что при 0 жидкость ведет себя как твердое тело и течение отсутствует. Это объясняется наличием у покоящейся вязкопластичной жидкости пространственной жесткой структуры, сопротивляющейся любому напряжению , меньшему 0. Когда становится больше 0 , структура разрушается.

2. Псевдопластичные жидкости. Эксперименты показали, что для ряда сред связь между напряжением сдвига и градиентом скорости в логарифмических координатах оказывается на некотором участке линейной с угловым коэффициентом от 0 до 1. Поэтому для описания таких сред используется степенная зависимость

, (n < 1), (7.5)

где k и n постоянны для данной жидкости; коэффициент k - мера консистенции жидкости; отличие показателя n от единицы характеризует степень отклонения данной жидкости от ньютоновской. Типичная реологическая кривая (7.4) псевдопластичной жидкости приведена на рис. 7.1 (кривая 3). Модель псевдопластичной жидкости применяется, в частности, для описания движения растворов и расплавов полимеров.

Указанные реологические соотношения можно привести к ньютоновскому виду путем введения понятия кажущейся вязкости *, как отношения касательного напряжения к градиенту скорости:

.

Для псевдопластичной жидкости, как следует из (7.4), эта величина и так как n<:1, то * убывает с возрастанием градиента скорости.

3. Дилатантные жидкости описываются степенным уравнением (7.4), но при n>1. Кривая течения представлена на рис. 7.1 (кривая 1). У этих жидкостей кажущаяся вязкость * увеличивается с возрастанием градиента скорости. Модель дилатантной жидкости хорошо описывает свойства суспензий с большим содержанием твердой фазы.

В зависимости от вида неньютоновской жидкости по разному записывается и закон фильтрации. Так закон фильтрации вязкопластичной жидкости (7.3) в пористой среде записывается в виде:

u>0; (7.6)

, u=0, где - (7.7)

предельный (начальный) градиент.

Рис. 7.2. Индикаторные линии:

1 - линенйная аппроксимация неньютоновской жидкости; 2 - реальная неньютоновская жидкость; 3 - течение по закону Дарси

В соответствии с (7.5) скорость фильтрации u отлична от нуля только в тех областях, где gradp> (рис. 7.2, кривая 1). Модель фильтрации с предельным градиентом следует рассматривать как некоторую идеализацию реальных течений аномальных нефтей в пластовых условиях, для которых реологическая кривая имеет вид кривой 2 на рис. 7.2. Для сравнения на рис. 7.2 показан закон Дарси (кривая 3).

В основе проявления неньютоновских свойств пластовых систем лежат различные физические механизмы, но все неньютоновские эффекты проявляются при малых скоростях фильтрации и в средах с малым размером пор, т. е. с малой проницаемостью. Это определяет особенности неньютоновской фильтрации в неоднородных пластах. Области малой проницаемости оказываются областями наибольшего проявления неньютоновских эффектов.

Так в пластах со слоистой неоднородностью предельные градиенты различны для разных пропластков - чем больше проницаемость, тем меньше предельный градиент , и наоборот. В связи с этим, пропластки будут последовательно включаться в работу по мере превышения градиента давления предельного градиента сдвига.

Наряду с рассмотренным законом фильтрации (7.6), описывающим течение вязкопластичной жидкости в пористой среде, рассматривают степенной закон фильтрации:

, (7.8)

где С -- экспериментальная константа; n>0.

Степенной закон, соответствующий псевдопластичному флюиду (7.4), хорошо описывает движение растворов полимеров в пористой среде и используется при расчете “полимерного” заводнения пластов с целью повышения их нефтеотдачи.

7.2 Одномерные задачи фильтрации вязкопластичной жидкости

Движение аномальных нефтей в пластах по закону (7.5) приводит к существенным особенностям разработки этих пластов, не встречающимся в случае фильтрации по закону Дарси.

Установившееся течение вязкопластичной жидкости . Рассмотрим плоскорадиальный приток к скважине при условии выполнения соотношения (7.4):

(u>0); (7.9)

, (u=0).

Решая (7.9) относительно скорости и переходя к дебиту, получим формулу притока, обобщающую формулу Дюпюи:

, если .

u=0,если dp/dr. (7.10)

Считая давления на забое скважины и на границе пласта постоянными (р(rc)=рc; р(Rк)=рк ), после интегрирования (7.10) находим:

, (7.11)

(7.12)

Формулы (7.11), (7.12) представляют, соответственно, распределение давления в пласте и дебит скважины. Из формулы (7.11) видно, что часть разности давлений в виде линейного слагаемого с угловым коэффициентом теряется на преодоление предельного градиента сдвига. При Q0, как следует из (7.11), давление не постоянно (как в случае фильтрации по закону Дарси), а изменяется по линейному закону. При тех же условиях наличие предельного градиента давления в пласте ведет к уменьшению дебита скважины по сравнению с фильтрацией по закону Дарси (формула Дюпюи), а индикаторная линия скважины Q(рс) - прямолинейная, но не проходит через начало координат, а отсекает на оси депрессий отрезок, равный Rк (рис. 7.3а).

Рис. 7.3. Индикаторные линии при плоскорадиальном течении вязкоплоастичной жидкости:

а - однослойный пласт; b - трёхслойный пласт

В случае слоистого пласта с гидродинамически изолированными пропластками, т. е. при отсутствии перетоков между слоями с разными проницаемостями, для дебита в каждом пропластке справедлива формула (7.12), но своими значениями толщин, проницаемости и начального градиента. Индикаторная линия в этом случае представляется ломаной (рис. 7.3b).

Неустановившаяся фильтрация вязкопластичной жидкости. Дифференциальные уравнения для определения давления при упругом режиме работы пласта можно получить, дополняя закон фильтрации с предельным градиентом (7.5) уравнениями неразрывности и состояния флюида. Описанным в разделе 5 подходе получим следующее уравнение пьезопроводности:

 , (7.13)

где -- коэффициент пьезопроводности.

Уравнение (7.13) служит основой для построения нелинейной теории упругого режима вязкоупругой жидкости. Вместе с тем следует иметь в виду, что при решении нестационарных задач на основе модели фильтрации с предельным градиентом в пласте образуется переменная область фильтрации, на границе которой (пока она не достигнет границы пласта) модуль градиента давления должен равняться предельному градиенту , а давление - начальному пластовому.

Если рассмотреть задачу о пуске скважины с постоянным дебитом при фильтрации вязкопластичной жидкости с предельным градиентом, то получим из решения уравнения (7.13) следующую зависимость забойного давления от времени:

. (7.14)

В данной формуле логарифмический член играет основную роль при малом времени, когда преобладают упругие силы. При больших значениях времени закон движения границы возмущенной области подчиняется степенному закону. Таким образом, при некоторых значениях параметров оказывается, что основное значение имеет степенной член, так что закон падения давления на забое скважины изменяется с логарифмического на степенной. Следовательно, при больших временах вид кривых изменения забойного давления рс(t) при фильтрации с предельным градиентом существенно изменяется по сравнению с фильтрацией упругой жидкости, что позволяет обнаружить в пластовых условиях проявление предельного градиента давления.

7.3 Образование застойных зон при вытеснении нефти водой

Важный эффект фильтрации с предельным градиентом давления - возможность образования в пласте застойных зон (движение жидкости или газа отсутствует), при градиенте давления меньшего предельного.

Рис. 7.4. Схема образования застойных зон

а - между двумя дывающими скважинами;

b - при пятиточечной расстановке скважин

(1 - нагнетательная скважина; 2 - добывающая скважина; 3 - зона застоя)

Возникновение застойных зон ведет к уменьшению нефтеотдачи пластов. На рис. 7.4,а застойная зона 3, расположенная между двумя добывающими скважинами с равными дебитами, затемнена. При разработке нефтяных месторождений с поддержанием пластового давления путём закачки воды тоже образуются застойные зоны. На рис. 7.4,b приведена схема вытеснения с пятиточечной системой расположения скважин. Анализ возникающего при этом двумерного течения показывает, что в зонах 3 (рис. 7.4,b) скорость течения будет мала по сравнению со скоростями течения в областях, прилегающих к прямым, соединяющим нагнетательную и добывающие скважины. Поэтому эти зоны и окажутся застойными. Отношение незаштрихованных областей на рис. 7.4,b ко всей площади пятиточечной ячейки можно считать площадным коэффициентом охвата пласта заводнением.

Величина застойной зоны и коэффициент охвата пласта зависят от параметра

,

где Q - дебит добывающей скважины; L - характерный размер (например, половина расстояния между соседними скважинами).

Коэффициент охвата пласта увеличивается с увеличением параметра . Вместе с тем следует отметить, что для установления чистого эффекта изменения коэффициента охвата из-за предельного градиента давления применительно к реальному месторождению необходимы исследования, позволяющие исключить влияние ряда других причин, связанных с деформацией горных пород, неоднородностью пласта, физико-химическими явлениями и т. п.

Литература

1. Басниев В.С. и др. Подземная гидравлика. - М.: Недра,1986.-300с.

2. Пыхачев Г.Б., Исаев Р.Г. Подземная гидравлика. - М.: Недра,1973.- 359с.

3. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. - М.: Изд-во нефтяной и горно-топливной лит-ры, 1963. - 396с.

4. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. - М.: Недра, 1984.- 211с.

5. Евдокимова В.А., Кочина И.Н. Сборник задач по подземной гидравлике.- М.: Недра,1973.- 166 с.

Размещено на Allbest.ru

...