Подземная нефтегазовая гидродинамика

. (4.34)

Здесь выражает фильтрационное сопротивление потоку от контура питания к кольцевой батареи радиуса а в предположении, что поток плоскорадиален и батарея заменена галереей. Внутреннее сопротивление / - это сопротивление плоскорадиального потока от воображаемого контура окружности длиной 2а/n к скважине. Величина 2а/n - длина дуги сектора радиуса а, который содержит одну из скважин батареи.

Рис. 4.12. Схема одной батареи Рис. 4.13 Электрическая схема одной батареи

Электрическая схема в случае одной батареи (рис.4.12) имеет вид (рис.4.13). На рис.4.12 затемнены области внутреннего сопротивления.

а b

Рис.4.14. Схема n-батарей с двумя контурами питания:

а) линейные батареи; b) кольцевые батареи

Рассмотрим случай притока к n эксплуатационным и нагнетательным батареям скважин и составим схему сопротивлений. Предположим, что скважины i - й батареи имеют забойные потенциалы сi (i = 1,...,n), пласт имеет контурные потенциалы к1 и к2 (рис. 4.14). Пусть к1 > к2. Очевидно, поток от контура питания к первому ряду скважин будет частично перехватываться первой батареей и частично двигаться ко второй. Поток ко второй батарее будет частично перехватываться второй батареей, частично двигаться к третьей и т.д. Этому движению отвечает разветвленная схема фильтрационных сопротивлений (рис. 4.15).

Расчет ведется от контура с большим потенциалом к контуру с меньшим потенциалом, а сопротивления рассчитываются по зависимостям:

прямолинейная батарея

(4.35)

круговая батарея

Рис. 4.15. Электрическая схема n-батарей с двумя контурами питания

(4.36)

где Li - расстояние между батареями (для i = 1 - L1 = Lк1 ); ri - радиусы батарей (для i = 1 - r0 = rк ); ki - число скважин в батарее.

Дальнейший расчет ведется, как для электрических разветвленных цепей, согласно законам Ома и Кирхгоффа:

алгебраическая сумма сходящихся в узле дебитов равна нулю, если считать подходящие к узлу дебиты положительными, а отходящие - отрицательными.

Рис.4.16. Электрическая схема n-батарей с двумя контурами питания (проницаемым и непроницаемым)

алгебраическая сумма произведения дебитов на сопротивления

(включая и внутренние) равна алгебраической сумме потенциалов, действующих в замкнутом контуре. При этом и дебиты и потенциалы, совпадающие с произвольно выбранным направлением обхода контура, считаются положительными, а направленные навстречу обходу отрицательными.

Следует помнить, что для последовательных сопротивлений = i , а для параллельных

Если одна из границ непроницаема, то расход через неё равен нулю. В этом случае в соответствующем узле схемы фильтрационных сопротивлений задаётся не потенциал, а расход. На рис. 4.16 показана схема в случае непроницаемости второго контура. Вместо потенциала к2, показанного на рис.4.15, здесь в узле задано условие Gi = 0.

Приведенные формулы тем точнее, чем больше расстояние между батареями по сравнению с половиной расстояния между скважинами. Если расстояние между скважинами много больше расстояния между батареями, то расчет надо вести по общим формулам интерференции скважин, или использовать другие виды схематизации течения, например, заменить две близко расположенные соседние батареи скважин с редкими расстояниями между скважинами (рис. 4.17,а) эквивалентной батареей - с суммарным числом скважин и расположенной посредине (рис.4.17,b).

а b

Рис. 4.17. Схема замены соседних батарей скважин одной батареей

4.2 Приток к несовершенным скважинам

4.2.1 Виды несовершенств скважин. Приведённый радиус. Добавочное фильтрационное сопротивление

Гидродинамическое несовершенство скважины проявляется в том, что в призабойной зоне пласта с конечной мощностью отсутствует радиальность потока по причине, обусловленной конструкцией забоя или фильтра.

Различают два вида несовершенства скважин - несовершенство по степени вскрытия и несовершенство по характеру вскрытия.



а b

Рис. 4.18. Схема притока к несовершенной скважине: а - по степени вскрытия; b - по характеру вскрытия

Несовершенная скважина по степени вскрытия - это скважина с открытым забоем, вскрывшая пласт не на всю мощность, а частично (рис.4.18,а).

Скважина, хотя и доведённая до подошвы пласта, но сообщающаяся с пластом только через отверстия в колонне труб, в цементном кольце или в специальном фильтре, называется несовершенной по характеру вскрытия пласта (рис. 4.18,b).

На практике чаще всего встречаются скважины несовершенные как по степени, так и по характеру вскрытия пласта.

Дебит G несовершенной скважины чаще всего меньше дебита Gс совершенной, действующей в тех же условиях, что и данная несовершенная скважина. В некоторых случаях (при торпедной или кумулятивной перфорации, когда глубина прострела достаточно велика) может наблюдаться обратная картина. Отношение данных дебитов характеризует степень несовершенства скважины и называется параметром несовершенства

. (4.37)

Параметр несовершенства зависит от

относительного вскрытия пласта

, (4.38)

где hвс - глубина погружения скважины в пласт , h - толщина пласта;

плотности перфорации (числа отверстий, приходящихся на 1м фильтра), размеров и формы отверстий;

глубины прострела.

При расчете несовершенных скважин нередко используют понятие приведенного радиуса несовершенной скважины

, (4.39)

где rC - радиус несовершенной скважины, С - коэффициент несовершенства.

Приведенный радиус - это радиус такой совершенной скважины, дебит которой равняется дебиту данной несовершенной скважины при тех же условиях эксплуатации.

Таким образом, вначале находятся приведённые радиусы rпр и дальнейший расчет несовершенных скважин ведется как для совершенных скважин радиуса rпр.

Таким образом, дебит несовершенной скважины можно определить, если известен параметр несовершенства или приведённый радиус rпр , а также известна соответствующая формула дебита совершенной скважины. Влияние несовершенства скважины на приток при существовании закона фильтрации Дарси можно учесть величиной коэффициента С, основываясь на электрической аналогии. Согласно данной аналогии различие в дебитах совершенной Gc и несовершенной G скважин объясняется наличием добавочного фильтрационного сопротивления несовершенной скважины величиной С/2h, т.е. дебит несовершенной скважины можно представить в виде:

. (4.40)

Учитывая (4.40), получаем зависимость между коэффициентом и и величиной С:

. (4.41)

Влияние различного вида несовершенства скважины на приток изучалось как теоретически, так и экспериментально.

4.2.2 Экспериментальные и теоретические исследования притока жидкости к гидродинамически несовершенной скважине

Течение по закону Дарси

Несовершенная скважина по степени вскрытия изучалась В.И. Щуровым путём электролитического моделирования, который построил опытные диаграммы зависимости С от параметра a=h/D ( h - мощность пласта, D- диаметр скважины) и относительного вскрытия пласта h=hвс/h ( hвс - толщина вскрытия ). Таким же методом исследовалась несовершенная по характеру вскрытия скважина Щуровым и независимо от него И.М. Доуэллом и Маскетом, а также Р.А. Ховардом и М.С. Ватсоном. В результате получены зависимости коэффициента несовершенства от плотности перфорации (числа отверстий на 1 метр) и глубины прострела, которые показали значительную зависимость дебита от плотности перфорации только до значений 16-20 отверстий на 1 метр. Для случая фильтрации газа Е.М. Минским и П.П. Марковым доказана сильная нелинейная зависимость коэффициентов фильтрации от относительного вскрытия пласта.

Для несовершенной по степени вскрытия на основе метода суперпозиции и отображения стоков Маскетом получена зависимость для дебита

, (4.42)

где f - функция относительного вскрытия (рис.4.19).

Если глубина вскрытия не слишком мала, то формула Маскета даёт хорошие результаты, а так как она проще остальных формул, то ею обычно и пользуются для скважин, несовершенных по степени вскрытия, но совершенных по характеру вскрытия.

Рис. 4.19. График функции относительного вскрытия

Если толщина пласта много больше радиуса скважины, то для расчета дебитов несовершенной по степени вскрытия скважины можно пользоваться более простой формулой Н.К.Гиринского:

. (4.43)

Из зависимости (4.42) видно, что коэффициент несовершенства по степени вскрытия С можно выразить соотношением:

(4.44)

и он добавляется к фильтрационному сопротивлению совершенной скважины.

Если скважины ещё и несовершенны по характеру вскрытия, то коэффициент С увеличивается на величину сопротивления фильтра

, (4.45)

где D - диаметр фильтрового отверстия в см; n - число отверстий на 1м перфорированной части.

Течение реального газа по двухчленному закону

В большинстве случаев дебит газовых скважин не следует закону Дарси так же, как в некоторых случаях для нефтяных и водяных скважин.

Вблизи фильтрационных отверстий при приближении к стенке скважины скорость фильтрации становится настолько большой, что число Рейнольдса превосходит критическое. Квадраты скоростей становятся настолько большими, что ими пренебрегать уже нельзя.

Уравнение притока реального газа по двухчленному закону фильтрации к совершенной скважине записывается в виде, аналогично идеальному

, (3.53)

но здесь А и В являются функциями р и Т

. (4.46)

Приток к несовершенной скважине учитывается так же как и при фильтрации по закону Дарси, т.е. введением приведённого радиуса скважины в формулу дебита.

Рис.4.20. Схема притока к скважине несовершенной по степени и характеру вскрытия

При нарушении закона Дарси для скважины несовершенной по степени и характеру вскрытия для расчета притока проще всего использовать следующую схему. Круговой пласт делится на три области

(рис. 4.20). Первая имеет радиус R1 (2-3) rc. Здесь из-за больших скоростей вблизи перфорации происходит нарушение закона Дарси и проявляется в основном несовершенство по характеру вскрытия. Вторая область - кольцевая с R1< r< R2 и R2h. Здесь линии тока искривляются из-за несовершенства по степени вскрытия, и фильтрация происходит тоже по двухчленному закону. В третьей области (R2< r< Rк) действует закон Дарси и течение плоскорадиально.

Для третьей области

. (4.47)

Во второй области толщина пласта переменна и изменяется по линейному закону от hвс при r = R1 до h при r = R2 (hвс - глубина вскрытия), т.е. h(r) = r, где и определяются из условий h(r) = hвс при r = R1;h(r) = h при r = R2. Чтобы получить закон движения в этой области, надо проинтегрировать уравнение (3.50), предварительно подставив вместо постоянной толщины h переменную h(r) и учтя реальные свойства газа:

, (4.48)

С2 - вычисляется приближенно в области hвс>> R1.

В первой области фильтрация происходит по двухчленному закону и плоскорадиальное течение нарушается из-за перфорационных отверстий. Уравнение притока имеет вид (4.48), но несовершенство учитывается коэффициентами С3 и С4, а R2 заменяется на R1 и R1 на rc.

Коэффициент С3 определяется по графикам Щурова, а для определения С4 используется приближенная формула:

,

где N- суммарное число отверстий; R0- глубина проникновения перфорационной пули в пласт.

Складывая почленно (4.47), (4.48) и уравнение притока для первой области, получим уравнение притока для несовершенной скважины:

, (4.49)

.

4.2.3 Интерференция скважин

В случае интерференции скважин несовершенных по степени вскрытия в условиях течения по закону Дарси вначале определяется дебит совершенных скважин с радиусами rс по формулам теории интерференции для притока к стокам и источникам на плоскости, а затем фильтрационное сопротивление каждой скважины увеличивается на величину коэффициентов несовершенства Сi (i = 1,...,4). Если определены коэффициенты фильтрационных сопротивлений Ан и Вн указанным выше аналитическим оценочным методом или прямым испытанием скважины путем пробных откачек при установившемся режиме, можно использовать метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений для исследования интерференции несовершенных скважин, в том числе при двухчленном законе фильтрации. Для этого двухчленный закон надо представить в виде

, (4.50)

где можно рассматривать как нелинейное сопротивление, добавляемое к внутреннему сопротивлению , определяемому конечным расстоянием между скважинами в батарее.

Например, в схеме фильтрационных сопротивлений для условий линейного закона фильтрации, внутренние сопротивления следует заменить суммой , где для каждой скважины. Дальнейший расчет ведется, как и ранее, при помощи законов Ома и Кирхгофа, но система уравнений получается уже не линейной, а содержащей квадратные уравнения, что приводит к усложнению вычислений.

4.3 Взаимодействие скважин в неоднородно проницаемом и анизотропном пластах

При разработке часто возникают условия, при которых проницаемость в законтурной области меньше проницаемости внутри контура (рис.4.21).

Пусть в круге радиуса R0 проницаемость k1, а в кольце Rк проницаемость k2. При этом Rк >> a радиуса батареи.

Рис. 4.21. Кольцевая батарея скважин при двухзональной неоднородности пласта

Поток к n эксплуатационным скважинам идёт от окружности радиуса R0 и дебит G1 каждой скважины определяется по (4.20), где вместо к следует поставить 0 - потенциал на границе двух сред, а вместо rк - R0. Во второй области поток плоскорадиален от контура Rк до укрупненной скважины радиуса R0 и дебит скважины , где G определяется по формуле (4.21). Имея в виду, что в пределах каждой зоны

k = const, распишем потенциал в виде

= kФ+С,

где . Подставляя данное выражение для в соотношение для дебитов и исключая Ф0, получаем

. (4.51)

Для однородной несжимаемой жидкости Ф = р/, а вместо массового дебита G/ надо подставить объёмный дебит Q. Пользуясь (4.51), можно сравнить дебиты батареи при различных относительных размерах частей I и II пласта и при различных соотношениях между проницаемостями. Расчеты показывают, что при k1/k2 = < 1 величина коэффициента суммарного взаимодействия (отношение суммарного дебита группы совместно действующих скважин к дебиту одиночной скважины) всегда выше, чем U батареи, действующей при тех же условиях в однородном пласте ( = 1). Если же >1, то U будет меньше его значения в однородном пласте. При одних и тех же значениях взаимодействие скважин будет тем больше, чем большую площадь при данных условиях занимает менее проницаемая часть пласта.

Рассмотрим случай, когда кольцевая батарея занимает область II, то есть область, примыкающую к контуру питания (а > R0). В этом случае

. (4.52)

Для анизотропных пластов, то есть при направленном изменении неоднородности, скважины взаимодействуют приблизительно так же, как и в анизотропном пласте. Эффект взаимодействия будет значительно усиленным или ослабленным лишь при резком различии проницаемостей в двух определённых направлениях: в направлении линии расстановки скважин и в направлении перпендикулярном к этой линии.

Ослабление взаимодействия наблюдается в случае более низкой проницаемости в направлении линии расстановки скважин по сравнению с проницаемостью в перпендикулярном направлении. Усиление эффекта взаимодействия происходит в обратном случае. Таким образом, для уменьшения эффекта взаимодействия при закладывании новых скважин следует выбирать направление, в котором пласт наименее проницаем.

4.4 Влияние радиуса скважины на её производительность

Одиночная скважина. Определим дебит в двух крайних случаях: по закону Дарси - 1-е в формуле (3.48) и по закону Краснопольского развитого нелинейного течения - 2-е слагаемое. То же самое сделаем и в случае радиально-сферического течения. Если примем радиус одной скважины rс, а другой - rc/ = xrc и, соответственно, дебиты G и G/, а их отношение обозначим через у = G/G/, то получим следующие формулы для вычисления предельных значений у

Из таблицы видно, что при сохранении закона Дарси в плоскорадиальном потоке влияние радиуса скважины на дебит невелико (необходимо увеличение радиуса в 10 раз, чтобы дебит вырос на 20%). Если же фильтрация нелинейна, то влияние rc на G усиливается. Для сферически-радиального потока дебит скважины зависит от радиуса в большей степени, особенно при нелинейном законе фильтрации. При торпедировании забоя, гидравлическом разрыве пласта и других способах воздействия на призабойную зону, образуются и расширяются трещины, что способствует нарушению закона Дарси и, следовательно, усилению влияния радиуса скважины на приток к ней жидкости.

Закон

Тип потока

фильтрации

плоскорадиальный

радиально-сферический

Дарси

у=х

Краснопольского

Взаимодействие скважин. С целью выявления влияния радиуса скважин на дебит при взаимодействии скважин сравним дебиты скважин кольцевой батареи из n эксплуатационных скважин в двух случаях: 1)скважины имеют радиус rc и 2)скважины имеют радиус хrc.

Из (4.20) следует

. (4.53)

Кроме того, рассмотрим случай, если в центре батарей действует нагнетательная скважина с дебитом равным дебиту батареи:

. (4.54)

Из данных зависимостей следует, что с увеличением числа эксплуатационных скважин кольцевой батареи влияние их радиуса на дебит уменьшается, если отсутствует нагнетание жидкости в пласт. Если в центре батареи находится нагнетательная скважина, то влияние радиуса скважины на дебит будет больше, чем при отсутствии центрального нагнетания жидкости в пласт. При этом радиус скважины влияет на производительность больше, чем при одиночной эксплуатационной скважине. Число скважин при этом несущественно. Таким образом, взаимодействие эксплуатационных скважин с нагнетательными повышает влияние радиуса скважин на дебит.

5. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ УПРУГОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

5.1 Упругая жидкость

5.1.1 Понятия об упругом режиме пласта

При разработке нефтегазовых месторождений часто возникают неустановившиеся процессы, связанные с пуском или остановкой скважин, с изменением темпов отбора флюидов из скважин. Характер этих процессов проявляется в перераспределении пластового давления, в изменениях во времени скоростей фильтрации, дебитов скважин и т.д. Особенности данных процессов зависят от упругих свойств пластов и жидкостей, т.е. основная форма пластовой энергии - энергия упругой деформации жидкостей и материала пласта.

Упругий режим характеризуется двумя особенностями:

неустановившимися процессами перераспределения давления в пласте;

изменением упругого запаса жидкости в пласте.

При упругом режиме движение возникает в призабойной зоне в начале эксплуатации скважины за счет использования потенциальной энергии упругой деформации пласта и жидкости и только через некоторое время оно распространяется на более отдалённые области.

При снижении пластового давления объём сжатой жидкости увеличивается, а объём порового пространства сокращается за счет расширения материала пласта. Всё это способствует вытеснению жидкости из пласта в скважину.

В ряде случаев приток жидкости поддерживается за счет напора воды, поступающей извне. Такой режим называется упруговодонапорным.

Если залежи нефти ограничены либо зонами выклинивания, либо экранами, то режим называется замкнуто-упругим. В начальной стадии разработки такой залежи до тех пор, пока пластовое давление не снизилось ниже давления насыщения, имеет место замкнуто-упругий режим фильтрации.

Если вытеснение жидкости из пласта происходит не под действием преобладающего влияния упругости пласта и жидкости, то упруговодонапорный режим переходит в жестко-водонапорный режим. При этом режиме влияние упругости пласта и жидкости на фильтрационный поток хотя и не прекращается, но заметно не проявляется.

Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем больше коэффициент проницаемости пласта k, и тем медленнее, чем больше вязкость жидкости и коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта.

5.1.2 Основные параметры теории упругого режима

Важнейшими параметрами теории упругого режима являются коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта.

Коэффициент объёмной упругости жидкости ж характеризует податливость жидкости изменению её объёма и показывает, на какую часть первоначального объёма изменяется объём жидкости при изменении давления на единицу

, (5.1)

где ж - объём жидкости; знак минус указывает на то, что объём ж увеличивается с уменьшением давления; ж нефти находится в пределах (7-30)10-10м2/н; ж воды находится в пределах (2,7-5)10-10м2/н.

Коэффициент объёмной упругости пласта определяется по формуле

, (5.2)

где п - объём пласта; m - пористость; С слабо и сильно сцементированных горных пород находится в пределах (0,3-2)10-10м2/н.

Большое значение в практике добычи нефти и подсчета её запасов имеет величина упругого запаса выделенной области пласта, соответствующая заданному падению давления. По Щелкачеву упругий запас - это количество жидкости, высвобождающейся в процессе отбора из некоторой области пласта при снижении пластового давления до заданной величины, если высвобождение происходит за счет объёмного расширения жидкости и уменьшения порового пространства пласта.

Обозначая упругий запас через з , получаем по определению

з = ж0жр + с0р, (5.3)

где 0ж - объём жидкости, насыщающей элемент объёма пласта 0 при начальном давлении р0; р - изменение давления.

Так как 0ж = m0, то

з=*0р. (5.4)

Здесь * = mж + с - коэффициент упругоёмкости пласта, показывающий долю объема жидкости от выделенного элемента объема пласта, высвобождающейся из элемента пласта при снижении давления на единицу.

Вскрытие пласта и изменение режима работы скважины вызывает возмущение в пласте. От источника возмущения оно передаётся во все стороны пласта с какой-то скоростью. Скорость распространения изменения пластового давления характеризуется коэффициентом пьезопроводности пласта

. (5.5)

Здесь L, T -размерности длины и времени.

В коллекторах - 1000см2/с 50000см2/c или 0.1м2/с 5м2/c.

Степень нестационарности процессов определяется безразмерными параметрами Фурье:

для призабойной зоны ; (5.6)

для всего пласта , (5.7)

5.1.3 Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации упругой жидкости (уравнение пьезопроводности)

Считаем, что течение происходит по закону Дарси, и уравнение состояния упругой жидкости в линеаризованной постановке, которое получим из соотношения (2.27) разложением экспоненты в ряд Тейлора, имеет вид

, (5.8)

а также изменение пористости в зависимости от давления, полученное линеаризацией соотношения (2.34), описывается зависимостью

. (5.9)

Из (5.9) и очевидного соотношения имеем следующее дифференциальное уравнение для пористости, при пренебрежении членом, содержащим произведение жс

. (5.10)

В то же время из общего уравнения фильтрации (2.8) .

Приравнивая правые части, с учетом выражения для потенциала , и пренебрегая членом, содержащим (р-р0)2, получим

. (5.11)

Уравнение типа (5.11) известно под названием уравнения теплопроводности, а в теории фильтрации называется уравнением пьезопроводности. По аналогии с уравнением теплопроводности коэффициент характеризует быстроту распределения давления в пласте и носит название коэффициент пьезопроводности. Само уравнение (5.11) позволяет определить поле давления при нестационарных процессах в пласте с упругим режимом.

5.1.4 Приток к скважине в пласте неограниченных размеров

Вывод основного уравнения упругого режима

Считаем пласт упругим, горизонтальным и большой протяженности и в нём имеется одна скважина, тогда движение жидкости в пласте можно считать плоскорадиальным к точечному стоку (эксплуатационная скважина) или от точечного источника (нагнетательная скважина).

Рассмотрим процесс перераспределения давления при неустановившемся, плоском радиальном движении жидкости. Для этого запишем уравнение пьезопроводности в цилиндрической системе координат

. (5.12)

Предположим, что возмущение вызвано мгновенным стоком, существовавшим в момент t = t/ . Для этого случая решение уравнения (5.12) имеет вид

, (5.13)

где А и С - некоторые постоянные.

Найдём значения постоянных. Для этого будем считать, что в момент времени t = t/ давление в пласте было р = рк = const. Тогда при r > 0 и при t = t/ второй член правой части обращается в неопределённость типа / и определяется по правилу Лопиталя, что даёт С = рк. Таким образом,

. (5.14)

Для определения коэффициента А воспользуемся соотношением (5.4) для определения объёма высвобождающейся жидкости для случая кольцевого элемента пласта с внутренним радиусом r, толщиной h и шириной dr, а также учтем падение давления р = p0 - p по (5.14):

dз = *рd0 = . (5.15)

После интегрирования (5.15) в пределах от 0 до получим объём жидкости 2 , выделившейся из всего пласта и, следовательно, определим коэффициент А:

. (5.16)

Таким образом в случае скважины, введенной в неограниченный пласт в некоторый (начальный) момент времени и действующей мгновенно, изменение давления во времени определяется соотношением:

. (5.17)

Если скважина была введена в некоторый момент времени и действовала непрерывно с постоянным дебитом Q = Q0 в течение времени dt/, то за этот промежуток времени через сток выделяется из пласта объём

d2 = Qdt/ и, следовательно, из (5.17) следует

. (5.18)

Интеграл правой части носит название интегрально-показательной функции

и с учетом данного обозначения решение для изменения давления запишется в виде

. (5.19)

Формула (5.19) является основной формулой теории упругого режима пласта.

Рис. 5.1. График интегрально - показательной функции

Интегрально-показательная функция имеет вид (рис.5.1) и обладает следующими свойствами:

-Ei(-u) изменяется от 0 до при изменении аргумента от 0 до ;

функция -Ei(-u) представляется в виде сходящегося ряда

(5.20)

Для малых значений u<1 можно принять

, (5.21)

с погрешностью, не превышающей 0,25% при u < 0,01; 5,7% - при

u < 0,1.

. (5.22)

С учетом соотношения (5.21) основное уравнение (5.19) перепишется в виде, которое более известно под названием уравнение кривой восстановления давления (КВД)

. (5.23)

Рис. 5.2. Пьезометрические кривые при пуске скважины в бесконечном пласте с постоянным дебитом

Полученную зависимость можно использовать при числе Фурье с погрешностью, не превышающей 0,6%. Практически это означает, что уже через 1 с после пуска скважины расчеты забойного давления, выполненные по формуле (5.23), будут иметь погрешность не превышающую 0,6%. Формулу (5.23) можно использовать и для расчета падения давления в конечном пласте, а именно, погрешность расчета давления при этом не превышает 1%, если rк > 1000rc и fo < 3,5.105 или Fo < 0,35.

Рассмотрим пьезометрические кривые для бесконечного пласта, который эксплуатируется скважиной радиуса rc c постоянным дебитом Q0 (рис.5.2). Для точек вблизи забоя можно пользоваться формулой (5.23), а дифференцируя её по координате r, найдём градиент давления

.

Из этой формулы следует, что градиент давления для значений r, удовлетворяющих неравенству r2<<0,03.4t, практически не зависит от времени и определяется по той же формуле, что для установившейся плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости. Для указанных значений r пьезометрические кривые представляют собой логарифмические линии (рис.5.2). Углы наклона касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.

Анализ основной формулы теории упругого режима

Основная формула (5.19) или (5.23) строго говоря справедлива лишь для точечного стока, т.е. при rс=0. Практические расчеты показывают, что ей можно пользоваться даже для укрупнённых скважин (rс1км) и нельзя использовать только в первые доли секунды после пуска скважины. Если скважина укрупнённая, то формула (5.23) может дать большую погрешность лишь вблизи от её стенки (контура). Чем дальше отстоит от этого контура точка, в которой определяется давление, и чем больше времени прошло с момента пуска укрупнённой скважины, тем меньше погрешность.

Анализ формулы (5.23) показывает, что вскоре после пуска скважины вокруг неё начинает непрерывно увеличиваться область пласта (рис.5.2), в которой для каждого момента времени давление распределяется так, как и при установившемся движении, т.е. давление оказывается квазиустановившимся и пьезометрические кривые будут кривыми логарифмического типа.

Из (5.23) следует, что градиент давления, расход жидкости через любую цилиндрическую поверхность радиусом r и скорость фильтрации определяются соотношениями:

(5.24)

Из данных соотношений следует, что стационарная скорость достигается очень быстро на небольших расстояниях от скважины, так как значение коэффициента пьезопроводности велико.

5.1.5 Приток к скважине в пласте конечных размеров в условиях упруго-водонапорного и замкнуто- упругого режима

Круглый горизонтальный пласт с открытой внешней границей

Постоянный дебит. Пусть пласт имеет внешнюю границу радиусом rк, через которую может поступать вода при истощении упругого запаса. В центре пласта имеется скважина радиусом rс, которая мгновенно запускается в эксплуатацию с постоянным дебитом Q0. Перед пуском скважины давление в пласте было рк.



Рис. 5.3. . Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с открытой внешней границей:

а - с постоянным дебитом;

b - с постоянным забойным давлением рс

Для определения давления используем полученную ранее зависимость

для неограниченного пласта и формулу Дюпюи

(5.25)

для установившегося плоскорадиального потока. В результате совместного решения данных зависимостей получим следующую приближённую формулу

, (5.26)



Рис. 5.4. Изменение дебита скважины с течением времени при постоянном забойном давлении рс

где ру - установившееся давление в любой точке пласта или в реагирующей бездействующей скважине (давление ру соответствует времени t = или Fo = ).

Изменение пьезометрической кривой в различные моменты времени после пуска скважины с постоянным дебитом в пласте с круговым контуром питания показано на рис.5.3а.

Постоянное забойное давление. На рис 5.3b изображена в различные моменты времени пьезометрическая кривая после пуска возмущающей скважины с постоянным забойным давлением, на рис.5.4 - изменение дебита скважины с течением времени.

Круглый горизонтальный пласт с закрытой внешней границей

Рис. 5.5. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном дебите

Постоянный дебит. Будем считать дебит скважины постоянным. Пьезометрические кривые падения давления для разных моментов времени показаны на рис. 5.5. С некоторого момента смещение во времени пьезометрической кривой для закрытого пласта происходит так, что все точки её опускаются на одно и тоже расстояние , т.е. во всех точках пласта давление падает с одной скоростью.

Из рассмотрения рис. 5.3, 5.5. видно, что в условиях упругого режима процесс перераспределения давления, а значит, и процесс взаимодействия скважин развивается постепенно, если же и наблюдается аномально быстрое взаимодействие скважин, то это можно объяснить неоднородностью пластов и их анизотропией.

Если скважина действовала с постоянным дебитом при установившимся потоке и в некоторый момент времени она останавливается, то начинается процесс восстановления давления. Уровень жидкости в скважине начинает подыматься.

Для расчета используются полученные выше формулы для возмущающей скважины, но вместо данных понижения давления в пласте надо подставить данные повышения давления после остановки скважины.

Рис. 5.6. Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с закрытой внешней границей при постоянном дебите



Рис. 5.7. Изменение дебита Q (кр.1) скважины и суммарной добычи Qcp (кр.2) с течением времени t

Постоянное забойное давление. Объемный дебит возмущающей скважины определяется по формуле

(5.27)

а объем жидкости ж, добытой из скважины (в пластовых условиях) за время t с момента пуска скважины равен

.

При больших параметрах Фурье fo объем Qж оказывается равным упругому запасу жидкости в закрытом пласте

ж *(рк-рс). (5.28)

На рис. 5.6 показана пьезометрическая кривая для нескольких моментов времени в закрытом пласте, а на рис. 5.7 изображены две кривые: одна из них характеризует падение дебита скважины с постоянным забойным давлением (кр. 1); другая - рост суммарной добычи жидкости ж (кр.2).

5.1.6 Взаимодействие скважин

Метод суперпозиции фильтрационных потоков используется и в задачах неустановившихся процессов при упругом режиме.

Группа скважин. Так, если в пласте действует группа скважин, в числе которых имеются как эксплуатационные, так и нагнетательные скважины, понижение давления в какой либо точке пласта р определяется сложением понижений давлений, создаваемых в этой точке отдельными источниками и стоками, изображающими скважины рj. Следовательно

, (5.29)

где n - число скважин; Qj - объемный дебит стока (+) или источника(-) за номером j; rj- расстояние данной точки пласта от скважины за номером j.

Так как аргумент интегрально-показательной функции мал (меньше 1), то зависимость (5.29) можно переписать в виде

. (5.30)

Данная зависимость используется для расчета параметров пласта путем обработки кривой восстановления давления в случае скважины, эксплуатирующейся в течение длительного времени и остановленной для исследования.

Периодически работающая скважина. В неограниченном пласте останавливается скважина, эксплуатирующаяся с постоянным дебитом Q в течении времени Т, сравнимого со временем проведения исследований. Понижение давления р/ в момент времени Т можно найти по формуле (5.23). С момента остановки давление в ней и окружающей области пласта повышается, т.е. с данного момента в одном и том же месте пласта как бы действуют совместно и непрерывно эксплуатационная (сток) и нагнетательная (источник) скважины. При этом источник имеет тот же дебит Q. Обозначим повышение давления за счет работы источника через р//. Таким образом, начиная с момента времени Т, на основании формулы (5.23) имеем:

, (5.31)

.

Результирующее понижение давления р в любой точке пласта находится по методу суперпозиции

. (5.32)

Обозначая через рс давление на забое скважины после её остановки, получаем

. (5.33)

Зависимость (5.33) используется при гидродинамических исследованиях скважин, работающих не продолжительное время, методом построения кривой восстановления давления.

5.1.7 Определение коллекторских свойств пласта по данным исследования скважин нестационарными методами

Различают две группы гидродинамических методов: при установившихся и неустановившихся режимах. Первые связаны с теорией одномерного потенциального течения, а вторые - с теорией упругого режима. После пуска или остановки скважины происходит перераспределение давления, которое можно снять и получить кривую восстановления (КВД) или стабилизации (КСД) давления. На форму данных кривых влияют коллекторские свойства, что дает возможность определения таких параметров как проницаемость и пьезопроводность.

Наиболее распространен метод определения коллекторских свойств по данным о восстановлении забойного давления (КВД) в остановленных скважинах в полулогарифмических координатах (р, lnt) на основе зависимости (5.30), записанной относительно забоя скважины в виде

(5.34)

Уравнение (5.34) можно рассматривать как уравнение изменения забойного давления после остановки скважины, работающей до этого с постоянным дебитом Q.



Рис. 5.8. Кривая КВД

Уравнение (5.34) представляет собой прямую (рис. 5.8) в координатах рс-lnt, а коэффициент i определяется как тангенс угла её наклона к оси времени и коэффициент А - как отрезок оси давления, отсекаемый продолжением прямой.

По известным коэффициентам можно определить коллекторские свойства пласта:

по коэффициенту i определяют гидропроводность пласта

. (5.35)

Если известна вязкость жидкости в пластовых условиях и толщина пласта h, то из последней формулы находится коэффициент проницаемости пласта:

. (5.36)

По известному угловому коэффициенту i = tg и радиусу rc скважины из коэффициента А можно определить коэффициент пьезопроводности пласта.

Область применения указанных приемов интерпретации результатов исследования нефтяных скважин ограничивается условиями, при которых справедлива формула (5.34), а именно: скважина рассматривается как сток постоянной интенсивности в бесконечном однородном пласте , и возможна мгновенная остановка притока флюида в скважину.

В случае ограниченого пласта, когда изменение давления, вызванное закрытием скважины, доходит до его границы, КВД начинает искажаться, а через достаточно большое время выходит на горизонтальную асимптоту, соответствующую стационарному распределению давления. Поэтому длина прямолинейного участка на кривой КВД ограничена.

Кроме того, в реальных условиях скважину нельзя остановить мгновенно. После её закрытия на устье приток флюида из пласта продолжается ещё некоторое время из-за упругости жидкостей и газов, заполняющих скважину. Время выхода на асимптоту должно, очевидно, превышать время дополнительного притока. Поэтому возможны условия, при которых прямолинейный участок на КВД появляется через значительный промежуток времени, либо даже вообще отсутствует.

На форму КВД сказывается также несовершенство скважины и возможное нарушение закона Дарси у стенок скважины. В этом случае необходимо решение более сложного уравнения пьезопроводности с нелинейными членами и использование приближенных методов расчета коллекторских свойств.

5.2 Неустановившееся фильтрация газа в пористой среде

5.2.1 Уравнение Лейбензона

Лейбензон Л.С. получил дифференциальное уравнение для определения давления в пласте при неустановившемся движении в нем идеального газа.

Для получения требуемого уравнения используем изотермическое приближение и, следовательно, используем уравнение состояния в виде

. (5.38)

Потенциальная функция, как уже отмечалось ранее, имеет вид

. (5.39)

Обозначив р2=Р и проделав преобразования общего уравнения нестационарной фильтрации, получим уравнение Лейбензона:

. (5.40)

По внешнему виду уравнение (5.40) не отличается от уравнения пьезопроводности (5.11), но множитель перед лапласианом переменен. В связи с этим уравнение (5.40) нелинейно в отличие от линейного уравнения пьезопроводности упругой жидкости и аналитически решается приближенно.

Для получения приближенного решения используется метод линеаризации, а именно, переменное давление р в b заменяется на некоторое постоянное : Лейбензон предложил замену на рк (начальное давление в пласте); Чарный - на рср=рmin+0,7(pmax-pmin), где pmax и pmin - максимальное и минимальное давление в пласте за расчетный период.

При указанных допущениях решение будет иметь такой же вид, что и в случае упругой жидкости, но при этом в данных решениях давлению р будет соответствовать

Р=р2, -- /=, .

Таким образом, изменение давления при нестационарной фильтрации газа описывается соотношением

. (5.41)

При малых значениях r2/(4/t) можно заменить интегрально-показательную функцию логарифмической

. (5.42)

Рис. 5.9. Пьезометрические кривые при неустановившемся притоке газа к скважине в разные моменты времени (а) и изменение давления с течением времени в фиксированных точках пласта (b)

Формулы (5.41),(5.42) определяют при фиксированных значениях времени распределение давления вокруг газовой скважины, работающей с постоянным дебитом с момента t=0. Депрессионные кривые идентичны кривым при установившейся фильтрации - имеют максимальную кривизну вблизи скважины (рис.5.9а). Если задать значение r, то можно найти изменение давления в данной точке с течением времени (рис.5.9b). В частности, можно найти давление на забое (при r = rc) после начала работы скважины.

Уравнение (5.42) используется для расчета коллекторских параметров газовых пластов методом обработки кривой восстановления давления. Принцип расчета такой же, что и в случае нефтяных скважин, но для получения линейной зависимости по оси ординат надо откладывать не депрессию, а разность квадратов пластового и забойного давлений.

6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ МНОГОФАЗНЫХ СИСТЕМ

6.1 Связь с проблемой нефтегазоотдачи пластов

При добычи нефти происходит замещение её водой или газом как при естественных режимах эксплуатации, так и при эксплуатации с поддержанием пластового давления. Разработка газовых и газоконденсатных месторождений также часто сопровождается вытеснением газа водой или при наличии нефтяной оторочки - нефтью.

Взаимодействие различных флюидов между собой и с пористой структурой пласта обуславливает капиллярные явления, неполное и неравномерное вытеснение, образование в продуктивном пласте зон совместного течения флюидов, т. е. многофазной фильтрации.

Жидкости и газы, насыщающие нефтегазоконденсатные пласты, представляют собой смеси углеводородных, а также неуглеводородных компонентов, некоторые из которых способны растворяться в углеводородных смесях. При определенных условиях залегания и режимах разработки нефтяных и нефтегазоконденсатных месторождений в пласте возникает многофазное течение сложной многокомпонентной смеси, при котором между движущимися с различными скоростями фазами осуществляется интенсивный массообмен. Переход отдельных компонентов из одной фазы в другую влечет за собой изменение составов и физических свойств фильтрующихся фаз. Такие процессы происходят, например, при движении газированной нефти при вытеснении её водой или газом, при разработке месторождений сложного компонентного состава, при вытеснении нефти оторочками активной примеси (полимерными и щелочными растворами; различными жидкими и газообразными растворителями, применяющимися для увеличения нефтегазоотдачи). Основой для расчета таких процессов служит теория многофазной многокомпонентной фильтрации.

6.2 Основные характеристики многофазной фильтрации

Углеводородные системы могут быть гомо- и гетерогенными. В гомогенной системе все её части имеют одинаковые физические и химические свойства. Составляющие гомогенной системы (называемые компонентами) “размазаны” по пространству и взаимодействуют на молекулярном уровне. Для гетерогенной системы физические и химические свойства в разных точках различны. Гетерогенные системы состоят из фаз. Фаза - это часть системы, которая является гомогенной и отделена от других фаз отчетливыми границами. Взаимодействие между фазами происходит на поверхностях раздела. Смесь воды, нефти и газа в пласте - типичный пример гетерогенной среды.

Главными характеристиками движения многофазной среды являются насыщенность и скорость фильтрации каждой фазы.

Насыщенностью i порового пространства i -й фазой называется доля объема пор Vi , занятая этой фазой в элементарном объеме:

, i=1,2,…, n , (6.1)

где n - число фаз.

Очевидно, что

. (6.2)

Таким образом, в n-фазной системе имеется (n-1) независимая насыщенность. В частности, при исследовании фильтрации смеси двух фаз используется лишь насыщенность 1 наиболее смачивающей, вытесняющей фазы, которую будем в дальнейшем обозначать просто . . Тогда из (6.2) имеем 2=1--. Движение каждой из фаз характеризуется вектором скорости фильтрации ui данной фазы, который (по аналогии со скоростью фильтрации однородной жидкости) определяется как вектор, проекция которого на некоторое направление L равна отношению объемного расхода Qi данной фазы к площадке i , перпендикулярной к указанному направлению:

, i = 1,….n. (6.3)

Площадка i пересекает как твердую, так и подвижные фазы. При изучении сложных фильтрационных процессов возникает необходимость в построении моделей многофазных (гетерогенных) систем, в которых каждая фаза, в свою очередь, моделируется многокомпонентной гомогенной смесью. При этом между компонентами возможны химические реакции, переход компонентов из одной фазы в другую, процессы адсорбции, диффузии и др. При совместном течении двух фаз в пористой среде, по крайней мере, одна из них образует систему, граничащую со скелетом; породы и частично с другой жидкостью. Из-за избирательного смачивания твердой породы одной из жидкостей площадь контакта каждой из фаз со скелетом пористой среды значительно превышает площадь контакта фаз между собой. Это позволяет предположить, что каждая фаза движется по занятым ею поровым каналам под действием своего давления независимо от других фаз, т. е. так, как если бы она была ограничена только твердыми стенками. При этом, естественно, сопротивление, испытываемое каждой фазой при совместном течении, отлично от того, которое было бы при фильтрации только одной из них. Опыты показывают, что расход каждой фазы растет с увеличением насыщенности и градиента давления. Закон фильтрации каждой из фаз при учете силы тяжести по аналогии с законом Дарси можно записать в следующем виде:

. (6.4)

Рис.6.1. Зависимость относительных проницаемостей ki от насыщенности

Здесь k -- абсолютная проницаемость пласта, определяемая по данным о фильтрации однородной жидкости; i - коэффициент динамической вязкости фаз; pi - давление в фазах; i - плотность фаз; g - вектор ускорения свободного падения; ki() - относительные фазовые проницаемости, определяемые экспериментально; i - насыщенность одной из фаз.

Понятие относительной фазовой проницаемости ki(), играет важную роль при изучении совместного течения нескольких жидкостей в пористой среде. Обычно считается, что относительные проницаемости являются однозначными функциями насыщенностей и не зависят от скорости фильтрации и отношения вязкостей движущихся фаз. На рис. 6.1. приведены типовые кривые относительных фазовых проницаемостей для двухфазной смеси ( пунктир на рисунке относится к случаю, когда первая фаза является газом).

На этом графике показаны безразмерные относительные фазовые проницаемости k 1 и k 2; sА - связанная компонента первой, более смачивающей фазы (для воды обычно около 20%).

Характерная несимметричная форма кривых относительной проницаемости объясняется тем, что при одной и той же насыщенности более смачивающая фаза занимает преимущественно мелкие поры и относительная проницаемость у неё меньше. При малых насыщенностях часть каждой из фаз находится в несвязном состоянии в виде изолированных мелких капель или целиков и не участвует в движении. Поэтому, начиная с некоторой насыщенности, каждая фаза полностью переходит в несвязное состояние и её относительная проницаемость становится равной нулю, т.е. k1(s)=0 при s<sA, k2(s)=0 при s>1-sA. Движение этой фазы может происходить только, если s > sА. Для второй фазы связанная компонента равна 1- sA. При рассмотрении совместной фильтрации двух несмешивающих жидкостей приходится различать вытесняющую и вытесняемые фазы, т.к. относительные проницаемости различны в зависимости от того, какая из фаз (более или менее смачиваемая) первоначально заполняла пористую среду, т.е. существует гистерезис относительных проницаемостей.

Сумма относительных проницаемостей для каждого фиксированного значения меньше 1: , 0<<1.

Это означает, что присутствие связанной смачивающей фазы мало влияет на течение не смачивающей жидкости, тогда как присутствие остаточной не смачивающей фазы значительно "стесняет" движение смачивающей фазы.



Рис.6.2. Диаграмма для определения границ преобладания потоков различных фаз при трехфазном течении

Введенные выше понятия можно обобщить на случай совместного движения трех несмешивающихся флюидов: нефти, газа и воды. Если обозначить эти флюиды индексами "н", "г" и "в", то можно ввести относительные проницаемости, точно так же, как это было сделано для двух жидкостей. При этом фазовые проницаемости являются уже функциями двух независимых насыщенностей и определяются из треугольных диаграмм (рис.6.2).

На треугольной диаграмме показаны границы преобладания фаз. Из диаграммы видно, что при газонасыщенности более 35 % поток состоит только из газа, более тёмная область показывает на наличие всех фаз. По диаграмме можно определить, какие компоненты движутся в пласте при данном соотношении величин насыщенности пор фазами.

Характер зависимостей определяется различной степенью смачивания твердых зерен породы фазами, причем оказывается, что относительная проницаемость зависит только от водонасыщенности - наиболее проницаемой фазы - воды, и почти не зависит от нефте- и газонасыщенности. На основании экспериментов можно считать, что относительная фазовая проницаемость в многофазном потоке почти не зависит от вязкости жидкости, ее плотности, внутрижидкостного натяжения, градиента давления.

Характерные особенности многофазной фильтрации связаны также с влиянием поверхностного натяжения. Давления в фазах р1 и р2 не равны друг другу из-за капиллярных эффектов, приводящих к скачку давления на границе раздела фаз:

р2-р1=рк , (6.5)

где рк - капиллярное давление (или капиллярный скачок).

Большее давление будет на стороне жидкости, не смачивающей твердые зерна породы.

Предположим, что капиллярное давление при совместном течении жидкостей совпадает с капиллярным давлением в равновесном состоянии для того же значения насыщенности и при одном и том же направлении её изменения (увеличении или уменьшении). Поэтому капиллярное давление можно представить в виде известной экспериментальной функции насыщенности (рис. 6.3):

, (6.6)

Рис. 6.3. Зависимость функции Леверетта от насыщенности:

1 - кривая вытеснения; 2 - кривая пропитки; А - остаточная насыщенность вытесняемой жидкости

где п - коэффициент межфазного поверхностного натяжения; - статический краевой угол смачивания между жидкостями и породой; m - пористость; J() -- безразмерная функция Леверетта.

Процессы многофазной фильтрации идут по-разному в зависимости от характерного времени фильтрационного процесса и от размеров области течения. Капиллярные силы создают в пористой среде перепад давления, величина которого ограничена и не зависит от размеров области фильтрации. Вместе с тем перепад внешнего давления, создающего фильтрационный поток между двумя точками, пропорционален скорости фильтрации и расстоянию между этими точками. Если размеры области малы, то при достаточно малых скоростях фильтрации капиллярные силы могут превзойти внешний перепад давления. Напротив, если рассматривается движение в очень большой области (например, в целой нефтяной или газовой залежи), то влияние капиллярных сил на распределение давления незначительно и их действие проявляется в локальных процессах перераспределения фаз. Взаимное торможение фаз, благодаря которому относительные фазовые проницаемости не равны соответствующим насыщенностям, обусловлено, прежде всего, капиллярными эффектами. В тех случаях, когда можно пренебречь капиллярным скачком рк(), капиллярность косвенно учитывается самим видом опытных кривых относительных проницаемостей ki().

Таким образом, при описании многофазной фильтрации увеличивается число параметров, подлежащих определению. Наряду с неизвестными давлениями pi в фазах и скоростями фильтрации фаз ui появляются новые неизвестные - насыщенности i и концентрации отдельных компонентов.

6.3 Исходные уравнения многофазной фильтрации

Будем для простоты рассматривать совместное изотермическое течение двух фаз в однородной пористой среде без фазовых переходов и химических реакций. Система уравнений, описывающая совместную фильтрацию фаз, строится на основе уравнений неразрывности для каждой фазы, уравнений движения (закона фильтрации) и соответствующих замыкающих соотношений.

Уравнения неразрывности.

первой фазы ; (6.7)

...