Теория автоматического управления

или

. (1.45)

Переходная и импульсная переходная функции относятся к динамическим характеристикам, которые определяют поведение системы во временной области.

Функция w(t) объекта связана с его передаточной функцией W(p) обратным преобразованием Лапласа. Действительно, если x(t) = б(t), то X(р)=1 и (согласно формулы 6 табл. 1.1) y(t) = w(t). Тогда в соответствии с определением передаточной функции:

. (1.46)

Применяя прямое преобразование Лапласа к выражению (1.46), получаем, что передаточная функция является изображением импульсной переходной функции и связана с ней интегральным преобразованием Лапласа:

. (1.47)

В свою очередь переходная функция h(t) элемента связана с его передаточной функцией W(р). Если x(t) = 1(t), то X(р)=1/p и (согласно формулы 4 табл. 1.1) y(t) = h(t). Тогда в соответствии с определением передаточной функции:

. (1.48)

Применяя прямое преобразование Лапласа к выражению (1.48), получим

. (1.49)

Используя типовые воздействия, можно получить реакцию системы в переходном режиме на произвольное изменение входной величины х(t). Это возможно только в случае линейных систем, для которых справедлив принцип суперпозиции: реакция линейной системы на сумму входных воздействий, равна сумме реакций на каждое из этих воздействий. Поскольку любое входное воздействие можно представить в виде суммы типовых воздействий (единичных ступенчатых, импульсных и т.д.), то всегда можно найти реакцию системы на произвольное возмущение, зная ее реакцию на типовое воздействие.

Реакцию системы на типовое или любое произвольное воздействие можно найти путем решения дифференциального уравнения, описывающего динамику системы. Так, переходную функцию h(t) находят путем решения дифференциального уравнения при x(t)= 1(t) и нулевых начальных условиях.

Реакцию объекта на произвольное воздействие можно определить, не решая дифференциального уравнения, а используя, например переходную функцию h(t):

, (1.50)

где х(0) = х(t) при t = 0, - некоторое вспомогательное переменная интегрирования.

Реакция системы y(t) на произвольное входное воздействие x(t) может быть определена как предел суммы реакций на ступенчатые воздействия высотой x(t+), на которые можно разложить x(t), при 0.

1.6 Частотные характеристики объекта управления

Частотные характеристики описывают вынужденные колебания на выходе системы, вызванные гармоническим воздействием на ее входе.

Рис. 1.14. Входной и выходной гармонические сигналы объекта управления

Пусть на вход объекта управления подается гармоническое воздействие, например синусоидальное, с постоянной амплитудой А и частотой :

. (1.51)

Если Аx=1, то входное воздействие называется единичным гармоническим. Здесь

= 2/Тк

- угловая частота, Тк - период колебаний.

По окончании переходного процесса на выходе системы устанавливаются гармонические колебания

y(t) = Ay()Sin(t-())

той же частоты, но с другой амплитудой Ay() и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний на угол () (рис. 1.15).

Угол () рассчитывают по временному сдвигу t:

. (1.52)

Если увеличивать частоту от 0 до и определять установившиеся амплитуду и фазу выходных колебаний для разных частот, можно получить зависимость от частоты соотношения амплитуд

A() = Ay() / Aх()

и сдвига фазы

()= y()-x()

выходных колебаний относительно входных. Эти зависимости называются соответственно A() -амплитудной частотной характеристикой (АЧХ), () -фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

Для исследований и расчетов систем автоматического регулирования применяют преобразование Фурье, которое состоит в переходе от оригинала функции х(t) к ее изображению по Фурье F[х(t)] = X(j) и определяется соотношением

. (1.53)

Последнее выражение называется прямым односторонним преобразованием Фурье, а комплексная функция X(j) - изображением по Фурье или спектром функции x(t). Операция перехода от изображения функции по Фурье к оригиналу x(t) называется обратным преобразованием по Фурье и определяется соотношением

. (1.54)

Сравнивая выражения (1.12) и (1.54), нетрудно убедиться в тесной связи односторонних преобразований Лапласа и Фурье. Они могут быть легко получены одно из другого. Для перехода от изображения функции по Лапласу к ее изображению по Фурье необходимо произвести замену символа p независимого комплексного переменного символом j мнимого числа.

В теории автоматического регулирования широко применяется выражение, соответствующее отношению изображений по Фурье выходной ко входной величине

.

Оно получило название частотной функции или амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) линейной системы или элемента.

Поскольку структура выражений для преобразований Лапласа и Фурье одинакова и различается только символами p и j, все операции, проводимые над изображениями функции по Лапласу, можно осуществлять над изображениями по Фурье. Заменив p на j в выражении передаточной функции W (р), получим выражение амплитудно-фазовой характеристики:

(1.55)

Выделяя действительную Re(j) и мнимую Im(j) составляющие, можно представить АФХ в алгебраической форме:

. (1.56)

Зависимость действительной части АФХ от частоты называется действительной частотной характеристик о и Re(j), а зависимость мнимой части Im(j) - мнимой частотной характеристикой. Обе характеристики можно выразить через коэффициенты полиномов числителя и знаменателя амплитудно-фазовой характеристики, выделив в каждом полиноме действительную и мнимую части.

При строгом подходе АФХ строится на комплексной плоскости при изменении частоты от - до +. Однако АФХ симметрична относительно действительной оси при изменении частоты от - до 0 и от 0 до +. Поэтому достаточно построить АФХ только для изменения частоты от 0 до +, а затем зеркально отобразить ее относительно действительной оси.

АФХ показана на рис. 1.15, пунктирная кривая соответствует изменению частоты от - до 0, сплошная кривая - изменению частоты от 0 до +.

Рис. 1.15. Амплитудно-фазовая характеристика

АФХ системы можно также представить в виде радиуса-вектора на комплексной плоскости и записать в показательной форме:

, (1.57)

где А() - модуль вектора (представляет собой амплитудно-частотную характеристику- АЧХ); () - аргумент вектора W(j) (представляет собой фазо-частотную характеристику - ФЧХ).

Переход от алгебраической формы записи АФХ к показательной осуществляется по следующим соотношениям:

;

.

При изменении частоты от 0 до + конец вектора W(j) описывает на комплексной плоскости кривую, которая называется годографом АФХ.

Таким образом, динамика элементов и систем характеризуется дифференциальными уравнениями, передаточными функциями, временными переходной и импульсной функциями, а также частотными характеристиками. Естественно, что все указанные выражения однозначно связаны между собой и могут быть теоретически получены из дифференциального уравнения. Некоторые из динамических характеристик (переходные функции, частотные характеристики) удобно получать экспериментально, что особенно важно при изучении сложных объектов, математическое описание которых отсутствует.

Широкое применение в практике теории автоматического регулирования нашли логарифмические амплитудно-частотная (ЛАЧХ) и фазо-частотная (ЛФЧХ) характеристики. Они строятся в логарифмических координатах с помощью асимптот. Это значительно упрощает задачи анализа и синтеза систем.

1.7 Типовые звенья систем управления

При решении задач анализа и синтеза линейных САУ целесообразно представлять их в виде совокупности соединенных между собой нескольких несложных элементов с определенными динамическими свойствами. В результате такого представления получают структурную схему реального элемента или САУ, которая достаточно точно и полно описывает их динамические свойства.

С точки зрения динамических свойств объекты управления в теории автоматического регулирования принято классифицировать по характеру переходного процесса, возникающего при подаче на вход звена единичного ступенчатого воздействия. При этом переходный процесс определяется только видом дифференциального уравнения, описывающего поведение звена. Реальные элементы, составляющие САУ, могут иметь разнообразную физическую основу (тепловую, механическую, электрическую и т.д.) и конкретное исполнение (нагревательное устройство, гидро- или пневмопривод, электрический двигатель и т.д.). Однако они описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, а, следовательно, обладают идентичными динамическими свойствами. Исходя из идентичности динамических свойств, реальные элементы можно отнести к определенному типу звеньев, что, в конечном счете, позволяет свести все многообразие реальных элементов САУ к небольшому числу так называемых элементарных звеньев.

Таким образом, с точки зрения математического описания переходных процессов реальный элемент и САУ могут быть представлены в виде отдельного элементарного звена или их комбинаций. Элементарным звеном называется такое звено, которое невозможно подразделить на еще более простые звенья. Элементарные звенья характеризуются следующими общими свойствами:

а) имеют одну входную и одну выходную величину;

б) описываются дифференциальным уравнением не выше 2-го

порядка;

в) обладают детектирующим свойством, т. е. пропускают сигнал только в одном направлении.

С методической точки зрения представляет интерес оценить влияние коэффициентов и вида характеристического уравнения на тип передаточных функций и оригиналы выходных величин или вид переходных характеристик. Для этого достаточно рассмотреть различные варианты дифференциальных уравнений, которые могут быть получены из уравнения (1.22) путем варьирования коэффициентов. Ограничимся случаями с b1 =0.

1. Пусть в дифференциальном уравнении a2=a1=0, тогда уравнение состояния объекта вырождается к виду

, (1.58)

т. е. выходная величина пропорциональна входной.

Из уравнения (1.58) следует, что выходная величина мгновенно повторяет все изменения входной величины, не только в установившемся режиме, но и в переходных процессах. В связи с этим звено называют безынерционным.

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (1.58), найдем передаточную функцию безынерционного звена:

, (1.59)

где k - коэффициент передачи, имеющий размерность: единица измерения выходной величины, деленная на единицу измерения входной величины.

Переходная функция h(t) звена примет вид

. (1.60)

Графически переходная функция представляет собой ступенчатую функцию (рис. 1.16, а).



Рис. 1.16. Временные и частотные характеристики безынерционного звена звена: а -переходная функция h(t); б - АЧХ; в - ФЧХ

Амплитудно-фазовую характеристику звена получают из уравнения (1.59):

W (j) = k. (1.61)

АФХ изображается на комплексной плоскости точкой на положительной действительной оси, удаленной от начала координат на расстояние k. Действительная и мнимая частотные характеристики звена равны

. (1.62)

Из выражения (1.62) следует, что АЧХ и ФЧХ звена соответственно равны:

. (1.63)

При изменении частоты от 0 до АЧХ пропорционального звена не меняется (рис. 1.16, б), что свидетельствует о пропускании входного сигнала любой частоты без искажений. ФЧХ звена тождественно равна нулю для всех частот (рис. 1.16, в), что означает синфазность (совпадение по фазе) выходных колебаний с входными.

Примерами конструктивного выполнения безынерционного звена могут быть: механический редуктор, рычажное сочленение, электронные усилители и т. д. Приведенные технические устройства могут относиться к категории безынерционных звеньев приближенно лишь для некоторого диапазона частот.

2. Пусть в дифференциальном уравнении a2=a0=0, тогда уравнение состояния объекта вырождается к виду

, (1.64)

Очевидно, звено является интегрирующим, поскольку его выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной величины и описывается уравнением

, (1.65)

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (1.58), найдем передаточную функцию идеального интегрирующего звена:

, (1.66)

где k - коэффициент передачи звена. Его размерность: единица скорости изменения выходной величины, деленная на единицу измерения входной величины.

Переходную функцию идеального интегрирующего звена получают из уравнения (1.66) при х(t) = 1(t):

, (1.67)

где С - константа интегрирования, равная нулю для нулевых начальных условий.

Скорость изменения выходной величины при х(t) = 1(t) численно равна k:. График переходной функции представляет собой прямую линию (рис. 1.17, а) с углом наклона = arctg k.

Рис. 1.17. Временные и частотные характеристики идеального интегрирующего звена:а - переходная функция; б -АЧХ; в - ФЧХ;

При ступенчатом входном воздействии, отличном от 1(t), х(t)=А 1(t), скорость изменения выходной величины изменяется в А раз.

Из анализа (1.67) следует, что одному и тому же установившемуся значению входной величины могут соответствовать различные значения выходной величины. Здесь сказывается значение константа интегрирования. На этом основании интегрирующее звено называют астатическим. Кроме того, при уменьшении входной величины до нуля выходная величина интегрирующего звена остается неизменной и не стремится к нулю, как в пропорциональном звене.

Заменяя р на j в уравнении (1.66), получают АФХ интегрирующего звена:

. (1.68)

Из уравнения (1.68) следует, что действительная частотная характеристика равна нулю, т.е. Re() = 0, а мнимая частотная характеристика совпадает с АЧХ:

. (1.69)

ФЧХ звена равна -/2 радиан, так как

. (1.70)

Таким образом, при изменении частоты от 0 до + АЧХ уменьшается от до 0, а выходные колебания отстают на угол /2 для всех частот (рис. 1.17, б и в).

Примерами элементов, динамические свойства которых эквивалентны в некотором приближении свойствам идеального интегрирующего звена, являются: электродвигатель постоянного тока, если входом его является напряжение на якоре, а выходом - угол его поворота.

Реальные интегрирующие звенья обычно обладают заметной инерционностью. Такие звенья не относятся к элементарным, так как могут быть представлены более простыми звеньями.

3. Пусть в дифференциальном уравнении a2=0, тогда уравнение состояния объекта вырождается к виду

, (1.71)

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (1.71), найдем передаточную функцию звена 1-го проядка:

, (1.72)

где

k=b0/a0

- коэффициент передачи с размерностью: единица измерения выходной величины, деленная на единицу измерения входной величины;

Т=a1/a0

- постоянная времени, с.

Переходную функцию апериодического звена можно получить из формулы (1.72) как результат обратного преобразования по Лапласу, при использовании х(t) = 1(t):

. (1.73)

График переходной характеристики звена представлен на рис. 1.18а, поскольку переходный процесс носит не колебательный характер, то звено получило название апериодического.

Рис. 1.18 Временные и частотные характеристики апериодического звени 1-го порядка: а - переходная функция h(t); б- АЧХ, в -ФЧХ

Постоянную времени Т можно определить графически по переходной h(t) функции, проводя касательную в любой точке кривой; отрезок на асимптоте, к которой стремится h(t), от точки, соответствующей точке касания, до точки пересечения касательной с асимптотой равен постоянной времени Т. Постоянную времени можно определить как время, за которое выходная величина достигает своего установившегося значения при изменении с постоянной начальной скоростью. Чем больше Т, тем более инерционное звено. С учетом порядка уравнения (1.71) апериодическое звено называют инерционным звеном 1-го порядка.

Анализируя переходную функцию апериодического звена, можно сделать вывод, что оно обладает свойством самовыравнивания, которое выражается в том, что при постоянном значении входной величины выходная величина с течением времени стремится к установившемуся значению.

Подставляя р=j в W (р), получаем АФХ апериодического звена:

. (1.74)

На основании выражении (1.74) можно определить АЧХ и ФЧХ звена:

; (1.75)

. (1.76)

При изменении частоты от 0 до АЧХ изменяется от k до 0 (рис. 1.18б), а сдвиг по фазе выходных колебаний относительно входных изменяется от 0 до /2 (рис. 1.18в).

В качестве примеров элементов, имеющих динамические свойства апериодического звена, могут служить: электродвигатель постоянного тока, если входом его является напряжение на якоре, а выходом - скорость вращения ротора, гидравлическая емкость со свободным стоком жидкости, RC-цепочка, электрическая печь сопротивления и т.д.

4. Пусть объект управления описывается дифференциальном уравнением второго порядка

, (1.77)

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (1.77), найдем передаточную функцию звена 2-го порядка:

, (1.72)

где

k=b₀/a₀

-коэффициент передачи с размерностью: единица измерения выходной величины, деленная на единицу измерения входной величины;

- постоянная времени, с,

- коэффициент затухания (безразмерный коэффициент).

Характер переходного процесса зависит от значения корней характеристического уравнения

, (1.73)

которые очевидно в зависимости от могут быть действительными, мнимыми и комплексно-сопряженными. В общем случае

, (1.74)

где

- постоянная времени затухания процесса;

- собственная частота колебаний

При значении коэффициента затухания 0<<1 характеристическое уравнение имеет два сопряженных корня (1.74).

В этом случае передаточную функцию (1.72) можно представить в виде

. (1.75)

Используя обратное преобразование Лапласа, можно определить переходную функцию h(t) используя формулы 13 табл. 1.1

, (1.76)

где

- начальная фаза переходного процесса.

Таким образом, переходная функция звена (рис. 1.19а) при 0<<1 имеет колебательный затухающий характер. Звено с таким значением коэффициента затухания получило название колебательного звена.

Рис. 1.19. Временные и частотные характеристики колебательного звена: а - переходная функция h(t); б -АЧХ; в- ФЧХ

Время затухания определяется величиной



- действительной частью корней характеристического уравнения.

При = 0 получается частный случай колебательного звена, называемого консервативным звеном. Это идеализированное звено, соответствующее колебательному звену, работающему без потерь энергии. По сути это генератор гармонических сигналов.

Передаточная функция консервативного звена имеет вид

. (1.77)

Характеристическое уравнение звена имеет мнимые отрицательные корни, а следовательно переходная функция консервативного звена характеризуются незатухающими колебаниями. Если > 1, то корни характеристического уравнения (1.73) отрицательные действительные, что соответствует неколебательному (апериодическому) переходному процессу. Звено превращается в так называемое апериодическое звено 2-го порядка, характеристики которого здесь не рассматриваются, так как звено может быть разделено на более простые звенья и не является элементарным. АФХ колебательного звена определяется выражением

. (1.78)

Первое слагаемое определяет действительную частотную характеристику Re(), второе - мнимую частотную характеристику Im().

АЧХ и ФЧХ звена соответственно равны:

; (1.79)

. (1.80)

Графики частотных характеристик колебательного звена показаны на рис. 1.19 АЧХ колебательного звена имеет максимум Аmax при некоторой частоте max (рис. 1.19б). Значение этого максимума тем больше, чем меньше коэффициент затухания ; при =0 Аmax равен бесконечности (консервативное звено). Таким образом, максимум характеризует колебательность звена и определяется показателем колебательности:

, (1.81)

где А₀ - значение АЧХ при = 0. Чем больше М, тем хуже (медленнее) затухают колебания выходной величины в переходном процессе. ФЧХ колебательного звена монотонно изменяется от 0 до - при возрастании частоты от 0 до (рис. 3.7, г).

Примером колебательного звена может служить электродвигатель постоянного тока, если более точно рассматривать его динамику и учитывать соотношение постоянных времени, характеризующих электромеханические и электромагнитные параметры двигателя. Другими примерами могут служить груз подвешенный на пружинке, движение механических систем с учетом их упругих свойств и LRC-конгур.

Вообще говоря, к числу элементарных звеньев САУ следует отнести: безынерционное, идеальное интегрирующее, апериодическое, колебательное, а также не рассмотренные выше идеальное дифференцирующее и звено чистого запаздывания.

2. Элементы систем автоматики

2.1 Общие представления об элементах автоматики

При решении задач анализа и синтеза линейных САУ целесообразно представлять их в виде совокупности соединенных между собой нескольких несложных элементов с определенными динамическими свойствами. С точки зрения динамических свойств звеньев в теории автоматического регулирования принято их классифицировать по характеру переходного процесса, возникающего при подаче на вход звена единичного ступенчатого воздействия. При этом переходный процесс определяется только видом дифференциального уравнения, описывающего поведение звена. Реальные элементы, составляющие САУ, могут иметь разнообразную физическую основу (тепловую, механическую, электрическую и т.д.) и конкретное исполнение (нагревательное устройство, гидро- или пневмопривод, электрический двигатель и т. д.). Однако они описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, а, следовательно, обладают идентичными динамическими свойствами. Исходя из идентичности динамических свойств, реальные элементы можно отнести к определенному типу звеньев, что, в конечном счете, позволяет свести все многообразие реальных элементов АСР к небольшому числу так называемых элементарных звеньев.

Таким образом, с точки зрения математического описания переходных процессов реальный элемент и САУ могут быть представлены в виде отдельного элементарного звена или их комбинаций. В результате такого представления получают структурную схему реального элемента или САУ, которая достаточно точно и полно описывает их динамические свойства. Элементарным звеном называется такое звено, которое невозможно подразделить на еще более простые звенья. Элементарные звенья характеризуются следующими общими свойствами:

а) имеют одну входную и одну выходную величину;

б) описываются дифференциальным уравнением не выше 2-го порядка;

в) обладают детектирующим свойством, т.е. пропускают сигнал только в одном направлении.

Элементарными звеньями, из которых может быть составлена структурная схема САУ практически любой сложности, являются: пропорциональное, идеальное интегрирующее, апериодическое, колебательное, идеальное дифференцирующее и звено чистого запаздывания.

В принципе любой элемент автоматики может быть представлен в виде двухполюсника (рис. 2.1). Он конструктивно обособлен и выполняет вполне определенную функцию. Связь между выходной и входной величиной математически описывается с помощью оператора преобразования:

y(t)=L(a,x,t)x(t),

где а- обобщенный конструктивный параметр элемента. Этот параметр определяет его основное функциональное назначение.

Рис. 2.1 Функциональное определение элемента автоматики как двухполюсника

Как уже отмечалось в главе 1, оператор преобразования может быть выражен в виде передаточной функции. Если элемент представляет собой безынерционное звено, то оператор преобразования вырождается в функцию преобразования

L(a,x,t)=L(a,x)=F(a,x).

Причем если она имеет линейную зависимость, то функция преобразования вырождается в коэффициент преобразования

F(a,x)= K(a).

Элемент автоматики, как звено системы управления характеризуется набором динамических и статических характеристик. Они определяют не только поведение самого элемента в процессе управления, но и накладывают определенное влияние на характер регулирования основного выходного параметра системы.

2.1.1 Динамические характеристики элементов автоматики

К динамическим характеристикам относятся:

- постоянная времени;

- перерегулирование;

- полоса пропускания.

Они определяют время переходного процесса, т.е. инерционность элемента; допустимые перегрузки, максимальные отклонения регулируемой величины

Элементы электроавтоматики в зависимости от характера переходных процессов делятся на инерционные (динамические y1, y2) и безынерционные (y3). Их переходные процессы строятся на основании переходных характеристик и могут иметь вид, показанный на рис. 2.2.

В практике принято анализировать динамические характеристики объектов по их реакции на один из стандартных входных сигналов: единичный скачёк (ступенька) или дельта функция. Более широкое применение для анализа технических объектов нашла единичная ступенька. На рис. 2.2 показана реакция элементов, имеющих различные динамические характеристики, на ступенчатый входной сигнал.

Рис. 2.2 Переходные процессы элементов систем управления, отличающихся динамическими характеристиками: tпа -время переходного процесса апериодического звена, tпк - время переходного процесса колебательного звена.

Динамические элементы в свою очередь делятся на апериодические y1 и колебательные (периодические) y2.

Переходный процесс считается теоретически закончившимся, если выходной сигнал однажды попав в 5%-ную зону допустимых отклонений больше никогда из этой зоны не выходит.

Для колебательного звена важной характеристикой переходного процесса является величина перерегулирования. Оно определяет максимальное отклонение регулируемой величины от номинала. В зависимости от типа объекта управления по этому параметру к системам управления предъявляются различные требования. Например, в металлообрабатывающих станках, реализующих необратимый процесс формообразования, у приводов подач допустимое значение по положению не должно превышать 10-15%. В тоже время для различных обратимых процессов, на пример слежение за самолетами в системах навигации величина может достигать 30%. Все характеристики переходного процесса однозначно связаны с параметрами объекта управления. К обобщенным характеристикам (параметрам) объекта управления относятся: - постоянная времени или - коэффициент затухания и - собственная частота процессов преобразования, выполняемых в элементе.

Математическое выражение для переходного процесса апериодического звена можно представить следующим образом:

, (2.1)

где A -установившееся значение выходной величины. При коэффициенте передачи элемента равном единице величина A равна входному воздействию.

Этому уравнению подчиняются многие процессы и в частности: заряд конденсатора от источника постоянного напряжения, набор температуры в печи при ее разогреве, разгон двигателей приводов, имеющих большие инерционные массы (привод главного движения) и т.д. Постоянная времени T является мерой инерционности объекта.

Математическое выражение переходного процесса для колебательного звена имеет вид:

, (2.2)

где - собственная частота; - коэффициент затухания; - начальная фаза колебаний.

2.1.2 Статические характеристики элементов автоматики

К статическим характеристикам относятся:

- коэффициент преобразования;

- погрешность;

- зона нечувствительности или порог чувствительности.

Эти характеристики определяют поведение элементов в установившихся режимах.

Коэффициент преобразования - это отношение выходной величины ко входной величине в установившемся режиме.

. (2.3)

В зависимости от назначения элемента, коэффициент преобразования называют: коэффициент усиления, коэффициент стабилизации, чувствительность и т.д.

Погрешность - это отклонение выходной величины от требуемого значения, при неизменной входной величине. Она, как правило, связана с изменением свойств внутренних элементов, при изменении условий эксплуатации. В зависимости от причин, вызывающих погрешность, ее называют: температурная, частотная и параметрическая нестабильность. Различают абсолютную и относительную погрешность.

Зона нечувствительности - это такое абсолютное значение входного сигнала, которое не приводит к изменению выходной величины. Пример зоны нечувствительности показан на рис. 2.3. Зоной нечувствительности являются шумы в электронных усилителях, люфты в редукторах, дискретность изменения выходного сигнала в элементах преобразования аналоговых сигналов и т. д. Основным требованием, предъявляемым к статической функции преобразования элементов автоматики, используемых в системе управления, является ее линейность. При наличии нелинейности в контуре системы управления различным значениям входного сигнала соответствуют разные значения коэффициентов усиления. Это не позволяет обеспечить требуемое качество управления при сохранении устойчивости системы во всем желаемом диапазоне изменения входных сигналов или возмущений.

Рис. 2.3. Пример зоны нечувствительности элемента автоматики

Зона нечувствительности не всегда оказывает отрицательное влияние на процесс управления. В некоторых случаях она вводится специально, например, в различных дискретных системах стабилизации с целью исключения возможных автоколебаний. В станках с ЧПУ в стандартных циклах позиционирования в окрестности точки, соответствующей нулевой ошибке рассогласования координат, предусмотрена зона нечувствительности равная 2-4 дискретам измерения перемещений.

2.2 Классификация элементов системы управления

В зависимости от функционального назначения элементы систем управления делятся на:

1) датчики и контрольно-измерительные устройства;

2) усилительно-преобразовательные элементы;

3) средства передачи информации;

4) исполнительные органы;

5) источники питания.

По способу использования энергии различают элементы:

1) пассивные, в которых используется энергия входного сигнала (например, редукторы, трансформаторы, рычаги);

2) активные, в которых используются внешние источники энергии (например, усилители, генераторы, электродвигатели и т.д.)

По виду используемой энергии активные элементы делятся на электрические, пневматические, гидравлические и смешанные. Известны и другие признаки, по которым можно осуществлять классификацию, например, конструктивные и технические. Однако они носят второстепенный характер для целей понимания сути процессов управления.

2.3 Датчики

Датчики предназначены для преобразования контролируемой величины в сигнал, удобный для первичной обработки и передачи на расстояния.

Требования, предъявляемые к датчикам:

1. Возмущения, вносимые датчиком в процессы, протекающие в объекте управления можно отнести к бесконечно малым величинам.

Например, закон Ома. Ток, протекающий в цепи:

.

При наличии средств измерения (амперметр), показанных на рис. 2.4:

.

Влиянием прибора можно пренебречь, если его сопротивление R1 много меньше сопротивления цепи (R+R1), по крайней мере, на порядок.

Рис. 2.4 Измерительная цепь.

2. Инерционность датчика не должна влиять на процесс управления, т.е. инерционность его должна на 1, 2, 3 порядка быть меньше, чем инерционность исполнительного органа системы и объекта управления.

Например, если скорость изменения контролируемой величины V, а требуемая точность измерения X, то постоянная времени средств измерения должна быть T X/V. Пусть постоянная времени нагрева печи =2ч.; максимальная температура нагрева =12000С; требуемая точность стабилизации температуры =200С. Если предположить апериодический характер процесса нагрева, то максимальная скорость нагрева V =50С/мин. Отсюда следует, что постоянная времени измерительного тракта T 4мин.

3. Точность измерения контролируемой величины должна быть значительно выше (не менее чем на порядок) требуемой точности регулирования выходных параметров объекта управления. Очевидно, что если точность измерения контролируемой величины соизмерима с требуемой точностью регулирования, то систему необходимо рассматривать как релейную. Она может работать только в режиме "Да-Нет". Это специфический класс систем будет рассмотрен ниже.

Коэффициент преобразования датчика, как элемента автоматики, называется чувствительностью датчиков и представляет собой отношение выходной величины датчика к контролируемой величине.

В зависимости от функционального назначения датчики делятся на датчики давления, температуры, ускорения, скорости, перемещения, положения и т.д.

В зависимости от характера электрической величины, в которую преобразуют контролируемый параметр, датчики делятся на параметрические и генераторные.

К параметрическим относятся датчики, в которых контролируемый параметр преобразуется в какой-либо параметр электрической цепи (пассивный параметр). Пассивный параметр электрической цепи - это сопротивление, которое может быть как активным, так и реактивным. К датчикам такого типа относятся потенциометрические, индуктивные и емкостные датчики. Их типичными представителями выступают контактные и бесконтактные конечные выключатели, датчики температуры, использующие термосопротивления, и др.

В этом случае измерительную цепь можно представить следующим образом:

Рис. 2.6 Измерительная цепочка с датчиком параметрического типа

Причем

, а E, R2 =const.

В датчиках генераторного типа контролируемый параметр преобразуется в ЭДС электрической цепи. Измерительная цепь имеет следующий вид:

Рис. 2.7 Измерительная цепочка с датчиком генераторного типа

В этом случае

.

Для получения достоверной информации о процессах, протекающих в объектах управления, выходная цепь датчика должна быть согласована с последующими элементами, участвующими в обработке сигнала. В качестве первичных преобразователей информации датчиков используются усилители. Они имеют определенное входное сопротивление Rвх, канал передачи информации с датчика также обладает сопротивлением Rпр. Цепь измерения с датчиком генераторного типа, имеющего внутренне сопротивление Rвнутр, представлена на рис. 2.8.



Рис. 2.8 Цепь измерительная с датчиком генераторного типа и устройством преобразования

Чувствительность датчика:

;

. (2.4)

Если , то чувствительность измерительной цепи уменьшается. Очевидно необходимо стремиться к выполнению следующего условия:

. (2.5)

В большинстве случаев для повышения точности измерения и достоверности информации объекты управления стараются разместить как можно ближе к датчику и использовать усилители, имеющие высокоомный вход.

В зависимости от характера представления выходной величины датчики делятся на релейные и аналоговые.

К аналоговым относятся датчики, использующие термосопротивления и термопары, фотосопротивления, потенциометры, пьезо и фотоэлементы.

К релейным относятся датчики, в которых параметр электрической цепи изменяется скачкообразно (т.е. 1 или 0). Примером является электроконтактный датчик температуры, в качестве чувствительного элемента в нем используется биметаллическая пластина. Биметалл - это две пластины, соединенные вместе, и изготовленные из металлов, имеющих разный коэффициент линейного расширения.

Рис. 2.9 Термодатчик релейного типа.

В этом датчике коэффициент температурного расширения металла N1 меньше, чем у металла N2. Температура срабатывания такого датчика определяется расстоянием между пластинами Х.

Для измерения перемещений широкое применение нашли: фотоимпульсные и индуктивные датчики кругового и линейного типа. В фотоимпульсных датчиках, как правило генерируется два вида информационных сигналов: основной и смещенный.

Рис. 2.10. Форма сигналов, генерируемых фотоимпульсным датчиком

Смещенная последовательность импульсов сдвинута по фазе относительно основной на 90 градусов. Кроме этого в этих датчиках, как правило, генерируется сигнал нуль-метка. В датчиках кругового типа этот сигнал определяет полный оборот датчика в линейных датчиках, он задает границы перемещений. Для повышения надежности и создание возможности проверки работоспособности датчиков к трем основным сигналам, перечисленным выше, добавляется три инверсных им сигнала. Датчики отличаются друг от друга чувствительностью. Например, датчики типа ВЕ-178 выпускаются с чувствительностью 1000, 2500, 5000 и 10000 импульсов основной и смещенный последовательностей на оборот датчика.

Для повышения разрешающей способности датчиков при преобразовании их сигналов используется принцип умножения. Он позволяет увеличить разрешающую способность в 2-4 раза за счет подсчета не только передних фронтов, какой либо одной последовательности импульсов, но и соответственно двух последовательностей и передних задних их фронтов. Для определения направления перемещения контролируется фронт какой последовательности основной или смещенной приходит на устройство преобразования первым.

В индуктивных датчиках, как правило, для измерения перемещения используется сдвиг фаз между основной опорной частотой и частотой выходного сигнала.

Разрешающая способность такого датчика зависит от частоты питающего напряжения (), от точности работы схемы выделения фазы и от частоты импульсов, заполняющих фазу.

2.4 Средства передачи информации в системах управления

Средство передачи информации - это средство, обеспечивающее передачу информации непосредственно от датчика или предварительного усилителя на требуемое расстояние к средствам преобразования этой информации в управляющее воздействие.

К средствам передачи информации относятся каналы и линии, связывающие средство контроля с системой управления и элементы, задающие необходимый режим работы каналов передачи информации.

Различают следующие линии связи:

1) Телеграфный канал (двухпроводная линия),

2) Коаксиальный кабель,

3) Оптоволоконная техника.

Требования к средствам передачи информации:

1. Линия связи должна обеспечить минимально возможное ослабление выходного сигнала датчика.

2. Передаваемый на расстояние сигнал не должен претерпевать изменений, приводящих к потере информации.

3. Линия связи должна исключать попадание различного рода помех электромагнитного характера или сетевого в информационный сигнал, т.е. должна обладать высокой помехозащищенностью.

К средствам повышения помехозащищенности линии передач относятся использование оптоэлектрических элементов, позволяющих гальванически развязать цепи датчика, линии связи, цепи системы управления. В каналах (линиях) на основе телеграфного канала или с коаксиальным кабелем используются оптотранзисторные пары, образующие таковую петлю.



Рис. 2.11 Канал передачи информации от датчика к системе управления

При использовании оптоволоконной техники в отличии от первых двух случаев согнал, подаваемый по каналу связи представляет собой пучок света, передаваемый по стеклянному волокну.

К средствам обеспечения передачи информации относятся различные виды электронных коммутаторов и усилители.

Коммутаторы обеспечивают увеличение числа информационных каналов без увеличения числа линий связи. Однако наличие коммутаторов накладывает ограничения на быстродействие контролируемых процессов, т.е. период изменения какого-либо параметра контролируемого процесса должен быть, по крайней мере, на порядок больше периода коммутации. Современная оптоволоконная техника позволяет при наличии одного канала связи передавать информацию о 256 и более контролируемых параметрах с частотой среза десятки - сотни Гц.

2.5 Усилители

Используются для усиления входного сигнала по мощности или по амплитуде до величин, достаточных для дальнейшего преобразования в соответствии с законом управления или до величин, достаточных для воздействия на исполнительные органы объекта управления.

В зависимости от типа источника энергии, используемого в усилителе, последние делятся на электрические, пневматические, гидравлические, механические и смешанные.

В зависимости от элементной базы, используемой в электрическом усилителе, они делятся на тиристорные и транзисторные.

Тиристорные используются в приводах различного назначения, в регуляторах мощности сетей переменного тока. К их недостаткам следует отнести малую глубину регулирования и относительно не высокое быстродействие.

Полупроводниковые - транзисторные, усилители особенно в интегральном исполнении позволяют получить коэффициенты усиления от 10 до 106-108.

В зависимости от типа усиливаемого сигнала усилители делятся на усилители постоянного и переменного тока, усилители тока, напряжения и мощности.

В системах управления более широкое применение нашли усилители постоянного тока. К их недостаткам следует отнести дрейф нуля, обусловленный температурной нестабильностью и влиянием напряжения питания.

Усилители в интегральном исполнении - операционные, благодаря изменению внешней обратной связи, позволяют регулировать коэффициент усиления в широких пределах. Практически все операционные усилители имеют прямой и инверсный вход (рис. 2.12). Коэффициент усиления этой схемы определяется соотношением внешних сопротивлений.

; (2.8)



Рис. 2.12 Дифференциальный операционный усилитель

Как правило, у этих усилителей самого операционного усилителя . Входное сопротивление этих усилителей достаточно большое и может изменяться с помощью сопротивлений и .

Оптронная развязка кроме функций гальванической развязки выходной и входной цепи выполняет задачи усиления полезного сигнала.

2.6 Исполнительные устройства в системах управления

Исполнительные устройства предназначены для воздействия на какой-либо параметр объекта управления с целью обеспечения заданного процесса регулирования. В зависимости от характеристик энергоносителя, используемого в исполнительных органах их делят на электрические, пневматические, гидравлические и смешанного типа.

В технологических процессах в качестве исполнительного органа нашли применение двигатели постоянного тока, асинхронные двигатели, электромагниты, гидроцилиндры, пневмоцилиндры и др.

Двигатели постоянного тока используются для управления положением или скоростью перемещения рабочих органов технологического оборудования: суппортов и шпинделей станков, элементов руки промышленных роботов, конвейеров, заслонок в различных регуляторах расхода или давления воздуха, газа и т. д.

Асинхронные двигатели - в механизмах, обеспечивающих вспомогательное движение (загрузка-выгрузка, открывание - закрывание дверей, заслонок, повороты магазинов и автооператоров).

Электромагниты - в муфтах переключения кинематических связей, кранах, заслонках, работающих в режимах "открой-закрой”.

Гидравлические и пневматические цилиндры - поворотного или иного типа используются коробках скоростей станков для переключения кинематических связей, в автооператорах, роботах, в регуляторах расхода и давления и т. д. Гидравлические исполнительные органы отличает высокое значение мощности приведённой к единице объема.

Типовая схема регулятора расхода с электродвигателем постоянного тока в качестве исполнительного органа показана на рис. 2.13.

Рис. 2.13 Типовая схема релейного регулятора расхода с электродвигателем постоянного тока

1. В качестве датчика обратной связи будем использовать потенциометр, сопротивление которого изменяется в зависимости от положения заслонки.

2. Регулятор работает в следящем режиме, для чего необходимо обеспечить реверсивный режим работы привода заслонки.

Устройство реверсирования может быть выполнено на транзисторах, реле и тиристорах (рис. 2.14).

Рис. 2.14 Устройство реверсирования двигателя исполнительного механизма

3. Элементы анализа и синтеза систем управления объектами

3.1 Функциональный анализ систем управления

Как правило, изучение системы начинается с ее представления в виде функциональной схемы. Существует много вариантов описания систем на функциональном уровне, отличающихся разной степенью детализации функции управления. Ограничимся рассмотрением функциональных схем, в которых каждому функциональному элементу схемы соответствует определенный агрегат, устройство или элемент технической реализации конкретных систем управления.

Такая функциональная схема, на пример термического агрегата, может быть представлена в следующем виде:

Рис. 1. Функциональная схема термического агрегата

, , ; . (3.1)

Иногда вместо печи для нагрева используется индуктор.

В данной функциональной схеме исполнительный орган обеспечивает преобразование электрического сигнала управления в управляющее воздействие заданной физической природы (электрический ток, расход газа), характерное для конкретной печи. Печь в свою очередь преобразует его в соответствующий тепловой поток.

Регулятор обеспечивает формирование электрического сигнала управления в соответствии с ошибкой управления, например по температуре.

При решении задач анализа и синтеза линейных САУ целесообразно представлять их в виде совокупности соединенных между собой нескольких несложных элементов с определенными динамическими свойствами. Поскольку описание отдельных элементов функциональной схемы известно и может быть представлено в виде передаточных функций с различной степенью точности, то эта схема может быть преобразована в структурную схему:

Рис. 2. Структурная схема термического агрегата.

3.2 Правила преобразования структурных схем

Различают три типа соединения звеньев: последовательное, параллельное и с обратной связью (рис. 3.3). Рассмотрим передаточные функции систем при различном соединении звеньев.

Последовательным называют такое соединение звеньев, при котором выходная величина предыдущего звена является входной величиной последующего звена (рис. 3.3а).



Рис. 3.3. Структурные схемы соединения звеньев: а - последовательное; б - параллельное; в - с обратной связью

Передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

. (3.2)

АФХ системы также равна произведению АФХ отдельных звеньев:

. (3.3)

Если АФХ записаны в показательной форме, то для получения модуля АФХ системы перемножаются модули отдельных звеньев, а для получения фазы (аргумента) АФХ системы складываются фазы отдельных звеньев:

. (3.4)

При параллельном соединении звеньев (рис. 3.3б) на вход всех звеньев поступает одна и та же входная величина ,а выходная величина равна сумме выходных величин отдельных звеньев: .

Передаточная функция системы параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:

. (3.5)

АФХ такой системы также равна сумме частотных передаточных функций отдельных звеньев:

. (3.6)

При соединении двух звеньев, когда звено с передаточной функцией Wп(p) охвачено обратной связью в виде звена с передаточной функцией Woc(p) (рис. 3.3в), соблюдаются соотношения:

; . (3.7)

Знак "плюс" соответствует положительной обратной связи, а знак "минус" - отрицательной обратной связи. Положительной обратной связью называют такую связь, введение которой вызывает увеличение выходной величины, а отрицательной - такую, введение которой приводит к уменьшению выходной величины по сравнению со значением без обратной связи. Переходя в выражениях (3.7) от оригиналов функций к их изображениям и разделив на изображение выходной величины Xвых(p), получим

. (3.8)

Левая часть полученного уравнения представляет собой обратную передаточную функцию первого звена. Первое слагаемое правой части - обратная передаточная функция всей системы, а второе слагаемое - передаточная функция звена обратной связи, т. е.

. (3.9)

После преобразования получим

. (3.10)

Передаточная функция системы с обратной связью равна дроби, числитель которой - передаточная функция основного звена в прямой цепи, а знаменатель - единица плюс (минус) произведение передаточной функции основного звена и передаточной функции звена обратной связи ("плюс" соответствует отрицательной, "минус" - положительной обратной связи). АФХ такой системы при соответствующем виде обратной связи имеет вид: -

. (3.11)

Для целей дальнейшего анализа необходимо ввести понятие разомкнутой системы. Это система, в которой входная величина системы является входной величиной первого элемента прямой цепи, а выходной величиной разомкнутой системы является выходная величина последнего звена цепи обратной связи. Для замкнутой системы с передаточной функцией (3.10) передаточная функция разомкнутой системы будет иметь следующий вид

. (3.12)

Пример. Найти передаточную функцию системы, состоящую из интегрирующего звена в прямой цепи

и охваченного отрицательной обратной связью в виде пропорционального звена

(так называемой жесткой обратной связью).

По формуле (3.10) находим

,

где

; .

Как видно из примера, введение обратных связей резко меняет свойства основного звена: вместо интегрирующего звена получено апериодическое звено 1-го порядка.

На основании приведенных формул преобразования передаточную функцию системы управления печью (рис. 3.2) можно представить так

.

Будем считать, что рассмотренной ранее системе управления (рис. 3.2) печь представляет собой апериодическое звено 1-го порядка:

.

Так как инерционность исполнительного органа и регулятора меньше постоянной времени печи, то с определенной степенью точности можно представить их как безынерционные звенья. Кроме этого для упрощения математических выкладок рассмотрим случай с пропорциональным регулятором.

Инерционность датчиков всегда выбирается на порядок меньше, чем исполнительных органов.

, , .

В этом случае передаточная функция замкнутой системы:

,

где

,

,

,

представляет собой также апериодическое звено, но совершенно с другими параметрами.

При получении передаточных функций сложных систем с множеством звеньев и различными связями между ними основной подход к решению задачи заключается к сведению сложной структурной многоконтурной схемы к одноконтурной схеме путем замены звеньев, охваченных различными связями, укрупненными эквивалентными (заменяющими) звеньями, и устранению перекрестных связей в системе. Последняя задача решается с использованием так называемых правил эквивалентного преобразования.

...