Теория автоматического управления

3.3 Устойчивость систем автоматического управления

3.3.1 Общие понятия устойчивости

В замкнутых автоматических системах регулирования при появлении возмущающих или изменении управляющих воздействий в общем случае возникают колебания регулируемой величины. Эти колебания могут быть затухающими, незатухающими и расходящимися (переходные процессы могут быть и неколебательными - апериодическими, стремящимися к положению равновесия или уходящими от него). Ясно, что системы, в которых возникают расходящиеся колебания регулируемой величины, неработоспособны. При их применении нарушается ход технологического процесса, что может привести к авариям.

Для описания характеристик отмеченных особенностей введено понятие "устойчивость". Система автоматического управления называется устойчивой, если она, будучи выведенной из состояния равновесия, после снятия возмущающего воздействия возвращается к прежнему положению равновесия или в конечную область, примыкающую к этому положению. Устойчивость - это внутреннее свойство системы регулирования, для линейных систем не зависящее от внешних воздействий.

Простейшей аналогией устойчивой и неустойчивой систем могут служить системы из вогнутой и выпуклой поверхности и шарика. Выходной величиной системы является отклонение шарика от положения равновесия. На вогнутой поверхности (рис. 3.4а) шарик, смещенный в сторону какой-то силой, после устранения этой силы самопроизвольно возвращается в нижнюю точку, т. е. в прежнее положение равновесия. Если трение невелико, то шарик совершит несколько колебаний около положения равновесия (кривая 1). При большом трении шарик переместится в положение равновесия без колебаний - апериодический процесс (кривая 2). При очень большом трении шарик может не дойти до нижней точки (кривая 5), но возвратится в конечную область, примыкающую к положению равновесия. Во всех трех случаях налицо устойчивая система. Подобные переходные процессы (затухающие колебательные и апериодические) возникают и в устойчивых системах автоматического регулирования.

На выпуклой поверхности (рис. 3.4 б) шарик, смещенный в сторону, не возвращается в положение равновесия (кривая 4) - система неустойчивая. В таких системах могут возникать переходные процессы как апериодические, так и в виде расходящихся колебаний (кривая 5).

Переход от устойчивой системы к неустойчивой и наоборот характеризуется возникновением незатухающих колебаний выходной величины - система находится на границе устойчивости.



Рис. 3.4 Переходные процессы в устойчивой (а) и неустойчивой (б) системах

Возникновение незатухающих колебаний регулируемой величины в линейных системах - чисто теоретическая ситуация и реальные системы автоматического регулирования в таком режиме работать не могут (работа нелинейных систем в автоколебательном режиме здесь не рассматривается).

При определении устойчивости системы рассматривается ее свободное поведение при равенстве нулю возмущающих и входных воздействий. Поэтому движение системы определяется однородным дифференциальным уравнением замкнутой системы

, (3.13)

характеристическое уравнение, которого имеет вид

. (3.14)

Общее решение однородного дифференциального уравнения (3.13) может быть представлено следующим образом

, (3.15)

где Ck-константы интегрирования; pk- корни характеристического уравнения.

Если корни характеристического уравнения действительные, то вид уравнения (3.15) остается неизменным. Если характеристическое уравнение (3.14) имеет комплексные корни, то каждая пара сопряженных комплексных корней

дает в составе решения уравнения (3.15) свою составляющую:

, (3.16)

Из определения устойчивости следует, что если прежнее положение равновесия и его конечные окрестности принять за нуль, то у устойчивых систем выходная величина с течением времени должна стремиться к нулю: система возвращается в положение равновесия. Для этого необходимо и достаточно, чтобы все слагаемые решения уравнения (3.13) с течением времени стремились к нулю, что достигается, если действительные корни уравнения (3.14) отрицательны, а комплексные корни имеют отрицательную действительную часть. Наличие даже одного положительного действительного корня или пары комплексных корней с положительной действительной частью приводит к тому, что соответствующее слагаемое решения уравнения (3.12) с течением времени неограниченно возрастает, т. е. выходная величина системы не возвращается к первоначальному значению - система неустойчива.

Изображая корни характеристического уравнения замкнутой системы (3.15) на комплексной плоскости (рис. 3.5), следует отметить, что система автоматического регулирования устойчива, если все корни характеристического уравнения системы левые, т. е. лежат в левой полуплоскости и все они действительные отрицательные или комплексные с отрицательной действительной частью. Наличие хотя бы одного правого корня (в правой полуплоскости) говорит о неустойчивости системы.

Рис. 3.5 Расположение корней характеристического уравнения устойчивой системы на комплексной плоскости

Границей, разделяющей на комплексной плоскости зоны расположения корней характеристического уравнения, обеспечивающих устойчивость или неустойчивость системы, служит мнимая ось. Если хотя бы два корня характеристического уравнения чисто мнимые (лежат в комплексной плоскости на мнимой оси) j, а остальные имеют отрицательные действительные части, то в системе возникают незатухающие колебания с частотой . Такая система находится на границе устойчивости. Система будет на границе устойчивости и при наличии хотя бы одного нулевого корня (pk = 0) и остальных корней с отрицательными действительными частями. Такую систему называют нейтрально устойчивой. На плоскости границу устойчивости принято обозначать штриховкой, направленной в сторону устойчивой зоны.

Таким образом, для определения устойчивости необходимо решить характеристическое уравнение замкнутой автоматической системы регулирования и проанализировать расположение полученных корней на комплексной плоскости.

Практически все реальные системы автоматического регулирования не являются строго линейными, а их линейные дифференциальные уравнения получают путем линеаризации. При линеаризации с помощью разложения в ряд Тейлора отбрасывают члены второго и высших порядков малости, которые для малых отклонений считаются пренебрежимо малыми.

Существуют разработанные А.М. Ляпуновым положения (приведенные здесь без доказательства), которые позволяют распространить рассмотренные способы определения устойчивости по корням характеристического уравнения на реальные системы:

Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными действительными частями, то реальная система также будет устойчивой, т.е. учет отброшенных малых нелинейных членов не может нарушить ее устойчивость.

Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной действительной частью, то реальная система также будет неустойчивой, т.е. учет отброшенных малых нелинейных членов не может сделать ее устойчивой.

При наличии нулевых и чисто мнимых корней характеристического уравнения поведение реальной системы не всегда (даже качественно) определяется ее линеаризованным уравнением, т.е. учет даже малых нелинейных членов может коренным образом изменить характер переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой.

3.3.2 Критерии устойчивости

Алгебраические критерии. Решение характеристических уравнений высоких степеней вызывает определенные трудности, и поэтому существуют методы определения устойчивости системы по значениям коэффициентов уравнения или по частотным характеристикам системы, называемым критериями устойчивости. Рассмотрим без доказательства некоторые из них.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица. Иногда его называют критерием Рауса - Гурвица, так как эти ученые независимо друг от друга сформулировали критерии устойчивости для систем, описываемых линейными уравнениями любого порядка. Критерий дается в форме, предложенной Гурвицем. Формулировка критерия: система автоматического регулирования устойчива, если все коэффициенты однородного дифференциального уравнения замкнутой системы имеют одинаковый знак, а все определители Гурвица больше нуля. Для коэффициентов уравнения (3.13) составляют квадратную матрицу, содержащую n строк и m столбцов. По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписывают все коэффициенты от an-1 до a0. Каждую строчку дополняют коэффициентами с убывающими слева направо индексами так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента и если его номер больше п или меньше нуля, на его месте проставляют нуль.

. (3.17)

Определители Гурвица составляют по следующему правилу (в соответствии с пунктирными линиями):

; (3.18)

; (3.19)

. (3.20)

Последний (n-ый) определитель включает всю матрицу (3.17), но он может быть выражен через предпоследний определитель Гурвица (n-1):

. (3.21)

Так как в устойчивой системе n-1> 0, то положительность последнего определителя сводится к положительности свободного члена характеристического уравнения a0.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель (n = 0) при положительности всех остальных определителей. Как видно из формулы (3.21), это условие распадается на два: a0= 0 и n-1= 0. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (нулевой корень характеристического уравнения), а второе - границе устойчивости второго типа (колебательная граница).

Для уравнений высоких порядков вычисление определителей Гурвица становится достаточно трудоемким, поэтому использование критерия практически ограничивается уравнениями четвертого - пятого порядков. Другим недостатком критерия Гурвица является то, что при неустойчивости системы он не позволяет определить, как нужно изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой.

Пример. Рассмотрим характеристическое уравнение 3-й степени

.

Составим матрицу коэффициентов:

.

При положительности a0 устойчивость системы обеспечивается положительностью

,

откуда (a2a1/a0as)> 1.

Частотные критерии устойчивости. Рассмотрим левую часть характеристического уравнения замкнутой автоматической системы управления - характеристический полином:

. (3.22)

Подставим в этот полином чисто мнимое значение р = j. При подстановке получим характеристический комплекс

, (3.23)

называемый вектором Михайлова. Если частоте придавать значение в пределах от 0 до , то вектор (3.23) будет изменяться по величине и направлению и его конец опишет на комплексной плоскости кривую, которую называют годографом Михайлова (рис. 3.6). Формулировка критерия: система автоматического регулирования устойчива, если годограф Михайлова начинается при = 0 на положительной действительной полуоси и с увеличением частоты от 0 до проходит в положите льном направлении (против часовой стрелки) последовательно, нигде не обращаясь в нуль, п квадрантов (п - порядок дифференциального уравнения системы).

Любое отклонение от указанного правила говорит о неустойчивости системы. На рис. 3.6 кривая 1 соответствует устойчивой системе с уравнением 3-го порядка, кривая 2 - то же, но 4-го порядка, кривая 3 соответствует неустойчивой системе, кривая 4 - системе, находящейся на границе устойчивости, когда годограф Михайлова проходит через 0.

Рис. 3.6. Частотный критерий устойчивости Михайлова: 1 и 2 -устойчивая система; 3 -неустойчивая система; 4 -система на границе устойчивости

Преимуществами частотного критерия Найквиста перед критерием Михайлова является то, что он позволяет судить об устойчивости замкнутой автоматической системы регулирования по характеристикам разомкнутой системы и может быть применен для систем с транспортным запаздыванием без поправок и дополнений.

Если в выражение передаточной функции разомкнутой системы (3.12) подставить р = j, то получим АФХ разомкнутой системы п-ого порядка:

, (3.24)

которая строится на комплексной плоскости при изменении частоты со от 0 до .

Формулировка критерия: система автоматического регулирования, устойчивая или нейтрально устойчивая в разомкнутом состоянии, устойчива в замкнутомсостоянии, если АФХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0) - рис. 3.7. Для неустойчивой в разомкнутом состоянии системы формулировка критерия несколько сложнее и здесь не рассматривается.

Если АФХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами (-1; j0), как показано на рис. 3.7 (кривая 2), то система находится на колебательной границе устойчивости, и в ней возникают незатухающие колебания выходной величины. Если АФХ разомкнутой системы охватывает точку (-1; j0), то замкнутая система неустойчива (рис. 3.7, кривая 3).



Рис. 3.7 Частотный критерий устойчивости Найквиста: 1-устойчивая система; 2 - система на границе устойчивости; 3 -неустойчивая система

Среди частотных критериев устойчивости систем автоматического регулирования следует выделить, критерий, базирующийся на анализе ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы. Он позволяет наглядными средствами графически с помощью асимптот произвести оценку устойчивости систем достаточно высокого порядка. Формулировка этого критерия требует большого иллюстративного материала и здесь из-за ограниченного объема курса не рассматривается.

При расчете и анализе систем автоматического регулирования бывает необходимо исследовать влияние ее параметров на устойчивость. Для решения этой задачи строят область устойчивости, т. е. определяют такие области значений параметров, при которых система оказывается устойчивой. Различают построения области устойчивости в плоскости одного параметра (второй координатой служит частота колебаний) и (что наиболее часто) в плоскости двух параметров. Построение в объеме трех параметров применяют редко из-за сложности геометрического представления границ (поверхностей) устойчивости. Примером области устойчивости служит левая полуплоскость в комплексной плоскости корней характеристического уравнения (см. рис. 3.4).

Для выделения областей устойчивости необходимо построение границ устойчивости первого (нулевой корень характеристического уравнения) и второго (чисто мнимые корни) типов. Однако часто бывает достаточным построение только границы устойчивости второго типа (колебательной). Для расчета колебательной границы устойчивости можно использовать различные критерии устойчивости.

Для систем с уравнениями не выше четвертого-пятого порядков возможно применение критерия Гурвица. Колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица (n-1 = 0).

Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий Михайлова. Границе устойчивости соответствует в этом случае равенство нулю характеристического комплекса

, (3.25)

где A, B- параметры системы управления, оказывающие наиболее существенное влияние на устойчивость.

В этом случае уравнение (3.25) распадается на два уравнения:

, (3.26)

Оба эти уравнения представляют собой параметрические уравнения колебательной границы устойчивости в плоскости с координатами А и В при условии отрицательности действительных частей всех других корней, кроме чисто мнимых. Каждой точке на границе устойчивости соответствует свое значение чисто мнимых корней и, следовательно, своя частота колебаний выходной величины. На рис. 3.8 приведен пример границы области устойчивости Пи-регулятора в плоскости настроек его параметров: kp- коэффициента передачи и Tи- постоянной интегрирования.

Рис. 3.8 Граница и область устойчивости в плоскости настроек ПИ-регулятора

Устойчивой зоной является зона ниже кривой, в ее сторону обращена штриховка. Границей устойчивости первого рода является линия kр = 0, поскольку при этом характеристическое уравнение замкнутой системы имеет нулевой корень. Если колебательную границу устойчивости продолжить до оси абсцисс (пунктирная линия на рис. 3.8), то отмеченная штриховкой область будет областью устойчивости в плоскости настроек регулятора.

3.3.3 Оценка устойчивости системы управления второго порядка

Пусть в рассматриваемом примере термического агрегата (рис. 3.2) исполнительный орган, т.е. какой-то нагреватель, обладает определенной инерционностью . Его передаточная функция:

.

Тогда передаточная функция замкнутой системы:

.

В этом случае мы придем к следующему виду передаточной функции замкнутой системы:

,

где

, , .

Проанализируем корни характеристического уравнения.

.

При любом значении 1 получаем два действительных корня, которые меньше нуля; когда 1, то получаем два комплексно-сопряженных числа, у которых действительная часть всегда 0, т.е. система устойчива. В этом случае вид переходного процесса для комплексно-сопряженных корней записывается следующим образом:

,

где

, ,

- степень затухания, А- установившееся значение температуры при выбранных управляющих воздействиях.

3.4 Качество процессов регулирования

Устойчивость является необходимым, но недостаточным свойством автоматической системы регулирования, поскольку в устойчивой системе могут возникать очень медленно затухающие, длительные переходные процессы. Возникает необходимость количественно оценить качество процессов регулирования при устойчивой работе системы. Одной из основных характеристик качества процессов регулирования является точность, под которой понимается величина ошибки регулирования в различных установившихся режимах. В системах стабилизации таким режимом является установившееся состояние (положение равновесия) и точность системы характеризуется величиной статической ошибки yт. Величину yст можно найти, использовав теорему о предельном переходе, по которой установившееся значение регулируемой величины y() равно

. (3.27)

На основании определения передаточной функции

, (3.28)

где Y(р) - изображение регулируемой величины; Х(р) - изображение входной величины системы, в качестве которой можно рассматривать yb (t) - возмущение со стороны регулирующего органа, z (t) - внешние возмущения или х 0 (t) - возмущение по заданию; W3 (р) - передаточная функция замкнутой системы при соответствующем возмущении.

Подставив выражение (3.28) в выражение (3.27), получим

. (3.29)

Если x(t) =1(t)-единичное ступенчатое воздействие, то X(p)=1/p.В этом случае

. (3.30)

С точки зрения динамических свойств звенья и системы в теории автоматического регулирования принято классифицировать по характеру переходного процесса, возникающего при подаче на их вход единичного ступенчатого воздействия. По этому признаку системы делятся на статические и астатические. Переходные процессы в статических системах автоматического регулирования показаны на рис. 3.9. Если за начало отсчета принимать первоначальное положение равновесия, то при возмущении по заданию (кривая 1 на рис. 3.9) статическая ошибка хст=х 0-х(), при других возмущениях хст=х().



Рис. 3.9 Переходные процессы в статических системах

Рассматриваемая величина статической ошибки характеризует точность, определяемую законом регулирования, и не учитывает точность работы измерительных и других приборов и устройств системы. Применение П- и ПД-законов регулирования не позволяет избежать статической ошибки (единственное исключение- астатический объект при возмущении только по заданию). В реальных системах величина статической ошибки не должна выходить за допустимые пределы, определяемые технологическими требованиями. Если допустимое значение статической ошибки мало или равно нулю, необходимо применять регуляторы с интегральной составляющей в законе регулирования (И, ПИ, ПИД), обеспечивающие регулирование без статической ошибки.

Большинство разработанных и применяемых показателей качества относятся к работе систем в переходных режимах и определяют те или иные параметры переходного процесса. Все показатели качества можно разделить на две группы:

1. Показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходного процесса (рис. 3.10):

Xi - динамическое отклонение (в единицах регулируемой величины), т. е. наибольшее отклонение регулируемой величины от заданного значения в переходном режиме;

Рис. 3.10 К определению показателей качества переходного процесса

tp - время регулирования, т.е. продолжительность переходного процесса (определяется до момента, когда отклонение войдет в наперед заданные небольшие пределы). Временем регулирования характеризует быстродействие системы;

-степень затухания, безразмерные единицы;

перерегулирование, %;

интегральный критерий качества

(3.31)

или интегральный квадратичный критерий качества

, (3.32)

дающий суммарную оценку качества переходного процесса (с учетом длительности процесса и динамического отклонения регулируемой величины от заданного значения).

2. Показатели качества, определяемые по косвенным параметрам: п - степень устойчивости; т -степень колебательности; С и -запас устойчивости по модулю и по фазе; М - показатель колебательности (частотный критерий качества).

Под степенью устойчивости понимается абсолютное значение действительной части ближайшего к мнимой оси корня характеристического уравнения замкнутой системы (рис. 3.5). Корни этого уравнения, расположенные ближе всего к мнимой оси, дают в переходном процессе составляющую, которая затухает наиболее медленно. Переходный процесс можно считать законченным тогда, когда затухнет составляющая, определяемая ближайшим к мнимой оси корнем.

Степень колебательности системы определяется по корням характеристического уравнения замкнутой системы:

, (3.33)

где и - действительная и мнимая части корней характеристического уравнения p1,2 = - ±j.

На комплексной плоскости корней характеристического уравнения (рис. 3.5) т = tg. Если уравнение имеет несколько пар комплексных корней, то рассматривают корни, обеспечивающие меньшее значение угла , поскольку именно эти корни характеризуют наиболее плохо затухающую гармоническую составляющую переходного процесса.

Запас устойчивости системы характеризует, насколько далеко система расположена от колебательной границы устойчивости. Запас устойчивости по модулю С - расстояние (рис. 3.7) от точки (-1; j0) до точки пересечения АФХ разомкнутой системы с отрицательной действительной полуосью. Запас устойчивости по модулю показывает в каких пределах можно увеличить модуль АФХ разомкнутой системы (увеличить коэффициент передачи регулятора), чтобы замкнутая система оставалась устойчивой. Запас устойчивости системы по фазе - угол между отрицательной действительной полуосью и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения АФХ с окружностью единичного радиуса (см. рис. 3.7). Угол показывает, в каких пределах можно увеличивать запаздывание по фазе разомкнутой системы (например, запаздывание в объекте регулирования), чтобы замкнутая система оставалась устойчивой.

Показатель колебательности М определяется по амплитудной частотной характеристике замкнутой системы автоматического регулирования (рис. 3.11а):

. (3.34)

Чем дальше система от границы устойчивости и чем лучше затухает переходный процесс, тем меньше Атах и М.



а) б)

Рис. 3.11 Амплитудная частотная характеристика замкнутой системы регулирования (а); область параметров настроек ПИ-регулятора(б)

При синтезе автоматических систем регулирования задаются определенными показателями качества регулирования, исходя из технологических особенностей процесса, определяют структуру (выбирают закон регулирования) и рассчитывают параметры системы (коэффициенты, входящие в закон регулирования), обеспечивающие получение переходного процесса заданного качества. Например, возможен расчет параметров систем для получения переходного процесса с заданным значением степени колебательности системы т (обычно в пределах 0,25-0,4) по так называемым расширенным частотным характеристикам. Расширенная АФХ W (т,j) получается из передаточной функции W(р) при подстановке р = (j-m) .

В соответствии с критерием Найквиста для системы находящейся на границе устойчивости справедливы соотношения:

или . (3.35)

Если в выражение (3.35) входят два параметра системы (А и В), то справедливо соотношение

. (3.36)

Уравнение (3.36) распадается на два параметрических уравнения, определяющих линию равного т в плоскости параметров А и В:

. (3.37)

Пусть параметрами А и В являются коэффициентами уравнения ПИ-регулятора kр и Ти, передаточная функция которого имеет вид

.

Тогда в плоскости с соответствующими координатами (рис. 3.11б) по уравнениям (3.37) может быть построена линия равного т. Каждая точка связывает значения kр и Ти, обеспечивающие одинаковое затухание переходного процесса. Вместе с тем частота затухающих колебаний будет своя для каждой точки кривой. Для выбора оптимальных настроек регулятора можно использовать минимизацию интегрального квадратичного критерия качества (3.32). Тогда из всех точек кривой выбирают одну со значениями kрopt и Тиopt, обеспечивающими получение переходного процесса при заданном значении m с минимальным значением I2.

Существуют также методы расчета систем по заданным значениям запаса устойчивости, показателя колебательности М и др. Однако все эти методы предназначены для упрощенных расчетов без применения ЭВМ. В настоящее время, безусловно, наиболее целесообразен оптимальный расчет систем регулирования, включающий выбор оптимального закона регулирования и оптимальных параметров этого закона. В качестве критерия оптимальности может служить тот же интегральный квадратичный критерий качества I2. Такой оптимальный расчет систем производится с помощью ЭВМ и применяется для выбора закона регулирования и параметров этого закона, обеспечивающих минимум интегрального критерия качества.

Качество процессов регулирования может быть улучшено путем применения более сложного закона регулирования (например, ПИ- вместо И-закона, ПИД-вместо ПИ-закона) и расчета параметров закона регулирования (настроек регулятора), обеспечивающих заданные или оптимальные характеристики переходного процесса.

В статических системах стабилизации с П- и ПД-регуляторами точность может быть повышена путем увеличения коэффициента передачи разомкнутой системы (коэффициента передачи регулятора). Введение в закон регулирования интегральной составляющей (пропорционально интегралу отклонения) позволяет получить регулирование без статической ошибки. Качество переходного процесса в динамике может быть дополнительно улучшено введением в закон регулирования дифференциальной составляющей (пропорционально производной отклонения).

Однако в некоторых случаях усложнением закона регулирования по основному контуру и расчетам соответствующих коэффициентов закона регулирования невозможно добиться требуемого качества переходных процессов. Тогда приходится применять дополнительные меры улучшения процесса, из которых наиболее широкое применение нашли: введение корректирующих звеньев, введение дополнительных контуров регулирования, применение компенсации возмущений.

4. Нелинейные системы автоматического управления

4.1 Основные понятия и определения

4.1.1 Классификация нелинейных элементов

Вообще говоря, большинство из известных систем автоматического регулирования нелинейным системам. Различают статические и динамические нелинейности. Первые представляются в виде нелинейных статических характеристик, а вторые - в виде нелинейных дифференциальных уравнений. Наличие в системе даже одного нелинейного элемента делает всю систему нелинейной. Ниже рассмотрены системы с так называемыми существенными статическими нелинейностями, которые не поддаются обычной линеаризации методом малых отклонений.

В элементах автоматики часто встречается нелинейность, называемая зоной нечувствительности Она определяется интервалом изменения входной величины, в пределах которого выходная величина не изменяется, т. е. равна нулю. Зона нечувствительности имеется у многих элементов систем, в том числе у большинства исполнительных элементов. Ясно, что электрический двигатель исполнительного механизма будет находиться в покое при подаче на него напряжения до тех пор, пока момент, создаваемый этим напряжением, не превысит момента трения и момента нагрузки на валу двигателя. Зону нечувствительности могут вызвать и зазоры между контактами, включающими и выключающими двигатель.

Для большинства усилительных и исполнительных элементов автоматики характерна нелинейность с насыщением или с ограничением, поскольку всегда бывают ограничены или перемещение исполнительного элемента, или мощность усилителя. Часто в одном элементе встречается комбинация рассмотренных нелинейностей, т.е. имеются и зона нечувствительности и ограничение.

Одной из нелинейностей, встречающихся в механических системах, в том числе в объектах регулирования, например в редукторах, является гистерезисная петля люфта.

Для электромеханических устройств автоматики, в том числе для регуляторов, типичны релейные характеристики. Релейной характеристикой называется нелинейная функция, представляющая собой такую зависимость, при которой непрерывному изменению входной величины соответствует скачкообразное изменение выходной. Этот класс нелинейностей ниже будет рассмотрен более подробно.

Кроме рассмотренных характеристик, элементы автоматики могут иметь самые различные нелинейные характеристики: криволинейные любого очертания, в том числе экстремальные, кусочно-линейные и др.

Рассмотрим нелинейные системы регулирования, в которых под знаком нелинейной функции стоит только выходная величина системы и ее производные или только входная величина системы и ее производные:

; (4.1)

. (4.2)

В случае (4.1) можно считать, что нелинейность присуща объекту регулирования и ее характеристики не могут быть изменены в процессе работы системы. В случае (4.2) нелинейность сосредоточена в регулирующем устройстве, т.е. преднамеренно введена в систему регулирования, и ее характеристики могут настраиваться в процессе работы системы. Такие системы обычно могут быть сведены к системе с одним нелинейным звеном. Все остальные элементы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, входят в линейную часть системы.

4.1.2 Особенности устойчивости нелинейных систем

Дифференциальное уравнение замкнутой системы регулирования п-ro порядка можно преобразовать в систему п дифференциальных уравнений первого порядка:

, (4.3)

где х₁ -регулируемая величина; x₂, ..., х_п - вспомогательные переменные; z и х 0- возмущающее и задающее воздействия.

В уравнении третьего порядка имеются три переменных: х₁, х₂, x₃, которые можно представить как прямоугольные координаты некоторой точки М', характеризующей состояние системы. С течением времени величины х₁, х₂, x₃ в процессе регулирования определенным образом изменяются, что соответствует перемещению точки М' в пространстве по определенной траектории, которая служит наглядной геометрической иллюстрацией поведения системы (рис. 4.1а). Пространство (х₁, х₂, x₃) называют фазовым пространством, точку М' - изображающей точкой и ее траекторию - фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, полученных при различных начальных условиях, представляет собой фазовый портрет. Если переменных в уравнении (4.3) две (системы второго порядка), то изображающая точка будет двигаться на плоскости, называемой фазовой плоскостью. Одной координатой фазовой плоскости будет регулируемая величина х, другой координатой - скорость изменения регулируемой величины dx/dt = h (рис. 4.1б). Фазовые траектории представляют собой "геометрический образ” переходного процесса в системе. При этом используются только координаты фазовой плоскости, и не используется время.

Рис. 4.1 Изображение процесса регулирования в фазовом пространстве (а) и на фазовой плоскости (б)

Рассмотрим сначала фазовые траектории линейных систем, имеющих различные переходные процессы. Точке М 1 колебательного переходного процесса (рис. 4.2а) соответствует положение изображающей точки М 1' на фазовой плоскости (рис. 4.2б) (х имеет положительное значение, х' = 0).

Рис. 4.2 Затухающие переходные процессы в устойчивой системе (а) и их изображение на фазовой плоскости (б)

Точке М₂ соответствует точка М'₂ (х=0, скорость х'=h имеет отрицательное значение). Точке М₃ соответствует положение изображающей точки М₃' (х имеет отрицательное значение, скорость х' = h в минимуме равна нулю). Продолжив построение точек и соединив их плавной линией, получим на рис. 4.2б фазовую траекторию в виде спирали, стремящейся к нулю (в точке М₆ величина х и скорость ее изменения х' = h равны нулю). Аналогичным образом строится пунктирная линия на рис. 4.2б - фазовая траектория, соответствующая апериодическому переходному процессу. Таким образом, если в системе регулирования возникает затухающий колебательный или апериодический процессы, то фазовая траектория имеет вид спирали или другой линии, стремящейся к нулю.

Из рис. 4.3 и 4.4 следует, что если в системе возникает расходящийся колебательный или апериодический процессы, то фазовые траектории имеют вид спирали или другой линии, удаляющейся от начала координат.

Рис. 4.3. Расходящиеся переходные процессы в неустойчивой системе (а) и их изображение на фазовой плоскости (б).

Если устанавливаются незатухающие колебания, то фазовая траектория имеет вид замкнутого контура (рис.4.4). При построении фазовых траекторий на плоскости с координатами х и х'=h необходимо помнить следующие правила: а) изображающая точка М' в верхней полуплоскости всегда движется слева направо, а в нижней полуплоскости - справа налево; б) фазовые траектории всегда пересекают ось абсцисс под прямым углом; в) фазовые траектории нигде не пересекаются.



Рис. 4.4 Переходный процесс в виде незатухающих колебаний (а) и его изображение на фазовой плоскости (б).

В приведенном выше анализе вид фазовых траекторий устанавливали по характеру переходных процессов. При исследовании нелинейных систем решается обратная задача - по виду фазовой траектории оценивают характер переходного процесса, устойчивость системы, установившееся значение регулируемой величины, параметры возникающих колебаний и пр.

Основной метод определения фазовых траекторий заключается в получении из дифференциального уравнения системы регулирования дифференциального уравнения фазовых траекторий, интегрировании его и построении фазовых траекторий для различных начальных условий (метод применим для уравнений второго порядка).

Для пояснения принципов построения фазовых траекторий рассмотрим пример регулирования температуры в электрической печи, если уравнение печи имеет вид

, (4.4)

где -температура печи, отсчитываемая от заданного ее значения; х-- положение регулирующего органа, на пример реостата.

Статическая характеристика регулятора приведена на рис. 4.5, а и записывается следующим образом:

, если , (4.5)

, если , (4.6)

В этом примере + С -постоянная скорость исполнительного механизма в направлении уменьшения подводимой к печи мощности; - С -то же, в направлении увеличения подводимой мощности.

Дифференцируя уравнение (4.4) по t и подставляя значения dx/dt, получим два уравнения, описывающих движение системы регулирования температуры при разных положениях контактов реле:

; (4.7)

. (4.8)

Координаты фазовой плоскости х = и h = d/dt.

Если d/dt > 0, то, согласно выражению (4.5) и рис. 4.5а, переключение контактов регулятора произойдет при =+b (линия EF на рис. 4.5б); если же d/dt < 0, то переключение произойдет при =-b (линия GH). Справа от линии EFGH справедливо уравнение (4.7), а Слева - (4.8). Уравнение (4.7) в новых обозначениях примет вид

, (4.9)

откуда при замене

dt = d/h

получаем дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

. (4.10)

Интегрирование (4.10) дает

, (4.11)

где C1- произвольная постоянная.

Рис. 4.5. Статическая характеристика регулятора (а) и фазовый портрет системы регулирования температуры в электрической печи (б)

Аналогичным образом слева от линии EFGH получаем уравнение фазовых траекторий

. (4.12)

Каждому значению Сг и С2, определяемому начальными условиями, соответствует определенная кривая на фазовой плоскости (рис. 6.6, б), а совокупность кривых дает фазовый портрет системы. По виду фазового портрета можно судить о характере переходных процессов в нелинейной системе. В частности, в рассмотренном примере в системе возникают незатухающие колебания температуры, поскольку на фазовой плоскости имеется замкнутый контур ABCD, к которому сходятся отдельные фазовые траектории.

Нелинейные автоматические системы регулирования после окончания переходного процесса могут прийти к прежнему или новому состоянию равновесия, причем в этих системах положений равновесия может быть несколько. Помимо состояний равновесия в нелинейных системах, возможно установление периодических процессов, называемых автоколебаниями. Автоколебания не порождаются внешними периодическими воздействиями, а возникают за счет внутренних свойств нелинейной системы. Таким образом, в отличие от линейных систем в нелинейных системах возможно наличие нескольких положений равновесия и специфических автономных периодических режимов - автоколебаний.

Состояния равновесия и автоколебания могут реально существовать лишь в том случае, когда они устойчивы, причем при устойчивых автоколебаниях могут быть неустойчивые состояния равновесия, и наоборот. В отличие от линейных систем устойчивость нелинейных систем может зависеть от величины отклонения от положения равновесия, вызванного возмущающим или управляющим воздействием (от величины возмущения). При этом система может быть устойчивой при малых отклонениях и неустойчивой при больших, т. е. можно говорить, что система устойчива "в малом" и неустойчива "в большем". Если система устойчива при любых начальных отклонениях, ее называют устойчивой "в целом", аналогично линейной системе.

Изучение фазовых портретов нелинейных систем позволяет выделить несколько случаев, характеризующих особенности устойчивости и возникновения периодических режимов (рис. 4.6). На рис. 4.6а представлен случай, когда при любых начальных значениях х система приходит в положение равновесия (фазовые траектории приближаются к началу координат). Однако состоянию равновесия отвечает не одна точка на фазовой плоскости, а отрезок прямой на оси абсцисс, величина которого зависит от размеров зоны нечувствительности. Такую систему можно считать устойчивой "в целом". На рис. 4.6б показан случай системы устойчивой "в малом" - при малых начальных значениях х фазовые траектории сходятся к началу координат и неустойчивой.

Рис. 4.6. Фазовые портреты нелинейных автоматических систем управления: а - система с зоной нечувствительности (-b…+b), устойчивая "в целом"; б - система, устойчивая "в малом" и неустойчивая "в большом"; в - система с устойчивыми автоколебаниями; г - система с двумя предельными циклами на фазовой плоскости "в большом" - при начальных значениях х фазовые траектории расходятся от начала координат.

Области устойчивости "в малом" и неустойчивости "в большом" на фазовой плоскости разграничиваются замкнутым контуром, который показывает наличие неустойчивого периодического режима, так называемого предельного цикла. Реальные устойчивые автоколебания, характеризуемые указанным циклом, в системе возникнуть не могут. В конечном итоге всегда возникнут или затухающие, или расходящиеся колебания выходной величины.

На рис. 4.6в поведение системы при малых отклонениях характеризуется расходящимся, но ограниченным процессом. Система неустойчива "в малом", но амплитуда расходящихся колебаний увеличивается только до определенного предела и затем остается постоянной. Фазовые траектории при малых отклонениях асимптотически приближаются к некоторому замкнутому контуру, имеющему конечные размеры (к устойчивому предельному циклу). Фазовые траектории, начинающиеся вне контура, также асимптотически приближаются к нему. Предельный цикл характеризует возникновение в нелинейной системе устойчивых автоколебаний. При любых начальных значениях х в системе возникают затухающие или расходящиеся колебания, которые с течением времени переходят в один и тот же незатухающий колебательный процесс - автоколебания.

Фазовый портрет более сложной нелинейной системы показан на рис. 4.6г. Здесь имеются два замкнутых контура, характеризующих периодические режимы. Внутренний контур неустойчивый и является только границей устойчивости "в малом". Внешний контур является устойчивым предельным контуром и характеризует возникновение в системе устойчивых автоколебаний.

По замкнутому контуру на фазовой плоскости можно оценить параметры автоколебаний. Если допустить, что автоколебания имеют вид синусоиды х=asint, то амплитуда автоколебаний а равна отрезку ОА на оси абсцисс (см. рис. 4.6в). Так как х'=acost, то при cost=1 отрезок 0В равен a, т. е. частота автоколебаний может быть найдена как соотношение отрезков 0В и 0А: =0В/0А. Если автоколебания имеют негармонический вид, то определение частоты имеет приближенный характер.

В итоге можно сформулировать особенности устойчивости нелинейных систем:

1) нелинейная система может быть устойчива "в целом" аналогично линейной системе, однако при этом возможно множество положений равновесия;

2) устойчивость нелинейных систем зависит от величины начального отклонения от положения равновесия (от величины возмущения, вызвавшего это отклонение). Например, система может быть устойчивой "в малом" и неустойчивой "в большом";

3) устойчивым режимом работы нелинейной системы может быть периодический режим, называемый устойчивыми автоколебаниями (устойчивый предельный цикл).

4.2 Анализ релейных систем автоматического управления

4.2.1Основные понятия и определения

Релейные системы управления относятся к классу нелинейных систем, у которых единственная нелинейность сосредоточена в регуляторе, называемом релейным регулятором. Дифференциальное уравнение автоматической системы управления с релейным регулятором имеет вид

(4.13)

где F (х) - нелинейная функция х.

Релейные регуляторы (системы) подразделяются на позиционные (-регуляторы) и регуляторы с постоянной скоростью исполнительного механизма (-регуляторы). Позиционные регуляторы называют также регуляторами с релейным регулирующим органом. Их нелинейные статические характеристики F (х) приведены на рис. 4.7.

Входной величиной служат либо отклонение регулируемой величины от заданного , либо при неизменном регулируемая величина х (с обратным знаком), отсчитываемая от ее заданного значения.

Рис. 4.8. Статические характеристики позиционных регуляторов: а -двухпозиционная характеристика без зоны неоднозначности; б - то же, с зоной неоднозначности; в -трехпозиционная характеристика без зоны неоднозначности; г -то же, с зонами неоднозначности.

Выходной является положение у. За нуль принимается среднее положение регулирующего органа, поэтому + С и - С соответствует полное открывание или закрывание регулирующего органа (в зависимости от конкретных условий и направления регулирующего воздействия положение регулирующего органа + С, как и - С может означать и полное открывание, и полное закрывание).

На рис. 4.9а изображена статическая характеристика идеального двухпозиционного регулятора (регулирующий орган может занимать только две позиции - полностью открытое или полностью закрытое положение).

,

Рис. 4.9. Статические характеристики двухпозиционного (а и б) и трехпозиционного (в) регулятора температуры.

Реальные двухпозиционные регуляторы имеют статическую характеристику (рис. 4.9б) с прямоугольной петлей гистерезиса шириной .

При движении системы в сторону увеличения х переход из одной позиции в другую происходит в точке , при обратном движении системы (в сторону уменьшения х) переход происходит в точке . В двухпозиционных регуляторах гистерезисная петля вводится преднамеренно, причем с возможностью изменения ее ширины, что позволяет оказывать влияние на параметры возникающих автоколебаний.

На рис. 4.9в изображена статическая характеристика трехпозиционного регулятора (регулирующий орган может занимать три позиции - полностью открытое, среднее и полностью закрытое положения). Значение х от до называется зоной нечувствительности . Могут встретиться трехпозиционные регуляторы и с неоднозначными характеристиками (рис. 4.8г).

4.2.2 Переходные процессы в релейных системах управления

Переходный процесс в системах с кусочно-линейными статическими характеристиками, к которым относятся релейные автоматические системы управления, можно рассчитать методом припасовывания. Допустим, что F (х) имеет вид, соответствующий рис. 4.8в:

(4.14)

Тогда уравнение (4.14) при х < приобретает вид

(4.15)

и переходный процесс является решением этого линейного дифференциального уравнения до тех пор, пока х < .

При x

, (4.16)

причем начальными условиями для решения этого уравнения будут результаты решения дифференциального уравнения (4.15), т. е. значения х, х', х" и т. д. в момент, когда х = .

Таким же образом от уравнения (4.16) переходят к уравнению (4.17), когда в результате решения уравнения (4.16) х = :

(4.17)

Такое последовательное использование уравнений продолжается при дальнейшем исследовании переходного процесса.

Возможен переход от одного уравнения к другому и в обратном направлении, причем при каждом переходе начальными условиями для решения данного уравнения будут результаты решения предыдущего уравнения к моменту перехода.

4.2.3 Двухпозиционный регулятор температуры электрической печи

Рассмотрим переходные процессы в электрической печи при регулировании температуры различными позиционными регуляторами. При двухпозиционном управлении регулирующий орган (контактор) может занимать два положения: силовые контакты замкнуты - подается максимальная мощность и силовые контакты разомкнуты - подается минимальная мощность. Если входной величиной релейного регулятора считать температуру х, отсчитываемую от заданного значения [напоминаем, что в данном случае (при = 0) х имеет значение, равное отклонению и обратное ему по знаку, так как ], а выходной величиной - подаваемую в печь мощность, то статические характеристики двухпозиционного регулятора имеют вид приведенных на рис. 4.9.

В случае идеальной характеристики регулятора (рис. 4.9а) при разогреве печи {х < 0) подается максимальная мощность , при достижении заданной температуры печи (х = =0) размыкаются силовые контакты и мощность не подается. В результате инерционности нагревателей и печи температура после выключения мощности будет некоторое время увеличиваться выше заданного значения (х > 0), а затем начнет уменьшаться.

Новое замыкание силовых контактов произойдет при уменьшении температуры печи до заданного значения (х = 0). Однако, несмотря на поступление мощности, температура печи по инерции некоторое время будет уменьшаться, а затем начнет увеличиваться. При новом достижении заданного значения температуры произойдет снова выключение мощности. В результате в печи устанавливаются незатухающие колебания температуры (автоколебания) вокруг заданного значения (рис. 4.10).

Рис. 4.10 Переходный процесс (а) и переключение мощности (б) при регулировании температуры в печи двухпозиционным регулятором без зоны неоднозначности

Если характеристики двухпозиционного регулятора имеет гистерезисную петлю то при разогреве печи (система движется в направлении увеличения ) размыкание контактов произойдет не в точке, соответствующей достижению температурой заданного значения (рис. 4.11), а при более высокой температуре, соответствующей значению х=. В результате устанавливаются автоколебания температуры с большей амплитудой, чем в случае рис. 4.10.



Рис. 4.11. Переходный процесс (о) и переключение мощности (б) при регулировании температуры в печи двухпозиционным регулятором с зоной неоднозначности.

Вместе с тем из сравнения рис. 4.10 и 4.11 видно, что период автоколебаний Т* увеличится и, следовательно, частота колебаний уменьшится. Амплитуда колебаний зависит от ширины гистерезисной петли и всегда больше .

Таким образом, введение при двухпозиционных характеристиках гистерезисной петли и увеличение ее ширины приводят при прочих равных условиях (характеристики печи, подводимая мощность) к увеличению амплитуды и уменьшению частоты автоколебании. Ширину гистерезисной петли можно использовать как настройку, позволяющую оказывать влияние на параметры автоколебаний.

Показанные на рис. 4.10 и 4.11 автоколебания вокруг заданного значения регулируемой величины получаются только в случае симметричности режима работы, что для электрической печи означает равенство скоростей нагрева и охлаждения печи в районе заданного значения температуры. Если режим работы несимметричен, то автоколебания возникают вокруг средних значений регулируемой величины, отличных от заданного значения, т. е. появляется как бы статическая ошибка.

В рассматриваемом примере, если скорость нагрева печи будет выше скорости охлаждения автоколебания установятся вокруг среднего значения температуры > . Если, наоборот, скорость нагрева печи будет меньше скорости ее охлаждения, то < .

4.2.4 Трёхпозиционный регулятор температуры электрической печи

При трехпозиционном регулировании температуры печи задается не одно ее значение, а зона заданного значения температуры . Такое регулирование означает, что в зависимости от значения х подается максимальная мощность , некоторая средняя мощность или минимальная мощность (обычно равная нулю). Статическая трехпозиционная характеристика для данного случая показана на рис. 4.9в. Когда температура печи ниже заданного предела (), включены две секции электрического нагревателя и подается; когда температура печи находится в пределах , включена одна секция нагревателя и подается ; когда температура печи выше заданного предела (), нагреватель выключен полностью и подается = 0.

Переходные процессы при трехпозиционном регулировании температуры печи показаны на рис. 4.8. Возможны три различных режима. В режиме I = , где - номинальная мощность, необходимая для поддержания температуры печи в заданных пределах:

( ).

В этих условиях при разогреве печи или после воздействия каких-то возмущений температура входит в заданные пределы без возникновения колебательного процесса. Она может остановиться на любом значении в -пределах зоны нечувствительности (в заданных пределах); т. е. точность регулирования температуры составляет (статическая ошибка ).

В режиме II <, т. е. подаваемая в средней позиции мощность недостаточна для поддержания температуры в заданных пределах (например, уменьшилось напряжение в питающей сети). Тогда температура печи будет уменьшаться (пунктирная линия на рис. 4.12) и при достижении ею значения

...