Теория автоматического управления

произойдет переключение на . Система будет работать в двухпозиционном режиме при переключении мощности с на и обратно. В результате установятся автоколебания около нижней границы заданных пределов температуры.

Рис.4.12 Переходный процесс (а) и переключение мощности (б) при регулировании температуры в печи с трехпозиционным регулятором

Статическая ошибка . Под статической ошибкой здесь понимают отклонение температуры, вокруг которого устанавливаются автоколебания, от среднего заданного значения .

В режиме III >, т.е. подаваемая в средней позиции мощность превышает мощность, необходимую для поддержания температуры в заданных пределах (например, увеличилось напряжение в питающей сети). Тогда температура печи будет увеличиваться и в определенный момент достигнет значения

,

при котором произойдет отключение печи. Печь будет работать в двухпозиционном режиме регулирования при переключении с до и обратно. Тогда автоколебания установятся вокруг верхней границы заданного предела температур.

Преимущества трехпозиционного регулирования перед двухпозиционным следующие:

1) неколебательный переходный процесс при = ;

2) значения амплитуды и одновременно частоты автоколебаний меньше (при одинаковых характеристиках печи и максимальной мощности).

4.2.5 Релейный регулятор в приводах исполнительных механизмов

Релейные регуляторы с постоянной скоростью исполнительного механизма (-регуляторы) называют также регуляторами с релейным управлением привода регулирующего органа. Статические характеристики таких регуляторов приведены на рис. 4.13.



Рис. 4.13. Статические характеристики регуляторов с постоянной скоростью исполнительного механизма: а - идеального; б - реального; в - реального с неоднозначной характеристикой

Входной величиной является отклонение регулируемой величины от ее заданного значения

.

Регулируемая величина х, отсчитываемая от ее заданного значения = 0. Выходной величиной является скорость перемещения выходного вала исполнительного механизма или (что то же самое) скорость перемещения регулирующего органа . Параметры +C и - С означают постоянную скорость исполнительного механизма, но с разным направлением перемещения. Например, "плюс" означает перемещение вала исполнительного механизма, приводящее к закрытию регулирующего органа, а "минус" - к открытию регулирующего органа.

Двухпозиционный режим - регуляторов (см. рис. 4.13а) является по существу теоретическим приближением, не учитывающим зону нечувствительности. Реальные - регуляторы имеют статическую характеристику, показанную на рис. 4.13б, с зоной нечувствительности. Двигатель исполнительного механизма не работает, когда отклонение находится в пределах зоны нечувствительности ,. Если более точно описывать характеристики реле, то следует учитывать и зоны неоднозначности (рис. 4.13г).

При использовании - регулятора с характеристикой, приведенной на рис.4.13а, в системе возникают незатухающие колебания (автоколебания) регулируемой величины вокруг заданного значения (рис.4.14), пунктирные линии.

Рис. 4.14 Переходный процесс в системе регулирования при использовании регулятора с жесткой обратной связью (а) и изменение положения регулирующего органа в процессе регулирования (б).

Улучшение качества переходных процессов, в частности получение затухающего переходного процесса, обеспечивается введением отрицательных обратных связей, (выходная величина звена обратной связи вычитается из х). Обратные связи вводятся либо жесткие с передаточной функцией усилительного звена , либо упругие с передаточной функцией дифференцирующего звена

.

Влияние жесткой обратной связи хорошо видно из рис. 4.14. Без этой связи в системе с идеальной характеристикой (рис. 4.13а) устанавливаются незатухающие колебания регулируемой величины (пунктирная кривая на рис. 4.14). При наличии обратной связи при работе исполнительного механизма изменяется и сигнал обратной связи по прямой линии. В момент времени достигается равенство (на входе нелинейного элемента сигнал равен нулю) и при дальнейшем уменьшении х происходит реверс двигателя исполнительного механизма. Этот реверс происходит раньше, чем при регуляторе без обратной связи. В результате значение х в отрицательном направлении уменьшается, и в итоге в системе возникает затухающий переходный процесс. При этом время между реверсами двигателя ,, в отрицательном направлении уменьшается, и в итоге в системе возникает затухающий переходный процесс. При этом время между реверсами двигателя , , также уменьшается. Так как реальные - регуляторы всегда имеют зону нечувствительности, то переходный процесс закончится, когда х войдет в пределы зоны нечувствительности. Изменяя коэффициент обратной связи (угол наклона прямой ), можно менять характеристики переходного процесса, в частности параметры его затухания.

При работе - регуляторов с обратной связью возможно возникновение в системе особого режима, принципиально отличающегося от показанного на рис.4.14 и называемого скользящим режимом. Покажем возможности его появления на примере - регулятора со статической характеристикой (рис. 4.13в). Для простоты рассмотрим работу отдельного регулятора вне системы регулирования.

Допустим, что на входе регулятора х изменяется с постоянной скоростью (рис. 4.15). Исполнительный механизм будет оставаться в покое до тех пор, пока х не достигнет значения в момент времени . Двигатель включится; при этом будут изменяться положение регулирующего органа у и сигнал обратной связи . Если коэффициент передачи жесткой обратной связи достаточно велик, то будет изменяться с большей скоростью, чем х. В результате разность будет уменьшаться и достигнет в момент времени значения - двигатель остановится. После этого в связи с ростом х разность при неизменном значении будет увеличиваться и в момент времени достигнет значения - двигатель снова включится в этом же направлении. В результате возникнет режим работы, при котором двигатель после остановки включается не в противоположном (как на рис. 4.14), а в том же направлении. Этот режим работы - регулятора и называется скользящим. Необходимым условием возникновения скользящего режима является большая скорость нарастания сигнала обратной связи по сравнению со скоростью изменения . Аналогичный скользящий режим работы возникает и при использовании обратной связи в виде реального дифференцирующего звена.

Рис. 4.15 Пояснение пульсирующего режима работы - регулятора

При работе такого - регулятора в замкнутой системе регулирования возникает затухающий переходный процесс. Причем с того момента, когда становится больше , регулятора переходит в скользящий режим работы и система приходит к положению равновесия по апериодической кривой.

5. Объекты управления с распределенными параметрами

5.1 Основные понятия и определения

В большинстве технических приложений суть объектов управления такова, что описание их небольшим конечным набором сосредоточенных переменных не адекватно ни существу процесса, ни той цели управления, которая поставлена применительно к каждому объекту. Основная особенность многих объектов управления состоит в том, что они имеют пространственную протяженность, и их состояние невозможно характеризовать заданием изменения координат объекта лишь только во времени.

Состояние таких объектов должно задаваться не только в каждый момент времени, но и в каждой точке той геометрической области пространства, которую занимает данный объект. Анализ объектов подобного рода требует существенного обобщения методов и средств анализа объектов с сосредоточенными параметрами, которые как отмечалось выше, описываются конечным набором функций одной независимой переменной (как правило, этой переменной является время). Состояние объекта с распределенными параметрами по меньшей мере, т.е. в простейшем случае, описывается одной функцией, но уже минимум двух независимых аргументов. Обычно этими аргументами являются время и пространственная (в простейшем случае) скалярная переменная. Таким образом, состояние объекта с распределенными параметрами задается функцией.

Разработка теории и техники автоматического управления для объектов с распределенными параметрами является значительно более сложной проблемой, нежели аналогичная проблема для объектов с сосредоточенными параметрами. Такое положение дел можно объяснить следующими причинами:

1. Состояние объекта с распределенными параметрами описывается функциями нескольких независимых переменных.

2. Движение таких систем в широком смысле слова (динамика и статика) описывается дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений с частными производными, интегральными уравнениями, интегро-дифференциальными уравнениями, смешанными дифференциальными уравнениями в частных и полных производных, дифференциальными формами, а подчас и более сложными функциональными уравнениями неограниченно сложного типа.

3. Управляющие воздействия на объект с распределенными параметрами также могут носить самый разнообразный характер. Они могут быть сосредоточенными (описываться функциями одной независимой переменной: пространственной или временной) и могут быть распределенного характера, то есть математически описываться функциями нескольких независимых переменных, причем области определения этих функций могут носить непростой характер. Это могут быть отдельные точки, линии, поверхности, области и вообще многообразия довольно общего вида, сосредоточенные как на границе области задания объекта (то есть входят в граничные условия), так и внутри области задания объекта.

4. На управляющие воздействия и функции состояния объекта могут накладываться дополнительные (помимо основных уравнений объекта) ограничивающие условия типа равенств или неравенств гораздо более разнообразного характера по сравнению с ограничивающими условиями для систем с сосредоточенными параметрами.

5. Техническая реализация управляющих систем (включающая в себя первичные датчики состояния объекта и преобразующие по определенному алгоритму собственно регуляторы, исполнительные устройства и регулирующие органы) связана со значительно большими трудностями и проблемами. Например, для создания системы стабилизации поля перемещений проводящей жидкости (плазмы) необходима специально сконструированная распределенная среда (распределительный регулятор). Она совмещает в себе чувствительные элементы (датчики), преобразующие устройства и исполнительные органы в совершенно новом, необычном для систем регулирования сосредоточенными объектами виде.

В такой же степени более сложной по отношению к системам с распределенными параметрами является и проблема оптимальности, управляемости и наблюдаемости.

Сделав эти замечания общего характера, теперь мы можем перейти к рассмотрению ряда совершенно конкретных производственных и вообще технических объектов, для которых проблему их управления, по существу, необходимо рассматривать как задачу управления системами с распределенными параметрами.

Процессы с распределенными параметрами, связанны с распределением тепла (температуры) или концентрации и относятся к классу диффузионных процессов. Они широко применяются в основных отраслях промышленности: металлургической, химической, машиностроительной (термообработка) - и в целом ряде других отраслей промышленности. Математически в линейном приближении эти процессы описываются хорошо известными уравнениями параболического типа, типичным представителем которого является уравнение теплопроводности (параболическое уравнение).

Во многих производственных процессах большое значение придается экономичному нагреву металла (быстрому, качественному, с минимальными затратами и потерями). Например, работа прокатного стана или аналогичного оборудования, предназначенного для горячей обработки металла давлением или для термообработки, в сильной степени зависит не от среднемассовой температуры обрабатываемого изделия, а от распределения температуры по сечению изделия или по всему объему нагреваемого тела. Нагрев изделий, как правило, происходит в печах, и температура печи является управляющим воздействием. Путем изменения подачи топлива в печь или изменением установки регулятора температуры, мы можем реализовать те или иные графики нагрева металла.

В начале рассмотрения конкретных примеров имеет смысл дать классификационные характеристики проблемы управления системами с распределенными параметрами, которые в значительной степени покажут общность и сложность всей этой проблемы в целом. Признаки классификации этих проблем могут быть разные, и здесь трудно, в силу обширности проблемы, представить ее полностью. Мы попытаемся эту классификацию представить в виде ветвящегося дерева. Итак, первое деление "проблемы управления распределенными системами":

1. Теория;

2. Применение.

"Теория" делиться на "проблемы" и "методы". "Проблемы" - на "теоретические" и "технические".

Теоретические проблемы: оптимизация, устойчивость, инвариантность, идентификация, управляемость, наблюдаемость, чувствительность, финитное управление, синтез и адаптация.

Основная техническая проблема в управлении системами с распределенными параметрами - это создание технических средств управления такого рода системами. Обычные характеристики средства управления и автоматики, применявшиеся до сих пор для управления объектами как сосредоточенными системами, должны быть существенно дополнены целым рядом специфических средств управления, характерных только для объектов с распределенными параметрами. Датчики систем управления распределенными объектами должны давать информацию о полях распределения соответствующих физических (или других) величин. Здесь специфической является проблема создания сканирующих датчиков. Примерами таких датчиков являются сканирующие датчики температурных полей на поверхности какого-либо тела. Что касается регуляторов, реализующих алгоритм (закон) управления, то здесь специфическим является проблема создания распределенных регуляторов с непрерывной (или квазинепрерывной) структурой в пространстве. Специфически их можно назвать непрерывной распределительной управляющей средой, которая органически должна дополнять управляемый объект и составлять с ним единое целое, единую физическую систему, обладающую требуемыми свойствами (устойчивостью, оптимальностью, надежностью и др.).

Важнейшим техническим средством, используемым при решении задач управления распределенными системами, являются различного рода вычислительные средства (машины и устройства). Если отвлечься от универсальных цифровых вычислительных машин широкого назначения, то имеется большой класс специфических вычислительных средств, специально предназначенных для решения различного рода задач, связанных с распределенными параметрами.

Классификацию по признаку "теории" можно назвать "методы описания". Методы описания можно разделить на два класса: физическое описание и математическое описание.

При физическом описании деление распределенных систем возможно по размерности занимаемого ими пространства: одномерные (струна, нить и т.д.), двумерные (волны на поверхности жидкости), трехмерные (давление газа в сосуде), п-мерные. Относительно такой физической величины, как время, распределенные системы можно подразделить на статические (неизменные во времени) и динамические (меняющиеся во времени).

Другое деление по "физическому описанию" скалярная величина (температура), векторная величина (скорость), тензорная величина (напряжения, диэлектрическая проницаемость).

Следующее деление по "физическому описанию" - это деление по виду сплошной среды: твердое тело, жидкость, газ, плазма, сыпучие среды.

Физическое описание может подразделяться по виду процесса на: физический, химический, биологический (распределение популяций), экономический (поле производителей, поле потребителей, доходы, расходы и т.д.), социальный, технологический.

Наиболее разнообразный вид процессов - это последний, технологический вид. Здесь можно указать такие основные технологические процессы производства (обработки): нагрев (пламенный, индукционный, резисторный, плазменный, аэродинамический, радиационный, конвективный, смешанный, с внутренними источниками тепла, с перемешиванием и пересыпанием), сушка, увлажнение, возгонка, осаждение, выпаривание, конденсация, фильтрация, разгонка по фракциям, смешение, разделение, ректификация, растворение газификация, абсорбция, ресорбция, плавление, затвердение, кристаллизация, перекристаллизация, обжиг, спекание, отжиг, термическая обработка, ковка, штамповка, волочение, прокатка, ядерные и химические реакции с катализаторами и без катализаторов, науглероживание, легирование, цементация, травление, процессы в кипящем слое, резание, шлифование и т.д.

Во всех этих процесса очень важно получить требуемое распределение определяющих параметров по всему (или заданному) объему пространства, занимаемому обрабатываемым материалом.

К техническим видам процессов, где существенное значение имеет распределенность параметров, относится широкий класс поточных производственных процессов, которые математически описываются уравнениями переноса. Здесь характерно направленное продвижение обрабатываемого материала, его перемещение в пространстве. К такого рода технологическим процессам относятся процессы спекания, обжига, агломерации, ректификации, теплообмена (в теплообменниках), травления, нанесения покрытий, прокатки. непрерывной разливки и т.д.

Это простые виды процессов. Однако можно рассматривать и сложные (комбинированные) виды процессов, например физико-химический или социально-биологический и т.д.

Наконец, "физическое описание" содержательно подразделяется на виды полей, в частности, относящихся к физико-химическим процессам. Виды полей целесообразно подразделить на два типа: поле интенсивного параметра (фактора) и поле экстенсивного параметра (фактора).

Полями интенсивного параметра являются следующие поля: температур, концентрации, перемещений, скоростей, давлений, механических напряжений, электрических потенциалов, электрических токов, электрических напряженностей, магнитных индукций, расходов и т.д.

Полями экстенсивного параметра являются следующие поля: теплопроводности, плотности, электропроводности, теплоемкости и электроемкости, электрической проницаемости, магнитной проницаемости, вязкости, индуктивности, упругости, геометрии формы (момент инерции) и т.д.

Здесь перечислены виды простых полей. Однако на практике приходится рассматривать составные (сложные) поля, когда в одной и той же области пространства присутствуют (наложены друг на друга) одновременно несколько видов полей, взаимодействующих друг с другом. Типичным примером таких сложных полей является электромагнитное поле, где взаимодействуют поля электрической и магнитной напряженностей; поле термонапряжений и термоперемещений, где взаимодействуют поля температуры и механических напряжений и перемещений.

По математическому описанию распределенные системы можно разделить на линейные и нелинейные; детерминированные и недетерминированные (стохастические); стационарные и нестационарные; статические и динамические; автономные и неавтономные.

По виду основного уравнения распределенные системы можно подразделить на системы, описываемые следующими уравнениями: дифференциальными уравнениями с частными производными, уравнениями с обыкновенными, полными и частными производными, обыкновенными дифференциальными уравнениями в бесконечно-мерных функциональных пространствах (банаховых, гильбертовых и др.), многомерными разностными уравнениями, функциональными уравнениями, системой моментных равенств, передаточными функциями, частотными характеристиками, функциональными операторами связи вход-выход.

Функции, описывающие состояние управляемой или управляющей системы, могут быть определены на многообразиях различной формы и размерности:

- нуль-мерные (сосредоточенные системы, где их функции состояния определены лишь в дискретных точках пространства, хотя этих точек может быть и бесконечное количество);

- одномерные (определены на линиях: на прямой (бесконечной), на отрезке, на произвольной кривой);

- двумерные (определены на плоскости или части произвольной поверхности);

- трехмерные (определены в области произвольной формы);

- п-мерные.

Отметим, что область определения функций состояния может быть односвязной, двухсвязной и вообще многосвязной.

Сами перечисленные выше основные уравнения систем с распределенными параметрами имеют принятую и изученную в соответствующих разделах математики свою классификацию, на которой мы останавливаться не будем, так как ее можно найти в соответствующих руководствах, в которых рассматриваются соответствующие типы уравнений. Например, из линейных дифференциальных уравнений второго порядка, которые обычно называют уравнениями математической физики, могут быть выделены уравнения эллиптического, гиперболического и параболического типа (как наиболее хорошо изученные типы уравнений). Классификацию основных уравнений можно проводить по типу задачи, которая ставится для каждого уравнения. Это может быть, например, задачи Коши или краевая задача. Краевые задачи в свою очередь могут подразделяться (в зависимости от того, какие компоненты функции состояния заданы (известны) на границе области) на вторую, третью и четвертую краевую задачи и т.д.

Так как мы рассматриваем управляемые системы, то для нас существенно, однако, провести классификацию видов управляющих воздействий, встречающих в системах с распределенными параметрами. Прежде всего, в системах с распределенными параметрами имеет смысл поделить управляющие воздействия на зависящие от времени и не зависящие от времени (статические). Последний тип управляющих воздействий соответствует задаче "проектирования" или "конструирования" объекта управления или управляющего устройства. Более детальное деление видов управляющих воздействий можно провести по размерности того многообразия, на котором они определены: нуль-мерные управления (параметры); одномерные; двумерные и вообще п-мерные управления. В зависимости от этого управляющие воздействия могут быть сосредоточенные или распределенные. Практически удобнее бывает подразделять управляющие воздействия на непосредственно входящие в основное уравнение объекта управления и на управляющие воздействия, определенные на границе области определения объекта (граничные (или краевые) и начальные условия). Формально (например, с помощью техники обобщенных функций, в частности - функций) граничные управления можно преобразовать в управления, входящие в основное уравнение (или уравнения), описывающее состояние объекта.

Другое деление управляющих воздействий происходит по виду того множества значений, из которого управляющие воздействия могут принимать свои значения. Обычно таким множеством является п-мерное пространство (непрерывное или дискретное), размерность которого может принимать различные значения n = 1, 2, …п. Более общим множеством значений может быть произвольное функциональное или топологическое пространство.

Кроме этого, управляющие воздействия могут входить в основные уравнения и краевые условия как линейным, так и нелинейным образом.

Существенным дополнением к основным уравнениям системы (включая граничные и начальные условия) является учет различного рода дополнительных ограничивающих условий на функции состояния и управляющие воздействия. Эти дополнительные ограничения могут иметь весьма разнообразный характер. Самое общее описание дополнительных ограничений можно дать следующим образом. Независимо от основных уравнений системы, а также граничных и конечных условий задан некоторый оператор (назовем его оператором ограничений), определенный на функциях состояния и управляющих воздействий и принимающий свои значения из некоторого множества определенной природы. В этом множестве значений этого оператора выделяется (задается, определяется) подмножество, в котором только и разрешается этому оператору принимать свои значения. Прообраз этого подмножества и выделяет то множество функций состояния и управления, которое допустимо при решении той или иной задачи управления. Это множество называется допустимым множеством состояний и управлений. Иногда идут еще дальше, включая в оператор ограничений и основные уравнения с граничными и начальными условиями. При этом основные уравнения с граничными и начальными условиями также рассматриваются как определенные ограничения. С формальной точки зрения это правильно. Однако формулировка соответствующих задач управления становится настолько общей, что трудно развить подробную и глубокую теорию и методы их решения, ибо каждая конкретная специфическая особенность дает соответствующие специфические возможности подхода к данной задаче. Поэтому имеет смысл всегда детализировать и отделять все виды дополнительных ограничивающих условий. Каждое новое дополнительное ограничение, как показывает опыт решения задачи оптимизации, как правило, значительно усложняет задачу.

Наиболее существенным делением видов дополнительных ограничивающих условий является деление на ограничивающие условия типа равенств и типа неравенств. Наибольшие трудности в решении задач управления доставляют ограничения типа неравенств, Причем ограничения могут накладываться отдельно на управляющие воздействия и отдельно на функции состояния. Наиболее труден случай ограничений последнего типа. Типичным и наиболее хорошо изученным случаем ограничений являются ограничения типа неравенств, наложенных на значения управляющих воздействий. Мене изученным и хуже поддающимся исследованию и составлению удовлетворительных вычислительных процедур является случай ограничений типа неравенств, наложенных на функционалы (в частности, интегралы различных видов) от управляющих воздействий. В сосредоточенных системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, этот случай соответствует, в частности, ограничениям на значения фазовых (управляемых) координат системы.

Ограничения на значения функций состояния и управления типа неравенств, включающие в неравенство и знак равенства, соответствуют тому, что область их допустимых значений делается замкнутым множеством, а не открытым. Такая ситуация, например, сильно затрудняет применение методов классического вариационного исчисления для решения задач оптимизации, так как эти методы были развиты в основном для открытых областей допустимых значений варьируемых функций. Поэтому возникла необходимость в развитии и дальнейшем обобщении методов вариационного исчисления при наличии замкнутых областей допустимых значений варьируемых функций. Эти задачи, поставленные А.А. Фельдбаумом, нашли свое блестящее решение в трудах Л.С. Понтрягина и его учеников В.Г. Болтянского, Р.В. Гамкрелидзе и М.Ф. Мищенко в виде принципа максимума, вначале развитого для сосредоточенных систем. Идея принципа максимума в вариационном исчислении нашла свое дальнейшее развитие и обобщение на системы с распределенными параметрами. Оригинальный и мощный метод решения задач с более сложными ограничениями был выдвинут и развит в трудах Р. Беллмана.

Чтобы показать чрезвычайную обширность поля приложений теории управления системами с распределенными параметрами, полезно перечислить множество конкретных технических объектов, агрегатов, устройств, машин, сооружений, для которых весьма существенным является именно получение определенных распределений в пространстве тех или иных определяющих параметров. Причем будут перечислены те объекты, для которых уже сегодня можно дать совершенно точные постановки задач управления ими как системами с распределенными параметрами.

В металлургии (черной, цветной, редкометаллической) важнейшими агрегатами являются печи: методические печи, колодцы, камерные печи; кольцевые печи, печи резисторного (омического) нагрева, установки индукционного нагрева, печи для термообработки, науглероживания, цементации, азотирования, печи безокислительного нагрева, коксовые батареи, печи плазменного нагрева, установки электронного нагрева, печи и установке для выращивания и обработки монокристаллов и полупроводниковых материалов. Во всех этих агрегатах и установках, как правило, важно так управлять подводимой мощностью, чтобы получить заданные распределения температурных полей или полей концентраций.

В прокатном производстве объектами управления с распределенными параметрами являются бочки валков прокатных станов. Кроме того, в металлургии нужно отметить установки непрерывной разливки стали и агломерационные ленты,

Большое разнообразие конкретных объектов с распределенными параметрами доставляет химическая промышленность. Прежде всего это реакторы: трубчатые реакторы, реакторы с псевдосжиженным слоем катализатора, реакторы с мешалками, многоступенчатые реакторы, рециркуляционные реакторы, теплообменники, вращающиеся печи для обжига сыпучих материалов, барабаны для помола, ректификационные и дистилляционные колонны.

В энергетике объектами с распределенными параметрами являются паровые котлы (учет распределений термонапряжений в стенках котла), атомные котлы, магнитогидродинамические и электрогидродинамические генераторы, плотины, оросительные системы, длинные линии электропередач, нефтепроводы, газопроводы, системы водоснабжения.

В нефтедобыче важным объектом управления является нефтеносное поле с проблемой расстановки на нем скважин и выбором режимов их работы.

Перечислим целый ряд отдельных технических объектов из различных отраслей промышленности, где также важно управление функциями распределения тех или иных физических параметров: трубопроводные линии компрессорных станций (успокоение колебаний распределения давления); установки термоядерного синтеза (получение распределения магнитных и электрических полей); плазменные горелки для нагрева, резания и сварки (управление плазменным пятном с целью минимизации максимума температурного поля в материале горелки); установки для подвешивания проводящих жидкостей (жидких металлов, расплавов для получения особо чистых материалов); установки для стабилизации неустойчивых равновесных систем (например, жидкостей с неустойчивостью типа Релея-Тейлора); устройства для гашения флаттера; устройства для активного гашения колебаний корпусов в подвижных объектах (летательных аппаратах, ракетах, подвижных антеннах дальней космической связи); устройства для активного подавления полей вредных вибраций в машинах, механизмах и акустических системах (получение качественного воспроизведения речи и музыки через диффузоры).

Большое и интересное множество задач об определении нужного распределения данного параметра составляют задачи проектирования и конструирования технических объектов. С такими задачами мы сталкиваемся при выборе форм и размеров тел, движущихся в сплошных средах (в газе, жидкости).

Часто бывает важен выбор формы и вида статических сооружений (плотин гидростанций, сейсмостойких зданий и сооружений, концертных залов).

Интересной проблемой распределения является задача конструирования слоистых сред и материалов, где требуется так распределить слои с разными физическими свойствами, чтобы добиться максимальной прочности или вообще экстремальности какого-либо свойства. Например, надо создать слоистое покрытие с минимальным коэффициентом отражения радиоволн.

Часто успех развития той или иной теории управления и ее успехи в практических приложениях зависят от того, насколько удачно сформулирована соответствующая проблема на математическом языке, какой математический аппарат применен для описания этой проблемы. Так, хорошо известно, что успехи в развитии ставшей уже классической теории автоматического регулирования (ТАР) связаны с тем, что адекватным описанием процессов движения стал аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений и, в частности, линейных дифференциальных уравнений. К моменту начала развития ТАР уже была фактически закончена теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентами, разработан метод преобразования по Фурье и Лапласу, матричный метод. Были разработаны алгебраические критерии устойчивости таких систем (критерий Гурвица и т.д.). Широкое применение здесь получили методы теории функций комплексного переменного, теория вычетов, теория конформных отображений. Дальнейшее развитие теории устойчивости линейных стационарных систем, связанное с именами Найквиста, Михайлова и другими, также основывается на непосредственном использовании и применении уже фактически готового математического аппарата. Аналогичная ситуация имела место и при разработке теории регулирования и нелинейных системах, например, при исследовании автоколебаний и устойчивости, когда фактически были использованы идеи и результаты работ Пуанкаре и Ляпунова.

Аналогичная ситуация имела место и в более поздние годы развития теории управления. Существенное продвижение теории оптимальных систем фактически наступило тогда, когда четко было сказано, что математическим аппаратом этой теории является вариационное исчисление, одна из старейших математических дисциплин. Правда, не всегда математический аппарат, как говорят, "один к одному" мог быть немедленно применен к описанию реально интересующих инженеров процессов и явлений. Однако это сразу же ставило соответствующие новые чисто математические задачи, которые в ряде случаев успешно решались математиками. Ярким примером такой ситуации является обобщение известных результатов вариационного исчисления на "неклассический случай" наличия ограничений. Это обобщение привело к развитию самого вариационного исчисления и вылились в широко известные и применяемые в настоящее время в практике управления принцип максимума Л.С. Понтрягина и очень мощный общий метод динамического программирования Р. Беллмана.

Хорошо известно, что решение многих задач оптимального управления после использования вариационных условий, например принципа максимума Л.С. Понтрягина, упирается в решение соответствующей краевой, или граничной задачи. Это, как известно, очень трудная в общем случае проблема, которой занимается соответствующая обширная математическая дисциплина. Даже для линейных сосредоточенных систем соответствующие краевые задачи не имели регулярных способов решения до тех пор, пока Н.Н. Красовский в своих работах не показал, что проблема оптимального управления в линейных системах во многих случаях может быть сведена к решению проблемы моментов и, в частности, - проблемы моментов, разработанной в трудах М.Г. Крейна. Аппарат теории моментов, как впервые показал Н.Н. Красовский, дал эффективные точные и приближенные методы вычисления оптимальных управляющих воздействий, причем одновременно решаются и краевые задачи.

Новые проблемы управления требуют применения новых, ранее не использовавшихся математических методов. Интересным примером этой ситуации может служить проблема финитного управления, где ставится задача о переводе управляемой системы из одного состояния в другое заданное состояние за конечное (финитное) время. Исследование этой проблемы управления привело к открытию того факта, что для ее решения в случае линейных стационарных управляемых систем можно использовать мощный аналитический аппарат теории цельных функций экспоненциального типа и теорию интерполирования, развитую еще Лагранжем, которая дает эффективные красивые решения часто даже в замкнутом аналитическом виде. Особенно ценным этот метод оказался для решения задач финитного управления распределенными системами. Этот метод (целых функций) оказался в очень тесной связи с соответствующей проблемой моментов.

Примеры того, когда хорошо поставленная проблема управления "находит" соответствующий эффективный и во многом уже готовый математический аппарат, можно множить еще долго, однако вся трудность состоит в формулировке "хорошей задачи". Трудно поставить ту или иную техническую задачу управления, то есть грамотно и исчерпывающе точно сформулировать ее на математическом языке. Недаром говорят, что хорошая постановка задачи содержит 50 % ее решения. Научить этому очень трудно, этому можно только научиться.

5.2 Анализ процессов управления в объектах с распределенными параметрами

Типовым представителем объектов с распределенными параметрами являются химические и термические процессы, в которых в качестве цели управления выступает необходимость стабилизации или достижения заданного пространственного распределения какого либо параметра: концентрация, температура, деформации. В частности, рассмотрим процесс термической обработки деталей. Нагрев изделий в большинстве случаев происходит в печах, где температура является управляющим воздействием. При изменении подачи топлива в печь или изменении установки электрического регулятора температуры может быть реализован любой температурный режим, как в пространстве, так и во времени.

Как правило, результат термообработки в сильной степени зависит не от среднемассовой температуры обрабатываемого изделия, а от распределения температуры по его сечениям или по всему объему нагреваемого тела. В абсолютном большинстве случаев термообработки изделие, находящееся в печи, представляет собой объект с распределенными параметрами. Состояние его определяется температурой T=T(t,x,y,z) в каждый момент времени t и в каждой точке M=M(x,y,z) геометрической области и физического пространства, занимаемого объектом [1,2].

Большое значение придается быстрому, качественному, с минимальными затратами нагреву изделия. В настоящее время существует много подходов к решению задачи получения заданного распределения температуры. Наибольший интерес и некоторые практические трудности встречаются при обеспечении требуемого распределения температуры при обработке длинномерных заготовок.

Рассмотрим модель, описывающую наиболее характерное с точки зрения создания неравномерного температурного поля сечение зонной печи рис.5.1.

Для упрощения задачи, не нарушая её общности, сделаем следующие допущения:

1. Материал всех стенок печи однороден и имеет коэффициентом теплопроводности 1;

2. Отверстие для загрузки объекта в печь не оказывает существенного влияния на температурное поле, так как d0/H 1;

3. Теплообмен печи с внешней средой происходит по закону Ньютона с коэффициентом теплообмена 1;

4. Источники лучистой энергии считаются точечными и распределены по высоте печи равномерно;

5. Объект управления представляет собой цилиндрический стержень диаметром d, материал которого имеет коэффициент теплопроводности ;

6. Температура по сечению объекта (x=const) распределена равномерно, так как d < l, где l - длина стержня.

7. Теплообменом через торцы стержня - отсутствует, так как поперечное сечения объекта по отношению к его боковой поверхности принебрежимо мало.

8. Стенки печи прогреты равномерно по всему объему.

Пусть зонная печь состоит из i - зон, а в каждой зоне имеется j - нагревательных элементов, расположенных так, как показано на рис.1. Сопротивление нагревательного элемента можно считать равным сопротивлению, соответствующему реализуемой на нем температуре при заданном приложенном к нему напряжении, т.е.

, (5.1)

, (5.2)

где bij - коэффициент учитывающий преобразование напряжения, приложенного к нагревательному элементу, в его температуру;

Rij - сопротивление нагревательного элемента;

uij - действующее значение напряжения, прикладываемого к нагревательному элементу;

uH - номинальное значение напряжения.

Зависимость сопротивления нагревательного элемента от температуры имеет вид:

(5.3)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 12.1 Сечение зонной печи

Поскольку температура включенного нагревательного элемента существенно больше 1000С то, очевидно, для него преобладает лучистый теплообмен.

Известно, что тело, нагретое до температуры излучает энергию по закону Стефана - Больцмана т.е.

, (5.4)

где qij - плотность потока лучистой энергии от нагревательного элемента радиуса r0 ;

- излучательная способность тела;

- постоянная Стефана - Больцмана.

На основании всего сказанного выше можно записать выражение для плотности потока излучения:

. (5.5)

Тогда мощность теплового источника

, (5.6)

где l0 - длина нагревательного элемента.

Будем исходить из того, что температурное поле внутри объекта подчиняется известному уравнению теплопроводности:

, (5.7)

где T - температура объекта.

Наиболее общие граничные условия (процесс нагревания), учитывающие как конвективный так и лучистый теплообмен можно записать в виде:

; (5.8)

; (5.9)

; (5.10)

где q1, q2 - плотность потока лучистой энергии, исходящий из объекта (процесс лучистого охлаждения);

Q1, Q2 - плотность потока лучистой энергии, падающей на объект (процесс лучистого нагрева от нагревательных элементов).

Q0 - плотность потока лучистой энергии от стенок печи;

- коэффициент поглощения излучения материалом объекта;

- коэффициент теплообмена между греющей средой и объектом;

Tc - температура окружающей cреды;

Ts - температура поверхности объекта.

Следует заметить, что и в стационарном режиме при uij = const, и при релейном законе управления интенсивность теплового излучения нагревательным элементом больше, чем интенсивность излучения стенкой печи. Избыток тепловой мощности обеспечивает компенсацию потерь тепла печью в установившемся режиме и создает запас мощности для реализации необходимого диапазона регулирования температуры печи.

Для случая, когда объект можно отнести к тонкому в теплофизическом смысле слова телу, т.е. при критерии

(5.11)

температура внутри объекта и на его поверхности есть функция только длины и времени [2].

Для длинномерных объектов в большинстве случаев можно рассматривать среднюю по сечению объекта температуру

. (5.12)

Если проинтегрировать уравнение (5.7) по сечению объекта, то получаем уравнение для средней температуры в виде:

. (5.13)

Поскольку r0 нагревательного элемента практически на два порядка меньше расстояния от него до объекта, то можно пренебречь его диаметром и считать точечным.

Тепловой поток лучистой энергии от точечных нагревательных элементов, падающий на элемент поверхности объекта, обратно пропорционален квадрату расстояния до точки поверхности, тогда распределение нормальной составляющей потока излучения по поверхности объекта [3] будет иметь вид:

(5.14)

где h - расстояние от линии расположения нагревательных элементов до поверхности объекта;

rij - расстояние от нагревательного элемента с координатой xij до точки поверхности объекта с координатой x,

, (5.15)

где xij - координата соответствующего нагревательного элемента.

Отток лучистой энергии от объекта определяется законом Стефана - Больцмана и записывается в виде:

; (5.16)

, (5.17)

где 1 - излучательная способность материала объекта.

Следует заметить, что сумма q1 + q2 может быть выражена через среднюю температуру объекта:

. (5.18)

Оценка фонового излучения может составить отдельную достаточно сложную задачу.

Учитывая, что длина объекта, как правило, соизмерима с глубиной печи, то можно предположить, что фоновый поток, падающий от стенок печи на объект, однороден и его плотность определяется законом Стефана - Больцмана:

, (5.27)

где 2 - излучающая способность стенок печи;

k - коэффициент приведения плотности потока излучения стенок печи к поверхности объекта.

Учитывая малое по отношению к постоянной времени печи время термообработки (t = 15 ... 20 мин), а также полагая, что внесение изделия в печь не приводит к сколь ни будь существенному изменению ее температурного поля, можно рассматривать стационарный случай. Наиболее интересна задача с включенными нагревательными элементами. Она позволяет проверить выдвинутые ранее гипотезы, поскольку при релейном законе управления в периоды, соответствующие выключенному состоянию нагревательных элементов, температурное поле печи определяется фоновым излучением ее стенок, которое отличается хорошей равномерностью.

5.3 Анализ процесса управления температурным полем

Для стационарного режима уравнение объекта примет вид:

. (5.29)

С граничными условиями:



В данном случае имеет место нелинейная задача. Численное моделирование (5.29) показало, что неравномерность температурного поля

при наличии разброса параметров нагревательных элементов имеет место и может достигать 8% ... 10%, что является недопустимым по технологическим требованиям. Существенное влияние на нее оказывает технологический разброс характеристик нагревательных элементов и неравномерность фонового теплового потока от стенок печи в установившемся режиме, а также отношение расстояния между нагревательными элементами в ряду (D) и расстоянием от них до объекта (h). Если ввести отношение плотности потоков в виде:

,

то, например, при заданном конструктиве D/h=0.5 и при =0,2, , а при = 0,05, . Это эквивалентно влиянию режима печи, т.е. требуемой температуры стабилизации на неравномерность поля. Она тем выше, чем ниже требуемая температура стабилизации по отношению к максимально возможной температуре печи. Полученные выводы позволяют судить об управляемости распределением температуры.

6. Системы числового управления объектами

6.1 Классификация систем программного управления

Системы программного управления нашли широкое применение в системах управления металлорежущими станками. Она представляет собой совокупность элементов, узлов и агрегатов, реализующих заданный алгоритм станка и обеспечивающий достижение заданной цели (получение деталей заданных размеров с требуемой точностью и качеством поверхности за строго определенное время). Целесообразно СУ станков классифицировать по информационным признакам:

1 - по типу циркулирующей в СУ информации;

2- по способу ее переработки и хранения.

В системе управления существует два потока информации:

1 - прямой поток информации - его источником является программа

управления (программа обработки поверхностей);

2 - обратный поток информации (информация о результатах управления)

Его источником является, собственно, технологический процесс.

Составными элементами любой СУ МРС, реализующей цикл программного управления, является:

- материальные носители программы управления;

- устройство ввода программы;

- устройство считывания;

- устройство преобразования информации программы в команды управления.

В СУ в качестве программоносителя используются: кулачки, штекерные

табло и барабаны, копиры, шаблоны, перфоленты, магнитные ленты, специальные кассеты памяти.

Устройства ввода информации - обеспечивают заданный режим подачи программоносителя на элементы считывающего устройства. В качестве такого устройства может быть рассмотрен: привод рабочего движения, привод вспомогательных перемещений кулачков и шаблонов, лентопротяжные механизмы, интерфейсы связи с кассетами внешней памяти.

Устройства считывания - определяются характером программоносителя и типом устройства ввода, обеспечивает преобразование информации, записанной на программоносителе, в какой либо электрический сигнал. К данному устройству можно отнести: щупы со следящими золотниками или конечными выключателями, копирные пальцы, фотосчитывающие устройства, магнитные головки.

Устройства преобразования информации - обеспечивают формирование команд на исполнительный орган станка в соответствии с сигналами, поступающими с устройства считывания. Они задают требуемый закон управления исполнительным органам станка. В качестве таких устройств используются: усилители, элементы логики, электронные блоки, реализующие требуемый алгоритм управления (аналоговые блоки реализующие закон управления).

В зависимости от степени централизации функций управления все системы управления можно разделить на: централизованные; децентрализованные; и комбинированные.

В централизованных СУ управление работой всех исполнительных органов осуществляется от единого командоаппарата (программный механизм). Существует два режима работы командоаппарата:

1 - с непрерывным вводом программы (режим работы исполнительного органа определяется интервалом времени заданным профилем соответствующего кулачка);

2 - с дискретным характером движения программоносителя (программный механизм останавливается в момент выдачи текущего набора команд и приводится в движение после прихода команды о выполнении хотя бы одной из выставленных команд).

В децентрализованных системах управление осуществляется от отдельных независимых регуляторов. К недостаткам централизованных систем относятся:

- прекращение выполнения всего комплекса задач возложенных на СУ при выходе из строя хотя бы одного элемента системы.

Децентрализованные системы сохраняют работоспособность с ограниченным набором функций даже при выходе из строя нескольких исполнительных органов. СУ в зависимости от типа программоносителя и характера представления на нем информации делятся на: командные; путевые; цикловые; копировальные; числового программного управления.

6.1.1 Системы командного управления

Являются типичным представителем централизованного управления. В них управление всеми исполнительными органами осуществляется от единого командоаппарата. Встречаются редко и определяются требеванием высокой точности, ассинхронизации работы всех исполнительных органов, высокой трудоемкостью смены программы.

В основном применяется в тех случаях, когда технологический процесс задается интервалом времени нахождения заготовок в различных физических состояния хили на различных рабочих позициях.

Программоносителем является: валик с соответственным образом с профилированными кулачками.

Устройство ввода - двигатель, который обеспечивает стабильность скорости поворота программоносителя.

Считывающие устройство - щупы, воздействующие на контактные датчики, исполняющие функции преобразователя.

6.1.2 Путевые системы управления

Программоносителем является схема соединения соответствующих конечных выключателей, установленных по ходу движения РО станка.

Устройство ввода - упоры, воздействующие на контактные датчики.

Считывающие устройство - приводы рабочих органов станка.

6.1.3 Цикловые системы управления

Не имеют единого программоносителя. В качестве программоносителя используется штекерное табло, штекерные барабаны и набор линеек с соответствующим образом расположенными на них упорами. На штекерном табло или барабане указывается следующая информация: какому исполнительному органу, в каком направлении и с какой скоростью необходимо перемещаться, а также указывается номер линейки, на которой установлен упор, определяющий необходимую величину перемещения. Такие системы применяются в крупносерийном производстве при обработке относительно простых поверхностей, невысокой точности (до 0.1 мм.). В качестве привода в таких станках используются асинхронные двигатели с электромагнитными муфтами переключения скоростей в коробке передач.

...