Актуальные вопросы теоретической механики
Элементы векторной алгебры и основные понятия статики. Определение зависимости между моментами силы относительно центра и относительно оси. Поступательное и вращательное движение твердого тела. Рассмотрение плоскопараллельного движения твердого тела.
| Рубрика | Производство и технологии |
| Вид | курс лекций |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.09.2017 |
| Размер файла | 3,4 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Поступательное и вращательное движения твердого тела
Поступательное движение
В кинематике, как и в статистике, будем рассматривать все твердые тела как абсолютно твердые.
Абсолютно твердым телом называется материальное тело, геометрическая форма которого и размеры не изменяются ни при каких механических воздействиях со стороны других тел, а расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным.
Кинематика твердого тела, также как и динамика твердого тела, является одним из наиболее трудных разделов курса теоретической механики.
Задачи кинематики твердого тела распадаются на две части:
1) задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом;
2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.
Существует пять видов движения твердого тела:
1) поступательное движение;
2) вращение вокруг неподвижной оси;
3) плоское движение;
4) вращение вокруг неподвижной точки;
5) свободное движение.
Первые два называются простейшими движениями твердого тела/
Начнем с рассмотрения поступательного движения твердого тела.
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.
Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями. Приведем примеры.
1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. При этом траектории его точек будут прямыми линиями.
2. Спарник АВ (рис.11) при вращении кривошипов и также движется поступательно (любая проведенная в нем прямая остается параллельной ее начальному направлению). Точки спарника движутся при этом по окружностям.
Рис. 11 Рис. 12
Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы во время движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, кабины колеса обозрения в парках относительно Земли.
Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.
Для доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее поступательное движение относительно системы отсчета Oxyz. Возьмем в теле две произвольные точки А и В, положения которых в момент времени t определяются радиусами-векторами и (рис. 12).
Проведем вектор , соединяющий эти точки.
Тогда .
При этом длина АВ постоянна, как расстояние между точками твердого тела, а направление АВ остается неизменным, так как тело движется поступательно. Таким образом, вектор АВ во все время движения тела остается постоянным (). Вследствие этого, траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением всех ее точек на постоянный вектор . Следовательно, траектории точек А и В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми.
Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем обе части равенства по времени. Получим
.
Но производная от постоянного вектора АВ равна нулю. Производные же от векторов и по времени дают скорости точек А и В. В результате находим, что
,
Размещено на http://www.allbest.ru/
т.е.Размещено на http://www.allbest.ru/
что скорости точек А и В тела в любой момент времени одинаковы и по модулю, и по направлению. Беря от обеих частей полученного равенства производные по времени:
или .
Следовательно, ускорения точек А и В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению.
Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найденных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а также скорости и ускорения в любой момент времени будут одинаковы. Таким образом, теорема доказана.
Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела определяется движением какой-нибудь одной из его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематике точки, нами уже рассмотренной.
При поступательном движении общую для всех точек тела скорость называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение - ускорением поступательного движения тела. Векторы и можно изображать приложенными в любой точке тела.
Заметим, что понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела, как мы увидим, движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины <<скорость тела>> или <<ускорение тела>> для этих движений теряют смысл.
Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение
Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис.13).
Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.
Так как расстояния между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.
Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось , полуплоскость - неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним (рис. 13).
Рис. 13
Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом между этими полуплоскостями, который назовем углом поворота тела. Будем считать угол положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси ), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла от времени t, т.е.
.
Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение .
Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при найдем, что
или .
Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, >0, а когда по ходу часовой стрелки, то <0.
Размерность угловой скорости 1/Т (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с-1), так как радиан - величина безразмерная.
Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен || и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.14). Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.
Рис. 14
Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела. Если за промежуток времени угловая скорость тела изменяется на величину , то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет. В пределе при найдем,
или .
Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.
Размерность углового ускорения 1/T2 (1/время2); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с2 или, что то же, 1/с2 (с-2).
Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины и имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.
Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом
.
Направление совпадает с направлением , когда тело вращается ускоренно и (рис.14,а), противоположно при замедленном вращении (рис.14,б).
Равномерное и равнопеременное вращения
Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы имеем .
Отсюда, считая, что в начальный момент времени t=0 угол , и беря интегралы слева от до , а справа от 0 до t, получим окончательно
.
Из равенства следует, что при равномерном вращении, когда
и Размещено на http://www.allbest.ru/
.
ВРазмещено на http://www.allbest.ru/
технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и 1/с. При одном обороте тело повернется на угол , а при n оборотах на ; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 сек. Из равенства следует тогда, что
.
Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным , то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t=0 угол , а угловая скорость ( - начальная угловая скорость).
Из формулы имеем . Интегрируя левую часть в пределах от до , а правую - в пределах от 0 до t, найдем ,
или .
Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения
.
Если величины и имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным.
Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.
1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис.13). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время происходит элементарный поворот тела на угол , то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение . Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению к , т.е
или .
Скорость в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М.
Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.
Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.
Так как для всех точек тела имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.
Рис. 15 Рис. 16
2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами , .
В нашем случае . Подставляя значение в выражения и , получим:
или окончательно:
, .
Касательная составляющая ускорения направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис.16). Полное ускорение точки М будет или .
Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом , который вычисляется по формуле . Подставляя сюда значения и , получаем .
Так как и имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол с радиусами описываемых ими окружностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.18.
Рис. 17 Рис. 18
3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов и , проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М (рис. 17). Тогда и по формуле
или .
Таким образом, модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М. Направления векторов и тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно, - формула Эйлера, т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.
Пример 5. Маятник качается в вертикальной плоскости так, что . Длина (рис. 19)
Рис. 19
Маятник вращается вокруг горизонтальной оси , перпендикулярной вертикальной плоскости. Угловая скорость угловое ускорение
Например, при (вращение по часовой стрелке); (угловое ускорение направлено также по часовой стрелке). Вращение в этом положении ускоренное.
Скорость точки : (определяется модуль скорости). Направлен вектор скорости соответственно направлению угловой скорости - в сторону вращения.
Нормальное ускорение касательное ускорение . (Определён опять модуль вектора ускорения. Направлен вектор вниз, как указывает угловое ускорение).
Величина полного ускорения точки
Вращение тела вокруг неподвижной точки
Название такого вида движения довольно точно его определяет. Часто это движение называют сферическим движением потому, что все точки тела движутся по сферическим поверхностям.
Наглядным примером такого движения является волчок, закономерности движения которого лежат в основе гироскопических приборов.
1) Углы Эйлера. Уравнения вращения тела с одной неподвижной точкой.
Положение тела определяется тремя углами. Используются различные системы углов. Например, корабельные углы, самолётные углы и др. Но самыми распространёнными являются углы Эйлера: (пси), (тета), (фи).
Положение тела определяется следующим образом. Назначаются две системы декартовых осей. Первая система - неподвижные оси . Начало которых берётся в неподвижной точке тела (рис. 20). Вторая система, оси , связывается с телом. Поэтому положение тела будет определяться как положение этих осей относительно неподвижных.
Рис. 20
Когда углы Эйлера равны нулю, подвижные оси совпадают с неподвижными. Чтобы определить положение тела, соответствующее заданным углам Эйлера, производим следующие действия. Сначала подвижные оси, а значит и тело, поворачиваем на угол вокруг оси . При этом оси и отойдут от осей и в горизонтальной плоскости и ось займёт положение (рис.20). Затем тело вращаем вокруг нового положения оси (прямой ) на угол . Ось отойдёт от оси на этот угол , а ось приподнимется над горизонтальной плоскостью. Наконец, тело (и подвижные оси) вращаем вокруг нового положения оси на угол . Ось отойдёт от положения в наклонной плоскости, перпендикулярной оси . Это положение тела и будет соответствовать углам Эйлера (на рисунке само тело не показано).
Линия пересечения неподвижной плоскости и подвижной , прямая , называется линией узлов. Угол называется углом прецессии, угол - углом нутации, угол - углом собственного вращения. Эти названия углов пришли из теории гироскопов.
При движении тела углы Эйлера изменяются по определённым законам которые называются уравнениями вращения.
На примере вращающегося волчка можно лучше разобраться в этих углах Эйлера (рис.21). Ось волчка описывает конус вокруг неподвижной оси . Это вращение определяется углом (говорят: волчок совершает прецессию). Отклонение оси волчка от вертикали - угол нутации .
А вращение волчка вокруг своей оси , определяемое углом - собственное вращение.
Рис. 21
2) Теорема Даламбера - Эйлера. Мгновенная ось вращения.
Проведём в теле сферическую поверхность произвольного радиуса с центром в неподвижной точке (рис.22).
Рис. 22
Покажем у тела какие-нибудь две точки и , расположенные на этой сфере. Соединим их по сфере дугой наибольшего радиуса (кратчайшее расстояние между точками). Переместим тело в новое положение. Точки, а значит и дуга, займут положение и . Соединим точки и и дугами большого радиуса и . Посередине этих дуг проведём им перпендикулярные дуги и найдём их точку пересечения . Соединим эту точку с точками . Получим два сферических треугольника и , расположенных на этой сфере. Эти два треугольника равны, как треугольники с равными сторонами (, а и - как дуги равноудалённые от перпендикуляров). Так как эти два треугольника расположены на одной сфере и имеют общую вершину , то их можно совместить поворотом сферы, а значит и тела, вокруг прямой .
Поэтому можно сделать вывод, что тело с одной неподвижной точкой можно переместить из одного положения в другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку . Это утверждение - есть теорема Даламбера-Эйлера.
Конечно, такое перемещение не является истинным движением тела. На самом деле тело переходило из первого положения в другое каким-то другим, наверное более сложным путём. Но, если время такого перехода мало, то это перемещение будет близко к действительному. А при можно предположить, что для данного момента времени тело поворачивается вокруг некоторой оси Р, проходящей через неподвижную точку , вращаясь вокруг неё с угловой скоростью . Конечно, для каждого другого момента времени эта ось расположена иначе. Поэтому ось называют мгновенной осью вращения, а угловую скорость - мгновенной угловой скоростью, вектор которой направлен по оси.
3) Скорость точек тела.
По теореме Даламбера-Эйлера за малое время движение тела можно представить как вращение вокруг неподвижной оси с некоторой угловой скоростью (рис.23).
Рис. 23
Тогда скорость точки : В пределе, при , угловая скорость будет приближаться к мгновенной угловой скорости , направленной по мгновенной оси вращения , а скорость точки - к истинному значению:
.
Но таким же образом находится скорость точки при вращении тела вокруг оси, по которой направлен вектор , в нашем случае - по мгновенной оси вращения . Поэтому скорость точки можно определить как скорость её при вращении тела вокруг мгновенной оси . Величина скорости (рис.23).
Определение скоростей точек тела значительно упрощается, если известна мгновенная ось вращения . Иногда её можно найти, если удастся обнаружить у тела хотя бы ещё одну точку, кроме , скорость которой в данный момент равна нулю, и провести ось из неподвижной точки О через эту точку. Так как мгновенная ось вращения - геометрическое место точек, скорости которых равны нулю в данный момент времени.
Пример 6. Водило , вращаясь вокруг вертикальной оси с угловой скоростью , заставляет диск радиуса кататься по горизонтальной плоскости (рис.24).
Рис. 24
Если представить диск как основание конуса с вершиной в неподвижной точке , то движение диска можно назвать вращением вокруг этой неподвижной точки .
Так как скорость точки касания диска с плоскостью равна нулю, то мгновенная ось вращения проходит через эту точку. И вектор мгновенной угловой скорости будет направлен по этой оси.
Точка вместе с водилом вращается вокруг оси . Поэтому её скорость (рис.24). Эта скорость определяет направление вращения диска вокруг оси и направление вектора . Величина угловой скорости (h - расстояние от до оси ). Теперь можно найти скорость любой точки диска, рассматривая его движение как вращение вокруг оси . Так, например, скорость точки : . Так как и , то и
4) Ускорение точек тела.
Сначала определим угловое ускорение тела . При движении тела вектор угловой скорости изменяется и по величине, и по направлению. Точка расположенная на его конце будет двигаться по некоторой траектории со скоростью (рис.25).
Рис. 25
Если рассматривать вектор как радиус-вектор этой точки, то .
Итак. Угловое ускорение тела можно определить как скорость точки, расположенной на конце вектора угловой скорости:
.
Этот результат называется теоремой Резаля.
Теперь обратимся к определению ускорения точек. Ускорение какой-либо точки тела
,
есть сумма двух векторов.
Первый вектор . Модуль его , где h1 - расстояние от точки до вектора . Направлен он перпендикулярно и . Но таким же способом определяется касательное ускорение. Поэтому первую составляющую ускорения определяют как касательное ускорение, предполагая, что тело вращается вокруг оси, совпадающей с вектором . И обозначается этот вектор ускорения так
Второй вектор Модуль его , но , т.к. векторы и перпендикулярны друг другу.
Рис. 26
Значит , где h2 - расстояние от точки М до мгновенной оси , до вектора .
Направлен вектор перпендикулярно и , т.е. так же как вектор нормального ускорения при вращении вокруг оси , или вектора . Поэтому этот вектор ускорения и обозначают, соответственно, так:
Итак, ускорение точек тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, определяется как сумма двух ускорений:
Этот результат называется теоремой Ривальса.
Заметим, что в общем случае векторы и не совпадают и угол между и не равен , векторы не перпендикулярны друг другу, как это было при вращении тела вокруг неподвижной оси.
Пример 7. Продолжим исследование движения диска (пример 6). Модуль угловой скорости Значит вектор вместе с осью , которая всегда проходит через точку касания диска с плоскостью, вращается вокруг оси и описывает конус. Точка М на конце вектора движется по окружности радиуса с угловой скоростью . Поэтому угловое ускорение диска .
Откладывается вектор из неподвижной точки О. Направлен он, как скорость , перпендикулярно водилу , параллельно оси х (рис. 27).
Рис. 27
Найдём ускорение точки В.
Ускорение Направлен вектор перпендикулярно и расположен в плоскости .
Ускорение Вектор направлен по , перпендикулярно мгновенной оси . Модуль вектора найдём с помощью проекций на оси :
Значит
Лекция 3 Плоскопараллельное движение твердого тела. Определение скоростей и ускорений
движение тело статика сила
Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное
Определение скоростей точек плоской фигуры
Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей
Решение задач на определение скорости
План скоростей.
Определение ускорений точек плоской фигуры.
Решение задач на ускорения
Мгновенный центр ускорений
Плоскопараллельное движение твердого тела. Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное
Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис. 28). Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме и др. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Рис. 28 Рис. 29
Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскости Оxy, параллельной плоскости П (рис.29). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ', перпендикулярной течению S, т. е. плоскости П, движутся тождественно.
Отсюда заключаем, что для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется в плоскости Оху сечение S этого тела или некоторая плоская фигура S. Поэтому в дальнейшем вместо плоского движения тела будем рассматривать движение плоской фигуры S в ее плоскости, т.е. в плоскости Оху.
Положение фигуры S в плоскости Оху определяется положением какого-нибудь проведенного на этой фигуре отрезка АВ (рис. 28). В свою очередь положение отрезка АВ можно определить, зная координаты и точки А и угол , который отрезок АВ образует с осью х. Точку А, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.
При движении фигуры величины и и будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости
.
Уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения плоской фигуры в ее плоскости. Они же являются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.
Первые два из уравнений движения определяют то движение, которое фигура совершала бы при =const; это, очевидно, будет поступательное движение, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А. Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при и , т.е. когда полюс А неподвижен; это будет вращение фигуры вокруг полюса А. Отсюда можно заключить, что в общем случае движение плоской фигуры в ее плоскости может рассматриваться как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся так же, как полюс А, и из вращательного движения вокруг этого полюса.
Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса , , а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса.
Определение скоростей точек плоской фигуры
Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.
В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором (рис.30), где - радиус-вектор полюса А, - вектор, определяющий положение точки М относительно осей , перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А). Тогда
.
В полученном равенстве величина есть скорость полюса А; величина же равна скорости , которую точка М получает при , т.е. относительно осей , или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что
.
Скорость , которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А:
,
где - угловая скорость фигуры.
Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.31).
Рис. 30 Рис. 31
Теорема о проекциях скоростей двух точек тела
Определение скоростей точек плоской фигуры (или тела, движущегося плоскопараллельно) связано обычно с довольно сложными расчетами. Однако можно получить ряд других, практически более удобных и простых методов определения скоростей точек фигуры (или тела).
Рис. 32
Один из таких методов дает теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу. Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс (рис.32), получаем . Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор перпендикулярен АВ, находим
и теорема доказана.
Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей
Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей.
Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Легко убедиться, что если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времени t точки А и В плоской фигуры имеют скорости и , не параллельные друг другу (рис.33). Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору и Вb к вектору , и будет мгновенным центром скоростей так как . В самом деле, если допустить, что , то по теореме о проекциях скоростей вектор должен быть одновременно перпендикулярен и АР (так как ) и ВР (так как ), что невозможно. Из той же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.
Рис. 33
Если теперь в момент времени взять точку Р за полюс, то скорость точки А будет
,
так как . Аналогичный результат получается для любой другой точки фигуры. Следовательно, скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом
и т.д.
Из равенств, следует еще, что
т.е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от МЦС.
Полученные результаты приводят к следующим выводам.
1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей и каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры (или траектории этих точек); мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям).
2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры, надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой ее точки В. Тогда, восставив из точек А и В перпендикуляры к и , построим мгновенный центр скоростей Р и по направлению определим направление поворота фигуры. После этого, зная , найдем скорость любой точки М плоской фигуры. Направлен вектор перпендикулярно РМ в сторону поворота фигуры.
3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждый данный момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к ее расстоянию от мгновенного центра скоростей Р:
.
Рассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей.
а) Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности (рис.34), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (), и, следовательно, является мгновенным центром скоростей. Примером служит качение колеса по рельсу.
б) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна (рис.35,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны . При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что т. е. ; аналогичный результат получается для всех других точек. Следовательно, в рассматриваемом случае скорости всех точек фигуры в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т.е. фигура имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют еще мгновенно поступательным). Угловая скорость тела в этот момент времени, как видно равна нулю.
Рис. 34 Рис. 35
в) Если скорости точек А и В плоской фигуры параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна , то мгновенный центр скоростей Р определяется построением, показанным на рис. 35,б. Справедливость построений следует из пропорции. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центра Р надо кроме направлений знать еще и модули скоростей и .
г) Если известны вектор скорости какой-нибудь точки В фигуры и ее угловая скорость , то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к (рис.35,б), можно найти как .
Решение задач на определение скорости
Для определения искомых кинематических характеристик (угловой скорости тела или скоростей его точек) надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки и направление скорости другой точки сечения этого тела. С определения этих характеристик по данным задачи и следует начинать решение.
Механизм, движение которого исследуется, надо изображать на чертеже в том положении, для которого требуется определить соответствующие характеристики. При расчете следует помнить, что понятие о мгновенном центре скоростей имеет место для данного твердого тела. В механизме, состоящем из нескольких тел, каждое непоступательное движущееся тело имеет в данный момент времени свой мгновенный центр скоростей Р и свою угловую скорость.
Пример 8. Тело, имеющее форму катушки, катится своим средним цилиндром по неподвижной плоскости так, что (см). Радиусы цилиндров: R = 4 см и r = 2 см (рис.36). .
Рис. 36
Определим скорости точек А,В и С.
Мгновенный центр скоростей находится в точке касания катушки с плоскостью.
Скорость полюса С .
.
Угловая скорость катушки
.
Скорости точек А и В направлены перпендикулярно отрезкам прямых, соединяющих эти точки с мгновенным центром скоростей. Величина скоростей:
Пример 9. Стержень АВ скользит концами по взаимно перпендикулярным прямым так, что при угле скорость . Длина стержня . Определим скорость конца А и угловую скорость стержня.
Рис. 37
Нетрудно определить направление вектора скорости точки А, скользящей по вертикальной прямой. Тогда находится на пересечении перпендикуляров к и (рис. 37).
Угловая скорость
.
Скорость точки А:
.
А скорость центра стержня С, например, направлена перпендикулярно и равна:
.
План скоростей
Пусть известны скорости нескольких точек плоского сечения тела (рис.38). Если эти скорости отложить в масштабе из некоторой точки О и соединить их концы прямыми, то получится картинка, которая называется планом скоростей. (На рисунке ).
Рис. 38
Свойства плана скоростей.
а) Стороны треугольников на плане скоростей перпендикулярны соответствующим прямым на плоскости тела.
Действительно, . Но на плане скоростей . Значит причём перпендикулярна АВ, поэтому и . Точно так же и .
б) Стороны плана скоростей пропорциональны соответствующим отрезкам прямых на плоскости тела.
Так как , то отсюда и следует, что стороны плана скоростей пропорциональны отрезкам прямых на плоскости тела.
Объединив оба свойства, можно сделать вывод, что план скоростей подобен соответствующей фигуре на теле и повёрнут относительно её на 90? по направлению вращения. Эти свойства плана скоростей позволяют определять скорости точек тела графическим способом.
Пример 10. На рисунке 39 в масштабе изображён механизм. Известна угловая скорость звена ОА.
Рис. 39
Чтобы построить план скоростей должна быть известна скорость какой-нибудь одной точки и хотя бы направление вектора скорости другой. В нашем примере можно определить скорость точки А: и направление её вектора .
Рис. 40
Откладываем (рис. 40) из точки о в масштабе Известно направление вектора скорости ползуна В - горизонтальное. Проводим на плане скоростей из точки О прямую I по направлению скорости , на которой должна находиться точка b, определяющая скорость этой точки В. Так как стороны плана скоростей перпендикулярны соответствующим звеньям механизма, то из точки а проводим прямую перпендикулярно АВ до пересечения с прямой I. Точка пересечения определит точку b, а значит и скорость точки В: . По второму свойству плана скоростей его стороны подобны звеньям механизма. Точка С делит АВ пополам, значит и с должна делить аb пополам. Точка с определит на плане скоростей величину и направление скорости (если с соединить с точкой О).
Скорость точки Е равна нулю, поэтому точка е на плане скоростей совпадает с точкой О.
Далее. Должно быть и . Проводим эти прямые, находим их точку пересечения d. Отрезок оd определит вектор скорости .
Определение ускорений точек плоской фигуры
Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям Оxy (см.рис.30) определяется радиусом-вектором где . Тогда
.
В правой части этого равенства первое слагаемое есть ускорение полюса А, а второе слагаемое определяет ускорение , которое точка м получает при вращении фигуры вокруг полюса A. следовательно,
.
Значение , как ускорения точки вращающегося твердого тела, определяется как
где и - угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а - угол между вектором и отрезком МА (рис.41).
Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения , находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.23).
Однако вычисление с помощью параллелограмма, изображенного на рис.23, усложняет расчет, так как предварительно надо будет находить значение угла , а затем - угла между векторами и , Поэтому при решении задач удобнее вектор заменять его касательной и нормальной составляющими и представить в виде
.
При этом вектор направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; вектор всегда направлен от точки М к полюсу А (рис.42). Численно же
.
Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение можно тоже представить как сумму касательной и нормальной составляющих, тогда
.
Рис. 41 Рис. 42
Наконец, когда точка М движется криволинейно и ее траектория известна, то можно заменить суммой .
Решение задач на определение ускорения
Ускорение любой точки плоской фигуры в данный момент времени можно найти, если известны: 1) векторы скорости и ускорения какой-нибудь точки А этой фигуры в данный момент; 2) траектория какой-нибудь другой точки В фигуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры достаточно знать положение мгновенного центра скоростей.
Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответствующей точки. Расчет начинается с определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс.
План решения (если заданы скорость и ускорение одной точки плоской фигуры и направления скорости и ускорения другой точки фигуры):
1) Находим мгновенный центр скоростей, восставляя перпендикуляры к скоростям двух точек плоской фигуры.
2) Определяем мгновенную угловую скорость фигуры.
3) Определяем центростремительное ускорение точки вокруг полюса, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.
4) Находим модуль вращательного ускорения, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.
5) Определяем мгновенное угловое ускорение плоской фигуры по найденному вращательному ускорению.
6) Находим ускорение точки плоской фигуры при помощи формулы распределения ускорений.
При решении задач можно применять «теорему о проекциях векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела»:
«Проекции векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела, которое совершает плоскопараллельное движение, на прямую, повернутую относительно прямой, проходящей через эти две точки, в плоскости движения этого тела на уголв сторону углового ускорения, равны».
Эту теорему удобно применять, если известны ускорения только двух точек абсолютно твердого тела как по модулю, так и по направлению, известны только направления векторов ускорений других точек этого тела (геометрические размеры тела не известны), не известны и - соответственно проекции векторов угловой скорости и углового ускорения этого тела на ось, перпендикулярную плоскости движения, не известны скорости точек этого тела.
Известны еще 3 способа определения ускорений точек плоской фигуры:
1) Способ основан на дифференцировании дважды по времени законов плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела.
2) Способ основан на использовании мгновенного центра ускорений абсолютно твердого тела (о мгновенном центре ускорений абсолютно твердого тела будет рассказано ниже).
3) Способ основан на использовании плана ускорений абсолютно твердого тела.
Лекция 4 Сложное движение точки и тела
Сложное движение точки
Относительное, переносное и абсолютное движения
Теорема сложения скоростей
Теорема сложения ускорений. Ускорение Кориолиса
Сложное движение твердого тела
Цилиндрические зубчатые передачи
Сложение поступательного и вращательного движений
Винтовое движение
Сложное движение точки
Относительное, переносное и абсолютное движения.
До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют составным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (неподвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых.
Рис. 48
Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижно системе отсчета Oxyz, которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета , которую называем основной или условно неподвижной (рис. 48). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не показанным. Введем следующие определения.
1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе отсчета (к осям Oxyz), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Oxyz называется относительной скоростью (обозначается ), a ускорение - относительным ускорением (обозначается ). Из определения следует, что при вычислении и можно движение осей Oxyz во внимание не принимать (рассматривать их как неподвижные).
2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Oxyz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отношению к неподвижной системе , является для точки М переносным движением.
Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Oxyz точки m, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается ), а ускорение этой точки m - переносным ускорением точки М (обозначается ). Таким образом,
.
Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Oxyz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М.
3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета , называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость - абсолютной скоростью (обозначается ) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается ).
В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным, а скорость - относительной скоростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной скоростью шара.
При исследовании сложного движения точки полезно применять «Правило остановки». Для того, чтобы неподвижный наблюдатель увидел относительное движение точки, надо остановить переносное движение.
Тогда будет происходить только относительное движение. Относительное движение станет абсолютным. И наоборот, если остановить относительное движение, переносное станет абсолютным и неподвижный наблюдатель увидит только это переносное движение.
В последнем случае, при определении переносного движения точки, обнаруживается одно очень важное обстоятельство. Переносное движение точки зависит от того в какой момент будет остановлено относительное движение, от того, где точка находится на среде в этот момент. Так как, вообще говоря, все точки среды движутся по-разному. Поэтому логичнее определять переносное движение точки как абсолютное движение той точки среды, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка.
...Подобные документы
Определение реакций опор твердого тела, реакций опор и сил в стержнях плоской фермы. Равновесие сил с учетом сцепления. Определение положения центра тяжести тела. Определение скорости и ускорения материальной точки по заданным уравнениям ее движения.
курсовая работа [4,0 M], добавлен 05.11.2011Статика как раздел механики. Определение силы в теоретической механике. Аксиомы статики. Связи и реакции связей. Система сходящихся сил. Теория моментов. Кинематикой как раздел теоретической механики. Уравнения движения и скорость точки. Законы динамики.
контрольная работа [286,1 K], добавлен 13.05.2015Соответствие математических моделей твердого тела свойствам реальных машиностроительных материалов. Вывод условия равновесия для осесимметричного напряженного состояния. Распределение напряжений в зоне контакта при осадке полосы неограниченной длины.
контрольная работа [1,7 M], добавлен 13.01.2016Структурный анализ кривошипно-ползунного механизма, который преобразует возвратно-поступательное движение ползуна (поршня) во вращательное движение кривошипа. Планы скоростей и ускорений. Определение сил тяжести и инерции. Условные обозначения звеньев.
курсовая работа [2,4 M], добавлен 27.03.2013Характеристика системы сертификации Росии. История и особенности происхождения твердого мыла. Сущность порядка проведения декларирования соответствия и проведение подтверждения соответствия мыла туалетного твердого требованиям нормативных документов.
курсовая работа [108,2 K], добавлен 25.10.2012Оценка характеристик контактного взаимодействия. Влияние анизотропии поверхности твердого тела и наличие волнистости на параметры контактирования. Определение топографических параметров и фрактальной размерности эквивалентной изотропной поверхности.
реферат [567,0 K], добавлен 23.12.2015Зависимость работоспособности машин и агрегатов от свойств материалов. Прочность, твердость, триботехнические характеристики. Внедрение в материал более твердого тела – индентора. Температурные, электрические и магнитные характеристики материалов.
реферат [56,6 K], добавлен 30.07.2009Определение коэффициента устойчивости водоудерживающей стенки относительно ребра "О" при заданных переменных. Вычисление давления силы на участки стенки. Нахождение точек приложения сил, площади эпюр и силы давления. Определение опрокидывающих моментов.
контрольная работа [337,1 K], добавлен 13.10.2014Расчет винта, гайки, рукоятки с храповым механизмом и корпуса с целью проектирования конструкции самолетного домкрата по заданным параметрам. Определение коэффициента полезного действия устройства, преобразующего вращательное движение в поступательное.
курсовая работа [121,4 K], добавлен 09.02.2012Сверление как процесс образования отверстий в сплошном материале с помощью инструмента, называемого сверлом. Определение основных факторов, влияющих на точность технологического процесса, существующие движения: вращательное и поступательное направленное.
реферат [264,9 K], добавлен 18.11.2014Виды и происхождение твердых топлив. Строение, свойства и классификация каменных углей. Общая схема коксохимического производства. Улавливание и разделение летучих продуктов коксования. Основные проблемы гидрирования (гидрогенизации) твердого топлива.
реферат [2,3 M], добавлен 19.11.2009Построение эпюр для консольных балок. Величина максимального изгибающего момента. Момент сопротивления круглого поперечного сечения относительно центральной оси и прямоугольника относительно нейтральной оси. Поперечные силы и изгибающие моменты.
курсовая работа [63,3 K], добавлен 13.03.2011Закономерности деформации при повышенных температурах. Возврат и рекристаллизация. Закон постоянства объема пластически деформируемого твердого тела. Степень деформации металла при пластическом формоизменении. Расчет параметров штамповки выдавливанием.
курсовая работа [634,1 K], добавлен 22.01.2016Виды движений, их основные характеристики и передаточные механизмы. Вращательное движение в машинах. Разновидности передач, особенности устройства, специфика работы и сфера применения в технике. Достоинства и недостатки механизмов, их назначение.
реферат [5,7 M], добавлен 10.11.2010Методика определения твердости и измерения отпечатка, схемы испытания различными способами. Сопротивление материала проникновению в него более твердого тела. Расчеты определения твердости; перевод твердость по Бринелю в твердость по Раквеллу, Виккерсу.
лабораторная работа [567,3 K], добавлен 12.01.2010Расчет параметров электрохимической обработки детали. Изучение процессов на поверхности твердого тела при вакуумном ионно-плазменном напылении порошка борида циркония. Анализ показателей температурных полей при наплавке покрытия плазменно-дуговым методом.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 06.12.2013Основные характеристики, способ действия и виды механизмов преобразования вращательного движения в поступательное или наоборот: винтовой, зубчато-реечный, кулачковый, кривошипно-шатунный, кулисный, эксцентриковый, храповой, мальтийский и планетарный.
презентация [3,7 M], добавлен 28.12.2010Деформация – изменение формы и размеров твердого тела под воздействием приложенных к нему нагрузок. Упругой деформацией называют такую, при которой тело восстанавливает свою первоначальную форму, а при пластической деформации тело не восстанавливается.
реферат [404,2 K], добавлен 18.01.2009Преобразование возвратно-поступательного движения поршней во вращательное движение коленчатого вала в двигателях внутреннего сгорания. Назначение, характеристика и элементы кривошипно-шатунного механизма; принцип осуществления рабочего процесса двигателя.
презентация [308,4 K], добавлен 07.12.2012Исследование и анализ динамического поведения механической системы с упругими связями с помощью основных теорем и принципов теоретической механики. Составление дифференциального уравнения движения механической системы и определение реакций движения.
контрольная работа [1,0 M], добавлен 23.09.2010
