Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ГЛАВА I. ОСНОВИ ТЕОРІЇ МНОЖИН

1.1 Поняття множини, операції над множинами

Означення 1.1.1. Множиною називається сукупність, набір, сім'я, збори, колекція предметів, вибраних по деякому правилу (закону), або просто указаних; при цьому усі предмети різні. Предмети, із яких складається множина називаються елементами.

Множини будемо позначати прописними латинськими буквами, а елементи - малими літерами. Якщо елемент належить множині A, то це будимо записувати так: , а якщо елемент не належить множині A, то будимо записувати .

Приклади.

1. множина усіх натуральних чисел, множина всіх цілих чисел, множина всіх дійсних чисел, множина всіх раціональних чисел.

2. Сегмент множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову , інтервал множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову , півінтервал множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову , півінтервал множина всіх дійсних чисел , що задовольняють умову .

3. множина усіх функцій заданих і неперервних на сегменті , множина всіх функцій заданих і обмежених на сегменті .

Якщо кожен елемент множини А є елементом множини В, то будемо казати, що множина А міститься в множині В, або множина В містить множину А і позначати це будемо так: АВ, або ВА. Будемо також казати, що множина А є підмножиною множини В. Наприклад, , .

Якщо кожен елемент множини А є елементом множини В і навпаки кожен елемент множини В є елементом множини А, то множини рівні: А = В. Отже, щоб довести, що множини А і В рівні треба показати, що А В і В А.

Означення 1.1.2. Нехай задана деяка сім'я множин: . Множина всіх елементів, що належать хоч би однієї із множин даної сім'ї, називається об'єднанням множин і позначається об'єднання так .

Якщо маємо дві множини А і В, то їх об'єднання позначимо через . Якщо множин n штук: , то позначення їх об'єднання буде , або .

Означення 1.1.3. Перетином множин сім'я називається множина всіх спільних елементів множин даної сім'ї.

Позначення перетину: перетин сім'ї множин , перетин двох множин , перетин n множин , або . Якщо множини не мають спільних елементів, то будемо казати, що їх перетин - порожня множина. Порожню множину будемо позначати символом . Порожня множина може бути не тільки результатом перетину. Наприклад: множина дійсних розв'язків рівняння - порожня множина.

Означення 1.1.4. Різницею множини А і В називається множина усіх елементів множини А, що не належать множині В. Різниця множин А і В позначається таким чином: А \ В.

Означення 1.1.5. Симетричною різницею множини А і В називається множина . Симетрична різниця позначається так: .

Означення 1.1.6. Якщо множина В є підмножиною множини А, то різниця множин А і В називається доповненням множини В до множини А. Доповнення множини В до множини А позначається символом .

Теорема 1.1.1 (Співвідношення двоїстості). Нехай кожна із множини міститься в множині А. Тоді мають місце рівності:

Доведення. Нехай тобто і , отже для кожного і . Навпаки, нехай , тоді і для кожного . Отже і . Друга рівність доводиться аналогічно.

Задачі.

1. Довести, що .

2. Довести, що .

3. Довести, що .

4. Довести, що .

5. Довести, що тоді і тільки тоді, коли .

6. Довести, що , де .

7. Довести, що , де .

8. Довести, що (

9. Довести, що .

10. Довести, що , якщо і множини не перетинаються.

11. Довести, що .

12. Довести, що .



13. Верхня границя послідовності є множина . Довести, що складається із елементів, що належать нескінченної системи множин .

14. Нижня границя послідовності є множина . Довести, що складається із елементів, що належать усім множинам за виключенням скінченної кількості.

1.2 Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності

Означення 1.2.1. Правило або закон, по якому кожному елементу а множини А ставиться у відповідність один елемент b множини В, називається функцією обо відображенням множини А в В.

Функція звичайно позначається літерою латинського або грецького алфавіту, наприклад, і писати : , або , при цьому елемент називається образом елементу , а елемент прообразом елемент . Множина називається образом множини і позначається символом . Якщо при перетворенні кожен елемент є образом деякого елементу то кажуть, що перетворює А на В і це позначають так , або . Множина називається прообразом множини і позначається символом .

Поряд з термінами «функція» і «відображення» будемо використовувати рівнозначні ім у деяких сітуаціях терміни «перетворення», «оператор», «відповідність».

Означення 1.2.2. Взаємно однозначною відповідністю множин А і В називається відображення множини А на множину В, яке різним елементам множини А ставить у відповідність різні елементи множини В.

В цьому випадку прообраз кожної одно елементної множини є відображення множини В на А, яке теж є взаємно однозначною відповідністю. Відображення і називаються взаємно оберненими.

Задачі.

1. Нехай , і . Чи мають місце наступні співвідношення:

,

,

Чи має місце включення ?

2. Нехай , і . Доведіть наступні співвідношення:

,

,

.

Означення 1.2.3. Якщо для множин А і В можливо указати взаємно однозначну відповідність, то множини А і В називається еквівалентними. Еквівалентність множин А і В позначається символом: А В.

Властивості еквівалентних множин:

1. А А.

2. Якщо А В, то В А.

Ця властивість називається транзитивністю.

3. Якщо множини попарно не перетинаються, множини теж попарно не перетинаються і для будь якого , то



.

4. Нехай А В, деяке перетворення , що здійснює взаємно однозначну відповідність множини на , і . Тоді = .

Доведення. Нехай . Тоді знайдеться єдиний елемент такий, що Отже . Покажемо, що . Припустивши, що , знайдемо елемент такий, що , а це суперечить тому, що взаємна однозначна відповідність.

Нехай тепер . Тоді , але . Знайдеться елемент такий, що , проте бо у протилежному випадку елемент належав би множині . Отже і .

5. Теорема 1.2.1 (Перша теорема Кантора-Бернштейна).

Якщо і . Тоді .

Доведення. Нехай взаємно однозначне перетворення множини на . Покладемо . З умови теореми і означення множин випливає їх монотонність: . Дійсно, для , це умова теореми. Припустимо, що , якщо . Тоді , тобто .

Далі, внаслідок властивості 4 еквівалентних множин,

і в загальному випадку:



Нехай . Оскільки , то

(1.1.1)

і

. (1.1.2)

Тепер зауважимо, що і доданки у правих частинах рівностей (1.1.1) (1.1.2) попарно не перетинаються. Окрім того . Отже, внаслідок властивості 3 еквівалентних множин, .

6. Теорема 1.2.2 (Друга теорема Кантора-Бернштейна). Нехай підмножина множини еквівалентна множині , а підмножина множини еквівалентна множині . Тоді .

Доведення. Нехай взаємно однозначне перетворення множини на . Покладемо . Отже і, внаслідок умови теореми і транзитивності еквівалентності, . Так як , то виконуються умови теореми 1.2.1. Отже і за умовою теореми 1.2.2 .

Означення 1.2.4. Множини А і В називається однієї потужності, якщо вони еквівалентні.

Означення 1.2.5. Потужністю скінченної множини А називається число елементів в множині А. Потужність множини А будемо позначати символом . Отже, якщо множина містить n елементів, то = n.

Так як скінченні множини А і В еквівалентні тоді і тільки тоді, коли число елементів у множинах А і В збігається, то всі множини, що мають однакову кількість елементів, однієї потужності.

Означення 1.2.6. Будемо вважати, що потужність множини А не менша потужності множини В, якщо існує підмножина множини А, яка еквівалентна множині В. Цей факт будемо позначати таким чином .

Означення 1.2.7. Будемо вважати, що потужність множини А більша потужності множини В, якщо існує підмножина множини А, яка еквівалентна множині В, проте множина А не еквівалентна множині В.

Те, що множина А має потужність більшу потужності множини В будемо позначати через .

1.3 Зчислені множини та їх властивості

Означення 1.3.1. Множини А називається зчисленною, або множиною зчисленної потужності, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел . Зчисленну потужність множини будемо позначати літерою . Тобто запис означає, що множини А зчисленна.

Теорема 1.3.1 (Критерій зчисленості множини). Щоб множина А була зчисленною, необхідно і досить, щоб її можно було зображити у вигляді послідовності: де всі елементи послідовності різні.

Доведення. Необхідність. Нехай . Елемент множини , що відповідає натуральному числу позначимо через . Тим самим визначено загальний член послідовності. Отже:

Достатність. Нехай де всі елементи послідовності різні. Кожному елементу поставимо у відповідність його номер . Оскільки різні елементи мають різні номери і кожне натуральне число відповідає елементу , то множина .

Загальні властивості потужності множин.

1. Будь яка нескінченна множина А має потужність не меншу зчисленної потужності, тобто .

Доведення. Виберемо будь який елемент в множині А і позначимо його через . Оскільки різниця теж нескінченна, виберемо із неї будь який елемент і позначимо його через . Припустимо, що вже вибрано елементи , , …, . Різниця нескінченна. Тому із неї можливо вибрати елемент , де m довільне натуральне число. Отже з множини А виділина підмножина зчисленної потужності. А це означає, що .

2. Об'єднання зчисленної множини і скінченної множини еквівалентно множині А, отже зчисленна множина.

Доведення. Спочатку в рядок запишемо елементи множини , а потім будемо виписувати елементи множини А, пропускаючи ті елементи, що належать також множині . Множина буде зображена у вигляді послідовності, отже вона скінченна.

3. Об'єднання нескінченної множини А і скінченної або зчисленної множини В еквівалентно множині А.

Доведення. Виділимо з множини зчислену підмножину і нехай D - різниця множин і А. Тоді і . Оскільки і , то внаслідок властивості 3 еквівалентних множин .

4. Якщо різниця множини і скінченної або зчисленної множини В - нескінченна, то різниця А \ В еквівалентна множині А.

Доведення. Перетин скінченна або зчисленна множина. Отже, за попередньої властивістю внаслідок рівності одержимо властивість 4.

5. Об'єднання зчисленної множини скінченних множин зчисленна або скінченна множина.

Доведення. Спочатку в рядок запишемо елементи множини , а потім будемо виписувати елементи множин, пропускаючи ті елементи, що уже вибрані. Множина буде зображена у вигляді рядка або послідовності, отже вона скінченна або зчисленна.

6. Об'єднання скінченної множини зчисленних множин зчисленна множина.

Доведення. Кожну множину зобразимо у вигляді послідовності , а потім будемо виписувати елементи множин в рядок спочатку з нижнім індексом равним одиниці, потім равним 2 і так далі, пропускаючи ті елементи, що уже вибрані.

7. Об'єднання зчисленної множини зчисленних множин зчисленна множина.

Доведення. Множину зобразимо у вигляді послідовності . Першим в рядок поставимо елемент, а потім запишемо елементи у яких сума верхнього і нижнього індексів дорівнює трьом, чотирьом і так далі. При цьому будемо виписувати елементи множин , пропускаючи ті елементи, що уже вибрані. Множина буде зображена у вигляді послідовності, отже вона зчисленна.

8. Якщо елементи множини А визначаються m значками, тобто , кожен з яких приймає зчисленну кількість значень , то А зчисленна.

Доведення. Застосуємо метод математично індукції. Якщо елементи множини визначаються одним значком, значення якого , то множину А можливо зобразити у вигляді . Отже А зчисленна. Нехай властивість 8 має місце для k індексів (). Розглянемо множину і її підмножину елементів, у яких k+1 індекс має фіксоване довільне значення . В силу припущення, кожна множина зчисленна, а тоді зчисленна множина А тому, що . Отже, за принципом математичної індукції властивість 8 має місце для будь якого m.

Приклади зчисленних множин.

1. Множина усіх натуральних чисел зчисленна, тому що .

2. Будь-яка нескінченна підмножина натуральних чисел зчисленна, тому що її можливо зобразити у вигляді .

3. Множина усіх додатних раціональних чисел зчисленна. можливо зобразити у вигляді =, де множина раціональних чисел вигляду . Оскільки кожна множина зчисленна, то завдяки властивості 7 множина є зчисленною.

4. Множина усіх від'ємних раціональних чисел зчисленна, оскільки .

5. Множина усіх раціональних чисел зчисленна, завдяки тому, що

6. Множина A={ усіх точек к-вимірного евклідового простору , координати яких раціональні числа, зчисленна.

Дійсно елементи множини A визначаються значками (координатами точки), кожен з яких приймає зчисленну множину значень. Отже, внаслідок властивості 8, множина A зчисленна.

7. Множина всіх алгебраїчних многочленів степеня не вище n з раціональними коефіцієнтами зчисленна.

Дійсно кожен елемент множини визначається раціональними коефіцієнтами: . Отже, завдяки властивості 8, множина зчисленна.

8. Множина всіх алгебраїчних многочленів з раціональними коефіцієнтами зчисленна.

Множину можливо зобразити у вигляді . Тому, завдяки властивості 7, множина зчисленна.

9. Множина всіх алгебраїчних чисел зчисленна.

Позначимо через множину алгебраїчних чисел, що відповідають алгебраїчному многочлену з раціональними коефіцієнтами, тобто множину розв'язків рівняння = 0. Множина для кожного многочлена має не більше n елементів. Оскільки , то внаслідок властивості 5, скінченна або зчисленна. Але множина не може бути скінченною, бо вона містить усі раціональні числа.



1.4 Множини потужності континууму

Теорема 1.4.1 (Кантор). Множина точок сегмента не є зчисленною.

Доведення. Припустимо, що це ні так, тобто сегмент зчисленна множина: =. Поділимо сегмент на три частини рівної довжини: , і і позначимо через той з них, що не містить елемент (якщо таких сегментів два, беремо будь-який з них). Поділимо сегмент на три частини рівної довжини і позначимо через той з них, що не містить елемент . І так далі, якщо вибрано сегмент , поділимо сегмент на три частини рівної довжини і позначимо через той з них, що не містить елемент . Тепер зауважимо, що і довжина сегмента дорівнює 1/. Отже, внаслідок відомої теореми про вкладені сегменти, довжини яких прямують до нуля, існує елемент спільний всім сегментам , тобто . З іншого боку існує таке, що . Але, завдяки вибору сегментів , елемент . Одержана суперечність доводить теорему.

Означення 1.4.1. Множина А має потужність континууму, або потужність с, якщо А .

Приклади множин потужності континууму.

1. Тому що , сегмент має потужність континууму.

2. Будь-який сегмент має потужність континууму, оскільки функція встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами і .

3. Будь-який інтервал , будь-який півінтервал або має потужність континууму. Дійсно, завдяки властивості 4 потужності, вилучення одного або двох елементів з нескінченної множини не міняє потужності.

4. Множина всіх дійсних чисел має потужність континууму, оскільки функція встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами і .

5. Множина всіх ірраціональних чисел має потужність континууму, тому що множину можливо зобразити як різницю між множиною і множиною всіх раціональних чисел. Отже, завдяки властивості 4 потужності, вилучення зчисленної множини не міняє потужності.

6. Множина всіх трансцендентних чисел має потужність континууму, оскільки цю множину можливо зобразити як різницю між множиною і зчисленною множиною усіх алгебраїчних чисел. Отже, завдяки властивості 4 потужності, вилучення зчисленної множини не міняє потужності.

7. Множина всіх додатних чисел має потужність континууму, тому що функція встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами і .

8. Очевидно, що піввісь має потужність с.

Властивості множин потужності континууму.

1. Об'єднання скінченної множини множин потужності континууму, які попарно не мають спільних елементів, є множиною потужності континууму.

Доведення. Розглянемо півінтервали Вони попарно не мають спільних елементів і Завдяки властивості 4 еквівалентних множин, . Властивість доведена.

2. Об'єднання зчисленної множини множин потужності с, які попарно не мають спільних елементів, є множиною потужності с.

Доведення. Розглянемо півінтервали . Вони попарно не мають спільних елементів і . Завдяки властивості 4 еквівалентних множин, . Властивість доведена.

3. Об'єднання не більш ніж зчисленної множини множин потужності континууму є множиною потужності континууму.

Доведення. Розглянемо випадок зчисленої множини множин . Нехай взаємно однозначна відповідність множини на півінтервал , і . Множини попарно не мають спільних елементів і . Оскільки , то завдяки властивості 4 еквівалентних множин, . З іншого боку . За теоремою Кантора-Бернштейна . Властивість доведена.

Двійкові дроби.

Означення 1.4.2. Двійковим дробом називається ряд , де або 1.

Цей ряд збігається, сума його невід'ємна і не перевищує одиниці тому, що члени його мажоруються членами геометричної прогресії. Отже кожному двійковому дробу відповідає число - сума ряду . Двійковий дріб будемо зображати символом і також називати двійковим дробом. Двійковий дріб виду , де , називається двійково-раціональним числом. Ця сума дорівнює раціональному числу , де m непарне число менше за . Двійково-раціональне число крім зображення (запис (0) («0 в періоді») означає, що усі якщо ) має зображення .

Теорема 1.4.2. Кожному числу з інтервала (0; 1), що не є двійково-раціональним числом, відповідає єдиний двійковий дріб.

Доведення. Нехай і не є двійково-раціональним числом. Необхідно побудувати для будь-якого і довести, що частинна сума ряду прямує до числа . Визначимо спочатку число . Якщо , покладемо . Тоді і . Якщо , то покладемо . Тоді і . Припустимо, що визначені числа , такі, що . Знову розглянемо два випадки. Якщо , то покладемо . і . Якщо , то покладемо . Тоді і . Число не може дорівнювати , тому що не є двійково-раціональним числом. Отже, внаслідок принципу математичної індукції, визначено для будь-якого натурального і . З останній нерівності випливає .

Теорема доведена.

Означення 1.4.3. Нехай множина всіх двійкових дробів, множина усіх двійкових дробів, зображення яких містить нескінченну множину чисел , що дорівнюють 0, множина всіх двійкових дробів, зображення яких містить одиницю в періоді.

В силу теореми 1.4.2 має потужність континуум, а множина зчисленна, тому що вона нескінченна і є підмножиною множини раціональних чисел. Отже множина потужності континууму.

Приклади важливих множин потужності континууму.

1. Множина всіх зростаючих послідовностей натуральних чисел має потужність континууму.

Доведення. Встановимо взаємно однозначну відповідність між множиною і H. Кожному елементу із множини H поставимо у відповідність двійковий дріб , у якого числа з номерами дорівнюють нулю, а всі інші - одиниці. Різним елементам множини H відповідають різні двійкові дробі і довільна дріб при цьому відповідає послідовності натуральних чисел , для яких .

2. Множина всіх послідовностей натуральних чисел має потужність континууму.

Доведення. Встановимо взаємно однозначну відповідність між множиною і H. Кожному елементу із множини H поставимо у відповідність послідовність . Оскільки послідовність зростає, послідовність є елементом множини . Різним елементам , множини H відповідають різні елементи множини і довільна послідовність із множини відповідає послідовності .

3. Якщо елементи множини А визначаються скінченною або зчисленною множиною значків, тобто або , кожен з яких приймає, незалежно від інших, континуум значень, то А має потужність континууму.

Доведення. В силу транзитивності еквівалентності, можливо вважати, що кожен значок приймає значення з множини усіх послідовностей натуральних чисел. Тоді кожному фіксованому значенню значка відповідає елемент із множини . Поставимо у відповідність елементу (або ) послідовність натуральних чисел, яка визначається наступним чином: перший елемент послідовності, а потім записуємо елементи «пачками», включаючи в n -ую пачку усі елементи , сума індексів яких дорівнює n і записуючи елементи їх відповідно зростанню верхнього індексу j. Легко бачити, що указана відповідність взаємно однозначна.

4. Множина A={ всіх точек к-вимірного евклідового простору є множиною потужності континууму.

Дійсно елементи множини A визначаються значками (координатами точки, які приймають континуум значень,). Отже, внаслідок властивості 3 (множин потужності континууму), множина A має потужність с.

5. Множина Т всіх послідовностей , де або 1, має потужність с.

Доведення випливає з того, що між множиною Т і множиною всіх двійкових дробів, можливо установити взаємно однозначну відповідність, зважаючи, що елементу Т відповідає двійковий дріб .

6. Множина всіх послідовностей дійсних чисел має потужність континууму.

Дійсно, елементи множини визначаються зчисленною множиною значків - членами послідовності, кожен з яких приймає, незалежно від інших, континуум значень, отже має потужність континууму.



1.5 Існування потужності більшої, ніж с

Теорема 1.5.1. Нехай довільна множина і множина усіх підмножин множини . Тоді потужність множина менша за потужність множини , тобто .

Доведення. Покажимо спочатку, що . Позначимо літерою множину усіх одноелементних підмножин множини , тобто . Кожному елементу множини поставимо у відповідність елемент . Очевидно, що ця відповідність взаємно однозначна.

Тепер доведемо, що не еквівалентна множині . Припустимо протилежне, що і нехай взаємно однозначне перетворення множини на . Кожен елемент або належить множині , або не належить. Наприклад, порожня множина не містить елемента, якому вона відповідає, тому що вона взагалі не містить елементів, а підмножина, яка збігається з множиною , очевидно містить елемент, якому вона відповідає. Розглянемо множину і нехай елемент, якому відповідає підмножина , тобто . Одержимо суперечність, тому що елемент не може належати , тому що в зібрано усі елементи, які не належать своєму образу, а з іншого боку він повинен там бути.

Застосування теореми Кантора-Бернштейна

Теорема 1.5.2. Множина усіх неперервних функцій на відрізку має потужність континууму.

Доведення. Нехай , підмножина множини , яка визначається одним індексом - числом , що приймає континуум значень. Отже має потужність континууму і можно записати , де ? множина усіх послідовностей дійсних чисел.

З іншого боку, кожної функції поставимо у відповідність послідовність , де множина усіх раціональних чисел відрізку . Множину усіх таких послідовностей позначимо через . Завдяки тому, що кожна неперервна функція однозначно визначається послідовністю , указана відповідність є взаємно однозначною між множиною і , отже . Таким чином виконуються умови другої теореми Кантора-Бернштейна, застосовуючи яку, одержимо . Оскільки множина має потужність континууму (див. властивість 6), то .

Задачі.

1. Довести, що множина всіх підмножин множини натуральних чисел є множиною потужності континууму.

2. Довести, що множина всіх підмножин будь-якої зчисленної множини є множиною потужності континууму.

3. Довести, що множина всіх дійсних функцій, заданих на сегменті , має потужність більшу, ніж континуум.



ГЛАВА II. ВІДКРИТІ І ЗАМКНЕНІ МНОЖИНИ В

Означення 2.1.1 Точка називається граничною точкою множини , якщо у будь-якому околу точки знайдеться хоча б одна точка множина , що відрізняється від точки .

Теорема 2.1.1. Для того щоб точкабула граничною точкою множини , необхідно і достатньо щоб у будь-якому околу точки знаходилась нескінченна множина точок з .

Доведення. Достатність очевидна, необхідність доведемо від протилежного. Нехай точка є граничною точкою множини , і в деякому околу точки знаходиться скінченна множина точок з , що відрізняється від точки . Нехай відстань від точки до і . Тоді в околу радіуса ні буде не одної точка множини , що відрізняється від точки , а це суперечить тому, що точка гранична. Одержана суперечність спростовує припущення.

Теорема 2.1.2. Для того щоб точка була граничною точкою множини , необхідно і достатньо щоб знайшлась послідовність різних точок з множини , що збігається до точки .

Доведення. Достатність очевидна, доведемо необхідність. Нехай точка є граничною точкою множини і послідовність околів радіусу . Виберемо довільну точку в околу , в околу , і так далі виберемо точку , яка відрізняється від попередніх и точки , і так далі. Оскільки , то послідовність точок прямує до .

Зауваження. Гранична точка множини може належати або не належати множині . Наприклад, граничними точками півінтервала є точки сегмента .

Означення 2.1.2 Множина називається замкненою, якщо вона містить усі свої граничні точки. Далі замкнену множину будемо позначати буквою .

Приклади замкнених множин: сегмент , будь-яка скінченна множина, множина усіх натуральних чисел , множина усіх цілих чисел .

Означення 2.1.3 Точка називається внутрішньою точкою множини , якщо вона належить разом з деяким околом.

Означення 2.1.4 Множина називається відкритою, якщо кожна точка множини внутрішня.

Приклади відкритих множин: інтервал , об'єднання інтервалів.

Означення 2.1.5 Точка називається ізольованою точкою, якщо існує окіл точки , який не містить точок множина, крім точки .

Означення 2.1.6 Замкнена множина називається досконалою, якщо кожна точка множини є граничною точкою цієї множини, тобто у множини немає ізольованих точок.

Властивості відкритих і замкнених множин

1. Для того щоб множина була відкритою необхідно і достатньо, щоб доповнення (доповнення до ) було замкнуто.

Доведення. Необхідність. Нехай множина відкрита і припустимо, що не містить граничну точку . Тоді і отже існує окіл такий, що , а це означає, що не містить не одної точки множини . Отже не є граничною множини , а це суперечить припущенню.

Достатність. Нехай множина замкнена і точка . Тоді існує окіл цієї точки, що не містить не одної точки множини , тому що у протилежному випадку точка була би граничною точкою множини і належала би . Отже окіл , тобто множина відкрита, що і треба було довести.

2. Об'єднання будь-якої сім'ї відкритих множин є множина відкрита.

Доведення. Нехай . Тоді і існує окіл точки такий, що . Отже множина відкрита.

3. Перетин будь-якої сім'ї замкнутих множин є множина замкнута.

Доведення. Внаслідок співвідношень двоїстості і властивостей 1 і 2 множина відкрита, отже (властивість 1) замкнена.

4. Перетин скінченного набора відкритих множин є множина відкрита.

Доведення. Нехай . Тоді для кожної множини знайдеться окіл . Покладемо . Очевидно, що для будь-якого : і .

5. Об'єднання скінченного набора замкнених множин є множина замкнена.

Доведення. В силу співвідношень двоїстості і властивостей 1 і 4 множина відкрита, отже (властивість 1) замкнена.

Покажемо на прикладах, що умова скінченнності у властивостей 3,4 не зайва.

Приклад 1. Нехай . Тоді множина і не відкрита і не замкнена.

Приклад 2. Нехай . Тоді множина і не відкрита і не замкнена.

Нехай є довільною, обмеженою знизу, замкненою множиною з простору і . Внаслідок означення точної нижньої межі для будь-якого натурального числа знайдеться елемент такий, що . Якщо серед елементів існує нескінченна множини різних, то точка є граничною точкою множини і належить . В протилежному випадку існує число таке, що для всіх елементи , отже . Аналогічно, якщо є довільною, обмеженою зверху, замкненою множиною з простору і , то .

Якщо є довільної, обмеженою, замкненою множиною з простору , то , а сегмент називається найменшим сегментом, що містить замкнену множину .

Теорема 2.1.3 (Структура відкритої обмеженої множина з простору ). Будь-яка відкрита обмежена множина є об'єднання скінченної або зчисленної множини попарно неперетинних інтервалів , кінці яких не належать множині . Інтервали називаються складовими інтервалами множини .

Доведення. Нехай . Оскільки множина обмежена, то множина обмежена знизу і замкнена. Тому належить , а півінтервал належить . Аналогічно множина обмежена зверху і замкнена. Тому належить , а півінтервал належить . Отже інтервал належить , а кінці його не належать . Інтервал називається складовим. Покажемо, що два довільних складових інтервалів не перетинаються. Припустимо, що знайшлись два інтервала і , що мають спільну точку , і нехай . Тоді точка і через те належить множині , а це суперечить тому, що інтервал складовий.

Покажемо, що складових інтервалів не більш ніж зчисленна множина. Для цього виберемо по раціональній точці з кожного інтервала. Оскільки інтервали не перетинаються, то ці точки різні і тому утворюють деяку підмножину множини раціональних чисел. Таким чином установлена взаємно однозначна відповідність між множиною складових інтервалів множини і множиною . Оскільки множина не більш ніж зчисленна, то і множина складових інтервалів множини не більш ніж зчисленна.

Теорема доведена.

Теорема 2.1.4 (Структура замкненої обмеженої множина з простору ). Будь-яка замкнена обмежена множина є або сегментом , або одержується з найменшого сегмента , що містить замкнену множину , вилученням скінченної або зчисленної множини попарно неперетинних інтервалів , кінці яких належать множині . Інтервали називаються доповняльними множини .

Доведення. Якщо є сегмент, то все очевидно. Нехай . Розглянемо . Очевидно, що . Оскільки точки , то . Отже множина є відкритою і за теоремою 2.1.3 ії можно зобразити у вигляді не більш ніж зчисленної множини попарно неперетинних інтервалів. Тоді .

Теорема доведена.

Із означень досконалої множини і ізольованої точки внаслідок теореми 2.1.4 очевидно випливає наступне твердження.

Теорема 2.1.5 Для того щоб замкнена обмежена множина була досконалою необхідно і досить, щоб точки не були кінцями інтервалів і будь-які доповняльні інтервали не мали спільних кінців.

Канторова відкрита множина, Канторова досконала множина

Трійковим дробом називається ряд , де або 1, або 2. Цей ряд збігається, сума його невід'ємна і не перевищує одиниці, тому що члени його мажоруються членами геометричної прогресії. Трійковий дріб будемо зображати символом . Трійковий дріб виду , де , називається трійково-раціональним числом. Ця сума дорівнює раціональному числу , де ціле число менше за . Трійково-раціональне число , де , крім зображення (запис (0) («0 в періоді») означає, що усі якщо ) має зображення (запис (2) («2 в періоді») означає, що усі якщо ). Має місце наступне твердження.

Теорема 2.1.6 Будь-яке число можливо зобразити трійковим дробом. При цьому зображення єдине, якщо не є трійково-раціональним числом.

Доведення теореми 2.1.6 аналогічне доведенню теореми 1.4.2.

Далі розглянемо наступні інтервали. Нехай є інтервал (0,1; 0,1(2)) і для кожного натурального k розглянемо інтервалів де або 2, Довжина кожного з них дорівнює . Очевидно, що інтервали можливо зобразити у вигляді .

Лема 2.1.1. Різним наборам чисел відповідають різні інтервали . Крім того вони не перетинаються, не мають спільних кінців і, очевидно, що точки 0 і 1 не є кінцями ціх інтервалів.

Дійсно, нехай , де і довільні. Покажемо, що лівий кінець інтервала більше правого

кінця інтервалу:

Із означень інтервалів випливає, що точки 0 і 1 не є кінцями ціх інтервалів.

Має місце наступна арифметична характеристика чисел, які належать інтервалам .

Лема 2.1.2. Для того, щоб необхідно і достатньо, щоб число в трійковому запису мало вигляд , де або 2, а довільні і хоча б одно з них не дорівнює нулю і хоча б одно з них не дорівнює 2.

Достатність. Нехай число в трійковому запису має вигляд , де або 2, а довільні і хоча б одно з них не дорівнює нулю і хоча б одно з них не дорівнює 2. Тоді:

.

Необхідність. Якщо , то повинно бути більше за лівий кінець інтервалу , тобто , де хоча б одна з цифр не дорівнює нулю (тому що у протилежному випадку збігається з лівим кінцем інтервалу і отже не належить йому), а з іншого боку повинно бути менше за правий кінець інтервалу , тобто , де хоча б одна з цифр не дорівнює двом, тому що у протилежному випадку збігається з правим кінцем інтервалу і тому не належить йому. Лему доведено.

Побудова Канторових множин. Канторова відкрита множина, Канторова досконала множина.

Поступимо наступним чином: вилучимо з сегмента спочатку інтервал , потім два інтервалу , на му кроці вилучимо інтервалів . Об'єднання усіх інтервалів називається Канторовою відкритою множиною і позначається через , а доповнення множини до сегмента називається Канторовою досконалою множиною і позначається через . За лемою 2.1.2 Канторова відкрита множина це множина усіх чисел з сегмента , трійковий запис яких неможливий без цифри 1. Наприклад, число (в трійковому запису) 0,1 має також вигляд 0,0(2), а тому воно не належить множині . Канторова досконала множина дійсно досконала тому, що одержується з сегмента вилученням зчисленної множина інтервалів , що не мають спільних кінців і точки 0 і 1 не є кінцями ціх інтервалів. З арифметичної характеристики множини випливає, що Канторова досконала множина це множина усіх чисел сегмента , трійковий запис яких містить тільки цифри 0 і 2, тобто це множина усіх трійкових дробів вигляду , де або 2, отже це множина потужності континууму. Обчислимо суму довжин вилучених інтервалів: Спочатку вилучається інтервал , довжина якого дорівнює , потім два інтервала, довжина кожного з яких дорівнює , на му кроці вилучається інтервалів , довжина кожного з яких дорівнює . Отже, сума довжин вилучених інтервалів дорівнює

Означення 2.1.5 Сім'я відкритих множин називається покриттям множини , якщо

Лема 2.1.3. (Гейне-Бореля). Із будь-якого покриття замкненої обмеженої множини відкритими множинами можна виділити скінченнне покриття.

Доведення. Припустимо, що лема не має місце. Так як множина обмежена, то знайдеться сегмент , що містить множину . Нехай . Тоді хоча б для одної з замкнених множин або не існує скінченнного покриття. Позначимо цю множину, або одну з них, якщо їх дві, через , а сегмент, в якому вона міститься через . Очевидно, що і довжина сегмента у два рази менша довжини сегмент :=1/2. Нехай побудована послідовність вкладених сегментів таких, що для множин неможливо вилучити скінченнне покриття, , а також =. Нехай . Тоді хоча б для одної з замкнених множин або не існує скінченнного покриття. Позначимо цю множину, або одну з них, якщо їх дві, через , а сегмент, в якому вона міститься через .

Внаслідок принципу математичної індукції існують послідовність вкладених сегментів , довжини яких прямують до нуля, і послідовність вкладених замкнених множин , таких, що для кожної з них неможливо вилучити скінченнне покриття.

За теоремою про послідовніть вкладених сегментів існує єдина спільна точка . Тоді точка є граничною точкою замкненої множини і, отже належить до неї. Нехай відкрита множина з даного покриття, що містить точку , і . Якщо таке, що то усі сегменти за умовою, що . Отже всі множини покриваються відкритою множиною за умовою, що , а це суперечить властивостям множин . Одержана суперечність спростовує припущення. Лема доведена.

Зауваження. Лема Гейне-Бореля має місце і в просторі .



ГЛАВА III. МІРА ЛЕБЕГА ОБМЕЖЕНИХ МНОЖИН У

3.1 Елементарні множини та їх властивості

Означення 3.1.1 Будь-які інтервали , півінтервали або , або сегменти будемо називати відрізками і позначати літерой . При цьому у число відрізків включаємо порожню множину і сегмент, що складається з одної точки .

Означення 3.1.2 Елементарними множинами в будемо називати будь-які скінченні об'єднання попарно неперетинних відрізків. Зокрема, будь-який відрізок - елементарна множина.

Одже будь-яка елементарна множина має вигляд , де може бути довільним натуральним числом і відрізки попарно не перетинаються.

Властивості елементарних множин.

1. Перетин скінченної множини елементарних множин є елементарна множина.

Доведення. Твердження очевидно, якщо розглянути перетин двох відрізків. Розглянемо випадок двох множин і . Маємо

.

Загальний випадок доводиться методом математичної індукції.

2. Доповнення елементарної множини до деякого відрізка є елементарною множиною.

Доведення. Твердження очевидно, якщо елементарна множина сама є інтервалом, полуінтервалом або сегментом. Загальний випадок випливає з рівності:

.

3. Об'єднання скінченної множини елементарних множин є елементарна множина.

Доведення. Розглянемо випадок двох множин і . Нехай містить об'єднання . Розглянемо доповнення множини до : . Внаслідок властивостей 2 і 1 множина елементарна. Тоді за властивостю 2, елементарна, тому, що .

4. Різниця двох елементарних множин є елементарна множина.

Доведення. Зобразимо різницю у вигляду: , де містить об'єднання . Внаслідок властивостей 2 і 1 множина елементарна.

5. Симетрична різниця двох елементарних множин є елементарна множина.

Ця властивість випливає з 4 і 3, тому що .



3.2 Міра елементарних множин та її властивість

Означення 3.2.1 Мірою будь якого відрізка називається його довжина. Позначається міра символом .

Тобто незалежно від того, чи буде відрізок інтервалом , сегментом , півінтервалом або , . Зокрема міра відрізку і порожньої множини дорівнює нулю.

Означення 3.2.2 Мірою будь якої елементарної множини називається сума довжин відрізків , тобто .

Розглянемо наступні властивості.

1. Якщо множини і не мають спільних елементів, то .

Доведення. Позначимо Тоді

.

Методом математичної індукції ця властивість поширюється на випадок скінченної множини неперетинних елементарних множин. Ця властивість називається адитивністю міри.

Наслідок 1. Якщо і елементарні множини і , то

. (3.2.1)



Доведення. Зобразимо множину у вигляді . В силу адитивності міри , а це еквівалентно сформулюваному.

Наслідок 2. Якщо і елементарні множини і , то

.

Ця властивість виливає з (3.2.1), тому що , і називається монотонністю міри.

Наслідок 3. Якщо і елементарні множини, то

(3.2.2)

Доведення. Зобразимо множину у вигляді двох неперетинних множин і далі застосуємо властивість 1 і наслідок 1:

.

Наслідок 4. Якщо елементарна множина міститься в об'єдненні скінченної множини елементарних множин , r, то

.



Доведення. Нехай . Множини попарно не перетинаються і, як легко перевірити, . Отже, внаслідок монотонності і адитивності одержимо

.

2. Якщо елементарна множина міститься в об'єдненні зчисленної множини елементарних множин , то

. (3.2.3)

Доведення. Нехай , . Для кожного відрізку і для будь-якого знайдемо сегмент такий, що і . З іншого боку для кожного відрізка і знай-демо інтервал такий, що і . Тоді

(3.2.4)

і

. (3.2.5)



Оскільки множина міститься в об'єдненні множин , то система інтервалів покриває замкнену обмежену множину =. За лемою Гейне-Бореля існує скінченне покриття, яке позначимо через . Оскільки сегменти попарно не перетинаються, то множина елементарна і вважаючи наслідок 4: , отже, внаслідок нерівностей (3.2.4-3.2.5), маємо

.

Отже . Спрямувавши до нуля одержимо (3.2.3). Властивість 2 доведена.

Наслідок 4. Якщо елементарна множина є об'єднання зчисленної множини неперетинних елементарних множин , то

. (3.2.6)

Доведення. В силу (3.2.3) , а з іншого боку, тому, що елементарна множина містить елементарну множину , де довільне натуральне число, то внаслідок монотонності та адитивності міри і отже , що з раніш одержаною нерівністю доводить (3.2.6).

3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості

Означення 3.3.1 Нехай довільна обмежена множина з . Число

, (3.3.1)

де точна нижня межа береться по усім скінченним або зчисленним об'єднанням елементарних множин , називається зовнішньою мірою обмеженої множини .

Властивості зовнішній міри.

1. Зовнішня міра невід'ємна.

2. Зовнішня міра елементарної множини збігається з , тобто .

Доведення. Якщо , то в силу властивості 2 міри елементарних множин, і слід . З іншого боку тому, що входить в множину по якої обчислюється точна нижня межа.

3. Якщо обмежена множина , то .

Ця властивість випливає з означення зовнішньої міри і називається монотонністю.

4. Якщо обмежена множина , де скінченна, або зчисленна сім'я множин, то .

Доведення. В силу властивості точної нижньої межі для кожної множини і довільного числа знайдеться скінченна, або зчисленна система елементарних множин така, що

і . Тоді і

.

Спрямувавши до нуля, одержимо указану властивість.

5. Для будь-яких обмежених множин імає місце нерівність

. (3.3.2)

Доведення. Використовавши співвідношення і попередню властивість, одержимо . Помінявши місцями і одержимо і отже маємо (3.3.2).

3.4 Поняття вимірної множини

Означення 3.4.1 Обмежена множина називається вимірною, якщо для довільного числа знайдеться елементарна множина така, що

.



Якщо множина вимірна, то її мірою називається . Міра позначається символом і називається мірою Лебега.

Із означення вимірної множини випливає, що будь-яка елементарна множина вимірна і у сенсі останнього означення і .

Властивості вимірних множин.

1. Якщо множина вимірна, то вимірне доповнення множина до відрізка .

Доведення випливає з рівності

.

2. Об'єднання скінченної сім'ї вимірних множин є множина вимірна.

Доведення. Розглянемо спочатку дві множини і. Для будь-якого числа знайдуться елементарні множини і такі, що

і .

Так як об'єднання скінченної множини елементарних множин є елементарна множина, то, використовуючи включення

і властивості 3,4 зовнішньої міри, одержимо.

.



Припустивши вимірність об'єднання вимірних множин, в силу рівності одержимо вимірність множини . Завдяки принципу математичної індукції вимірною буде скінченне об'єднання вимірних множин.

3. Перетин скінченної сім'ї вимірних множин є множина вимірна.

Доведення і в цьому випадку достатньо провести для двох множин і . Розглянемо доповнення множини до інтервалу . Внаслідок двоїстості операцій об'єднання і перетину

.

За властивостю 1 доданки у правій частині вимірні, і завдяки властивості 2 вимірна права частина, а тоді за властивістю 1 вимірна множина тому, що

4. Різниця вимірних множин є множина вимірна.

Доведення. Нехай інтервал . Тоді і отже, внаслідок властивостей 1 і 3, різниця - вимірна.

5. Симетрична різниця вимірних множин і є множина вимірна.

Ця властивість випливає з останньої властивості, властивості 2 і рівності

.

6. Адитивність міри. Міра об'єднання скінченної сім'ї вимірних попарно неперетинних множин , дорівнюю сумі мір, тобто



.

Доведення. Спочатку розглянемо дві множини і загальний випадок легко одержимо методом математичної індукції. Перш за все, використовуючи властивість 4 зовнішньої міри, одержимо

(3.4.1)

За означенням вимірності, для будь-якого числа знайдемо елементарні множини і такі, що

і . (3.4.2)

Надалі значок, що позначає зовнішню міру, будемо опускати тому, що усі множини вимірні. Розглянемо наступні співвідношення і нерівності. Оскільки множини і не перетинаються, то

і, тим більше,

.

А тоді, внаслідок (3.4.2)

(3.4.3)

З властивості 5 зовнішньої міри (див. нерівність (3.3.2)) випливає, що

, (3.4.4)

, (3.4.5)

і, аналогічно, використовуючи включення

,

одержимо

. (3.4.6)

Завдяки адитивності міри елементарних множин (див. наслідок 3)

. (3.4.7)

Застосуємо спочатку нерівність (3.4.6), потім рівність (3.4.7) і на кінець нерівності (3.4.3 - 3.4.5)

.

В силу довільності одержимо нерівність

,

що разом з (3.4.1) дає необхідну рівність.

Припустимо тепер, що властивість має місце для вимірних попарно неперетинних множин тобто

...