Теорія міри та інтеграла Лебега

Означення 5.2.3. Вимірна і майже скрізь скінченна на множині функція називається інтегровною за Лебегом, якщо функція інтегровна на множені .

Очевидно, що усі властивості інтеграла Лебега для функцій, що приймають скінченні значення, мають місце і для майже скрізь скінченних.

5.3 Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега

Теорема 5.3.1 (Теорема Лебега). Нехай послідовність вимірних майже скрізь скінченних на множині функцій збігається за мірою до майже скрізь скінченної функції і існує невід'ємна інтегровна за Лебегом функція така, що майже скрізь на множині : . Тоді функція інтегровна за Лебегом на множині і

. (5.3.1)

Доведення. На підставі теореми Рісса існує підпослідовність , що збігається майже скрізь на множині до функції. Тоді функція вимірна і оскільки майже скрізь на множині , то функція на підставі властивості 6 інтегровна за Лебегом на множині . Приступаючи до доведення рівності (5.3.1) зауважимо, що можливо вважати, що міра множини більша нуля, бо в протилежному випадку інтеграли у рівності (5.3.1) дорівнюють нулю і рівність очевидна. Для довільного числа візьмемо таке число , що . Нехай і . Використовуючи адитивність інтеграла, властивість 6 і нерівність , яка виконується майже скрізь, одержимо

(5.3.2)

Щоб оцінити перший доданок у правій частини нерівності (5.3.2) застосуємо властивість 6:

Для заданого , внаслідок абсолютної неперервності інтеграла від функції , знайдемо таке , що

, (5.3.3)

якщо . Оскільки послідовність функцій збігається за мірою до функції , то міра множини прямує до нуля, тому знайдеться число таке, що для усіх має місце нерівність . Отже, для усіх має місце нерівність

. (5.3.4)

Таким чином із нерівностей (5.3.3) (5.3.4) для усіх випливає нерівність

.

Теорема доведена.

Наслідок 5.3.1 Нехай послідовність вимірних на множині функцій збігається майже скрізь до функції і існує невід'ємна інтегровна за Лебегом функція така, що майже скрізь на множині : . Тоді функція інтегровна за Лебегом на множині і має місце рівність (5.3.1).

Доведення. За теоремою Лебега (див. теорему 4.1.4) послідовність функцій збігається за мірою до функції . Слід виконуються умови теореми 5.3.1.

Ще більш простий варіант теореми Лебега одержимо, якщо функцію замінимо константою.

Наслідок 5.3.2 Нехай послідовність вимірних на множині функцій збігається майже скрізь до функції і існує константа така, що майже скрізь на множині : . Тоді функція інтегровна за Лебегом на множині і має місце рівність (5.3.1).

Доведення. Якщо послідовність вимірних на множині функцій збігається майже скрізь до функції , то за теоремою Лебега (див. теорему 4.1.4) послідовність функцій збігається за мірою до функції . Отже виконуються умови теореми 5.3.1.

Теорема 5.3.2 (теорема Леві). Нехай неспадаюча послідовність невід'ємних інтегровних на множині функцій така, що для усіх

. (5.3.5)

Тоді майже скрізь на множині послідовність збігається до майже скрізь скінченної інтегровної функції і

. (5.3.6)

Доведення. З монотонності послідовності функцій випливає існування , покажемо, що майже скрізь ця границя скінченна.

Введемо множину і покажемо, що . Для довільного числа множина . Дійсно, якщо , то існує натуральне число таке, що для усіх виконується нерівність . Отже . Завдяки тому, що послідовність не спадає, і тоді . Внаслідок нерівності Чебишева і умови теореми . Отже і для будь-якого : . Отже .

Нехай . Множини вимірні, попарно неперетинні і . На множені визначимо просту функцію , якщо і покажемо, що вона інтегровна на множені , тобто доведемо збіжність ряду . Позначимо через і оцінимо частину суму . Із означення функції випливає нерівність

. (5.3.7)

Використовуючи нерівність (5.3.7), наслідок 2 і умову (5.3.5) одержимо

=

.

Отже функція інтегровна на множені і . Таким чином для послідовності функцій виконуються умови наслідку 1. Тоді функція інтегровна на множені і має місце рівність (5.16).

Теорема доведена.

Наслідок 5.3.3. Твердження теореми Леві збережеться, якщо функції послідовності приймають значення різних знаків. Щоб довести це, треба ввести функції і константу в умові (5.3.5) замінити на . Тоді функція інтегровна на множені і має місце рівність:

.

Порівнюючи початок і кінець рядка рівностей одержимо (5.3.6).

Наслідок 5.3.4. Нехай послідовність невід'ємних і інтегровних на множені функцій таких, що ряд

збігається. Тоді сума ряду є функція інтегровна на множені і

=. (5.3.8)

Доведення. Нехай . Оскільки послідовність невід'ємних і інтегровних на множені функцій, то неспадаюча, послідовність невід'ємних і інтегровних на множені функцій таких, що

.

Отже виконуються умови теореми Леві, застосовуючи яку одержимо (5.3.8).

Теорема 5.3.3 (теорема Фату). Нехай послідовність невід'ємних інтегровних на множині функцій, яка майже скрізь на множині збігається до функції і така, що для усіх

. (5.3.9)

Тоді функція інтегровна на множині і

. (5.3.10)

Доведення. Нехай Функції вимірні на множені , тому, що . Оскільки , то невід'ємні і інтегровні на множині . Крім того, і, за умовою (5.3.9)

. (5.3.11)

Отже для послідовності функцій виконуються умови теореми Леві, за якою функція інтегровна на множені і, внаслідок (5.3.11)

.

Покажемо, що якщо послідовність збігається до , то послідовність теж збігається до . Нехай довільне додатне число. Існує число таке, що для будь-якого виконується нерівність . Тоді

для усіх виконується нерівність . Отже . Так як функція майже скрізь скінченна, то і така ж сама.

Покажемо тепер, що якщо , то . Нехай . Знайдеться число таке, що для будь-якого виконуються нерівності . Тоді, очевидно, що і для усіх виконується нерівність . Отже для усіх виконується нерівність

,

Тобто майже скрізь і має місце нерівність (5.3.10).

Теорема доведена.

5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега

Нехай обмежена функція, визначена на сегменті , тобто

, (5.4.1)

і послідовність наборів точок сегменту таких, що. Покладемо , і визначимо дві послідовності простих функцій:

, . Із означення функцій , і (5.4.1) випливає

. (5.4.2)

Отже, функції , прості і обмежені і слід інтегровні за Лебегом:

, ,

де відповідно нижня і верхня суми Дарбу функції . Оскільки при умові виконуються нерівності , то послідовність функцій не спадає, а послідовність функцій не зростає. Отже для послідовностей функцій і виконуються умови теореми Леві, за якою існують майже скрізь границі і , функції і інтегровні за Лебегом на сегменті і

, (5.4.3)

. (5.4.4)

Окрім того, із нерівностей (5.4.2) випливає, що для функцій і мають місце нерівності

. (5.4.5)

Із (5.4.3) - (5.4.5) одержимо

. (5.4.6)

Теорема 5.4.1 Для того щоб функція була інтегровною за Ріманом необхідно і досить, щоб майже скрізь на сегменті для будь-якої послідовності такої, що , коли і в цьому випадку функція інтегровна за Лебегом і інтеграл Рімана збігається з інтегралом Лебега:

.

Достатність. Нехай . Тоді, внаслідок (5.4.6), інтеграл в (5.4.6) дорівнює нулю і . Отже функція інтегровна за Ріманом.

Необхідність. Нехай функція інтегровна за Ріманом. Тоді для будь-якої послідовності такої, що , права частина в (5.4.6) дорівнює нулю. На підставі наслідку 5.2.2 (з нерівності Чебишева) різниця майже скрізь дорівнює нулю. А тоді із нерівностей (5.4.5) випливає еквівалентність функції функціям і. Отже, функція інтегровна за Лебегом і, в силу (5.4.3) або (5.4.4), інтеграл Рімана збігається з інтегралом Лебега.

Теорема 5.4.2 (Теорема Лебега). Для того щоб обмежена функція була інтегровною за Ріманом на сегменті , необхідно і досить, щоб була майже скрізь неперервною на сегменті .

Достатність. Нехай майже скрізь неперервна на сегменті і множина точок розриву. Візьмемо будь-яку послідовність точок розбиття таку, що і нехай . Множина зчисленна, тому має міру нуль. Покажемо, що у кожній точці має місце рівність . Візьмемо довільне число . Внаслідок неперервності функції в точці існує таке, що , якщо . Оскільки , то знайдеться натуральне число таке, що для усіх сегменти , що містять точку , будуть міститься в інтервалі . Тоді, для усіх різниця , тобто майже скрізь. За теоремою 5.4.1 функція інтегровна за Ріманом.

Необхідність. Нехай функція інтегровна за Ріманом. Візьмемо будь-яку послідовність точок розбиття сегмента таку, що , коли , і нехай . За теоремою 5.4.1 майже скрізь. Позначимо через множину точок сегмента , де . Множина має міру нуль. Покажемо, що у кожній точці функція неперервна. Візьмемо довільне число . В силу збіжності послідовностей функцій і відповідно до функцій і знайдеться натуральне число таке, що для усіх виконуються нерівності

,

із яких випливає нерівність

(5.4.7)

Візьмемо сегмент , що містить точку . Оскільки не є точкою розбиття, то знайдеться інтервал , що міститься у сегменті . Із означення функцій , і нерівності (5.4.7) маємо

для будь-якого .

Теорема доведена.

5.5 Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри

Означення 5.5.1. Нехай вимірна множина нескінченної міри, наприклад, множина усіх дійсних чисел , або проміні . Послідовність вимірних обмежених множин називається вичерпною, якщо вона монотонно зростає, тобто , і .

Означення 5.5.2. Вимірна функція , що задана на вимірній множині нескінченної міри, називається інтегровною за Лебегом на множині , якщо для довільної вичерпної послідовності множин існує скінченна границя

, (5.5.1)

яка не залежить від вибору послідовності множин . Інтегралом від функції називається

(5.5.2)

Покажемо, що границя (5.5.2) існує і скінченна, якщо виконується (5.5.1). Нехай , тоді

,

коли .

Теорема 5.5.1. Якщо існує невласний інтеграл Рімана від функції , що задана на осі, або проміні, то існує інтеграл Лебега і вони збігаються.

Доведення. Розглянемо випадок, коли функція визначена на осі, інший випадок аналогічний. Нехай існує невласний інтеграл Рімана

і довільна вичерпна послідовність множин. Для довільного числа знайдеться число таке, що

. (5.5.3)

Введемо множини . Послідовність множин не спадає і . На підставі властивості 11 вимірних множин . Тоді знайдеться натуральне число таке, що для усіх виконується нерівність , де число , у відповідності з абсолютно неперервністю інтеграла Лебега, вибрано так, для що , міра якої , має місце нерівність

. (5.5.4)

Із (5.5.3) - (5.5.4) для усіх випливають нерівності

. (5.5.5)

З іншого боку, нехай

Послідовність функцій монотонна, збігається у кожній точці до функції , отже на підставі теореми Лебега про граничний перехід під знаком інтеграла, маємо

(5.5.6)

Із нерівностей (5.5.5) - (5.5.6) слідує існування скінченної границі (5.5.1) і рівність .

Нехай , де довільна вичерпна послідовність. Очевидно, що існують скінченні границі

і тоді .

Теорема доведена.

Зауваження 5.5.1. Із доведення теореми 5.5.1 випливає, що в означенні 5.5.2, у випадку інтегровності функції на осі, або проміні, достатньо брати вичерпну послідовність множин .

Размещено на Allbest.ru