Теорія міри та інтеграла Лебега

.

Розглянемо далі вимірних попарно неперетинних множин . Тоді, внаслідок властивості для двох множин і припущення одержимо

.

За принципом математичної індукції, адитивність має місце до будь-якої кількості вимірних попарно неперетинних множин .

Наслідок 1. Якщо і вимірні множини і , то

.

Доведення аналогічно доведенню такої ж властивості міри елементарних множин.

Наслідок 2. Якщо і вимірні множини, то

. (3.4.8)

Доведення. Зобразимо об'єднання множин і у вигляді

Множини і не перетинаються, тому на підставі властивості 6

і наслідку 1, маємо

.

Рівність (3.4.8) у теорії ймовірностей називається теоремою додавання.

Наслідок 3. Якщо і довільні обмежені множини, то

. (3.4.9)

Доведення. В силу властивості точної нижньої межі для кожної з множин і та довільного числа знайдеться скінченна, або зчисленна система елементарних множин така, що

і .

Тоді на підставі наслідку 2

.

Спрямувавши до нуля, одержимо (3.4.9).

7. Обмежено об'єднання зчисленної сім'ї вимірних попарно неперетинних множин є множина вимірна.

Доведення. Нехай . Тоді, в силу адитивності міри і обмеженості множини : . Отже ряд збігається. Тоді для довільного числа знайдеться натуральне число таке, що . Внаслідок властивості 4 зовнішньої міри, одержимо

(3.4.10)

Оскільки множина вимірна, то існує елементарна множина така, що

. (3.4.11)

Тоді з нерівностей (3.4.10 - 3.4.11) і співвідношення

випливає . Одже множина є вимірною.

8. Обмежено об'єднання зчисленної сім'ї вимірних множин є вимірна множина.

Доведення. Нехай і . Множини попарно не перетинаються, вимірні і, як легко перевірити, . Отже, внаслідок попередньої властивості, вимірна множина.

Наслідок 4. Якщо виконуються умови властивості 8, то



.

Доведення. .

9. Перетин зчисленної сім'ї вимірних множин є множина вимірна.

Доведення. Нехай і інтервал . Тоді і, внаслідок властивості 6, множина вимірна, одже множина є вимірною.

10. Міра обмеженого об'єднання зчисленної сім'ї вимірних попарно неперетинних множин множин дорівнює сумі мір.

Доведення. Нехай . Тоді з одного боку, в силу властивості зовнішньої міри,

,

а з іншого

Отже

.



11. Нехай вимірні множини такі, що Тоді

.

Доведення. Внаслідок монотонності послідовності множин, множини попарно неперетинні і виконується рівність

.

Використовуючи попередню властивість і наслідок з властивості 6, одержимо

.

12. Нехай вимірні множини такі, що Тоді

.

Доведення. Внаслідок монотонності послідовності множин , множини задовольняють умову попередньої властивості. Отже



.

Внаслідок співвідношень двоїстості одержимо

.

13. Нехай множини такі, що Тоді

. (3.4.12)

Доведення. Внаслідок обмеженості і монотонності послідовності множин і монотонності зовнішньої міри існує і

. (3.4.13)

Щоб довести протилежну нерівність, для кожної множини і довільного числа знайдемо скінченну, або зчисленну систему елементарних множин таких, що і . Нехай . Очевидно, що і . Використовуючи вимірність множин і властивість 11, одержимо



.

Завдяки довільності числа , маємо

,

Що разом з (3.4.13) дає рівність (3.4.12).

Захід, за допомогою якого визначена міра Лебега на множинах, більш загальних за елементарні множина, називається продовженням міри за Лебегом.

3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини

Означення 3.5.1 Різниця називається внутрішньою мірою множини і позначається символом .

Нехайідовільні обмежені неперетинні множини і . Застосуємо нерівність (3.4.9) до множин

. (3.5.1)

Використавши рівність , віднімемо ліву і праву частини нерівністі (3.5.1) від числа . Тоді

(3.5.2)

На підставі означення 3.5.1 нерівність (3.5.2) можливо записати як

, (3.5.3)

де ідовільні обмежені неперетинні множини.

По індукції нерівність (3.5.3) поширюється на випадок скінченної системи обмежених неперетинних множин, а потім, внаслідок монотонності внутрішньої міри і на випадок зчисленної системи неперетинних множин , об'єднання яких обмежене:

.

Оскільки довільне, то маємо нерівність

(3.5.4)

Теорема 3.5.1. Для того щоб обмежена множина була вимірною, необхідно і достатньо щоб

. (3.5.5)

Доведення. Необхідність. Нехай множина є вимірною. Тоді вимірна множина і

. Отже (3.4.18) виконується.



Достатність. Припустимо тепер, що (3.5.5) має місце. Внаслідок властивості точної нижньої межі для кожної з множин і та довільного числа знайдеться скінченна, або зчисленна система елементарних множин така, що і . Тоді на підставі наслідку 2 і внаслідок того, що

. (3.5.6)

Якщо множина є об'єднання скінченної системи множин , то в якості елементарної множини візьмемо множину , а якщо нескінченної, то виберемо таке , що , і покладемо множину рівною . Тоді або порожня множина, або . Отже , або. Розглянемо різницю . Внаслідок нерівності (3.5.6) . Отже . За означенням вимірної мнжини множина є вимірною.

Теорема доведена.

Приклади вимірних множин і невимірної множини.

1. Будь-яка обмежена відкрита множина вимірна і дорівнює сумі мір складових інтервалів.

Доведення. Якщо відкрита множина є об'єднання скінченної множини складових інтервалів, то елементарна множина і . Нехай . Внаслідок властивості 10 множина є вимірною і .

2. Будь-яка обмежена замкнена множина вимірна і , де найменший сегмент, що містить замкнену множину .

Доведення. Нехай найменший сегмент, що містить замкнену множину . Тоді множина відкрита і отже є вимірною, а тоді, внаслідок властивості 1 вимірних множин, вимірна і (завдяки наслідку із властивості 6) .

3. Будь-яка обмежена не більш ніж зчисленна множина A вимірна і

Доведення. В силу адитивності, якщо множина A скінченна, або адитивності, якщо множина A зчисленна, і тому що міра одно елементної множини дорівнює нулю, маємо .

4. Означення 3.5.2 Необмежена множина називається вимірною, якщо до будь-якого вимірною є множина . Мірою вимірної необмеженої множини називається .

Так як величина не спадає, коли зростає, то границя існує. Якщо вона дорівнює , то .

Приклад. Множини , будь-який промінь з , вимірні. , .

Теорема 3.5.2. Якщо множина є об'єднання зчисленної, або скінченої сім'ї вимірних попарно неперетинних множин , то вимірна і

. (3.5.7)

Доведення. Нехай . Тоді завдяки властивості 7 множина вимірна і в наслідок властивостей 6, або 10

(3.5.8)

З іншого боку для будь-якого натурального числа

Отже

(3.5.9)

Із нерівностей (3.5.8) - (3.5.9) віпливає (3.5.7).

5. Відображення, що визначається функцією фіксоване дійсне число, називається зсувом.

При зсуві будь-який інтервал переходить в інтервал тієї ж довжини. Дійсно, якщо задовольняє нерівність , то . Отже образом інтервала буде інтервал тієї ж довжини. Аналогічно доводиться, що будь-який півінтервал або сегмент перетворюється у півінтервал або сегмент тієї ж довжини. Зсув є взаємно однозначним перетворенням, тому елементарні множини переходять в елементарні тієї ж міри. Отже при зсуві зовнішня міра множин не змінюється, вимірні за Лебегом множини переходять у вимірні тієї ж міри.

Приклад невимірної обмеженої множини.

Два числа будемо називати еквівалентними, якщо їх різниця є раціональне число. Через позначимо множину усіх чисел еквівалентних числу . Очевидно, що якщо числа еквівалентні, то . Різні класи не мають спільних елементів. Дійсно, якщо , то , а тоді . Отже числа еквівалентні і . Розглянемо множину усіх різних класів. Оскільки множина незчисленнна, то використовуючи теорему Цорна, із кожного класу виберемо по точці і множину вибраних точок позначимо через .

Нехай усі раціональні числа сегмента записані у послідовність: . Позначимо через зсув множини на число , тобто , зокрема . Тоді

. (3.5.10)

Дійсно, нехай . Число попаде в клас . Нехай представником цього класу у множині буде число . Тоді різниця і є число раціональне, тобто . Отже число є зсув числа на величину , тобто .

Важливо, що множини і не мають спільних елементів, якщо . Дійсно, нехай . Тоді , де належать множини і, внаслідок означення класу , є представниками різних класів і . Але із зображення числа випливає, що різниця є раціональне число. Отже числа не можуть належати різним класам і . Одержана суперечність спростовує припущення, що множини і мають спільні елементи.

Нехай . Оскільки зсув множини , то . На підставі співвідношення (3.5.7) і властивості зовнішньої міри маємо

.

Отже,

. (3.5.11)

Оскільки , а , то кожна множина і отже . Тоді на підставі властивості внутрішньої міри дістаємо

.

Звідки випливає, що

. (3.5.12)

Із (3.5.11) (3.5.12) випливає невимірність множини .

Зауваження 1. Якщо у приведеної побудові невимірної множини замість сегмента взяти довільну вимірну за Лебегом множину , додатної міри, то тиж самі міркування позволили би одержати невимірну множину .



3.6 Поняття півкільця, кільця, -алгебри

Означення 3.6.1. Система множин називається півкільцем, якщо вона містить порожню множину, перетин будь яких множин з , а також, якщо , , то знайдуться попарно неперетинні множини такі, що

. (3.6.1)

Означення 3.6.2. Непорожня система множин називається кільцем, якщо вона разом з будь-якими множинами містить їх об'єднання, перетин і різницю.

Будь-яке кільце є півкільцем. Дійсно, так як не порожня множина, то існує , отже , і очевидно виконується умова (3.6.1): достатньо взяти .

Множина системи множин називається одиницею системи , якщо до будь-якої множини з цієї системи

Приклади.

1. Нехай довільна множина, система множин є кільце.

2. Нехай довільна множина, система усіх підмножин множини є кільце.

3. У прикладах 1,2 множина є одиницею кільця.

4. Множина усіх відрізків є півкільце. Дійсно порожня множина є інтервал , перетин двох відрізків є відрізок і різниця двох відрізків є або відрізок або сума двох відрізків. Проте множина усіх відрізків не буде кільцем тому, що сума двох неперетинних відрізків не є відрізком.

5. Множина усіх елементарних множин із буде кільце. Це випливає з властивостей 1 - 4 елементарних множин. Одиниці немає, оскільки немає елементарної множини, що містить усі інші елементарні множини.

6. Множина усіх елементарних множин, що містяться у деякому сегменті , є кільце. Сегмент є одиниця кільця.

7. Множина усіх вимірних за Лебегом множин із буде кільце. Це випливає з властивостей 1 - 4 вимірних множин. Одиниця кільця є множина .

8. Множина усіх обмежених і вимірних за Лебегом множин із буде кільце без одиниці тому, що необмежена множина.

Означення 3.6.3. Кільце називається -кільцем, якщо разом з послідовністю містить їх об'єднання .

Означення 3.6.4. -кільце з одиницею називається -алгеброю.

Теорема 3.6.1. -алгебра разом з послідовністю містить їх перетин .

Доведення. Нехай одиниця -алгебри і довільна послідовність множин із . Внаслідок співвідношень двоїстості . Оскільки є -алгеброю, то права частина належить , отже і належить .

Завдяки цієї теореми -алгебру ще називають -алгеброю.

Зауваження 2. Внаслідок означення 3.6.4 і завдяки властивості 8 вимірних множин, множина усіх вимірних за Лебегом множин, що містяться у деякому інтервалі , буде -алгеброю, одиниця якої є інтервал .

Означення 3.6.5. Нехай довільна система множин. Мінімальною (або найменшою) -алгеброю, що містить систему множин , називається перетин усіх -алгебр, що містять систему множин .

Мінімальна -алгебра існує. Нехай і (X) -алгебра усіх підмножин множини X. Перетин усіх -алгебр, що містяться у (X) і містять систему множин, і буде мінімальною -алгеброю.

Означення 3.6.6. Мінімальна -алгеброю, що містить систему усіх інтервалів, називається борельовою, а множини, що належать борельовою -алгебри, називається борельовами множинами.

Означення 3.6.7. Борельовами множинами відносно множини називається перетин , де довільна множина.

Зауваження 3. Із зауваження 1 і означення відносно борельових множин випливає, що -алгебра борельових відносно деякому інтервала , буде частиною -алгебри усіх вимірних за Лебегом множин, що містяться у інтервалі .

Зауваження 4. Так як -алгебра усіх вимірних за Лебегом множин містить усі інтервали, то із означення -алгебри борельових множин, як мінімальної -алгебри, що містить усі інтервали, випливає, що кожна борельова множина вимірна за Лебегом. Більш того потужність множини усіх борельових множин є континуум, а потужність множини усіх вимірних за Лебегом множин більша за континуум.

3.7 Поняття вимірної множини в

Означення 3.7.1. Паралелепіпедом в просторі будемо називати множину точок , координати яких задовольняють умови:

Ґ T , де символи Ґ, T незалежно один від одного приймають значення < або , і .

Зокрема умови , визначають звичайний паралелепіпед, а умови , відкритий паралелепіпед.

Очевидно, що перетин паралелепіпедів є паралелепіпед, умова , визначає порожню множину, різницю двох паралелепіпедів можливо зобразити як об'єднання скінченної множини неперетинних паралелепіпедів, отже множина усіх паралелепіпедів є півкільце.

Означення 3.7.2. Елементарними множинами в будемо називати будь-ялі скінченні об'єднання попарно неперетинних паралелепіпедів. Зокрема, будь-який паралелепіпед - елементарна множина.

Отже будь-яка елементарна множина має вигляд , де може бути довільним натуральним числом і паралелепіпеди попарно не перетинаються.

Означення 3.7.3. Мірою будь якого паралелепіпеду називається його об'єм. Позначається міра символом .

Тобто незалежно від того, чи буде паралелепіпеду замкнутим, або відкритим, або не містить деякі свої грані . Зокрема, міра паралелепіпеду меншої вимірності і міра порожньої множини дорівнює нулю.

Означення 3.7.4. Мірою будь якої елементарної множини називається сума об'ємів паралелепіпедів , тобто .

Властивості міри елементарних множин такі, як і в одномірному випадку. Тому і продовження міри за Лебегом здійснюється аналогічно.

В загалі, якщо визначена міра на деякому півкільці , розглядається кільце усіх скінченних об'єднаннь , де і продовжується міра спочатку на кільце , а потім і на більш широке кільце вимірних множин.

Узагальнення поняття вимірності в

Нехай деяка неспадаюча неперервна зліва функція, що задана на сегменті . Покладемо , , , . Маючи міру на будь-якому відрізку, визначимо спочатку міру до будь-якої елементарної множини , а потім користуючись її адитивністю продовжимо за Лебегом на більш широку -алгебру вимірних множин. Цю міру називають мірою Лебега-Стільтьєса і позначають символом . У випадку, коли , вона збігається з мірою Лебега.

Можливі наступні три випадки.

1. Дискретна міра. В цьому випадку функція кусково-стала. Тобто існує скінченна множина точок таких, що . Міра будь-якого відрізку дорівнює . Можливо розглянути функцію , що має зчисленну множину точок розриву.

2. Абсолютно неперервна міра. Вона визначається функцією такою, що , якщо міра Лебега множини дорівнює нулю. Ця міра визначається так званими абсолютно неперервними функціями, які будемо розглядати пізніше.

3. Сингулярна міра. В цьому випадку міра будь-якої скінченної множини дорівнює нулю, проте існує множина така, що міра Лебега множини дорівнює нулю а .

Приведемо приклад такої міри. Розглянемо інтервали , що є складовими інтервалами канторової відкритої множини . Відомо, що , де , . Будь-яка точка канторової замкнутої множини має вигляд , де . Значок означає, що подано у трійковий системи числення. Для будь-якого визначимо , де значок означає, що цій дріб подано у двійковий системи числення. У лівому кінці інтервалуфункціяприймає значення: , а у правому теж саме значення: . Визначимо функцію на кожному інтервалі рівною спільному значенню її на кінцях інтервалу. Властивості функції .

1.

2. Функція не спадає на сегменті . Дійсно, якщо , то , де довільне натуральне число. Отже, .

3. Функція неперервна на сегменті . Припустимо, що це так. Тоді знайдеться точка така, що . Тоді, внаслідок того, що функція не спадає, будь-яке число функціяне приймає. Запишемо його у двійковий системі числення: . Тоді функція у точці , де приймає значення . Одержана суперечність спростовує припущення.

Покажемо, що функція породжує сингулярну міру. Перш за все, в силу неперервності у кожній точки , . Отже, завдяки адитивності міри , міра будь-якої скінченної або зчисленної множини дорівнює нулю. Очевидно також, що , а = 0 тому, що , бо функція на кінцях кожного інтервалу приймає рівні значення. Нагадаємо, що звичайна міра Лебега .

Функція називається канторової сингулярною функцією. Пізніше цю функцію будемо розглядати у зв'язку з іншими задачами.

Зауважимо, що в загальному випадку міра може визначатися як сума розглянутих мір.

3.8 Загальне поняття міри

Нехай (X) деяка -алгебра підмножин множини X. Дійсна функція множини називається мірою, якщо вона визначена на (X), приймає невід'ємні значення і -адитивна, тобто

1. (X).

2. .

3.

до будь-якої скінченної або зчисленної системи попарно неперетинних множин (X).

Пара (X, (X)) називається вимірним простором, а трійка (X, (X),), де міра визначена на -алгебрі (X), називається простором з мірою. Зокрема, якщо міра нормована умовою , то трійка (X, (X),) називається ймовірносним простором, а елементи -алгебри (X) подіями.



ГЛАВА IV. ВИМІРНІ ЗА ЛЕБЕГОМ ФУНКЦІЇ

4.1 Означення вимірної функції

Означення 4.1.1 Функцією заданою на множені називається правило або закон по якому кожному елементу поставлено у відповідність число .

Це відоме означення функції. Доповнимо його - будемо надалі вважати, що функція може приймати і нескінченні значення і . Це можливо мотивувати наступним прикладом. Нехай частинні суми функціонального ряду в точці прямують до , якщо . Логічно визначити, що сума цього ряду в точці дорівнює , тобто .

При цьому правила дії над цими «невласними» числами і звичайними числами визначаються так, щоб операція суми і добутку були комутативні і асоціативні. При цьому сума і різниця нескінченнності і звичайного числа дорівнює нескінченності того же знаку, добуток нескінченності на число, що не дорівнює нулю, а також добуток нескінченності на нескінченність, дорівнює нескінченності, знак якої визначається як і до добутку чисел, добуток нескінченності на нуль є нуль. Частка довільного числа і нескінченності є нуль. Сума нескінченностей одного знаку дорівнює нескінченності того же знаку. Різниця нескінченностей різних знаків є нескінченність зі знаком зменшуваного.

Не мають сенсу сума нескінченностей різних знаків, різниця нескінченностей одного знаку, частка нескінченностей.

Надалі вважаємо, що функція задана на вимірній множині , що належить деякій -алгебри вимірних множин, можливо, ради простоти можливо уважати, що вимірна за Лебегом обмежена підмножина . При цьому будемо уважати, що якщо на -алгебри введена міра, то вона задовольняє наступну вимогу: будь-яка підмножина множини , міра якої дрівнює нулю, є вимірною і міра її теж нуль. Множини вимірні за Лебегом задовольняють цю вимогу.

Введемо позначення: , де довільне дійсне число. Аналогічно визначаються множини ,

і .

Означення 4.1.2. Функція , що задана на вимірній множені називається вимірною, якщо для будь-якого вимірна множина .

Теорема 4.1.1 (Критерій вимірності). Для того щоб функція була вимірною необхідно і достатньо щоб для будь-якого вимірними були множини , , .

Доведення. Нехай функція вимірна. Зобразимо множину у вигляді

.

Дійсно, якщо , то для будь-якого : і слід елемент належить провій частині. Навпаки, якщо елемент належить провій частині, то . Спрямувавши в , одержимо , отже елемент належить лівій частині. Оскільки множини вимірні, то і множина вимірна.

Вимірність множин , випливає із рівностей:

, .

Нехай для будь-якого вимірна множина . Множину можливо зобразити у вигляді

.

Дійсно, якщо , то знайдеться натуральне число таке, що і отже елемент належить провій частині. Навпаки, якщо елемент належить провій частині, то знайдеться натуральне число таке, що . А тоді і отже елемент належить лівій частині. Оскільки множини вимірні, то і множина вимірна.

Нехай для будь-якого вимірна множина . Тоді вимірне доповнення до множини , тобто вимірна множина . Якщо вимірна для будь-якого множина , то вимірне доповнення цієї множини до множини , тобто вимірна множина .

Теорема доведена.

Приклади вимірних функцій

1. Функція вимірна.

Дійсно

2. Функція називається простою, якщо множину можливо зобразити у вигляді об'єднання скінченної або зчисленної множини вимірних попарно неперетинних множин таких, що.

Будь-яка проста функція вимірна. Це випливає із вимірності функції на кожній множині і з рівності .

3. Функція , що визначена і неперервна на сегменті , є вимірною. В даному прикладі .

Покажемо, що множина замкнена для будь-якого . Нехай гранична точка множини . Тоді існує послідовність така, що коли. Спрямувавши до нескінченності, з нерівності і неперервності функції , одержимо . Отже множина замкнена і тому є вимірною. Завдяки критерію вимірності функція є вимірною.

Загальні властивості вимірних функцій

1. Будь- яка функція, що визначена на множині міри нуль, вимірна.

Дійсно, в цьому випадку множина для будь-якого є підмножиною множини міри нуль, отже і сама є множиною міри нуль.

2. Якщо функція вимірна на множині , то функція вимірна.

Для будь-якого розглянемо множину

Оскільки множина розв'язків нерівностей збігається з перетином і отже вимірна, тому вимірна.

Зауваження. Якщо функція вимірна на множині , то функція може бути невимірною на множині , якщо .

Дійсно, якщо , то існує невимірна підмножина множини . Розглянемо функцію

Очевидно, що , отже вимірна. Проте , отже невимірна.

3. Якщо функція вимірна на множині , то функція вимірна.

Для будь-якого множина

Множина розв'язків нерівностей збігається з перетином і отже вимірна, тому функція вимірна.

4. Нехай множина є об'єднання скінченної або зчисленної множини вимірних множин , на яких функція вимірна. Тоді функція вимірна на множині . Ця властивість випливає з наступної рівності.

.

5. Якщо функції і вимірні на множині , то множина вимірна.

Доведення. Нехай множина усіх раціональних чисел. Доведемо рівність

.

Нехай , тобто . Існує раціональне число таке, що , отже елемент належить доданку правої частини з номером . Якщо елемент належить деякому доданку правої частини з номером , то виконуються нерівності , отже . Оскільки кожна множина вимірна, то об'єднання цих множин вимірне, отже множина вимірна.

Властивості вимірних функцій пов'язані з алгебраїчними операціями

6. Якщо функція вимірна на множині , то для будь-якої константи функція вимірна.

Властивість випливає з рівності .

7. Якщо функція вимірна на множині , то для будь-якої константи функція вимірна.

Якщо =0, і отже вимірна. Нехай . В цьому випадку вимірність добутку випливає з рівності:

8. Якщо функції і вимірні на множині , то сума і різниця цих функцій вимірні.

Вимірність суми випливає з властивостей 46 і рівності

.

9. Якщо функції і вимірні на множині , то добуток вимірна функція. теорема алгебра множина лебег

Ця властивість випливає з властивостей 2, 6, 7 і рівності

.

10. Якщо функції вимірна на множині і на множені , то функція вимірна.

Властивість випливає з рівності

11. Якщо функції і вимірні на множині і на множені , то частка вимірна функція.

Випливає з властивостей 10 і 9.

Граничний перехід у класі вимірних функцій

Теорема 4.1.2 Границя послідовності вимірних функцій , що збігається у кожній точки множина , вимірна.

Доведення. Для будь-яких натуральних чисел , і довільного числа розглянемо вимірну множину . Теорема буде доведена, якщо одержимо рівність

.

Нехай елемент , тобто . Знайдемо натуральне число таке, що , а потім, використовуючи властивості границі, знайдемо таке натуральне число , починаючи з якого . Тоді елемент і отже належить правої частини. Навпаки, якщо елемент , то знайдуться натуральні числа і такі, що , тобто до усіх . Переходячи в останній нерівності до границі, коли , дістанемо

і отже . Рівність множин установлена і теорема доведена.

Означення 4.1.3. Деяка обставина (твердження, властивість, умова) має місце майже скрізь на множині , якщо вона має місце для усіх елементів множини , окрім елементів підмножини , міра якої дорівнює нулю.

Означення 4.1.4. Функції і , задані і вимірні на множині , називаються еквівалентними, якщо вони майже скрізь збігаються на множені , тобто .

Еквівалентність функцій і будемо позначати символом .

Означення 4.1.5. Функція називається майже скрізь скінченною, якщо .

Означення 4.1.6. Послідовність вимірних на множині функцій збігається майже скрізь до функції , якщо вона збігається у всіх точках множини , крім точок підмножини , міра якої дорівнює нулю.

Теорема 4.1.3 (Узагальнення теореми 4.1.2) Якщо послідовність майже скрізь скінченних вимірних функцій збігається майже скрізь на множині до майже скрізь скінченної функції , то вимірна.

Доведення. Нехай підмножина тих елементів множини , де функції і приймають нескінченні значення і послідовність функцій не збігається до . За умовою теореми підмножина має міру нудь, отже на підставі властивості 1, вимірна на . У кожній точки вимірній множині послідовність скінченних вимірних функцій збігається до скінченної функції , отже є вимірною і на множені . Завдяки властивості 4 функція вимірна на .

Означення 4.1.7. Послідовність вимірних на множині функцій збігається за мірою до функції , якщо для будь-якого міра множини прямує до нуля, коли . При цьому у множину включаються і ті елементи, у яких і приймають нескінченні значення.

Теорема 4.1.4 (Теорема Лебега). Якщо послідовність майже скрізь скінченних вимірних функцій збігається майже скрізь на множині до майже скрізь скінченної функції , то збігається на множині до за мірою.

Доведення. Нехай підмножина тих елементів множини , де функції і приймають нескінченні значення і послідовність функцій не збігається до . За умовою теореми підмножина має міру нудь. Визначимо наступні множини

і .

Множин вимірні, . Тому, на підставі властивості 12 вимірних множин, . Покажемо, що . Нехай елемент . Тоді в точці послідовність збігається до , отже для будь-якого знайдеться число таке, що для усіх має місце нерівність

.

Отже елемент не належить множині , і тим паче перетину . Оскільки , то і . Тому , коли , але першим доданком об'єднання, що визначає , є множина , отже , коли .

Теорема доведена.

Теорема 4.1.5 Існують послідовності вимірних функцій , що збігається за мірою до , але не збігається ні в одній точки до жодної функції.

Доведення. До кожного натурального розіб'ємо півінтервал на неперетинних півінтервалів і визначимо групу з функцій:

Функції прості і тому вимірні на півінтервалі . Запишемо функції в рядок так, щоб функції з більшим верхнім індексом (з однієї групи) слідували за функцією з меншим індексом. Цю послідовність позначимо символом . Очевидно, що , де Послідовність функцій збігається за мірою до . Дійсно, для будь-якого

.

Нехай довільна точка з півінтервалу . До кожного натурального знайдеться індекс такий, що . Тоді , а всі інші функції з цієї групи в точці приймають значення нуль. Тому послідовність функцій не збігається ні в одній точці з півінтервалу .

Теорема 4.1.6 (Теорема Рісса). Якщо послідовність вимірних функцій збігається за мірою на множині до , то із неї можливо вилучити підпослідовність , що збігається майже скрізь на множині до .

Доведення. Нехай монотонна послідовність невід'ємних чисел прямує до нуля, а послідовність невід'ємних чисел така, що ряд збігається. Знайдемо натуральне число таке, що

.

Це можливо тому, що прямує до нуля, коли . За тією ж причиною знайдеться натуральне число таке, що і

.

Припустимо, що визначені числа . Знайдемо натуральне число таке, що і

.

Покажемо, що підпослідовність шукана. Для цього визначимо наступні множини

і .



Множин вимірні, . Тому, на підставі властивості 12 вимірних множин, . Завдяки вибору послідовності чисел

і оскільки ряд збігається, то , отже . Тепер доведемо, що у кожній точці множини послідовність збігається до . Нехай , тоді і отже знайдеться натуральне число таке, що , тобто для усіх елемент . Отже

для усіх .

Оскільки прямує до нуля, то збігається до .

Теорема доведена.

Теорема 4.1.7 (Теорема Єгорова). Якщо послідовність майже скрізь скінченних вимірних функцій збігається майже скрізь на множині до майже скрізь скінченної функції , то для будь-якого існує вимірна множина така, що

1) .

2) На множині послідовність функцій збігається рівномірно до функції .

Доведення. Нехай . При доведенні теореми Лебега було установлено, що для будь-якого : , коли .

Нехай монотонна послідовність невід'ємних чисел прямує до нуля, а послідовність невід'ємних чисел така, що ряд збігається. Для кожного натурального числа знайдемо натуральне число таке, що

.

Для будь-якого знайдемо натуральне число таке, що і покладемо . На підставі наслідку 5 із властивості 8 вимірних множин

,

отже . Візьмемо довільне додатне число і знайдемо таке натуральне число , що і . Це можливо тому, що , коли . Нехай , тоді і отже . Внаслідок означення множини для усіх буде виконуватися нерівність

.



Оскільки число не залежить від , то на множині послідовність функцій збігається рівномірно до функції .

Теорема доведена.



ГЛАВА V. ІНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

5.1 Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості

Нехай є простою функцією, визначеною на вимірній множині , тобто існує зображення множини у вигляді об'єднання не більш ніж зчисленної множини попарно неперетинних вимірних множин таких, що , якщо . Таке зображення множини називається розбиттям.

Означення 5.1.1. Якщо множин скінченна кількість, то називається інтегровною за Лебегом на множені , а інтеграл Лебега буде сума . Інтеграл позначається символом , тобто

=.

Якщо проста функція приймає нескінченну множину значень, то вона називається інтегровною за Лебегом на множені , якщо збігається ряд і в цьому випадку інтеграл Лебега є сума ряду :

=.

Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом

1. Функція інтегровна за Лебегом і .

2. Функція Діріхле, яка визначена на сегменті рівністю



інтегровна за Лебегом на сегменті і .

Зауваження 5.1.1. Цей приклад показує перевагу інтеграла Лебега в порівнянні з інтегралом Рімана, тому, що, як відомо функція Діріхле не інтегровна за Ріманом.

Властивості інтеграла Лебега від простих функцій

1. Проста функція, що задана на множині міри нуль, інтегровна за Лебегом і

.

Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Так як , то для будь-якого : і тоді

.

Отже, функція інтегровна за Лебегом на множині і

=.

2. Якщо проста функція обмежена, тобто , то вона інтегровна за Лебегом і



.

Доведення. Обмеженість простої функції означає, що , де значення функції . Тоді . Отже функція інтегровна за Лебегом і

.

Зауваження 5.1.2. Ця властивість теж підкреслює перевагу інтеграла Лебега в порівнянні з інтегралом Рімана, тому, що, як відомо є обмежені функції (наприклад, функція Діріхле) які не інтегровні за Ріманом.

3. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, і , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, . Тоді

(5.1.1)

і якщо суми в (5.1.1) скінченні, то

, (5.1.2)

тобто існування інтеграла і сам інтеграл не залежить від того, як зображена проста функція.

Доведення. Кожну множинуі кожну множинуможливо зобразити у вигляді , . Окрім того, , якщо . Отже

. (5.1.3)

Суму зліва, використовуючи адитивність міри, можливо зобразити у вигляді:

.

Аналогічно, суму справа в (5.1.3) зобразимо у вигляді:

.

З (5.1.3) і одержаних рівностей випливає (5.1.1). Якщо суми в (5.1.1) скінченні, то з аналогічних міркувань випливає рівність (5.1.2) і

= .

4. Якщо проста функція інтегровна за Лебегом на множині , то вона інтегровна за Лебегом на будь-якій вимірній підмножині .

Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Тоді , якщо і . Так як , то

.

Отже інтегровна за Лебегом на множині .

5. Якщо проста функція інтегровна за Лебегом на множині , то для будь-якого числа інтегровна за Лебегом функція і

.

Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Тоді , якщо і

.

Отже функція інтегровна за Лебегом на множині і

.

6. Якщо прості функції і інтегровні за Лебегом на множині , то сума + інтегровна за Лебегом і

.

Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, і , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, . Тоді +, якщо , і

Отже функція + інтегровна за Лебегом на множині і

.

Зауваження 5.1.3. Поняття простої на множині A функції пов'язано з розбиттям множини A на не більш ніж зчисленну суму вимірних множин. З доведення попередньої властивості випливає, що якщо і прості функції задані на множині A, то можливо уважати, що розбиття множини A для функцій і одне і теж. Цим зауваженням далі будемо користуватись.

7. Якщо для простих інтегровних за Лебегом на множині функцій і виконується нерівність , то

.



Доведення. Нехай , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, і , якщо , а , якщо . З умови випливає нерівність , і тоді

.

Ця властивість називається монотонністю інтеграла.

8. Якщо для простих на множині функцій і виконується нерівність , і функція інтегровна за Лебегом на множині , то функція інтегровна за Лебегом і

.

Доведення. Нехай , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість, і , якщо , а , якщо . З умови випливає нерівність , і

.

Отже функція інтегровна за Лебегом і

.



Наслідок 5.1.1. Нехай є простою функцією на множині , Для того щоб функція була інтегровна за Лебегом на множині , необхідно і досить, щоб була інтегровна функція .

Дійсно, якщо інтегровна за Лебегом на множині , то інтегровність функції випливає з означення інтегровності простої функції. Обернено твердження випливає з попередньої властивості - достатньо взяти .

Зауваження 5.1.4. Відомо, що якщо функція інтегровна за Ріманом, то функція може не бути інтегровною за Ріманом. Отже наслідок 5.1 показує перевагу інтеграла Лебега в порівнянні з інтегралом Рімана.

9. Якщо для простих на множині функцій і виконується нерівність , де деяке дійсне число, і функція інтегровна за Лебегом на множині , то функція інтегровна за Лебегом.

Доведення. З умови випливає нерівність

і отже нерівність

.

Використовуючи останню нерівність, наслідок 5.1, приклад 1, властивості 6 і 8 інтеграла одержимо властивість 9.

10. Адитивність інтеграла Лебега. Нехай проста функція інтегровна за Лебегом на множені і деяке розбиття множини на скінченну або зчисленну множину вимірних множин . Тоді

(5.1.4)

і, якщо справа маємо ряд, то він збігається абсолютно.

Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Тоді, в силу властивості 6, функція інтегровна за Лебегом на кожній множені і

(5.1.5)

Так як проста функція інтегровна за Лебегом на множені , то ряд справа збігається, отже абсолютно збігається ряд .

Рівність (5.1.4) випливає з (5.1.5), якщо в (5.1.5) усюди убрати знак модуля.

11. Нехай деяке розбиття множини на скінченну або зчисленну множину вимірних множин і проста функція інтегровна за Лебегом на кожній множені . Якщо збігається ряд

, (5.1.6)

то функція інтегровна за Лебегом на множені .

Доведення. Нехай , якщо , де множини попарно неперетинні, вимірні, їх не більш ніж зчисленна кількість і . Тоді

і, оскільки , то використовуючи збіжність ряду (5.1.6) одержимо

.

Отже, функція інтегровна за Лебегом на множені .

Теорема 5.1.1. (Критерій вимірності функції в термінах простих функцій). Для того щоб скінченна на множені функція була вимірною необхідно і достатньо, щоб існувала послідовність простих функцій , що рівномірно збігається на множені до функції .

Доведення. Достатність випливає з теореми 4.1.2 про граничний перехід у класі вимірних функцій. Доведемо необхідність. Для будь-якого натурального розглянемо множини

Оскільки функція вимірна, то множини вимірні і здійснюють розбиття множини . Покладемо , якщо . Функції прості. Оцінимо різницю . Нехай , тоді знайдеться ціле число таке, що і

.

Отже, послідовність простих функцій рівномірно збігається на множені до функції .

Теорема доведена.

5.2 Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку

Означення 5.2.1. Вимірна і скінчена на множені функція називається інтегровною за Лебегом, якщо існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції .

Означення 5.2.2. Якщо функція інтегровна за Лебегом на множені , то

.

Теорема 5.2.1. (Коректність означення інтеграла). Якщо послідовність простих інтегровних функцій рівномірно збігається на множені до функції , то існує . Ця границя не залежить від послідовності .

Доведення. Для будь-якого довільного числа знайдемо натуральне число таке, що для усіх виконується нерівність

.

На підставі властивості 3 інтеграла від простої функції маємо:

.

Отже послідовність інтегралів задовольняє умову Коші, тому існує скінченна границя.

Нехай послідовність простих інтегровних функцій рівномірно збігається на множені до функції і також послідовність простих інтегровних функцій рівномірно збігається на множені до функції . Тоді послідовність функцій теж рівномірно збігається на множені до функції і в силу доведеного послідовність інтегралів має скінченну границю. На підставі властивості границі числових послідовностей підпослідовності з парними номерами і з непарними номерами мають ту саму границю.

Теорему доведено.

Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку

1. Довільна скінченна функція на множині міри нуль інтегровна і .

Доведення. На підставі теореми 5.1.1 існує послідовність простих функцій , що рівномірно збігається на множені до функції . Так як інтеграли від простих функцій по множені міри нуль рівні нулю, то, в силу означення 5.2.2, .

2. Довільна вимірна і обмежена на множині функція інтегровна і , якщо .

Доведення. На підставі теореми 5.1.1 існує послідовність простих функцій , що рівномірно збігається на множені до функції , тобто . Із нерівності випливає інтегровність простих функцій (тому функція інтегровна) і оцінка:

.

3. Якщо скінчена функція інтегровна за Лебегом на множині , то вона інтегровна на будь-якій вимірній підмножині .

Доведення. За означенням 5.2.1 існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції . Але тоді ця послідовність функцій рівномірно збігається і на підмножині до функції і функції інтегровні на підмножині . Отже функція інтегровна за Лебегом на .

4. Якщо скінчена функція інтегровна за Лебегом на множині , то для будь-якого числа інтегровна за Лебегом функція і

.

Доведення. За означенням 5.2.1 існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції . Але тоді послідовність функцій рівномірно збігається і на множині до функції . Отже функція інтегровна за Лебегом на множені і

.



5. Якщо скінчені функції і інтегровані за Лебегом на множині , то сума + інтегровна за Лебегом і

.

Доведення. За означенням 5.2.1 існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції і існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції . Тоді послідовність простих інтегровних функцій рівномірно збігається на множені до функції + і

.

6. Якщо на множині для вимірної функції і інтегровноїі функції виконується нерівність , то функція інтегровна за Лебегом і

. (5.2.1)

Доведення. На підставі теореми 5.1.1 існує послідовність простих функцій , що рівномірно збігається на множені до функції , тобто . Із нерівності випливає

, . (5.2.2)



За означенням 5.2.1 існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції , тобто . Із нерівності випливає

. (5.2.3)

Із нерівностей (5.2.2) (5.2.3) і умови одержимо

.

Отже прості функції інтегровні на множені і

.

Спрямувавши , одержимо (5.2.1).

Наслідок 5.2.1 Для того щоб вимірна функція була інтегровна за Лебегом на множині , необхідно і досить, щоб була інтегровна функція .

Дійсно, якщо функція інтегровна за Лебегом на множині , то існує послідовність простих інтегровних функцій , що рівномірно збігається на множені до функції . Тоді із нерівності

випливає, що послідовність простих інтегровних функцій рівномірно збігається на множені до функції . Отже інтегровна.

Якщо функція інтегровна на множині , то для функцій і виконуються умови властивості 6. Отже функція інтегровна на множині .

7. Адитивність інтеграла Лебега. Нехай функція інтегровна за Лебегом на множені і деяке розбиття множини на скінченну або зчисленну множину вимірних множин . Тоді

(5.2.4)

і, якщо справа маємо ряд, то він збігається абсолютно.

Доведення. На підставі означення інтегровності функції для довільного числа знайдеться проста інтегровна функція така, що . Для функції виконується рівність (5.2.4) (см. властивість 10) і ряд в (5.2.4) збігається абсолютно. Тоді, використовуючи рівність (5.2.4) для функції і властивість 2, одержимо

.

Завдяки довільності одержимо . Абсолютна збіжність ряду (5.2.4) випливає з нерівностей:

.

8. Нехай деяке розбиття множини на скінченну або зчисленну множину вимірних множин і функція інтегровна за Лебегом на кожній множені . Якщо збігається ряд

,

то функція інтегровна за Лебегом на множені .

Доведення. На підставі означення інтегровності функції на кожній множені для довільного числа знайдеться проста інтегровна на кожній множені функція така, що . Тоді

.

На підставі властивості 11 інтеграла від простої функції, функція інтегровна за Лебегом на множені , тоді і функція інтегровна за Лебегом на множені .

9. Абсолютна неперервність інтеграла Лебега. Нехай функція інтегровна за Лебегом на множені . Тоді для довільного числа знайдеться таке, що для довільної вимірної підмножини , міра якої , виконується нерівність

.

Доведення. Розглянемо спочатку випадок обмеженої функції: . Візьмемо довільне і покладемо . На підставі властивості 2 для довільної вимірної підмножини , міра якої , маємо

.

Нехай тепер не обмежена. Визначимо множини , де довільне натуральне число. Внаслідок адитивності інтеграла Лебега

.

Знайдемо натуральне число таке, що , позначимо через і покладемо . Тоді і на підставі властивості 2 і вибору числа , для довільної вимірної підмножини , міра якої , маємо

.

10. Нерівність Чебишева. Для довільної інтегровної на множині функції і довільного числа має місце нерівність

.



Доведення. На підставі адитивності інтеграла Лебега маємо

.

Наслідок 5.2.2. (Наслідок з нерівності Чебишева). Якщо для інтегровної на множині функції має місце рівність

то =0 майже скрізь.

Доведення. Застосуємо нерівність Чебишева для константи , де довільне натуральне число

і зобразимо множину у вигляді

.

Так як кожна множина має міру нуль, то і міра об'єднання дорівнює нулю.

11. Інтеграли Лебега від еквівалентних функцій. Якщо функції і еквівалентні, то

Доведення. Розглянемо різницю інтегралів і використовуємо адитивність інтеграла і рівність нулю інтеграла Лебега по будь-якій множині міри нуль:

Одержана властивість показує, що якщо у скінченної інтегровної функції змінити її значення на множені міри нуль, то вона залишиться інтегровною і значення інтеграла не зміниться. Це означає, що можливо нехтувати значенням скінченної інтегровної функції на множені міри нуль. Узагальнимо поняття інтегралу Лебега на випадок функцій, які можуть приймати нескінченні значення на множені міри нудь, так щоб остання властивість збереглася.

...