Моделирование времени

Размещено на http://www.allbest.ru/

Новое в жизни, науке, технике

Издательство «Знание»

Подписная научно-популярная серия

Математика, кибернетика

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕНИ

3.Д. Усманов

Москва - 1991



СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Представление о времени в древнем мире

Ньютонова модель времени

Время в теории относительности

Многогранность проблемы времени

Непривычное о привычном

Единая модель циклической единицы времени в астрономии

Постулаты наблюдений

Постановка вопроса

Модель собственного времени эволюционного процесса

Натуральные меры времени колебательного процесса

Модель бесконечно малого промежутка собственного времени процесса

Модель собственного времени конечномерного процесса

Пространственно-временные метрики типа Минковского

Алгоритм для вычисления собственного времени процесса

Заключение

Литература



ББК 22.1 У 75

Усманов Зафар Джураевич - доктор физико-математических наук, профессор, академик АН Таджикской ССР, директор математического института АН Таджикской ССР.

Редактор И.Г. ВИРКО

Усманов 3.Д.

Моделирование времени. -- М.: Знание, 1991.-- 48 с. -- (Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика»; №4).

ISBN 5-07-001939-2

В брошюре рассказывается о развитии математических и естественнонаучных представлений о времени. С позиции множественности временных систем особое внимание уделяется определениям и способам вычисления собственного времени произвольного процесса.

В брошюре используются минимальные математические знания, которые делают ее доступной широкому кругу читателей.



Не склонный к глубоким абстрактным построениям читатель, со складом ума скорее "инженерным", чем философским, не должен пугаться, взяв в руки эту брошюру и прочтя ее название - "Моделирование времени". Ибо речь здесь пойдет не столько о Времени, сколько о времени, конкретном понятии, с которым мы все время сталкиваемся, изучая, моделируя и прогнозируя динамические процессы различной природы. Занимаясь этой конкретной деятельностью, мы как-то совершенно не задумываемся (и здесь автор абсолютно прав) над тем, что же все-таки означает эта независимая переменная? Более того, с легкой руки А. Пуанкаре мы предпочитаем характеризовать динамическую систему ее фазовым портретом, в котором время вообще отсутствует. По сути дела, не содержит понятия времени и такая мощная концепция как ляпуновская устойчивость, для которой интересно лишь поведение системы при бесконечном времени. Но в реальном мире ни одна система не может существовать бесконечно, поэтому речь может идти об очень больших временах. Но что, например, для популяции микроорганизмов очень большое время, то для дерева всего лишь миг. Однако и деревья, и микроорганизмы сосуществуют в рамках одной экосистемы, образуя новую систему со своим собственным, характерным временем.

Уже это рассуждение показывает, что реально существует иерархия времен, т.е. существуют различные времена. Но для того, чтобы их сравнивать, нужен некий эталон, который считается (по соглашению, консенсусу, или по некоторой высшей воле, о которой мы тоже принимаем гипотезу, что она существует) неизменным. Любопытно, что эталон нам нужен только тогда, когда мы хотим сравнить поведение систем с различными характерными временами. Известный эксперимент с жизнью человека в пещере доказывает это. Человек, помещенный в пещеру, где нет чередования дня и ночи (астрономические часы), лишенный часов механических или электронных, через некоторое время начинает жить в собственном времени, со своим циклом чередования сна и бодрствования.

Причем эта ритмика различна для разных людей. Другими словами, сам человек со своим окружением образует отдельный микрокосм со своим временем и, строго говоря, если бы он продолжал жить в этих условиях, то, отмечая, например, периоды пробуждения, он создал бы свою историческую хронологию. При подобном существовании у него нет потребности в других часах, поскольку его время одно, и его не надо сравнивать с другим временем.

Но как только мы объединим несколько таких микрокосмов в систему, т.е. заставим их взаимодействовать, то сразу появляется необходимость в сравнении времен, т.е. в некотором эталоне. При жесткой иерархической организации в качестве такого эталона может быть принято собственное время какого-либо одного, верховного микрокосма. Кстати, в истории нам известны деспотические общества, в которых за эталон времени выбиралось собственное время деспота. Однако существовали они недолго - слишком ненадежный был эталон. При более гибкой организации возникали другие эталоны, и чем ближе они были к собственному времени системы, тем более эффективно она функционировала.

Эти примеры показывают, что собственное время системы является ее эмерджентной, т.е. присущей только системе, характеристикой.

С этой точки зрения, объединение человека и природы в единую систему и признание главенства природы с необходимостью приводит к принятию эталона, связанного с собственным временем природных процессов - чередованиями времен года, разливами рек и т.п. Объединение же людей в коллективы потребовало временных согласований периодов сна и бодрствования, для чего естественным было использовать чередование дня и ночи.

Было бы любопытно рассмотреть в рамках этой концепции так называемую "победу человека над темнотой", т.е. искусственное освещение в городах. Очевидно, что появление искусственного освещения сформировало в городах новое время, значительно отличающееся от времени, порождаемого сменой дня и ночи. Интересно, что здесь можно подсчитать в энергетических единицах цену времени.

Вообще говоря, когда начинаешь анализировать концепцию времени как эмерджентного свойства системы, т.е. с позиций истории, то возникает масса интересных вопросов. Например, почему возникла концепция абсолютного времени? Технологическая цивилизация этого периода вполне обходилась без абсолютного времени. По-видимому, монистический взгляд на окружающий мир, как на единую хорошо организованную систему, управляемую Абсолютом, с необходимостью должен был привести к признанию эмер-джентного свойства этой системы - абсолютного времени. Почему, если в концепции абсолютного времени признать существование начала (акта божественного творения), то тогда не может быть других миров? Или если миры множественны, то абсолютное время не имеет начала, т.е. отсутствует акт божественного творения? Все эти вопросы очень интересны, и не только исторически.

Из подобных исторических парадоксов было бы крайне интересно проанализировать с системных позиций возникновение гипотезы шлиссельбуржца Николая Морозова, которую сейчас поддерживают некоторые наши математики. Суть ее состоит в том, что, анализируя хронологию правления римских императоров, он обратил внимание на следующий факт. Между двумя половинами этого списка существует совершенно нереальная для реальных хронологий корреляция. Другими словами, периоды правления императоров из второй половины списка совпадают с периодами правления императором из первой половины. Далее делается вывод, что императоров из второй половины вообще не существовало, они были выдуманы средневековыми хронистами, т.е. история Римской империи вполовину короче, чем это признано. Из этого примера видно, как чисто временная проблема может породить совершенно другой (мы не говорим, правильный или неправильный) взгляд на историю. Если предположить, что мы знаем только собственное время системы "Римская империя", то выхода из этого парадокса нет.

Вернемся, однако, к нашей брошюре. Мы попытались показать, что каждая система характеризуется собственным временем, что это время является эмерджентной характеристикой системы. Отсюда следует правдоподобная гипотеза: если нам удалось найти эту характеристику, то ее использование значительно повышает эффективность описания динамических свойств (и поведения) этой системы, что может проявляться, например, в значительном сокращении ее описания (без потери информации) или в значительном улучшении предсказательных свойств этого описания.

Заметим, кстати, что в математике мы достаточно часто используем различные масштабные преобразования времени для эффективного решения динамических задач. Все эти разделения процессов на "быстрые" и "медленные" (в этом случае говорят даже о "быстром" и "медленном" временах), различные асимптотические методы используют идею о существовании собственного времени системы (правда, здесь мы не особенно задумываемся о смысле этой процедуры). Иногда для "удобства" объявляют в качестве времени любую монотонно возрастающую функцию, что позволяет эффективно найти решение. А может быть> именно эта функция и есть собственное время системы? Вернемся к идее разделения времени на "быстрое" и "медленнное". По сути дела, это есть не что иное как декомпозиция исходной системы (достаточно сложной) на две сравнительно простые подсистемы. Для исходной системы мы не знаем собственного времени, но мы можем найти собственные времена для подсистем и, самое главное, мы знаем, что эти времена связаны между собой неким иерархическим отношением. Объединяя таким образом собственные времена подсистем, мы конструируем собственное время всей системы (точнее, величину, близкую к нему), тем самым находя приближенное решение всей задачи.

Автор предлагает свое решение проблемы нахождения собственного времени, основываясь на физических аналогиях, здравом смысле и т.п. Можно спорить с его подходом, можно принять его сразу и затем опробовать этот подход в своих конкретных задачах, можно поступить по-разному. Но в любом случае будет интересно эту небольшую книгу прочесть.

Ю.М. Свирежев, профессор



ВВЕДЕНИЕ

Вероятно, каждому математику, занятому моделированием разнообразных динамических процессов, и в особенности, применением полученных результатов к решению конкретных практических задач, приходилось испытывать разочарование в связи с тем, что построенные им те или иные модели недостаточно точно, как ему хотелось бы, прогнозируют протекание процесса. В применениях статистических методов к анализу динамических рядов подобные ситуации встречаются сплошь и рядом. Они уже давно воспринимаются исследователями как вполне нормальное, само собой разумеющееся явление. Действительно, получив экспериментальные данные и описав их подходящей теоретической кривой, мы распространяем ее закономерности за пределы промежутка наблюдений. Прогноз на малую глубину в будущее, как правило, оказывается удовлетворительным, и это в значительной мере предопределяется непрерывностью теоретической кривой и самого процесса. Прогноз на значительную глубину в подавляющем большинстве случаев становится неприемлемым, поскольку теоретическая кривая существенно отклоняется от экспериментальных данных.

Пытаясь спасти положение в рамках статистических методов, мы вновь возвращаемся к исходному материалу, отбрасываем подозрительные точки, применяем другие интерполяционные формулы, разрабатываем новые и получаем еще одну теоретическую кривую для того, чтобы оценить ее прогнозирующие свойства. И если вновь и вновь мы не достигаем желаемых результатов, то делаем заключение, что статистика всего лишь первое приближение к выявлению закономерностей протекания процесса.

На следующем этапе мы изучаем природу самого процесса и воссоздаем его портрет в виде динамической модели. Интересуясь в первую очередь ее прогностическими способностями, мы обнаруживаем, как правило, уже знакомую картину: качество прогноза зависит от глубины прогнозирования. Выходит, что мы не очень далеко продвинулись в сравнении с возможностями статистических методов. И этому, в определенном смысле, можно найти подходящее объяснение. В самом деле, любая динамическая модель в принципе разрешима относительно искомой переменной таким образом, что последняя представляется в виде явной функции от времени. Поскольку сама модель идентифицируется на конкретном интервале наблюдения, то извлекаемое из нее решение имеет силу, прежде всего, на том же интервале и является не чем иным, как теоретической кривой, предназначенной для получения наилучшего приближения к экспериментальному материалу. Следовательно, нет особых оснований к тому, чтобы признать уникальными прогностические свойства такого решения. И это подтверждается многочисленными примерами, в которых методы моделирования наряду со статистическими методами не дают желаемых результатов.

Как же в таких случаях поступать? Где искать дополнительные ресурсы? Ведь в науке имеется достаточное число математических моделей, с помощью которых вполне удовлетворительное прогнозирование осуществляется и на короткие и на длительные интервалы времени. Это прежде всего относится к небесной механике. В ней уже давно стали нормой точные предсказания положений планет и их спутников, комет и астероидов, моментов наступлений солнечных и лунных затмений, всевозможных противостояний и группирований небесных тел и т.д. И весьма характерно то, что подобные предсказания осуществляются с большой точностью на значительных промежутках времени, исчисляемых десятками, сотнями и даже тысячами лет вперед и назад.

Достижения небесной механики принято объяснять удачным моделированием существа механического движения тел. Здесь и определения понятий массы тела и действующей на него силы, и закон всемирного притяжения и, наконец, законы Ньютона. Ориентируясь на этот опыт, представляющий собой эталон математического моделирования, мы должны сосредоточивать наше внимание на выявлении главных i-факторов, определяющих ход процесса, разрабатывать необходимые понятия и формулировать их взаимосвязь через систему аксиом. На уровне современных знаний этот ресурс "воспринимается в качестве основного, и его умелое использование завершается созданием, эффективного прогностического метода.

Однако есть еще один важный ресурс, не привлекающий к себе особого внимания математиков. Этот ресурс скрывается в привычном для нас понятии времени, которое участвует во всех динамических моделях.

Что это за время? Какими свойствами оно обладает? Ответ на эти вопросы обычно: не вызывает затруднений. Для математика, достаточно того, что это независимая непрерывная переменная с областью значений на вещественной оси. Столь абстрактное представление о времени, как о нечто абсолютном,- не свяаанном с явлениями во Вселенной и протекающем с равномерной скоростью, вошло в научное мировоззрение в XVII в. благодаря трудам И. Барроу и И. Ньютона и получило название ньютоновой концепции (модели) математического времени. Ее позиции в математике начали утверждаться одновременно с развитием анализа бесконечно малых величин. За прошедшие столетия эта концепция стала неотъемлемой частью математических исследований. Математики вжились в нее настолько, что превратились в сторонних наблюдателей, взирающих с любопытством на усердие физиков, астрономов, философов и представителей почти всех других наук по развитию проблемы времени. А между тем эта проблема настойчиво дает о себе знать, прежде всего, в приложениях.

Вновь поставим вопрос: каким же временем мы пользуемся в математических моделях экономики, экологии, медицины и т.п.? Когда мы остаемся в пределах теоретических исследований, нам вполне достаточно ньютонова понятия времени. Однако, когда дело доходит до приложений, до прогнозов будущего развития, приходится обращаться к реальному времени. Какому? Ну, конечно, к астрономическому, которое обладает такими размерностями, как год, месяц, сутки, час, минута, секунда и ее доли.

Всегда ли разумно так поступать? Ведь астрономическое время несет в себе информацию об эволюции Космоса, об изменении положений небесных тел вследствие их механического движения. И если мы, тем не менее, будем стремиться к тому, чтобы описать динамику произвольного процесса в астрономических часах, то, по крайней мере, в неявном виде превратимся в приверженцев древней гипотезы об определяющем воздействии взаиморасположения небесных светил на судьбы всего происходящего на Земле. Однако в наши дни едва ли найдется научный работник, который на веру готов будет принять эту гипотезу.

В науках о живой и неживой природе влияние космического фактора не отрицается, вместе с тем во многих случаях ему и не отводится определяющая роль. В этой связи необоснованное применение астрономического времени к изучению закономерностей протекания произвольного процесса может стать главной причиной неудовлетворительных прогнозов, выдаваемых математической моделью, даже если последняя представляется нам логически совершенной.

Но если не астрономическое, то какое ^ч иное время необходимо использовать? Опыт астрономии, развивающей понятие времени, прежде всего, для решения своих проблем, подсказывает ответ на поставленный вопрос: для группы «однородных» процессов следует разрабатывать собственное понятие времени. О том, какие возможности здесь имеются, и рассказывается в настоящей брошюре.



Представление о времени в древнем мире

Сутки, лунный месяц и год -- меры времени, заимствованные человечеством у Природы.

Первобытные люди наверняка обращали внимание на чередования восходов и заходов Солнца, связанные с ними смены дня и ночи и ощущали на себе их непосредственное воздействие в повторяемости состояний активности и расслабления, бодрости и сна. Такими событиями природа терпеливо и настойчиво подсказывала пробуждающемуся человеческому разуму наиболее простую, особенно наглядную единицу для измерения времени -- сутки.

Другая натуральная мера времени -- лунный месяц. Для ее обнаружения человек должен был оторвать свой взор от Земли. Только благодаря длительным наблюдениям открывалась возможность установить повторяемость фаз освещенности Луны, чередования новолуний и полнолуний.

Год -- еще одна натуральная единица времени, предназначенная для измерения промежутков, превосходящих сутки и лунный месяц. Для определения этой меры древние люди сосредоточивались на конкретных циклических явлениях природы, занимавших особое место в их жизни. Для американских индейцев таким явлением было выпадение первого снега, для австралийских аборигенов -- наступление периода дождей, для египтян -- разливы Нила.

Можно предположить, что осознанная необходимость разработки понятия времени возникла в процессе приобщения человека к труду, к земледелию. Обремененные заботами о выживании люди вынуждены были осмысливать сезонность земледельческих работ, прогнозировать их результаты в зависимости от природных явлений. Поначалу довольно грубые представления о годе (например, как о промежутке от одной жатвы до другой) постепенно уступали место более точным, основанным на визуальных наблюдениях за появлением над горизонтом определенных звезд и созвездий. Однако этого оказалось недостаточно. Потребовалось разбить год на более мелкие промежутки. И тогда обратились к другой натуральной мере времени -- суткам. Год был представлен в виде конечной совокупности, состоящей из 365 упорядоченных суток, что означало возникновение первого календаря, т.е. комбинированной шкалы времени год -- сутки. Теперь человек мог датировать начала и окончания разнообразных событий, вычислять их продолжительность. Тем самым человеческий разум поднялся на новую ступень познания Вселенной.

Несовершенство первого календаря обнаружилось довольно скоро. Однажды привязанные к определенным суткам начала каких-либо явлений (например, восход звезды Сириуса на небосклоне) в последующие годы монотонно смещались от одной даты к другой. Подмеченный недостаток объяснялся несоизмеримостью натуральных единиц: год не равнялся целому числу суток. В этом, конечно, не было ничего неожиданного, ведь в единую шкалу сводились такие меры, которые определялись из двух независимых процессов, а именно вращения Земли вокруг своей оси и движения Земли по орбите вокруг Солнца. Вполне понятно, что соизмеримость суток и года могла оказаться всего лишь случайностью.

Итак, для устранения дефекта календаря потребовалось учитывать какие-то доли суток. А это означало, что человек должен был научиться разделять сутки на мелкие промежутки. Такая потребность диктовалась также общественным характером производства, в котором согласование индивидуальных и коллективных действий людей осуществляется с помощью времени.

Поиск новых единиц времени, меньших, чем сутки, привел человека к необходимости решения непривычной задачи. Особенность ее состояла в том, что по отношению к устремлениям человека Природа заняла как бы выжидательную, нейтральную позицию. Она не демонстрировала ни одного яркого циклического явления, которое могло быть положено в основу определения еще одной натуральной меры времени -- доли суток. Такую меру человек начал создавать с помощью разнообразных устройств и приспособлений, простейшим из которых стали солнечные часы. Последние состояли из какого-либо предмета, способного отбрасывать четкую, хорошо фиксируемую тень, и циферблата с делениями. В течение дня тень перемещалась от деления к делению, позволяя тем самым следить за прошедшей долей суток.

Ограничившись описанием принципиальной схемы устройства солнечных часов, отметим, что многочисленные разновидности таких приборов, по существу, устанавливают соответствие между положениями Солнца на небосводе и тени на циферблате часов. Отсюда следует, что любая получаемая с помощью солнечных часов доля суток, впрочем, как и сами сутки, определяется процессом вращения Земли вокруг своей оси. Для разделений суток на малые промежутки древние люди использовали также песочные, водяные и огненные часы, которые в равной степени могли служить при любой погоде, в дневное и ночное время. Водяные и песочные часы следует относить к одному классу измерительных приборов в том смысле, что они основываются на одном и том же принципе учета движения вещества (песок, вода), происходящего под действием силы тяготения Земли.

Еще один класс приспособлений, изобретенных древними людьми для измерения времени, получил название огненных часов. Среди них масленые светильники, свечи и т.д. Мера времени в них определяется процессом сгорания вещества, точнее, фиксированного количества масла в светильниках и наперед отмеченной части материала в свечах.

Итак, в древности было создано несколько классов устройств для разделения суток на малые промежутки. Мы не будем останавливаться на том, какими недостатками они обладали, и какова была их точность. Отметим только, что кропотливой работой нескольких поколений людей поначалу примитивные устройства постепенно превращались в более совершенные измерительные приборы. Прогресс в этой области сопровождался модернизацией календаря, дисциплинировал общественный быт и производственную деятельность людей.

Установленные древними людьми искусственные и натуральные меры в совокупности определяли достаточно развитую шкалу времени. Любое событие на ней могло быть зафиксировано номером года, внутри года -- соответствующими месяцем и сутками, а внутри суток -- показаниями часов. Несмотря на то что сформированная таким образом шкала успешно служила, а с определенными уточнениями и дополнениями служит вплоть до наших дней, она даже в давние времена давала поводы для размышлений. Вопросы, на которые нужно было искать ответ, остаются актуальными и сегодня. Что такое время? Существует ли оно объективно или же является всего лишь продуктом познавательной способности человеческого мозга? Какова его природа и структура? Насколько обоснованно включать в одну шкалу год, лунный месяц, сутки и доли суток, т.е. такие единицы времени, которые получены из независимых между собой процессов движения Земли по орбите вокруг Солнца, обращения Луны вокруг Земли, вращения Земли вокруг своей оси и, наконец, движения материальных тел в поле тяготения Земли. Фундаментальный вклад в изучение проблемы времени принадлежит древнегреческой науке. Ее представители, опираясь на достижения человечества в разработке мер времени и календарей, предложили собственное понимание структуры и природы времени.

Обратимся, прежде всего, к концепции времени Гераклита. В его представлении оно подобно водам реки, текущей более или менее быстро и с неизменной скоростью. Кинематическим аналогом такого образа может служить совокупность прямой линии, выбранной в качестве оси времени, и некой отмеченной точки на ней, движение которой в одном направлении как бы характеризует ход времени. В такой интерпретации прошлое, настоящее и будущее -- это суть положения, в которых находилась, находится и будет находиться рассматриваемая точка. Значительно труднее пояснить, что означает движение отмеченной точки по оси времени с какой-либо скоростью. При попытке сделать это потребуется либо ввести какую-то новую независимую переменную, изменение которой определяет ход времени, либо погрузиться в саму природу времени. Уклоняясь от обсуждения этих вопросов, отметим, что воззрение Гераклита заложило основу линейной эволюционной концепции времени.

Выразителем другой, так называемой циклической, концепции времени был Платон. Отвергая мысль о необратимости природных процессов, он допускал существование великих циклов с периодом 180 000 лет, по прошествии которых абсолютно все повторяется. В сочинении «Тимей» он трактует время как творение божественное, предназначенное для воспроизведения образа вечности. Для этих целей бог располагает на небосводе в должных местах Солнце, Луну, другие светила и придает им необходимые перемещения. Такую систему, движущуюся от положения к положению, от числа к числу, Платон называет временем. В модельном варианте Платонова концепция представляется окружностью (в качестве оси времени) и движущейся по ней в одном направлении некой отмеченной точки, характеризующей ход времени. Возврат точки к прежнему положению после полного оборота по окружности определяет один полный цикл, на который затрачивается 180 000 лет.

Архимед в «Трактате о спирали» предстает перед нами как основоположник смешанной, эволюционно-циклической концепции времени. В его представлении ось времени -- плоская раскручивающаяся спираль. Такую кривую описывает точка при движении по некоторому лучу, вращающемуся вокруг зафиксированного начала. Принимая участие одновременно и в эволюционном и циклическом процессах, точка удаляется от начала спирали и на каждом новом витке как бы повторяет картину предыдущего. Выдающимся достижением древнегреческой цивилизации является глубокое осмысление природы времени, не утратившее своей значимости и в наши дни. Научные воззрения, сформировавшиеся в этой области знания, достигли своей вершины в трудах Аристотеля. В его представлениях время и движение -- неразрывные, но и не тождественные понятия. «Время есть число движения», число, с помощью которого различаются предыдущие и последующие состояния движения.

Аристотель, развивая идею целесообразности всего существующего, полагал, что любому материальному телу предопределено Природой достичь своей совершенной формы и занять предназначенное ему место в мироздании. Оперируя понятиями формы и места, Аристотель не рассматривал изменение и движение как динамические процессы и не обращал внимания на промежуточные состояния и положения тела. Следовательно, в его философских построениях время оказалось оттесненным на задний план, потеряв то важное значение, которое придает этому понятию современная наука.

Характеристика достижений, древнегреческой науки в изучении проблемы времени останется неполной, если не упомянуть Плотина. Творивший в период угасания греческой цивилизации, он, по словам В.И. Вернадского, проявил «...интерес к времени как явлению, охваченному измерением». Приведем высказывания Плотина о тех воззрениях относительно природы "времени, которые господствовали в его эпоху.

«Под временем подразумевают или то, что называют движением, или то, что приводится в движение, или отношение движения... Из тех, которые рассматривают время как движение, одни его рассматривают как всеобщее движение или как движение Всего; те, которые рассматривают его как движение, подразумевают при этом мировую среду; те, наконец, которые склоняются к отношению движения, "рассматривают его или как некоторое протяжение движения, или как его меру, или вообще как нечто, его сопровождающее, причем (сопровождающее) все движение или определенное движение...».



Ньютонова модель времени

Два исторических события стали важными вехами в многовековых взаимоотношениях науки и религии. Первое из них -- убийство мусульманским духовенством Улугбека (1449 г.), ознаменовавшее собой начало безраздельного господства ислама на Востоке и закат великой среднеазиатской науки. Второесобытие -- сожжение инквизицией

Джордано Бруно, означавшее потрясение основ христианского миропонимания и возрождение европейского научного мировоззрения. Благоприятная среда, складывавшаяся в Европе, представляла возможность науке XVII-XVIII вв. воспользоваться последними достижениями эллинистических мыслителей, в особенности философскими концепциями Плотина. Однако этого не произошло. Европейская наука пошла по пути разработки новых представлений, которые сфокусировались в ньютонову модель времени.

Возникновению этой модели предшествовала кропотливая работа европейской научно-инженерной мысли по совершенствованию техники измерения времени. Прогресс в этой сфере воплощался в разнообразных конструкциях механических часов, широкое распространение которых способствовало формированию бытовой системы использования времени. От их непрерывного безостановочного хода, не зависящего, казалось бы, от характера протекания природных процессов в окружающей среде, создавалось впечатление, что часы отсчитывают мгновения какого-то внеземного, космического явления. Внутреннее устройство механических часов -- целый мир связанных между собой зубчатых колес, передающих вращение от одного колеса к другому,-- также подкрепляло такое впечатление. Все это побуждало рассматривать часы как крохотную модель Вселенной, а саму Вселенную -- как гигантскую машину, работающую по принципу механических часов.

Существенный прогресс в мире механических часов связан с открытием Галилея. Суть его состоит в том, что каждый так называемый математический маятник имеет собственный период малых колебаний, зависящий только от его длины. Величина периода не зависит ни от веса маятника, ни от амплитуды колебаний. Открытие Галилея нашло применение в конструкциях маятниковых часов, первый образец которых был изготовлен X. Гюйгенсом в 1656 г. Появление часовых механизмов нового типа, отличительной чертой которых была высокая точность хода, оказало большое влияние на развитие понятия времени.

Технический уровень той эпохи позволял конструировать маятниковые часы, способные работать многие годы без перебоев. Надежность таких часов в сочетании с математическим законом, положенным в основу их устройства, подкрепляла убеждение в том, что время есть непрерывная величина, которую надлежит изучать математическими средствами. Представление о времени как о математическом понятии впервые высказано в 1669 г. И. Барроу, который признавал за временем право на самостоятельное существование, отделенное от конкретных движений.

Таковы были исторические предпосылки, которые оказали большое влияние на формирование научного мировоззрения И. Ньютона и нашли отражение в его знаменитом определении: «Абсолютное, истинное математическое время само по себе и по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью».

Это определение характеризует ньютонову модель математического времени. С момента ее появления (1689 г.) понадобилось полстолетия для того, чтобы она окончательно утвердилась и стала восприниматься как нечто само собой разумеющееся. Этому способствовал заслуженный успех ньютоновой классической механики, которая получала разнообразные практические применения и, как инструмент познания, оказывала большое влияние на прогресс других научных дисциплин. Этот успех в равной мере распространялся и на ньютоново понятие математического времени. Философская мысль XVII-XVIII вв., не согласная с концепцией времени Ньютона, не устояла в споре с его сторонниками, а ее собственные прогрессивные достижения, выраженные в воззрениях Г. Лейбница, погрузились в забытье вплоть до XX столетия.

С точки зрения классической механики ньютоново время интерпретируется прежде всего как независимая непрерывная одномерная переменная. Она наделяется свойством независимости в связи с тем, что ньютоново время существует само по себе и не имеет никакого отношения к чему-либо внешнему.

Эта переменная -- непрерывная, поскольку между двумя произвольными сколь угодно близкими моментами времени должен быть отличный от них промежуточный момент.

Переменная является одномерной, ее значения характеризуются вещественными числами. Областью значений считается вся числовая ось от оо до оо. Отметим, что последнее свойство было далеко не очевидным в XVIII в. Наука того столетия не располагала экспериментальными данными в решении этого вопроса. Придерживаясь этого свойства, И. Ньютон впадал в противоречие со своим религиозным миропониманием. Выход из него он видел в предположении, что божественной волей ход времени может быть прерван в любой момент. Еще одно важное свойство переменной -- изменение с равномерной скоростью. Оно является достаточно трудным для восприятия. Причина состоит в том, что вычисление скорости течения ньютонова времени само нуждается в использовании дополнительного датчика времени. Выходит так, что одно время определяется через другое, которое тоже необходимо определять.

В своей формулировке Ньютон уклоняется от этой трудности, называя свое время абсолютным, истинным математическим и не связывая его существование ни с чем. Но тогда время становится абстрактным понятием, предназначенным лишь для проведения модельных исследований, которые в применении к практическим задачам в самом общем случае не имеют право претендовать на достоверность своих прогнозов и количественных результатов. Следовательно, ньютоново время может приобретать практическую ценность всякий раз, когда оно адаптируется к конкретному изучаемому процессу. В этой связи напомним высказывание Ньютона: «...относительное, кажущееся или обыденное время есть или точная, или изменчивая, постигаемая чувствами, внешняя, совершаемая при посредстве какого-либо движения, мера продолжительности, употребляемая в обыденной жизни вместо истинного математического времени, как-то: час, день, месяц, год». Понятие абсолютного времени предоставляло возможность математикам, применявшим дифференциальное исчисление для изучения динамических процессов, концентрировать внимание на преодолении трудностей, возникающих в связи с решением математических проблем, и не затрачивать усилия на размышления о том, какую размерность необходимо придавать независимой переменной. При переносе результатов исследований на решения практических задач, по замыслу Ньютона, предлагалось воспользоваться реальным обыденным временем, однако вовсе не тем, которое учитывает специфику рассматриваемого процесса, а единым, универсальным, которое является если уж не точной копией, то, по крайней мере, неким подобием абсолютного времени. Ньютон считал обыденное время всепроникающим, т.е. таким, течению которого подвластен материальный мир со всем его многообразием движений и процессов. Поначалу казалось, что надежным образцом обыденного времени являются солнечные сутки. Однако очень скоро стало ясно, что не только вращение Земли, но и движения любых небесных тел неравномерны, а потому день, месяц, год или какие-либо другие астрономические меры не могут служить эталонами точного времени.

Завершая настоящий раздел, приведем высказывания В.И. Вернадского о достоинствах и недостатках ньютонова времени.

«Концепция Ньютона не возбуждала сомнений научных исследователей: в ней прекрасно укладывались все новые факты и наук гуманитарных, и наук описательного естествознания.

Научная мысль ученых XIX в. целиком шла в концепции Ньютона и, не встречая противоречий в конкретных фактах, оставляла в стороне вопрос об исследовании времени как задачу уже окончательно и полно разрешенную. Те новые факты, которые постепенно скапливались в научном материале оставались в науке XIX столетия в стороне и стали понятны только в свете того изменения, которое принесено теорией относительности.

Теория относительности, разбив ньютоново представление об абсолютном времени, связав его с пространством в единое неразрывное целое, сразу разбила все прежнее научное построение.

Как для эпохи Ньютона, так и для нашей время вновь явилось объектом научного исследования. Теория относительности не предвидела этого следствия, ибо для нее время как время исчезло».

Время в теории относительности

Одно из основных положений ньютоновой классической механики состоит в том, что взаимодействие тел в природе осуществляется мгновенно. Это значит, что сигнал об изменении состояния како-либо объекта перемещается в пространстве с бесконечной скоростью и тотчас достигает всех уголков Вселенной.

Современные экспериментальные данные, однако, не подтверждают существования мгновенных взаимодействий. Следовательно, механика со своими выводами и результатами должна рассматриваться как приближенная модель описания реальной действительности.

Иного положения придерживается теория относительности. В ее основу положен постулат А. Эйнштейна, согласно которому скорость распространения взаимодействий конечна и является универсальной постоянной. Эта скорость отождествляется со скоростью распространения света в пустоте. Скорость света объявляется универсальной постоянной в том смысле, что ее численное значение не зависит от того, в какой точке пространства «зародился» сигнал и в каком направлении он будет распространяться.

С помощью универсальной постоянной в теории относительности вводятся часы для измерения интервалов времени. Пусть Oxyz -- прямоугольная декартова система координат с началом в некоторой точке О. Предположим, что из точки (хо, г/о, 2о) вышел сигнал, который зарегистрирован в некой произвольной точке (x, y, z). Сигнал перемещается со скоростью с, пройденное им расстояние равно

Взяв отношение

(1)

мы получим величину At, которую назовем интервалом времени в системе координат Oxyz. Данное определение подсказывает, что отсчет времени, по существу, сводится к измерениям расстояний, проходимых лучом света.

Теперь предположим, что создан инструмент, который непрерывно фиксирует с коэффициентом пропорциональности с~¹ расстояния, преодолеваемые лучом света. Такой инструмент естественно называть часами, предназначенными для измерения собственного времени в системе координат Oxyz. Вполне понятно, что часы будут отсчитывать не только интервалы, но и моменты времени, правда, с точностью до некоторой произвольной постоянной. Так, например, если моменту отправления сигнала из точки (хо, г/о, zo) приписать некоторое произвольное численное значение to, то момент t регистрации его в точке (х, у, z) естественно определить по равенству

Приведем широко известную геометрическую интерпретацию формулы (1). Рассмотрим некоторое событие с точки зрения того, в каком месте и в какое время оно произошло. Будем полагать, что оно привязывается к столь малой части пространства и столь короткому интервалу времени, что его можно считать происходящим в определенной точке и в определенный момент. Таким образом, всякое событие характеризуется четверкой чисел (x, y, z, t), всевозможные совокупности которых формируют четырехмерное пространство расстоянии-времени.

Рассмотрим события

Мо = (хо, г/о, Zo, t₀) и М = (х, у, z, t),

связанные с посылкой и приемом светового сигнала. Предположим, что в случае to<Ct сигнал выходит из точки (хо, г/о, zo) в момент to и попадает в точку (х, у, z) в момент t. Если же to>t, то, наоборот, световой сигнал выходит из точки (х, у, z) в момент t и регистрируется в точке (хо, г/о, z₀) в момент времени о.

Обратимся к формуле (1), устанавливающей связь между событиями М₀ и М. С учетом принятых обозначений после несложных преобразований эта формула переписывается в следующем виде:

(х-хо)²+ (у-у₀)² + (z-zo)²-~c²(t-t₀)² = 0

Пусть М₀ -- фиксированное, а М -- текущее событие. Множество всех точек М пространства событий, координаты которых удовлетворяют уравнению (2), определяют поверхность конуса с вершиной в точке Mo = (x₀,yo,Zo,to). Этот конус называется световым конусом пространства событий в точке М₀. Он разбивает четырехмерное пространство на две непересекающиеся неограниченные области Ј, и Е₂ (рис. 1). Область Е_{ является внутренней полостью светового конуса События, принадлежащие Е_и удовлетворяют неравенству

Это неравенство вместе с условием t>t₀ определяет «верхнюю часть» Ј,, а с условием /</<> -- «нижнюю часть» Е\. Область Е₂ состоит из событий, расположенных вне конуса и его внутренней полости.

Пусть (х₀, г/о, Јо, t₀) -- событие из истории некоторой материальной частицы движущейся со скоростью, меньшей' чем с. По отношению к нему другие события из истории частицы принадлежат, очевидно, только Е_и причем часть из них связана с прошлым (t<:t₀) a остальная часть -- с будущим (t> t₀,).

Множество событий, образующих область Е₂, не связано информацией с событием Mo =(x₀, yo, zo, t₀). Материальная частица, «стартуя» из М₀ не может проникнуть в часть области Е₂ с t>U, поскольку для этого она должна обладать скоростью движения больше с По той же причине она не может попасть в М₀ из точек Е₂ с /</₀.

Если скорость света считать бесконечной, то четырехмерное пространство будет иметь другую структуру. В самом деле, переходя в уравнении (2) к пределу при соо, получим t = t₀, т.е. световым конусом в Oxyzt является подпространство, состоящее из всевозможных событии вида (х, у, z, t₀).

Рис. 1

В каждом из них мгновенно воспринимается световой сигнал, отправленный из точки М₀ = --(^хо, у о, 2₀, to) в соответствующем направлении. Что касается любых других событий (x,.y,z,t), t^to, то они оказываются принципиально достижимыми для материальной частицы, движущейся с конечной скоростью, при этом события с t>t_Q и t<zto располагаются соответственно в будущем и прошлом. «Запретных» событий в Oxyzt нет, так что Е₂ -- пустое множество. Именно в этом проявляется принципиальное различие структур четырехмерного пространства теории относительности, в которой с< оо, и классической механики, в которой с= оо и предполагаются мгновенные взаимодействия.

С определением интервала времени по формуле (1) тесным образом связана так называемая метрика Минковского

Она ставит в соответствие произвольной паре точек М₀ и М пространства событий число р(М₀,М), называемое расстоянием между точками М₀, М или между событиями М₀, М. Это число может оказаться мнимым, равным нулю, или положительным. В первом случае' М₀ и М принадлежат внутренней полости Е_х светового конуса с вершиной Мо и могут быть связаны информацией с помощью сигнала, распространяющегося со скоростью, меньшей, чем с. Во втором случае, когда р(М₀,М)=0, оба события принадлежат световому конусу, и если обмен информацией между ними возможен, то только с помощью светового сигнала. В третьем случае р(М₀,М)>0, событие М принадлежит Јг -- внешней области конуса. Обмен информацией между Мо и Af невозможен с помощью сигналов, не превосходящих скорости света.

Если события Мо и М бесконечно близки, т. е. их координаты отличаются на бесконечно малые величины х -- хо = = dx, y -- y₀ = dy, z -- z₀ = dz, t -- t₀ = dt, то метрика Минковского записывается также и в таком виде:

ds² = dx² + dy² + dz²-c²dt². (3)

Фундаментальное свойство метрики Минковского заключается в ее инвариантности относительно преобразований от одной инерциальной системы отсчета к другой. Согласно определению таковыми являются системы отсчета, в которых каждая свободная материальная точка, т. е. точка, не подверженная действию сил, движется равномерно и прямолинейно. Если две системы отсчета перемещаются друг относительно друга равномерно и прямолинейно и одна из них является инерциальной, то таковой будет и другая.

Пусть S и S' -- две инерциальные системы отсчета и М -- произвольное событие, координаты которого в 5 и S' обозначены через (x,y,z) и (х', у', г'), а время соответственно -- через / и f. Свойство инвариантности метрики Минковского, представленной формулой (3), записывается в виде

dx² + dy² + dz²-c²dt² = = dx'² + dy^/2 + dz'²-c²dt'².



Это свойство в сочетании с измерением времени по показаниям часов позволяет установить связь промежутков времени между двумя событиями в системах отсчета, движущихся относительно друг друга. Действительно, введем в рассмотрение некоторую инерциальную систему отсчета S с собственными часами А, расположенными в каком-либо фиксированном месте. Пусть А' -- другие часы, произвольным образом движущиеся относительно 5. Мы предполагаем, что часы А' имеют пренебрежимо малые линейные размеры, позволяющие воспринимать их как точку пространства. Введем дополнительную систему отсчета S', неподвижно связанную с часами А'. Пусть в комбинированных системах отсчета {S, А} и {S'_y A') точки (х, у, z, t) и (х\ у', z', t') определяют одно и то же конкретное событие из истории движения часов А'. Поскольку в каждый отдельный момент времени систему S можно истолковывать как инерциальную, то мы можем воспользоваться свойством инвариантности метрики Минковского при переходе от 5 к $'. Принимая во внимание условие dx' = dу' = dz' = 0 неподвижности часов А' в системе 5', получим

dx² + dy² + dz² - c²dt² = - c²dt'².

Отсюда следует

где v = v(t) --модуль скорости перемещения часов А', вычисляемый в системе отсчета S по формуле

Путем интегрирования полученного выражения устанавливается связь промежутков времени At = t₂ --1\ и At'= = t^f2 -- t\ между двумя событиями, зарегистрированными в системах отсчета S и S':

Если и=у₀ = const, то

Эти формулы показывают, что между двумя событиями промежуток времени, измеренный в подвижной системе отсчета S'', меньше соответствующего промежутка времени в неподвижной системе S. Иначе говоря, часы А' отстают в сравнении с показаниями часов А.

Вместе с тем для наблюдателя, расположенного в S', движущейся системой отсчета является S, потому, с его точки зрения, отстают часы А, но не А.

Итак, казалось бы, мы пришли к противоречию. Покажем, что его в действительности нет. Пусть в некоторый момент времени, когда часы А' проносятся мимо часов А, показания их совпадают. В последующие моменты времени ход часов А' следует сравнивать уже с другими неподвижными в 5 часами, которые вместе с А' оказываются в одной и той же точке неподвижной системы отсчета 5. Именно в сравнении с такими часами часы А' будут отставать. Таким образом, для сопоставления показаний часов в двух системах отсчета требуется несколько часов в одной системе и одни в другой. Отсюда видно, что процесс сопоставления показаний часов не симметричен по отношению к обеим системам. Всегда отставать будут те из них, которые сравниваются с разными часами в другой системе отсчета.

Если часы А и А' в некоторый момент времени располагаются в одном месте пространства, затем А остаются неподвижными, а А', перемещаясь по замкнутой траектории, возвращаются к Л, то, очевидно, и в этом случае часы А' отстанут от А. Вместе с тем утверждение о том, что, в свою очередь, часы А отстанут от А', уже оказывается неверным. Причина состоит в том, что система отсчета^', жестко скрепленная с А', в каждый отдельно взятый момент времени хотя и может интерпретироваться как мгновенно инерциальная, на конечном интервале времени (от начала до конца наблюдения) инерциальной не является. Она не движется равномерно и прямолинейно.

Теперь вернемся вновь к формуле (1) для определения интервала времени в системе координат Охуг. В этой формуле существенным образом используется постулат Эйнштейна о скорости распространения взаимодействий. Читатель наверняка обратил внимание на неточность, допущенную при формулировании этого постулата. Дело в том, что с самого начала необходимо было оговорить, о какой системе отсчета идет речь. В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы. Именно для них определен принцип относительности, согласно которому все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. В частности, это относится и к скорости распространения света в пустоте, что в сочетании с ее ограниченностью составляет содержание постулата Эйнштейна.

Таким образом, допущенная неточность выражалась в том, что не была упомянута инерциальная система отсчета. Однако это было сделано сознательно по следующей причине. В инерциальных системах отсчета всякая свободная материальная точка должна двигаться прямолинейно и равномерно В свою очередь, в требовании равномерности движения, или, что то же самое, движения с постоянной скоростью содержится понятие времени, которое должно быть заимствовано из-за пределов специальной теории относительности. Что это за время? Не ньютоново ли, но ограниченное рамками конкретной системы отсчета?

Аналогичные вопросы адресуются непосредственно к формуле (1). В ней используется скорость света с, которая имеет размерность см/с. Секунда -- это одна из единиц времени. Каким образом она определяется в инерциальных и произвольных системах отсчета? Зависит ли она от них? Эти и другие вопросы, с которыми мы столкнулись, подсказывают нам, что необходимо проявлять осторожность в интерпретации формулы (1). Она не может быть принята в качестве изначальной для определения времени вообще ни в специальной, ни в общей теории относительности, поскольку вводимому с ее помощью понятию интервала времени предшествует иное понятие времени, которое используется в характеристиках инерциальных систем отсчета и величины скорости распространения света.

Несмотря на это, специальная теория относительности в развитии понятия времени сделала дальнейший шаг вперед по сравнению с классической механикой. В представлении последней, как уже отмечалось ранее, время является абсолютным. Оно не зависит от систем отсчета. Если для некоторого наблюдателя два каких-либо события происходят одновременно, то и- для любых других наблюдателей эти события являются одновременными. Более того, промежуток времени между двумя фиксированными событиями должен быть одинаковым во всех системах отсчета.

...