Моделирование времени

Итак, входными данными для алгоритма являются натуральное число п, положительное число 8, массивы {tk} и {x_k}, k = 1, ..., п. Для удобства программирования алгоритм представлен в виде четырех последовательно выполняемых модулей.

Модуль 1, используя данные п, е, t_k), (x_k), формирует в общем случае новые массивы 7 = {7+ X=(X_t) и вполне конкретный сопутствующий массив Р = {?}, где 1 = 1, ..., т, причем т<Сп. Основное назначение этого модуля -- выявление в массиве x_k) последовательностей идентичных состояний процесса, сохранение первых элементов в таких последовательностях и удаление всех остальных и, наконец, уменьшение по определенному, правилу исходного интервала наблюдения от t до на сумму тех промежутков времени, в которых процесс протекает стационарно.

Модуль 1 включает в себя следующие процедуры:

v: = l.

р: = 1, т: = 0, k: = 1.

В п.п. 1, 2 вводятся счетчики с конкретными начальными значениями:

k = k+1.

fcl: = fcl + l.

В п.п. 3, 4 происходит увеличение значений счетчиков на 1.

Проверить условие k\^n. Если оно выполнено, то перейти к п. 6, в противном случае к п. 11.

Проверить неравенство x_k--x_{k =} е. Если оно имеет место, то перейти к п. 7, иначе к п. 9.

7. tii = ti - (t_{kl -} tk), i = k₁, ..., п.

Эта процедура означает, что если значения Xk и Xk₁ неразличимы в пределах ошибки, то все моменты времени, начиная с tk, уменьшаются на величину tki-tk.

р = р. Вернуться к п. 4.

Tv = t_k; X_v:=x_k; p = p v = v+l., т.е. происходит формирование элементов массивов Т, X, Р и присвоение очередного значения v.

10. Принять {t_k, ..., t_n И {Xk, - Х_п) в качестве исходных массивов размерности п--k 1 + 1 и затем возвратиться к п. 2.

11. Выдать на печать m, {T}, {Х,} и{Р,}, где i = l, ..., т. Конец.

Поясним смысл элементов сопутствующего массива Р. Из предыдущего текста вытекает, что значение pk равно количеству тех элементов массива {xk), которые непосредственно, следуют за, и отличаются от x_pi+ ...+, + , меньше чем на е. Отметим также, что pi+ ... +p_m = n.

Пример 1. Дано: п = 20, {/*} = (2, 4, 7, 10, 12, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 25,

27, 30, 32, 33, 34, 35, 36) и {х,}= (4, 4, 6, 6, 6, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 4, 5, 5,

5, 4, 3), см. рис. 9, а.

В результате выполнения модуля 1 получается т = 11,

{Г} = (2, 3, 4, 6, 8, 11, 1-2, 15, 17, 18, 19);{Х,}=(4, 6, 3, 2, 4, 3, 2, 4,5,4,3)

и{д.} = (2, 4, 1, 1, 1,3, 2, 1,3, 1, 1), см. рис. 9, б.

Модуль 2. Входными данными для него являются натуральное число т, а также массивы {7+ {X_L}, = 1, ..., т. Этот модуль в массиве {TJ выявляет моменты времени [ТМ_а], 1 = 1 m (ml<m) локальных максимумов в переменной X и формирует новый массив {71} = {T_t} П [TM_lt 7М_т1], 2 = 1, ..., т2 {ml< <Ст2<Ст). Как видно из определения {Т%}, в его состав входят элементы {Г}, начиная с первого локального максимума ТМ и заканчивая последним локальным максимумом ТМ_т.

Пример 2. Значения т, {Т_ь} и {X,] заимствуются из предыдущего примера. После выполнения модуля 2 получаются ml = 3, m2 = 8, {Щ,} = (3, 8, 17), {Т*} = (3, 4, 6, 8, 11, 12, 15, 17), см. также рис. 9, б.

Модуль 3. Входные данные ml, m2, {ТМ_п}, 1 = 1, ..., ml, {Г*}, /2=1, ..., гп2.

Этот модуль предназначен для построения массива {т₍-г} по формуле

Где ТВ 6 [ТМп, TMn+i]

Переменная т есть собственное время, порождаемое изменением переменной х. Его натуральной мерой является единица исчисления локальных максимумов.

Пример 3. Исходные данные для Т₂) те же, что значений ml, m2 ITM, и в примере 2. . После соответствующих вычислений получим Ы = (0; 0,2; 0,6; 1; 1,33; 1,78; 2).

Модуль 4. Формирует выдачу результатов путем установления соответствия между значениями т и элементами х из массива {xk).

Пример 4. На основе данных примеров 2 и 3 выдается следующий результат, см. рис. 9, в:

т: 0; 0,2; 0,6; 1; 1,33; 1,44;

х: 6; 3; 2; 4; 3Т⁰2;

1,78; 2. 4; 5.

Таким образом, рассмотренный алгоритм позволяет выработать понятие собственного времени процесса на основе зафиксированной по астрономической шкале времени информации об изменении состояния процесса. Вполне понятно, что можно воспользоваться и другими алгоритмами, основанными, например, на исчислении последовательности локальных минимумов или же смешанной последовательности, состоящей из локальных максимумов и минимумов. При обработке экспериментальных данных следует, вероятно, испытывать различные варианты. Если по каким-либо причинам экспериментатор остановил свой выбор на одном из конкретных собственных времен и получил при этом массивы {т4 и {xk}, то на следующем этапе ему надлежит воспользоваться какими-либо математическими методами для апроксимации экспериментальных точек (т*, х) некоторой приближенной мировой линией процесса х = х(т). Экстраполируя эту линию за пределы исходного промежутка наблюдений, он может выдавать прогнозы о дальнейшем протекании процесса.

Интересно упомянуть о вычислительном эксперименте, предназначавшемся для оценки перспективности применения предложенного алгоритма. В качестве экспериментального материала были выбраны данные о годовых стоках р. Вахш (Таджикистан) за 40 предыдущих лет. За этот же промежуток времени были взяты сведения о динамике числа Вольфа -- наиболее употребляемого интегрального индекса солнечной активности. Последнее было положено в основу разработки собственного времени процесса солнечной активности. К новому времени была преобразована информация о расходах р. Вахш и затем на промежутке наблюдения выдана теоретическая зависимость расхода воды в виде функции от собственного времени солнечной активности. Характерная особенность полученного графика -- почти периодическое поведение максимальных и минимальных расходов. Величины расходов, однако, не остаются постоянными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Астрономия, механика и физика совместными усилиями сформировали современные представления о времени, учитывающие изменения пространственных положений материальных тел вследствие их механического движения. Эти представления воплотились в единую систему измерения времени, которая в процессе своего становления настойчиво подталкивала научную мысль к восприятию идеи универсального всепроницающего времени. И эта идея, по существу, овладела человечеством. С помощью разнообразных часовых устройств и механизмов, отчитывающих астрономическое время, она вошла в быт и производственную деятельность людей, утвердилась в научных исследованиях. В этих условиях применение астрономического времени к описанию закономерностей динамических процессов произвольной природы стало привычным делом, не получившим, однако, серьезного научного обоснования. Действительно, между механическим движением небесных тел и астрономическим временем установлено взаимно однозначное соответствие. Следовательно, всякий раз, когда используется такое время, мы принимаем, по крайней мере, в неявной форме, далеко не очевидную гипотезу о функциональной зависимости состояния конкретного процесса от положения небесных тел. Однако легко понять, что в общем случае гипотеза не верна. Поэтому ее необоснованное применение может приводить к бессмысленным результатам.

Между тем необходимость изучения процессов, не связанных с динамикой небесных тел, вынуждает нас обратиться к альтернативной концепции времени, допускающей существование разнообразных независимых временных систем. Эта концепция, высказанная Г. Лейбницем, несмотря на решительную поддержку со стороны философской мысли, отошла на задний план развития науки по ряду объективных причин. Одна из них состояла в том, что ее сторонники не смогли подкрепить концепцию конструктивными методами измерения и вычисления собственного времени процесса. А ведь для этого, казалось бы, нужно было сделать совсем немногое. Во-первых, воспользоваться идеей С. Александера об измерении времени не с помощью движения, а на основе более общего понятия -- изменения свойств тела или явления. И во-вторых, обобщить опыт астрономии по разработке астрономического времени.

В брошюре мы познакомили читателя с математическими моделями, предназначенными для определения собственного времени произвольного процесса. В одномерном случае, состояния которого характеризуются переменной х, формула для вычисления собственного времени т записывалась в виде dT--F(x)dx или j--c-$F(x)dx. Отсюда напрашивается естественный вывод о том, что эволюция состояний процесса первична, а время, извлекаемое из него,-- производное понятие.

Такой вывод, однако, входит в противоречие с современными представлениями о природе времени. Тем не менее незыблемость этих представлений также можно подвергнуть сомнениям, если упомянуть, что они формировались под сильным влиянием понятия астрономического времени, определение которого почему-то никогда не сопровождалось соответствующей формулой, хотя последняя получалась без особых затруднений. Если она была бы выписана, то сделанный вывод не выглядел бы столь парадоксальным.

Возможно, однако, занять и примиренческую позицию. С этой целью предыдущую формулу необходимо интерпретировать как уравнение, устанавливающее связь между переменными хит. Это уравнение на пространственно-временной диаграмме (х, т) будет определять однопараметрическое семейство мировых кривых процесса, а пространственно-временная метрика будет характеризовать отклонения от таких кривых.

ds² = dT² -- F²{x) dx²

Аналогичные рассуждения справедливы для конечномерного процесса при условии, что его собственное время является векторной переменной. Если же такому процессу сопоставляется единое скалярное время, хотя бы одним из тех способов, о которых рассказано в предыдущих разделах, то мы оказываемся в ситуации, в которой по состоянию процесса с точностью до константы определяется соответствующий момент времени, а обратное, вообще говоря, может и не иметь места. Легко понять, что такое время будет менее приспособлено к описанию закономерностей протекания процесса.

Взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между состояниями процесса и некоторой вспомогательной переменной, называемой временем, является, по-видимому, главным критерием удачного выбора собственного времени процесса. С этих позиций развитие понятия астрономического времени -- особо поучительный пример. Однако следует помнить, что необоснованные применения астрономического времени к изучению конкретных процессов, состояния которых не зависят от положений небесных тел, наверняка будут приводить к неудовлетворительным итоговым результатам.

Итак, оспаривая универсальность астрономического времени, мы пришли к необходимости развития представлений о собственном времени процесса. В этой связи читатель вправе спросить: не является ли новое понятие вещью в себе? Каким образом осуществлять прогнозирование в собственном времени? Какой смысл, например, будет иметь выражение, что некоторое событие произойдет, скажем, на 22-м локальном максимуме процесса при отсчете от данного состояния?

Пытаясь понять, какого рода ответы можно ожидать на поставленные вопросы, адресуем последние, прежде всего к астрономическому времени. Попробуем, например, разобраться с таким высказыванием: поезд прибудет на станцию через 12 часов. Но что означает этот промежуток времени? Как долго он будет длиться? И если мы ответим, что это произойдет, когда часовая стрелка от данного положения совершит полный оборот на циферблате часов или же такая-то звезда пересечет меридиан, то и тогда мы не получим удовлетворительного объяснения. Подойдем с другой стороны: вначале должен миновать первый час (когда это произойдет, тоже непонятно), потом второй и т.д. С тем же правом мы можем сказать, что 22-й локальный максимум процесса наступит после того, как прежде будет достигнут первый локальный максимум, затем второй и т.д. Как видно, несмотря на различие рассматриваемых случаев, приходится довольствоваться, по существу, одинаковым ответом. И если в связи с этим мы не предъявляем особых претензий к астрономическому времени, то в значительной мере это происходит потому, что оно упорядочило наш быт и производственную деятельность, мы вжились в него, и оно стало для нас нечто самим собой разумеющимся.

В противоположность этому собственное время процесса вовсе не претендует на универсальность и является более скромным понятием. Но если читатель проникся к нему симпатией и готов воспользоваться им, то перед ним откроется обширное поле деятельности.

Здесь и новые математические модели собственного времени процесса, и исследования пространственно-временных метрик типа Минковского, и поиск преобразований типа Лоренца, сохраняющих инвариантный вид метрик, и разработка математических моделей процессов сразу же в нескольких независимых временах, и многое-многое другое.

В добрый путь!

ЛИТЕРАТУРА

Вернадский В.И. Пространство и время в неживой и живой природе.-- В кн.: Философские мысли натуралиста.-- М.: Наука, 1988.

Волобуев М.И. Радиоактивные часы Земли и Луны.-- М.: Знание, 1990.

3авельский Ф.С. Время и его измерение.-- М.: Наука, 1987.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.-- М.: Наука, 1988.

5. Лилли С. Теория относительности для всех.-- М.: Мир, 1984.

6 Минковский Г. Пространство и время // УФН.-- 1959.-- Т. LXIX.-- Вып. 2.

Новиков И.Д. Куда течет река времени,-- м.: Молодая гвардия, 1990.

Пуанкаре А. О науке.-- М.: Наука, 1983.

Романов Ю.А. Проблемы хронобиологии.-- М.: Знание, 1989.

Турсунов А. Философия и современная космология.-- М.: Политиздат, 1977.

Уитроу Дж. Структура и природа времени.-- М.: Знание, 1984.

Чернин А.Д. Физика времени.-- М.: Наука, 1987.

Размещено на Allbest.ru