Моделирование времени

Вернемся к определениям звездных суток и тропического года как натуральных мер времени соответствующих процессов. Несмотря на то что определение звездных суток формулировалось с позиции наблюдателя, расположенного на Земле, оно дословно применимо для произвольного космического материального объекта, для которого имеет смысл рассматривать его собственное вращение. Почти аналогичная ситуация имеет место для применений определения тропического года. Оно автоматически переносится на такие объекты Солнечной системы, как планеты, астероиды, кометы и метеорные рои. Для спутников, обращающихся вокруг планет и тем самым подсказывающих нам своим движением еще одну единицу времени -- месяц, а также для Солнца и звезд, обращающихся вокруг центра нашей Галактики, определение натуральных мер времени по подобию тропического года не вызывает особых затруднений, и мы не будем останавливаться на этом.

Итак, с каждым космическим материальным объектом, точнее с двумя типами его движений -- собственным вращением и обращением вокруг центрального тела, связаны две натуральные меры времени -- собственные сутки и собственный год. Каждая мера служит основой для создания Специализированных часов, предназначенных для измерения собственного времени соответствующего процесса. Такие часы, наравне с часами вращающаяся Земля или ЗемЛя, обращающаяся вокруг Солнца, могут быть использованы-для описания любых механических движений во Вселенной. Однако более естественно - ориентировать их на изучение явлений, динамика которых наряду с работой самих часов зависит от» протекания одного и того же процесса. В связи со сказанным вновь вернемся к понятию единого универсального времени. По крайней мере, в мире разнообразных механических движений его существование воспринимается как факт само собой разумеющийся. Заслуга в этом принадлежит, прежде всего, ньютоновой концепции абсолютного времени, господствовавшей в науке в течение трех веков и укоренившейся в сознании многих поколений ученых. Серьезным подспорьем в теоретическом обосновании универсального времени оказался закон всемирного тяготения, объяснивший с единой позиции причину происхождения всех механических движений. Мощная практическая поддержка исходила со стороны часовых механизмов, которые использовались для описания динамики каких бы то ни было процессов независимо от того, насколько обоснованно это, можно было делать. И наконец, выдающиеся открытия невидимых невооруженным глазом планет Солнечной системы -- Нептуна и Плутона. Предсказанные на основе закона всемирного тяготения, они были обнаружены в наперед указанном месте небосвода и, что не менее важно, в заранее отмеченный момент времени на циферблате механических часов. Последнее обстоятельство являлось как бы наглядным доказательством того, что на множестве механических движений небесных тел существует единое универсальное время. С математической точки зрения это означает, что между двумя, произвольными собственными временами, порождаемыми соответствующими механическими процессами; устанавливается, взаимооднозначное и взаимонепрерывное соответствие. В таком случае собственные времена становятся равноправными, и потому любое из них можно трактовать в качестве независимой переменной, а все прочие представлять себе как функционально связанные с ним. Механические движения, объединяемые в один класс универсальным временем, не исчерпывают, конечно, всего многообразия процессов, происходящих во Вселенной. Возьмем, к примеру, солнечную активность. Большинство явлений солнечной активности наблюдается в так называемых центрах активности, или же активных областях. Они определяются как участки поверхности Солнца, в которых происходит нарастание магнитного поля. Этот процесс сопровождается яркой вспышкой -- взрывоподобным выделением энергии, и тогда в околосолнечное пространство выбрасывается облако плазмы, устремляются потоки ускоренных частиц, космических лучей и др. Затем в активных областях появляются пятна -- темные образования на фоне фотосферы, в которых температура газа ниже по сравнению с окружающей средой. Пятна постепенно увеличиваются в площади, достигают максимума, дробятся на части, потом уменьшаются в размерах и в конце концов исчезают. Активная область прекращает свое существование. Определяется ли циклическая солнечная активность механическим движением небесных тел или нет? Современная наука не дает окончательного ответа на поставленный вопрос, ограничиваясь пока что изучением этих процессов как независимых друг от друга. Добавим к сказанному, что тем более не открыт закон, который смог бы с единых позиций объяснить причины происхождения солнечной активности и движения небесных тел. Но тогда на данном уровне знаний собственные времена этих процессов также следует считать независимыми. Следовательно, описание солнечной активности в часах, настроенных на показания универсального времени механических движений, необходимо воспринимать не столько как объективно обусловленный, сколько вынужденный акт в связи с тем, что еще не разработано конструктивное понятие собственного времени процесса солнечной активности. Возможно поэтому число Вольфа -- один из наиболее употребительных индексов солнечной активности, характеризующий относительное число солнечных пятен,-- в астрономических часах подвержено не строго периодическим, а всего лишь циклическим изменениям с периодом приблизительно 11 лет.

В аналогичной ситуации оказывается любой процесс, протекание которого не зависит от движения небесных тел. В частности, это относится к восьми перечисленным ранее глобальным процессам, которые А.Е. Ферсман предложил рассматривать в качестве источников измерения времени в планетарном масштабе. Все они нуждаются в разработке глубокого и эффективного понятия собственного времени. И в этом деле особенно полезным может оказаться уникальный опыт астрономии в формировании натуральных единиц времени -- суток, месяца и года. В настоящем разделе этот опыт был подытожен в виде определения натуральной меры времени произвольного циклического процесса. На множестве механических движений небесных тел это определение является не чем иным, как единой моделью циклической единицы времени. Сфера ее применений может быть достаточно широкой, выходящей далеко за пределы одной астрономии. Для того чтобы воспользоваться такой моделью с целью определения единицы времени конкретного циклического процесса, необходимо четко оговорить, какой смысл вкладывается в понятие «одинаковых» состояний процесса. В дальнейшем мы расскажем об одном естественном и достаточно общем варианте реализации этого понятия, а также о том, каким образом оно будет использовано в развитии представлений о собственном времени процесса.

Постулаты наблюдении

Предположим, что мы имеем дело с некоторым явлением и располагаем всем необходимым для того, чтобы наблюдать его эволюцию. Нас будет интересовать процесс сам по себе вне связи с теми причинами, под действием которых он происходит. Прежде чем приступить к разработке понятия собственного времени процессов, мы должны сделать выбор из двух возможностей: либо воспользоваться для регистрации наблюдений какими-то известными, например, астрономическими часами, либо попытаться обойтись без этого.

На первом пути сразу же возникает иллюзия, что процесс зависит от течения астрономического времени, ибо в ретроспективе каждому моменту времени соответствует конкретное состояние процесса. Учитывая это, остановим свой выбор на второй возможности, в связи с чем обратимся к понятию наблюдения и к тем его свойствам, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Согласно определению научное наблюдение (только о нем и будет идти речь) есть целенаправленное восприятие, обусловленное задачей деятельности. Оно состоит из отдельных актов наблюдений, в результате осуществления которых мы получаем информацию о состояниях процесса.

С понятием научного наблюдения тесным образом связано наше интуитивное неметрическое представление о собственном времени процесса, называемое также психологическим временем наблюдателя. Это представление помогает нам ориентироваться в порядке следования различных состояний процесса, однако ничего не сообщает о том, насколько одно состояние предшествует другому.

Подчиним наблюдение пока что двум требованиям, которые сформулируем в виде постулатов.

Постулат упорядоченности. Из двух различных актов наблюдения один w только один предшествует другому.

Постулат непрерывности. Между двумя различными актами наблюдения всегда существует еще один промежуточный акт, который предшествует одному из них и следует за другим.

Утверждение первого постулата не может вызывать серьезных возражений со стороны конкретного наблюдателя, поскольку он обладает способностью распознавать порядок следования состояний процесса. Определенные трудности выявляются в том случае, когда производится сравнение результатов наблюдений, полученных несколькими наблюдателями. Действительно, воспользуемся примером А. Пуанкаре. Рассмотрим все процессы Вселенной как единый процесс. Выделим в нем два события -- рождение новой звезды в результате гигантского взрыва, который зафиксировал Тихо Браге в 1572 г., и открытие Америки X. Колумбом. С точки зрения наблюдателя, расположенного на Земле, второе событие произошло раньше, чем первое. Однако для другого наблюдателя, находившегося в некоторой окрестности вблизи места взрыва, порядок упомянутых событий будет противоположным. Очевидно, что каждый наблюдатель сделал правильный вывод, хотя эти выводы не согласуются между собой. Причину этого можно объяснить большой удаленностью наблюдателей, расстояние между которыми световой сигнал преодолевал не менее чем 200 лет. В своих заключениях А. Пуанкаре продвигается значительно дальше: «Достаточно немного поразмыслить, чтобы понять, что все эти утверждения сами по себе не имеют никакого смысла. Они получают смысл только в силу соглашения».

Для того чтобы постулат упорядоченности не оказался забракованным, условимся применять его утверждение только для такого множества наблюдателей, которые располагаются в «относительной близости» друг от друга. Это, в свою очередь, означает наше заведомое согласие с тем, что принимаемая нами точка зрения является приближенным описанием реальной действительности.

Теперь обратимся ко второму постулату. Его утверждение поначалу представляется вполне приемлемым и даже непротиворечащим нашей интуиции. Однако и здесь необходимо проявлять осторожность. Дело в том, что выполняемые нами наблюдения есть совокупность конечного числа актов наблюдений, которые мы нумеруем числами натурального ряда. Нам трудно избавиться от впечатления, что между двумя последовательными актами существует пустой промежуток, внутри которого при желании можно провести еще один акт наблюдения. И если ограниченность наших органов чувств станет препятствием на этом пути, то с такой задачей успешнее справится надлежащий автоматический прибор. Но каким бы совершенным такой прибор ни был, надо полагать, и он будет обладать ограниченными возможностями, осуществляя по-своему прерывистые наблюдения так, что между любыми двумя его последовательными актами будут оставаться пустые ненаблюдаемые промежутки.

В связи со сказанным утверждение второго постулата мы будем отождествлять с гипотетической способностью человеческого разума конструировать все новые и новые поколения автоматических приборов, которые в сравнении с предыдущими могут выполнять дополнительные промежуточные акты наблюдений. Отсюда следует, что совокупность различных актов наблюдения за состоянием процесса представляет собой по крайней мере счетное бесконечное множество. Однако если вспомнить, что согласно первому постулату это множество является упорядоченным, и тогда между любыми двумя его последовательными элементами существуют и еще дополнительные акты наблюдений, то создается впечатление, что рассматриваемое множество имеет мощность континуума и, вероятно, представимо в виде интервала числовой прямой. Доказать последнее свойство, по-видимому, невозможно. Его можно постулировать, что мы и сделаем.

Итак, предположим, что множество актов наблюдения произвольного процесса эквивалентно интервалу числовой прямой. В зависимости от принадлежности концевых точек интервала рассматриваемому множеству следует различать четыре возможных случая.

Интервал -- открытый, концевые точки не принадлежат множеству. Тогда, очевидно, интересующий нас процесс не имеет начала и конца. Он как бы является бесконечным в обе стороны. В этом случае интервал наблюдений естественно представлять в виде е(-- оо, -f - oo).

Интервал -- замкнутый, концевые точки входят в состав множества. Тогда процесс имеет начало и конец. Наблюдения можно моделировать произвольным ограниченным замкнутым интервалом Је[а, b], a<b.

3; Интервал -- полуоткрытый, один конец принадлежит множеству наблюдений, другой не принадлежит. Тогда процесс либо имеет начало и не имеет конца, либо наоборот. Соответствующие наблюдения моделируются либо с помощью [а, -оо], либо [--оо, а].

Отображение множества наблюдений на интервал числовой оси не следует интерпретировать как попытку навязать наблюдению метрические свойства. Введенная нами переменная Ј предназначена для индексации (нумерации) последовательности актов наблюдений, и не более. Поэтому если мы зафиксируем в порядке возрастания четыре индекса i, Ј₂, Ез, 4 из интервала наблюдений, причем таких, что г--Ei = E4--Ез, то из этого равенства никак нельзя заключить, что какие-то длительности промежутков или же какие-то расстояния между двумя первыми и двумя последующими наблюдениями равны.

В дальнейшем на интервалах наблюдений мы будем рассматривать функции состояний процесса в зависимости от Е. Однако подчеркнем, что для нас будут иметь смысл только те выводы, которые остаются инвариантными относительно взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения рассматриваемого интервала наблюдений на любой другой однотипный интервал, который с самого начала мог быть бы выбран для описания наблюдений. Проще говоря, мы должны стремиться к тому, чтобы формулировки окончательных результатов не зависели явным образом от переменной Е, используемой для нумерации актов наблюдений.

Теперь мы вплотную подошли к вопросам моделирования времени, порождаемого самим процессом.

Постановка вопроса

А. Пуанкаре утверждал, что различные способы определения времени являются, по существу, различными языками для описания одних и тех же процессов. При выборе конкретного времени необходимо руководствоваться прежде всего тем, чтобы уравнения исследуемого процесса были возможно более просты. «Другими словами, нет способа измерения времени, который был бы истиннее другого; общепринятый способ измерения является только более удобным. Мы не имеем права сказать о двух часах, что одни идут хорошо, а другие плохо; мы можем сказать только то, что выгоднее положиться на показания первых».

Уточним, что такую точку зрения А. Пуанкаре высказал по отношению к ньютоновой механике, в которой проблема измерения времени была предметом глубоких дискуссий. Она привлекательна для применений к любым динамическим процессам и, в частности, к тем, которые, по мнению А.Е. Ферсмана, могут рассматриваться в качестве источников для определения собственного времени. Но беда в том, что для подавляющего большинства процессов, которые не охватываются классом механических движений, совершенно нет выбора в использовании того или иного понятия времени, кроме астрономического. Следовательно, до того как приступать к реализации идеи А. Пуанкаре, требуется подвести под нее надлежащую основу в виде разнообразия времен, претендующих на роль наиболее удобного собственного времени конкретного процесса. В свою очередь, путь к достижению разнообразия начинается с выявления хотя бы одного элемента.

Имея цель рассказать всего лишь об одном из возможных вариантов моделирования собственного времени процесса, мы должны прежде объяснить, какой смысл будет вложен в это понятие.

Рассмотрим произвольный конечномерный детерминированный процесс. Процесс назовем конечномерным, если число переменных, используемых для описания его состояния, конечно. Примерами могут служить радиоактивный распад и механическое движение системы из п материальных точек. В первом случае состояние процесса определяется количеством вещества, т. е. одной переменной величиной, а во втором случае -- 6« переменными (тремя прямоугольными координатами и тремя компонентами скорости для каждой точки).

Будем называть процесс детерминированным, если любое фиксированное его состояние определяется, вообще говоря, всей совокупностью предыдущих состояний процесса. Такое определение несколько шире в сравнении с общепринятым в математике, согласно которому каждое состояние однозначно определяет весь предыдущий ход и все последующее развитие процесса. В принятой нами формулировке подчеркивается причинно-следственная связь предыдущих и последующих состояний процесса. В пределах только такой связи, без привлечения каких-либо иных со стороны, будут излагаться математические модели для подсчета собственного времени процесса. Эти модели следует, очевидно, интерпретировать как специальные реализации упомянутого ранее положения Г. Лейбница о том, что время течет от причины к следствию, и положения А. Пуанкаре: «... через причину мы определяем время».

Теперь предположим, что на упорядоченном множестве актов наблюдений, представимом в виде некоторого интервала / числовой оси |, состояние конечномерного детерминированного процесса характеризуется однозначной векторной функцией 7(1), ЈЂ. Введем следующее определение.

Задача математического моделирования собственного времени процесса, описываемого графиком {I, *(Ј)}, Је, заключается в том, чтобы разработать независящие явным образом от переменной I правила для исчисления эволюции состояний процесса.

Время мы будем интерпретировать как скалярную величину со значениями на числовой оси. Любое правило, которое устанавливает соответствие между произвольными изменениями состояния процесса и упомянутой скалярной величиной, будем называть одной из возможных математических моделей для определения интервала времени.

Как известно, приращение Ах или же производная dT/dh, когда функция дифференцируема, характеризует эволюцию х(1), однако в общем случае они выражаются через Ј и потому без дополнительного преобразования не могут быть использованы для определения собственного времени процесса. В последующих разделах рассказ пойдет о том, как это можно сделать для различных графиков {!,"Ј(!)}. В этой связи хотелось бы сразу же настроить читателя на критическое прочтение последующего материала и на поиск иных путей математического моделирования собственного времени процесса. По этому поводу уместно напомнить и в шутку и всерьез «постулат» Персига: число разумных гипотез, объясняющих любое данное явление, бесконечно.

Модель собственного времени эволюционного процесса

Рассмотрим одномерный процесс, состояние которого определяется скалярной функцией х(1), Ј;Ђ/ Этот процесс будем называть эволюционным (монотонным), если для любых двух актов наблюдения i и Ј₂€Л подчиненных условию i<b. функция х(Ј) удовлетворяет либо неравенству вида



либо противоположному неравенству

В первом случае л;(|) монотонно возрастает, во втором случае -- монотонно убывает.

Вначале введем понятие собственного времени процесса, состояние которого во все акты наблюдения остается неизменным, т. е. x(l) = const. Если через т обозначить его собственное время и присвоить ему некоторое значение то в какой-либо акт наблюдения Ј₀6Л то естественно считать, что

Итак, условимся в следующем: при отсутствии изменений в состоянии процесса его собственное время останавливается, прекращает свой ход.

Данное соглашение вполне соответствует понятию психологического времени наблюдателя, расположенного в изолированном от внешнего мира пустом помещении. Если в качестве процесса он будет рассматривать любое изменение в помещении (себя самого не включает в состав системы), то ввиду того что в течение, скажем, нескольких дней он не обнаруживает никаких заметных изменений, у него создается впечатление, что время остановилось.

Теперь перейдем к рассмотрению строго эволюционного процесса, в котором х(|), lЈ[a, b] подчинено неравенству

Ради простоты положим х(а) = --оо и х(Ь) = -оо. Возьмем произвольное положительное число X и поставим ему в соответствие единицу времени е_х по следующему правилу:

будем говорить, что между двумя актами наблюдения |и|", причем Ј', "Ј [а, Ь] и '<С", прошла единица времени е_х, если

Иными словами, единицей е_х собственного времени называется продолжительность процесса между двумя его состояниями, различающимися на величину к.

Если А, зафиксировано и е_х -- соответствующая ему единица времени, то можно определить произвольную s-долю е_х, где S -- положительное число. Действительно, полагая

и применяя сформулированное правило для нахождения е_х* по заданному к*, получим

Отметим, что 5-доля е_х, так же как и сама е_х, являются не умозрительными, а натуральными мерами собственного времени строго монотонного процесса. Подобно тому, как каждая доля астрономического времени точно характеризуется перемещением какой-либо отмеченной звезды от одного положения на небосводе к другому, так и в рассматриваемом случае с интервалами времени связаны конкретные состояния процесса. Наличие е_х и s-доли е_х позволяет естественным образом ввести понятие моментов собственного времени процесса. Обозначим, как и ранее, через т время протекания процесса, присвоив ему произвольное числовое значение т=то в некоторый фиксированный акт |₀ наблюдения. Определим, какое значение следует приписать т, которое соответствует акту наблюдения |(|>Јо). Если положить

где N-- натуральное ч-исло и 0^у<1, то легко видеть что

Остается рассмотреть общий эволюционный процесс рис. В этом случае интервал наблюдений /, вообще говоря, представляется в виде объединения взаимно непересекающихся подин-тервалов Г_а и If.

На Г_а процесс строго эволюционный,

на J состояние процесса не меняется, т.е. x(l) =.const. Применяя на каждом подинтервале сформулированные ранее соответствующие правила, мы легко сможем развить понятие собственного времени эволюционного процесса. Однако не станем заниматься этим делом, поскольку оно не вызывает особых затруднений,

Сделаем два полезных замечания. Предположим прежде, что ось наблюдений отождествляется с осью астрономического времени. Тогда первое, что можно обнаружить, это непостоянство единицы времени е_к в астрономической шкале времени. В свою очередь, и астрономические единицы оказываются непостоянными, если их измерять с помощью шкалы собственного времени процесса с единицей е_х. С подобной ситуацией мы уже встречались, когда рассматривали звездные сутки и атомную секунду.

Второе замечание относится к характеру взаимоотношений собственного времени эволюционного процесса и астрономического времени. Как легко видеть, на Г_а между собственным временем процесса и астрономическим временем, хотя бы в ретроспективе, существует взаимно однозначное соответствие, а на такого соответствия нет. С математической точки зрения совершенно равноправно использование любого из двух различных времен, между которыми установлено взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие. Когда же упомянутого соответствия нет, то вполне естественно остановить свой выбор на использовании собственного времени процесса и всячески избегать применения астрономических часов, хотя они и стали для нас очень привычными.

Натуральные меры времени колебательного процесса

Читатель, вероятно, обратил внимание на принципиальное сходство правил для определения единицы и произвольной доли собственного времени эволюционного процесса. Такое сходство не случайное. Оно прямое следствие использованного нами в неявной форме предположения о том, что все состояния процесса равноправны и нет никаких причин отдавать предпочтение некоторым из них. Однако в общем случае можно выделить чем-то примечательные состояния, в их числе, например, такие, которые разделяют процесс на стационарные и строго эволюционные участки. Перечисление таких состояний могло быть положено в основу определения натуральных мер собственного времени процесса. О том, какие возможности здесь открываются, мы расскажем применительно к колебательному процессу.

Воспользуемся опытом астрономии по моделированию циклической единицы времени. Как было отмечено в соответствующем месте, этот опыт можно распространить на более широкий класс колебательных процессов при условии, что в основном определении понятию повторяющихся «одинаковых» состояний процесса будет приписан вполне конкретный смысл. Остановимся на трех возможностях, хотя таковых может быть значительно больше.

1. Рассмотрим одномерный колебательный процесс, который на интервале наблюдений Ј6/ задается непрерывной функцией х(1) (рис. 5). Примем в качестве повторяющихся «одинаковых» состояний процесса точки локальных максимумов графика {I, х(1)}. Вообще говоря, значения функции в этих точках различны, однако в качественном отношении их можно считать одинаковыми. В таком случае вполне естественным выглядит следующее определение: единица исчисления последовательности локальных максимумов называется натуральной мерой собственного времени произвольного колебательного процесса. Обозначим эту меру через e_max.

Если же в роли повторяющихся «одинаковых» состояний рассматривать последовательность локальных минимумов графика функции хЦ), I, то аналогично предыдущему получим еще одну натуральную меру времени e_mm.

Последовательности локальных максимумов и локальных минимумов, разделяющие друг друга, можно интерпретировать как единую последовательность с чередованиями максимумов и минимумов. Единица для перечисления элементов новой последовательности определяет третью натуральную меру времени, которую обозначим через е.

Натуральные меры e_max и e_min, очевидно, более крупные в сравнении с е. Кроме того,

Размещено на http://www.allbest.ru/

т.е. е_тах и е_тш образуются в результате сложения двух натуральных мер е, следующих друг за другом. Из этих соотношений не следует делать вывод об отождествлении е_тах и e_min хотя бы потому, что в их состав входят различные е.

Поясним это на гипотетическом примере. Предположим, что существует колебательный процесс, который по шкале астрономического времени выходит на локальные максимумы в 0 часов, а на локальные минимумы -- в 12 часов. Меры е_тах и е_тт содержат в себе по 24 часа, однако исчисляют они разные моменты, соответственно нулевые и 12-часовые. Мера е состоит из 12 часов и исчисляет чередующиеся нулевые и 12-часовые моменты.

Возьмем два календарных промежутка времени. Первый -- под названием, скажем, 14 февраля 1990 г.-- с началом в 0 часов и концом в 24 часа (это мера е_тах) и второй -- с началом в 12 часов 14 февраля и концом в 12 часов 15 февраля (это мера e_min). Обе меры складываются из двух натуральных мер е, следующих друг за другом, но только одна с началом в 12 часов и концом в 24 часа 14 февраля является общей частью для е_тах и е_т[п. Из данного примера следует, что отождествлять е_шах и e_min бессмысленно, трудно также говорить и о каком-то их равенстве.

Теперь воспользуемся полезной аналогией для того, чтобы дать необходимые разъяснения примененному нами формализму при определении натуральных мер времени колебательного процесса. Перенесемся мысленно на несколько тысячелетий назад в компанию древнего наблюдателя, поставившего перед собой цель ввести понятие суток. Предположим, что на пути к достижению этой цели ему приглянулся всего лишь один признак -- степень освещенности окружающей его среды. Не располагая измерительными средствами, он будет доверяться своим природным способностям распознавать различные, в частности минимальные и максимальные, степени освещенности предметов.

Итак, перед глазами древнего наблюдателя развивается колебательный процесс. По собственному вкусу он может определить сутки как единицу исчисления либо максимумом (аналог меры е_тах), либо минимумов освещенности (аналог меры е_тЫ). Его выводы, основанные на созерцании, лишь приближенно будут отражать реальную действительность. Однако это не поставит под сомнение саму идею измерения суток. Для древнего наблюдателя максимумы (минимумы) освещенности -- суть одинаковые повторяющиеся события, даже если бы он узнал, что тени от одного и того же предмета, освещаемого Солнцем, в соответствующие акты наблюдения имеют различную длину.

2. Рассмотрим одномерный ритмический процесс, определение которого приводилось ранее. Это, по существу, все тот же колебательный процесс, однако получивший специальное название в связи с тем, что в нем обращено внимание на средние значения наблюдаемой переменной, которые можно трактовать как «одинаковые» повторяющиеся состояния процесса (рис. 6). Эти состояния разбивают процесс на участки с положительными и отрицательными значениями вариации наблюдаемой переменной.

В качестве натуральной меры е_г собственного времени ритмического процесса можно взять единицу исчисления повторяющихся средних его состояний. Можно определить и более крупную меру ef как единицу исчисления последовательности самих ритмов. И здесь, очевидно,

Введение натуральных мер ef и е_г аналогично тому, как если бы древний наблюдатель решился определять понятия суток, дня и ночи на основе перечисления восходов и заходов Солнца. Эти события он мог рассматривать как средние состояния процесса движения Солнца вокруг Земли, а его положения над горизонтом и под ним как вариации положительного и отрицательного знака, с которыми связаны светлая и темная части суток.

3. Обратимся к циклическому процессу, определение которого было приведено в соответствующем разделе. Каждый цикл такого процесса состоит из упорядоченной последовательности подпроцессов Л,и наблюдения они следуют друг за другом так, что окончание подпроцесса Д. совпадает с началом подпроцесса A_i+l (если t -- n, то А_п+Х = А₁, рис. 7). В циклическом процессе «одинаковыми» повторяющимися состояниями являются начала одного и того же подпроцесса Д₁ = 1, ..., п.

Следовательно, единицу исчисления последовательности «одинаковых» состояний можно положить в основу определения натуральной меры е_с собственного времени циклического процесса. Можно ввести и более мелкие натуральные меры e_ci как продолжительность протекания подпроцесса Л₁ в пределах одного цикла. Но тогда



Выскажем ряд замечаний по поводу введенных в данном разделе натуральных мер времени колебательного процесса. Аналогии и примеры, которыми мы воспользовались, подсказывают нам, что изложенные способы определения единиц измерения времени далеко не искусственные. Эти способы покоятся на идее повторяемости ситуаций, которую выдвинули древние люди для формирования своих представлений о сутках, а затем и о месяце и годе. Астрономия подхватила саму идею и начала развивать ее, совершенствуя технические средства для измерения механических движений небесных тел. Так почему же не повторить этот путь, если речь идет о разработке понятия собственного времени конкретного процесса?

Второе замечание касается взаимоотношения натуральных мер времени е_тах, которые показывают, что существуют большие и малые меры времени и что какие-то из них содержатся в других.

Поскольку локальные максимумы и минимумы в общем случае могут присутствовать на участках вариации одного знака в ритмических процессах, а также внутри подпроцессов А₁ =1, ...,п циклического процесса, то очевидны следующие вложения:



Если применить язык аналогий, то можно, например, назвать меру е собственными «полусутками» колебательного процесса, e_s собственными «сутками», е_г -- собственным «полугодием» и т.п.

Последнее замечание связано с непостоянством любой из этих мер времени по астрономическим часам. Все это может вызвать сомнение в перспективности применения собственного времени процесса. Однако такое же сомнение адресуется и астрономическому, и атомному, и любому другому времени.

Вспомним по этому поводу высказывание А. Пуанкаре: «Когда я говорю: от двенадцати часов до часа проходит то же время, что и от двух до трех, какой смысл имеет это утверждение?

При малейшем размышлении обнаруживается, что оно само по себе не имеет никакого смысла. Оно получит только тот смысл, какой мне угодно будет придать с помощью определения, допускающего, конечно, известную степень произвола».

Далее, выберем один из участков, например, такой, который начинается от локального минимума и заканчивается локальным максимумом, и предположим, что ему соответствует отрезок [а,Ь}^1 на оси наблюдения (рис. 8).

Обозначим через т собственное время процесса. Согласно п. 1 предыдущего раздела отрезку наблюдения [а, Ь] соответствует натуральная мера времени е. Поставим также в соответствие малому промежутку наблюдения ДЈе[а, Ь] некоторый промежуток Дт собственного времени процесса. Из этой пропорции получим формулу для вычисления

Предположим, что х(1) непрерывно дифференцируема на [а, Ь]. Тогда

Исключая из этого и предыдущих равенств ДЈ, получим

(4)

Если от конечных приращений Дт и Ах перейти к бесконечно малым величинам йт и dx, то формула примет вид:

(5)

Модель бесконечно малого промежутка собственного времени процесса

Рассмотрим одномерный колебательный процесс, состояние которого на интервале наблюдения / описывается непрерывной функцией x(h,), |e/. На графике этой функции отметим точки локальных максимумов и локальных минимумов и разобьем с их помощью весь процесс на отдельные участки, в которых процесс развивается эволюционно.

Подвергнем анализу эти формулы. В правых частях у них в качестве множителя присутствует натуральная мера времени е. Она показывает, в какой единице измерения (в каком масштабе или какой размерности) производится вычисление т. Если это запомнить, то е можно и не писать, по крайней мере в тех случаях, в которых не могут возникнуть недоразумения.

Правые части формул (4) и (5) содержат переменную g -- акт наблюдения. В соответствии с постановкой вопроса о моделировании собственного времени процесса нам необходимо получить выражения Дт и йт, независящие явным образом от I и, в частности, от конкретных значений l = aw l = b. С этой целью введем новое обозначение для функции состояния = /(Ј). Полагая для простоты существование для всех хе [Л, В] обратной функции Ј = 1^-1. и исключая с ее помощью I в правых частях (4) и (5), мы можем записать, например, формулу (5) в следующем виде:

Напомним, что A=f(a) и B = f(b), см. рис. 8.

Уравнение (6) определяет однопараметрическое семейство интегральных кривых, которые, пользуясь терминологией специальной теории относительности, являются мировыми линиями процесса. Рассмотрим частные случаи (6),придавая функции состояния конкретный вид.

1. Процесс -- линейный, х=а!; + р, |e[a, b]\ a, p -- константы. Поскольку

то после подстановки этих величин в (5) получим



Легко заметить, что полученная формула как частный случай содержит в себе определение интервала времени в специальной теории относительности. Если же трактовать эту формулу как дифференциальное уравнение, то она будет характеризовать однопараметрическое семейство параллельных прямых, которые являются мировыми линиями линейного процесса.

Процесс описывается степенной функцией x -- al^m, e[a, b] a, m -- константы. Так как

то формула (6) принимает вид:

Это уравнение определяет семейство интегральных кривых

которые являются мировыми линиями данного процесса.

3. Процесс задается экспоненциальной функцией х = ае*¹, I [a, b] a, 3 --константы. Имеем:

Поэтому (6) записывается в виде

Несложно вычислить семейство мировых линий экспоненциального процесса:

Итак, интервал собственного времени линейного процесса определяется как выраженное в натуральной мере е отношение малого изменения состояния процесса к полному изменению за весь период наблюдения.

4. Процесс -- синусоидальный, х = a sin р, Iee [0,л 2р]; а, р -- константы. Так как

или же (6) получим

Однопараметрическое свойство мировых линий синусоидального процесса имеет вид:

c - произвольная константа.

Даже этих четырех примеров достаточно для того, чтобы понять, какое разнообразие понятий собственного времени и семейств мировых линий содержат в себе соотношения (5) и (6). Перед нами открывается необозримое поле деятельности, которое может оказаться таким же привлекательным, как, например, исследования в области специальной теории относительности. О конкретных продвижениях в этом направлении будет рассказано в последующих разделах.

Отметим также, что при получении формулы (6) мы предположили существование обратной функции l=f~^l (x) при всех х<е [А, В]. Для рассмотренного нами участка процесса между локальным минимумом и локальным максимумом функция состояния монотонно возрастает и в общем случае может содержать точки перегиба и интервалы постоянных значений, т.е. такие множества, в которых нарушается наше предположение. Однако же, если вспомнить принятое нами положение о том, что на этих множествах собственное время процесса не меняется (остается постоянным), то становится ясным, что их присутствие не создает каких-либо дополнительных трудностей.

Подводя предварительные итоги сказанному, обратим внимание читателя на то, что изложенное здесь понятие промежутка собственного .времени процесса учитывает и циклический и эволюционный характер процесса. Из цикличности (в данном случае от повторений состояний, локальных максимумов и локальных минимумов) извлекается натуральная мера времени е, а от эволюционное исходит понятие сколь угодно-малой доли е. Следовательно, математическую модель времени можнр рассматривать как один из вариантов реализации концепции Ф. Вестера о совместном учете циклических и эволюционных процессов в развитии проблемы времени.



Модель собственного времени конечномерного процесса

В трех предыдущих разделах объектом исследования был одномерный процесс. Теперь мы подготовлены к тому, чтобы перейти к более общему случаю.

Предположим, что на интервале наблюдений вещественной оси Ј задана непрерывно дифференцируемая векторная функция х(1) -- (х (1), ..., «(Ј))> характеризующая состояние процесса в акты наблюдения |е/. Рассматривая каждую компоненту, (Ј), i= 1п по отдельности и анализируя ее так, как это было сделано для одномерного процесса, мы можем определить натуральную меру ей i= 1, ..., п и промежуток dx,- собственного времени по формуле (5) или (6) предыдущего раздела:

(7)

где 1 = uj и l = bi -- отмеченные по оси I акты наблюдения соответственно локального минимума и следующего за ним локального максимума или же наоборот.

Без каких-либо особых ограничений общности мы можем положить, что все отрезки [а,] имеют общее пересечение -- некоторый отрезок [а⁰,]. Последующие рассуждения будут привязаны именно к нему.

Собирая собственные времена отдельных компонент воедино, получим вектор собственного времени конечномерного процесса.

Мысль о том, что процесс может характеризоваться несколькими независимыми "временами, встречается в научной литературе. Вспомним, например, три биологических ритма человеческого организма -- 23-дневный физический, 28-дневный эмоциональный (психический) и 33-дневный интеллектуальный (правда, среди исследователей нет единого мнения о том, что эти ритмы независимы).

Теперь введем в рассмотрение 2п-мерное пространство Е^п, элементами которого являются точки (х, т). В этом пространстве совокупность формул (7) определяет параметрическое семейство мировых поверхностей конечномерного процесса, аналогичных понятию светового конуса в специальной теории относительности. В связи с тем, что система формул (7) распадающаяся, пространство Е^2п выглядит как искусственное образование. Вместо него можно было бы пользоваться п отдельными двумерными подпространствами Ef, i = 1, ..., п с элементами (х₁- т₁).

Между тем пример с макробиоритмами подсказывает нам реальный путь для конструирования неформальных пространственно-временных диаграмм. Действительно, попытка прогнозирования так называемых критических дней, в которые повышается вероятность травм, несчастных случаев, недомоганий и т.п., означает не что иное, как применение в неявном виде некоторого суммарного итогового времени вместо трех независимых времен. Развивая эту идею, мы должны сопоставлять вектору собственного времени т некоторую скалярную функцию от него, выполняющую роль единого времени конечномерного процесса.

Расскажем о двух вариантах построения такой функции. В первом варианте вектору dx ставится в соответствие его модуль. Однако предварительно с помощью согласующих коэффициентов 7i = 1,...,n натуральные меры е, отдельных компонент необходимо привести к единой размерности:

Полагая, что это уже проделано и опуская в записи е, получим



Разумеется, в этой формуле переменная I и ее конкретные значения щ, 6, должны быть выражены через х, и их значения Д, Ј, с помощью обратных функций.

Если теперь ввести (п-1) -мерную пространственно-временную диаграмму с элементами (х_и -, х_п, т), то на ней формула (8) определит семейство мировых поверхностей рассматриваемого процесса, существенно отличную от той, которая оговаривалась ранее.

Опишем в конспективном виде сущность второго варианта. Для того чтобы построить единое время, несущее общую информацию о независимых временах отдельных компонент процесса, рассмотрим как одно целое все последовательности локальных максимумов и локальных минимумов функций состояний, -(Ј), i = 1, ..., п. Упорядочивая элементы вновь полученной последовательности и интерпретируя их как повторяющиеся одинаковые состояния конечномерного процесса, мы можем ввести натуральную меру времени е для исчисления таких состояний. Понятно, что между любыми двумя элементами последовательности процесс имеет эволюционный характер по каждой своей компоненте. Вычисляя дифференциал собственного времени dxi для каждой компоненты по формуле, аналогичной (7), и отмечая, что все dii имеют одинаковую размерность е, мы можем подсчитать квадрат дифференциала обобщенного времени как сумму квадратов dx_t. Получим

где 1 = а* и h = b* -- какие-либо последовательные элементы из упомянутой выше последовательности «одинаковых» состояний процесса. Это уравнение на (п-j-1)-мерной пространственно-временной диаграмме определит новое семейство мировых поверхностей, отличное от того, которое удовлетворяет (8).

Помимо двух изложенных вариантов, существует и множество других, в которых иными способами вместо векторного собственного времени конечномерного процесса вводится в рассмотрение одномерное обобщенное время. Выбор последнего, конечно, должен быть связан с конкретными целями исследования.

Пространственно-временные метрики типа Минковского

Свой знаменитый доклад «Пространство и время» Г. Минковский сделал 21 сентября 1908 г. на собрании немецких естествоиспытателей и врачей в Кельне. В нем в доступной форме он разъяснил свои представления о формальном объединении в одно целое пространства и времени. Он говорил, что «предметом нашего восприятия всегда являются только места и времена, взятые вместе. Никто еще не наблюдал какого-либо места иначе, чем в некоторый момент времени, и какое-нибудь время иначе, чем в некотором месте».

Рассматривая произвольную пространственную точку в какой-нибудь момент времени, Г. Минковский называет фиксированную совокупность (х, у, z, t) мировой точкой, а многообразие всех мыслимых ее значений -- четырехмерным миром. В этом мире он записал метрику в виде ds² = c²dr -- (dx² + dy + -dz²), с -- скорость света, и тем самым сообщил ей размерность квадрата длины, но мог также воспользоваться и другим представлением:

в котором метрика имеет размерность квадрата времени.

Важным свойством метрики Минков-ского (независимо от формы представления) является ее инвариантность относительно преобразований Лоренца или, что то же самое, относительно инерциальных систем отсчета.

Введенные в предыдущих разделах понятия собственного времени процесса и формулы для вычисления их дифференциалов представляют возможность построения пространственно-временных метрик типа Минковского. Действительно, для одномерного процесса можно воспользоваться либо выражением, которые различаются размерностями, приписываемыми ds². Отметив, что мы опускаем в этих выражениях натуральную меру времени е. Кроме того, переменная I и ее конкретные значения 1 = а и l -- b должны быть исключены с помощью функции Ј = Ј(*), обратной к функции состояния х = х(1).

либо

Условие ds² = 0 на диаграмме (х, т) определяет два однопараметрических семейства мировых линий. Одно из семейств удовлетворяет уравнению (5), другое -- уравнению, которое отличается от (5) всего лишь знаком минус перед правой частью и определяет, по-видимому, собственное время процесса при обратном его течении.

Если в произвольной мировой точке процесса взять произвольное направление, отличное от мировой линии, то ds² в общем случае может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Для того чтобы ds² сделать знакоопределенной, потребуется наложить какие-то дополнительные ограничения на свойства процесса. Г. Минковский обеспечил своей метрике положительное значение, приняв следующую аксиому: «Субстанция (материя или электричество), находящаяся в любой мировой точке, всегда при надлежащем определении пространства и времени может быть рассматриваема как находящаяся в покое». Или же иначе: скорость света является верхним пределом для всевозможных субстанциональных скоростей.

Теперь обратимся к конечномерным процессам. Если придерживаться понятия вектора собственного времени, характеризующего эволюцию состояний процесса, то можно предложить к рассмотрению пространственно-временные метрики вида

Как и раньше, переменная \ и ее конкретные значения От и 6, должны быть выражены через я с помощью функций, обратных к Xi = Xi{l).

Если же вместо вектора собственного времени процесса вводится понятие общего времени, дифференциал которого задается формулой (8), то

а если же дифференциал задается формулой (9), то



В этих двух соотношениях ds имеет размерность т. Если мы пожелали бы иметь дело с соотношениями, в которых ds обладает размерностью х, то получить их могли бы без особого труда. Соответствующие соотношения мы не приводим только потому, что они довольно громоздкие.

Относительно введенных здесь пространственно-временных метрик конечномерного процесса следует высказать почти дословно те же самые замечания, что и в случае одномерного процесса.

Алгоритм для вычисления собственного времени процесса

Все, о чем было рассказано в нескольких предыдущих разделах, в большей степени ориентировалось на проведение дальнейших исследований по проблеме собственного времени процесса и в значительно меньшей степени на практические применения. Восполняя этот пробел, изложим один из способов вычисления собственного времени процесса на основании статистических данных о его эволюции.

Рассмотрим одномерный процесс, состояние которого характеризуется вещественной переменной х. Предположим, что наблюдения за динамикой процесса выполняются в астрономическом времени t, так что t = t_k и x = x_k, k =1, ..., п -- фиксированные моменты наблюдения и соответствующие им значения состояний процесса. Существует множество разнообразных математических методов, позволяющих построить такие кривые, которые либо проходят через точки (t_k, Xk), либо «наилучшим o6paзом» приближаются к ним. Получаемые при этом функции x = x(t) порождают, в нашем сознании впечатление, что рассматриваемый процесс зависит от механического движения небесных тел и, следовательно, его состояние выражается через астрономическое время t. С таким выводом можно было бы считаться; если не возникали бы постоянные трудности при попытках прогнозировании дальнейшего протекания процесса. Для большого числа разнообразных процессов, не имеющих прямого отношения к механическим движениям небесных тел, получаемые с помощью функции x = x(t) теоретические предсказания за пределами интервала наблюдения начинают значительно отклоняться от последующих экспериментальных данных. Причину расхождения теории и эксперимента обычно пытаются объяснить неудачно подобранным методом обработки, однако существо дела может быть и не в этом.

Любой интересующий нас процесс протекает во Вселенной. Он, безусловно, «чувствует» на себе воздействие движения небесных тел. Однако Это воздействие может оказаться «нежестким», неопределяющим. Это, в частности, может проявляться в том, что на определенных интервалах течения астрономического времени состояние процесса остается неизменным. Вспомним в связи с этим приведенный ранее пример с замкнутым пустым помещением, изолированным от внешнего мира. Впустим в помещение всего лишь одну живую муху. В течение нескольких дней изменения в состоянии системы «помещение - муха» будут зависеть от перемещений мухи, поскольку изменений в состоянии помещения ожидать не приходится. Вместе с тем трудно вообразить, что поведение мухи жестко связано с ходом астрономического времени.

Сделав столь длинное отступление, перейдем к описанию алгоритма для подсчета собственного времени процесса.

В этом алгоритме в качестве натуральной меры времени выбирается единица исчисления локальных максимумов. Кроме того, принимаются во внимание возможные участки стационарного состояния процесса, на которых, как отмечалось раньше, собственное время останавливается. Поскольку о идентичности двух состояний можно говорить только в пределах точности измерений, то в дальнейшем используется некоторое положительное число е -- допустимая ошибка измерений.

...