Математический анализ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Академия управления при Президенте Республики Беларусь

Высшая математика

Система открытого образования

Курс лекций Часть II

3-е издание, стереотипное

Математический анализ

О.Б. Плющ

Б.В. Новыш

Минск 2005

УДК 51

ББК 22.1

П40

Серия основана в 2001 году

Рекомендовано к изданию Комиссией по приемке и аттестации электронных версий учебных и учебно-методических материалов Академии управления при Президенте Республики Беларусь.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Академии управления при Президенте Республики Беларусь.

ISBN 985-457-449-0 (ч.II) Плющ О.Б., 2004

ISBN 985-457-447-4 Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2004



Содержание

Тема 1. Функции

Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Тема 3. Исследование функций

Тема 4. Пространство

Тема 5. Неопределенные интегралы

Тема 6. Определенные интегралы

Тема 7. Понятие кратного интеграла

Тема 8. Ряды

Тема 9. Дифференциальные уравнения

Вопросы к экзамену

Литература

Тема 1. Функции

дифференциальный переменный зависимость интеграл

Основные понятия:

функциональная зависимость; функция; область определения функции; множеством значений функции; независимая переменная; зависимая переменная; график функции; четная и нечетная функции; нуль функции; период функции; монотонная функция; асимптота графика функции; обратная функция; точка сгущения; предел функции; замкнутое множество; открытое множество; односторонние пределы; пределы на бесконечности; непрерывность функции; односторонняя непрерывность функции; сложная функция; точки разрыва.

Основные понятия

При изучении различного рода явлений приходится иметь дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой таким образом, что значения одних величин, (независимых переменных), полностью определяют значения других (зависимых переменных). В этом случае говорят о функциональной зависимости между переменными. Функция или функциональная зависимость - одно из основных математических понятий, при помощи которого моделируются взаимосвязи между различными величинами. Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных математических категорий, однако функции можно дать достаточно точное определение.

Пусть _ некоторое числовое множество и пусть задан закон (правило) , по которому каждому числу ставится в соответствие единственное число , обозначаемое . Тогда говорят, что на множестве задана функция и записывают: или Чаще используют более простую терминологию: задана функция , .

Множество называют областью определения функции . Множество называют множеством значений функции . При этом называют независимой переменной или аргументом функции, - зависимой переменной или значением функции, а - характеристикой функции. Для обозначения функциональной зависимости можно употреблять любую другую букву (, , , и т.д.). Частное значение функции при записывается как .

Существуют аналитический, графический, табличный и др. способы задания функции.

При аналитическом способе зависимость между переменными определяется формулами. Если при этом множество не указано, то считают, что функция задана в естественной области определения, т.е. на таком множестве, где эти формулы имеют смысл.

При графическом способе задания функции зависимость между переменными отражается с помощью графика. Графиком функции на плоскости называется геометрическое место точек , координаты которых связаны функциональной зависимостью.

При табличном способе задания функции выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции. Таблица дает не все значения функции, причем промежуточные значения функции могут быть найдены лишь приближенно при решении интерполяционной задачи. Поэтому в общем случае найти точное аналитическое выражение функции по ее табличным данным нельзя. Однако всегда можно построить интерполяционную формулу, и притом не одну (например, многочлен Лагранжа), которая для значений аргумента, имеющихся в таблице, будет давать соответствующие табличные значения функции.

Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из которых относятся: четность, нули, периодичность, ограниченность, монотонность функции, а также наличие у функции асимптот и обратной функции:

Функция называется четной, если для любого значения ее аргумента из области определения выполняется равенство . Сумма, разность и произведение четных функций есть функция четная;

Функция называется нечетной, если для любого значения аргумента из области ее определения выполняется равенство . Сумма и разность нечетных функций есть функция нечетная, а частное и произведение нечетных функций - функция четная;

Нулями функции называют значения аргумента, при которых функция обращается в ноль. Графически нулями функции являются точки пересечения графика функции с осью абсцисс;

Функция называется периодической, если существует число такое, что для каждого значения аргумента из области ее определения выполняется равенство . Число называют периодом этой функции;

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. . Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. . Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными;

Асимптотой графика функции называется прямая, к которой сколь угодно близко приближается график данной функции при стремлении аргумента к бесконечности (горизонтальная и наклонная асимптоты), или к некоторому числу (вертикальная асимптота);

Функция называется ограниченной сверху (снизу), если существует число такое, что для каждого значения аргумента из области ее определения . Функция называется ограниченной, если существует число такое, что для каждого значения аргумента из области ее определения ;

Функция называется обратной по отношению к , если при подстановке её вместо аргумента получается тождественное равенство: ;

Если каждому значению переменной соответствует одно значение переменной , то называется однозначной функцией от ; если хотя бы некоторым значениям переменной соответствует несколько (два, три или бесконечное множество) значений , то называется многозначной (двузначной, трехзначной и т.д.) функцией от .

Понятие числовой последовательности

Числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Если функцию задать на множестве натуральных чисел , то множество значений функции будет счетным и каждому номеру ставится в соответствие число . В этом случае говорят, что задана числовая последовательность. Числа называют элементами или членами последовательности, а число - общим или -м членом последовательности. Каждый элемент имеет последующий элемент . Это объясняет употребление термина «последовательность».

Задают последовательность обычно либо перечислением ее элементов , либо указанием закона, по которому вычисляется элемент с номером , т.е. указанием формулы ее _го члена .

Пример. Последовательность может быть задана формулой: .

Обычно последовательности обозначаются так: и т.п., где в скобках указывается формула ее -го члена.

Пример. Последовательность _ это последовательность

Множество всех элементов последовательности обозначается .

Пусть и _ две последовательности.

Суммой последовательностей и называют последовательность , где , т.е. .

Разностью этих последовательностей называют последовательность , где , т.е. .

Если и _ постоянные, то последовательность , называют линейной комбинацией последовательностей и , т.е.

.



Произведением последовательностей и называют последовательность с -м членом , т.е. .

Если , то можно определить частное .

Сумма, разность, произведение и частное последовательностей и называются их алгебраическими композициями.

Пример. Рассмотрим последовательности и , где . Тогда , т.е. последовательность имеет все элементы, равные нулю.

, , т.е. все элементы произведения и частного равны .

Если вычеркнуть некоторые элементы последовательности так, чтобы осталось бесконечное множество элементов, то получим другую последовательность, называемую подпоследовательностью последовательности . Если вычеркнуть несколько первых элементов последовательности , то новую последовательность называют остатком.

Последовательность ограничена сверху (снизу), если множество ограничено сверху (снизу). Последовательность называют ограниченной, если она ограничена сверху и снизу. Последовательность ограничена тогда и только тогда, когда ограничен любой ее остаток.

Сходящиеся последовательности

Говорят, что последовательность сходится, если существует число такое, что для любого существует такое , что для любого , выполняется неравенство: .

Число называют пределом последовательности . При этом записывают или .

Пример. .

Покажем, что . Зададим любое число . Неравенство выполняется для , такого, что , что определение сходимости выполняется для числа . Значит, .

Иными словами означает, что все члены последовательности с достаточно большими номерами мало отличается от числа , т.е. начиная с некоторого номера (при ) элементы последовательности находятся в интервале , который называется -окрестностью точки .

Последовательность , предел которой равен нулю (, или при ) называется бесконечно малой.

Применительно к бесконечно малым справедливы утверждения:

Сумма двух бесконечно малых является бесконечно малой;

Произведение бесконечно малой на ограниченную величину является бесконечно малой.

Теорема. Для того чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно чтобы , где - постоянная; - бесконечно малая.

Основные свойства сходящихся последовательностей:

Сходящаяся последовательность имеет только один предел;

Сходящаяся последовательность ограничена;

Если , то ;

При любых постоянных и ;

;

Если , и , то ;

Если , то ;

Если и , то ;

Если , то .

Свойства 3. и 4. обобщаются на случай любого числа сходящихся последовательностей.

Отметим, что при вычислении предела дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой линейные комбинации степеней , предел дроби равен пределу отношения старших членов (т.е. членов, содержащих наибольшие степени числителя и знаменателя).

Последовательность называется:

возрастающей, если ;

строго возрастающей, если ;

убывающей, если ;

строго убывающей, если .

Все такие последовательности называют монотонными.

Теорема. Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она сходится и ее предел равен ее точной верхней грани; если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своей точной нижней грани.

Бесконечный предел

Наряду с бесконечно малыми существуют и бесконечно большие величины, являющиеся обратными по отношению к бесконечно малым. Поэтому является бесконечно большой (, при ), если такое, что при .

Говорят, что предел последовательности равен , если для такое, что выполняется неравенство: .

В отличие от бесконечно малых последовательностей, бесконечно большие могут не иметь предела. Например, по модулю неограниченно растет, но сама величина не имеет определенного стремления.

Замечательные пределы

Важную роль на практике играют замечательные пределы, используемые, например, при вычислении пределов функций. Приведем два замечательных предела:

, где

Покажем, что

Для простоты примем, что (см. Рис.1.), причем, так как дуга стремится к нулю при , то можно считать, что (указанное допущение не является принципиальным, но позволит использовать геометрическую интерпретацию). Сравним величины и с помощью диаграммы, построенной в первом квадранте.

Площади треугольников , и сектора соотносятся следующим образом:



Отсюда , и после деления на , получим , а для обратных величин . Так как при последовательность , а, следовательно, , то видно, что последовательность заключена между двумя последовательностями, имеющими общий предел, равный 1. Таким образом, можно сделать вывод, что для бесконечно малой последовательности , справедливо равенство .

При анализе второго замечательного предела необходимо показать, что последовательность является монотонно возрастающей и ограниченной сверху. Для этого можно воспользоваться формулой бинома Ньютона, положив, что , а . Тогда:

,

.

Таким образом, , так как в каждом слагаемом множители вида имеют меньшую величину по сравнению с при одном и том же , а также выражение для имеет на одно положительное слагаемое больше.

Ограниченность сверху можно показать следующим образом:

.

Таким образом, в соответствии с теоремой о монотонной последовательности имеет предел:

,

который обозначается (основание натурального логарифма ).

В высшей математике употребляются почти исключительно натуральные логарифмы, поскольку многие формулы для них оказываются более простыми, чем для логарифмов других систем.

Принцип сходимости

Рассмотрим вопрос о существовании пределов последовательностей концевых точек бесконечной системы промежутков, вложенных друг в друга.

Лемма Кантора. Пусть дана последовательность промежутков , где . Если при этом , то последовательности и имеют равные пределы: .

Теорема Больцано - Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Сходимость последовательности к конечному пределу означает, что все элементы последовательности с достаточно большими номерами мало отличаются от числа и, следовательно, мало отличаются друг от друга.

Принцип сходимости формулируют в виде теоремы, называемой критерием Коши.

Критерий Коши. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда такое, что выполняется неравенство: .

Предел функции. Теорема Гейне

Рассмотрим функцию , определенную на множестве . Пусть . Точка называется предельной или точкой сгущения множества , если в любой окрестности этой точки найдутся точки множества, отличные от . В этом случае из множества можно выделить последовательность , сходящуюся к . К числу предельных точек можно отнести внутренние точки множества, входящие в состав вместе с некоторой окрестностью. Очевидно, что в общем случае точка сгущения может оказаться не внутренней. В качестве примера можно привести множество рациональных чисел , все точки которого в любой окрестности содержат кроме рациональных чисел и иррациональные, которые в не входят.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, и множество называется открытым, если оно состоит из одних внутренних точек.

Функция , определенная на множестве имеет предел в точке сгущения : если для любого найдется такое , что при .

Указанное определение опирается на понятие функции и именуется определением предела по Коши.

Существует эквивалентное определение предела, вытекающее из теоремы Гейне.

Эта теорема сводит понятие предела функции к пределу сходящихся последовательностей значений функции , задаваемых для различных последовательностей , стремящихся к . Можно легко показать, что при любом выборе последовательности , если существует предел соответствующих последовательностей , то этот предел единственен.

Функцию, имеющую предел не следует путать с ограниченной функцией. Функция , имеющая предел при , ограничена в некоторой окрестности точки . Обратное утверждение не верно: ограниченная функция может не иметь предела.

Пределы обладают следующими свойствами:

Если - есть постоянная функция, то ;

Если существуют , и в некоторой окрестности точки функция ограничена, т.е. , тогда ;

Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство справедливо для любого конечного числа функций;

Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии). Это свойство также справедливо для любого конечного числа функций, в частности, справедлива формула ;

Если существуют и при каком-то условии, то (при том же условии);

Если и существуют , и , то .

Односторонние пределы

В определении предела функции предполагалось, что произвольным образом. Если при вычислении предела функции при считать, что , то получают односторонний предел справа или правосторонний предел функции в точке . Если же считать, что и , то получают односторонний предел слева или левосторонний предел.

Так, например, односторонние пределы функции , изображенной на Рис. 2, соответственно, равны: и .



Правосторонний предел обозначают символом , левосторонний _ символом . Таким образом:

.

В этих определениях предполагается, что функция определена на некотором промежутке соответственно справа или слева от точки сгущения .

Для того, чтобы у функции в точке существовал двусторонний предел , необходимо и достаточно, чтобы существовали левосторонний и правосторонний пределы и функции в точке , и эти пределы были равны между собой: .

Пример.

Пример.

Пределы на бесконечности

Кроме предела в точке , можно рассматривать предел в точке, бесконечно удаленной в сторону или . В этом случае понятие предела необходимо уточнить.

Говорят, что предел функции при равен , если для существует такое, что для , удовлетворяющего условию , выполняется неравенство . Аналогично, при , если для существует такое, что для , , выполняется неравенство .

Если функция , где и есть суммы одночленов от переменной то предел отношения при или равен пределу отношения старших членов (т.е. членов с наибольшими степенями переменной функций и ).

Пример 3. , поскольку для выполнено неравенство , если только

Пример 4..

Пример 5..

Бесконечные пределы

Функция называется бесконечно малой при (или , или ) если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех будет верно неравенство .

При () функция называется бесконечно малой, если для сколь угодно малого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство .

Предел бесконечно малой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен нулю, т.е. .

Теорема: Если функция , определенная на множестве имеет предел в точке сгущения (или на бесконечности), то её можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины: .

Справедлива также и обратная теорема: Если функцию , определенную на множестве , можно представить в точке сгущения (или на бесконечности) в виде суммы числа и бесконечно малой величины : то число является пределом этой функции при указанных условиях.

Свойства бесконечно малых величин:

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая;

Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая;

Частное от деления бесконечно малой на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Функция называется бесконечно большой при (или , или ) если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число (), что для всех будет верно неравенство .

При () функция называется бесконечно большой, если для сколь угодно большого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех будет верно неравенство .

Предел бесконечно большой величины в точке сгущения (или на бесконечности) равен бесконечности, т.е. .

Свойства бесконечно больших величин:

Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая;

Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая;

Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел в точке есть величина бесконечно большая.

Теорема. Если функция есть бесконечно малая величина при () то функция есть бесконечно большая величина при ().

Обратная теорема. Если функция есть бесконечно большая величина при () то функция есть бесконечно малая величина при ().

Сравнение бесконечно малых величин:

Две бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми одного порядка, если предел их отношения есть конечное число, отличное от нуля, т.е. ;

Величина называется бесконечно малой величиной высшего порядка по сравнению с , если предел отношения к равен нулю, т.е.;

Величина называется бесконечно малой величиной низшего порядка по сравнению с , если предел отношения к является бесконечно большой величиной, т.е.;

Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными бесконечно малыми, если предел их отношения равен единице, т.е. .

Пользуясь приведенными выше теоремами, которые устанавливают взаимосвязь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, можно распространить эти свойства на бесконечно большие величины.

Решение задачи сравнения бесконечно малых (бесконечно больших) величин связано с необходимостью корректно раскрыть неопределенность . Методы раскрытия этой и других неопределенностей будут подробно рассмотрены позднее.

Если и , то

Если и при а для близких к (т.е. ограничена в окрестности точки ), то .

Пример 8. , т.к. , а

Пример 9. т.к. и при .

Непрерывность функции

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке Пусть . Функция называется непрерывной в точке , если

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке , если . Естественно, при этом функция должна быть определена в некоторой окрестности слева (справа) то точки . Непрерывность функции в точке означает непрерывность этой функции в указанной точке как слева, так и справа.

Функция , определенная на интервале называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала .

Функция , определенная на отрезке () называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Общие свойства непрерывных функций, заданных на отрезке , определяются четырьмя теоремами: двумя теоремами Больцано-Коши и двумя теоремами Вейерштрасса.

Теорема (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков; тогда найдется точка , в которой функция равна нулю.

Теорема (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда, если то функция принимает все свои промежуточные значения, принадлежащие промежутку , где , , т.е. .

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , тогда функция является ограниченной на этом отрезке.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Пусть функция определена и непрерывна на отрезке , тогда функция имеет минимум и максимум на этом отрезке (множество значений функции включает в себя точные верхнюю и нижнюю границы).

Отметим, прежде всего, что основные элементарные функции непрерывны во всех точках, в которых они определены.

К основным элементарным функциям относятся:

Постоянная функция . Область определения ;

Идентичная функция . Область определения ;

Одночлен , ;

Многочлен , ;

Рациональная функция , где и _ многочлены. Функция определена при всех , кроме корней многочлена ;

Степенная функция . Если , то функция определена, по крайней мере, на . При определена, по крайней мере, на . (При некоторых степенная функция может быть определена на более широком множестве. Например, функция имеет область определения . Функция определена на );

Показательная функция , , . Определена на ;

Логарифмическая функция , , . Определена на ;

Синус , косинус определены на . Эти функции являются периодическими с периодом , т.е. , для любого из ;

Арксинус и арккосинус определены на .

Если и _ непрерывные функции, то их сумма, разность и произведение являются непрерывными функциями. Частное непрерывных функций будет непрерывно всюду, где оно определено. Таким образом, можно утверждать, что всякая арифметическая комбинация непрерывных функций непрерывна всюду, где она определена.

Непрерывность композиции

Пусть задана функция , со значениями в , и на множестве определена функция со значениями в . Тогда для любого можно вычислить , на можно определить функцию со значениями в по правилу: . Говорят, что функция есть композиция функций и и обозначают . (Функцию называют также сложной функцией).

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то композиция непрерывна в точке . Говоря короче (хотя и менее строго), композиция непрерывных функций непрерывна.

Пример 14. Функция непрерывна на , как композиция непрерывных функций и , поскольку такая композиция определена для .

Точки разрыва

Непрерывность функции в точке , т.е. выполнение условия (3), означает, что оба односторонних предела и существуют и равны , т.е.

.

Если условие (4) не выполнено, то точку называют точкой разрыва функции . Условие (4) означает выполнение следующих четырех условий, каждое из которых предполагает выполнение всех предыдущих:

и существуют;

и конечны;

;

.



Если 1. не выполнено, то называют точкой неопределенности.

Если 1. выполнено, а 2. не выполнено, то называют точкой бесконечного скачка.

Если выполнены 1. и 2., а 3. не выполнено, то называют точкой конечного скачка. Величина называется скачком функции в точке .

Если 1., 2., 3. выполнены, а 4. не выполнено, то называют точкой устранимого разрыва.

Если функция определена в окрестности точки и не определена в самой точке , то также называют точкой разрыва. Такие точки классифицируют по той же схеме.

Контрольные вопросы к теме №4

Понятие функции, графика функции, области определения и множества значений функции.

Понятие четности, нечетности и периодичности функции.

Понятие возрастающей и убывающей функции.

Понятие сложной и обратной функции.

Элементарные функции и их свойства.

Понятие предела функции в точке и на бесконечности.

Бесконечно большая и бесконечно малая функции и их свойства.

Первый и второй замечательные пределы.

Правила раскрытия неопределенностей.

Понятие непрерывности функций.

Свойства непрерывных функций.

Классификация точек разрыва.

Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Основные понятия:

производная функции; дифференцирование функции; приращение; эластичность функции; дифференцируемость функции; дифференциал; производная сложной функции; производная обратной функции; теорема Ролля; теорема Лагранжа; теорема Коши; теорема Ферма; правила Лопиталя; производные высших порядков.

Определение и смысл производной

Понятие производной является одним из основных понятий дифференциального исчисления, производная используется при исследовании процессов, в том числе и экономических, описываемых функциями. При исследовании приращения зависимой величины , обусловленного приращением независимой переменной , часто возникает необходимость определения предела отношения этих величин . Этот предел называется производной, а операция его вычисления - дифференцированием функции.

Некоторые задачи, приводящие к понятию производной.

Построение касательной к графику функции

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке со значениями . Графиком функции в системе координат является непрерывная кривая . Пусть _ внутренняя точка промежутка , _ значение функции в точке . Возьмем на кривой некоторую фиксированную точку . Если точка тоже принадлежит кривой, то прямая называется секущей. Если перемещать вдоль кривой так, чтобы стремилась к совпадению с , то секущая также будет менять свое положение в зависимости от положения . Предельное положение секущей (если оно существует) при называется касательной к кривой в точке .

Угловой коэффициент секущей равен:

.

Величину называют приращением аргумента . Величину называют приращением функции в точке , которое вызвано приращением аргумента. Поскольку точка фиксирована, то является функцией от , следовательно, и зависит только от .

Так как , равносильно , то угловой коэффициент касательной можно получить предельным переходом при (если этот предел существует), т.е.:

, .

Предел относительного приращения называется производной функции . Производную функции в точке обозначают одним из символов: и др.

Значение производной непрерывной функции в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в точке .

Экономический смысл производной

Отношение представляет собой среднюю скорость изменения функции на промежутке с концами и . Величина _ это мгновенная скорость изменения функции в точке . Например, если _ перемещение точки по оси за время , то _ скорость движения точки. Если функция описывает количество продукции, производимой предприятием за время , то _ это средняя производительность за промежуток времени , а _ это производительность в момент времени . Если функция описывает закон изменения капитала в зависимости от времени , то _ скорость накопления капитала.

Эластичность функции

Если функция получает приращение при приращении аргумента на , то называется относительным приращением функции, а - относительным приращением аргумента.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, т.е.:

.

Эластичность функции дает приближенный процентный прирост функции при приращении аргумента на 1%.

Дифференцируемость функции

Если для точки существует число такое, что приращение функции представимо в виде , то говорят, что функция дифференцируема в точке . Число является производной функции в точке :

.

Таким образом, дифференцируемость функции в точке означает, что в этой точке существует производная функции.

Итак, если дифференцируема в точке , то: .

Величину называют дифференциалом функции в точке и обозначают обычно символами: и др.

Если функция дифференцируема в точке , то эта функция непрерывна в точке . Обратное утверждение неверно.

Правила дифференцирования

Будем считать, что функции дифференцируемы, т.е. имеют производные . Тогда:

Функция дифференцируема и ;

Если _ постоянная, то функция дифференцируема и ;

Из 1 и 2 следует, что ;

Функция дифференцируема и ;

Из 4 следует, что ;

Если определена и дифференцируема, то .

Таблица производных

Основные элементарные функции дифференцируемы всюду, где они определены. Производные этих функций могут быть вычислены по определению, т.е. по формуле:

и с помощью правил дифференцирования.

Полученные значения производных основных элементарных функций приведем в таблице.



Использование таблицы производных и правил дифференцирования позволяет вычислять производные арифметических комбинаций основных элементарных функций.

Производная сложной функции

Пусть и . Тогда можно определить сложную функцию . Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке , и ее производная может быть вычислена по правилу цепочки:

.

Или более кратко .

Правило можно записать также в виде: .

Пример 4. . Вычислить .

Обозначим . Тогда .

.

Пример 5. . Вычислить .

.

Пример 6. . Вычислить .

.

Производная обратной функции

Пусть функция задана на множестве , а - множество ее значений. Тогда каждому ставится в соответствие единственное значение . С другой стороны, каждому будет соответствовать одно или несколько значений . В случае, когда отображение является биективным, т.е. каждому значению соответствует только одно значение , для которого , на множестве можно определить функцию , множеством значений которой является , которая будет называться обратной по отношению к функции . Функции и называются взаимообратными.

Пусть функция удовлетворяет условиям существования обратной функции и в точке имеет конечную производную . Тогда обратная функция в точке также имеет конечную производную, равную

Дифференциал

Дифференцируемость функции в точке означает, что ее приращение представимо в виде:

.

Величина при малых мала по сравнению с величиной . Поэтому представляет собой главную часть приращения , называемую дифференциалом функции в точке . Дифференциал функции обозначают обычно символами: и др.

Если _ независимая переменная, то и поэтому .

Вычисление дифференциалов проводят по правилам 1 _ 6 дифференцирования с заменой символа (штрих) на символ . Например:

;

.



Таким образом, приращение функции в точке при малых значениях приблизительно в пять раз больше, чем , а приращение функции в точке приблизительно в 14 раз больше, чем .

Приближенные вычисления

Тот факт, что дифференциал функции является главной частью приращения функции, используют при различных приближенных вычислениях. При этом заменяют приращения функции ее приближенным значением . Таким образом:

.

Пример 8. Вычислить .

Рассмотрим функцию . Заметим, что . Возьмем . Тогда по формуле (2):

.

Свойства дифференцируемых функций

Теорема Ферма. Если функция дифференцируема в точке , т.е. существует , и всюду в некоторой окрестности этой точки , т.е. является наибольшим (наименьшим) значением функции в этой окрестности, то .

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то в некоторой точке интервала ее производная равна нулю.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что в найдется точка, в которой касательная к кривой будет горизонтальна.

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется точка для которой .

Следствие. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля для случая . Тогда .

Теорема Коши. Если функции и определены и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и при этом , то найдется точка , для которой .

Правила Лопиталя

Пусть и - функции, определенные и дифференцируемые в окрестности точки a, где a - конечное число или (если , то под окрестностью точки a понимаем какой-нибудь луч ; если , то окрестность - луч ). В самой точке a функции могут быть не определены. Пусть при .

I правило. Если:



Существует конечный или бесконечный предел . Тогда: .

II правило. Если:

;

Существует конечный или бесконечный предел Тогда: .

Правила Лопиталя позволяют раскрывать неопределенности вида или . Однако, они могут быть использованы и при раскрытии неопределенностей других видов: . Для этого исследуемое выражение преобразуют так, чтобы получилась неопределенность вида или .

Примеры:

1. .

2. .

3. .

4. .

Вычислим:

Поэтому, .

Производные высших порядков

Если функция , определенная в , имеет производную во всех точках , то эту производную можно рассматривать как новую функцию , .

К этой функции применимы все предельные законы, в том числе и дифференцирование.

Если , определенная в , имеет конечную производную в точке , то значение этой производной является второй производной функции .

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Контрольные вопросы к теме №5

Понятия приращения аргумента и приращения функции.

Производная функции, ее геометрический смысл.

Понятие дифференцируемости функции.

Дифференциал функции, его определение и геометрический смысл.

Понятие сложной и обратной функции.

Правила вычисления производных сложной и обратной функций.

Основные теоремы дифференцирования.

Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя.

Производные высших порядков.

Тема 3. Исследование функций

Исследование функций

Основные понятия:

монотонность функции; экстремум функции; локальный экстремум функции; стационарные точки функции; глобальный экстремум функции; выпуклость функции; точка перегиба функции; интерполяция функции; узлы интерполирования; интерполяционный полином Лагранжа; аппроксимация функций; формула Тейлора; формула Маклорена; эмпирические формулы; невязка.

Основные понятия

Процесс управления требует от менеджера компактного представления разносторонних знаний из разных областей хозяйственной, управленческой, налоговой, коммерческой и других видов деятельности в виде разнообразных функциональных зависимостей.

В процессе такой деятельности перед менеджером возникают задачи тактического и стратегического планирования, оценки возможностей предприятия и конкурентов, оптимального распределения ресурсов, разумного реагирования на налоговую политику, выбора ценовой и инвестиционной политики и др.

Важную роль при этом играет исследование функций, используемых при построении математической модели рассматриваемой проблемы. Такое исследование проводится с учетом свойств конкретных функций и позволяет уточнить сформулированную математическую задачу, решая которую (с учетом выбранного метода решения), рассчитывают получить определенный результат, требующий в дальнейшем интерпретации в терминах исследуемой проблемы.

Все это связано с выявлением таких свойств функций, используемых в модели, как характер изменения (монотонность), наличие точек с особыми свойствами (стационарные точки, экстремумы), геометрические свойства (выпуклость графика функции) и другие.

Настоящий раздел посвящен исследованию функций методами дифференциального исчисления и использованию полученных навыков для решения задач.

Монотонность функции

Функция называется возрастающей на промежутке , если для любых точек и из промежутка , удовлетворяющих неравенству . Функция называется убывающей на , если из условия следует .

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то для того, чтобы была возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобы в каждой внутренней точке интервала .

Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке тогда и только тогда, когда .

Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Вычислим: : .

Точки делят числовую прямую на три интервала: .

Производная положительна на интервалах . Следовательно, функция возрастает на каждом из этих интервалов. На интервале производная неположительна, значит, убывает на этом интервале.

Локальный экстремум

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует интервал , содержащий точку такой что .

Точка называется точкой локального минимума функции , если существует интервал , содержащий точку такой что .

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства . Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение: .

Решения этого уравнения называют стационарными точками.

Исследование стационарных точек

I правило. Если при возрастании при переходе через стационарную точку производная меняет знак с + на _ , то

_ точка локального максимума. Если меняет знак с _ на + , то _ точка локального минимума функции . Если не меняет знак в точке , то экстремума нет.

II правило. Если вторая производная в стационарной точке положительная, то _ точка локального минимума функции . Если вторая производная в стационарной точке отрицательная, то _ точка локального максимума функции .

Точками локального экстремума функции могут быть такие точки, в которых производная не существует или обращается в бесконечность. Исследовать такие точки можно по I правилу. Экстремум в такой точке называется острым экстремумом.

Пример. Найти экстремум функции .

.

Функция имеет стационарную точку (в этой точке производная равна нулю). В точке производная обращается в бесконечность.

Поскольку при и при , то функция имеет в точке локальный минимум . Это будет острый минимум.

При переходе через стационарную точку производная меняет знак с _ на +, значит, функция имеет локальный максимум .

Глобальный экстремум

Непрерывная на отрезке функция принимает свое наибольшее значение и свое наименьшее значение в точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значений и поступают следующим образом.

Находят стационарные точки функции;

Находят точки , в которых производная не существует или обращается в бесконечность;

Вычисляют значения:

_ и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.

Это и будут и _ глобальные экстремальные значения.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

;

.

Вычисляем . Получаем числа . Следовательно, , .

Выпуклость и перегибы графика функции

Графиком функции , заданной на множестве , называют множество точек плоскости с координатами. График называют выпуклым вниз на промежутке , если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Если на промежутке вторая производная положительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Если на промежутке , то график является выпуклым вверх на промежутке .

Точка может быть точкой перегиба только в том случае, когда , либо не существует - необходимое условие перегиба. Однако равенство нулю или не существование второй производной в точке не означает еще, что в точке будет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.

I правило. Если равна нулю или не существует и при переводе через точку меняет знак, то _ точка перегиба графика функции .

II правило. Если и , то является точкой перегиба графика функции .

Пример. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции .

Вычислим вторую производную .

;

.



Точки и разбивают числовую прямую на три промежутка: . На промежутках вторая производная положительна, на промежутке _ отрицательна. Следовательно, график функции является выпуклым вниз на и выпуклым вверх на .

В точках вторая производная равна нулю. Вычислим : . Поскольку и , то в точке , и в точке график функции имеет перегиб.

Исследование функции и построение графика

График функции , заданной на множестве , т.е. множество точек плоскости с координатами , обычно строят с некоторой степенью приближения, так как точное построение невозможно.

Для построения графика функции выясняют особенности поведения функции. Существенную роль при этом играют характерные точки: концевые точки промежутков задания функции, точки разрыва, стационарные точки и точки недифференцируемости функции и ее производной и т.д. По этим точкам выделяются участки однообразного поведения функции, а именно: промежутки ее непрерывности; промежутки, на которых и сохраняют знак, что позволяет изучить характер монотонности функции и направление ее выпуклости.

Построение графика функции может быть осуществлено по следующему плану.

Если функция задана аналитическими выражениями, то выясняют естественную область определения функции, т.е. множество значений аргумента , при которых имеет смысл.

Если функция периодическая, то находят ее период, т.е. число такое, что , (обычно рассматривают наименьший положительный период). Дальнейшее изучение функции и построение графика проводят для какого-либо отрезка длины , например, для , а затем периодически продолжают.

Для четной функции: , или нечетной: . Исследование проводят на промежутке . Построенный график продолжают на все множество , используя симметричное отражение относительно оси для четной функции и относительно точки _ для нечетной функции.

Находят точки разрыва и промежутки, на которых она непрерывна. Выясняют характер точек разрыва. Вычисляют предельные значения функции в граничных точках множества (если таковые имеются). Находят вертикальные асимптоты (в точках бесконечного скачка). Если не ограничено, то вычисляют пределы функции при и . Если , то график имеет горизонтальную левостороннюю асимптоту , если , график имеет горизонтальную правостороннюю асимптоту . Если пределы (или один из пределов) бесконечны, то график может иметь наклонные (левостороннюю и правостороннюю) асимптоты . Коэффициенты левосторонней асимптоты можно найти по формулам:

.

Аналогично находят коэффициенты правосторонней асимптоты (нужно вычислить пределы при ).

Вычисляют производную . Находят критические точки функции , т.е. стационарные точки и точки, в которых не существует. Выделяют промежутки, на которых сохраняет знак. Это позволяет исследовать монотонность функции .

Вычисляют вторую производную . Находят критические точки производной . Выделяют промежутки, на которых сохраняет знак, и, следовательно, график функции сохраняет направление выпуклости. Находят точки перегиба, исследуя критические точки производной (т.е. точки, в которых равны нулю или не существуют).

Исследуя стационарные точки функции , находят точки локального экстремума и локальные экстремальные значения функции. Для этого можно изучить поведение производной в окрестности стационарной точки или значение в стационарной точке. Изучают точки недифференцируемости функции, выясняя наличие локальных экстремумов в таких точках по поведению производной в их окрестностях.

Опираясь на характерные точки функции, строят таблицу, в которую вносят все особенности функции.

На координатную плоскость в выбранном масштабе наносят характерные точки функции, асимптоты и строят график, руководствуясь п. 1_6. Если нужно, строят дополнительно несколько точек графика.

Пример. Построить график функции .

I. Область определения .

Функция не является периодической, четной, нечетной.

II. Поскольку , то точка разрыва (точка бесконечного скачка). Прямая является двусторонней вертикальной асимптотой.

Так как при и при , то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных). Учитывая, что при , делаем вывод, что прямая является двусторонней наклонной асимптотой.

III. .

Из уравнения y(x)=0 находим стационарные точки: , .

IV. . Точка является стационарной точкой для производной , так как .

V. Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.

x	(-, -2)	-2	(-2, 0)	0	(0, 1)	1	(1,+)
y(x)	+	0	-		+	0	+
y(x)	-	-	-		-	0	+
	возрастает	лок. макс.	убывает	бесконечный скачок	возрастает
y(x)	выпукла вверх		выпукла вверх	перегиб	выпукла вниз

VI. На координатной плоскости отмечаем точки локального максимума , перегиба , асимптоты и . Строим схематично график функции с учетом выясненных ранее особенностей ее поведения.



Интерполяция и аппроксимация функций

При табличной форме задания функции часто возникает ситуация, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае приходится прибегнуть к интерполяции (или интерполированию) - приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках.

Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение лежит между приведенными в таблице значениями и , которым соответствуют значения функции и , то считают, что:

.

Если по заданным значениям функции необходимо найти приближенное значение аргумента, то такая операция называется обратным интерполированием.

В общем виде интерполяционная задача состоит в построении обобщенного многочлена , принимающего значения исследуемой функции на конечном множестве (область задания функции). Указанный многочлен должен удовлетворять условиям . Точки называются узлами интерполирования.

В частности, если , а множество , искомый многочлен имеет линейную структуру и может быть представлен в виде , где - коэффициенты разложения, а - линейно независимые на функции.

Условия интерполирования можно представить в виде системы уравнений:

К системе можно применить векторно-матричную форму записи , если ввести обозначения:

, , 

Если семейство функций составляет базис на , то условия интерполирования однозначно удовлетворяются с помощью выбора коэффициентов . Если число узлов интерполирования не соответствует размерности базиса, то решение задачи интерполирования неоднозначно. Возникающую при этом неопределенность можно устранить путем введения дополнительных условий, налагаемых на значения коэффициентов. В частности, в узлах интерполяции можно задать не только значения функции, но и значения ее производной. В противном случае, задача интерполирования не имеет решения в общем виде, т.к. система условий может оказаться несовместной. В этом случае задача интерполирования заменяется задачей общей аппроксимации, которая заключается в построении многочлена низшей степени, наименее отклоняющегося от заданной функции.

Интерполяционный полином Лагранжа

Примером наипростейшей базисной системы функций можно считать систему , ,…,,. .

Утверждение 1. Если два многочлена степени принимают одинаковые значения при различных значениях переменной, то эти многочлены равны.

Пусть многочлены и степени _ такие попарно различные числа, что . Рассмотрим многочлен . Очевидно, что степень не превосходит либо _ нулевой многочлен, причем , т.е. многочлен имеет различных корней, что невозможно. Следовательно, и .

Это утверждение позволяет доказать следующую теорему.

Теорема. Для каждого натурального числа существует один и только один многочлен степени , который принимает любые наперед заданные значения при значениях неизвестной.

Пусть _ различные числа _ произвольные числа. Построим многочлен степени такой, что . По утверждению 1, он определен однозначно:

.

Степень , и, очевидно, . Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по заданной таблице значений:

.

Формула Тейлора

Задача аппроксимации (приближенного вычисления) функции в окрестности данной точки, которую часто называют рабочей точкой, является одной из основных задач математического анализа. Для дифференцируемых функций эта задача решается с помощью формулы Тейлора.

Поскольку функция дифференцируема, то ее приращение представимо в виде:

или

,

т.е. существует многочлен первой степени , такой, что при выполняются условия , .

В более общем виде задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке производных , ,…,. Необходимо найти многочлен степени не выше , такой, что:

,

где удовлетворяет условиям:

;

;

;

;

.

Предположим, что искомый аппроксимационный многочлен имеет вид: .

Тогда:

Тогда, с учетом условий (5), можно получить:

Таким образом, если в аппроксимационный полином подставить полученные значения коэффициентов, то полином можно записать следующим образом:



Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции . Можно показать, что он удовлетворяет условию . Рассмотрим функцию . Эта функция представляет собой погрешность при замене функции многочленом в окрестности точки . Из приведенных выше условий следует, что:

.

Для того, чтобы убедиться, что при необходимо показать, что . Для раскрытия этой неопределенности нужно применить раз правило Лопиталя:

Полученные выводы можно сформулировать в виде теоремы.

...