Математический анализ

.

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение сегмента , для которого .

Другими словами, необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на промежутке является выполнение условия , или , где .

Равномерно непрерывные функции

Определение: Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого числа можно указать такое , что для любых двух точек и множества , удовлетворяющих уравнению , выполняется неравенство .

Теорема (теорема Кантора о равномерной непрерывности): Функция , определенная и непрерывная на сегменте равномерно непрерывна на этом сегменте.

Следствие: Пусть функция непрерывна на сегменте . Тогда для любого числа можно указать такое , что на каждом принадлежащем сегменту частичном сегменте , длина которого меньше , колебание функции меньше .

Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций

Теорема: Непрерывная на сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

Теорема: Если функция определена и ограничена на сегменте , и если для любого числа можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую длину меньше , то интегрируема на сегменте .

Следствие: Ограниченная на сегменте функция , имеющая лишь конечное число точек разрыва первого рода, интегрируема на этом сегменте. В частности, кусочно-непрерывная на данном сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

Теорема: Монотонная на сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

Основные свойства определенного интеграла

Будем считать, что определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю (по определению):

.

Будем считать, что при перемене мест верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

.

Пусть функции и интегрируемы на сегменте , тогда функции , и также интегрируемы на этом сегменте, причем:

.

Если функция интегрируема на сегменте , то функция (=const) интегрируема на этом сегменте, причем:

.

Если функция интегрируема на сегменте , то эта функция интегрируема на любом сегменте , содержащемся в сегменте .

Пусть функция интегрируема на сегментах и . Тогда эта функция интегрируема на сегменте , причем:

.

Оценки интегралов. Формулы среднего значения

Пусть интегрируемая на сегменте функция неотрицательна на этом сегменте. Тогда:

.

Если функция интегрируемая на сегменте и , то:

.

Если функция непрерывна, неотрицательна и не равна тождественно нулю на сегменте , то:

.

Если функции и интегрируемы на сегменте и всюду на этом сегменте, то:

.

Если функция , интегрируемая на сегменте , то и функция также интегрируема на этом сегменте, причем:

.

Пусть функции и интегрируемы на сегменте и . Тогда, если и - точные грани на сегменте , то:

.

Пусть функция интегрируема на сегменте , и пусть и - точные грани на сегменте . Тогда найдется такое число , удовлетворяющее неравенствам , что .

Основные правила интегрирования

Теорема: Любая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция:

,

где - любая фиксированная точка интервала .

Так как две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то согласно теореме, любая первообразная непрерывной на сегменте функции имеет вид:

где - некоторая постоянная.

Полагая в последней формуле сначала , затем , и используя первое свойства определенного интеграла, получим:

, .

Из этих равенств вытекает соотношение:

,

которое называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона - Лейбница.

Пусть выполнены следующие условия:

1) Функция непрерывна на отрезке ;

2) отрезок является множеством значений некоторой функции , определенной на отрезке и имеющей на этом отрезке непрерывную производную;

3) , .



При этих условиях справедлива формула:

Указанная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пусть функции и имеют непрерывные производные на сегменте . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенных интегралов:

.

Так как и , то эту формулу можно записать следующим образом:

.

Приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Определение: Плоская фигура - часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой , при этом кривая называется границей фигуры .

Определение: Мы будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру , если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре или ее границе.

Определение: Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то мы будем говорить, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры .

Замечание: Площадь любого вписанного в фигуру многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигуры многоугольника.

Пусть - числовое множество площадей вписанных в плоскую фигуру многоугольников, а - числовое множество площадей описанных вокруг плоской фигуры многоугольников. Очевидно, что множество ограничено сверху (площадью любого описанного вокруг фигуры многоугольника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через точную верхнюю грань множества , через точную нижнюю грань множества .

Числа и называются соответственно нижней площадью и верхней площадью фигуры

Замечание: Нижняя площадь фигуры не больше верхней площади , т. е. .

Определение. Плоская фигура называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью. При этом число называется площадью фигуры .

Теорема: Для того чтобы плоская фигура была квадирируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг фигуры многоугольник и такой вписанный в фигуру многоугольник, что разность площадей которых была бы меньше , .

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте непрерывной и неотрицательной функции , ординатами, проведенными в точках и , и отрезком оси между точками и .

Теорема: Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь которой может быть вычислена по формуле:

.

Объемы тел вращения

Пусть - некоторое конечное тело. Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело , и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела .

Пусть - числовое множество объемов вписанных в тело , а - числовое множество объемов описанных вокруг многогранников. Множество ограничено сверху (объемом любого описанного многогранника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через точную верхнюю грань множества , а через точную нижнюю грань множества .

Числа и называются соответственно нижним объемом и верхним объемом тела .

Замечание: Нижний объем тела не больше верхнего объема этого тела, т. е. .

Определение: Тело называется кубируемым, если верхний объем этот тела совпадает с нижним объемом . При этом число называется объемом тела .

Теорема: Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг тела многогранник и такой вписанные в тело многогранник, разность объемов которых была бы меньше .

Теорема: Пусть функция непрерывна на сегменте . Тогда тело , образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , ординатами в точках и , и отрезком оси между точками и , кубируемо и его объем может быть найден по формуле:

.

Несобственные интегралы

При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными на отрезке интегрирования , а сам отрезок является конечным. Постановка задачи интегрирования возможна, когда одно из этих условий или оба они нарушены. В этом случае интегралы называются несобственными, а задача интегрирования формулируется несколько иначе. Рассмотрим оба случая:

Подынтегральная функция неограниченна;

Промежуток интегрирования бесконечен.

Интегрирование неограниченных функций

Предположим, что функция определена и непрерывна на промежутке и стремится к бесконечности при . Точку называют особой, если функция не ограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке, заключенном в промежутке .

Определение: Пусть функция неограничена на отрезке , однако ограничена на любом меньшем отрезке , где . Тогда, если существует конечный предел , то его принимают за несобственный интеграл от неограниченной функции , т.е.:

,

а интеграл называется сходящимся. Если этого предела не существует, или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Если особой точкой является точка , то несобственный интеграл определяется аналогично: .

Если единственной особой точкой является внутренняя точка , принадлежащая интервалу , то полагают, что:

при условии, что оба несобственных интеграла справа сходятся.

Интегрирование по бесконечному промежутку

Определение: Пусть функция интегрируема на каждом отрезке , т.е. существует определенный интеграл . Тогда за несобственный интеграл принимают предел . Если этот предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если этого предела не существует, или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично можно определить несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом: .

При рассмотрении интеграла с бесконечными верхним и нижним пределами выбирается произвольная промежуточная точка и используется свойство аддитивности: . Если оба несобственных интеграла справа сходятся, то говорят, что существует и несобственный интеграл . Нетрудно показать, что выбор точки не влияет на конечный результат.

Следует отметить важное свойство несобственных интегралов, отличающее их от определенных интегралов.

Известно, что для определенных интегралов справедливо утверждение: если существует , то существует и интеграл .

В случае несобственных интегралов имеет место следующее утверждение: из сходимости несобственного интеграла от следует сходимость несобственного интеграла от . В этом случае говорят об абсолютной сходимости . В то же время, сходимость не означает сходимости . В этом случае называется условно сходящимся.

Приближенное вычисление определенных интегралов

Задача вычисления определенного интеграла не всегда может быть сведена к первообразной, поэтому разработаны численные методы, которые позволяют найти значение интеграла с достаточно высокой точностью. Суть этих методов - в замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом. При этом возникает альтернативный выбор: осуществить замену подынтегральной функции одним интерполяционным многочленом высокой степени, описывающим изменение функции на всем интервале интегрирования .

Формула прямоугольников

Вычисление интеграла методом прямоугольников заключается в определении суммы площадей элементарных прямоугольников, на которые делится площадь под кривой при делении интервала интегрирования на участков. При этом точность вычисления будет тем больше, чем больше , однако при этом требуемое время вычисления также увеличится.

Если за высоту прямоугольника принимается левая ордината участка, то метод вычисления называется методом левых прямоугольников, а если правая - методом правых прямоугольников.



Метод прямоугольников можно пояснить наглядно.

Формула вычисления интеграла методом левых прямоугольников имеют вид:

, где

Аналогично для правых прямоугольников:

Начальные значения равны:

- для метода левых прямоугольников;

- для метода правых прямоугольников.

Формула трапеций

В методе трапеций выполняется линейное интерполирование функции . На каждом интервале разбиения участок кривой заменяется хордой, стягивающей концевые точки, а интеграл функции на участке разбиения - площадью трапеции: .

Тогда:

Контрольные вопросы к теме №9

Понятия интегральной суммы и определенного интеграла.

Верхняя и нижняя суммы Дарбу, их сходимость.

Понятие равномерной сходимости функции.

Приложения определенного интеграла.

Методы приближенного вычисления определенных интегралов.



Тема 6. Понятие кратного интеграла

Понятие кратного интеграла

Основные понятия:

двумерная интегральная сумма; двойной интеграл; повторное интегрирование; стандартная область интегрирования; кратный интеграл.

В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции вводится понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл. Определенный интеграл существует для трех типов функций: непрерывных, кусочно-непрерывных и монотонных. Задача интегрирования может быть также сформулирована и для функции переменных, заданной в ограниченной области с измеримым объемом . В этом случае не удается ввести простого понятия первообразной и неопределенного интеграла. Кратный интеграл вводится аналогично определенному интегралу как суммирование бесконечного числа бесконечно малых величин, т.е. через понятие мерной интегральной суммы, пределом которой является мерный интеграл.

Интегрирование функций многих переменных

Понятие двумерной интегральной суммы, пределом которой является двойной интеграл, можно ввести на основе задачи об объеме тела.

Задача: Найти объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу - конечной замкнутой областью плоскости и с боков - прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе объекта и имеющей образующие, перпендикулярные плоскости .

Для этого разобьем основание на конечное число элементарных ячеек и в каждой из этих ячеек выберем точку . Объем такого элемента равен . Объем всей фигуры можно приближенно найти как сумму с любой степенью точности в зависимости от числа ячеек и, соответственно, их размера. Если предположить, что число элементарных ячеек бесконечно возрастает, а их диаметр при этом является величиной бесконечно малой, то можно получить точное выражение для объема всей фигуры:

Таким образом, двойной интеграл имеет простой геометрический смысл, он выражает объем криволинейного цилиндрического бруса, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу - конечной замкнутой областью плоскости и с боков - прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе объекта и имеющей образующие, перпендикулярные плоскости .

Двумерной интегральной суммой от данной функции , определенной на области называется сумма парных произведений площадей элементарных ячеек области на значения функции в точке .

Двойным интегралом от функции определенной на области называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы при неограниченном возрастании числа элементарных ячеек и стремлении к нулю их наибольшего диаметра при условии, что этот предел существует и не зависит от способа разбиения области на элементарные ячейки и выбора точек в них.

Теорема. Если область с кусочно-непрерывной границей ограничена и замкнута, а функция непрерывна в области , то двойной интеграл т.е. предел соответствующей двумерной интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения области на элементарные ячейки и выбора точек в них.

Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем целесообразно пользоваться наиболее удобным для декартовой системы координат разбиением на прямоугольную сетку, образованную пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям и . В этом случае элементарными ячейками являются прямоугольники, со сторонами и . Таким образом, в обозначении интеграла можно учесть что . Тогда:

.

Для вычисления двойного интеграла применяется процедура повторного интегрирования.

Предположим для определенности, что область интегрирования представляет собой криволинейную трапецию:

, ,

где и - однозначные непрерывные функции на отрезке . Важно отметить, что вертикаль, проходящая через любую точку на отрезке оси , пересекает границу области интегрирования только в двух точках: в точке входа и в точке выхода . Такая область называется стандартной относительно оси .

Теорема. Если для функции определенной в области (стандартной относительно оси ), существует двойной интеграл и существует интеграл , то

При этом, интеграл называется повторным. Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух интегралов: вначале находится внутренний интеграл по переменной (при этом переменная рассматривается как постоянная величина); после этого полученное выражение повторно интегрируется по переменной .

Задача вычисления кратного интеграла может быть обобщена на мерный случай и аналогично решена путем сведения кратного интеграла к повторному. Пусть функция определена и ограничена в замкнутой области . Область разбивается на элементарных частей , таких что , пересечением любой пары элементарных частей будет множество точек, размерность которого не превышает .

В каждой элементарной части выбирается точка и составляется интегральная сумма:

, ,

где объемная мера области ;

объемная мера области .

Для того чтобы вычислить интегральную сумму, необходимо, чтобы элементарные части допускали исчисление объемной меры в достаточно простой и редуктируемой форме.

кратным интегралом функции по области называется предел интегральной суммы при и, соответственно, . - наибольшая протяженность элементарной области для данного разбиения.

Этот предел не должен зависеть от способов разбиения на части и от выбора точек в каждой из них. Указанный интеграл можно представить в следующим образом:

По форме этот интеграл сходен с определенным интегралом , который также является пределом интегральной суммы:

,

где , , , , .

Очевидно, что в кратном интеграле, как и в случае определенного интеграла, интегральные суммы ограничены снизу и сверху значениями сумм Дарбу и :

,



где , .

Свойствами одномерных сумм Дарбу обладают и мерные суммы. При этом для любой ограниченной функции:

и , .

Необходимым и достаточным условием интегрируемости функции является условие , что эквивалентно выражению:

при .

Величина называется колебанием функции в элементарной области и является величиной положительной при любом .

В результате можно установить, что к числу интегрируемых функций будут относиться функции, непрерывные на замкнутой области . При вычислении кратный интеграл сводится к повторному интегралу, т.е. вычислению обычного интеграла от внутреннего интеграла кратности .

Свойства кратного интеграла

Интеграл по области, имеющей нулевую «объемную» меру в , равен нулю. При этом к областям с нулевой «объемной» мерой в , относятся разнообразные множества, которые заданы в пространстве , .

Если две функции и интегрируемы в , то сумма этих функций также интегрируема в и .

Если функция интегрируема в , а - постоянная величина, то функция также интегрируема в и .

Пусть область является объединением областей и , а пересечение этих областей есть множество , размерность которого меньше . Если функция интегрируема в , то она интегрируема в и и при этом .

Если функция определена и интегрируема в , и при этом (за исключением, быть может, некоторой части с размерностью меньше ), то .

Если две функции и определены и интегрируемы в , причем , то .

Если функция определена и интегрируема в , то также интегрируема в , причем .

Если функция является постоянной , то .

Если функция определена и интегрируема в и ограничена снизу и сверху значениями и , соответственно (, , ), то .

Контрольные вопросы к теме №10

Понятие двумерных интегральных сумм и их сходимость.

Повторное интегрирование и методы вычисления двойных и кратных интегралов.

Тема 7. Ряды

Ряды

Основные понятия:

числовой ряд; элементы ряда; частная сумма ряда; сходимость ряда; расходящиеся ряды; геометрический ряд; гармонический ряд; остаток ряда; признак Даламбера; интегральный признак; признак Коши; степенной признак; знакопеременный ряд; знакочередующийся ряд; признак Лейбница; абсолютная сходимость ряда; функциональный ряд; область сходимости; равномерная сходимость ряда; степенной ряд; множество сходимости; радиус сходимости; Ряд Тейлора; кусочно-дифференцируемая функция; ортогональные функции; гармонический анализ; коэффициенты Фурье; ряд Фурье.

Основные понятия

Пусть _ последовательность действительных чисел. Рассмотрим последовательность , построенную следующим образом:

;

;

;

;

Последовательность удобно записывать в виде . Такую последовательность называют числовым рядом. Числа называют членами или элементами ряда. Числовой ряд задают обычно перечислением его элементов или указанием формулы, с помощью которой для заданного можно вычислить -й член ряда.

Пример. Ряд имеет -й член .

Поэтому

т.е..

Рассмотрим ряд:

Сумму называют -й частной суммой ряда (1). Если последовательность частных сумм ряда (1) сходится, то ряд (1) называют сходящимся, а число называют суммой ряда. Если же последовательность не имеет конечного предела, то ряд (1) называют расходящимся.

Пример. Рассмотрим ряд . Для него , что представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии.

Если , то и .

Если , то и .

Если , то и .

Если ,

то

и не существует.

Таким образом, ряд при сходится и расходится при . Этот ряд называется геометрическим.

Пусть ряд (1) сходится и _ его сумма. Поскольку,

то при получаем .

Откуда следует необходимое условие сходимости ряда: если ряд сходится, то:

Если условие (3) не выполнено, то ряд расходится.

Пример. Ряд расходится, т.к. и .

Условие (3) не является достаточным для сходимости рядя. Даже если оно выполнено, ряд может расходиться. Покажем это на примере гармонического ряда . Для этого ряда при , т.е. условие (3) выполнено. В то же время:

,

.

Поэтому .

Предположим, что гармонический ряд сходится и _ его сумма, т.е. при . Поскольку , то при получаем _ противоречие. Значит, предположение о сходимости гармонического ряда было неверным.

Несколько первых членов ряда не влияют на его сходимость. Если у ряда (1) удалить несколько первых членов, то получим ряд , называемый остатком ряда (1). Сходимость ряда равносильна сходимости его любого остатка.

Положительные ряды

Среди числовых рядов выделяются ряды, все члены которых неотрицательны. Такие ряды называют положительными. У такого ряда последовательность его частных сумм является возрастающей и, поэтому для его сходимости достаточно, чтобы последовательность была ограниченной. Вывод о сходимости или расходимости положительного ряда может быть сделан на основании сравнения членов этого ряда с членами некоторого эталонного ряда, поведение которого (сходимость или расходимость) известно. Соответствующие теоремы называют признаками сравнения. Приведем некоторые из них.

Будем рассматривать два положительных ряда:

Пусть существует номер такой, что .

Если ряд (5) сходится, то сходится и ряд (4). Если ряд (4) расходится, то расходится и ряд (5).

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним этот ряд с гармоническим рядом . Так как , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Поскольку , то ряд сходится.

Пусть существует конечный или бесконечный предел .

Если , то из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4).

Если , то из расходимости ряда (5) следует расходимость ряда (4).

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним его с гармоническим рядом. Поскольку при , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним его со сходящимся геометрическим рядом . Так как при , то ряд сходится.

Для положительных рядов доказаны признаки, позволяющие сделать вывод о сходимости или расходимости ряда, изучая поведение при его -го члена.

Признак Даламбера. Пусть существует предел .

Если , то ряд сходится;

Если , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда при . По признаку Даламбера ряд сходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда при . По признаку Даламбера ряд расходится.

Признак Коши. Пусть существует предел .

Если , то ряд сходится;

Если , то ряд расходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда: . По признаку Коши ряд сходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда: . Значит, ряд расходится.

Заметим, то признаки Даламбера и Коши не дают ответа, когда или . В этом случае можно исследовать ряд с помощью других признаков.

Интегральный признак. Пусть _ положительная неубывающая функция, такая что . Если последовательность , сходится, то сходится и ряд . Если последовательность расходится, то расходится и исходный ряд.

Пример. Рассмотрим ряд (этот ряд называют обобщенным гармоническим рядом).

Функция убывающая, положительная и , , .

Если , то . Так как при , то последовательность расходится, значит, расходится и ряд. Впрочем, при исследуемый ряд - гармонический, и его расходимость была доказана ранее.

Если , то .

При , ; при . Таким образом, последовательность сходится при и расходится при .

Вывод. Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при .

Пример. Рассмотрим ряд .

Функция ;

при .

Значит, ряд расходится.

Если в признаке сравнения 2 в качестве эталонного использовать обобщенный гармонический ряд, то можно получить так называемый степенной признак сходимости положительных рядов. Этот признак дает ответ на вопрос о сходимости ряда в некоторых случаях, когда признаки Коши и Даламбера ответа не дают.

Степенной признак. Пусть при , где . Тогда при ряд расходится. При ряд сходится (условие равносильно тому, что при . Говорят, что эквивалентен при ).

Пример. Рассмотрим ряд . Для этого ряда , значит, признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Можно убедиться, что и признак Коши не приведет к желаемому результату.

В то же время, эквивалентен , так как при . Значит, в этом случае и, следовательно, ряд сходится по степенному признаку.

Пример. Ряд имеет -й член , который эквивалентен . Значит, ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды

Ряд вида:



называют знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если последовательность стремится к нулю монотонно, то ряд (6) сходится.

Пример. Рассмотрим ряд . Для него , причем, , т.е. последовательность монотонно убывает и . Поэтому ряд сходится.

Для исследования монотонности последовательности удобно ввести некоторую вспомогательную (дифференцируемую) функцию такую, что , и исследовать функцию на монотонность, воспользовавшись критерием монотонности дифференцируемой функции.

Пример. Для ряда последовательность при . Для исследования монотонности последовательности рассмотрим вспомогательную функцию . Заметим, что . Поскольку . Для функция убывает. Значит, , т.е. . Следовательно, последовательность убывает и . По признаку Лейбница ряд сходится.

Абсолютная сходимость

Рассмотрим произвольный числовой ряд:



(никаких предположений о знаках членов не делаем). Ряд (7) называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Пример. Ряд не является абсолютно сходящимся (хотя и сходится), так как ряд расходится.

Пример. Ряд сходится абсолютно, т.к. ряд сходится.

Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится (в обычном смысле).

Это означает, что если сходится ряд (8), то сходится и ряд (7). Поскольку ряд _ положительный, то для его исследования можно использовать любой признак сходимости положительных рядов.

Функциональные ряды

В каждой точке определения функций если принять , то функциональный ряд:



преобразуется в числовой ряд:

, который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

Совокупность значений при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Суммой ряда называется функция , определенная в каждой точке области сходимости ряда.

По определению предела означает, что .

В общем случае зависит как от , так и от . Интерес представляют ряды, для которых зависит только от .

Последовательность функций сходится равномерно к на множестве , если .

Ряд сходится равномерно на множестве X к сумме , если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на множестве к функции .

Теорема. Для того чтобы ряд сходился равномерно на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы .

Для установления на практике равномерной сходимости рядов пользуются достаточными признаками.

Признак равномерной сходимости, основанный на сравнении функционального ряда со сходящимся числовым.

Теорема. Если члены ряда удовлетворяют неравенствам , где , а числа, не зависящие от , и, если ряд сходится, то ряд сходится равномерно на множестве X.

Достаточные условия непрерывности суммы ряда.

Теорема. Если функции определены и непрерывны на множестве X и ряд сходится равномерно к сумме S(x) , то эта сумма будет непрерывна на множестве X.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема. Если функции определены и непрерывны на отрезке и ряд сходится равномерно на к сумме , то его можно почленно интегрировать на этом отрезке

.

Теорема. Если функции определены на отрезке и существуют непрерывные производные на интервале , а ряд сходится на и равномерно сходится ряд , то сумма ряда имеет на интервале непрерывную производную, причем, .

Таким образом, ряд можно почленно дифференцировать.

Степенной ряд

Степенным рядом называется ряд вида:

где _ числовые коэффициенты, _ фиксированное число и _ переменная.

Если зафиксировать , то получится числовой ряд. Если этот числовой ряд сходится, то говорят, что степенной ряд (9) сходится в точке . Множество всех точек , в которых ряд (9) сходится, называют множеством сходимости ряда (9).

Пример. Ряд сходится абсолютно при , т.к. при сходится. Если же , то не стремится к нулю, т.е. не выполнено необходимое условие сходимости и ряд расходится. Таким образом, множеством сходимости ряда является .

Множество сходимости всякого ряда (9) есть промежуток, середина которого находится в точке . Промежуток сходимости может быть отрезком, полуинтервалом, интервалом, бесконечным промежутком или промежутком нулевой длины, т.е. точкой . Число , равное половине длины промежутка сходимости, называют радиусом сходимости. Радиус сходимости ряда (9) может быть вычислен следующим образом:

, если такой предел существует;

, если такой предел существует.

Если в формулах 2. и 3. пределы равны 0, то . Если пределы равны , то .

Если _ конечное число, то промежуток принадлежит множеству сходимости. В ряде случаев множеству сходимости могут принадлежать также точки и .

Пример. Ряд имеет радиус сходимости .

Значит, интервал входит в промежуток сходимости. Исследуем сходимость ряда на концах интервала . При получаем ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получаем ряд , который расходится. Таким образом, промежуток сходимости ряда - полуинтервал .

Пример. Ряд имеет радиус сходимости . Значит, интервал сходимости .

Изучим сходимость ряда на концах этого интервала. При получаем ряд , который сходится абсолютно. При получаем ряд , который также сходится. Значит, промежуток сходимости - отрезок .

Если функция в точке имеет производные любого порядка, то для нее можно построить степенной ряд:

Этот ряд называется рядом Тейлора для функции в точке .

Множество сходимости ряда (10) не всегда совпадает с областью определения функции , а его сумма не обязательно равна . Если сумма ряда (10) совпадает с на множестве , то можно написать:

В этом случае говорят, что на множестве разложена в степенной ряд (11). Справедливы следующие разложения:

, .

,

, .

, .

, .

При разложении функций в степенные ряды бывает удобным использовать разложения .

Пример. Разложить по степеням функцию .

Если обозначить , то, используя разложение , получаем: .

Поскольку разложение справедливо для , то может быть любым действительным числом.

Пример. Разложить по степеням функцию .

Обозначив и использовав разложение , получим .

Это разложение справедливо для , поскольку может быть любым числом.

Ряды Фурье

Рассмотрим функциональные ряды, суммы которых, в отличие от степенных рядов, имеют непустое конечное множество точек разрыва в области задания.

Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Другими словами, область ее определения можно разбить на конечное число частичных отрезков , на каждом из которых:

функция ограничена и непрерывна во внутренних точках;

На концах каждого отрезка существуют конечные односторонние пределы , .

Под интегралом функции понимается число .

Можно доказать, что для кусочно-непрерывной на отрезке функции существует обобщенная первообразная (, ), и, следовательно, .

Функция называется кусочно-дифференцируемой (или кусочно-гладкой) на , если производная кусочно-непрерывна на отрезке .

Пусть функции и кусочно-непрерывны на отрезке . Скалярное произведение этих функций можно определить как .

Можно показать, что произведение двух кусочно-непрерывных на отрезке функций есть функция кусочно-непрерывная на этом отрезке и, следовательно, ее определенный интеграл на этом отрезке существует.

Тогда , .

Число называется нормой функции .

Очевидны свойства скалярного произведения:

- свойство коммутативности или симметрии;

- свойство ассоциативности или сочетательности;

, причем .

Функции и называются ортогональными, если , при этом , .

Рассмотрим основную систему тригонометрических функций общего периода :

.



Функции , и , называются основными гармониками. Их графиками являются синусоиды с амплитудами соответственно и . Гармоника и поэтому не рассматривается.

Лемма. Основные тригонометрические функции попарно ортогональны на любом промежутке, длина которого равна общему периоду этих функций, т.е. для стандартного отрезка справедливы условия ортогональности:

при ;

при ;

.

Условия ортогональности проверяются непосредственным интегрированием, в ходе которого используются формулы тригонометрии:

;

;

.

Например, при :

,

т.к. при целых значениях ;

;

Пусть - кусочно-непрерывная периодическая функция периода .

Можно попытаться провести т.н. гармонический анализ , т.е. представить эту функцию в виде суммы конечного или бесконечного числа гармоник того же периода :

,

Таким образом, можно прийти к тригонометрическому ряду Фурье:

.

Коэффициент нулевой гармоники обычно берется с множителем .

Исторически эта задача впервые возникла при математической обработке результатов наблюдения высоты приливной волны, которая периодически повторяется с течением времени. Гармонический анализ высоты приливной волны позволил дать долгосрочные предсказания ее величины, что было весьма важно для мореплавателей.

Предположим, что ряд:

сходится на отрезке и допускает почленное интегрирование, в результате которого получится следующее:



Так как из условий ортогональности:

при , то получается .

Отсюда: .

Интересно отметить, что свободный член тригонометрического ряда Фурье представляет собой среднее значение периодической функции .

Если умножить левую и правую части ряда на и почленно проинтегрировать, то получится:

.

Предварительно, следует отметить, что:

,

т.е. .

Отсюда, в силу условий ортогональности, а также с учетом нормировки, получается:

.

Следовательно: , а значит, заменяя на (что по смыслу формул допустимо), можно получить:

Аналогично, умножая обе части ряда на и почленно интегрируя, получим:

.

В данном случае условие нормировки:

,

т.е. .

В силу условий ортогональности:

Следовательно, , а значит:

.

Числа и называются коэффициентами Фурье функции .

Тригонометрический ряд:



,

коэффициентами которого являются коэффициенты Фурье данной периодической функции называется ее тригонометрическим рядом Фурье, независимо от того, будет ли сумма этого ряда равна функции или нет. В последнем случае говорят, что функция порождает ряд Фурье:

,

где знак ~ означает «соответствует».

Теорема сходимости. Пусть периодическая функция , определенная на , кроме, может быть, точек ее разрывов, и имеющая период , является кусочно-дифференцируемой (или кусочно-гладкой) на любом промежутке, длина которого равна периоду этой функции.

Тогда:

Ее тригонометрический ряд Фурье сходится для любого значения , т.е. существует сумма ряда Фурье

;

Сумма ряда Фурье равна функции в точках ее непрерывности = и равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа в точках разрыва функции, т.е.:

Поскольку, для точек непрерывности функции можно записать , то в общем случае:

.

Таким образом, для тригонометрического ряда Фурье функции имеем:

,

где коэффициенты и определяются по формулам:

.

Если принять, что период функции равен , т.е. , то расчетные формулы значительно упрощаются:

где .

Ряды Фурье четных и нечетных функций

Рассмотрим симметричный интеграл:

где - функция, непрерывная или кусочно-непрерывная на отрезке .

Делая в первом интеграле подстановку , и учитывая независимость определенного интеграла от обозначения переменной интегрирования, получим:

Пусть функция - четная, т.е. . Тогда:



.

Таким образом, симметричный интеграл от четной функции равен удвоенному интегралу от этой функции, взятому по половинному промежутку интегрирования.

Пусть функция - нечетная, т.е. . Тогда: .

Таким образом, симметричный интеграл от нечетной функции равен нулю.

Теорема.

Ряд Фурье четной периодической функции содержит только косинусы кратных дуг, т.е. в его состав входят только четные гармоники, включая свободный член;

Ряд Фурье нечетной периодической функции содержит только синусы кратных дуг, т.е. в его состав входят только нечетные гармоники.

Доказательство:

Пусть функция - четная и периодическая с периодом , а и - ее коэффициенты. На основании формулы для вычисления ее коэффициентов и учитывая, что - нечетные функции, имеем .

Поэтому , где:



.

Пусть функция - нечетная и периодическая с периодом , а и - ее коэффициенты. На основании формулы для вычисления ее коэффициентов и учитывая, что - четные функции, имеем .

Поэтому , где:

.

Теорема доказана.

Понятие о рядах Фурье непериодических функций

Кусочно-дифференцируемую непериодическую функцию , заданную на бесконечной оси , нельзя представить ее рядом Фурье, так как его сумма, будучи суммой гармоник с общим периодом , есть функция периодическая с тем же периодом и, следовательно, не может быть равен функции для всех . Однако можно построить представление этой функции в виде соответствующего ряда Фурье на любом конечном промежутке.

Пусть интересующий промежуток есть , т.е. симметричен относительно начала координат (этого всегда можно добиться параллельным сдвигом оси ).

Построим функцию периода такую, что при .

Предполагая, что функция удовлетворяет условиям теоремы о сходимости, имеем:

, где коэффициенты и определяются по формулам:

.

Отсюда на основании тождества получим:

, где:

.

Теперь необходимо подсчитать сумму ряда на концевых точках .

Согласно общей формуле:

на основании тождества между и , а также периодичности функции очевидно, что ,

Таким образом, получается, что:

Из периодичности функции следует, что .

Пусть теперь необходимо непериодическую функцию представить в виде ряда Фурье периода на полупериоде .

Полагая ,

где - произвольная кусочно-дифференцируемая функция, получаем бесконечное множество рядов Фурье:

, (),

дающих представление функции на интервале .

В частности, полагая, что (), т.е. что функция - четная, получим:

, (),

где .

Аналогично, полагая, что (), т.е. что функция - нечетная, получим:

,

где .

Таким образом, кусочно-дифференцируемую функцию, заданную на полупериоде, можно разложить в соответствующий ряд Фурье бесчисленным множеством способов. В частности, по желанию эту функцию на данном полупериоде можно представить в виде суммы четных гармоник или в виде суммы нечетных гармоник.

Контрольные вопросы к теме №11

Понятия числового ряда и его сходимости.

Признаки сходимости ряда. Геометрический и гармонический ряды.

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды, их сходимость и абсолютная сходимость.

Область сходимости функционального ряда. Понятие равномерной сходимости ряда.

Радиус сходимости степенного ряда, основные методы его определения.

Ряд Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора.

Понятие кусочно-дифференцируемой функции.

Понятие ортогональности функций.

Ряд Фурье. Понятие гармонического анализа.

Тема 8. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения

Основные понятия:

дифференциальное уравнение; общий интеграл; порядок дифференциального уравнения; семейство кривых; однородные дифференциальные уравнения; линейное дифференциальное уравнение; метод Эйлера; характеристическое уравнение; определитель Вронского.

Основные понятия

Построение математической модели какого-либо экономического процесса заключается в выявлении его закономерности, в получении аналитического выражения функциональной зависимости между переменными параметрами этого процесса.

Пример. Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности и , соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени.

Пусть - число жителей региона в момент времени . Прирост населения за промежуток времени равен разности между родившимися и умершими за этот период, т.е. . Обозначим . Полученное уравнение можно записать в виде . Если перейти к пределу при , получается уравнение . Решением этого уравнения является математическая модель демографического процесса , где - постоянная, определяемая начальными условиями (численность населения в начальный момент времени).

Большинство таких задач на отыскание связи между переменными сводится к решению уравнений, связывающих между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производные различных порядков по . Такие уравнения называют дифференциальными. Огромное значение этих задач для практики, как и для теории обуславливает особо важное значение этого раздела математического анализа.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении. Таким образом, общий вид дифференциального уравнения го порядка следующий:

где - некоторая функция переменных при , причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить , и отдельные производные порядков ниже чем . Дифференциальное уравнение го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:



где - некоторая функция переменной.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если левая часть его есть многочлен первой степени относительно неизвестной функции и ее производных и не содержит их произведений, т.е. если это уравнение имеет вид:

Всякая функция , которая, будучи подставленной в уравнение (1), обращает его в равенство, называется решением этого уравнения. Решить (или проинтегрировать) данное дифференциальное уравнение - значит, найти все его решения в заданной области. График решения называется интегральной кривой.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких - то уравнением в частных производных. Основная задача теории дифференциальных уравнений заключается в изучении методов нахождения неизвестных функций, определяемых дифференциальным уравнением.

Основная задача интегрального исчисления - отыскание функции , производная которой равна данной непрерывной функции - сводится к простейшему дифференциальному уравнению .

Общее решение этого уравнения есть функция , где произвольная постоянная. Выбирая надлежащим образом значение этой константы при условии непрерывности функции , можно получить любое решение этого дифференциального уравнения. При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка .

Так как , то отсюда следует . Интегрируя последнее равенство, получим .

Таким образом, решение содержит две произвольные постоянные и , т.е. число произвольных постоянных в формуле общего решения дифференциального уравнения равно порядку этого уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение , которое содержит столько независимых постоянных , каков порядок этого уравнения.

Предполагается, что функция в общем решении непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам достаточное число раз. При этом произвольные постоянные называются независимыми, если общее число постоянных, входящих в состав функции , не может быть уменьшено путем введения других произвольных постоянных, непрерывно зависящих от данных.

Если общее решение задано в неявном виде , то оно обычно называется общим интегралом.

Определение. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, если приписать определенные значения произвольным постоянным, в него входящим, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка .

Решениями этого уравнения будут функции и , т.к. и . Нетрудно проверить непосредственно, что таким же решением этого уравнения является функция , где и - произвольные постоянные. Эта функция представляет собой общее решение уравнения. Если, например, положить , а , то полученная функция является частным решением данного дифференциального уравнения.

Если в результате решения дифференциального уравнения найдена некоторая функция, то, подставив эту функцию в данное уравнение, можно проверить правильность решения.

Пример. Показать, что функция есть решение уравнения .

В самом деле, и .

Следовательно:

что и требовалось показать.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

где _ аргумент; _ неизвестная функция.

Наиболее простым является дифференциальное уравнение, разрешенное относительно : .

Иногда уравнение первого порядка записывается в форме:

.

Функция называется решением уравнения (1), если она обращает его в тождество, т.е. .

Решение, заданное неявно, т.е. в виде , называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример. Показать, что уравнение , определяющее , как неявную функцию от , есть интеграл дифференциального уравнения .

Дифференцируя данное уравнение, найдем :

.

Подставив в дифференциальное уравнение, получим тождество:

.

Дифференциальные уравнения семейства кривых

Однопараметрическим семейством кривых называется совокупность линий, определяемая уравнением . Фиксируя значение параметра , получают конкретную линию данного семейства. Например, уравнение определяет собой семейство парабол с вершиной в начале координат, симметричных относительно оси . Придавая параметру значения, получают параболы .

Дифференцируя уравнение семейства линий по (считая функцией от ): и исключая параметр , приходят к дифференциальному уравнению вида , которому удовлетворяет любая линия данного семейства.

Пример. Из семейства окружностей выделить ту, которая проходит через точку . Составить дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.

Чтобы выделить нужную окружность, необходимо найти соответствующее ей значение параметра . Так как искомая окружность проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя , получим . Искомое уравнение имеет вид: .

Чтобы составить дифференциальное уравнение семейства окружностей , продифференцируем его по : или .

Геометрическое истолкование дифференциального уравнения

Пусть является решением дифференциального уравнения . График функции называется интегральной кривой уравнения. Само дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точки и угловым коэффициентом касательной к интегральной кривой в той же точке.

Если через обозначить угол между касательной и интегральной кривой в точке и положительным направлением оси , то , а , следовательно, . Это означает, что направление касательных к интегральным кривым задается самим дифференциальным уравнением.

Геометрически уравнение равносильно заданию в области определения функции поля направлений, а интегрирование этого уравнения равносильно проведению таких линий, которые в каждой своей точке касаются направления поля, заданного в этой точке.

Изучая поле направлений, определяемое данным дифференциальным уравнением, получают некоторое представление об интегральных кривых этого уравнения, а иногда и сами интегральные кривые. Линия, вдоль которой направление поля, определяемого уравнением одно и то же, называется изоклиной. Уравнение изоклины получается из уравнения , если положить , т.е. .

Пример. Изоклинами уравнения является семейство окружностей.

Задача Коши

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента принимает заданное значение , т.е. удовлетворяет начальному условию .

Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку . Решение задачи Коши называют частным решением дифференциального уравнения.

Пример. Найти:

семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной равен ординате точки касания;

кривую этого семейства, проходящую через точку .

Решение.

Дифференциальное уравнение искомого семейства или .

Проинтегрировав обе части равенства, получим: , откуда _ уравнение семейства кривых, обладающих заданным свойством.

Определим значение , соответствующее начальным значениям: , т.е. .

Следовательно, _ искомая интегральная кривая.

Дифференциальное уравнение -го порядка можно свести к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка. В самом деле, если обозначить через , через ,…, через , получим систему дифференциальных уравнений:

Для этой системы также можно ввести понятия частного и общего решений, а также начальных условий. Начальные условия можно задавать значениями всех функций в некоторой точке , т.е. это просто начальные условия исходного уравнения -го порядка. Когда такое решение будет найдено, то функция будет искомым частным решением исходного уравнения -го порядка. Верно и обратное: если дана произвольная система дифференциальных уравнений первого порядка, то, исключив из нее все неизвестные функции, кроме одной, ее можно свести к одному уравнению соответствующего порядка, которое, возможно, проще решить.

Пример. Решить систему двух уравнений первого порядка:



Решение. Продифференцировав первое уравнение, получим . Подставим в него из второго уравнения, получим . Общее решение этого уравнения имеет вид . Используя первое уравнение, получаем , и исходная система решена.

Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка вида:

,

которую коротко можно записать в векторной форме .

Задача Коши для такой системы формулируется следующим образом: для заданной точки найти вектор-функцию , которая является решением системы уравнений и .

Рассмотрим задачу Коши для разрешенного относительно дифференциального уравнения -го порядка , которое можно получить из рассмотренной выше системы дифференциальных уравнений первого порядка, если ввести обозначения:

;

;

;

;

……………………

;

,

получится эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка:

...