Математический анализ

Задача Коши для уравнения -го порядка формулируется следующим образом: найти решение уравнения для данных значений:

Точки и называются начальными условиями, их можно записать также в виде и .

Существование и единственность решения задачи Коши может быть сформулировано в виде следующих теорем.

Теорема. Пусть в некоторой области функция и ее частная производная непрерывны. Тогда через каждую точку проходит единственное решение дифференциального уравнения.

Графически это можно представить как семейство кривых, представляющих графики решений, которые полностью заполняют область , но при этом они не могут иметь общих точек, т.е. они не пересекаются и не касаются друг друга.

Теорема. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений.

Если функции и их частные производные по непрерывны в -мерной области , то через каждую точку области проходит единственное в области решение системы дифференциальных уравнений:

Теоремы существования и единственности решения задачи Коши позволяют описать множество решений дифференциального уравнения в виде общего решения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если уравнение вида после преобразования может быть записано в виде , то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.

Исключим из рассмотрения точки, в которых и . После этого разделим обе части уравнения на и получим уравнение:

, в котором переменные разделены.

Общим интегралом уравнения будет:

.

Пример. Найти общий интеграл уравнения и выделить интегральную кривую, проходящую через точку.

Общим интегралом будет или .

Полагая в нем , находим, что . Искомой интегральной кривой будет .

Пример. Найти общий интеграл .

Разделим переменные в данном уравнении, деля обе части на : .

Почленно интегрируя, получим: ;

;

.

Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы.

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени из рекламы получили информацию человек из общего числа потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени число знающих о продукции людей равно . Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению:

.

Здесь - положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента :

.

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

.

В общее решение входит неопределенная константа . Полагая , получим равенство: , из которого определим функцию : .

Здесь . Такого вида функция называется логистической, а её график - логистической кривой.

Если теперь учесть, что и положить где , то можно найти значение константы . Логистичеcкая функция примет вид: .



На рисунке приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях . Здесь величина условно принималась за 1, а величина бралась равной 0,5.

С помощью логистической функции описываются многие экономические, социальные, технологические и биологические процессы, например, постоянный рост продаж, распространение слухов, распространение технических новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.

Однородные дифференциальные уравнения

Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.

Многочлен называется однородным степени , если все члены его имеют один и тот же порядок , т.е. для каждого члена выполняется условие .

Например, есть однородный многочлен степени 2. Интересно отметить, что если аргументы и однородного многочлена степени заменить пропорциональными величинами и , то в результате исходный многочлен будет умножен на величину, равную коэффициенту пропорциональности в степени , т.е. . Так, для приведенного выше полинома:

Это свойство положено в основу общего определения однородной функции.

Определение. Функция называется однородной функцией степени (или -го измерения), если для любого числа имеет место тождество .

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если коэффициенты и при дифференциалах переменных и - однородные функции одной и той же степени.

Пусть однородное дифференциальное уравнение имеет вид или . Записывая это уравнение в полных дифференциалах, получим .

При стоит коэффициент, равный единице, т.е. однородная функция нулевой степени. Следовательно, также должна быть однородной функцией нулевой степени. Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка является однородным тогда и только тогда, когда является однородной функцией нулевой степени. Другими словами, однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть преобразовано к виду .

Подстановка , где новая неизвестная функция, приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Если , то и . Подставляя в уравнение, получим:, т.е. или .

После интегрирования подставим вместо и получим общий интеграл данного уравнения.

Пример. Проинтегрировать уравнение .

Разделив обе части равенства на , получим уравнение, правая часть которого есть функция отношения :

.

Положив в нем и , получим уравнение с разделяющимися переменными: .

Разделяем переменные: .

Интегрируя и подставляя вместо , получим общий интеграл исходного уравнения:



;

;

.

Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение вида:

где и непрерывные функции от называется линейным, в частности, уравнение называется линейным без правой части или линейным однородным.

В линейном однородном уравнении переменные разделяются: , и поэтому его интегрирование сводится к вычислению интегралов от обеих частей равенства: .

Для того чтобы решить уравнение (2) при будем искать неизвестную функцию в виде произведения двух пока неизвестных функций от , т.е. положим , тогда .

Подставить значения и в уравнение (2):



.

После группировки получим:

Выберем так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, обращалось в ноль, т.е. . Для этого достаточно, чтобы было частным решением уравнения с разделяющимися переменными:

или .

Проинтегрировав его, берем частное решение, отвечающее значению . Находим . Подставив в уравнение (2') значение , получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

, или ,

общее решение которого . Следовательно, общим решением уравнения (2) будет .

В ряде случаев дифференциальное уравнение первого порядка является линейным не относительно , а относительно , т.е. может быть приведено к виду: . Метод интегрирования его тот же, что и для уравнения (2), но переменные и меняют свои роли: считается аргументом, а _ неизвестной функцией.

Пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение:

.

Положим , тогда .

Подставим и в данное уравнение:

;

Положим , или .

Проинтегрировав, получим частное решение при :

или .

При равенство (3) обратится в уравнение:

;

,

откуда и общим решением данного уравнения будет .

Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию известных функций. Поэтому большое значение имеют различные приближенные методы интегрирования уравнений.

Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений

Для нахождения точного решения дифференциального уравнения первого порядка универсального метода не существует, поэтому большое значение приобретают приближенные методы решений дифференциальных уравнений.

Пусть на заданном отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения первого порядка с непрерывной правой частью , удовлетворяющее начальному условию .

Геометрически это значит, что для дифференциального уравнения нужно построить интегральную кривую , проходящую через точку . Из геометрического смысла производной следует, что в каждой точке интегральной кривой ее наклон (т.е. тангенс угла наклона касательной) удовлетворяет условию .

Поскольку правая часть дифференциального уравнения по предположению непрерывна, то можно считать, что на небольшом участке интегральной кривой ее наклон постоянен, т.е. эту кривую можно заменить ломаной линией.

Практически это делается следующим образом:

Отрезок разбивается на достаточно мелких частей , , …, . Длина го отрезка () для простоты предполагается одинаковой для всех отрезков, т.е. .

Величина называется шагом процесса.

Кривая с вершинами заменяется ломаной линией с вершинами , где , и последовательными наклонами, которая называется полигоном Эйлера:

Расчетные формулы выглядят следующим образом:

Суть метода Эйлера - замена непрерывного процесса, описываемого дифференциальным уравнением на дискретный процесс, скорость протекания которого постоянна в пределах элементарного интервала разбиения и скачкообразно изменяется при переходе от одного интервала разбиения к другому.

Недостатки метода:

Малая точность при значительном шаге , большой объем работы при малом шаге;

Систематическое накопление ошибок.

Пример. Методом Эйлера на промежутке найти решение дифференциального уравнения , .

Выберем шаг . Результаты вычисления с точностью до 0,001 приведены в таблице:

0	1,000	1,000	0,100
0,1	1,100	1,200	0,120
0,2	1,220	1,420	0,142
0,3	1,362	1,662	0,166
0,4	1,528	1,928	0,193
0,5	1,721

Таким образом, . Поскольку уравнение линейное, несложно найти точное решение: ; отсюда .

Дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно старшей производной

.

Общее решение этого уравнения содержит две независимые произвольные постоянные и . Геометрически общее решение представляет собой бесконечную совокупность интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметров и . Вообще говоря, через каждую точку плоскости проходит пучок интегральных кривых. Поэтому, чтобы из семейства интегральных кривых выделить одну определенную интегральную кривую, недостаточно указать точку , через которую проходит эта кривая, нужно указать еще и направление, в котором кривая проходит через эту точку, т.е. задать тангенс угла наклона касательной к этой кривой в точке с положительным направлением оси .

Задача Коши

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям: , где _ заданные числа, называется задачей Коши. Эти условия часто называют начальными условиями, так как с экономической точки зрения они означают, что в фиксированный момент времени задано начальное состояние экономического процесса и скорость его изменения.

Геометрический смысл задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент касательной в этой точке.

Пример. Решить задачу Коши .

Найдем все решения данного уравнения. Интегрируем: , .

Воспользовавшись начальными условиями, определим значение констант и из системы уравнений: .

Следовательно, , и искомое решение: .

Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка не решается аналитически, однако, в некоторых случаях, дифференциальные уравнения второго порядка определенных типов решаются с применением операции неопределенного интегрирования.

Тип I.

Интегрируя, получим .

Интегрируя еще раз, окончательно получим , где и - произвольные постоянные, и неопределенные интегралы трактуются как некоторые первообразные соответствующих функций.

Тип II. .

Положим, . Отсюда, рассматривая как функцию от , будем иметь: .

Следовательно, уравнение примет вид . Разделяя переменные, получим .

Интегрируя последнее уравнение, находим:

или .

Так как , то . Отсюда, разделяя еще раз переменные и интегрируя, получим:

.

Тип III. .

Положим , тогда . Уравнение примет вид:

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Определив из этого уравнения величину , путем вторичного интегрирования, можно найти и .

Случаи понижения порядка

Укажем два случая, когда дифференциальное уравнение второго порядка приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

I. Пусть левая часть уравнения не содержит , т.е. уравнение имеет вид . Полагая и , получим дифференциальное уравнение первого порядка , где роль независимой переменной играет .

II. Пусть левая часть уравнения не содержит , т.е. уравнение имеет вид . Полагая и , получим уравнение первого порядка с неизвестной функцией .

Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с непрерывными коэффициентами и .

Предположим, что и - частные (т.е. не содержащие произвольных постоянных) решения этого уравнения.

Определение. Два решения и называются линейно зависимыми, если можно подобрать числа и не равные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, т.е. .

В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения и называются линейно независимыми. Иными словами, если функции и линейно независимы и выполняется тождество , то числа и одновременно равны нулю.

Очевидно, решения и будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они пропорциональны друг другу, т.е. (или наоборот), где - постоянный коэффициент пропорциональности.

Понятие линейной независимости применимо к любой паре функций. Аналогично определяется линейная зависимость и линейная независимость нескольких функций.

Зная два частных линейно независимых решения линейного однородного уравнения, легко получить общее решение этого уравнения.

Теорема. Если и - линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка , то общее решение уравнения есть линейная комбинация этих частных решений, т.е. общее решение имеет вид , где и - произвольные конечные постоянные величины.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида , где и - некоторые действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Частное решение этого уравнения будем искать в виде , где - постоянное число, которое необходимо определить. Дифференцируя , получаем и . Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

.

Множитель отличен от нуля, поэтому можно разделить на него обе части уравнения и получить эквивалентное уравнение , из которого можно определить значения параметра . Уравнение называется характеристическим уравнением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Для построения характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные , и функцию заменить на соответствующие степени параметра , рассматривая при этом функцию как производную нулевого порядка.

Теорема. Если и _ частные решения уравнения , то есть общее решение этого уравнения.

Для определения частных решений и следует предварительно решить характеристическое уравнение:

.

Корни характеристического уравнения равны .

При решении данного квадратного уравнения возможны три случая:

1. , тогда характеристическое уравнение имеет два различных корня и . При эти функции являются линейно-независимыми. Действительно, если допустить обратное, то должно выполняться соотношение , где хотя бы один из коэффициентов или отличен от нуля. Следовательно, можно получить тождество , что противоречит здравому смыслу, поскольку левая часть равенства изменяется с изменением , в то время как правая часть постоянна. Таким образом, общее решение для этого случая имеет вид .

2. , тогда характеристическое уравнение имеет единственный кратный корень . Поэтому частное решение дифференциального уравнения будет иметь вид . Всякое другое частное решение линейно независимое с будет иметь вид , где - некоторая функция от , не являющаяся тождественно постоянной. В результате дифференцирования получаем:

Подставляя , и в исходное уравнение после сокращения на общий множитель , получим или . Поскольку, по условию , получаем . Отсюда и , где и - произвольные постоянные. Следовательно, . Поскольку, является частным решением и постоянные и являются произвольными, можно принять и , при этом .

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид: .

3. , тогда характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни . В этом случае частные решения дифференциального уравнения будут иметь вид и , а общее - .

Корни характеристического уравнения	Частные решения	Общее решение
Действительные
Действительные
Комплексно-сопряженные

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Составим характеристическое уравнение: . Корни этого уравнения различные и действительные и , поэтому _ частные решения этого уравнения, тогда _ общее решение данного уравнения.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Корни характеристического уравнения _ действительные и равные: , поэтому частные решения _ . Тогда общее решение уравнения: .

Для определения частного решения в равенства и подставим начальные условия.

Получим: .

Подставив эти значения в общее решение, найдем частное .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные: . В этом случае . Общее решение будет: .

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами , где и - данные постоянные числа и - известная функция от .

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения.

Доказательство. Пусть есть общее решение уравнения , а - некоторое частное решение уравнения . Если подставить решения в соответствующие исходные уравнения получим: и . Складывая почленно, приходим к равенству: . Отсюда ясно, что функция будет общим решением уравнения , поскольку оно содержит две независимые произвольные постоянные и .

Поскольку решение однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами рассматривалось ранее, то необходимо только указать способ нахождения частного решения .

Правая часть уравнения является показательной функцией . Тогда частное решение также ищется в виде показательной функции , где - неопределенный коэффициент. Отсюда, и . Подставив в исходное уравнение и сократив на , получим .

Возможны два случая:

не является корнем характеристического уравнения, т.е. , тогда и, следовательно, ;

Если - простой корень, то решение следует искать в виде ; если - кратный корень, то решение следует искать в виде .

Правая часть уравнения является тригонометрическим полиномом . Тогда частное решение этого уравнения ищется также в форме тригонометрического полинома , где и - неопределенные коэффициенты. Дифференцируя получим:

; .

Подставив в исходное уравнение и сгруппировав коэффициенты при тригонометрических функциях, получим:

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при тригонометрических функциях должны быть равны между собой:

Из этой системы и определяются коэффициенты и . Эта система несовместна только в том случае, когда , (т.е. когда - корни характеристического уравнения). Тогда частное решение следует искать в виде .

Правая часть уравнения является полиномом, например, второй степени .

Тогда частное решение также следует искать в форме полинома второй степени . В результате дифференцирования получим , . Подставляя , и в исходное уравнение приходим к тождеству:

или .

Так как два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны, то для определения коэффициентов , и получается система:

Если , то из этой системы для коэффициентов , и получаются вполне определенные значения. Частное значение в этом случае также будет вполне определено.

Если (характеристическое уравнение имеет простой нулевой корень), то система уравнений несовместна. В этом случае, полагая, что , частное решение следует искать в виде . Эта задача решается аналогично, если является полиномом какой-нибудь другой степени.

Линейные дифференциальные уравнения -го порядка

Линейным дифференциальным уравнением -го порядка называется уравнение вида:

Если , то уравнение называется однородным. В противном случае, если тождество не выполняется, уравнение называется неоднородным.

Для более компактной записи введем обозначение:

Свойства решений линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

Для любых функций и

;

Для любого числа и функции ;

Если , , …, - решения однородного дифференциального уравнения, а - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, то для любых чисел , , …, функция является решением неоднородного уравнения.

Для построения общего решения линейного дифференциального уравнения необходимо обобщить понятие линейной независимости на систему функций.

Определение. Система функций , , …, называется линейно независимой на множестве , если тождественное равенство имеет единственно возможное решение .

Предположим, что функции , , …, непрерывны и имеют непрерывные производные до го порядка включительно на множестве .

Тогда определитель:

называется определителем Вронского.

Известно, что определитель Вронского, составленный из решений линейного однородного дифференциального уравнения, обладает следующим свойством.

Теорема. Определитель Вронского для решений линейного однородного дифференциального уравнения тождественно равен нулю, когда решения линейно зависимы и не равен нулю ни в одной точке, когда решения линейно независимы на множестве .

Теорема. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид:

,

где , , …, - решения однородного дифференциального уравнения, - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Линейно независимая система решений , , …, линейного однородного дифференциального уравнения называется фундаментальной системой решений.

Контрольные вопросы к теме №12

Понятия дифференциального уравнения.

Порядок дифференциального уравнения.

Методы интегрирования линейных дифференциальных уравнений.

Методы приближенного решения линейных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера.

Методы интегрирования линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Понятие характеристического уравнения.



Вопросы к экзамену

Последовательности. Ограниченные последовательности. БМП и их свойства.

Сходящиеся последовательности. Предел. Свойства пределов.

Критерий Коши сходимости последовательности. Монотонные последовательности, их сходимость.

Предел функции. Теорема Гейне.

Пределы на бесконечности. Бесконечные пределы. Односторонние пределы.

Замечательные пределы и .

Непрерывность. Непрерывность на множестве. Односторонняя непрерывность.

Точки разрыва. Односторонняя непрерывность.

Дифференцируемость функции. Производная, ее геометрический и экономический смысл. Правила дифференцирования.

Производная сложной функции. Производная обратной функции. Дифференциалы.

Приращение функции. Приближенные вычисления.

Основные теоремы дифференцирования. Производные высших порядков.

Правила Лопиталя.

Монотонность функции. Критерии монотонности.

Экстремумы. Необходимое условие, достаточные условия. Острый экстремум, глобальный экстремум.

Выпуклость. Критерий выпуклости. Перегибы.

Интерполяция и аппроксимация функций. Формула Тейлора. Основные разложения.

Интерполяция и аппроксимация функций. Интерполяционный полином Лагранжа.

Асимптоты. План исследования функции.

Пространство Rn. Точки, расстояние. Множества в Rn.

Последовательности в Rn. Сходимость. Основной критерий сходимости.

Функции в Rn. Предел. Теорема Гейне.

Непрерывность функции в Rn. Непрерывность по одной переменной. Непрерывность на множестве. Теоремы о непрерывности.

Дифференцируемость функций в Rn. Частные производные. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия.

Дифференцирование композиции. Частные производные высших порядков.

Дифференциал функции нескольких переменных. Оператор d. Формула Тейлора.

Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие. Исследование стационарных точек.

Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум.

Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.

Неопределенный интеграл, его свойства. Замена переменных. Интегрирование по частям.

Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации.

Вычисление

Вычисление

Определенный интеграл, Геометрический смысл, экономический смысл. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Классы интегрируемых функций.

Свойства определенного интеграла.

Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменных в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

Несобственные интегралы.

Приложения интеграла.

Интегрирование функций многих переменных. Свойства кратного интеграла.

Числовой ряд. Сходимость, сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Остаток ряда. Геометрический и гармонический ряды.

Критерий сходимости положительного ряда. Признаки сравнения. Признаки Даламбера, Коши. Степенной признак сходимости ряда.

Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость. Признак Лейбница.

Функциональные ряды. Степенные ряды. Радиус сходимости. Разложение функций в степенные ряды.

Ряды Фурье. Разложение четных, нечетных и непериодических функций в ряд Фурье.

ОДУ. Решение ОДУ. Линейное ОДУ первого порядка. Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Задача Коши.

Линейное ОДУ второго порядка. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка. Случаи понижения порядка. Линейные дифференциальные уравнения -го порядка.

Литература

1. Гринберг А.С., Плющ О.Б. и др. Высшая математика. Учебное пособие. Ч. I. Минск, АУ, 2002.

2. Гринберг А.С., Кастрица О.А. и др. Математика для менеджера. Учебное пособие. Ч. II. Минск, АУ, 1994.

3. Гринберг А.С., Кастрица О.А. и др. Математика для менеджера. Учебное пособие. Ч. I. Минск, АУ, 1994.

4. Гринберг А.С., Кастрица О.А. и др. Математика для менеджера. Учебное пособие. Ч. V. Минск, АУ, 1996.

5. Гринберг А.С., Кастрица О.А. и др. Математика для менеджера. Учебное пособие. Ч. VII. Минск, АУ, 2001.

6. Гринберг А.С., Белаш Т.В., Рухленко Е.В. и др. Математика для менеджера. Учебное пособие. Ч. III. Минск, АУ, 1996.

7. Гринберг А.С., Иванюкович В.А., Скуратович Е.А. Математика на персональном компьютере. Ч.VIII. Минск АУ. 2001.

8. Кастрица О.А. Высшая математика: примеры, задачи, упражнения. Учебное пособие для ВУЗов. Москва, ЮНИТИ, 2002.

9. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред. В.И.Ермакова.- М.: ИНФРА-М, 2001. - 656 с.

10. Малыхин В.И. Математика в экономике. - М.: ИНФРА-М, 2002. - 352 с.

11. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - М.: «Наука», 1975.

12. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. Москва, ЮНИТИ, 2001.

13. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. - М.: ИНФРА-М, 2001. - 208 с.

14. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. - М.: МГУ, Издательство «ДИС», 1997. - 368 с.

15. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. Москва, ЮНИТИ, 2001.

16. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. Минск, Высш. школа, 1992.

17. Кузнецов А.В. и др. Высшая математика: Общий курс. Минск, Высш. школа, 1993.

18. Гусак А.А., Гусак Г.М. Справочник по высшей математике. Минск, Навука и тэхнiка, 1991.

Размещено на Allbest.ru

...