Математический анализ

Теорема. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и раз дифференцируема в ней. Тогда, при имеет место формула:

Полученный многочлен называется формулой Тейлора -го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Если , то формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:

Для остаточного члена формулы Тейлора существуют и другие представления. Так, если функция имеет производную -го порядка в окрестности точки , то остаточный член может быть представлен в форме Лагранжа:

, .

Основные разложения

.

.

.

.

В частности, при :

.

.

Используя основные разложения можно получать формулы Тейлора для других функций. При этом используют то, что:

;

;

;

;

;

.



Понятие об эмпирических формулах

На практике часто возникает задача аппроксимации данных о зависимости между двумя переменными и , полученных опытным путем и представленных в табличной форме. Это могут быть результаты опыта, наблюдений, статистической обработки результатов и т.д. При этом необходимо зависимость между этими переменными представить в виде аналитического выражения функции так, чтобы эта формула наилучшим образом отражала общую тенденцию зависимости от , исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений.

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, называются эмпирическими. Задача нахождения эмпирических формул выполняется в два этапа:

Установление вида зависимости ;

Определение неизвестных параметров этой функции.

При определении вида эмпирической функции обычно предполагается, что это наиболее гладкая кривая, согласованная с экспериментальными данными. Кроме того, для выбора этой функции привлекаются дополнительные соображения, как правило, не математического характера (теоретические модели, опыт предшествующих исследований, и т.п.).

Эта задача может быть решена в ходе регрессионного анализа, который изучается в курсе теории вероятностей, но решить ее можно и математическими методами. Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов, в качестве неизвестных параметров функции выбираются такие значения, которые соответствуют минимальному значению суммы квадратов отклонений эмпирических значений от значений функции , вычисленных по соответствующим им значениям аргументов , т.е.:

.

Разность называется невязкой. В качестве критерия согласия или величины отклонения можно было взять обычную сумму невязок или их абсолютных величин, но делать это нецелесообразно, поскольку в первом случае сумма невязок может быть малой или, даже, равняться нулю при значительном разбросе экспериментальных данных из-за того, что положительные отклонения будут скомпенсированы отрицательными. Сумма абсолютных величин невязок лишена этого недостатка, но она имеет другой - она не является дифференцируемой, что существенно затрудняет решение задачи.

В ходе решения задачи отыскания оптимальных параметров аппроксимационной функции возникает необходимость поиска экстремума функции нескольких переменных, поэтому, прежде чем решать эту задачу для конкретных эмпирический функций, необходимо рассмотреть свойства функций нескольких переменных.

Контрольные вопросы к теме №6

Критерии монотонности функции.

Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции.

Понятие стационарных точек функции.

Области выпуклости графика функции и точки перегиба.

План исследования функции и построение ее графика.

Интерполяция и аппроксимация функций.

Интерполяционный полином Лагранжа.

Формула Тейлора и формула Маклорена.

Понятие эмпирических функций.

Тема 4. Пространство

Пространство

Основные понятия:

точка; расстояние; сфера; точка сгущения; внутренняя точка; внешняя точка; граничная точка; изолированная точка; открытая область; замкнутое множество; совершенное множество; сходимость последовательности точек; ограниченная последовательность точек; функция нескольких переменных; непрерывность функции; дифференцируемость функции; частные приращения; частные производные; композиция функций; полный дифференциал функции; формула Тейлора; локальный экстремум; стационарные точки; критические точки; условный экстремум; метод наименьших квадратов.

Точки, расстояние. Множества в

Последовательное -кратное выполнение операции декартова произведения множества действительных чисел на само себя формирует множество элементов, представляющих собой упорядоченные наборы чисел . Такие наборы называют точками. Множество всех таких точек образует -мерное арифметическое пространство . При получаем арифметическое пространство или плоскость. При _ арифметическое пространство или обычное

3-х мерное пространство.

Точки можно складывать и умножать на число.

Так, если а , то:

,

.

Расстоянием между точками и принято называть число .

При и _ это обычное расстояние между точками на плоскости или в пространстве.

Расстояние обладает следующими свойствами:

;

;

.

С помощью понятия расстояния можно определить понятие сферы радиуса с центром в точке , как множество точек, каждая из которых находится на расстоянии от точки .

Шаром с радиусом и центром в точке называется множество точек удаленных от точки на расстояние не превосходящее :

Множество называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре. Нетрудно показать, что ограниченность множества означает, что существует такое число , что величины координат любой точки из по абсолютной величине не превосходит .

Пусть число сколь угодно мало, тогда множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству , называются окрестностью точки , т.е. для всех точек из окрестности точки расстояние .

Далее, используя понятие окрестности, можно ввести классификацию точек области .

Точка называется предельной или точкой сгущения области , если в любой окрестности точки найдутся точки множества , отличные от точки .

Точка называется внутренней точкой множества , если она входит в вместе с некоторой окрестностью. Любая внутренняя точка является предельной точкой множества, однако обратное утверждение не верно. Например, множество рациональных чисел составлено только из предельных точек, но ни одна из них не является внутренней точкой.

Точка называется внешней точкой множества , если в не входит ни сама точка ни точки ее окрестности.

Точка называется граничной точкой множества , если любая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему.



Точка называется изолированной точкой множества , если она принадлежит , но имеет некоторую окрестность, в которой отсутствуют точки этого множества, отличные от . Изолированными точками являются, например, целые числа.

Множество, составленное из одних внутренних точек, называется открытой областью. Множество, которое содержит все свои предельные точки, называется замкнутым. Множество, которое не содержит изолированных точек, называется совершенным.

Выполнение простейших операций над множествами, таких как объединение и пересечение, позволяет сформулировать следующие общие свойства множеств:

Любое объединение бесконечного числа открытых множеств является открытым множеством;

Любое пересечение бесконечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством;

Всякое конечное объединение замкнутых множеств является замкнутым множеством;

Всякое конечное пересечение открытых множеств является открытым множеством.

Примечания:

Бесконечное объединение замкнутых множеств может оказаться незамкнутым множеством;

Бесконечное пересечение открытых множеств может оказаться неоткрытым множеством.

Последовательности в . Сходимость

Аналогично последовательности чисел, можно определить последовательность точек . Рассмотрим последовательность точек пространства :

Говорят, что эта последовательность сходится к точке , если величина расстояния между точками и есть величина бесконечно малая и с ростом стремится к нулю:

Можно дать и другое определение сходящейся последовательности.

Пусть: - последовательность точек в . Эта последовательность сходится к точке , если последовательность сходится к , т.е. ; последовательность сходится к , т.е. и т.д.

Так же, как и в случае числовой последовательности, любая окрестность точки сгущения последовательности точек в содержит бесконечное число элементов последовательности.

Понятие последовательности точек в предполагает наличие биективного отображения между элементами множества и множеством натуральных чисел . Если выделить последовательность из множества , то соответствующие элементы образуют подпоследовательность последовательности . Другими словами, подпоследовательность - это любая бесконечная часть последовательности.

Всякая ограниченная последовательность точек в пространстве содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из . Таким образом, если последовательность точек ограничена, т.е. заключена внутри некоторого шара, то ввиду бесконечности этой последовательности, внутри этого шара обязательно должны найтись места сгущения этой последовательности (должны существовать подпоследовательности, сходящиеся к некоторым внутренним или граничным точкам этого шара).

Функции в . Предел. Теорема Гейне

Если из области по определенному правилу или закону ставится в соответствие единственное значение величины , то говорят, что на области определена функция . Координаты точки называются независимыми переменными или аргументами функции, переменная зависимой переменной, а символ обозначает закон соответствия.

Описание законов соответствия в многомерном случае имеют намного более ограниченные возможности, нежели в одномерном случае. К основным способам задания функции нескольких переменных можно отнести:

Формульный или аналитический;

Структурно-логический;

Геометрический.

Геометрический способ задания функции затруднен уже при , поскольку, в этом случае, график функциональной зависимости совпадает с поверхностью вида , построенной в трехмерном пространстве.

Для того чтобы лучше представить себе характер изменения графика при различных значениях аргументов и в пространстве, задают плоские сечения поверхности плоскостями, соответствующими фиксированным значениям функции . Получающиеся в каждом сечении кривые называют линиями уровня.

Уже при наглядность в задании функциональной зависимости исчезает, и все представления такого рода относятся к рассмотрению гиперповерхностных форм.

Определение предела функции по Коши:

Пусть дана функция , определенная на области . Число называется пределом в точке сгущения если такое, что .

Символически обозначение предела выглядит следующим образом:

Определение предела функции по Гейне:

При любом выборе последовательности точек , сходящейся к точке сгущения соответствующие числовые последовательности значений функции сходятся, причем у всех последовательностей должен быть единый предел.

Непрерывность функции в

Рассмотрим функцию , определенную в области . Предположим, что лишь одна переменная получила приращение , а остальные переменные остались неизменными. Тогда разность:

называется частным приращением функции по переменной .

Функция называется непрерывной по переменной , если функция определена как в точке , так и в точке , и эти точки являются точками сгущения этой функции. При этом должно выполняться условие , т.е. бесконечно малым приращениям переменной должны соответствовать бесконечно малые частные приращения функции .

Если приращение получают все переменные, то соответствующее приращение функции:



называется полным приращением функции (или просто приращением функции).

Естественно, что во всех точках, соответствующих как частным приращениям, так и полному приращению функции, сама функция должна быть определена.

Также следует отметить, что полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных приращений:

.

Функция многих переменных, определенная в , называется непрерывной в точке сгущения , если:

;

;

.

Из данного определения следует, что:

функция должна быть определена в точке и эта точка должна быть предельной в области существования функции;

приращение для любой непрерывной функции является величиной бесконечно малой: причем это условие должно выполняться и для всех частных приращений функции .

Таким образом, для выполнения требования непрерывности функции нескольких переменных в точке необходимо, чтобы функция была непрерывна как в самой точке, так и в некоторой окрестности этой точки, причем при достаточно малых по абсолютной величине приращениях переменных .

Непрерывность на множестве

Функция называется непрерывной на множестве , если она непрерывна во всех точках этого множества.

Непрерывные функции многих переменных обладают следующими свойствами:

Композиции функций и вида:

;

;

;

при являются непрерывными в точке , если и непрерывными в точке .

По аналогии с понятием сложной функции одной переменной для функций нескольких переменных можно ввести понятие суперпозиции функций.

Если функция определена в области , а семейство функций определено в и области изменения функций этого семейства содержатся во множестве , то в задана сложная зависимость . Если функция определена в области и непрерывна в , а функции определены в и непрерывны в , то при условии, что , функция является непрерывной в точке , то есть .

Теоремы о непрерывности

Теоремы Больцано-Коши и Вейерштрасса о непрерывности могут быть сформулированы и для функций многих переменных, однако в этом случае они имеют свою специфику, обусловленную более сложной природой множеств, на которых заданы функции, а также природой самих функциональных объектов.

Предварительно желательно ввести следующие геометрические истолкования функциональных объектов в :

определенная на области может рассматриваться как гиперповерхность в мерном пространстве переменных ;

гиперкривая, которая задается как суперпозиция функции и параметрических зависимостей .

Если области изменения функций семейства содержатся во множестве , то график гиперкривой целиком располагается на гиперповерхности .

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой и связной области . Если в двух точках области и выполняется условие , то на гиперкривой, соединяющей и существует точка такая, что .

Вторая теорема Больцано-Коши. Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой и связной области . Если в двух точках области и выполняется условие , то , удовлетворяющего условию , существует точка такая, что . Т.е. на каждом отрезке функция принимает все свои промежуточные значения.

Теоремы Больцано-Коши требуют соблюдения условий связности области . При этом сама область может быть неограниченной, в то время как теоремы Вейерштрасса требуют, чтобы область была ограниченной, но не требуют обязательности выполнения условия связности.

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна в ограниченной и замкнутой области , то она ограничена в этой области.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция определена и непрерывна в ограниченной и замкнутой области , то она имеет минимум и максимум в этой области.

Таким образом, математический инструментарий, отработанный на элементарном и наглядном объекте - функциях одной переменной, легко переносится на объекты более сложной природы - функции многих переменных.

Дифференцируемость функций в . Частные производные

Если у функции нескольких переменных зафиксировать (т.е. приравнять постоянной величине) все переменные, кроме одной, то тогда эту функцию можно рассматривать как функцию этой переменной. Рассмотрим отношение частного приращения функции по переменной :

к приращению аргумента : . Предел этого приращения при , если таковой существует, называется частной производной первого порядка функции по переменной .

Определение: Частной производной функции нескольких переменных по одной из переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при условии, что последняя стремится к нулю:

.

Частная производная от функции многих переменных равна производной той функции одной переменной, которая получится, если все независимые переменные данной функции, кроме соответствующей одной, считать постоянными. Следовательно, частное дифференцирование не требует никаких новых правил дифференцирования, и можно пользоваться известными формулами дифференцирования функции одной переменной. Поскольку геометрическую трактовку имеют только функции двух переменных, то геометрический смысл частной производной можно установить на примере пространства . В этом случае функция задает в пространстве поверхность.

Условие задает плоскость, перпендикулярную оси и пересекающую ее в точке . Аналогично, условие соответствует плоскости, перпендикулярной оси и пересекающей ее в точке .

Обе плоскости пересекут поверхность и вырежут на ней плоские линии и . Частная производная , где - точка с координатами , совпадает с производной в точке , а частная производная совпадает с производной в точке . Эти производные равны тангенсам угла наклона касательных, проведенных, соответственно, к плоским линиям и в точке .

При переходе к пространству геометрический смысл не изменяется и соответствует тангенсу угла наклона касательной, проведенной к сечению гиперповерхности системой гиперплоскостей , высвобождающих только одну координату .

Нетрудно показать, что если функции и имеют конечные частные производные, то конечные частные производные имеют и композиции этих функций вида , , и . При этом:

;

;

;

.

Дифференциал функции нескольких переменных

Функция , определенная в области и непрерывная в точке , называется дифференцируемой в точке , если полное приращение в некоторой окрестности точки можно представить в виде:

,

где - постоянные; - бесконечно малые, стремящиеся к нулю при . Если не все значения равны нулю, то величина является бесконечно малой первого порядка и называется главной линейной частью приращения дифференцируемой функции или ее полным дифференциалом. Величина является бесконечно малой более высокого порядка. Таким образом, полное приращение дифференцируемой функции можно записать в виде .

Для дифференцируемых функций предел отношения частных приращений к приращению соответствующей переменной имеет конечный предел при , равный , т.е. из дифференцируемости функции непосредственно вытекает существование конечных частных производных этой функции и их равенство коэффициентам главной части разложения полного приращения.

Под дифференциалом независимой переменной обычно понимают приращение этой переменной, т.е. .

Полным дифференциалом функции называется главная линейная часть полного приращения этой функции .

Функция, имеющая дифференциал в данной области, называется дифференцируемой в этой области. Если функция дифференцируема в данной области, то в этой области она непрерывна.

Теорема. Дифференциал функции равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

Доказательство: Пусть функция дифференцируема, т.е. имеет дифференциал . Для определения коэффициентов рассмотрим полное приращение функции . Тогда частное приращение функции по й переменной можно записать как . Отсюда следует, что . Переходя к пределу при это равенство можно записать в виде . Аналогичные рассуждения справедливы для каждой из компонент. Таким образом, с учетом вышесказанного, выражение для полного дифференциала функции можно записать как:

.

Совокупность всех частных производных вектора можно рассматривать как координаты вектора, который называется вектором-градиентом . При этом формула для вычисления полного дифференциала может рассматриваться как скалярное произведение вектора-градиента и вектора с координатами, равными дифференциалам независимых переменных, который называется вектором-приращением . Скалярное произведение принимает максимальное значение при условии, что вектора - сомножители сонаправлены. Таким образом, направление вектора-градиента является направлением наиболее сильного изменения функции.

Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия

Наличие конечной производной является необходимым и достаточным условием для дифференцируемости функции одной переменной. Для функции нескольких переменных существование конечных частных производных по всем независимым переменным, т.е. существование вектора-градиента в точке - необходимое условие дифференцируемости функции. Однако это условие не является достаточным для дифференцируемости функции многих переменных.

Достаточное условие дифференцируемости.

Теорема. Для того чтобы , определенная в области и непрерывная в точке была дифференцируема в этой точке, достаточно, чтобы эта функция имела непрерывные частные производные в некоторой окрестности , и эти частные производные были непрерывны в точке .

Следствием теоремы является существование в некоторой окрестности точки ограниченного вектора-градиента , непрерывного в .

Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций

Функция переменных называется заданной неявно, если она задана уравнением , не разрешенным относительно . В этом случае частные производные функции находятся в результате дифференцирования функции по свободным переменным и по зависимой переменной .

В случае, если - функция одной переменной , заданная уравнением , то .

В двумерном случае, если - функция двух переменных и , заданная уравнением , то .

В общем случае, если - функция переменных, заданная уравнением , то частные производные находятся по формулам:

, , … , .

Если в задана сложная зависимость , т.е. функция определена в области , а семейство функций определены в и области изменения функций этого семейства содержатся во множестве , то если функция определена в области и непрерывна в , а семейство функций определены в , непрерывны в и имеет в этой точке непрерывные первые производные, а также при условии, что функции:

являются непрерывными в точке и имеют в этой точке непрерывные первые производные, то .

Тогда при дифференциальном анализе функциональной зависимости справедливы следующие соотношения:

Если сложная функция имеет в точке непрерывные первые производные, то она является дифференцируемой в этой точке, и ее полный дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности и имеет вид:

Различие между полными дифференциалами простой и сложной функций состоит в том, что для простой функции приращение независимой переменной равно ее дифференциалу, а для сложных функций это равенство не выполняется.

Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала

Частными производными функции в том случае, если они существуют не в одной точке, а на некотором множестве , являются функции, определенные на этом множестве. Эти функции могут быть непрерывными и в некоторых случаях также могут иметь частные производные в различных точках области определения.

Частные производные от этих функций называются частными производными второго порядка или вторыми частными производными.

Частные производные второго порядка разбиваются на две группы:

вторые частные производные от по переменной ;

смешанные частные производные от по переменным и .

При последующем дифференцировании можно определить частные производные третьего порядка и т.д. Аналогичными рассуждениями определяются и записываются частные производные высших порядков.

Теорема. Если все входящие в вычисления частные производные, рассматриваемые как функции своих независимых переменных, непрерывны, то результат частного дифференцирования не зависит от последовательности дифференцирования.

Часто возникает потребность решения обратной задачи, которая состоит в определении того, является ли полным дифференциалом функции выражение вида , где непрерывные функции с непрерывными производными первого порядка.

Необходимое условие полного дифференциала можно сформулировать в виде теоремы, которую примем без доказательства.

Теорема. Для того, чтобы дифференциальное выражение являлось в области полным дифференциалом функции , определенной и дифференцируемой в этой области, необходимо, чтобы в этой области тождественно было выполнено условие для любой пары независимых переменных и .

Задача вычисления полного дифференциала второго порядка функции может быть решена следующим образом. Если выражение полного дифференциала также является дифференцируемым, то вторым полным дифференциалом (или полным дифференциалом второго порядка) можно считать выражение, полученное в результате применения операции дифференцирования к первому полному дифференциалу, т.е. . Аналитическое выражение для второго полного дифференциала имеет вид:

.

С учетом того, что смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, формулу можно сгруппировать и представить виде квадратичной формы:

.

Матрица квадратичной формы равна:



Пусть задана суперпозиция функций , определенной в и

, определенных в . При этом . Тогда, если и имеют непрерывные частные производные до второго порядка в точках и , то существует второй полный дифференциал сложной функции следующего вида:

, т.е.

Как видно, второй полный дифференциал не обладает свойством инвариантности формы. В выражение второго дифференциала сложной функции входят слагаемые вида , которые отсутствуют в формуле второго дифференциала простой функции.

Построение частных производных функции более высоких порядков можно продолжать, выполняя последовательное дифференцирование этой функции:

, где индексы принимают значения от до , т.е. производная порядка рассматривается, как частная производная первого порядка от производной порядка . Аналогично можно ввести и понятие полного дифференциала порядка функции , как полного дифференциала первого порядка от дифференциала порядка : .

В случае простой функции двух переменных формула для вычисления полного дифференциала порядка функции имеет вид .

Применение оператора дифференцирования позволяет получить компактную и легко запоминающуюся форму записи для вычисления полного дифференциала порядка функции , аналогичную формуле бинома Ньютона. В двумерном случае она имеет вид: .

Формула Тейлора

Используя формулы частных производных высших порядков, а также выражения для полных дифференциалов высшего порядка, можно построить многочлены Тейлора для функции многих переменных, обладающей непрерывными частными производными до -го порядка включительно в некоторой окрестности радиуса с центром в точке . Этот многочлен аналогичен многочлену Тейлора для функции одной переменной, записанному в дифференциальной форме:

,

где , , , , .

Тогда многочлен Тейлора для функции переменных можно записать в виде:

,

где используются полные дифференциалы соответствующих порядков с частными производными, значения которых определены для точки .

Если функция удовлетворяет условиям непрерывной дифференцируемости до -го порядка, то ее абсолютное и относительное приращения и , соответственно, могут быть представлены следующими формулами:



Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек

Пусть функция определена и непрерывна в области . Локальным максимумом этой функции называется внутренняя точка , у которой существует такая ненулевая - окрестность для каждой точки , из которой выполняется условие: .

Если каждой точки из ненулевой - окрестности точки выполняется условие , то точка называется локальным минимумом функции .



Точки локального минимума или максимума называются точками локального экстремума. Для этих точек характерно знакопостоянство величины абсолютного приращения в пределах ненулевой - окрестности. Для определения необходимого и достаточного признаков экстремальности функции предположим, что функция в области не имеет точек разрыва и обладает дифференцируемостью до второго порядка. Как было указано выше, разложение абсолютного приращения имеет вид:

Главный член разложения полного приращения является знакопеременным, так как линейно зависит от приращений . Поэтому в точке у функции не может наблюдаться экстремума, если вектор-градиент этой функции точке будет отличен от нулевого вектора, т.е. хотя бы одна из частных производных не будет равна нулю. Таким образом, необходимым условием существования локального экстремума функции является условие или

.

Точки, в которых первые частные производные функции равны нулю или не существуют, называются критическими для данной функции. Критические точки, в которых первые частные производные функции существуют, называются стационарными. Функция многих переменных может достигать своего локального экстремума только в своей критической точке.

При обосновании достаточного условия существования экстремума введем дополнительное требование к функции : эта функция должна иметь непрерывные производные второго порядка в ненулевой - окрестности точки . Тогда условием наличия локального экстремума в критической точке или условием знакопостоянства абсолютного приращения в этой точке будет требование знакопостоянства второго слагаемого в разложении , т.е. . Влияние третьего и последующих членов разложения в этом случае будет пренебрежимо малым. Если формулу для вычисления сгруппировать и представить в виде квадратичной формы:

,



то требование знакопостоянства сводится к требованию знакоопределенности матрицы квадратичной формы в критической точке . В этом случае, если матрица квадратичной формы является положительно определенной, то в точке функция имеет локальный минимум, а если матрица отрицательно определена - то локальный максимум.

Условие знакопостоянства полного относительного приращения выполняется в точках локальной выпуклости, определение которых можно дать по аналогии с функциями одной переменной.

Точка называется точкой локальной выпуклости функции , непрерывной и дифференцируемой в области , если она является внутренней точкой этой области и в некоторой ненулевой -окрестности точки выполняется условие: полное относительное приращение знакопостоянно.

Если , точка называется точкой выпуклости вниз.

Если , точка называется точкой выпуклости вверх.

Если условие локальной выпуклости вверх или вниз выполняется во всех точках области , то функция называется однообразно выпуклой на области .

Достаточным условием существования локальной выпуклости функции нескольких переменных в точке является знакопостоянство полного дифференциала второго порядка этой функции. Это несложно показать, воспользовавшись формулой разложения:

и проведя рассуждения аналогичные доказательству достаточного условия существования локального экстремума. Таким образом, знакопостоянство полного относительного приращения функции в некоторой ненулевой -окрестности точки определяется знакопостоянством полного второго дифференциала функции в точке .

Если , то функция имеет в точке локальную выпуклость вниз. Если , то функция имеет в точке локальную выпуклость вверх. Достаточное условие существования локального экстремума в критической точке кроме необходимого признака включает в свой состав требование наличия локальной выпуклости в этой точке.

Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум

Задача отыскания экстремума в случае функции многих переменных может быть поставлена как задача об условном экстремуме функции с ограничениями вида , , …, , которые называются уравнениями связи. Разумеется, функции должны быть определены, непрерывны и непрерывно дифференцируемы в области . Таким образом, ведется поиск экстремума не на всей области определения, а лишь на множестве точек, удовлетворяющих уравнениям связи. Такой экстремум называется условным.

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим, требуется найти экстремум функции при условии, что . Для этого из уравнения выражают одну из переменных через другую, например, . Подставив это выражение в , получают - функцию одной переменной, которую исследуют на обычный экстремум. Однако, в большинстве более сложных случаев решить этим способом задачу отыскания экстремума не удается.

Для отыскания условного экстремума в общем случае применяется метод множителей Лагранжа. Для этого вводится вспомогательная функция Лагранжа:

.

Эта функция зависит от и значений множителей Лагранжа .

Теорема. Если точка является точкой условного экстремума функции при условиях , ,…,, то существует такое , что точка является точкой экстремума функции .

В качестве необходимых условий существования экстремума формируется система уравнений, решения которой и требуется найти:

Решения системы уравнений образуют множество критических точек с переменными ; . В каждой указанной точке должно выполняться условие или .

На практике в большинстве случаев ставится задача исследования функции , определенной на множестве точек, удовлетворяющих системе ограничений. Такое множество точек образует область, границами которой являются уравнения связи , , …, .

Наибольшее или наименьшее значение функции в данной области называется абсолютным или глобальным экстремумом функции (соответственно абсолютным максимумом или абсолютным минимумом) в этой области.

Согласно теореме Вейерштрасса функция непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наибольшего и своего наименьшего значений.

Теорема. Абсолютный (глобальный) экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

Метод наименьших квадратов

При определении вида эмпирической функции обычно предполагается, что это наиболее гладкая кривая, согласованная с экспериментальными данными. Кроме того, для выбора этой функции привлекаются дополнительные соображения, как правило, не математического характера (теоретические модели, опыт предшествующих исследований, и т.п.).

Эта задача может быть решена в ходе регрессионного анализа, который изучается в курсе теории вероятностей, но решить ее можно и математическими методами. Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции выбираются такие значения, которые соответствуют минимальному значению суммы квадратов отклонений эмпирических значений от значений функции вычисленных по соответствующим им значениям аргументов , т.е.:

.

Разность называется невязкой. В качестве критерия согласия или величины отклонения можно было взять обычную сумму невязок или их абсолютных величин, но делать это нецелесообразно, поскольку в первом случае сумма невязок может быть малой или, даже, равняться нулю при значительном разбросе экспериментальных данных из-за того, что положительные отклонения будут скомпенсированы отрицательными. Сумма абсолютных величин невязок лишена этого недостатка, но она имеет другой - она не является дифференцируемой, что существенно затрудняет решение задачи.

В ходе решения задачи отыскания оптимальных параметров аппроксимационной функции возникает необходимость поиска экстремума функции нескольких переменных, поэтому прежде чем решать эту задачу для конкретных эмпирических функций, необходимо рассмотреть свойства функций нескольких переменных.

Предположим, что функция - линейная, т.е. . Если это выражение приближенно описывает зависимость между и , то сумма квадратов невязок должна быть минимальной, т.е. значения параметров и должны соответствовать минимуму величины:

.

Это функция двух переменных и , она непрерывна, дифференцируема, неотрицательна и ограничена снизу. Для того чтобы найти ее наименьшее значение, необходимо ее частные производные приравнять к нулю:

Таким образом, для нахождения параметров и необходимо решить систему уравнений:



Эта линейная система уравнений имеет единственное решение, поскольку ее определитель:

не равен нулю.

Вторые производные функции равны:

; ; .

Главные миноры матрицы квадратичной формы положительны, т.е. ;

.

Таким образом, значения и , найденные при решении системы уравнений, соответствуют минимуму функции .

Поскольку система невырождена, то решение можно найти по правилу Крамера:

, .

Контрольные вопросы к теме №7

Понятия точки и расстояния.

Внешняя точка, внутренняя точка и граничная точка. Понятия открытой области и замкнутого множества.

Ограниченность и сходимость последовательности точек.

Понятия непрерывности и дифференцируемости функций многих переменных.

Частные приращения и частные производные.

Полный дифференциал функции. Формула Тейлора.

Локальный экстремум, условный экстремум. Понятия стационарных и критических точек.

Метод наименьших квадратов.

Тема 5. Неопределенные интегралы

Неопределенные интегралы

Основные понятия:

интегрирование; первообразная; неопределенный интеграл; метод замены переменных; метод интегрирования по частям; метод рационализации.

Понятие неопределенного интеграла

Интегрирование - операция, обратная дифференцированию, которая позволяет определять функцию , для которой заданная функция является ее производной:

.

Другими словами, если операция дифференцирования состоит в нахождении производной, то интегрирование - это операция отыскания первообразной.

Функция называется первообразной для функции , на промежутке , если для каждой точки этого промежутка .

Теорема. Если и - любые две первообразные для данной функции на промежутке , то для всех выполняется равенство .

Доказательство:

Таким образом, все семейство первообразных для данной функции имеет вид , где одна из первообразных, а произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом функции .

Неопределенный интеграл обозначается следующим образом:



,

где знак интеграла;

подынтегральная функция;

подынтегральное выражение.

В определении неопределенного интеграла не исключается возможность того, что подынтегральная функция является сложной, однако при проверке правильности нахождения первообразной это несущественно, поскольку дифференцировать следует лишь по переменной, стоящей под знаком дифференциала.

Можно показать, что достаточным условием интегрируемости функции на промежутке является ее непрерывность, в то время как для ее дифференцируемости непрерывность является лишь необходимым условием, но не достаточным.

Свойства неопределенного интеграла

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функцией:

Эти свойства означают, что интегрирование и дифференцирование - взаимно обратные операции.

Если и - интегрируемые функции, т.е. на промежутке они имеют первообразные, то сумма функций также интегрируема и .

Если - интегрируемая функция, а постоянная величина, то - также интегрируемая функция и .

Таким образом, свойства 3 и 4 указывают на линейность операции интегрирования:

,

где постоянные;

интегрируемые функции.

Если , а также дифференцируемая функция, то .

Простым обращением известных формул дифференцирования элементарных функций получается таблица простейших неопределенных интегралов.



Чтобы найти неопределенный интеграл от какой-либо функции, достаточно свести его к одному или нескольким табличным интегралам из вышеприведенной таблицы.

Замена переменных

Для упрощения подынтегральной функции и, тем самым, для нахождения интеграла часто применяется так называемая подстановка или замена переменных.

Если обозначить и сделать соответствующие преобразования в заданном подынтегральном выражении, полученный интеграл при удачном выборе функции может оказаться более простым или даже табличным.

Для некоторых типов подынтегральных функций известны такие подстановки, которые приводят к цели. Ниже будут рассматриваться многие из них.

Например:

. Если применить замену ; , то получим:

.

. Применим замену ; . В результате получим:

.

Как и в предыдущем случае, применим замену ; . В результате получим:

.

.

Интегрирование этого выражения будет проведено позднее при подробном рассмотрении метода замены переменных.

Наряду с заменой переменных часто применяется метод разложения, который опирается на линейные свойства интегралов. Это можно проиллюстрировать следующим примером:

Интегрирование по частям

Если функции и дифференцируемы на множестве и, кроме того, на этом множестве существует интеграл , то на нем существует и интеграл , причем .

Действительно, если проинтегрировать формулу нахождения дифференциала произведения двух функций:

,

то можно получить следующее соотношение между первообразными от этих функций:

.

Такой способ нахождения интеграла называется интегрированием по частям. Этот способ целесообразно применять, если интеграл, стоящий в правой части проще исходного. При использовании метода интегрирования по частям задана левая часть равенства, т.е. функция и дифференциал . Таким образом, выбор функций и неоднозначен, причем не каждый способ выбора этих функций ведет к упрощению первоначального интеграла.

Функции, интегрируемые по частям, можно схематично разделить на три группы.

1. Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , , , , при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

В случае если подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из перечисленных выше функций в степени , то операцию интегрирования по частям придется повторять раз.

2. Интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , a также, полином й степени :

.

Для вычисления интегралов второй группы нужно формулу интегрирования по частям применять раз, причем в качестве функции нужно брать многочлен соответствующей степени. После каждого интегрирования степень полинома будет понижаться на единицу.

3. Интегралы вида:

; ; .

Применение формулы интегрирования по частям может привести к ситуации, когда интеграл в правой части и интеграл в левой части равенства совпадают, т.е. получается равенство вида:

,

где исходный интеграл;

постоянная .

В этом случае применение метода интегрирования по частям позволяет получить уравнение первого порядка для , из решения которого находится исходный интеграл :



.

Причем, метод интегрирования по частям может применяться многократно и любой из сомножителей можно всякий раз принимать за .

Большое количество интегралов, не входящих в эти три группы, у которых невозможно выделить общий признак для группировки, также вычисляются методом интегрирования по частям. К таким интегралам можно отнести:

, , , ,

и многие другие.

Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации

Из курса линейной алгебры известно, что рациональной дробью называется выражение вида , где и - многочлены степени и , соответственно. Рациональная дробь называется правильной при . В противном случае, когда , рациональная дробь называется неправильной. Деление числителя на знаменатель позволяет от неправильной дроби перейти к правильной.

При интегрировании правильной рациональной дроби производится разложение этой дроби на простейшие, для чего предварительно разлагается на элементарные множители многочлен . Коэффициенты разложения определяются методом неопределенных множителей. Почленное интегрирование результатов разложения сводится к вычислению интегралов вида: и .

Интегралы вида вычисляются следующим образом:

;

;

Для вычисления интегралов вида применяются метод замены переменных и метод интегрирования по частям:

;



Обозначим через , тогда . Введем новую переменную , тогда , .

;

.

.

Если ввести обозначение , то полученное выражение можно переписать в следующем виде:

Таким образом, происходит понижение порядка вычисляемого интеграла, и вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла .

Зная с точностью до константы интеграл можно вычислить :

.

Используя полученный результат, можно вычислить :

Таким образом, можно вычислить интеграл для любого натурального .

Вычисление

Во многих случаях интегрирование иррациональной функции удается выполнить, применив замену переменной интегрирования, преобразующую подынтегральную функцию в рациональную.

Если рациональная функция своих аргументов, а целые положительные числа, то интеграл:

приводится к интегралу от рациональной функции при помощи подстановки , где наибольшее общее кратное показателей корней .

Сходная подстановка рационализирует подынтегральную функцию и в более общем случае интегрирования выражений типа:

.

В этом случае также применяется подстановка , где, как и в рассмотренном выше случае, наибольшее общее кратное показателей корней .

Вычисление

Интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью одной из следующих подстановок:

Если , то ;

Если , то ;

Если ,

то .

Здесь - новая переменная.

Интеграл находится подстановкой .

Интеграл находится подстановкой .

Интеграл находится подстановкой .

Пример: Вычислить .

Применим подстановку Эйлера . Возводя это равенство почленно в квадрат, получим . Дифференцируя обе части полученного выражения, получим . Отсюда , или . Таким образом, . Поскольку , то . Следовательно, .

Вычисление

Интеграл , где - рациональная функция, всегда сводится к интегралу от рациональной функции при помощи универсальной подстановки . При этом:



.

При вычислении таких интегралов можно использовать также и специальные подстановки, а именно: в случае, когда , можно использовать подстановку .

В случае неопределенного интеграла вида это соответствует нечетному значению .

Если , можно использовать подстановку .

Если , то можно использовать подстановку .

Вычисление

Интеграл от дифференциального бинома, т.е. интеграл , где рациональные числа, и постоянные, отличные от нуля, сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях:

когда целое число, - разложением на слагаемые по формуле бинома Ньютона;

когда целое число, - подстановкой , где знаменатель дроби ;

когда целое число, - подстановкой .

Как мы видим, не существует сколько-нибудь общих приемов нахождения неопределенных интегралов от любой элементарной функции. Более того, доказано, что многие, порой очень простые на первый взгляд, интегралы не выражаются через элементарные функции, или, как говорят, не берутся. Например, к таким интегралам относятся:

.

В различных справочниках приводятся таблицы, в которых содержится большое количество неопределенных интегралов, как выражающихся, так и не выражающихся через элементарные функции.

Контрольные вопросы к теме №8

Понятия первообразной и неопределенного интеграла.

Операция интегрирования, табличные интегралы.

Метод замены переменных и особенности его применения.

Метод интегрирования по частям и основные виды интегралов, вычисляемых с его использованием.

Интегрирование рациональных выражений, метод рационализации.

Тема 6. Определенные интегралы

Определенные интегралы

Основные понятия:

интегральная сумма; определенный интеграл; верхний предел интегрирования; нижний предел интегрирования; верхняя и нижняя суммы Дарбу; равномерная непрерывность функции; квадрируемость фигур; криволинейная трапеция; тела вращения; несобственный интеграл.

Интегральные суммы

Пусть функция задана на сегменте , . Обозначим символом разбиение сегмента при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на частичных сегментов , , , . Точки , , , будем называть точками разбиения . Пусть - произвольная точка частичного сегмента , а - разность , которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента .

Определение. Число , где:

называется интегральной суммой (или суммой Римана) функции , соответствующей разбиению сегмента и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах .

Геометрический смысл интегральной суммы - площадь ступенчатой фигуры.



Введем обозначение .

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого положительного можно указать такое число , что для любого разбиения сегмента , для которого максимальная длина частичных сегментов меньше , независимо от выбора точек , на сегментах выполняется неравенство , т.е. .

Определение.: Функция называется интегрируемой (по Риману) на сегменте , если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при . Указанный предел называется определенным интегралом функции по сегменту и обозначается следующим образом:

.



Числа и называются, соответственно, верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок - интервалом интегрирования.

В случае определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось , линии и , а также график функции .

Обозначим через и соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте .

Определение: Суммы:

и

называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для данного разбиения сегмента .

Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиения сегмента заключена между верхней и нижней суммой и этого разбиения.

Свойства верхних и нижних сумм:

Для любого фиксированного разбиения и для любого промежуточные точки на сегментах можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам . Точки на сегментах можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам .

Если разбиение сегмента получено путем добавления новых точек к точкам разбиения этого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенства и .

Пусть и - любые два разбиения сегмента . Тогда если , и , - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и , то и .

Множество верхних сумм данной функции для всевозможных разбиений сегмента ограничено снизу. Множество нижних сумм ограничено сверху.

Обозначим через точную нижнюю грань множества верхних сумм, а через - точную верхнюю грань множества нижних сумм .

Определение: Числа и называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции .

Пусть разбиение сегмента получено из разбиения добавлением к последнему новых точек, и пусть, если , и , - соответственно нижние и верхние суммы разбиений и . Тогда для разностей и может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины частичных сегментов разбиения , числа добавленных точек и точных верхней и нижней граней и функции на сегменте . Именно и .

Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбу и от функции по сегменту являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при и, следовательно, :

, , и при этом .

Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте функция была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение сегмента , для которого .

Определение: Число называется колебанием функции на сегменте .

Так как , то . Далее запишем в следующей форме:

...