Понятие вектора. Метод координат. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Длина окружности. Площадь круга. Движения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уроки 1-2. Повторение. Решение задач

Цели: вспомнить с учащимися сведения, необходимые при изучении геометрии в 9 классе; повторить некоторые свойства треугольников и четырехугольников; закрепить знания учащихся в ходе решения задач.

Ход уроков

I. Повторение ранее изученного материала.

1. Сформулировать определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

2. Равнобедренный треугольник и его свойства. Признаки равенства треугольников.

3. Определение средней линии треугольника и ее свойство.

4. Теорема Пифагора и обратная ей теорема.

5. Формула для вычисления площади треугольника.

6. Понятие параллелограмма, свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника.

7. Определение трапеции, виды трапеций.

8. Площадь параллелограмма, площадь трапеции.

II. Решение задач.

Повторение можно организовать в ходе решения следующих задач:

1. В треугольниках ABC и A1B1C1 дано AB = A1B1; AC = A1C1, точки D и D1 лежат соответственно на сторонах BC и B1C1; AD = = A1D1. Докажите, что данные треугольники равны, если AD и A1D1: а) высоты; б) медианы.

Примечание. при решении задачи 1 (б) полезно обратить внимание учащихся на прием «удвоения медианы» - откладывание на продолжении медианы AD за точку D отрезка, равного медиане.

2. Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, лежит на высоте, проведенной к основанию.

3. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к его основанию, или на ее продолжении.

4. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если две его медианы равны.

5. Докажите, что если в треугольнике две высоты равны, то центр вписанной в него окружности лежит на одной из медиан этого треугольника, а центр описанной окружности - на той же медиане или ее продолжении.

6. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

7. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равнобедренной трапеции, взаимно перпендикулярны.

8. Найдите длины отрезков, соединяющих середины сторон трапеции с равными диагоналями, если ее основания раны 7 см и 9 см, а высота равна 8 см.

9. Вычислите площадь треугольника АВС, если AB = 8,5 м, АС = 5 м, высота АN = 4 м и точка N лежит на отрезке BC.

10. Вершины четырехугольника ABCD являются серединами сторон четырехугольника, диагонали которого равны по 6 дм и пересекаются под углом 60°. Вычислите площадь четырехугольника ABCD.

III. Итоги уроков.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 15; 17; 18; 19; 20; 30; 42; 43; 44; 45; 46; 49; 50; 51; 52; 53; 54; 55. Решить задачи №№ 167; 163; 502; 513; 515; 517; 524.

понятие вектора. равенство векторов. (8 часов)

Урок 1. Понятие вектора. Равенство векторов

Цели: ввести понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов; научить учащихся изображать и обозначать векторы, откладывать от любой точки плоскости вектор, равный данному.

Ход урока

I. Изучение нового материала (лекция).

Материал пунктов 76-78 рекомендуется изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных иллюстративных средств (графопроектор, плакаты, таблицы, рисунки).

1. Понятие векторных величин (или коротко векторов).

2. Примеры векторных величин, известных учащимся из курса физики: сила, перемещение материальной точки, скорость и другие (рис. 240 учебника).

3. Определение вектора (рис. 241, 242).

4. Обозначение вектора - двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например, , или часто обозначают одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: (рис. 243, а, б).

5. Понятие нулевого вектора: любая точка плоскости также является вектором; в этом случае вектор называется нулевым; обозначают:

(рис. 243, а).

6. Определение длины или модуля ненулевого вектора . Обозначение: . Длина нулевого вектора = 0.

7. Найти длины векторов, изображенных на рисунках 243, а и 243, б.

8. Выполнить практические задания № 738, 739.

9. Рассмотреть пример движения тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении (из пп. 77 учебника), рис. 244.

10. Ввести понятие коллинеарных векторов (рис. 245).

11. Определение понятий сонаправленных векторов и противоположно направленных векторов, их обозначение (рис. 246).

12. Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

13. Определение равных векторов: если и , то .

14. Объяснение смысла выражения: «Вектор отложен от точки А» (рис. 247).

15. Доказательство утверждения, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (рис. 248).

16. Выполнение практического задания № 743.

17. Устно по готовому чертежу на доске решить задачу № 749.

II. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 740 (а) на доске и в тетрадях.

2. Устно решить задачу № 744.

3. Решить задачу № 742.

4. Решить задачу № 745 (выборочно).

5. Устно по заготовленному чертежу решить задачу № 746.

6. Доказать прямое утверждение в задаче № 750:

Доказательство

По условию , то AB || CD, значит, по признаку параллелограмма АВDС - параллелограмм, а диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит, середины отрезков AD и BC совпадают.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 76-78; ответить на вопросы 1-6, с. 213 учебника; решить задачи №№ 740 (б), 747, 748, 749, 750 (обратное утверждение), 751.

Основные требования к учащимся:

В результате изучения § 1 учащиеся должны знать определения вектора и равных векторов; уметь изображать и обозначать векторы, откладывать от данной точки вектор, равный данному; решать задачи типа №№ 741-743; 745-752.

Урок 2. Сумма двух векторов. Законы сложения векторов. правило параллелограмма

Цели: ввести понятие суммы двух векторов; рассмотреть законы сложения векторов; научить строить сумму двух данных векторов, используя правило треугольника и параллелограмма.

Ход урока

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

II. Изучение нового материала (лекция).

Использовать таблицы «Сложение векторов», «Законы сложения», плакаты, графопроектор и др.

1. Рассмотреть пример п. 79 о перемещении материальной точки из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С (рис. 249).

Записать: .

2. Понятие суммы двух векторов (рис. 250); правило треугольника .

3. Устно провести доказательство по рис. 251.

4. Записать в тетрадях:

1) для любого вектора справедливо равенство ;

2) если А, В и С - произвольные точки, то (правило треугольника).

5. Выполнить практическое задание № 753.

6. Рассмотреть законы сложения векторов.

7. Правило параллелограмма (рис. 252) и частное использование этого правила в физике, например при сложении двух сил.

III. Выполнение практических заданий и упражнений.

1. Начертите попарно неколлинеарные векторы . Постройте векторы

.

Вопрос учащимся.

- Какие из построенных векторов равны друг другу?

2. Решите № 759 (а) без помощи чертежа. Докажите, что

.

Доказательство

, равенство верно.

3. Упростите выражения:

1) ; 2) .

Решение

Используем законы сложения векторов:

1) ;

2) .

4. Найдите вектор из условий:

1) ; 2) .

Решение

Используем законы сложения векторов:

1) ;

2) ;

или же

, тогда .

5. Докажите, что четырехугольник ABCD - параллелограмм, если , где Р и х - произвольные точки плоскости.

Доказательство

;

, получим, что векторы и равны, а это значит, что и , тогда по признаку параллелограмма ABCD - параллелограмм.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 79 и 80; ответить на вопросы 7-10, с. 214; решить задачи №№ 754, 759 (б) (без чертежа), 763 (б, в).

Урок 3. Сумма нескольких векторов

Цели: ввести понятие суммы трех и более векторов; научить строить сумму двух и нескольких векторов, используя правило многоугольника; учить решать задачи.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Ответить на вопросы 7-10, с. 214 учебника.

2. Устно решить задачи:

1) Найдите вектор из условия:

а) ; б) .

2) Упростите выражение:

а) ; б) .

II. Работа по учебнику.

1. Используя рис. 253, разобрать сложение нескольких векторов.

2. Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.

3. По рис. 254 учебника рассмотреть построение суммы шести векторов.

4. В чем заключается правило многоугольника сложения нескольких векторов?

5. Записать в тетради правило многоугольника: если A1, A2, .., An - произвольные точки плоскости, то .

6. Рассмотреть рис. 255, а, б.

При сложении нескольких векторов сумма данных векторов может быть равна нулевому вектору, если начало первого вектора совпадает с концом последнего вектора.

III. Закрепление изученного материала.

1. Выполнить на доске и тетрадях практическое задание № 755.

2. Решить задачу № 761 (без чертежа).

Доказательство

.

3. Решить задачу № 762 (а, б).

Решение

а) = a.

Ответ: а.

б) Найдите .

Решение

Найдем сумму векторов и по правилу параллелограмма: ; найдем длину вектора .

По условию AB = AC = a, то ABDC - ромб; диагонали ромба взаимно перпендикулярны: AD BC и точкой пересечения делятся пополам, тогда BO = OC = и AO = OD. Из прямоугольного треугольника AOC по теореме Пифагора найдем AO:

AO = ;

AD = 2AO = 2 = a. Значит, = a.

Ответ: a.

IV. Самостоятельная работа (обучающего характера).

Вариант I

1. Начертите четыре попарно неколлинеарных вектора . Постройте вектор .

2. Упростите выражение: .

Вариант II

1. Начертите пять попарно неколлинеарных векторов . Постройте вектор .

2. Упростите выражение: .

Урок 4. Вычитание векторов

Цели: ввести понятие разности двух векторов; научить строить разность двух данных векторов двумя способами; учить решению задач.

Ход урока

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

1. Проанализировать характерные ошибки, допущенные в конт-рольной работе.

2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Объяснение нового материала.

1. Напомнить учащимся определение разности двух чисел: а - b = c, то a = c+ b; например, 20 - 14 = 6, то 20 = 6 + 14.

2. Предложить учащимся самим «придумать» определение разности двух векторов.

3. Определение разности двух векторов (формулирует учитель): .

4. Рассмотреть задачу о построении разности двух векторов (рис. 256).

5. Введение понятия вектора, противоположного данному (рис. 257).

Обозначение: вектор, противоположный вектору , обозначается так: -. Очевидно, .

6. Доказательство теоремы о разности векторов: для любых векторов справедливо равенство .

7. Решение задачи о построении разности векторов другим способом (рис. 258).

III. Решение задач и упражнений.

1. Выполнить практическое задание № 756.

2. Решить задачу № 762 (г) по готовому чертежу.

3. Решить задачу № 766 устно по рис. 259.

4. Решить задачу № 764 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

а)

.

Ответ:

5. Решить задачу № 765.

Решение

1)

2)

3)

Ответ:

6. Решить задачу № 772 на доске и в тетрадях.

Доказательство

Так как ABCD - параллелограмм, то

Но поэтому откуда

IV. Проверочная самостоятельная работа.

Вариант I

Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC. Постройте вектор и найдите , если AB = 8 см.

Вариант II

Дан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой АВ. Постройте вектор и найдите , если BС = 9 см.

Вариант III. (для более подготовленных учащихся)

Дана трапеция ABCD с основаниями АD и BC. Постройте вектор и найдите , если АD = 12 см, BC = 5 см.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 76-82; вопросы 12, 13, с. 214; решить задачи №№ 757; 762 (д); 764 (б), 767.

Основные требования к учащимся:

В результате изучения параграфа учащиеся должны уметь объяснить, как определяется сумма двух и более векторов; знать законы сложения векторов, определение разности двух векторов; знать, какой вектор называется противоположным данному; уметь строить сумму двух и более данных векторов, пользуясь правилами треугольника, параллелограмма, многоугольника, строить разность двух данных векторов двумя способами, решать задачи типа №№ 759-771.

Урок 5. Произведение вектора на число

Цели: ввести понятие умножения вектора на число; рассмотреть основные свойства умножения вектора на число.

Ход урока

I. Изучение нового материала (лекция).

1. Целесообразно в начале лекции привести пример, подводящий к определению произведения вектора на число, в частности такой:

Автомобиль движется прямолинейно со скоростью . Его обгоняет второй автомобиль, двигающийся со скоростью, вдвое большей. Навстречу им движется третий автомобиль, у которого величина скорости такая же, как у второго автомобиля. Как выразить скорости второго и третьего автомобилей через скорость первого автомобиля и как изобразить с помощью векторов эти скорости?

Ответ дает рисунок. Естественно считать, что скорость второго автомобиля равна 2 (произведению скорости первого автомобиля на число 2), а скорость третьего автомобиля равна -2 (произведению скорости на число -2).

2. Определение произведения вектора на число, его обозначение: (рис. 260).

3. Записать в тетрадях:

1) произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор;

2) для любого числа k и любого вектора векторы и коллинеарны.

4. Основные свойства умножения вектора на число:

Для любых чисел k, l и любых векторов справедливы равенства:

1°. (сочетательный закон) (рис. 261);

2°. (первый распределительный закон) (рис. 262);

3°. (второй распределительный закон) (рис. 263).

Примечание. Рассмотренные нами свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях.

Например:

II. Закрепление изученного материала.

1. Выполнить практические задания № 776 (б; г; д), 777.

2. Решить задачи № 779, 781 (а; в) на доске и в тетрадях.

Решение

Дано:

а)

в)

3. Решить задачу № 780 (б).

III. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 83; ответить на вопросы 14-17, с. 214; решить задачи №№ 775, 776 (а, в, е), 781 (б), 780 (а).

Урок 6. Решение задач. Произведение вектора на число

Цели: закрепить изученный материал в ходе решения задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Устная работа.

По заранее заготовленным чертежам на доске устно решить задачи:

1. На рисунке 1 ABCD - параллелограмм, O - точка пересечения диагоналей. Выразите через векторы и векторы: а) б) где М - точка на стороне BC, такая, что МВ : MC = 3 : 2; в) где K - точка на стороне AD, такая, что АK : KD = 1 : 3; г) где N - точка на диагонали AC, такая, что ON = NC.

2. На рисунке 2 ABCD - трапеция, О - точка пересечения диагоналей, ВС || AD, AD = 2BC. Выразите через векторы и векторы: а) б)

Рис. 1 Рис. 2

II. Решение задач.

1. решить задачу № 782 на доске и в тетрадях.

Решение



Из треугольника ECD (рис. 3) найдем по правилу вычитания векторов:

тогда

Из треугольника ABG по правилу сложения векторов имеем

отсюда

2. решить задачу № 802 на доске и в тетрадях.

III. Проверочная самостоятельная работа.

Вариант I

1. Начертите два неколлинеарных вектора и так, что = 3 см, = 2 см. Постройте

2. Четырехугольник KMNP - параллелограмм. Выразите через векторы и векторы и , где А - точка на стороне PN, такая, что PA : AN = 2 : 1, B - середина отрезка MN.

Вариант II

1. Начертите два неколлинеарных вектора и так, что = 2 см, = 3 см. Постройте вектор

2. В параллелограмме ABCD точка M - середина стороны CD; N - точка на стороне AD, такая, что AN : ND = 1 : 2. Выразите векторы и через векторы и .

Вариант III
(для более подготовленных учащихся)

1. В треугольнике ABC угол C = 90°, AC = 3 см, BC = 4 см. Постройте вектор

2. В трапеции ABCD AB || CD, AB = 3CD. Выразите через векторы и векторы и , где M - середина стороны BC, а N - точка на стороне AB, такая, что AN : NВ = 2 : 3.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 76-83; ответить на вопросы 1-17, с. 213-214 учебника; решить задачи №№ 783 и 804.

Урок 7. Применение векторов к решению задач

Цели: на конкретных примерах показать применение векторов при решении геометрических задач; развивать логическое мышление учащихся, учить решать задачи.

Ход урока

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

1. Указать ошибки учащихся при выполнении работ.

2. Решить задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Повторение изученного материала.

1. Ответить на вопросы на с. 213-214.

2. Вспомнить основные правила действий с векторами.

3. Решить задачи на доске и в тетрадях:

1) Упростите выражение

2) Найдите вектор из условия

4. Записать в тетрадях таблицу перевода с «геометрического» языка на «векторный»:

C - точка на прямой AB
MN || PQ
M - точка на отрезке AB, такая, что AM : MB = л
ABCD - параллелограмм
ABCD - трапеция (AB || CD)

III. Работа по учебнику.

1. Векторы могут использоваться для решения геометрических задач. Рассмотрим вспомогательную задачу.

2. Разобрать решение задачи 1 на с. 208 учебника по рис. 264.

IV. Решение задач.

1. Решить задачу 2. Точки M и N - середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD. Докажите, что

Решение

Пусть О - произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84 имеем поэтому .

Примечание. Результат задачи 2 можно использовать при доказательстве теоремы о средней линии трапеции на следующем уроке.

2. Решить задачу 3. Точка С лежит на отрезке AB, причем АС : СВ =
= 2 : 3. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство

Решение

По условию AC : CB = 2 : 3, поэтому

Но

Следовательно, откуда получается

Примечание. Задача 3 является частным случаем более общей задачи 806.

3. Решить задачу № 784 на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу № 786 на доске и в тетрадях.

Решение

Так как точка А1 - середина стороны ВС, то .

Далее

5. При наличии времени решить задачу 4.

Точки K, L, M, N - середины сторон AB, BC, CD, DE пятиугольника ABCDE, а точки P и Q - середины отрезков KM и LN. Докажите, что PQ || AE и PQ = 1/4 AE.

Решение

Пусть О - произвольная точка. Согласно задаче 1 из п. 84

.

Аналогично, .

Из этих равенств следует, что

Отсюда следует, что PQ || AE и PQ = AE.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 76-84; разобрать решения задачи 2 из п. 84 и задачи № 788 и записать в тетрадь; решить задачу № 785.

Урок 8. Средняя линия трапеции

Цели: ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов; упражнять учащихся в решении задач.

Ход урока

I. Проверка усвоения учащимися материала.

1. Устно ответить на вопросы:

1) Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы и и противоположно направленные векторы и .

2) Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?

3) Могут ли векторы и быть неколлинеарными?

4) Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

2. Решить задачу на доске и в тетрадях по готовому чертежу:

Точки M и N лежат соответственно на сторонах AD и BC четырехугольника ABCD, причем AM : MD = BN : NC =
= 3 : 4.

Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой.

Решение

Пусть K1 - середина AB, K2 - середина MN, K3 - середина CD. Согласно задаче 2 из п. 84 имеем

.

Из условия следует, что , поэтому

.

Таким образом, векторы и коллинеарны, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.

II. Объяснение нового материала.

1. Определение трапеции. Виды трапеций.

2. Определение средней линии трапеции.

3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции (проводит сам учитель).

При доказательстве теоремы целесообразно использовать результат задачи 2, решенной на предыдущем уроке.

Доказательство можно оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи:

Дано: ABCD - трапеция, AD || BC, M - середина стороны AB; N - середина стороны CD (рис. 266 учебника).

Доказать: MN || AD, MN = .

Доказательство

1) Согласно рассмотренной в классе задаче 1 .

2) Так как , то и, значит, MN || AD.

3) Так как , то = AD + BC, поэтому

MN = (AD + BC).

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить на доске и в тетрадях задачу № 793.

Решение

Пусть a и b - основания трапеции, тогда а + b = 48 - (13 + 15) =
= 20 (см); средняя линия MN = = 10 (см).

Ответ: 10 см.

2. Решить задачу № 795.

3. Решить задачу № 799 на доске и в тетрадях.

Решение

Пусть BK - перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции.

Тогда KD = AD - AK.

Но AK = , поэтому KD = = AD -, то есть

отрезок KD равен средней линии трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см.

Ответ: 7 см.

IV. Проверочная самостоятельная работа.

Вариант I

Точка K делит отрезок MN в отношении MK : KN = 3 : 2. Выразите вектор через векторы и , где A - произвольная точка.

Вариант II

Точка A делит отрезок EF в отношении EA : AF = 2 : 5. Выразите вектор через векторы и , где K - произвольная точка.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 85; ответить на вопросы 18-20, с. 214 учебника; решить задачи №№ 787, 794, 796.

Основные требования к учащимся:

В результате изучения параграфа учащиеся должны знать, какой вектор называется произведением вектора на число; уметь формулировать свойства умножения вектора на число; знать, какой отрезок называется средней линией трапеции; уметь формулировать и доказывать теорему о средней линии трапеции; уметь решать задачи типа №№ 782-787; 793-799.

метод координат (10 часов)

Урок 1. Разложение вектора по двум данным неколлинеарным векторам

Цели: доказать лемму о коллинеарных векторах и теорему о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам и закрепить их знание в ходе решения задач.

Ход урока

I. Анализ результатов самостоятельной работы.

II. Устная работа.

1. Устно решить задачи по заранее заготовленному чертежу на доске:

Дан параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке О, а также отрезки MP и NQ, соединяющие соответственно середины сторон AB и CD, BC и AD. Требуется выразить:

1) вектор через вектор ;

2) вектор через вектор ;

3) вектор через вектор ;

4) вектор через вектор .

2. Вопрос учащимся:

можно ли для любой пары коллинеарных векторов подобрать такое число, что один из векторов будет равен произведению второго вектора на это число?

III. Изучение нового материала.

1. Формулировка леммы о коллинеарных векторах. Для понимания учащимися формулировки леммы полезно обсудить, во-первых, почему важно условие и, во-вторых, будет ли верно утверждение, если рассматривать произвольные (в том числе и неколлинеарные) ненулевые векторы.

2. Доказательство леммы.

3. Решить задачу по рисунку параллелограмма ABCD на доске (тем самым подвести учащихся к мысли о возможности выражения вектора через два данных неколлинеарных вектора):

Точки M и Q - середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD. Выразите:

1) вектор через векторы и ;

2) вектор через векторы и ;

3) вектор через векторы и ;

4) вектор через векторы и .

4. Рассмотреть теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам, в ходе ее доказательства полезно обратить внимание на роль леммы в доказательстве.

IV. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачи № 911 (а, б); № 912 (б, в).

2. Решить задачи № 915 (по готовому чертежу) и № 916 (а, б).

V. Итоги урока.

Задание на дом: изучить материал пункта 86; решить задачи №№ 911 (в, г), 912 (ж, е, з), 916 (в, г).

Урок 2. Координаты вектора

Цели: ввести понятие координат вектора и рассмотреть правила действий над векторами с заданными координатами.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Устно решить задачи:

1) назвать числа х и у, удовлетворяющие равенству: ; ;

2) задача № 913.

2. На доске двое учащихся решают задачи №№ 911 (в) и 912 (и, к).

II. Изучение нового материала.

1. Напомнить задание прямоугольной системы координат и начертить ее.

2. Ввести координатные векторы и (рис. 275).

3. Нулевой вектор можно представить в виде ; его координаты равны нулю: (0; 0).

4. Координаты равных векторов соответственно равны.

5. Рассмотреть правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число (доказательства указанных правил учащиеся могут рассмотреть самостоятельно).

6. Записать в тетрадях правила:

и - данные векторы

1) ;

2) ;

3) .

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 917 на доске и в тетрадях.

2. Устно по рисунку 276 решить задачу № 918.

3. Решить задачу № 919 (самостоятельно).

4. Решить задачу № 920 (а, в) на доске и в тетрадях.

5. Устно решить задачи № 922-925, используя правила, записанные в тетрадях.

6. Записать утверждение задачи № 927 без доказательства:

1) Если два вектора коллинеарны, то координаты одного вектора пропорциональны координатам другого: если коллинеарен вектору , то x1 : x2 = y1 : y2.

2) Если координаты одного вектора пропорциональны координатам другого вектора, то эти векторы коллинеарны.

7. Решить задачу № 928.

Решение

Используем условие коллинеарности векторов: .

1) (3; 7) и (6; 14), так как ;

2) (-2; 1) и (2; -1), так как .

IV. Самостоятельная работа контролирующего характера.

Вариант I

Решить задачи № 912 (а, г); № 920 (г); № 988 (а, б); № 921 (а, в); № 914 (а).

Вариант II

Решить задачи №№ 912 (в, д); 920 (д); 988 (в, г); 921 (б, г); 914 (б).

V. Итоги урока.

Домашнее здание: подготовиться к устному опросу по карточкам, повторить материал пунктов 76-87; ответить на вопросы 1-20, с. 213-214 и на вопросы 1-8, с. 249 учебника; решить задачи №№ 798, 795; 990 (а) (для векторов и ).

Урок 3. Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца. Простейшие задачи в координатах

Цели: рассмотреть связь между координатами вектора и координатами его начала и конца; разобрать задачи о нахождении координат середины отрезка, о вычислении длины вектора по его координатам и нахождении расстояния между двумя точками.

Ход урока

I. Анализ результатов контрольной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при выполнении работы.

2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Изучение нового материала (лекция).

1. Рассмотреть по учебнику рис. 277 и рис. 278 и ввести понятие радиус-вектора .

Без доказательства записать в тетрадях утверждения:

а) координаты точки М равны соответствующим координатам ее радиус-вектора;

б) каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала:

џ Устно решить задачу № 934.

2. Введение системы координат дает возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.

3. Рассмотрим три вспомогательные задачи.

1) Координаты середины отрезка.

Используя формулу из п. 84 (1) и координаты векторов записать равенство в координатах: отсюда x = ; y = .

Вывод: каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

џ Устно решить задачу № 936.

2) Вычисление длины вектора по его координатам.

Используя рис. 280 учебника, вывести формулу , если

џ Устно решить задачу № 938.

3) Расстояние между двумя точками.

Пусть точка M1 (x1; y1) и точка M2 (x2; y2); тогда вектор (x2 - x1; y2 - y1); следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле но = d, таким образом, расстояние d между точками M1 (x1; y1) и M2 (x2; y2) выражается формулой

d =

џ Решить задачу № 940 (а, б) на доске и в тетрадях.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 939.

Решение

Найти расстояние от точки М (3; -2): а) до оси абсцисс; точка В (x; y) лежит на оси абсцисс; тогда расстояние равно 2; б) расстояние до оси ординат равно 3; в) до начала координат равно d =

2. Решить задачу № 941 на доске и в тетрадях.

Решение

PД = MN + NP + MP;

MN =

NP =

MP =

PДMNP = .

IV. Итоги урока.

Задание на дом: изучить материал пунктов 88, 89; решить задачи №№ 935, 952.

Урок 4. Простейшие задачи в координатах. Решение задач

Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач; учить решать задачи в координатах.

Ход урока

I. Повторение изученного материала.

1. Двое учащихся по карточкам работают у доски:

Карточка 1

1) Вывести формулы координат середины отрезка.

2) Решить задачу № 942.

Карточка 2

1) Вывести формулу расстояния между двумя точками.

2) Решить задачу № 937.

2. С остальными учащимися проводится устная работа по решению задач:

1) Найдите координаты вектора , равного разности векторов и , если (-5; 6), (0; -4).

2) Найдите координаты вектора , равного сумме векторов и , если (3; 7), (4; -5).

3) Найдите координаты середины отрезка DK, если D (-6; 4), K (2; -8).

4) Найдите длину отрезка CP, если С (3; -2), P (-5; 4).

5) Найдите длину вектора , равного , если (5; 0) и (0; -12).

6) Найдите координаты вектора 3, если (4; -2); вектора -2, если (-2; 5).

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 947 (а).

Решение

Найдем длины сторон треугольника АВС по формуле

d = :

AB =

BC =

AC =

Так как АВ = АС, то по определению равнобедренного треугольника АВС - равнобедренный. Найдем его площадь; проведем высоту АМ ВС:

SДABC = BC • AM; AM - высота и медиана в равнобедренном треугольнике.

Пусть М (x; y), тогда

x = = 3; y = = -1.

Значит, точка М (3; -1).

Найдем длину отрезка AM =

Площадь треугольника АВС равна S = = 13.

Ответ: 13.

2. Решить задачу № 946 (б).

Решение

M1 (-1; x) и M2 (2x; 3); M1M2 = d = 7. Найти x.

d = ; (2x + 1)2 + (3 - x)2 = 72;

4x2 + 4x + 1 + 9 - 6x + x2 = 49; 5x2 - 2x - 39 = 0;

D = b2 - 4ac = 4 + 780 = 784;

Ответ: -2,6; 3.

3. Решить задачу № 948 (б) на доске и в тетрадях.

Решение

Пусть точка М (0; y) лежит на оси ординат; по условию МС = MD;

(4 - 0)2 + (-3 - y)2 = (8 - 0)2 + (1 - y)2;

16 + 9 + 6y + y2 = 64 + 1 - 2y + y2;

8y = 40;

y = 5.

Значит, точка М (0; 5).

Ответ: (0; 5).

4. Решить задачу № 950 (б) на доске и в тетрадях.

Решение

Найдем координаты точки пересечения диагоналей четырехугольника О (x; y): для диагонали NQ имеем:

x = = -3;

y = = 3; точка О (-3; 3).

Для диагонали МР имеем:

x = = -3; y = = 3; точка О (-3; 3).

Значит, диагонали MP и NQ точкой пересечения делятся пополам; по признаку параллелограмма MNPQ - параллелограмм.

MP =

NQ =

Ответ: 4 и 2.

5. Решить задачу № 951 (а).

Решение

AB == 4;

CD == 4;

BC == 2;

AD ==2.

Так как AB = CD = 4 и BC = AD = 2, то по II признаку параллелограмма ABCD - параллелограмм. Найдем диагонали АС и BD параллелограмма

ABCD: AC =

BD =

Если диагонали равны AC = BD, то ABCD - прямоугольник.

S = AD • AB = 2 • 4 = 8.

Ответ: 8.

III. Итоги урока.

Домашнее здание: повторить материал пунктов 88 и 89; решить задачи №№ 947 (б), 949 (а), 951 (б), 953.

Урок 5. Уравнение линии на плоскости. Уравнение окружности

Цели: познакомить учащихся с понятием уравнения линии на плоскости; вывести уравнение окружности и научить записывать уравнение окружности.

Ход урока

I. Математический диктант (10-15 мин).

Вариант I

1. Найдите координаты середины отрезка AB, если A (-2; 3), B (6; -3).

2. Найдите длину отрезка EH, если E (-3; 8), H (2; -4).

3. Какая фигура состоит из множества всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данных точек?

4. Принадлежит ли точка A (-6; 2) графику функции y = - 0,5x?

5. Функция задана уравнением y = 2x - 3. Какая линия служит графиком этой функции?

6. На окружности радиуса 7 см даны точки А и В, расстояние между которыми равно 13 см. лежит ли центр окружности на прямой АВ?

7. Вершины треугольника ABC имеют следующие координаты: А (8; -3); В (5; 1); С (12; 0). Докажите, что B = C.

Вариант II

1. Найдите координаты середины отрезка CD, если C (3; -4), D (-3; 6).

2. Найдите длину отрезка KB, если K (-6; -3), B (2; 3).

3. Прямая l является серединным перпендикуляром к основанию AB треугольника ABC и проходит через вершину C. Определите вид треугольника ABC.

4. Принадлежит ли точка В (2; -8) графику функции y = - 4x?

5. Функция задана уравнением y = 5 - x. Какая линия служит графиком этой функции?

6. Какой фигурой является множество точек, равноудаленных от данной точки?

7. Вершины четырехугольника ABCD имеют следующие координаты: А (-3; -1); В (1; 2); С (5; -1), D (1; -4). Докажите, что этот четырехугольник - ромб.

II. Объяснение нового материала.

1. Разобрать пятое задание диктанта, обратив внимание учащихся на то, что им уже известны графики некоторых функций. В частности, графиком линейной функции y = kx + b является прямая линия, а уравнение y = kx + b называется уравнением этой прямой.

2. Вспомнить уравнения параболы и гиперболы и их графики.

3. Понятие уравнения произвольной линии дается в ознакомитель-ном плане. При этом важно добиться понимания учащимися следующего: чтобы установить, что данное уравнение является уравнением данной линии, нужно доказать, что: 1) координаты любой точки линии удовлетворяют данному уравнению и 2) координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют этому уравнению.

4. Введение уравнения окружности радиуса r с центром С в заданной прямоугольной системе координат (рис. 286):

(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2,

где C (x0; y0). Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат О (0; 0) имеет вид: x2 + y2 = r2.

5. Не любое уравнение второй степени с двумя переменными задает окружность. Например, уравнение 4х2 + у2 = 4 в прямоугольной системе координат не окружность, а эллипс (с этой фигурой учащиеся знакомились в курсе черчения), уравнение х2 + у2 = 0 задает единственную точку - начало координат, а уравнению х2 + у2 = -4 не удовлетворяют координаты ни одной точки, поэтому это уравнение не задает никакой фигуры.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. решить задачу № 959 (а, б, д).

2. Устно решить задачу № 960.

3. решить задачу № 961 на доске и в тетрадях.

4. решить задачу № 964 на доске и в тетрадях.

Решение

а) x = 3, тогда (3 - 3)2 + (y - 5)2 = 25; y2 - 10y + 25 = 25;

y2 - 10y = 0; y • (y - 10) = 0; y = 0 или y = 10. Точки А (3; 0) и В (3; 10).

б) y = 5, тогда (x - 3)2 + (5 - 5)2 = 25; x2 - 6x + 9 = 25;

x2 - 6x - 16 = 0; x1 = 8; x2 = -2; точки С (-2; 5) и D (8; 5).

5. Решить задачу № 966 (в, г).

6. Разобрать решение задачи по учебнику на с. 243.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 90, 91; вопросы 15-17; решить задачи №№ 962, 963, 965, 966 (а, б), 1000.

Урок 6. Уравнение окружности. Решение задач

Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Результаты математического диктанта. Указать ошибки, сделанные учащимися.

2. На доске один ученик выводит уравнение окружности.

3. С остальными учащимися проверяется решение домашних задач.

II. Выполнение упражнений.

1. Решить задачу:

Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 4), проходящей через точку D (-6; -4).

Решение

Центр окружности имеет координаты А (0; 4). Найдем радиус окружности r = AD по формуле: d =.

r = AD == 10; r = 10.

Значит, искомое уравнение окружности имеет вид:

(x - 0)2 + (y - 4)2 = 102; x2 + (y - 4)2 = 100.

Ответ: x2 + (y - 4)2 = 100.

2. Решить задачу № 969 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

Диаметр окружности MN ==
= 2; найдем радиус окружности r = . Координаты центра окружности найдем, используя формулы для нахождения координат середины отрезка MN: x == 2; y == 1. Центр В (2; 1). Напишем уравнение окружности: (x - 2)2 + (y - 1)2 = 41.

3. Решить задачу № 970.

Решение

Центр окружности лежит на оси абсцисс, то координаты центра D (x; 0); радиус равен r = 5. Окружность проходит через точку А (1; 3), тогда AD = r, поэтому (x - 1)2 + (3 - 0)2 = r2 = 52, (x - 1)2 + 9 = 25;

x2 - 2x - 15 = 0; x1 = -3; x2 = 5.

Следовательно, координаты центров окружностей D1 (-3; 0) и D2 (5; 0). Существует две таких окружности: (x + 3)2 + y2 = 25 и (x - 5)2 + y2 = 25.

4. Решить задачу № 971 на доске и в тетрадях.

Решение

Центр окружности лежит на оси ординат, значит, координаты центра С (0; y). По условию, окружность проходит через точки А (-3; 0) и В (0; 9), значит, расстояния АС = ВС = r радиусу:

(0 + 3)2 + (y - 0)2 = (0 - 0)2 + (y - 9)2;

9 + y2 = y2 - 18y + 81; 18y = 72; y = 4.

Следовательно, центр окружности имеет координаты С (0; 4).

Найдем радиус окружности: r2 = AC2 = (0 + 3)2 + (4 - 0)2 = 9 + 16 = 25; r = 5. Напишем уравнение окружности:

(x - 0)2 + (y - 4)2 = 52; то есть x2 + (y - 4)2 = 25.

5. Решить задачу № 1002(а) на доске и в тетрадях (решение задачи объясняет учитель).

Решение

Координаты точек А, В и С должны удовлетворять уравнению окружности (x - a)2 + (y - b)2 = r2.

Подставив в это уравнение координаты данных точек, получим систему трех уравнений относительно неизвестных a, b и r :



Вычтем из уравнения (1) сначала уравнение (2), а затем уравнение (3). Получим систему двух линейных уравнений с неизвестными a и b, которую учащиеся могут решить самостоятельно . Подставив эти значения в любое из уравнений, например, в уравнение (1), находим значение r2 и записываем искомое уравнение:

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 86-91; решить задачи №№ 969 (б), 981 (есть решение в учебнике), 1002 (б).

Урок 7. Уравнение прямой

Цели: вывести уравнение прямой и показать, как можно использовать это уравнение при решении геометрических задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Самостоятельная работа (контролирующая, 10-15 мин).

Вариант I

Решить задачи № 959 (г), 968, 960 (б).

Вариант II

Решить задачи № 959(в), 967, 960 (в).

II. Изучение нового материала.

1. Уравнением любой прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени с двумя переменными (уравнение прямых, параллельных осям координат, также можно считать уравнением с двумя переменными, например, уравнение x = x0 можно записать в виде x + 0y = x0) и, наоборот, любое уравнение первой степени с двумя переменными задает прямую.

2. Вывести уравнение данной прямой l в заданной прямоугольной системе координат (рис. 287): ax + by + c = 0.

3. Вывести уравнение прямой l, проходящей через точку M0 (x0; y0) и параллельной оси ОX (рис. 288) y = y0.

4. Ось OX имеет уравнение y = 0, а ось OY - уравнение x = 0.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Учитель объясняет решение задачи:

напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки Р (2; 1) и Q (-3; -1).

Решение

Уравнение прямой PQ имеет вид ax + by + c = 0. Так как точки P и Q лежат на прямой PQ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:

2cx - 5cy + c = 0 |: c 0, тогда прямая PQ задана уравнением 2x - 5y + 1 = 0.

Ответ: 2x - 5y + 1 = 0.

2. Самостоятельно по учебнику учащиеся разбирают решение задачи № 972 (а), с. 245.

3. Решить задачу № 973 на доске и в тетрадях.

4. Решить задачу № 975.

Решение

Пересечение прямой с осью OX:

y = 0, тогда 3x - 4 • 0 + 12 = 0; 3x = -12; x = -4; точка А (-4; 0);

пересечение прямой с осью OY:

x = 0, тогда 3 • 0 - 4y + 12 = 0; -4y = -12; y = 3; точка В (0; 3).

5. Решить задачу № 976 (повторить при решении способ сложения систем уравнений):

Точка пересечения прямых D (3; -2).

Ответ: (3; -2).

6. Решить задачу № 977.

Решение

Прямая, проходящая через точку М (2; 5) и параллельная оси OX, имеет вид: y = 5; прямая, параллельная оси OY, записывается уравнением: х = 2.

7. Самостоятельное решение учащимися задачи № 978.

8. Решить устно задачи:

1) Окружность задана уравнением (x - 1)2 + y2 = 9. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.

Решение

Центр О (1; 0) и параллельная оси OY прямая x = 1.

2) Окружность задана уравнением (x + 1)2 + (y - 2)2 = 16. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс.

Решение

Центр А (-1; 2); прямая y = 2 параллельна оси OX.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 86-91; изучить материал пункта 92; вопросы 1-21, с. 249; решить задачи №№ 972 (б), 979; записать в тетрадях и разобрать решение задачи № 984 (с. 248 учебника); подготовиться к устному опросу по карточкам.

Уроки 8-9. решение задач

Цели: закрепление знаний и умений учащихся по материалу главы; повторение и обобщение изученного материала; развитие логического мышления учащихся при решении задач.

Ход уроков

I. математический диктант (15 мин).

Вариант I

1. Лежит ли точка А (2; -1) на окружности, заданной уравнением
(х - 2)2 + (у - 3)2 = 25?

2. Напишите уравнение окружности, если ее центр - точка (4; 5), а радиус равен 3.

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М (3; -2) и параллельной оси ординат.

4. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку С (-2; 3).

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки М (-2; -1) и N (3; 1).

6. Найдите длину вектора (-12; 5).

7. Найдите координаты середины отрезка PQ, если P (5; -3); Q (3; -7).

8. Найдите координаты вектора , если А (2; -5), В (-3; 4).

Вариант II

1. Лежит ли точка А (2; -1) на прямой, заданной уравнением
2х - 3у - 7 = 0?

2. Напишите уравнение окружности, если ее центр - точка (4; 5), а радиус равен 2.

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку N (-2; 3) и параллельной оси абсцисс.

4. Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку D (3; -2).

5. Напишите уравнение окружности с центром в точке Р (-2; -1), если она проходит через точку Q (1; 3).

6. Найдите расстояние между точками А (-1; 3) и В (2; -1).

7. Найдите координаты вектора , равного сумме векторов и , если (-12; 5), (7; -3).

8. Найдите координаты вектора , если С (-1; 6), D (3; -2).

II. решение задач.

1. Устно решить задачу № 933.

2. решить устно задачу № 943 по готовому чертежу на доске.

Решение

Из прямоугольного треугольника АОС по теореме Пифагора находим AC =; из прямоугольного треугольника ВОС находим по теореме Пифагора BC =.

3. Разобрать по учебнику и записать решение задачи № 953 в тетради (подчеркнуть, что теорема: «Сумма квадратов всех сторон параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата равна сумме квадратов его диагоналей» - используется часто при решении задач по стереометрии в 10 и 11 классах) (рис. 283 учебника).

4. решить задачи №№ 991, 996, 997, 999 на доске и в тетрадях.

III. Опрос учащихся по теоретическому материалу.

Примерные варианты карточек для устного опроса учащихся.

Вариант I

1. Сформулируйте теорему о разложении вектора по двум данным неколлинеарным векторам.

2. Выведите формулы координат середины отрезка по координатам его концов.

3. Напишите уравнение окружности с центром в точке В (4; 0), если она проходит через точку А (7; 4).

вариант II

1. Сформулируйте правило нахождения координат разности двух векторов.

2. Выведите формулу для вычисления длины вектора по его координатам.

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки А (-3; -3) и В (3; 5).

Вариант III

1. Сформулируйте правило нахождения координат произведения вектора на число по заданным координатам вектора.

2. Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в данной точке, заданной координатами.

3. Найдите координаты середины отрезка АВ, если даны координаты его концов А (-3; 4) и В (3; -6).

Вариант IV

1. Сформулируйте утверждение о разложении произвольного вектора по координатным векторам.

2. Выведите уравнение прямой l в прямоугольной системе координат, если l является серединным перпендикуляром к отрезку с концами А (х1; у1) и В (х2; у2).

3. Найдите расстояние между точками М (2; -1) и N (5; -3).

IV. решение задач.

1. Решить задачу № 1004.

Решение

Достаточно доказать, что данные прямые не имеют ни одной общей точки. Для этого запишем уравнения данных прямых так: y = 2x + и y = 2x - 3. Ясно, что эта система несовместна, то есть нет чисел х, у, удовлетворяющих этим двум уравнениям. Геометрически это означает, что данные прямые не имеют ни одной общей точки и, значит, они параллельны.

2. Решить задачу № 1007.

Решение

Пусть ОАВС - данная трапеция с основаниями ОА = а и ВС = b (пусть а > b) и высотой h. Введем прямоугольную систему координат ОХY так, чтобы точка А лежала на положительной полуоси ОХ, а прямая ВС пересекала положительную полуось ОY. В этой системе координат вершины трапеции будут иметь координаты О (0; 0), А (а; 0), С (с; h) и В (с + b; h), где с - некоторое число. Находим координаты середин М и N диагоналей трапеции и вычисляем расстояние между ними: MN = . Таким образом, MN = (OA - BC).

3. Решить задачу № 1010 (а).

Решение

Введем систему координат так, чтобы точки А и В имели координаты А (0; 0), В (а; 0), где а = АВ. Пусть М (х; у) - произвольная точка. Условие 2АМ2 - ВМ2 = 2АВ2, записанное в координатах, дает уравнение искомого множества. Оно приводится к виду:

(х + а)2 + у2 = (2а)2.

Этим уравнением задается окружность радиуса 2а с центром в точке (-а; 0), то есть в точке, симметричной точке В относительно точки А.

V. Итоги уроков.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 86-92; пунктов 66-67 (материал 8 класса); решить задачи №№ 1010 (б), 990, 958, 944, 945, 998.

Урок 10. Контрольная работа № 1

Цели: проверить знания, умения и навыки учащихся по усвоению и применению изученного материала.

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Точки E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD; AE = ED, BF : FC = 4 : 3. Выразите вектор через векторы и .

2. Найдите координаты вектора , если , (3; -2), ( -6; 2).

3. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 15 см и 17 см, средняя линия равна 6 см. Найдите основания трапеции.

Вариант II

1. Точки K и M лежат соответственно на сторонах AB и CD параллелограмма ABCD; AK = KB, CM : MD = 2 : 5. Выразите вектор через векторы и .

2. Найдите координаты вектора , если , (-3; 6), (2; -2).

3. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°, бульшая боковая сторона равна 20 см, средняя линия равна 7 см. Найдите основания трапеции.

Вариант III

1. Точки P и O лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD; BP = PC, AO : OD = 3 : 2. Выразите вектор через векторы и .

2. Найдите координаты вектора , если , (6; -2),
(1; -2).

3. Основание и средняя линия прямоугольной трапеции равны соответственно 15 см и 12 см, а меньшая боковая сторона равна 8 см. Найдите вторую боковую сторону трапеции.

Вариант IV

1. Точки H и T лежат соответственно на сторонах AВ и CD параллелограмма ABCD; CT = TD, AH : HB = 5 : 3. Выразите вектор через векторы и .

2. Найдите координаты вектора , если , (2; 3), (9; -9).

3. Средняя линия прямоугольной трапеции равна 9 см, а бульшая боковая сторона равна 24 см. Один из углов, прилежащих к боковой стороне, в два раза больше другого. Найдите основания трапеции.

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 76-87; ответить на вопросы 1-8, с. 249.

соотношения между сторонами и углами треугольника (12 часов)

Урок 1. синус, косинус, тангенс. Основное тригонометрическое тождество

Цели: повторить определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; ввести понятия синуса, косинуса и тангенса для углов от 0° до 180° и закрепить их знание в ходе решения задач.

Ход урока

I. Повторение ранее изученного материала.

1. Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

2. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

3. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°?

II. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие единичной полуокружности (рис. 290).

2. Ввести понятие синуса и косинуса для углов 0° ? ? ? 180°:

sin = y; соs = х.

Таким образом, для любого угла б из промежутка 0° ? ? 180° синусом угла б называется ордината у точки М, а косинусом угла б - абсцисса х точки М, лежащей на единичной полуокружности.

0 ? sin ? 1; -1 ? cos ? 1.

3. Нахождение значений синуса и косинуса для углов 0°, 90° и 180°.

4. Определение тангенса угла ? (? 90°):

tg = при 90°; tg 0° = 0; tg 180° = 0.

5. Вывести основное тригонометрическое тождество sin2? + cos2? =
= 1, используя рисунок 290.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачи № 1012 (для точек А, В, М1, М2).

2. Решить задачи № 1013 (б) на доске и в тетрадях.

Дано: cos =.

Найти: sin .

Решение

sin2 + cos2 = 1; sin2 = 1 - cos2 ; sin =.

sin =.

Ответ: .

3. Решить задачи № 1014 (а) и № 1015 (г).

решение

г) sin = и 90° < < 180°. Угол расположен во II четверти, значит, cos < 0. Найдем cos, используя основное тригонометрическое тождество:

cos2 = 1 - sin2

cos = ;

найдем tg .

tg = .

Ответ: .

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 93 и 94; ответить на вопросы 1-4, с. 271; решить задачи № 1012 (для точек М2 и М3), №№ 1013 (б, в), 1014 (б, в), 1015 (б).

Урок 2. формулы приведения. Формулы для вычисления координат точки

Цели: вывести формулы для вычисления координат точки; развивать логическое мышление учащихся при решении задач.

Ход урока

I. Математический диктант (10-12 мин).

Вариант I

1. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найти синус, косинус и тангенс меньшего острого угла этого треугольника.

2. Катет прямоугольного треугольника равен 6 дм, а противолежащий угол равен 30°. Найдите гипотенузу этого треугольника.

3. Вычисляя синус острого угла, ученик получил число 1,05. Верны ли его вычисления?

4. Найти косинус острого угла, если его синус равен .

5. Найти тангенс острого угла, если его синус равен .

6. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен . чему равен косинус второго острого угла этого треугольника?

Вариант II

1. Стороны прямоугольного треугольника равны 10 дм, 8 дм и 6 дм. Найти синус, косинус и тангенс большего острого угла этого треугольника.

2. Катет прямоугольного треугольника равен 8 см, а противолежащий угол равен 45°. Найти гипотенузу этого треугольника.

3. Вычисляя косинус острого угла прямоугольного треугольника, ученик получил число 1,05. Верны ли его вычисления?

4. Найти синус острого угла, если его косинус равен .

5. Найти тангенс острого угла, если его косинус равен .

6. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен . чему равен синус второго острого угла этого треугольника?

II. Изучение нового материала.

1. Обсудить с учащимися задачу № 1011.

2. Решить задачу:

Используя единичную полуокружность, постройте угол: а) косинус которого равен ; ; 0; -1; б) синус которого равен ; ; 1.

Для решения этой задачи полезно заготовить на доске несколько полуокружностей.

3. Предложить учащимся доказать, что синусы смежных углов равны, а косинусы смежных углов выражаются взаимно противоположными числами.

4. Записать формулы приведения:

sin (180° - ) = sin ; cos (180° - ) = - cos при 0° ? ? 180°;

sin (90° - ) = cos ; cos (90° - ) = sin при 0° ? ? 90°.

5. Объяснить учащимся содержание пункта 95 «Формулы для вычисления координат точки».

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 1016 на доске и в тетрадях.

Решение

sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = ;

cos 120° = cos (180° - 60°) = -cos 60° = ;

tg 120° = ;

sin 135° = sin (180° - 45°) = sin 45° = ;

cos 135° = cos (180° - 45°) = -cos 45° = ;

tg 135° = = -1.

2. Решить задачу № 1018 (в).

Решение

ОА = 5, = 150°; точка А (х; у) имеет координаты

x = OA cos = 5 • cos 150° = 5 • cos (180° - 30°) = -5 • cos 30° =;

y = OA sin = 5 • sin 150° = 5 • sin (180° - 30°) = 5 • sin 30° = = 2,5.

A .

Ответ: x = ; y = 2,5.

3. Решить задачу № 1019 (в).

Решение

A (; 1); x = , y = 1.

Решим сначала задачу в общем виде. Если известны координаты х и у точки А и х 0, то из равенств у = ОА • sin ?, х = ОА • cos ?, разделив первое из них почленно на второе, получаем , то есть = tg ?, а из этого равенства можно с помощью таблиц или микрокалькулятора найти значение ?.

...