Понятие вектора. Метод координат. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Длина окружности. Площадь круга. Движения

IV. Закрепление изученного материала.

1. Разобрать решение задачи № 1150.

2. Решить задачи №№ 1151, 1152 (а, б), 1158.

3. Хотя пункт 115* не является обязательным, учащиеся должны знать, что понятия наложения и движения эквивалентны, а значит, при движении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Для лучшего усвоения материала этого пункта полезно обсудить решение задачи № 1156 и решить задачи №№ 1154, 1157, 1155.

V. Итоги уроков.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 113-114; ответить на вопросы 1-13, с. 303 учебника; решить задачи №№ 1149 (б), 1148 (б), 1159, 1160, 1161, 1174.

Основные требования к учащимся:

в результате изучения параграфа учащиеся должны уметь объяснить, что такое отображение плоскости на себя; знать определение движения плоскости; уметь доказывать, что осевая и центральная симметрии являются движениями и что при движении отрезок отображается на отрезок, а треугольник - на равный ему треугольник; уметь решать задачи типа задач №№ 1152, 1159, 1161.

Урок 4. Параллельный перенос

Цели: ввести понятие параллельного переноса, доказать, что параллельный перенос является движением; научить решать задачи с использованием параллельного переноса.

Ход урока

I. Проверка изученного материала.

1. По таблицам «Центральная симметрия» и «Осевая симметрия» повторить построение геометрических фигур и свойства движения.

2. Ответить на вопросы 1-13 на с. 303.

II. Изучение нового материала.

Теоретический материал пункта 116 можно изложить в виде лекции, используя таблицу «Параллельный перенос».

1. Определение параллельного переноса.

2. Доказательство утверждения, что параллельный перенос является движением (рис. 329).

3. При параллельном переносе прямая отображается на параллельную ей прямую или сама на себя. Отсюда следует простой способ построения образов прямых и отрезков при параллельном переносе.

4. Построение образов прямых и отрезков при параллельном переносе учителем на доске, а учащимися в тетрадях.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи № 1162 и №1163 (б) на доске и в тетрадях.

2. Решить задачу № 1164.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 116; решить задачи №№ 1163 (а), 1165. Принести циркули и транспортиры.

Уроки 5-6. Поворот

Цели: ввести понятие поворота; доказать, что поворот является движением; научить учащихся построению геометрических фигур при повороте фигуры на данный угол.

Ход уроков

I. Проверочная работа (15 мин).

На отдельных листочках учащиеся выполняют построения, а затем сдают учителю работы на проверку.

Задачи:

1) Даны треугольник МNK и точка О. Постройте фигуру F, на которую отображается треугольник MNK при центральной симметрии с центром О.

2) Даны прямая l и четырехугольник РМЕС. Постройте фигуру F, на которую отображается данный четырехугольник при осевой симметрии с осью l.

3) Даны окружность с центром О и прямая l. Постройте фигуру F, на которую отображается данная окружность при осевой симметрии с осью l.

II. Объяснение нового материала (лекция).

Теоретический материал пункта «Поворот» можно изложить в форме лекции.

1. Определение поворота плоскости вокруг точки О на угол ? (рис. 330).

2. Поворот вокруг точки О по часовой стрелке или против часовой стрелки (использовать таблицу «Поворот»).

3. Доказательство утверждения, что поворот является движением, то есть отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния (рис. 331).

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1166 на доске и в тетрадях.

Примечание. В ходе решения этой задачи полезно подчеркнуть, что поворот вокруг точки на 180° по часовой стрелке совпадает с поворотом вокруг этой же точки на 180° против часовой стрелки и является центральной симметрией.

2. Решить задачи № 1167 и №1169 (учащиеся могут выполнить эти задания самостоятельно с последующим обсуждением).

3. Полезно предложить учащимся самостоятельно изучить решение задачи № 1171 (а), приведенное в учебнике, выполнить необходимые построения, а затем можно обсудить это решение. Важно подчеркнуть, что решение рассмотренной задачи дает еще один способ построения прямой, на которую отображается данная прямая при повороте вокруг данной точки.

4. Рассмотреть с учащимися следующие задачи:

1) Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата являются вершинами другого квадрата.

2) Докажите, что при повороте правильного треугольника АВС вокруг вершины А на 60° либо вершина В переходит в вершину С, либо вершина С переходит в вершину В.

5. Решить задачу № 1170 (б).

IV. Самостоятельная работа (обучающего характера).

Вариант I

1. В трапеции АВСD боковые стороны АВ и СD равны.

1) Постройте отрезок СА1, на который отображается сторона АВ при параллельном переносе на вектор .

2) Найдите площадь треугольника А1СD, если АD = 10 см, ВС = 4 см, АВ = 6 см.

2. Докажите, что правильный шестиугольник при повороте на 60° вокруг своего центра отображается на себя.

Вариант II

1. Точка М - середина стороны АС треугольника АВС.

1) Постройте отрезок МВ1, на который отображается сторона АВ при параллельном переносе на вектор .

2) Найдите периметр треугольника МDС, где D - точка пересечения отрезков ВС и МВ1, если периметр треугольника АВС равен 12 м.

2. Докажите, что правильный пятиугольник при повороте на 72° вокруг своего центра отображается на себя.

V. Итоги уроков.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 116-117; ответить на вопросы 14-17, с. 304 учебника; решить задачи № 1168, 1170 (а), 1171 (б), 1183; подготовиться к устному опросу по карточкам, повторив материал пунктов 113-114.

Урок 7. Решение задач

Цели: закрепить знания учащихся по теме «Движения», развивать умение решать задачи с применением движений.

Ход урокa

I. Устный опрос учащихся по карточкам.

Карточка 1

1. Объясните, что такое отображение плоскости на себя.

2. Докажите, что параллельный перенос является движением.

3. Точка М - середина стороны ВС правильного треугольника АВС, точки N и K симметричны точке М относительно прямых АВ и АС. Докажите, что NK АМ.

Карточка 2

1. Что такое движение плоскости?

2. Докажите, что осевая симметрия является отображением плоскости на себя.

3. На окружности с центром О и радиусом r отмечена точка А. Постройте окружность, на которую отображается данная окружность при повороте вокруг точки А на 60° по часовой стрелке. найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения данной и построенной окружностей.

Карточка 3

1. На какую фигуру отображается при движении отрезок?

2. Докажите, что центральная симметрия является движением.

3. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Постройте точки D и Е, на которые отображаются точки А и С при параллельном переносе на вектор , и докажите, что АЕ = DВ.

Карточка 4

1. На какую фигуру отображается при движении треугольник?

2. Докажите, что поворот плоскости вокруг точки является движением.

3. Точка пересечения диагоналей четырехугольника АВСD является его центром симметрии. Докажите, что АВСD - параллелограмм.

II. Решение задач.

1. На этих уроках рекомендуется рассмотреть простые задачи, причем большинство из них целесообразно решать в ходе обсуждения с учащимися. Это относится к задачам №№ 1172, 1173, 1177, 1180.

2. Полезно обсудить и решения задач № 1176, №1178.

3. Задачи №№ 1174, 1175, 1181 и 1182 можно предложить учащимся решить самостоятельно, а затем обсудить полученные решения.

Решения

1) задача № 1172.

Поскольку точки А и В отображаются на себя, то и прямая АВ отображается на себя. Пусть М - произвольная точка прямой АВ. Она отображается в некоторую точку М1, также лежащую на прямой АВ. По определению движения АМ = АМ1, ВМ = ВМ1. Допустим, что точка М1 не совпадает с точкой М. Тогда из первого равенства следует, что точка А - середина отрезка ММ1, а из второго равенства, что точка В также середина отрезка ММ1. Значит, точки А и В совпадают, что противоречит условию задачи. Следовательно, наше предположение неверно, то есть точки М и М1 совпадают. Итак, любая точка прямой АВ отображается на себя.

2) Задача № 1173.

Пусть g - данное движение, а е - тождественное отображение плоскости на себя, то есть отображение, при котором каждая точка плоскости и, в частности, каждая вершина треугольника АВС отображается на себя. Ясно, что е - движение, поэтому согласно задаче № 1155 движения g и е совпадают, и, значит, движение g является тождественным отображением плоскости на себя.

3) Задача № 1180.

Рассмотрим поворот вокруг точки О на 120° в направлении обхода по дуге АВС от точки А к точке С. Так как АОВ = ВОС = СОА = 120° и ОА = ОВ = ОС, то при этом повороте точка А отображается в точку В, точка В - в точку С, точка С - в точку А. Аналогично при этом же повороте точки А1, В1, С1 отображаются соответственно в точки В1, С1 и А1.

Следовательно, прямая АА1 отображается на прямую ВВ1, прямая ВВ1 - на прямую СС1, прямая СС1 - на прямую АА1.

Отсюда следует, что если прямая АА1 проходит через точку О, то прямые ВВ1 и СС1 также проходят через эту точку.

Если же прямая АА1 не проходит через точку О, то и прямые ВВ1 и СС1 не проходят через эту точку и, попарно пересекаясь, образуют некоторый треугольник МNР. Ясно, что при рассматриваемом повороте точка М пересечения отрезков АА1 и ВВ1 отображается в точку пересечения отрезков ВВ1 и СС1. Аналогично точка N отображается в точку Р пересечения отрезков СС1 и АА1, а точка Р - в точку М. Следовательно, МN = NP = PМ, то есть треугольник МNР - равносторонний.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе: повторить материал пунктов 113-117 и ответить на вопросы 1-17, с. 303-304 учебника; решить задачи №№ 1219, 1220, 1221, 1222.

Урок 8. Контрольная работа № 4

Цели: проверить знания, умения и навыки учащихся в решении задач по теме «Движения».

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Дана трапеция АВСD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии относительно прямой, содержащей боковую сторону АВ.

2. Две окружности с центрами О1 и О2, радиусы которых равны, пересекаются в точках М и N. Через точку М проведена прямая, параллельная О1О2 и пересекающая окружность с центром О2 в точке D. используя параллельный перенос, докажите, что четырехугольник О1МDО2 является параллелограммом.

Вариант II

1. Дана трапеция АВСD. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при симметрии относительно точки, являющейся серединой боковой стороны СD.

2. Дан шестиугольник А1А2А3А4А5А6. Его стороны А1А2 и А4А5, А2А3 и А5А6, А3А4 и А6А1 попарно равны и параллельны. Используя центральную симметрию, докажите, что диагонали А1А4, А2А5, А3А6 данного шестиугольника пересекаются в одной точке.

Вариант III

1. Дана трапеция АВСD с основаниями АD и ВС. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при повороте вокруг точки А на угол, равный углу DАВ, по часовой стрелке.

2. На одной стороне угла ХОY отложены отрезки ОА и ОВ, а на другой стороне - отрезки ОМ и ОN так, что ОМ = ОА, ОN = ОВ. Используя осевую симметрию, докажите, что точка пересечения отрезков МВ и АN лежит на биссектрисе угла ХОY.

Вариант IV

1. Дана трапеция АВСD с основаниями АD и ВС. Постройте фигуру, на которую отображается эта трапеция при параллельном переносе на вектор .

2. На биссектрисе внешнего угла при вершине С треугольника АВС взята точка М. Используя осевую симметрию, докажите, что

АС + СВ < АМ + МВ.

Домашнее задание: повторить пункты 27-28 «Об аксиомах геометрии» и «Аксиома параллельных прямых».

НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ (7 часов)

Урок 1. Предмет стереометрии. Многогранник

Цели: познакомить учащихся с новым разделом геометрии - стереометрией, с геометрическими телами и их поверхностями; рассмотреть различные многогранники и научить учащихся изображать их.

Ход урока

I. Изучение нового материала.

Материал пунктов 118 и 119 рекомендуется изложить в виде небольшой лекции с применением разнообразных иллюстративных средств (плакаты, таблицы, рисунки, разнообразные геометрические тела); для демонстрации графического материала использовать графопроектор.

1. До сих пор мы занимались планиметрией - изучали свойства плоских геометрических фигур, то есть фигур, целиком расположенных в некоторой плоскости. Но окружающие нас предметы в большинстве своем не являются плоскими. Любой реальный предмет занимает какую-то часть пространства.

2. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве, называется стереометрией. Это слово происходит от греческих слов «стерео» - объемный, пространственный и «метрео» - измерять.

3. В стереометрии наряду с простейшими фигурами - точками, прямыми и плоскостями - рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. Такие поверхности называются многогранниками.

4. Рассмотрим простейший многогранник - куб (рис. 335, а) и модель куба.

Сколько граней, ребер и вершин имеет куб?

5. Познакомить учащихся с другими геометрическими телами:

1) шаром (рис. 335, б), такую же форму имеет футбольный мяч;

2) цилиндром (рис. 335, в), эту форму имеет консервная банка.

6. Ввести понятие границы геометрического тела; понятие секущей плоскости тела; понятие сечения тела (рис. 336).

7. Изображение геометрических тел на чертеже (рис. 337, а, б, в).

На доске и в тетрадях учащиеся выполняют рисунки параллелепипеда, пирамиды, конуса, цилиндра.

8. Вспомним понятие многоугольника в планиметрии (рис. 338, а б). На модели прямоугольного параллелепипеда определим количество граней, ребер, вершин.

Форму прямоугольного параллелепипеда имеют коробки, комнаты и многие другие предметы.

9. Многогранник - это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Это тело также называют многогранником (рассмотреть по учебнику рис. 339).

Тетраэдр составлен из четырех треугольников; по-гречески «тетра» - четыре.

Октаэдр составлен из восьми треугольников; по-гречески «окто» - восемь.

10. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости. гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, а гранями тетраэдра и октаэдра - треугольники. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер - вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника (рис. 339, а).

11. Многогранники бывают выпуклыми и невыпуклыми (рис. 339 и рис. 340).

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

II. Закрепление изученного материала.

решение задач.

1. Решить устно задачу № 1184 (б) и (в), используя модели тетраэдра и октаэдра.

Ответ: б) тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины; в) октаэдр имеет 8 граней, 12 ребер и 6 вершин.

2. Решить задачу № 1188 на доске и в тетрадях.

Учитель объясняет построение сечения параллелепипеда плоскостью сначала по рисунку учебника (рис. 355 а; б, с. 321), а затем выполняет построение сечения на доске; учащиеся строят сечение в тетрадях. Перед построением сечения в тетрадях записывают следующие правила:

1) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

2) если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

3) отрезки, по которым секущая плоскость пересекает две противоположные грани параллелепипеда, параллельны.

III. Итоги урока.

- Объясните, что такое многогранник; что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры многогранников.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 118 и 119; решить задачу № 1188 (разобрать построение сечения параллелепипеда плоскостью по учебнику на с. 322, используя рис. 356, а и б; выполнить построение сечения в тетрадях).

Урок 2. Призма. Параллелепипед

Цели: ввести понятие призмы и ее элементов; дать определение прямой и наклонной призмы, определение высоты призмы; ввести понятие параллелепипеда, понятие прямого и прямоугольного параллелепипеда; научить строить призмы и параллелепипеды.

Ход урока

I. Устная работа.

Проверить усвоение предшествующего материала в процессе решения устных задач по готовым чертежам на доске и с использованием моделей геометрических тел.

Ответить на вопросы:

1. Какой раздел геометрии называется стереометрией?

2. Что рассматривается в стереометрии?

3. Какие поверхности называются многогранниками? Приведите примеры простейших многогранников.

4. Какая плоскость называется секущей плоскостью геометрического тела?

5. Что называется сечением тела?

6. Объясните, что такое многогранник; что такое грани, ребра, вершины и диагонали многогранника. Приведите примеры многогранников.

Учитель показывает модели различных геометрических тел и многогранников, а учащиеся должны назвать их.

II. Объяснение нового материала.

1. Используя рисунок учебника (рис. 341, с. 311), учитель объясняет построение многогранника, называемого призмой.

2. В тетрадях ученики записывают определения:

1) две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек;

2) две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3. Ввести определение n-угольной призмы, оснований призмы, боковых ребер призмы.

4. Призмы бывают прямыми и наклонными.

Введем понятие перпендикулярности прямой и плоскости, используя рисунок учебника (рис. 342, с. 312).

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой (рис. 343, а); в противном случае призма называется наклонной (рис. 343, б). Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной (рис. 343, в).

Учитель демонстрирует учащимся модели различных призм.

5. Определение высоты призмы (рис. 344).

6. Определение параллелепипеда.

Четырехугольная призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом (рис. 345). Все шесть граней параллелепипеда - параллелограммы.

Если параллелепипед прямой, то есть его боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, то боковые грани - прямоугольники. Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то этот параллелепипед - прямоугольный.

Учитель показывает учащимся модели прямого и прямоугольного параллелепипедов.

7. Записать в тетрадях свойство диагоналей параллелепипеда: «Четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам».

Доказательство этого утверждения основано на следующем факте: «если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны».

Доказательство свойства диагоналей параллелепипеда учащиеся проводят устно по готовым чертежам на доске с помощью учителя (рис. 346, а, б, в, заранее выполнить на доске).

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1185.

Решение

а) Число вершин призмы определяется количеством вершин многоугольника, лежащего в основаниях призмы. Так как призма имеет два основания, то n-угольная призма имеет 2n вершин (четное число). Например: треугольная призма имеет 2 • 3 = 6 вершин; четырехугольная призма имеет 2 • 4 = 8 вершин; пятиугольная призма имеет 2 • 5 = 10 вершин.

б) Число ребер призмы равно сумме ребер двух оснований призмы и боковых ребер призмы, количество которых определяется числом вершин многоугольника, расположенного в основании призмы, то есть n-угольная призма имеет число ребер, равное 2n + n = 3n кратно 3.

2. Решить задачу № 1186.

Решение

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна сумме площадей ее боковых граней. Пусть a, b, c, d… m - стороны основания призмы; h - ее боковое ребро.

У прямой призмы все боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, то есть боковые грани - прямоугольники. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Тогда

Sбок. пов. = ah + bh + ch + dh + ... + mh = h • (a + b + c + d + ... + m) = Ph,

где P - периметр основания, h - боковое ребро.

3. Устно решить задачу № 1187, используя модель параллелепипеда.

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет; г) да; д) нет.

IV. Итоги урока.

1. Объясните, как построить многогранник, называемый n-угольной призмой; что такое основания, боковые грани, боковые ребра и высота призмы.

2. Какая призма называется: а) прямой; б) правильной?

3. Объясните, что такое параллелепипед; какие многоугольники являются гранями: а) параллелепипеда; б) прямого параллелепипеда; в) прямоугольного параллелепипеда.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 120 и 121; выполнить рисунки (рис. 346, а, б, в) и записать в тетрадях доказательство свойства диагоналей параллелепипеда.

Урок 3. Объем тела. Свойства прямоугольного параллелепипеда

Цели: повторить понятие площади плоских фигур, ввести понятие объема тела, единиц измерения объемов тел; изучить основные свойства объемов и прямоугольного параллелепипеда; познакомить учащихся с принципом Кавальери; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Проверить по тетрадям решение учащимися задач № 1190 (б) и № 1234 (б).

2. По готовому на доске чертежу параллелепипеда построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через:

а) точки D, С и В1;

б) точки В, K и L, где K - середина ребра АА1, а L - середина СС1.

(Это задача № 1235 на с. 337 учебника.)



Решение

а) проводим отрезок СВ1, затем строим прямую DА1, параллельную В1С. Параллелограмм СDА1В1 - искомое сечение.

б) По условию АK = KА1 и СL = C1L. Проводим отрезки KВ и BL. Проводим отрезок D1L, параллельный отрезку KВ.

Соединяем отрезком точки K и D1, принадлежащие одной плоскости АDD1А1. параллелограмм KВLD1 - искомое сечение.

II. Изучение нового материала.

1. Повторить понятие площади плоской фигуры.

2. Понятие объема тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называется кубическим сантиметром и обозначается так: 1 см3. Аналогично определяются кубический метр (м3), кубический миллиметр (мм3) и т. д.

3. Прочитать по учебнику текст (с. 314 и 315) и записать в тетрадях основные свойства объемов:

1) Равные тела имеют равные объемы.

2) Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел (рис. 347):

V = V1 + V2.

4. Разобрать по рисунку учебника (рис. 348) принцип Кавальери.

5. Когда мы говорим о размерах комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, то обычно употребляем слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трех ребер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда (рис. 349, с. 317 учебника).

6. У прямоугольника два измерения - длина и ширина. При этом, как мы знаем, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений (по теореме Пифагора для прямоугольника). Оказывается, что аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. (Используя рисунок 349, провести доказательство этого свойства. рисунок 349 заранее начертить на доске.)

Доказательство записывать на доске и в тетрадях:

АС12 = АС2 + СС12;

АС2 = АВ2 + АD2;

СС1 = ВВ1 = АА1,

следовательно,

АС12 = АВ2 + АD2 + АА12.

7. Еще одно свойство прямоугольного параллелепипеда. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений. Аналогично объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Кавальери (прочитать доказательство по учебнику на с. 317-319, используя рисунок 350).

8. В прямоугольном параллелепипеде с измерениями a, b, c, изображенном на рисунке учебника (рис. 350, б), площадь S основания равна ас, а высота h равна боковому ребру: h = b.

Поэтому формулу V = a • b • c можно записать в виде

,

то есть объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

III. Выполнение упражнений и решение задач.

1. Решить задачу № 1193 (б; в).

Задачу № 1193 (в) решить на доске и в тетрадях.

Решение

a = ; b = 7; с = 9. Найти диагональ d.

d2 = a2 + b2 + c2

(свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда).

d2 = ()2 + 72 + 92 = 39 + 49 + 81 = 169;

d == 13.

Ответ: 13.

Задачу № 1193 (б) учащиеся решают самостоятельно.

Решение

а = 8; b = 9; с = 12. Найти d.

d2 = a2 + b2 + c2 = 82 + 92 + 122 = 64 + 81 + 144 = 289;

d1 == 17;

d2 = -= -17 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 17.

2. Решить задачу № 1194 на доске и в тетрадях.

Решение

Ребро куба равно а. Найти диагональ этого куба.

d2 = a2 + a2 + a2 = 3a2;

d = = a.

Ответ: a.

3. Решить задачу № 1195.

Решение

1) V = V1 + V2.

2) V1 - V1 = V1; тогда V = V1 + V2.

4. Объем куба равен кубу его стороны, то есть

.

Найдите объем куба со стороной, равной 3 см; 2дм.

5. Разобрать по учебнику решение задачи № 1198 (с. 323, используя рис. 357).

Записать в тетрадях: «Объем призмы равен произведению площади основания на высоту».

.

6. Решить задачу № 1197.

Учитель объясняет решение задачи.

Решение

АС1 = 13 см; ВD = 12 см; ВС1 = 11 см.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда x, y, z.

Применим теорему Пифагора:

1) Для Д АВD имеем

х2 + y2 = 122. (1)

2) Для Д ВСС1 имеем

y2 + z2 = 112. (2)

3) По свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда имеем

х2 + у2 + z2 = 132. (3)

4) Подставим в равенство (3) равенство (1), получим 122 + z2 = 132,

отсюда z2 = 132 - 122,

тогда z == 5;

z = 5.

5) Подставим в равенство (2) значение z = 5, найдем

y2 + 52 = 112;

у2 = 121 - 25 = 96;

у =;

у =.

6) Подставим значение y2 = 96 в равенство (1), получим

х2 + 96 = 144;

х2 = 144 - 96 = 48;

;

.

7) Найдем объем

V = x • y • z = 4• 4• 5 = 80= 80= 80= 240(см3).

Ответ: 240см3.

IV. Итоги урока.

1. Объясните, как измеряются объемы тел.

2. Сформулируйте основные свойства объемов.

3. Объясните, в чем заключается принцип Кавальери.

4. Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда?

5. Сформулируйте свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда.

6. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда?

Домашнее задание: изучить материал пунктов 122-123; сделать чертеж (рис. 357) и записать в тетрадях решение задач №№ 1193 (а), 1196, 1198.

Урок 4. Пирамида

Цели: познакомить учащихся с понятием пирамиды (ее основания, боковые грани, вершины пирамиды, боковые ребера пирамиды); дать определение правильной пирамиды, апофемы пирамиды; вывести формулу объема пирамиды; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Что называется призмой? Прямой призмой? Правильной?

2. Объясните, что такое параллелепипед? Дайте определение прямого параллелепипеда, прямоугольного параллелепипеда.

3. Сформулируйте свойство четырех диагоналей параллелепипеда.

4. Сформулируйте основные свойства объемов.

5. Что такое измерения прямоугольного параллелепипеда?

6. Сформулируйте свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда.

7. Чему равен объем куба? Объем прямоугольного параллелепипеда?

8. Какой формулой выражается объем призмы?

9. Проверить решение домашней задачи № 1196.

Решение

a = 8 см, b = 12 см, с = 18 см.

V = a • b • c = 8 • 12 • 18 (см3).

По условию объем куба равен объему прямоугольного параллелепипеда. Значит, Vкуба = a3 = 8 • 12 • 18 (см3). Отсюда ребро куба равно

a == 2 • 2 • 3 = 12 (см);

a = 12 см.

Ответ: 12 см.

II. Работа учащихся по учебнику.

1. Учащиеся самостоятельно изучают материал пункта 124 «Пирамида» по учебнику (с. 319-321).

2. Затем учитель на моделях различных пирамид объясняет учащимся, что такое пирамида, основание пирамиды, боковые грани пирамиды, вершина пирамиды, боковые ребра пирамиды.

3. Треугольную пирамиду часто называют тетраэдром.

4. На доске и в тетрадях строятся изображения пирамиды; проводится высота пирамиды и апофема (рис. 353).

5. В тетрадях учащиеся записывают определения:

а) Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью ее основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

б) Пирамида называется правильной, если ее основание - правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

в) Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

6. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту

.

III. Выполнение упражнений. Решение задач.

1. Решить устно задачу № 1201, используя модель тетраэдра.

Ответ: нет.

2. Решить задачу № 1202 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

Прямая MN принадлежит плоскости ВСD, которая пересекается с плоскостью АВС по ВС. Продолжим ВС до пересечения с прямой MN в точке х.

Точка х принадлежит и прямой MN, и плоскости АВС, так как точка х лежит на прямой ВС, принадлежащей плоскости АВС.

3. Решить задачу № 1203 самостоятельно.

Затем по готовому чертежу на доске проверяется построение сечения.

Решение

По условию МА = NА. Проводим отрезок AL, так как точки L и A принадлежат одной плоскости MNL. Проводим отрезок АK, так как точки K и А принадлежат одной плоскости MKN. Искомое сечение - треугольник AKL.

4. Решить задачу № 1204.

Решение объясняет учитель, привлекая к обсуждению построения сечения учащихся.

Решение

1) Проводим прямую MN, продолжаем АВ до пересечения с прямой MN в точке х.

2) Точка х принадлежит плоскости АВС, и точка K принадлежит плоскости АВС, тогда проводим прямую хK, пересекающую прямые ВС и АС в точке Р и Н соответственно.

3) Проводим отрезки МР, NН и РН.

Четырехугольник РМNН - искомое сечение.

5. Решить задачу № 1206.

Решение

Докажем, что

,

где Р - периметр основания; l - апофема правильной пирамиды.

Найдем сумму площадей боковых граней правильной пирамиды. Так как боковыми гранями правильной пирамиды являются равные равнобедренные треугольники и площадь треугольника равна a • l, то сумма площадей всех треугольников равна

,

где а - сторона основания правильной пирамиды, n - количество сторон основания, l - апофема.

Значит, площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна

S = Pl.

6. Решить задачу № 1241.

Дано: АВСDK - пирамида;

АВСD - параллелограмм;

АD = 5 м; DС = 4 м; ВD = 3 м;

KО = h = 2 м.

Найти: .

Решение

1) Д АВD = Д СDВ (III признак, по трем сторонам). По формуле Герона найдем площадь треугольника:

,

где p = - полупериметр.

p == 6 (м);

S = = 6 (м2).

SАВD = SСDВ = 6 м2, тогда площадь основания равна

Sосн = 2 • 6 = 12 (м2).

Другой способ: треугольник со сторонами 3 м, 4 м и 5 м будет прямоугольным, тогда

SАВD = • 3 • 4 = 6 (м2),

то Sосн = 2 • 6 = 12 (м2).

2) KО ОD; ВО = ОD = 3 : 2 = 1,5 (м).

По теореме Пифагора из Д KОD найдем KD : KD2 = KО2 + ОD2

KD == 2,5 (м).

Значит, KD = KВ = 2,5 м.

3) Воспользуемся выводом задачи 953 (с. 240 учебника): «Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей» - и найдем диагональ АС параллелограмма АВСD:

АС2 + ВD2 = 2АD2 + 2DС2;

АС2 + 32 = 2 • 52 + 2 • 42;

АС2 + 9 = 50 + 32;

АС2 = 73;

АС = (м).

4) AO = OC =(м), по теореме Пифагора из Д АОK найдем АK:

AK2 = AO2 + KO2;

AK =(м);

AK = KC =м.

5) По условию KО ОD и ОD DС, значит, KD DС (если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то прямая перпендикулярна и наклонной). Значит, Д KDС - прямоугольный.

SKDС = KD • CD = • 2,5 • 4 = 5 (м2).

Д KDС = Д KВА (по двум катетам), тогда SКDС = SКВА = 5 м2.

6) По теореме Пифагора можно было бы из Д KDС найти KС (другой способ):

KC ==(м).

7) По формуле Герона найдем площадь Д АKD:

p =.

S ==

==

==

==

=(см2).

8) SАKD = SВKС = см2, так как Д АKD = Д ВKС (по трем сторонам).

9) = SАBCD + 2SKDC + 2SАKD = 12 + 10 + 2= 22 + 2(см2).

Ответ: 22 + 2(см2).

7. Решить задачу № 1242.

Решение

V = Sосн • h;

площадь правильного (равностороннего) треугольника находится по формуле

,

где а - сторона треугольника (задача 489 на с. 132 учебника).

а = 13 см, тогда

(см2).

h = 12 см. Найдем объем правильной треугольной пирамиды:

V = • 12 = 169(см3).

Ответ: 169см3.

IV. Итоги урока. Выставление оценок.

Домашнее задание: изучить материал пункта 124; повторить пункты 118-123; ответить на вопросы 1-14 на с. 335-336 учебника; решить задачи № 1202 (б), № 1211 (а), № 1207.

Урок 5. Цилиндр

Цели: ввести понятие цилиндра (ось цилиндра, его высота, основания цилиндра); ввести понятие цилиндрической поверхности, образующих цилиндра; доказать теорему об объеме цилиндра и теорему о площади боковой поверхности цилиндра; научить применять эти теоремы при решении задач.

Ход урока

I. Объяснение нового материала.

1. Возьмем прямоугольник АВСD и будем вращать его вокруг одной из сторон, например, вокруг стороны АВ (рис. 360). В результате получится тело, которое называется цилиндром.

Учитель показывает модель цилиндра.

2. На доске и в тетрадях строится изображение цилиндра и его частей (рис. 360 на с. 327). Прямая АВ называется осью цилиндра, а отрезок АВ - его высотой. При вращении сторон АD и ВС образуются два равных круга - они называются основаниями цилиндра, а их радиус называется радиусом цилиндра. При вращении стороны СD образуется поверхность, состоящая из отрезков, параллельных оси цилиндра. Ее называют цилиндрической поверхностью или боковой поверхностью цилиндра, а отрезки, из которых она составлена, - образующими цилиндра. Таким образом, цилиндр - это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

3. Рассмотреть решение задачи № 1213 (рис. 366, с. 331 учебника). Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать, что объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

,

где S - площадь основания;

h - высота цилиндра.

4. Ввести понятие развертки боковой поверхности цилиндра, используя рисунок учебника (рис. 361).

Записать в тетрадях: площадь боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки, то есть

,

где r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

II. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1214 (б; в) на доске и в тетрадях.

б) Дано: V = 120 см3; h = 3,6 см. Найти r.

Решение

V = Sh, отсюда

S =(см2).

Sкруга = рr2,

Отсюда

r =(см).

Ответ: см.

в) Дано: r = h; V = 8р см3. Найти h.

V = Sh = рr2 • h = р • h2 • h = рh3,

тогда 8р = рh3,

отсюда h3 = 8, h == 2.

Ответ: 2.

2. Решить задачу № 1216.

Учащиеся решают задачу самостоятельно, а затем проверяется решение.

Решение

Дано: диаметр d = 1 м; h = с (длина окружности основания). Найдите Sбок.

Длина окружности равна с = 2рr = рd; по условию h = c, тогда h = рd =
= р • 1 м = р (м).

Sбок = 2рr • h = рd • h = р • 1 • р = р2 (м2).

Ответ: р2 м2.

3. Решить задачу № 1217. Задача практического характера.

Решение

h = 4 м; d = 20 см. Найти Sбок.

Sбок = 2рrh = рdh = р • 0,2 • 4 = 0,8р (м2).

Найдем 2,5 % от 0,8 р2.

2,5 % = 0,025; тогда 0,8р • 0,025 = 0,02р (м2).

Всего пойдет жести

0,8р + 0,02р = 0,82р (м2) ? 0,82 • 3,14 ? 2,58 (м2).

Ответ: ? 2,58 м2.

4. Решить задачу № 1245.

Решение

Плотность свинца с = 11,4 г/см3; h = 25 м = 2500 см.

с =;

найдем объем свинцовой трубы:

V = Sосн • h = рr2h.

Основание свинцовой трубы представляет собой кольцо. Найдем площадь кольца по формуле

,

где R1 =+ 4 = 10,5 (мм), R2 = 6,5 мм.

Sкольца = р (10,52 - 6,52) = р (10,5 - 6,5) (10,5 = 6,5) =

= р • 4 • 17 = 68р (мм2) = 0,68р (см2).

Объем свинцовой трубы равен

V = 0,68р • 2500 = 1700р (см3) ? 5338 (см3) ? 5340 см3.

m = сV = 11,4 • 5340 ? 60,876 (кг) ? 61 кг.

Ответ: 61 кг.

5. Решить задачу № 1246. (Учитель объясняет решение.)

Решение

По условию задачи h > r на 12 см, тогда h = r + 12 см.

= 288р см2. Найти r и h.

= 2Sосн + Sбок = 2 • рr2 + 2рrh =

= 2рr2 + 2рr • (r + 12) = 2рr2 + 2рr2 + 24рr = 4рr2 + 24рr.

По условию Sполн = 288р (см2), тогда 4рr2 + 24рr = 288р; разделим обе части равенства на 4р, получим

r2 = 6r - 72 = 0.

r1 = 6; r2 = - 12 - не удовлетворяет условию задачи.

Значит, радиус цилиндра равен 6 см, а высота цилиндра 6 + 12 =
= 18 (см).

Ответ: 6 см; 18 см.

6. Решить задачу № 1247.

Решение

По условию АВСD - квадрат; АС = d;

Sквадрата = Sбок. цилиндра

Найти: Sоснования.

Обозначим сторону квадрата х, тогда из Д АDС по теореме Пифагора найдем

d2 = x2 + x2 = 2x2; x2 =,

отсюда x =. AB = AD =.

Площадь квадрата Sквадрата = ,

значит, Sбок = .

Мы знаем, что Sбок = 2рrh; h = AB =;

тогда = 2рr • ;

отсюда найдем r =, r =.

Площадь основания цилиндра равна

S = рr2 = р • .

Ответ: .

III. Итоги урока.

Ответить на вопросы:

1. Какое тело называется цилиндром? Что такое ось, высота, основания, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра?

2. Какой формулой выражается объем цилиндра?

3. Какой формулой выражается площадь боковой поверхности цилиндра?

Домашнее задание: изучить материал пункта 125, решить задачи № 1214 (а) и № 1244.

Урок 6. Конус

Цели: познакомить учащихся с понятием конуса, его элементами; вывести формулу, выражающую объем конуса и формулу площади боковой поверхности конуса; учить решать задачи; способствовать развитию логического мышления учащихся.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Двое учащихся решают на доске задачи № 1214 (а) и № 1244, заданные на дом.

2. С остальными учащимися проводится работа по ответам на вопросы 15-18 (с. 336 учебника).

Решение задачи № 1214 (а).

Дано: r = 2см; h = 3 см. Найти: V.

V = Sh = рr2h = р • (2)2 • 3 = 24р (см3).

Ответ: см3.

Решение задачи № 1244.

Дано: d = 4 мм = 0,4 см; m = 6,8 кг; с = 2,6 г/см3.

Найти: h (длину провода).

с =; V =; V =? 2615 (см3); r = 0,2 см.

Vцил = Sосн • h = рr2h,

отсюда

h =? 20820 (см) ? 208 м.

Ответ: ? 208 м.

II. Изучение нового материала.

Учитель демонстрирует модели конуса, лейку в виде конуса; можно свернуть из бумаги кулек в виде конуса.

1. Возьмем прямоугольный треугольник АВС и будем вращать его вокруг катета АВ (рис. 362, с. 328 учебника). В результате получится тело, которое называется конусом

Учитель показывает на доске изображение конуса, учащиеся рисуют конус в тетради.

2. Прямая АВ называется осью конуса, а отрезок АВ - его высотой.

При вращении катета ВС образуется круг, он называется основанием конуса. При вращении гипотенузы АС образуется поверхность, состоящая из отрезков с общим концом А (рис. 362). Ее называют конической поверхностью или боковой поверхностью конуса, а отрезки, из которых она составлена, - образующими конуса. Таким образом, конус - это тело, ограниченное кругом и конической поверхностью.

3. Пользуясь принципом Кавальери, можно доказать (см. задачу № 1219), что объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

,

где r - радиус основания, h - его высота.

4. Ввести понятие развертки боковой поверхности конуса (рис. 363 а, б). Развертка боковой поверхности конуса представляет собой круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса, то есть равен l, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, то есть равна 2рr.

5. Площадь Sбок боковой поверхности конуса равна площади ее развертки, то есть

,

где б - градусная мера дуги сектора (рис. 363, б).

Длина дуги окружности с градусной мерой ? и радиусом l равна .

С другой стороны, длина дуги равна 2рr, то есть = 2рr, поэтому

Sбок = = 2рr • = рrl.

Итак, площадь боковой поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r выражается формулой

.

III. Выполнение упражнений.

1. Решить задачу № 1220 (б, в).

Учащиеся решают самостоятельно, потом решение задачи проверяется.

Решение

б) Дано: r = 4 см; V = 48 р см3. Найти h.

V = рr2h; отсюда h == 9 (см).

Ответ: 9 см.

в) Дано: h = m; V = р. Найти r.

V = рr2h; найдем r2 =, тогда r =.

Ответ: .

2. Решить задачу № 1221 на доске и в тетрадях.

Решение

Sосн = Q, Sбок = P. Найти V.

1) Sосн = рr2 = Q, отсюда r =.

2) Sбок = рrl = P, отсюда l =.



3) По теореме Пифагора из Д АВС найдем

h2 = l2 - r2 =.

Значит, h = .

4) Найдем объем конуса

V = рr2h =Q • .

Ответ: .

3. Решить задачу № 1222.

Решение.

По условию Sполн. конуса = 45р дм2; б = 60°. Найти V.

V = рr2h.

Sполн. конуса = Sосн + Sбок = рr2 +• б = рr2 += рr2 +.

Получили, что Sбок =, с другой стороны, Sбок = рrl, тогда приравняем эти два равенства, получим = рrl; разделим обе части на рl, получим = r, отсюда l = 6r.

По условию Sполн = 45р дм2,

значит, 45р = рr2 +; 45р = рr2 + 6рr2; 45р = 7рr2,

отсюда r2 =.

Из Д АВС по теореме Пифагора найдем

h2 = l2 - r2 = (6r)2 - r2 = 36r2 - r2 = 35r2 == 225.

h == 15; h = 15 дм.

Найдем объем конуса

(дм3).

Ответ: дм3.

4. Решить задачу № 1248.

Учитель объясняет решение задачи.

Решение

В тетрадях учащиеся записывают следующую теорему: «Объемы двух подобных тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров».

По условию АО = h = 5 см; АО1 = h1 = 2 см; плоскости сечения и основания параллельны; V1 = 24 см.

Найти объем данного конуса V.

OAB - общий угол;

ADO1 = ABO (соответственные углы), то Д АОВ Д АО1D (по двум углам), тогда = k, значит, k =.

= k3. Следовательно, ,

отсюда V == 375 (см3).

Ответ: 375 см3.

5. Решить задачу № 1249.

Решение

По условию h = 12 см, V = 324 р см3. Найти б дугу развертки боковой поверхности конуса.

1) V =рr2h;

324р =рr2 • 12;

324 = 4r2;

r2 = 81;

r = 9 (см).

2) Sбок =• б = рrl, отсюда, сократив обе части равенства на рl, получим = r, тогда = 9, значит, б =.

3) l2 = h2 + r2, то l == 15 (см).

4) б == 216°.

Ответ: б = 216°.

6. Решить задачу № 1250.

Решение

По условию б = 120°. Радиус развертки боковой поверхности конуса равен образующей конуса, то есть l = r1 = 9 см, где r1 - радиус сектора.

1) Sбок =• б =• 120° = 27р (см2).

2) С другой стороны, Sбок = рrl, значит, 27р = р • r • 9, отсюда r = 3 см (это радиус конуса).

3) Sосн = рr2 = р • 32 = 9р (см2).

4) h2 = l2 - r2, то h = ==
== 6(см).

Ответ: 9р см2; 6см.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 126; ответить на вопросы 19-22 (с. 336 учебника); решить задачу № 1220 (а); записать в тетрадь решение задачи № 1219 (с. 332 -333 учебника).

Урок 7. Сфера и шар

Цели: ввести понятие сферы, центра сферы, радиуса сферы, диаметра; дать определение шара; научить учащихся изображать шар; рассмотреть доказательство теоремы об объеме шара и площади сферы; развивать умение решать задачи.

Ход урока

I. Проверочная работа (10 мин).

Учащиеся на отдельных листочках отвечают на вопросы, выполняют построения, а затем сдают учителю работы на проверку.

Вариант 1

1. Объясните, какое тело называется цилиндром; что такое ось, высота, основание, радиус, боковая поверхность, образующие цилиндра. Выполните построение цилиндра.

2. Какой формулой выражается объем цилиндра? Запишите формулу.

3. Объясните, как получается и что представляет собой развертка боковой поверхности цилиндра.

4. Запишите формулу площади боковой поверхности цилиндра.

Вариант 2

1. Объясните, какое тело называется конусом; что такое ось, высота, основание, боковая поверхность, образующие конуса. Выполните построение конуса.

2. Какой формулой выражается объем конуса? Запишите формулу.

3. Объясните, как получается и что представляет собой развертка боковой поверхности конуса.

4. Запишите формулу площади боковой поверхности конуса.

II. Работа с учебником.

1. Учащиеся самостоятельно изучают материал пункта 127 «Сфера и шар» (с. 330-331). затем учитель показывает на доске изображение сферы и шара (рис. 364, 365), а учащиеся в тетрадях выполняют построение сферы и шара.

2. В тетрадях учащиеся записывают:

а) Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром сферы, а данное расстояние - радиусом сферы.

б) Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.

в) Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

г) Объем шара радиуса R равен рR3.

д) Площадь сферы радиуса R равна 4рR2.



III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1226 (б; в).

Учащиеся решают самостоятельно.

Решение

б) Дано: V = 113,04 см3. Найти R и S.

V =рR3, отсюда, R3 =, значит, R =.

R =??? 3 (см).

R ? 3 см.

S = 4рR2 ? 4р • 32 ? 36р (см2).

S ? 36р см2.

Ответ: ? 3 см; ? 36р см2.

в) Дано: S = 64р (см2). Найти R и V.

S = 4рR2, отсюда R2 =, то R =;

R == 4 (см);

R = 4 см.

(см3).

Ответ: 4 см; р см3.

2. Решить задачу № 1227 на доске и в тетрадях.

Решение

Диаметр Луны составляет (приближенно) четвертую часть диаметра Земли, то есть dЗемли = 4dЛуны, тогда радиус земли в 4 раза больше радиуса луны, то есть R1 = 4R2. Найдем объем луны

.

Найдем объем земли

.

Значит, объем земли в 64 раза больше объема луны.

Ответ: в 64 раза.

3. Решить задачу № 1229.

Учащиеся решают самостоятельно. затем проверяется решение задачи.

Решение

По условию R = 10 см. По формуле S = 4рR2 найдем площадь сферы (покрышки футбольного мяча).

S = 4р • 102 = 400р (см2) ? 400 • 3,14 ? 1256 (см2).

8 % = 0,08 от 1256 равно 1256 • 0,08 = 100,48 (см2).

На покрышку футбольного мяча необходимо кожи:

1256 + 100,48 = 1356,48 ? 1357.

Ответ: ? 1357 см2.

4. Задача № 1228 практического содержания.

Решение

По условию ВD = h = 12 см; АС = 5 см, тогда ВС = r = 2,5 см. Найдем объем конуса (объем стаканчика для мороженого):

Vконуса =рr2h =р • 6,25 • 12 = 25р (см3).

Положим две ложки мороженого в виде полушарий, тогда вместе они составляют шар диаметром 5 см, то есть радиусом 2,5 сантиметра. Найдем объем шара (объем мороженого):

Vшара =рR3 =р • (2,5)3 =р • 6,25 • 2,5 = (4р • 6,25) • =

= 25р • ? 25р • 0,8 (см3).

Значение выражения 25р • 0,8 меньше значения выражения 25р. Поэтому объем шара (объем мороженого) меньше объема конуса (объема стаканчика для мороженого). Значит, мороженое, если оно растает, не переполнит стаканчик.

Ответ: нет.

5. Решить задачу № 1231 на доске и в тетрадях.

Решение

Отношение объемов двух шаров равно кубу коэффициента подобия, так как любые шары - это подобные тела.

= k3.

По условию = 8 = 23,

отсюда k = 2.

Аналогично теореме «отношение площадей двух подобных треугольников (фигур) равно квадрату коэффициента подобия» (см. пункт 58 на с. 139 учебника) имеем, что отношение площадей поверхностей двух подобных тел равно квадрату коэффициента подобия.

= k2.

так как k = 2, то = 22 = 4, то есть S1 : S2 = 4 : 1.

Ответ: 4 : 1.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 127, ответить на вопросы 23-26, записать в тетради решение задач №№ 1224, 1225 (с. 333-335 учебника).

Об аксиомах и планиметрии (2 часа)

При завершении курса планиметрии в конце 9 класса два урока отводятся на ознакомление учащихся с аксиоматическим методом, в частности с системой аксиом, которые положены в основу изученного курса геометрии.

На первом уроке желательно провести с учащимися беседу об аксиоматическом методе в геометрии. В связи с этим необходимо напомнить им некоторые факты о возникновении и развитии геометрии. Для этой беседы рекомендуется использовать приложения 1 и 3 учебника: «Об аксиомах планиметрии» и «Некоторые сведения о развитии геометрии», а также дополнительную литературу.

В зависимости от уровня подготовки класса на втором уроке можно разобрать один или два примера теорем, которые в курсе были доказаны на основе наглядных представлений, и доказать их с использованием принятых в учебнике аксиом. Один из таких примеров (теорема, выражающая первый признак равенства треугольников) разобран в приложении 1 учебника.

Решение задач

при повторении курса геометрии необходимо сконцентрировать внимание учащихся на узловых вопросах программы.

Основные факты планиметрии и применяемые в ней методы можно сгруппировать по следующим темам:

1. «Треугольник» (2 часа).

2. «Окружность» (2 часа).

3. «Четырехугольники, многоугольники» (2 часа).

4. «Векторы, метод координат, движения» (2 часа).

Рассмотрение этих вопросов может включать обобщение и систематизацию сведений об основных свойствах геометрических фигур, доказательство отдельных теорем, решение комплексных задач.

При повторении полезно обращать внимание учащихся на различные методы геометрических доказательств. В зависимости от подготовки класса повторение можно проводить по всем или отдельным вопросам рассматриваемой темы.

Для организации итогового повторения можно воспользоваться подбором задач по указанным выше темам

Треугольник

Основные вопросы программы: равенство и подобие треугольников, сумма углов треугольника, равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник, площадь треугольника.

Задачи

1. В треугольниках АВС и DЕK АВ = DЕ, АС = DK, ВР = ЕМ, где Р и М - середины сторон АС и DK.

1) Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику DЕK.

2) Найдите S?АВС, если ЕМ = 3 см, DK = 4см, ЕМK = 135°.

2. В треугольниках АВС и А1В1С1 АС = А1С1, ВС = В1С1, ВD = В1D1, где ВD и В1D1 - высоты треугольников, причем точки D и D1 лежат на отрезках АС и А1С1.

1) Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику А1В1С1.

2) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника В1D1С1, если известно, что ВD = 6 см, DС = 8 см.

3) Найдите угол А1С1В1, если ВD = 6 см, DС = 8 см.

3. На рисунке дан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, DЕ АВ.



1) Докажите, что треугольник АВС и треугольник DАЕ подобны.

2) Найдите катеты треугольника АВС, если АВ = 13 см, АЕ = 5,2 см, DЕ = 2 см.

3) Докажите, что около четырехугольника ВDЕС можно описать окружность.

4. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СD к гипотенузе АВ, СD = а, АD = b.

найдите: 1) ВС; 2) радиус окружности, вписанной в треугольник АВС; 3) отношение площадей треугольников АDС и АСВ.

5. В треугольнике АВС АВ = 14 см, АС = 15 см, ВС = 13 см.

найдите: 1) длину меньшей высоты треугольника; 2) площадь треугольника АDС, если АD - биссектриса треугольника АВС; 3) медиану АЕ треугольника АВС.

6. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник АВС по сторонам АВ и АС и высоте, проведенной к АС.

7. Площадь треугольника АВС равна Q. Найдите площадь треугольника АОВ1, где О - точка пересечения медиан треугольника АВС, а В1 - середина стороны АС.

8. С помощью циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник АВС по основанию АС и углу В и биссектрису ВD внешнего угла этого треугольника при вершине В.

окружность

Основные вопросы программы: окружность и круг, касательная к окружности и ее свойства; окружность, описанная около треугольника; окружность, вписанная в треугольник.

Задачи

1. Хорда АВ окружности радиуса 4 см видна из центра под углом 90°.

Найдите: 1) хорду АВ и расстояние от центра окружности до этой хорды; 2) углы треугольника АВС, где С - точка, расположенная на большой дуге АВ окружности так, что АС : СВ = 5 : 4; 3) хорду ВС.

2. Две взаимно перпендикулярные хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке K, причем АK = 6 см, ВK = 32 см, KD = 24 см.

Найдите: 1) хорды ВD и СD; 2) расстояние от точки А до прямой ВD; 3) радиус данной окружности.

3. Треугольник АВС с углом В, равным 135°, вписан в окружность с центром О и радиусом R = 10см.

Найдите: 1) сторону АВ; 2) сторону АВ и S?АВС, если известно, что угол АСВ равен 30°.

4. Точки М, D и K лежат на окружности, угол DМK равен 45°, хорда DK = 12 см.

Найдите: 1) радиус данной окружности; 2) угол МКD, если известно, что DМ = 6см.

5. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, равен 3 см, KВ = 4 см, где K - точка касания окружности с боковой стороной.

Найдите: 1) сторону АС; 2) угол ВАС; 3) радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

...