Понятие вектора. Метод координат. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Длина окружности. Площадь круга. Движения

x = ОА cos , y = OA sin

= ОА cos , 1 = ОА cos ,

тогда tg = ; tg 30° = , а так как - < 0, то угол расположен во II четверти, значит, ? - тупой угол.

Находим его: = 180° - 30° = 150°.

Ответ: 150°.

IV. Итоги урока.

Задание на дом: изучить материал пунктов 93-95; повторить материал пунктов 52, 66 и 67; решить задачи №№ 1017 (в), 1018 (б), 1019 (г).

Урок 3. Решение задач

Цели: закрепить знания учащихся в ходе решения задач; развивать умения и навыки при решении задач.

Ход урока

I. Фронтальное повторение теоретического материала.

Использовать настенную таблицу «Тригонометрические функции».

1. Объясните, что такое синус и косинус угла из промежутка 0° ?
? ? 180°.

2. Что называется тангенсом угла ? для какого значения тангенс не определен и почему?

3. Записать основное тригонометрическое тождество.

4. Написать формулы приведения.

5. Написать формулы, выражающие координаты точки А с неотрицательной ординатой через длину отрезка ОА и угол между лучом ОА и положительной полуосью ОХ.

II. Решение задач.

1. Решить задачу 1. Найти tg ?, если:

а) cos = ;

б) sin = 1.

2. Решить задачу 2. Постройте в, если:

а) cos в = ;

б) sin в = .

3. Решить задачу № 1018 (г).

решение

ОА = 1; = 180°; х = ОА cos ; х = 1 · cos 180° = -1; х = -1

y = ОА sin = 1 · sin 180° = 1 · 0 = 0; у = 0.

Ответ: х = -1; у = 0.

III. Самостоятельная работа контролирующего характера.

Вариант I

Решить задачи №№ 1015 (а), 1017 (б), 1018 (а), 1019 (а).

Вариант II

Решить задачи №№ 1015 (в), 1017 (а), 1018 (д), 1019 (б).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 93-95; повторить материал п. 52 «Площадь треугольника»; решить задачи №№ 468, 471, 469.

Урок 4. Теорема о площади треугольника. Теорема синусов

Цели: доказать теорему о площади треугольника и теорему синусов; показать применение этих теорем при решении задач.

Ход урока

I. Проверка опорных знаний учащихся.

Провести математический диктант (10 мин).

Вариант I

1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 7 см, а высота равна 4 см.

2. Найдите синус угла, если его косинус равен .

3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,3.

4. Начертите треугольник АВС с тупым углом С. Проведите высоту треугольника из вершины В.

5. Луч ОС образует с положительной полуосью абсцисс угол 60°. Найдите координаты точки С, если ОС = 6 дм.

6. Определите, каким - остроугольным, прямоугольным или тупоугольным - является треугольник, два угла которого равны 43° и 48°.

7. Точка С единичной полуокружности имеет координаты . Найдите угол, который образует луч ОС с положительной полуосью ОХ.

Вариант II

1. Найдите площадь треугольника, если его основание равно 10 дм, а высота равна 5 дм.

2. Найдите косинус угла, если его синус равен .

3. Найдите синус угла, если синус смежного с ним угла равен 0,7.

4. Начертите треугольник СDЕ с тупым углом Е. Проведите высоту треугольника из вершины С.

5. Луч ОВ образует с положительной полуосью абсцисс угол 30°. Найдите координаты точки В, если ОВ = 8 дм.

6. Определите, каким - остроугольным, прямоугольным или тупоугольным - является треугольник, два угла которого равны 35° и 56°.

7. Точка А единичной полуокружности имеет координаты . найдите угол, который образует луч ОА с положительной полуосью ОХ.

II. Объяснение нового материала.

1. Доказательство теоремы о площади треугольника можно организовать в форме беседы по вопросам:

1) чему равна площадь любого треугольника?

2) какие формулы применяются для вычисления координат точки?

3) По рисунку 292 учебника провести доказательство теоремы о площади треугольника.

2. Устно решить задачу: найти площадь треугольника АВС, если АВ = 12 см, АС = 8 см, А = 30°.

3. Доказать теорему синусов, используя теорему о площади треугольника.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 1020 (б) на доске и в тетрадях.

Решение

S = АВ · ВС sin B = • 18• 3 sin 45° = 9• 3 • = 27 (cм2).

Ответ: 27 cм2.

2. Решить задачу № 1022.

Решение

S = 60 см2; S = АВ · AС sin A; 60 = AB · 15 sin 30°;

60 = АВ · ; АВ = 60 : = 16 (см).

Ответ: 16 см.

3. Решить задачу № 1026.

Решение

Используем теорему синусов:

; B = 180° - (60° + 75°) = 45°;

; AB = ? 15 (см).

SДABC = АC · AB sin A = · 12 · 15 sin 75° ? 87 (см2).

Ответ: АВ ? 15 см; SАВС = 87 см2.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 96 и 97; повторить материал п. 89; решить задачи №№ 1020 (а, в), 1023.

Урок 5. Теорема косинусов

Цели: доказать теорему косинусов и научить учащихся применять ее при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Сформулировать и доказать теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).

2. Сформулировать и доказать теорему синусов.

3. Проверить решение задачи № 1023.

II. Изучение нового материала.

1. Записать формулу расстояния между двумя точками: точки
М1 (х1; у1), М2 (х2; у2),

d = М1М2 = .

2. Доказать теорему косинусов, используя рисунок 293 учебника.

3. Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора.

В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то cos А = cos 90° = 0 и по формуле а2 = b2 + с2 - 2bс • cos А получаем а2 = b2 + с2, то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

4. Обсудить с учащимися, какие три элемента треугольника нужно знать, чтобы вычислить четвертый элемент (сторону или угол), используя: 1) теорему синусов; 2) теорему косинусов.

III. Решение задач.

1. Решить задачу 1.

Найдите сторону АВ треугольника АВС, если ВС = 3 см, АС = 5 см, С = 60°.

Решение

АВ2 = ВС2 + АС2 - 2 • ВС • АС • cos С = 32 + 52 - 2 • 3 • 5 cos 60° = 9 + 25 - 15 = 19; АВ = см.

Ответ: см.

2. Решить задачу 2.

Найдите сторону b треугольника АВС, если а = 4, с = и В = 135°.

Решение

По теореме косинусов находим b:

b = =

=? 5,7.

Ответ: ? 5,7.

3. Решить задачу 3. Найдите угол А треугольника АВС, если АВ = АС = 1 м, ВС = м.

Решение

Пользуясь теоремой косинусов, получаем: а2 = b2 + с2 - 2bс • cos А;

cos А = ; АС = b = 1 м; АВ = с = 1 м; ВС = а = м.

cos А = ; cos А = , тогда А = 120°.

Ответ: 120°.

4. Решить задачу № 1031.

Решение

а) а = 5; b = 4; с = 4. Найдем cos А = . Так как > 0, но меньше 1, то самый большой угол А в треугольнике будет острым. Следовательно, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

б) а = 17; b = 8; с = 15.

cos А = = 0;

сos А = 0, значит, А = 90°.

Ответ: прямоугольный.

в) а = 9; b = 5; с = 6.

cos А = .

Так как -1 < < 0, то А - тупой.

Ответ: тупоугольный треугольник.

IV. итоги урока.

Задание на дом: выучить материал пунктов 96-98; решить задачи №№ 1027, 1032.

Урок 6. Решение треугольников

Цели: познакомить учащихся с методами решения треугольников; закрепить знание учащимися теорем синусов и косинусов, научить применять эти теоремы в ходе решения задач.

Ход урока

I. Проверка изученного материала.

Учащиеся на отдельных листочках доказывают изученные теоремы и сдают учителю.

Вариант I

Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

Вариант II

Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника.

Вариант III

Сформулируйте и докажите теорему синусов.

II. Изучение нового материала.

1. Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (то есть трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

2. При решении треугольников используют теоремы синусов и косинусов, причем при вычислении углов треугольника предпочтительнее использовать теорему косинусов, а не теорему синусов. Например, зная три стороны треугольника, для вычисления первого угла применяем теорему косинусов, а для вычисления второго угла можно использовать как ту, так и другую теоремы. Но поскольку синус угла равен синусу смежного с ним угла, то нахождение синуса угла еще не позволяет определить сам угол - он может быть острым или тупым. Если же вычислить косинус угла, то по его знаку и величине угол определяется однозначно.

3. Рассмотрим три задачи на решение треугольника:

1) решение треугольника по двум сторонам и углу между ними;

2) решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам;

3) решение треугольника по трем сторонам.

При этом будем пользоваться следующими обозначениями для сторон треугольника АВС: АВ = с; ВС = а; СА = b.

4. В тетрадях учащиеся оформляют таблицу-памятку:

c =; cos A = ; B = 180° - (A +C)	A = 180° - - (B +C); b = ; c =	cos A = ; cos B = ; C = 180° - - (A +B)

III. Решение задач.

1. По рисунку 294 учащиеся самостоятельно разбирают решение примера на странице 259 учебника.

2. Решить задачу № 1025 (б, в, г, ж, и) на доске и в тетрадях, используя таблицы Брадиса и микрокалькуляторы.

3. Решить задачу № 1021 на доске и в тетрадях.

4. Совместно с учащимися разобрать и зафиксировать в тетрадях решение задачи № 1033 по рисунку 297.

5. Решить задачи № 1060 (в), 1061 (в) и 1062.

IV. Итог урока.

Задание на дом: изучить материалы пунктов 96-99; решить задачи №№ 1025 (а, д, е, з), 1060 (г), 1028.

Урок 7. Измерительные работы

Цель: познакомить учащихся с измерительными работами на местности, основанными на использовании теорем синусов и косинусов.

Ход урока

I. Проверка опорных знаний учащихся.

Учащиеся отвечают на вопросы 2-10 на странице 271 учебника.

II. работа по учебнику.

1. Тригонометрические формулы используются при проведении различных измерительных работ на местности.

В 8 классе учащиеся определяли высоту предмета и расстояние до недоступной точки на основе теоремы подобия треугольников. В 9 классе эти же задачи решают с применением тригонометрических функций.

2. Учащиеся самостоятельно читают материал пункта 100 учебника.

3. Обсуждение прочитанного материала, используются рисунки 295 и 296 учебника.

III. Решение задач.

1. Решить задачу № 1036 по рисунку 298.

2. Решить задачу № 1037 (использовать рисунок 296 учебника).

3. Решить задачу № 1038 по рисунку 299.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 93-100; решить задачи № 1034, 1064.

Урок 8. Решение задач

Цели: систематизировать, повторить и обобщить изученный материал; научить применять полученные знания к решению задач.

Ход урока

I. Повторение и обобщение изученного материала.

1. Сформулировать теорему о площади треугольника.

2. Сформулировать теорему синусов.

3. Сформулировать теорему косинусов.

4. Объяснить применение теоремы косинусов при решении треугольников.

5. В какой задаче на решение треугольников можно применять только теорему синусов?

6. Рассказать решение задачи по нахождению высоты предмета и расстояния до недоступной точки с помощью тригонометрических функций.

7. Формулы приведения (записать на доске).

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 1059 на доске и в тетрадях.

Пусть АВСD - выпуклый четырехугольник, О - точка пересечения его диагоналей, AOB = .

Тогда SАВСD = SАОВ + SВОС + SСОD + SАОD.

Найдем площадь каждого из четырех треугольников, пользуясь теоремой о площади треугольника. Учитывая, что sin (180° -) = sin и АС = АО + ОС, ВD = ВО + ОD, получаем:

SАВСD = AC • BD • sin ?.

2. Решить задачу № 1063.

Решение

SАВС = SАВD + SАСD или воспользуемся формулой площади треугольника:

bc • sin = xc • sin+ xb • sin, где x = AD.

Отсюда, учитывая, что sin = 2sin• cos, находим х:

х = .

III. Самостоятельная работа контролирующего характера.

Вариант I

Решить задачи №№ 1060 (а); 1058 (б); 1061 (а).

Вариант II

Решить задачи №№ 1060 (б); 1058 (а); 1061 (б).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить тему «Векторы», материал пунктов 76-85 и 86-89; решить задачи №№ 1024, 1035.

Урок 9. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов

Цели: познакомить учащихся с понятием угла между векторами; ввести скалярное произведение векторов; рассказать о применении скалярного произведения векторов в физике, механике; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Математический диктант (15 мин).

Вариант I

1. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. какие векторы коллинеарны вектору ?

2. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Какие векторы сонаправлены с вектором ?

3. Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. Какие векторы равны вектору ?

4. При каком условии ?

5. Известно, что = 3, = 4. Найдите , если АОВD - прямоугольник.

6. В треугольнике СDЕ DЕ = 5, СЕ = 4, угол С = 45°. Найдите сторону DЕ.

7. В треугольнике КLM КL = LМ = 5, КМ = 6. Найдите косинус угла L.

8. В треугольнике ОРQ угол О = 60°, угол Р = 75°, ОР = 8. Найдите сторону РQ.

Вариант II

1. Диагонали ромба КLМР пересекаются в точке Т. Какие векторы коллинеарны вектору ?

2. Диагонали ромба КLМР пересекаются в точке Т. какие векторы сонаправлены с вектором ?

3. Диагонали ромба КLМР пересекаются в точке Т. Какие векторы равны вектору ?

4. При каком условии ?

5. Известно, что точки С и D лежат соответственно на осях ОХ и ОY прямоугольной системы координат. Найдите , если = 5, = 12.

6. В треугольнике АВС АВ = ВС = 8, АС = 4. Найдите косинус угла А.

7. В треугольнике ВСD ВС = 6, угол В = 75°, угол С = 45°. Найдите сторону ВD.

8. В треугольнике DЕF DЕ = 6, ЕF = 7, угол Е = 30°. Найдите сторону DF.

II. Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие угла между векторами и (рис. 300 и таблица).

2. Угол между векторами и не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы и .

3. Угол между сонаправленными векторами считается равным нулю.

4. Обозначение угла между векторами: .

5. Определение углов между векторами на рисунке 301.

6. Определение перпендикулярных векторов.

7. Повторить по настенным таблицам сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число.

8. Введение еще одного действия над векторами - скалярного умножения векторов. В отличие от суммы и разности векторов скалярное произведение есть число (скаляр) - именно это и обусловило название операции.

9. В тетрадях учащиеся оформляют таблицу:

скалярное произведение векторов

Если и , то

а) (0 ? < 90°) <=> ( > 0); б) (90° < ? 180°) <=> (< 0);

в) <=> ( = 0); г) (= 0°) <=> .

10. Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними: .

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи №№ 1039 (а, б, ж, з) и 1040 (а, д, е) по готовым чертежам квадрата и ромба, заранее выполненным на доске.

2. Решить задачу № 1041 (в).

Примечание. Сos 135° = cos (180° - 45°) = - cos 45° = .

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучение материалов пунктов 101 и 102; повторить материал п. 87; решить задачи №№ 1039 (в, г), 1040 (г), 1042 (а, б).

Урок 10. Скалярное произведение в координатах. Свойства скалярного произведения векторов

Цели: ввести понятие скалярного произведения в координатах; изучить свойства скалярного произведения векторов и закрепить их знание при решении задач.

Ход урока

I. Проверочная работа (10 мин).

Вариант I

1. Известно, что , где и - координатные векторы. Выпишите координаты вектора .

2. Дан вектор (0; 5). Запишите разложение вектора по координатным векторам и .

3. Даны векторы (-1; 2) и (2; 1). Найдите координаты суммы векторов и .

4. Найдите координаты вектора , если (-3; 0).

5. Даны векторы (5; 6) и (-2; 3). Найдите координаты вектора .

6. Две стороны треугольника равны 7 и 3 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника.

7. в треугольнике АВС угол А = 45°, АВ = 2, АС = 3. Вычислите .

8. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Чему равен угол между векторами и ?

Вариант II

1. Дан вектор (3; 0). Запишите разложение вектора по координатным векторам и .

2. Известно, что , где и - координатные векторы. Выпишите координаты вектора .

3. Найдите координаты вектора -, если (0; -2).

4. Даны векторы (2; -1) и (3; -1). Найдите координаты разности векторов и .

5. Даны векторы (-1; 9) и (3; -2). Найдите координаты вектора .

6. В треугольнике МРQ угол M = 135°; МР = 5, МQ = 2. Вычислите .

7. Две стороны треугольника равны 3 и 9 м, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.

8. Чему равно скалярное произведение координатных векторов и ?

II. Изучение нового материала.

1. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.

2. Изучение теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и свойств скалярного произведения полезно построить так, чтобы учащиеся сами проводили алгебраические преобразования.

Полученные результаты можно записать в тетради и вынести в настенную таблицу:

Скалярное произведение в координатах

Свойства скалярного произведения векторов:

1) ? 0 ( > 0 при 0); 2) ;

3) ; 4) .

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачу № 1043 (объясняет учитель):

Дано: = 8; = 15;

АВС = 120°.

Найти: .

Решение

Пусть ;

, тогда по правилу треугольника (или по правилу параллелограмма вектор есть равнодействующая сила ).

C = 180° - 120° = 60° (сумма односторонних углов равна 180°). По теореме косинусов из треугольника ВСD найдем ВD:

BD2 = BC2 + CD2 - 2BC • CD • cos C =

= 82 + 152 - 2 • 8 • 15 • = 64 + 225 - 120 = 169;

= 169; = 13.

Ответ: 13.

2. Решить задачи № 1044 (а, б).

3. Устно № 1045.

4. Решить задачи № 1046, 1047 (б, в) на доске и в тетрадях.

5. Решить задачу № 1051.

Решение

= 1 • 2 cos 60° + 2 • 2 cos 60° = 2 • + 4 • = 1 + 2 = 3.

Ответ: 3.

6. Решить задачу № 1049 на доске и в тетрадях (для угла А объясняет учитель):

Решение

1) cos A =



cos A = ; cos A = , то A = 60°.

2) cos B = ;

= 1 + 12 = 13;

BC = = 3,5;

cos B = ? 0,9286; B находим по таблицам Брадиса:

B ? 21°47?.

3) C = 180° - 60° - 21°47? ? 98°13?.

Ответ: A = 60°; B ? 21°47?; C ? 98°13?.

7. Решить задачу № 1052.

Решение

= 52 - 2 • 5 • 2 cos 90° + 22 - 42 =

= 25 + 4 - 16 = 13; = 13.

Ответ: 13.

8. Решить задачу № 1066.

Решение

По условию .

= 9 • 1 - 24 • 1• 1 • 0 + 16 • 1 = 25.

= 25, тогда = 5.

Ответ: 5.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 101-104; ответить на вопросы 17-20 на странице 271 учебника; решить №№ 1044 (в), 1047 (а), 1054 (разобрать решение задачи и записать в тетрадь).

урок 11. Решение задач

Цели: закрепление и проверка знаний и умений учащихся, сформированных при изучении главы XI, формирование навыков решения задач, развитие навыков логического мышления.

Ход урока

I. Математический диктант (10 мин).

Вариант I

1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а угол между ними равен 120°.

2. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно 0. Определите угол между векторами и .

3. Вычислите скалярное произведение векторов и , если (3; -2), (-2; 3).

4. Найдите угол между ненулевыми векторами (х; у) и (-у; х).

5. Вычислите косинус угла между векторами и , если (3; -4), (15; 8).

6. Даны векторы (2; -3) и (х; -4). При каком значении х эти векторы перпендикулярны?

Вариант II

1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если , а угол между ними равен 135°.

2. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Определите угол между этими векторами.

3. Вычислите скалярное произведение векторов и , если (-4; 5), (-5; 4).

4. Найдите угол между ненулевыми векторами (х; -у) и (у; х).

5. Вычислите косинус угла между векторами и , если (-12; 5), (3; 4).

6. Даны векторы (3; у) и (2; -6). При каком значении у эти векторы перпендикулярны?

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 1025 (б, е, з) на доске и в тетрадях, используя микрокалькулятор.

2. Решить задачу № 1056 на доске и в тетрадях.

Решение

Пусть АВСD - данный ромб. Выразим векторы и через векторы и :

используя эти выражения, получаем:

так как АD = АВ. Следовательно, АС ВD, то есть доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

3. Решить задачу № 1042 на доске и в тетрадях.

Решение

АВ = ВС = АС = а; ВD АС.

а) cos 60° == a • a • = a2;

б)

cos 120° = cos (180° - 60°) = -cos 60° = -.

в) • cos 90° = 0, так как cos 90° = 0;

г) • cos 0° = a • a • 1 = a2.

ответ: а) a2; б) -a2; в) 0; г) а2.

4. Решить задачу № 1050.

Решение

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, тогда

.

= 52 - 2 • 5 • 8 • + 82 = 25 - 40 + 64 = 49, ; значит, = 7.

Самостоятельно учащиеся находят .

III. Устный опрос учащихся по карточкам.

Вариант I

1. Что называется тангенсом угла ?? Для какого значения ? тангенс не существует и почему?

2. Сформулируйте и докажите теорему синусов.

3. Даны векторы (х; -4) и (2; 3). Найдите значение х, если .

Вариант II

1. Напишите формулы приведения.

2. Сформулируйте и докажите теорему косинусов.

3. Найдите скалярное произведение векторов (-5; 7) и (2; 1).

Вариант III

1. Что такое скалярное произведение векторов?

2. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

3. Найдите косинус угла А треугольника АВС, если АВ = 8 см, АС = 6 см, ВС = 12 см.

Вариант IV

1. Какие два вектора называются перпендикулярными?

2. Выведите формулу, выражающую косинус угла между ненулевыми векторами через их координаты.

3. Найдите синус угла В треугольника АВС, если АВ = 5 см, АС = 8 см, С = 30°.

IV. Итоги уроков.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторить материал пунктов 93-104; решить задачи №№ 1065, 1068, 1060 (а, б), 1061 (а, б).

Урок 12. Контрольная работа № 2

Цель: проверить знания, умения и навыки учащихся по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов».

Ход урока

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью ОХ, если А (-1; 3).

2. Решите треугольник АВС, если угол В = 30°, угол С = 105°, ВС =
= 3см.

3. Найдите косинус угла М треугольника KLМ, если К (1; 7), L (-2; 4), М (2; 0). Найдите косинусы углов K и L.

Вариант II

1. Найдите угол между лучом ОВ и положительной полуосью ОХ, если В (3; 3).

2. Решите треугольник ВСD, если угол В = 45°; угол D = 60°, ВС =
=см.

3. Найдите косинусы углов А, В и С треугольника АВС, если А (3; 9), В (0; 6), С (4; 2).

Вариант III

1. Найдите угол между лучом ОС и положительной полуосью ОХ, если С (; 1).

2. Решите треугольник СDЕ, если угол С = 60°, СD = 8 дм, СЕ = 5 дм.

3. Найдите косинус угла между векторами и , если = 60°.

Вариант IV

1. Найдите угол между лучом ОD и положительной полуосью ОХ, если D (-2; 2).

2. Решите треугольник DЕF, если DЕ = 5 м, DF = 8 м и ЕF = 4 м.

3. Найдите косинус угла между векторами и , если = 60°.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 39-41 и пунктов 21, 74-75 «Вписанная и описанная окружности».

длина окружности. площадь круга. (11 часов)

Урок 1. Правильный многоугольник. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Цели: повторить ранее изученный материал о сумме углов выпуклого многоугольника, о свойстве биссектрисы угла, теорему об окружности, описанной около треугольника, признак равнобедренного треугольника; сформировать у учащихся понятия «правильный многоугольник», «многоугольник, вписанный в окружность»; выработать умение формулировать и доказывать теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Ход урока

I. Анализ контрольной работы.

II. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Повторить формулу суммы углов выпуклого многоугольника и записать ее.

2. Сформулировать свойство биссектрисы угла и признак равнобедренного треугольника.

3. Повторить теорему об окружности, описанной около треугольника.

4. Устно решить задачи:

1) Сколько сторон имеет п-угольник, если сумма его внутренних углов равна: а) 1260°; б) 1980°?

2) Назовите выпуклый четырехугольник, у которого все внешние углы прямые.

3) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его внутренних углов равна сумме внешних?

4) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если все его внешние углы тупые?

5. Решить задачи на доске и в тетрадях:

1) Все углы выпуклого пятиугольника равны друг другу. Найдите величину каждого угла.

2) Докажите, что треугольник, две высоты которого равны, является равнобедренным.

3) Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Докажите, что А +
+ С = В + D.

III. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие правильного многоугольника.

2. Задать учащимся вопросы:

1) Какие правильные многоугольники уже рассматривались в курсе геометрии?

2) Приведите примеры такого выпуклого многоугольника, у которого:

а) все стороны равны, но он не является правильным (ромб с острым углом);

б) все углы равны, но он не является правильным (прямоугольник с неравными сторонами).

3. Предложить учащимся вывести формулу для вычисления угла правильного многоугольника.

4. Решить задачи № 1081 (в) и 1083 (в) на доске и в тетрадях.

5. Формулировка и доказательство теоремы об окружности, описанной около правильного многоугольника (рис. 307).

IV. Закрепление изученного материала.

1. Решить задачи №№ 1086 и 1084 (б, д).

решение

№ 1086.

Примечание. Воспользоваться тем, что биссектриса любого угла правильного многоугольника проходит через центр вписанной окружности.

№ 1084: б) Градусная мера дуги всей окружности равна 360°; количество сторон правильного многоугольника равно 360° : 30° = 12 (сторон); д) 360° : 18° = 20 (сторон).

Ответ: б) 12, д) 20.

2. Обсудить решения задач № 1080 и 1082 (устно).

V. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материалы пунктов 105-106; ответить на вопросы 1-3, с. 290; решить задачи №№ 1081 (а, д), 1083 (г), 1084 (а, в), 1129.

Урок 2. Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Цели: повторить теорему об окружности, вписанной в треугольник; повторить свойства касательной к окружности; сформулировать и доказать теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник; вырабатывать навыки решения задач.

Ход урока

I. Повторение изученного материала.

1. Сформулировать теорему об окружности, вписанной в треугольник.

2. Сформулировать свойство касательной к окружности.

3. Решить задачи №№ 1078 (устно) и 1079 (устно).

4. Решить задачи на доске и в тетрадях:

1) Окружность радиуса 5 см касается сторон угла А в точках В и С. найдите длины отрезков АВ и АС, если центр окружности удален от вершины угла на 13 см.

2) Две окружности пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая, проходящая через их центры, перпендикулярна к отрезку АВ.

3) Докажите, что радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, вдвое меньше радиуса описанной около него окружности.

II. Работа с учебником.

1. Определение окружности, вписанной в многоугольник.

2. Разобрать по рисунку 308 учебника доказательство теоремы об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Дома учащиеся запишут доказательство этой теоремы.

3. Записать в тетради следствие 1 и следствие 2.

4. Записать в тетради правила нахождения для заданного правильного многоугольника центров описанной и вписанной окружностей, а также их радиусов:

1) Центром окружности, описанной около правильного многоугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника (достаточно найти точку пересечения серединных перпендикуляров к двум соседним сторонам), а радиусом является отрезок биссектрисы угла многоугольника, соединяющий его вершину с центром.

2) Для нахождения центра и радиуса окружности, вписанной в многоугольник, достаточно построить биссектрисы двух соседних углов, найти точку О их пересечения и опустить из нее перпендикуляр на соответствующую сторону многоугольника (точка О будет центром вписанной окружности, а перпендикуляр - ее радиусом).

III. Закрепление изученного материала.

Решить задачи на доске и в тетрадях:

1. Докажите, что все диагонали правильного многоугольника равны.

2. На каждой из сторон квадрата отмечены две точки, делящие каждую сторону в отношении 1 : : 1. Докажите, что эти точки служат вершинами правильного восьмиугольника.

3. Постройте с помощью транспортира и циркуля правильный пятиугольник.

IV. Самостоятельная работа.

Вариант I

1. Задачи №№ 1081 (б), 1083 (б), 1084 (г).

2. Докажите, что три вершины правильного шестиугольника, взятые через одну, служат вершинами правильного треугольника.

Вариант II

1. Задачи №№ 1081 (г), 1083 (а), 1084 (е).

2. Докажите, что четыре вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, служат вершинами квадрата.

V. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 105-107; ответить на вопросы 1-4, с. 290; решить задачи №№ 1085, 1131, 1130.

Урок 3. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Цели: выработать у учащихся умение выводить формулы, связывающие радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности со стороной а правильного п-угольника, на их основе научить учащихся получать формулы для вычисления ап через R и r и конкретизировать их для случая п = 3, п = 4, п = 6, выработать навыки применения полученных знаний при решении задач.

Ход урока

I. Анализ самостоятельной работы.

II. Изучение нового материала.

1. Вывод формул (1-6) из пункта 108 учебника учащиеся проводят самостоятельно под руководством учителя по заранее заготовленному на доске рисунку 308.

2. После вывода формул для правильного п-угольника рассмотреть их частные случаи для п = 3, п = 4, п = 6.

3. Выведенные формулы оформить в виде таблицы, которую учащиеся записывают в тетради:

п	а	R	r	S	S
3			2r
4		2r			2R2	4r2
6	R
n

Эту таблицу учитель оформляет как настенную на картоне.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решение учащимися задач на непосредственное применение выведенных формул:

1) В окружность радиуса R = 12 вписан правильный п-угольник. Определите его сторону и периметр, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6.

2) Около окружности радиуса r = 6 описан правильный п-угольник. Определите его сторону и периметр, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6.

3) Для правильного п-угольника со стороной а = 6 см найдите радиус описанной около него окружности, если: а) п = 3; б) п = 4; в) п = 6.

2. Решить задачу № 1089.

Решение

Р = 18 см; а = 18 : 3 = 6 (см);

а3 = R; R == 2(см);

а4 = R= 2• = 2(см).

Ответ: 2см.

3. Решить задачу № 1090.

Решение

а3 = 3 см; R =(см); d = 2R = 2(см).

ответ: 2см.

4. Решить задачу № 1092.

Решение

Р = 48 см; а6 = 48 : 6 = 8 (см); а6 == 8 (см);

r == 4(см); а4 = 2r = 8(см) ; р = 4 • а4 = 8• 4 = 32(см).

Ответ: 32см.

5. Решить задачу:

Правильный треугольник АВС вписан в окружность с центром О и радиусом 8 см. На стороне этого треугольника построен квадрат. Определите радиус окружности, описанной около квадрата.

IV. Итоги урока.

Задание на дом: изучить материал пункта 108; решить задачи №№ 1087, 1088, 1094 (а, б).

Урок 4. Построение правильных многоугольников

Цель: выработать у учащихся умение строить некоторые правильные многоугольники.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Проверить решение учащимися задач № 1087 и № 1088 по тетрадям.

2. Решить на доске часть заданий, вызвавших затруднения у учащихся.

II. Построение правильных многоугольников.

1. Рассмотреть решение задачи 1 пункта 109.

2. Построение правильного треугольника, вписанного в окружность.

3. Рассмотреть решение задачи 2 пункта 109.

4. Построение правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность (рис. 310).

5. Построение правильных четырехугольника, восьмиугольника, шестнадцатиугольника, вписанных в окружность.

6. Построение правильных шестиугольника, треугольника, описанных около окружности.

7. Построение правильных четырехугольника, восьмиугольника, описанных около окружности.

III. Итоги урока.

Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, что не все правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки.

Однако с помощью этих инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник.

Домашнее задание: выполнить аналогичное задание на чертежных листах (построение правильных многоугольников, вписанных в окружность, и построение правильных многоугольников, описанных около окружности).

Учитель может указать количество сторон правильного многоугольника. Лучшие работы пойдут в методическую копилку.

Решить задачи №№ 1095, 1096, 1097.

вектор число трапеция плоскость

Урок 5. Длина окружности

Цели: вывести формулу, выражающую длину окружности через ее радиус; вывести формулу для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой; закрепить знание формул при решении задач.

Ход урока

I. Математический диктант (15 мин).

Вариант I

1. Найдите угол правильного десятиугольника.

2. Найдите сторону правильного треугольника, если радиус описанной около него окружности равен 2 м.

3. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, если радиус описанной около него окружности равен 2 м.

4. Найдите площадь правильного треугольника, если расстояние от его центра до вершины равно 2 м.

5. Закончите предложение: «Угол с вершиной в центре окружности называется …»

6. Угол с вершиной в центре правильного многоугольника и сторонами, проходящими через две его соседние вершины, равен 36°. Сколько сторон имеет этот многоугольник?

7. Чему равен cos 0°?

8. С помощью циркуля и линейки постройте правильный шестиугольник.

Вариант II

1. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его сторона стягивает дугу описанной окружности, равную 18°?

2. Найдите площадь квадрата, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

3. Закончите предложение: «Кругом называется часть плоскости …»

4. Найдите сторону квадрата, если расстояние от его центра до вершины равно 2 дм.

5. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат, если радиус описанной около него окружности равен 2 дм.

6. Чему равен cos 0°?

7. Найдите угол правильного девятиугольника.

8. С помощью циркуля и линейки постройте правильный треугольник.

II. Изучение нового материала (лекция).

Поскольку материал пункта «Длина окружности» нетрадиционен и опирается на понятие предела, его изложение целесообразно дать в форме лекции.

1. Дать представление о длине окружности с помощью нитки, обмотанной около дна стакана.

2. Работа по рисункам 312 и 313 учебника.

3. Вывод формулы, выражающей длину окружности через ее радиус.

4. Записать в тетради вывод: отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Число р (пи).

5. Формула для вычисления длины окружности: C = 2рR; d = 2R, тогда C = рd, где d - диаметр окружности.

Найдем радиус и диаметр окружности: R = ; d = , где р ? 3,14.

6. Вывод формулы для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой:

длина дуги в 1° равна ;

длина дуги в равна l = • ?.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 1101 (таблицу начертить заранее на доске).

2. Устно решить задачи № 1102 и № 1103.

3. Решить задачу № 1109 (а, б).

4. Решить задачу № 1111 (использовать рис. 316).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пункта 110; решить задачи №№ 1109 (в, г), 1106, 1104 (а), 1105 (а).

Урок 6. Площадь круга

Цели: вывести формулу площади круга и научить учащихся применять ее при решении задач.

Ход урока

I. Изучение нового материала (лекция).

Провести в форме лекции доказательство площади круга.

1. Дать определение понятия «круг».

2. Вывести формулу площади круга (рис. 314).

3. Записать в тетрадях: для вычисления площади S круга радиуса R применяется формула .

4. В течение веков усилия многих математиков были направлены на решение задачи, получившей название задача о квадратуре круга: построить при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Только в конце XIX века было доказано, что такое построение невозможно.

II. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу. На здании МГУ установлены часы с круговым циферблатом, имеющим диаметр примерно 8,8 м. Найдите площадь циферблата этих часов и сравните с площадью вашей классной комнаты.

Ответ: 60,8 м2.

2. Решить задачу № 1118 (самостоятельно).

3. Решить задачу № 1119 на доске и в тетрадях.

Решение

С = 41 м; C = 2рR; D = 2R (диаметр D);

2R = D =; D =? 13,06 (м) ? 13,1 м.

Sкруга = рR2; так как R =, то Sкруга = р • = р • ;

S = ? 133,84 (м2).

Ответ: ? 13,06 м; 133,84 м2.

4. Решить задачу № 1125 на доске и в тетрадях.

На сторонах произвольного прямоугольного треугольника АВС, как на диаметрах, построены полукруги. Докажите, что сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна площади полукруга, построенного на гипотенузе.

Решение

Пусть АС = 2а, АВ = 2b, ВС = 2с, тогда радиусы соответствующих кругов равны а, b, с.

По теореме Пифагора а2 + b2 = с2, поэтому .

5. Решить задачу № 1116 (а) на доске и в тетрадях.

Решение

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

По теореме Пифагора находим: с2 = а2 + b2; тогда

R = .

Значит, Sкруга = рR2 =.

Ответ: .

III. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 105-110; изучить материал пункта 111; решить задачи №№ 1114, 1115, 1117 (а).

Урок 7. Площадь кругового сектора

Цели: ввести понятие кругового сектора, вывести формулу для вычисления площади кругового сектора; научить применять знания при решении задач.

Ход урока

I. Проверка изученного материала.

1. Формула длины окружности. Выражение радиуса окружности через длину окружности.

2. Формулы площади круга, радиуса круга через площадь круга, формула площади круга, выраженная через диаметр круга.

3. Формула длины дуги окружности.

4. Устно решить задачу № 1115.

II. Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие кругового сектора и понятие дуги сектора
(рис. 315).

2. Вывести формулу для вычисления площади S кругового сектора радиуса R, ограниченного дугой с градусной мерой ?.

Так как площадь всего круга равна рR2, то площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 1°, равна .

Поэтому площадь S выражается формулой

S =•

3. Ввести понятие кругового сегмента и познакомить учащихся с нахождением площади кругового сегмента, используя таблицу «Круговой сегмент».

III. закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу.

АВСD - квадрат со стороной 1 дм. Найдите площадь «чечевицы», заштрихованной на рисунке.

Решение

Так как сторона квадрата равна 1 дм, то площадь квадрата АВСD равна 1 дм2.



Площадь сектора DАKС равна • ? = • 90° = (дм2).

Площадь треугольника АСD равна дм2.

Площадь сегмента АKС равна (дм2).

Площадь «чечевицы»: 2 • ? 0,7 (дм2).

Ответ: ? 0,7 дм2.

2. Решить задачу № 1126 (самостоятельно).

Решение

R = 10 см; Sкруга = рR2 = 100р (см2).

l = 60°; Sсектора = (см2).

S = Sкруга - Sсектора = 100р -? 262 (cм2).

Ответ: ? 262 см2.

3. Решить задачу № 1127.

Решение

= 72°, Sсектора = S. Найти: R.

S =; 5S = рR2; R2 =; R =.

Ответ: .

4. Вывести формулу площади кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами R1 и R2, где R1 < R2.

Решение

; Sкольца = S2 - S1 = .

5. Решить задачу № 1120.

Решение

R1 = 1,5 cм, R2 = 2,5 см.

Sкольца = р (2,52 - 1,52) = р (2,5 - 1,5) (2,5 + 1,5) = р • 1 • 4 = 4р (см2).

Ответ: 4р см2.

6. Решить задачу № 1122 на доске и в тетрадях.

Решение

R1 = 3 м, R2 = 3 + 1 = 4 (м);

Sдорожки = р = р (42 - 32) = р (4 - 3) (4 + 3) = 7р (м2).

На 1 м2 дорожки требуется 0,8 дм3 песка; тогда 0,8 • 7р = 5,6р (дм3) ?
? 17,6 дм3.

Ответ: ? 17,6 дм3.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: выучить материал пунктов 110-112; повторить материал пунктов 105-109; ответить на вопросы 1-12 на с. 290; решить задачи № 1121, 1128, 1124.

Урок 8. Решение задач

Цели: закрепить знания учащихся по изученной теме «Длина окружности и площадь круга»; научить учащихся применять изученные формулы при решении задач; развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Повторить определения окружности, круга, кругового сектора и кругового сегмента.

2. Записать на доске и в тетрадях формулы для вычисления длины окружности, длины дуги окружности; для вычисления площади круга, площади кольца, площади кругового сектора.

II. Решение задач.

1. Решить задачу № 1112.

Решение

l = • ; l = 24 см; = 38°. Найдем: R.

R = ? 36,3 (см).

ответ: ? 36,3 см.

2. Решить задачу № 1113 (самостоятельно).

3. Решить задачу № 1123 на доске и в тетрадях.

Решение

АВСD - квадрат; DО = ОВ = r;

Sкруга = рr2; Sквадрата = а2,

ВD = 2r; из ДВСD по теореме Пифагора найдем сторону квадрата АВСD:

а2 + а2 = (2r)2; 2а2 = 4r2; а2 = 2r2;

тогда Sквадрата = 2r2.

Найдем площадь оставшейся части круга:

S = Sкруга - Sквадрата = рr2 - 2r2 = r2 (р - 2).

Ответ: r2 (р - 2).

4. Решить задачу № 1116 (б).

Решение

? АСD - прямоугольный;

А = , СD = а.

АD = 2R (диаметр), АСD = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой).

Найдем АD.

Sin =; AD =, тогда радиус R описанной около прямоугольного треугольника окружности равен R =AD =. Площадь круга равна S = рR2 =.

Ответ: .

5. Решить задачи:

1) Площадь кругового кольца, заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром, равна 12 дм2. Найдите радиусы окружностей, если один их них в два раза больше другого.

Ответ: дм; дм.

2) Площадь кругового кольца, заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром, равна 8 см2. Найдите площади этих кругов, ограниченных этими окружностями, если радиус одной из них в три раза больше, чем радиус другой.

Ответ: 1 см2 и 9 см2.

6. Решить задачу № 1108 (самостоятельно).

III. Самостоятельная работа (10-15 мин).

Вариант I

Решить задачи №№ 1102 (в), 1115 (б), 1109 (в), 1104 (б).

Вариант II

Решить задачи №№ 1102 (г), 1115 (а), 1109 (г), 1116 (а).

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: повторить материал пунктов 105-112; решить задачи №№ 1107, 1132, 1137.

Уроки 9-10. Решение задач по материалу главы XII

Цели: закрепить знания и умения учащихся по изученному материалу главы; подготовить учащихся к контрольной работе.

Ход уроков

I. Математический диктант (15 мин).

Вариант I

1. Площадь круга равна S. Найдите длину ограничивающей его окружности.

2. Найдите длину дуги окружности радиуса 9 м, если градусная мера дуги равна 120°.

3. Длина дуги окружности равна 3р, а ее радиус равен 8. Найдите градусную меру этой дуги.

4. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 13 и 12 см.

5. Найдите площадь кругового сектора радиуса 4 см, если его центральный угол равен 45°.

6. Площадь кругового сектора равна 18р м2, а его центральный угол равен 40°. Найдите радиус сектора.

Вариант II

1. Длина окружности равна С. Найдите площадь ограниченного ею круга.

2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 25 и 24 см.

3. Найдите площадь кругового сектора радиуса 3 см, если его центральный угол равен 20°.

4. Площадь кругового сектора равна 10р м2, а его радиус равен 6 м. Найдите центральный угол сектора.

5. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 дм, если ее градусная мера равна 120°.

6. Найдите радиус окружности, если длина дуги окружности равна 6р, а ее градусная мера равна 60°.

II. Решение задач.

1. Решить задачу 1. Докажите, что площадь S треугольника АВС вычисляется по формуле:

,

где Р - периметр треугольника, r - радиус вписанной окружности.

Доказательство

Пусть О - центр окружности, которая вписана в треугольник АВС и, следовательно, касается сторон треугольника в точках М, N и K.

Очевидно, что S = S?АОС + S?ВОС + S?АОВ. *

Так как ОМ, ОN и ОK - высоты треугольников АОС, ВОС и АОВ, то

SАОС = АС · ОK,

SВОС = ВС · ОМ и S?АОВ = АВ · ОN.

Подставив эти значения в формулу *, получим: S =(AB + BC + CA) · r =P · r.

2. Решить задачу 2. даны стороны треугольника АВС - а, b, с и площадь S. Выразить радиусы окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, через а, b, с и S.

Решение

1) Используем результат задачи 1:

S =Pr,

где Р - периметр треугольника, r - радиус вписанной окружности. Р = а + b + с; 2S = r (а + b + c), отсюда:

2) Радиус R описанной окружности вычисляется по формуле:

R =,

где - угол, противолежащий стороне а.

Из формулы: S =bc · sin ? получим sin ? =, тогда 2sin ? =. Следовательно,

R =.

3. Решить задачу № 1099 на доске и в тетрадях.

Решение

Диагонали А3А7 и А4А8 четырехугольника А3А4А7А8 являются диаметрами окружности, в которую вписан данный восьмиугольник, поэтому они равны и точкой пересечения О делятся пополам. Следовательно, четырехугольник А3А4А7А8 - прямоугольник. Так как угол А3ОА4 = 45°, то согласно задаче 1059 площадь прямоугольника равна R2.

4. Решить задачу № 1105 (в) (объясняет учитель).

Решение

Пусть АВС - данный треугольник, угол С = 90°, угол В = ?, АВ = с, ВС = а, СА = b; Р = а + b + с, r - радиус вписанной окружности. Тогда а = с · cos , b = c · sin .

Воспользуемся двумя формулами для вычисления площади S треугольника АВС (метод площадей):

. Отсюда, получаем,

r =, поэтому C = 2рr =.

Умножив числитель и знаменатель дроби на cos ? + sin ? - 1, после несложных преобразований получаем: c = рc (sin ? + cos ? - 1).

5. Решить задачу № 1117 (в).

решение

Применим метод площадей, то есть воспользуемся двумя формулами для вычисления площади треугольника:

S =ab sin и S =Pr,

где а и b - длины сторон треугольника, ? - угол между ними, Р - периметр, r - радиус вписанной окружности. Получим:

S =a2 sin и S = r · а.

Отсюда находим r, а затем площадь круга:

Sкруга = .

6. Решить задачи № 1110, 1138, 1116 (в).

Примечание. решения некоторых из них полезно предварительно обсудить, а затем записать в тетрадях, остальные задачи учащиеся могут решить самостоятельно с последующей проверкой ответов или решений.

III. Проверочная самостоятельная работа.

Вариант I

Решить задачи №№ 1125, 1129 (в), 1132 (а), 1134 (а).

Вариант II

Решить задачи №№ 1128, 1129 (г), 1132 (б), 1134 (б).

IV. Итоги уроков.

Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторив материал пунктов 105-112 и ответив на вопросы 1-12, с. 290 учебника; решить задачи №№ 1104 (г, д), 1105 (б), 1116 (в).

Урок 11. Контрольная работа № 3

Цели: проверить умение учащихся решать задачи по изученной теме; выявить пробелы в знаниях учащихся для последующего их устранения.

Ход урока

I. Организация учащихся для выполнения контрольной работы.

II. Выполнение работы по вариантам.

Вариант I

1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.

2. Найдите площадь круга, если площадь вписанного в ограничивающую его окружность квадрата равна 72 дм2.

3. Найдите длину дуги окружности радиуса 3 см, если ее градусная мера равна 150°.

Вариант II

1. Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 м. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

2. Найдите длину окружности, если площадь вписанного в нее правильного шестиугольника равна 72 см2.

3. Найдите площадь кругового сектора, если градусная мера его дуги равна 120°, а радиус круга равен 12 см.

вариант III

1. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 48 см. найдите сторону правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность.

2. Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром и радиусами 3 см и 7 см.

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна 4 м, а градусная мера дуги равна 60°.

Вариант IV

1. Периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равен 6 дм. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в ту же окружность.

2. Площадь кольца, ограниченного двумя окружностями с общим центром, равна 45р м2, а радиус меньшей окружности равен 3 м. Найдите радиус большей окружности.

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна 2 см, а диаметр окружности равен 4 см.

Домашнее задание: повторить пункт 47 «Осевая и центральная симметрии».

движения. (8 часов)

Уроки 1-3. Отображение плоскости на себя. Понятие движения

Цели: ввести понятие отображения плоскости на себя и понятие движения; напомнить построение фигур относительно центра и относительно оси; рассмотреть свойства осевой и центральной симметрии и закрепить их знание при решении задач.

Ход уроков

I. Анализ контрольной работы.

1. Указать ошибки, сделанные учащимися при решении задач.

2. Решить на доске задачи, вызвавшие затруднения у учащихся.

II. Повторение ранее изученного материала.

1. Повторение понятий точек, симметричных относительно данной прямой (оси симметрии), и точек, симметричных относительно данной точки (центра симметрии).

2. В ходе повторения нужно подвести учащихся к понятию сохранения расстояния между точками. Этой цели служат следующие задачи:

1) Для каждого из случаев, представленных на рисунке 1, а, б, в, постройте точки А1 и В1, симметричные точкам А и В относительно прямой l.

а б в

Рис. 1

2) Существует ли на плоскости такая точка, для которой нет симметричной точки относительно данной прямой?

3) Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 1 случаев
А1В1 = АВ.

4) Постройте точки А1 и В1, симметричные А и В относительно точки О, если:

а) точка О лежит на отрезке АВ;

б) точка О не лежит на прямой АВ.

5) Существует ли такая точка плоскости, для которой нет точки, симметричной относительно данной точки?

6) Докажите, что в каждом из рассмотренных в задаче 4 случаев
А1В1 = АВ.

III. Изучение нового материала.

1. Ввести понятие отображения плоскости на себя и проиллюстрировать его примерами осевой и центральной симметрий.

Важно подчеркнуть, что при отображении плоскости на себя выполняются два условия:

1) каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то одна точка плоскости и 2) каждая точка плоскости оказывается поставленной в соответствие какой-то точке плоскости.

Нужно показать, что в случаях осевой и центральной симметрий выполняются оба условия.

В качестве контрпримера можно привести соответствие между точками плоскости, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие ее ортогональная проекция на данную прямую. В этом случае нарушено второе условие отображения плоскости на себя: не каждая точка плоскости оказывается сопоставленной какой-то точке, а именно любая точка, не лежащая на данной прямой, не будет сопоставлена никакой точке плоскости (плоскость отображается не на себя, а на данную прямую).

2. Решить задачи № 1148 (а) и №1149 (а).

3. Ввести понятие движения, опираясь на задачи 3 и 6, рассмотренные в начале урока.

В качестве примера отображения плоскости на себя, не являющегося движением, то есть не сохраняющего расстояния между точками, можно рассмотреть центральное подобие (гомотетию) с коэффициентом 2; учащиеся сами могут доказать, что при таком отображении расстояния между точками увеличиваются в два раза.

4. Решить задачу № 1153 для усвоения понятия, а затем по заранее подготовленному рисунку 2 решить следующую задачу: «При движении плоскости точка А переходит в точку М. В какую из обозначенных на рисунке 2 точек может отобразиться при этом движении точка В?».

Рис. 2

5. Доказать, что осевая и центральная симметрии являются движениями. После этого рассматривается теорема о том, что при движении отрезок отображается на отрезок, и следствие из нее. В ходе доказательства теоремы полезно акцентировать внимание учащихся на том, что доказательство состоит из двух частей: во-первых, доказывается, что каждая точка Р данного отрезка МN отображается в некоторую точку Р1 отрезка М1N1 и, во-вторых, что в каждую точку Р1 отрезка М1N1 переходит какая-то точка Р данного отрезка МN.

...