Несмотря на то, что изучение функциональной линии начинается на седьмом году обучения, сама по себе функциональная линия открывается детям еще в начальной школе, то есть, кседьмому классу ребёнок имеет достаточный опыт работы с различными зависимостями. В частности, каждый может рассчитать, быстро или медленно следует идти в школу, чтобы не опоздать к назначенному времени.

Функциональная линия является своего рода метапредметной категорией, так как ее признаки присутствуют во многих школьных курсах.В русском языке спряжение глагола зависит от того, какая буква стоит перед окончанием в неопределённой форме.В курсе обществознания оговаривается экономический закон зависимости величиныпеременных затрат от изменения объёма выпуска продукции[35].При изучении курса физики в учебнике описана зависимость веса тела от его массы[46]. В курсе географии рассматривается зависимость климата от широтного положения территории, близости океана, рельефа и преобладающих ветров [13].

Среди различных зависимостей, с которыми сталкивается ученик на уроках, есть как функциональные, так и те, чтоописываемы с помощью формулы. Математика, как интегрирующий предмет, своеобразная «линейка» природы, позволяет обобщить все эти зависимости и рассматривает множества окружающего мира.

Введение функциональной линии на уроках алгебры позволяет обучающимся обобщить представления о зависимостях, полученные в повседневной жизни и в ходе изучения других школьных курсов. Можно сказать, что изучение функциональной линии дает возможность обучающимся научиться мыслить в терминах переменных и зависимостей, и развиваету них представление о взаимной зависимости процессов и явлений в окружающем мире, что сыграет огромную роль в становлении у ребенка системного мышления.Помимо этого, подобный подход соответствует требованиям федеральных государственных образовательных стандартов второго поколения, гдесделан акцент на использовании обучающимися знанийна различных учебных предметах и в процессе жизни.

Реализация данного подхода может быть проведена разнообразными путями, что обусловлено фундаментальностью и многообразием самого понятия функции.

Однако, при выборе какого бы то ни было подхода, необходимо учитывать основные принципы, которых следует придерживаться в ходе изучения функциональной линии в школе. Среди фундаментальных из них можно выделить следующие:

· Отражение явлений реальной действительности непосредственно и конкретно. Данная цель не реализуется со столь значительным успехом при изучении иного материала,кроме изучения функциональной зависимости. Изучение функциональной линии должно быть выстроено таким образом, чтобы обучающийся постоянно встречался с разными применениями функциональной зависимости, как в виде формул, так и в виде графиков и диаграмм, составление и интерпретация которых предполагает определённое функциональное мышление.

· Воплощение черт современного математического мышления. Понятие функциональной линии, как ни одно другое математическое понятие приучает детей к осмыслению величинв их изменяемости и взаимосвязи.Можно сказать, что изучение функциональной линии способствует усвоению обучающимися основ диалектического мировоззрения и системного мышления.

· Внедрение основополагающего понятия высшей математики - понятия функции.В силу того, что функциональная линия присутствует и на постшкольных этапах обучения, качество подготовки обучающихсяв школе к усвоению математики высшей школы во многом зависит от того, насколько твёрдо и полно изучена функциональная линия.

· Использование понятия функции в реальной жизни, а также при решении многих задач, непосредственно не связанных с понятием функции и не включенных в курс математики. Идея функции часто используется в геометрии, физике, химии и биологии.

Таким образом, изучение функциональной линии в школепредставляет собой не только одну из важнейших задач преподавания математики в школе, но и является средством, позволяющим связать единственной идеей или формулой различные курсы математики а также, установить связь с другими науками.

Традиционно, при изучении функциональной линии, выделяется две полярные методические трактовки понятия функции и функциональной линии:генетическая и логическая.

Генетическая интерпретация понятия функции предполагает освоение основных черт, вошедших в понятие функции до середины девятнадцатого века.Ключевыми понятиями, используемыми при генетической трактовке,являются переменная величина, формула, выражающая одну переменную через другие, функциональная зависимость переменных величин, декартова система координат на плоскости.

Основные достоинства генетической трактовки состоят в том, что в данном подходе подчеркнут динамический характер понятия функциональной зависимости, выявляется модельный аспект функции при изучении явлений природы. В силу того, что большинство функций при данном подходе выражаются таблично или аналитически, генетическая трактовка весьма логично увязана с иными элементами содержания курса алгебры.

Помимо перечисленных положительных черт генетическая трактовка понятия функции содержит ряд ограничительных элементов, отрицательно сказывающихся на процессе освоения функциональной линии обучающимися. Одним из существенных минусов генетической трактовкиявляется тот факт, что переменная при таком подходе,как правило, представляется величиной, пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Это приводит к тому, что зачастую в значительной степени понятие функции при изучении связывается лишь с числовыми функциями одного числового аргумента.Для того чтобы нивелировать этот недостаток, в обучении необходимо постоянно выходить за пределы первоначального описания аргумента, используя и развивая функциональные представления[23].На современном этапе в большинстве образовательных организаций используется генетический подход.

Логическая трактовка в изучении понятия функции предполагает построение обучения функциональным представлениям на основе методического анализа понятия функции. Анализ понятия функции при логическом подходе проходит в рамках понятия алгебраической системы.

При логической трактовке функция выступает в виде специфического отношения между двумя множествами, удовлетворяющего условию функциональности. Начальным этапом изучения функциональной линии, при логическом подходе, становится вывод понятия функции из понятия отношения.

Положительной стороной данной трактовки является то, что при логическом подходе существует необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств, что в значительной степени обогащает язык школьной математики. Кроме таблиц и формул, в логическом подходе используется задание функции стрелками, перечислением пар, применяется не только числовой, но и геометрический материал. Геометрические преобразования различного рода при логическом подходе также возможно рассматривать как функцию. Основные достоинства логической трактовки при изучении функциональной линии - это обобщенность возникающего понятия функции и вытекающие из него возможности установления взаимосвязей в обучении математике.

При этом, при логической трактовке выработанное общее понятие функции оказывается связанным с числовыми функциями одного числового аргумента, то есть с той же самой областью, в которой оно формируется при генетическом подходе, но с приложением меньших усилий, нежели в логическом.

Независимо от выбранного подхода в изучениифункциональной линии следует учитывать многокомпонентность данного понятия, и формировать у обучающихся представление о системеэтих компонентов. В самом общем смысле в систему входят следующие компоненты:

· Комплекс представлений о функциональной зависимости переменных величин в явлениях и процессах реальной жизни и в точных науках.

· Понимание функции как соответствия.

· Понимание графиков функций, как основы графического представления зависимостей.

· Комплекс способов вычисления значений функций.

На основании вышеизложенного можно сказать, что при изучении понятия функциональной линии генетический подход оказывается недостаточным для освоения обучающимися функции как обобщенного понятия, а логическая трактовка обнаруживает некоторую избыточность. Однако эти различия не особенно влияют на процесс освоения функциональной линии и не меняют свойств ее понятия, так как в дальнейшем ее изучении они постепенно стираются. Исчезновение этих различий обусловлено тем, что в курсах алгебры и начал анализа изучается не само понятие функции, а конкретно заданные функции и классы функций, а также их приложения в метапредметной области.

§2. Цели и методы изучения функциональной линии в условиях введения ФГОС

В Федеральных государственных образовательных стандартах второго поколениясуществует указание на то, что в курсе математики содержание раздела «Функции» нацелено на получение обучающимися конкретных знаний о функции как фундаментальной математической модели для исследования и анализа различныхявлений и процессов.

Изучение материала раздела, посвященного функциям, способствует развитию у детей умения пользоватьсясловесным, графическим и символическим языками математики.Кроме того, изучение функциональной линии позволяет вносить вклад в формирование представлений о роли математики, как науки, в развитии других наук, цивилизации и культуры общества.

В федеральных государственных образовательных стандартахустановлены лишь самые общие требования к результатам изучения функциональной линии в курсе математики.Среди метапредметных результатов обучения при изучении функциональной линии у обучающихся должно быть сформировано умение читать и использовать для интерпретации и аргументации различные математические средства наглядности, такие как графики, таблицы, диаграммы, схемы.

Из предметных результатов при изучении функциональной линии должны быть достигнуты следующие:

· Обучающиеся должны овладеть базовым понятийным аппаратом по всем разделам содержания функциональной линии.

· Обучающиеся должны иметь представление об основных понятиях, приуроченных к функциональной линии, таких, как число, уравнение, геометрическая фигура, вероятность, функция, в силу того, что данные категории являются важнейшими математическими моделями, позволяющимиисследовать и анализировать реальные процессы и явления.

· Обучающиеся должны овладеть системой функциональных понятий, языком и символикой.

· Обучающиеся должны уметь описывать и анализировать реальные зависимости, опираясь на функционально-графические представления.

· Обучающиеся должны уметь использовать функционально-графические представления для решения математических задач, исследования, описания и анализа реальных зависимостей [38].

Таким образом, исходя из планируемых результатов изучения функциональной линии, утвержденных федеральными государственными образовательными стандартами, можно сформулировать ряд целей изучения функциональной линии в контексте ФГОС:

1. Формирование у обучающихся целостного представления об окружающем мире и взаимосвязи его компонентов на основании исследования реальных зависимостей при помощи функций. При достижении данной цели ребенок научится понимать взаимосвязь явлений и процессов в мире, описывать их математическим языком, придет к осознанию того, что математика, как наука, является «линейкой» окружающего мира. Также у ребенка могут быть заложены основы навыков для продолжения образования на более высоких ступенях обучения - в высших учебных заведениях.

2. Формирование навыков использования функций в повседневной жизни, как в бытовых аспектах, так и в специальных областях, например, научных исследованиях. При достижении данной цели ребенок овладеет навыками применения изученного материала функциональной линии для решения бытовых проблем и использования его при обучении другим учебным предметам. Также возможно формирование у ребенка основ умений и навыков учебно-исследовательской деятельности, имеющей значение для дальнейшего образования.

3. Формирование у обучающихся знаний, умений и навыков использования понятийного аппарата, связанного с функциональной линией, в математике и других областях научных знаний. При достижении данной цели обучающийся сможет свободно использовать термины и понятия из раздела «функции», как в общенаучных, так и в бытовых аспектах жизни. В дальнейшем возможно формирование у ребенка навыков использования терминов и понятий в научных исследованиях.

4. Формирование у обучающихся навыков перевода информации из одного вида в другой: из графической в текстовую, табличную, на язык формул. Достижение этого результата позволит более эффективно усваивать учебный материала и формировать знания, умения и навыки, как в курсе математики, так и в других школьных дисциплинах. Возможно формирование у ребенка ключевых навыков работы с информацией - поиска, получения, преобразования, необходимых в курсе дальнейшего обучения для обработки больших объемов научных знаний.

Следует отметить, что требования федеральных государственных образовательных стандартов и их концепция «профессионального ученика» - обучающегося, способного самостоятельно «добывать» знания, достаточно органично сочетаются с условиями системно-деятельностного подхода.

Однако необходимо учитывать, что реализация данных целей возможна лишь при грамотном методологическом подходе к введению функциональной линии в курс математики. В связи с этим, встает актуальный вопрос о методах изучения функциональной линии в контексте федеральных государственных образовательных стандартов.

Введение функциональной линии в школьный курсалгебрыобусловило возникновение четырехметодических проблем, вокруг которых сформировались расхождения во мнениях методистов, а именно:

1. Какова цель и значение изучения понятия функции обучающимися?

2. Какие подходы в наибольшей степени соответствуют грамотному освоению материала раздела«функции»?

3. В каком виде, и в какой момент необходимо вводить функциональную пропедевтику (преддверие понятия функции)?

4. Какое место, и в каком объеме должен занимать функциональный материал в курсе школьной математики?

В связи с большим объемом и многокомпонентностью понятия функции, простейшие элементы функциональной линии изучаются, начиная со средних классов школы. Как правило, с седьмого года обучения идет постепенное изучение свойств функций и функциональных зависимостей. Помимо этого, изучаются различные классы функций по возрастанию сложности: с линейных функций и их графиков к квадратичным функциям и функциям обратной пропорциональности, завершая ряд дробно-линейными функциями. Позднее, в старших классах изучают тригонометрические, показательные и логарифмические функции. Различные классы функций рассматриваются как функции одной переменной, и сами переменные не выходят за рамки множества вещественных чисел.

Изучение функциональной линии представляет собой достаточно длительный процесс, который логически должен завершиться формированием представлений обо всех компонентах понятия функции, их взаимосвязи и роли в математической науке. Для достижения наилучших результатов, процесс изучения функциональной линии ведется по трем основным направлениям:

· Упорядочение основных представлений о функции, введение системы понятий, приуроченных к функциональной линии, в частности, способы задания и свойства функций, графическое чтение области определения и значений функции, возрастания и убывания.

· Подробное изучение отдельных функций и их классов.

· Расширение области применения функциональной линиипри помощи включения в нее идеи функции и системы действий с функцией [16].

Первоначальнымнаправлением в курсе школьной алгебры выступает упорядочение представлений о функции. При осуществлении данного направления ключевое место отводится освоению однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Для закрепления данного материаларассматриваются различные способы задания функции.

В большинстве случаев функция задается формулой, а иные способы задания функции играют второстепенную роль. На основании этого после знакомства с несколькими способами задания функции основное внимание в обучении уделяется функциям, имеющим стандартную алгебраическую форму их выражения. При этом необходимо учитывать тот факт, что в процессе введении понятия функции сопоставление разных способов ее задания выполняет важную роль. Главным образом, это обусловленопрактической потребностью, так как таблицы и графики служат для удобного представления функции, в тех или иных обстоятельствах. Кроме того, для усвоения всего многообразия аспектов понятия функции также необходимо знать и понимать различные способы задания функции. Выражение функции формулойвозможно только в тех случаях, когда функциявключена в соответствующую систему представлений и операций, однако эта система сама по себе подразумевает, что различные компоненты понятия функции могут быть отображены наиболее естественно иными средствами.

В данном ключе использование заданий по переводу задания функции из одной формы представления в другую является достаточно эффективным методическим приемом при изучении функциональной линии.

Осуществлениеданного приема предполагает использование системы заданий, где представлены все случаи такого перевода. На современном этапе при изучении понятия функции преобладающими являются два исторически сложившихся подхода: индуктивный и дедуктивный.

Приобретаемые в ходе изучения функциональной линии навыки работы с формулой и исследования элементарных функций необходимы для изучения в дальнейшем электродинамики и оптики. Кроме того, навыки построения графиков функции играют существенную роль при изучении всего курса физики.

На основе знаний, полученных в процессе изучения функциональной линии у обучающихся формируются метапредметные расчетно-измерительные умения и навыки. Изучение материала функциональной линии опирается на метапредметные связи с курсами физики, черчения, химии, физической географии.

При изучении любого класса функций выделяют общее инвариантное ядро, необходимое для полного освоения обучающимися материала и состоящее из шести основных направлений:

· Графический способ решения уравнений

· Поиск наибольшего и наименьшего значений функции на конкретном промежутке.

· Преобразование графиков функций.

· Символика, касающаяся функций.

· Кусочные функции.

· Чтение графиков функций [24].

В каждом из направлений существуют методические особенности, позволяющие поле полно изучить функциональную линию, а также, достоинства и недостатки.

Для метода графического решения уравнений основным неудобством является его нестандартность для восприятия обучающимися. При использовании данного метода при решении уравнений, создается проблемная ситуация, приводящая к необходимости поискааналитических алгоритмов решения уравнения.

При изученииконкретного класса функций метод графического решения уравнений приводит ученика к ситуации, при которой график функции строится для решения другой задачи(поиска решений уравнения), а не ради графика функции [14].Таким образом, построение графика функции выступает не целью, а средством, помогающим решить уравнение, что в большей степени соответствует условиям системно-деятельностного подхода, так как, по сути, при таком методе обучающемуся дается инструмент для решения задач, а не просто рассматривается очередной тип упражнений.

Поиск наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке, как вид работы, предлагается, начиная с седьмого года обучения.Методическая ценность такого задания состоит в том, что обучающимся предлагается новая «игра» с функцией, при которой, как и в первом случае, график строится не в рамках цели задания, а выступает инструментом для ответа на вопрос задачи. Кроме того, в процессе использования этого инструмента,обучающиеся привыкают к оперированию достаточно сложным математическим понятием, восприятие которого при других условиях требует определенной подготовки.

Преобразование графиков, как метод работыиспользуется на восьмом году обучения, когда в теоретическом аспекте изучаются два преобразования: параллельный перенос и растяжение графика [3].В некоторых учебных пособиях материал с заданиями на растяжение графика функций представлен только на девятом году обучения. Задания на преобразование графиков функций более сложны, нежели вышеперечисленные, в связи с чем, прежде чем приступить к их выполнению, у обучающегося необходимо сформировать часть понятийного аппарата и дать понимание самого смысла функции, как математической категории. При соблюдении данных условий задания на преобразование графиков усиливают познавательную активность обучающихся, что отвечает как требованиям федеральных государственных образовательных стандартов, так и условиям системно-деятельностного подхода.

Использование функциональной символикицелесообразно начинать с седьмого года обученияпосле начала изучения функций. Для наилучшего овладения функциональной символикой необходимо предлагать обучающимся примеры, нацеленные на осознание смысла символьной записи функции. Педагогический опыт показывает, что недостаточное владение функциональной символикой вызывает ряд существенных затруднений у обучающихся. В частности, школьники, как правило, не могут исследовать функцию на четность не вследствие того, что не знают определений четной или нечетной функции, а потому, что не понимают значения записи f(-x). Зачастую обучающиеся испытывают затруднения с нахождением производной в силу лишь технических трудностей и недостаточного понимания смысла записи f(x + ?х), в связи с чем, они не могут составить выражение для приращения функции даже в элементарных случаях. Данный факт означает, что соответствующая работа по изучению функциональной символики была в недостаточной степени проведена в седьмом, восьмом и девятом классах.

Кусочные функции, во многих случаях являются математическими моделями реальных жизненных ситуаций. Использование кусочных функций при изучении функциональной линии способствует преодолению заблуждения обучающихся, отождествляющих функцию лишь с ее аналитическим заданием в виде формулы [31].

Введениекусочных функций готовит и в пропедевтическом и в мотивационном ключе понятие непрерывности, кроме того, применение на уроках заданий на кусочные функциипозволяет педагогуразнообразить систему упражнений, что позитивно отражается на поддержании интереса обучающихся к предмету, а также формирует творческуюактивность при решении задач. Не следует отбрасывать и воспитательный момент, так как нестандартные задания воспитывают умение принять решение, зависящее от правильной ориентировки в тех или иных условиях, что также отвечает требованиям федеральных государственных образовательных стандартов по формированию личности «профессионального ученика» и является положительным фактором при системно-деятельностном подходе.

Чтение графика функции выступает наиболее фундаментальным методом изучения функциональной линии.Обучение описанию по графику свойств функции и переходу от заданной геометрической модели к вербальной, табличной или аналитическойформирует у обучающихся навыки работы с информацией и ее преобразования.

На седьмом году обучения перевод из одних видов информации в другие достаточно беден, но по мере появления новых свойств функций и углубления знаний о ней он становится богаче, что обуславливает понимание обучающимисяповышение собственного уровня знаний, что соответствует принципу осознанности в теории развивающего обучения.

Уже на девятом году обучения наличие в курсе алгебры достаточно большого числа свойств функций позволяет сделать процесс чтения графика разнообразным, интересным и многоплановым. У обучающихся появляется возможность составить довольно четкий «словесный портрет» функции по ее графику.В заключение следует отметить, что для достижения наилучшего результата в изучении функциональной линии необходимо использование на уроках всех шести перечисленных направлений инвариантного ядра понятия функции. При этом степень использования того или иного направления следует соотносить с личностными и возрастными особенностями обучающихся.

Подобная система обучения позволит реализовать индивидуальный подход к ученикам, что также предусмотрено требованиями федеральных государственных образовательных стандартов, отвечает условиям системно-деятельностного подхода в обучении и необходимо при изучении такого основополагающего раздела математики, как раздел «функции».

§3. Типы уроков при реализации функциональной линии в рамках системно-деятельностного подхода

Системно-деятельностный подход выступает методологической основой федеральных государственных образовательных стандартов в силу того, что он нацелен на развитие личности и формирование гражданской идентичности ребенка. В связи с тем, что основной формой организации обучения является урок, то для реализации системно-деятельностного подхода педагогу необходимо учесть принципы построения урока в рамках данного подхода, типологию уроков и критерии их оценивания.

Системно-деятельностный подход в корне меняет содержание образования, его методы и форм. Планируемый результат образования, в отличие от прежнего, традиционного его толкования, формулируется в виде конкретных задач:

· Зачем учить? Данная задача предполагает постановку цели изучения того или иного материала.В рамках изучения функциональной линии ответ на данный вопрос предполагает, что цель обучения - формирование у обучающегося целостного представления о зависимостях в мире и навыков метапредметных действий.

· Чему учить? При ответе на этот вопрос подразумевается раскрытие содержания образования. Содержание материала функциональной линии в контексте системно-деятельностного подхода подразумевает, выявление обучающимся общих закономерностей функций, развитие навыков оперирования ими, владение понятийным аппаратом, умение применять полученные знания на практике.

· Как учить? Задача, определяющая выбор методики, при помощи которой будет происходить изучение материала.Среди многообразия методов изучения функции в системно-деятельностном подходе необходимо отдавать предпочтение тем, которые нацелены на формирование навыков у обучающегося и достижение метапредметных результатов.

Системно-деятельностный подход, таким образом, меняет цели и содержание образования, а также, обуславливает появление новых средств и технологий обучения. В частности, для реализации системно-деятельностного подхода формулировка учебных заданий должна быть построена качественно новым образом.

Задания в условиях системно-деятельностного подхода должны быть направлены на формирование следующих навыков:

· Навык мнемонического воспроизведения.

· Навык извлечения и описания информации;

· Навык структурирования и переработки информации;

· Навык осмысления, оценки и интерпретации информации;

· Навык творческого применения информации [5].

В таблице 1 представлены примерные формулировки заданий, исходя их необходимости формирования учебных навыков обучающегося в рамках системно-деятельностного подхода:

Таблица 1

Формулировки учебных заданий, позволяющих сформировать учебные навыки обучающихся в рамках системно-деятельностного подхода

Навык мнемонического воспроизведения	Навык извлечения и описания информации	Навык структурирования и переработки информации	Навык осмысления, оценки и интерпретации информации	Навык творческого применения информации
1. Дайте определение линейной функции; 2. Сформулируйте отличия линейной функции от других видов функций; 3. Перескажите основные признаки графика параболической функции; Сделайте по образцу перенос графика функции;	1. Опишите процесс построения графика функции по формуле; 2. Перечислите факторы, влияющие на форму графика функции; 3. Дайте характеристику основных видов функций; Понаблюдайте за превращением графика функции при изменении значения переменной;	1. Составьте план исследования функции; Выполните исследование функции; 2. Подготовьте доклад о свойствах гиперболической функции; 3. Укажите главное свойство линейной функции;	1. Проанализируйте график линейной функции; 2. Укажите сходство и различия гиперболической и параболической функций; 3. Сопоставьте минимальные и максимальные значения функции; 4. Найдите закономерности изменения положения графика функции при изменении значения переменной; Объясните, чем обусловлены свойства линейной функции;	1. Выскажите своё мнение о свойствах параболической функции; 2. Предложите способ решения трансцендентного уравнения при помощи графика; 3. Исследуйте график функции; 4. Предложите объяснение свойствам параболы;

В рамках системно-деятельностного подхода, организация деятельности обучающихся на уроке осуществляется путем постановки цели деятельности, планированиядействий для реализации поставленной цели, собственно деятельности и рефлексии полученных результатов.

В условиях системно-деятельностного подхода уроки по целеполаганию подразделяют на четыре основные группы:

· Урок открытия нового знания;

· Урок общеметодологической направленности;

· Уроки рефлексии;

· Урок развивающего контроля [47].

Деятельностная задача урока открытия нового знания представляет собой формирование способности обучающихся к новому способу действия, что согласуется с условиями системно-деятельностного подхода, предполагающего собственно обучение конкретному действию. Образовательная задача урока открытия нового знания - это расширение понятийной базы обучающегося при помощи включения в нее новых элементов. При изучении функциональной линии основной деятельностной задачей является формирование навыка преобразования информации из текстовой в аналитическую, графическую, табличную. На уроках данного типа целесообразно давать задания на чтение графика функций, составление таблиц значений функции, построение графика по формуле. При помощи подобных заданий достигается и формирование понятийного аппарата обучающегося. На уроках данного типа, с целью закрепления понятийного аппарата целесообразно включить задания следующего типа: «Объясните, чем обусловлены свойства линейной функции?», «Выявите отличия линейной функции от других видов функций на основании ее графика?». Также полезно предложить задания на сравнение, например: «Сравните два графика функции, в чем их основные отличия, каким функциям они принадлежат?».

Деятельностнаязадача урока рефлексии предполагает становление у обучающихся способностей к рефлексии коррекционно-контрольного типа, а также, фиксирование собственных затруднений в деятельности, выявление их причин, построение и осуществление плана выхода из затруднения. Образовательная задача урока рефлексии подразумевает коррекцию и тренинг изученных понятий, фактов и алгоритмов. На уроках рефлексии в рамках изучения функциональной линии необходимо организовывать взаимодействие обучающихся между собой по поиску затруднений, возникших при изучении материала раздела «функции». Для организации следует давать задания в парах по взаимопроверке, и также использовать методики групповой работы. Данный подход не только позволит грамотно провести рефлексию, но и сформирует ряд коммуникативных универсальных учебных действий, что отвечает требованиям ФГОС второго поколения. Для урока рефлексии задания должны быть сформулированы с целью формирования познавательной активности обучающихся, например: «Почему описание графика параболы вызвало у вас трудности и как можно их преодолеть?», «Какой тип функции вызывает наибольшие сложности при запоминании ее свойств и почему?», «Как можно ускорить процесс нахождения минимума и максимума функции?». Также полезно задавать стандартные для процесса рефлексии вопросы: «Что понравилось?», «Что вызвало сложности?», «Что осталось непонятным?».

Деятельностная задача урока общеметодологической направленности предполагает формирование способности обучающихся к новому способу действия, приуроченному к построению структуры изученных понятий, фактов и алгоритмов. Образовательная задача такого урока - это выявление теоретических основ построения содержательно-методических линий. При изучении функциональной линии данный тип урока является одним из самых важных, в силу того, что он позволяет обучающимся систематизировать полученную информацию. Задания на уроках общеметодологической направленности должны показывать взаимосвязь различных элементов материала. Одним из примеров подобного упражнения может являться отображение одной функции в разных видах - в виде графика, формулы, таблицы, теоретического описания, таким образом, у ученика формируется целостное представление о функции и возможности ее отображения в различных вариантах. Наиболее продуктивными вариантами контроля полученных знаний обучающихся является самоконтроль и взаимоконтроль. При изучении функции на уроках такого типа также целесообразно организовать работу в парах, когда обучающиеся проверяют контрольные работы друг друга, после чего они отдаются на проверку педагогу. Выставление оценки может быть и по результатам контрольной работы и по результатом поиска ошибок у соученика. Педагогический опыт показывает, что обучающиеся проверяют ошибки друг у друга строже, нежели сам учитель. Заданиями для урока общеметодологической направленности могут быть следующие: «Сгруппируйте виды функций по их основным свойствам?», «Проанализируйте виды функций?», «Объясните данное свойство функции». Также целесообразны упражнения на повторение материала.

Деятельностнаязадача урока развивающего контроля - это становление способности обучающихся к реализации контрольной функции, а образовательная задача подразумевает собственно контроль и самоконтроль изученных понятий, фактов и алгоритмов.

Механизм деятельности по контролю в рамках уроков развивающего контроля предполагает четыре этапа работы:

1. Предъявление контролируемого материала.

2. Подбор понятийно обоснованного эталона для контроля, а не его субъективной версии.

3. Сопоставление проверяемого материала с эталоном по определенным критериям.

4. Анализ результата сопоставления попредварительно обоснованным критериям.

На основании этого, уроки развивающего контроля предполагают организацию деятельности обучающегося по следующей структуре:

· Написание обучающимися контрольной работы.

· Сопоставление результатов контрольной работы с объективно обоснованным эталоном выполнения этой работы.

· Оценка обучающимися результата сопоставления на основании ранее определенных критериев[48].

В качестве примера материала для урока развивающего контроля можно привести процесс контроля усвоения материала в теме линейной функции. Результатом изучения линейной функции является формирование у обучающихся следующих навыков:

· Навык построения графиков линейной функции;

· Навык поиска по значению аргумента соответствующего значения функции и производство обратного действия;

· Навык определения расположения графика на оси координат в зависимости от коэффициента;

· Навык описания расположения графика по формуле, задающей функцию, и производство обратного действия.

При вынесении на контроль материала по линейной функции целесообразно включить разнородные задания.

Для устной работы полезно задать ряд таких вопросов, как: «Какой вид имеет формула, задающая линейную функцию?», «Из данных функций выделите линейные: у=-2,4х-4; 2. у=4х 3. у=3х-4; 4. у=0,2х-4», «Что представляет график линейной функции?», «Сколько точек необходимо для построения графика линейной функции?»

Для письменной работы целесообразно включить следующие упражнения: «Постройте график функции у=4х-6 и по графикунайдите значение у, при котором х=2; 1; 0,5 и значение х, при котором у= -1; 1; -3», «Постройте графики функций у=3х-4 и у=3х+2,5 в одной системе координат, чем обусловлено их взаиморасположение?», «Выясните, проходит ли график функции у=-3х+8 через точки: А (2;2) и В (11;15)».

Также полезно включить ряд заданий на обобщение, используя их в процессе фронтального опроса по линейной функции, в частности: «Среди указанных функций назовите те, графики которых: проходят через начало координат, пересекают ось ординат в точке с положительной (отрицательной) ординатой, параллельны оси абсцисс», «Выделите функции, графики которых составляют с осью абсцисс острый угол и тупой угол».

При выполнении вышеуказанных заданий полезно использовать процесс взаимопроверки и взаимооценки обучающимися друг друга, так как при таком подходе более эффективно проходит процесс запоминания и обобщения основных моментов изученного материала и его систематизации, что, в свою очередь, и является целью урока контроля.

В отличие от урока контроля, урок открытия нового знания на основе системно-деятельностного подхода обладает более сложной структурой, также включающей несколько этапов.

Первый этап - мотивирование обучающихся к учебной деятельности предполагает осознанное вхождение ученика в пространство и сферу учебной деятельности на уроке. Мотивирование к учебной деятельности состоит из трех компонентов: актуалация требования к ученику со стороны учебной деятельности, так называемый, компонент «надо», создание условий для становления внутренней потребности ученика включиться в учебную деятельность - компонент «хочу» и установление тематических рамок, компонент «могу». При изучении функциональной линии на данном этапе целесообразно показать практическое применение функций в жизни: в быту, профессиях, науке и технике.

В процессе мотивации к учебной деятельности происходят процессы адекватного самоопределения ученика в учебной деятельности и самополагания в ней. Данные процессы предполагают сопоставление и сравнение обучающимся своего реального «Я» с образом «Я -идеальный ученик», и осознанное подчинение системе нормативных требований учебной деятельности, на основе этого сопоставления, а также, выработку внутренней готовности к обучению.

Второй этап, предполагающий актуализацию и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии, организует подготовку и мотивацию обучающихся к самостоятельному выполнению пробного учебного действия, его реализации и фиксации индивидуального затруднения.

Таким образом, этап актуализации предполагает:

· Актуализацию освоенных способов действий, необходимых для построения нового знания, а также, их обобщение, анализ и фиксацию.

· Актуализацию мыслительных операций и познавательных процессов, необходимых для данных способов действий.

· Мотивацию к пробному учебному действию и его самостоятельное осуществление

· Фиксацию индивидуальных трудностей и проблемпри выполнении пробного учебного действия или его обосновании.

На этапе актуализации следует напомнить обучающимся, когда ранее в школьном курсе математики они сталкивались с различными зависимостями, например, при решении задач на скорость, время, расстояние, и насколько простым и логичным был тот давний материал.

Третий этап подразумевает работу по выявлению места и причины затруднения. Для решения данной задачи обучающиеся должны осуществить следующие действия:

· Восстановить выполненные операции и зафиксировать место возникновения затруднения.

· Соотнести и сравнить собственные действия с используемым способом действий, на основе чего выявить и зафиксировать причину затруднения(конкретные знания, умения инавыки, которых недостает для решения задачи и задач такого класса).

На данном этапе следует выявить, какие свойства, виды отображения или типы функций (в зависимости от содержания урока) вызвали наибольшее затруднение и по какой причине. Основной причиной, как правило, является новизна и «непривычность» материала, так как тема функции является первой в школьном курсе математики, совмещающей элементы алгебры, геометрии и математического анализа.

Четвертый этап работы подразумевает построение плана или проекта выхода из выявленного затруднения. Обязательными компонентами подобного проекта являются тема, цель, способ, план и средство.

На этапе проекта выхода из затруднения обучающиеся в коммуникативной форме обдумывают проект будущих учебных действий.Они ставят цель, каковой в большинстве случаев выступает устранение возникшего затруднения, согласовывают тему урока и способ, строят план реализации цели и определяют средства ее достижения. Педагог должен всецело руководить данным процессом, вначале с помощью подводящего диалога, впоследствии, путем побуждающего и исследовательского методов. Наилучшим выходом на данном этапе представляется предложение ученикам ряда заданий на исследование функций и продолжение решения упражнений такого типа на пятом этапе, однако, уже с подведением итогов.

Пятый этап включает в себя реализацию построенного проекта, подразумевающую обсуждение разнообразных вариантов, предложенных обучающимися, и выбор оптимального из них. Построенный на этапе проектирования способ действий используется для решения задачи, вызвавшей затруднение. В завершение этапа уточняется характер вновь полученного знания и фиксируется преодоление возникшего затруднения.

На шестом этапе осуществляется первичное закрепление с проговариванием во внешней речи, при котором обучающиеся в форме коммуникации, фронтально, в парах или группах, решают типовые задания на новый способ действий с проговариванием хода решения вслух.

Седьмой этап включает в себя самостоятельную работу с самопроверкой по эталону. При проведении седьмого этапа предпочитается индивидуальная форма работы, при которой обучающиеся самостоятельно выполняют задания нового типа и реализуют самопроверку, пошагово сравнивая полученный результат с эталоном. В завершение седьмого этапа существует необходимость организации исполнительской рефлексиипроцесса реализации построенного проекта учебных действий и контрольных процедур.

Эмоциональная направленность седьмого этапа состоит в организации для каждого обучающегося ситуации успеха, мотивирующей его к включению в дальнейшую познавательную деятельность. Шестой и седьмой этапы наилучшим образом организуются при работе и взаимопроверке знаний в парах самими обучающимися друг у друга.

Восьмой этап подразумевает включение в систему знаний и повторение пройденного материала.На восьмом этапе выявляются практическая значимость нового знания и границы его применимости, а также, выполняются задания, в которых новый способ действий предусматривается как промежуточный шаг.

При организации восьмого этапа педагог подбирает задания, в которых тренируется использование изученного материала, имеющего методическую ценность для введения в дальнейшем новых способов действий. На восьмом этапе происходит как автоматизация умственных действий по изученным нормам, так и подготовка к введению в будущем новых норм. При изучении функций на данном этапе необходимо выработать автоматизированный навык построения графиков, определения их свойств, переведения графиков в формулы. Для достижения автоматизма необходимо дать ряд разнородных заданий из каждой ранее изученной темы раздела «функции» [42].

Девятый и итоговый этап включает рефлексию учебной деятельности на уроке.На данном этапе фиксируется новый материал, изученный на уроке, и организуется самооценка учениками своей учебной деятельности. В завершение этапа рефлексии соотносятся ее цель и результаты, устанавливается степень их соответствия, и намечаются дальнейшие цели деятельности [39].

Существуют иные варианты типологии урока в рамках системно-деятельностного подхода, но все они, так или иначе, согласуются с приведенной выше классификацией.

Типология урока для работы может быть выбрана любая, отвечающая условиям системно-деятельностного подхода, однако при построении урока в рамках системно-деятельностного подходаследует иметь ввиду критерии результативности урока, вне зависимости от того, какая типология выбрана.

Таким образом, независимо от цели и вида урока, а также, форм его проведения для реализации системно-деятельностного подхода следует придерживаться следующих правил:

· Цели урока необходимо задавать с тенденцией передачи функции от педагога к обучающемуся.

· Педагог должен систематически обучать детей осуществлять рефлексивное действие, в частности, оценивать собственную готовность, обнаруживать пробелы в знаниях, находить причины затруднений и проблем.

· Следует использовать разнообразные формы, методы и приемы обучения, повышающие степень познавательной активности обучающихся в учебном процессе.

· Педагог должен владеть технологией диалогового взаимодействия и учить обучающихся грамотнозадавать и адресовать вопросы.

· Педагог должен продуктивно и адекватно цели урока сочетать репродуктивную и проблемную формы обучения, а также обучать детей работать как по утвержденному алгоритму или правилу, так и творчески.

· Необходимо четко ставить перед обучающимися учебные задачи и заранее определять критерии самоконтроля и самооценки, с целью становления у детей специальной контрольно-оценочной деятельности.

· Необходимо добиваться осмысления учебного материала всеми обучающимися, используя для этого специальные технологии, методы и приемы.

· Педагог должен оценивать реальное продвижение каждого обучающегося, максимально создавать для каждого ситуации успеха, поощрять и поддерживать минимальные достижения.

· Педагог должен заранее планировать коммуникативные задачи урока.

· Педагог должен принимать и поощрять, выражаемую учеником, собственную позицию или мнение, а также, обучать корректным формам их выражения.

· Стиль и тон отношений, задаваемый на уроке, а также обстановка урока должны создавать атмосферу сотрудничества, сотворчества и психологического комфорта.

На основании вышеизложенного, следует отметить, что поиск идеальной формы урока, соответствующей условиям системно-деятельностного подхода, является одной их основных целей научных и методических поисков как ученых-педагогов, так и педагогов-практиков.

Повышение продуктивности урока и реализация системно-деятельностного подхода предполагает решение качественно новых задач:

· Целеполагание с учетом личностных и возрастных особенностей обучающихся, а также, их способностей, возможностей и интересов.

· Конструирование содержания образования таким образом, чтобы оно способствовало «обучению действию».

· Совершенствование форм, технологий и методов обучения.

· Постоянное психолого-педагогическое сопровождение образовательного процесса.



Глава III. Практическая организация системы изучения функциональной линии в системно-деятельностном подходе

§1. Изучение функциональной линии по различным учебным пособиям

На основании анализа различных учебных пособий, сделанного выше, можно заключить, что в большинстве учебниковдля введения функции в школьный курс математики используется конкретно-индуктивный путь.

В связи с этим, для наиболее полного усвоения функциональной линии обучающимися полезно использовать метод проблемного изложения при введении понятия функции, в частности, разобрать ряд задач и упражнений с подчёркиванием характерных признаков функции, например, зависимости одной переменной от другой или однозначностиэтой зависимости. При рассмотрении признаков функции примеры должны быть представлены разнообразно, несущественные признаки должны варьироваться по содержанию. В частности, к несущественным признакам можно отнести способ задания функции: формула, график, таблица.

Подобный подход в том или ином элементе прослеживается в большинстве исследованных учебных пособий, исключением из них является линия учебников Л.В. Кузнецовой, где прослеживается противоположный подход - повышенный акцент сделан именно на способе задания функциональной зависимости, и способ задания функции и его вариативность отнесены к числу характерных и основных признаков функции.

При этом, несмотря на сравнительное единообразие подходов к введению понятия функции в различных учебных пособиях, в большинстве из них будет целесообразно подобрать несколько контрпримеров для различных способов задания функции, и помимо этого, выделить критерииопределенияфункциональности каждой зависимости при различных способах задания функции.К числу таких критериев можно отнести следующие:

· В тех вариантах упражнений и работы, когда функция задана графически, любая прямая, параллельная оси ординат, должна пересекать график не более чем в одной точке.

· В тех случаях, когдафункция задана таблицей, в первой строчке не должно присутствовать двух одинаковых чисел.

· При варианте задания, когда функция задана аналитически, необходимо предусмотреть единственность значений соответствующих зависимости.

В учебных пособиях Л.В. Кузнецовойпри введении понятия «функция» сделан акцент на переход от одного способа задания функции к другому. При этом в других линиях учебников данный переход осуществляется по схеме: «аналитическая модель-таблица-график». Однако только в учебниках под редакцией С.А. Теляковского для введения конкретных функций использована более эффективная схема подачи материала:«словесная модель-таблица-график-аналитическая модель».

Следует отметить, что отнюдь не во всех линиях учебников созданы условия, позволяющиеобучающимся понять, что одна и та же функция может быть задана и формулой, и таблицей, и графиком. Кроме того, не в одном из исследованных учебных пособий не конкретизировано, что не всякая функция, заданная графически, может быть задана в виде формулы, в частности, к таковым относятся кардиограммы.

Следует отметить, что среди всех исследованных учебников, только в учебных пособиях линии А.Г. Мордковича при введении конкретизирован смысл и значение буквы «f», означающей закон соответствия.

Немаловажным фактором при освоении обучающимися материала функциональной линии является наличие разливных способов исследования функций. В данном разделе необходимо средствами, которыми владеют обучающиеся, устанавливать все свойства функции.

В большинстве учебных пособий, исследованных ранее, выделяют три основных способа исследования функции, а именно: аналитический, подразумевающий исследование функции элементарными средствами и исследование с помощью производной, графический и комбинированный.

Продуктом аналитического метода выступает построение графика функции, зачастую, при исследовании используются уравнения и неравенства. В случае графического метода по точкам строится график, с которого, в свою очередь, считываются свойства.

В случае комбинированного методавозможно его использование в двух вариантах. В первом случае часть свойств функции обосновывается аналитически, а часть - графически. Во втором случае первоначально выстраивается график по точкам, после чего считываются свойства функции, затем они доказывается без опоры на график.

Следует отметить, что ни в одном из учебных пособий нет чёткого разграничения языков, на которых рассматриваются свойства функций: словесный, графический, аналитический. Предпосылки к этому просматриваются в учебных пособиях А.Г. Мордковича и учебниках К.С. Муравина и Г.К. Муравина.

...