Изучение функциональной линии с позиций системно-деятельностного подхода

Для всех проанализированных учебников характерна единая схема для чтения свойств функции.

Область определения функции при аналитическом методе определена как значения, которые может принимать переменная «х» в формуле.При графическом методе область определения представляет собой множество абсцисс.

Область значений функции при аналитическом методе определена, как переменная «у» в формуле, принимающая значения. При графическом методе область значений представляет собой множество ординат точек графика.

Нули функции определены корнями уравнения, значением «х», в случае графического метода нули функции представляют собой абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс. Нули функции конкретизированы далеко не во всех учебных пособиях. Относительно точно они определены в учебниках под редакцией С.А. Теляковского.

Значения, которые принимает функция при различных значениях функции определяются по значению «х», а также по положению графика относительно осей координат.

Возрастание и убывание функции также определено и аналитическим и графическим способом.

При этом далеко не во всех учебных пособиях установлены схемы изучения для отдельно взятых функций. Более детальный подход к анализу и исследованию отдельных типов функций прослеживается в учебниках К.С. Муравина и Г.К. Муравина, Г.В. Дорофеева (в большей степени) и С.А. Теляковского (в меньшей степени).

Схема в двух этих линиях учебных пособий достаточно сходна, и осуществляется в несколько этапов:

· Первым этапом рассматривают конкретные ситуации или задачи, приводящие к данному типу функции. Первый этап изучения характерен тем, что обучающиеся должны убедиться в целесообразности изучения данной функции, исходя из условий реальной жизни, практики или необходимости дальнейшего развития теории.

· Второй этап представляет собой формулировку определения данной функции и запись функции формулой, провести исследование входящих в эту формулу параметров.На втором этапе изучения обучающиеся получают общее и целостное представление о данной функции, о её характеристических свойствах, выделяющих данную функцию из множества других.

· Третий этап предполагает ознакомлениеобучающихся с графиком данной функции. Третий этап предполагает то, что обучающиеся учатся изображать изучаемую функцию графически, а также, отличать по графику данную функцию от других, устанавливать влияние параметров и свойств функции на характер графического изображения функции.

· Четвертый этап предполагает исследование функции на основные свойства, такие, как области определения и значений функции, ее возрастание и убывание, промежутки постоянства, нули функции, экстремумы функции, чётность или нечётность, периодичность, ограниченность, непрерывность.

· Пятый этап предполагает использование изученных свойств функций при решении различных задач, например, уравнений и неравенств.

Пятый этап является заключительным этапом закрепления основных понятий и теоретических положений функциональной линии, связанных с изучаемой функцией, а также этапом формирования функциональных знаний, умений и навыков.

Данная методическая схема может быть своеобразным планом - программой для изучения любой функции, которую можно рекомендовать для включения во все линии учебников математики. Однако следует учитывать тот факт, что содержание материала и практика обучения вносят в данный план-схему соответствующие коррективы, и кроме того, они подходят не для всех типов функций.

Также необходимо отметить, что для целостного и системного изучения функциональной линии следует уже на этапе пятого и шестого годов обучения проводить функциональную пропедевтику. При этом придерживаться подхода, при котором введение понятия «функция» вводится конкретно-индуктивным путём в случае генетического подхода, а исследование конкретных функций проводить комбинированным методом.

В наибольшей степени данным требованиям, позволяющим полно и целостным образом изучить функциональную линию, отвечают учебники Дорофеева.

УчебникиГ.В. Дорофеева, а также учебникиК.С. Муравина и Г.К. Муравинаначинают и продолжают линию учебных комплектов и развивают идеи, которые заложены в общей концепции курса математики. Переход к учебникам для средней и старшей школы можно осуществить, как после учебников Г.В. Дорофеева для начальной школы, так и после других учебников по математике, в силу того, что содержание алгебраического и арифметического блоков совпадают с содержанием других учебников для седьмого, восьмого и девятого классов.

В учебниках под авторствомК.С. Муравина и Г.К. Муравина, а также, Г.В. Дорофеева теоретический материал курса математики изложен достаточно полно и интересно, в учебниках содержится достаточное количество фактов из истории математики, что делает его ещё более интересным и позволяет реализовать элементы системно-деятельностного подхода, в частности, сформировать ряд метапредметных результатов. Минусом в изучении функциональной линии является то, что в учебниках Г.В. Дорофеева содержится много сведений приведенных без доказательств, но есть и много задач на доказательство.

Отличительной чертой учебных пособий как Г.В. Дорофеева, так и К.С. Муравина является наличие системы задач, разделенной на две части по уровню сложности. В первой части помещены упражнения, которые требуют от учеников лишь умений решать по алгоритму, а во второй части даны упражнения, при решении которых требуется умение мыслить и анализировать. В каждой из второй групп (более сложные задачи) содержится задача-исследование. Такой подход позволяет использовать проблемный и исследовательский методы в изучении функциональной линии.

Необходимо отметить, что в учебниках Г.В. Дорофеева, А.Г. Мордковича и С.А. Теляковского формулировки упражнений достаточно интересны, многообразны кроме того, в них прослеживается практическая направленность и связь с другими науками, в частности, физикой и геометрией. Эти три автора много внимания уделяют вычислительной культуре обучающихся и обеспечивают уровневую дифференциацию в обучении.

В линиях учебниках С.А. Теляковского, Г.В. Дорофеева,К.С. Муравина и Г.К. Муравинаполучают дальнейшее развитие арифметическая, алгебраическая и вероятностно-статистическая линии курса математики. Данные учебные пособия содержат большое количество разнообразных упражнений и дополнительный материал в рубрике «Для тех, кому интересно» (учебники Г.В. Дорофеева).

В учебниках Г.В. Дорофееваи С.А. Теляковскогосодержание полностью соответствует современным образовательным стандартам, учтены многолетние результаты опыта преподавания математики, а также отражены современные методические и педагогические тенденции, в частности, усилено внимание к формированию вычислительной культуры и математических компетенций в современном понимании. Кроме того, впособиях уделено внимание обучению логическим приёмам решения задач.

Кроме того, особенностью учебников Г.В. Дорофеева является то, что часть материала, в частности, функция, тождество, равносильность уравнений, перенесена из седьмого года обучения в восьмой и девятый. Это сделано с учетом того факта, что в старших классах основной школы уровень абстрактного мышления обучающихся гораздо выше, нежели в седьмом классе.

В учебниках Г.В. Дорофеева и С.А. Теляковского присутствует содержательная линия «Анализ данных».Ее введение обусловлено тем,что вероятностный характер многих явлений действительности во многом определяет поведение человека.

На основании этого можно заключить, что школьный курс математики должен формировать соответствующие практические ориентиры, а также формировать у детей вероятностную интуицию, конкретные способы оценки данных.

Для наиболее системно и целостно построенных учебных пособий, таких как учебники Г.В. Дорофеева, С.А. Теляковского, А.Г. Мордковича, необходимо ввести следующие методические особенности, представленные на данном этапе разрозненными элементами:

· Уровневая дифференциация.

· Организация материала таким образом, чтобы происходило неоднократное возвращение ко всем принципиальным вопросам, причём на каждом следующем этапе обучающиеся должны подниматься на более высокий уровень.

· Опора на наглядно-образное мышление.

· Развитие навыков логического рассуждения.

В настоящий момент можно сказать, что исследованные линии учебных пособий в части изучения функциональной линии в целом отличаются усиленным вниманием к формированию вычислительной культуры, арифметическим действиям. Учебники развивают у обучающихся навыки прикидки и оценки результатов действий, проверки их на правдоподобие.

В проанализированных пособиях для изучения курса математики особое внимание при изучении функциональной линии уделяется обучению арифметическим и логическим приёмам решения текстовых задач.

§2. Рекомендации по организации процесса обучения функциональной линии с позиций системно-деятельностного подхода

Знакомство обучающихся с понятием функции в комплексном варианте начинаетсяна восьмом году обучения. Предварительно на седьмом году обучения большинство авторов учебных пособий рассматривают такие виды функции, как линейная, степенные функции типа у = х², у = х³. Кроме того, изучается функции и их графики, а также, вводятся названия этих графиков.

Изучение функциональной линии определяется зависимостью или связью абсциссы и ординаты точки (понятия абсциссы и ординаты даются перед рассмотрением данных функций) [11].

Помимо этого, в большинстве учебных пособий приведены некоторые свойства графиков функций, в частности, такие, как, симметричность, расположение параболы относительно оси абсцисс (ординат), касание графика оси абсцисс (ординат). В этот же период введены понятия ветвей и вершины параболы.

Следует отметить, что при таком подходе, прослеживающемся во всех учебных пособиях, рассмотренных в данной работе, при введении функциональной линии, роль функции в курсе математики ослаблена. Это выражается в том, что разрозненно рассматриваются некоторые частные виды функций, такие, как линейная, функция обратной пропорциональности, однако не показана связь между формулами и видами функций.

Таким образом, в ходе изучения функции на седьмом году обучения можно предложить следующие методические рекомендации для педагога:

· Подчеркивать связь между формулой и видом функции.

· Соотносить формулу функции с ее графиком, с целью создания между ними связи, очевидной для обучающихся.

· Сделать акцент на практическое применение функции в жизни, так как обучающимся необходимо сформировать для себя цель изучения функциональной линии.

· Более тщательно отслеживать освоение и закрепление материала обучающимися, в силу того, что материал седьмого года обучения в функциональной линии является начальным и основополагающим, то есть большинство ошибок обучающихся проистекает из недостаточного усвоения материала седьмого года обучения.

Проиллюстрируем план изучения функций на основе инвариантных заданий на примере линейной функции (7-й класс).

На восьмом году обученияпродолжается изучение раздела «Функции», в частности, в этот период в большинстве учебных пособий рассматриваются следующие элементы функциональной линии:

1. Что такое функция?

2. Чтение графиков функции.

3. График функции.

4. Линейная функция.

5. Свойства функций.

6. Функция и её график.

При изучении первого пункта, введение математического понятия «функция» целесообразно начать с функций бытовых приборов, так как большинство учащихся на вопрос: «Что такое функция?» в качестве ответа приводили примеры функций мобильного телефона или других бытовых приборов. Для формирования у учащихся обобщенного представления о межпредметном понятии, целесообразно предложить задачи такого типа:

1) На доске в произвольном порядке представлены картинки моделей телефонов с названиями и годами выпуска и также. В произвольном порядке, записаны функции, которые появились с выпуском той или иной модели телефона. Учащимся предлагается разделить объекты, изображенные на две группы; записать в тетради элементы этих групп в два столбика; соединить стрелками каждую модель телефона с функцией, которая появилась впервые вместе с выпуском данной модели. На основании выполненных заданий учащимся предлагается заполнить пропуски,выбрав нужные слова в скобках: с помощью стрелок мы установили … между … моделей телефонов и … их функций (взаимопонимание, ответственность, соответствие; сообществом, множеством, коллективом)

2) Учащимся предлагается с помощью стрелок показать зависимость основных характеристик климата территории (температура, количество осадков, влажность) от природных условий и характеристики территорий (рельеф, широтное положение, влияние океана, преобладающие ветры).

Такая работа подводит учащихся к выделению свойств, существенных для межпредметных понятий «функция», а именно наличие двух множеств и связи между ними.

При изучении второго пункта надо дать учащимся возможность активно поработать с графиками, так как для них график является опорным образом при усвоении понятий (таких, например, как свойства функций). В ходе анализа графиков разобрать все свойства функций, которые будут изучаться в следующих пунктах. В большинстве учебниках дана система упражнений, в которых по известным графикам нужно ответить на серию вопросов. Также здесь приведены упражнения, где по данной таблице требуется построить график и проанализировать его (например, строится график температуры, а проанализировать необходимо изменение температуры в течение месяца). Кроме того, есть задания, в которых описана конкретная ситуация и дано несколько графиков, ученикам необходимо выбрать, на каком из графиков описана эта ситуация.

При выполнении отдельных упражнений (по выбору учителя) полезно предлагать учащимся самим придумывать вопросы по графикам или же рассказывать, какую дополнительную информацию можно извлечь из этого графика.

Комментарии к некоторым упражнениям:

1. Турист в течение 30 мин дошёл от лагеря до озера, расположенного в 2 км от лагеря, и, пробыв там 40 мин, вернулся обратно. На всю прогулку он затратил полтора часа. На каком из графиков изображена описанная ситуация?

Это упражнение нужно обязательно разобрать с учениками, так как именно при решении таких упражнений у учащиеся формируется умение сопоставлять функцию и её график.

2. Олег и Пётр соревновались на дистанции 200 м в 50-метровом бассейне. Графики их заплывов показаны на рисунке 2. По горизонтальной оси отложено время, а по вертикальной - соответствующее расстояние пловца от старта.

Используя графики, ответьте на вопросы:

а) Сколько времени затратил каждый спортсмен на первые 50 м; на всю дистанцию?

б) Кто выиграл соревнование? На сколько секунд он обогнал соперника?

в) На сколько метров отстал проигравший от победителя к моменту финиша?

Прокомментируйте подробно весь ход соревнований.

В этом упражнении можно посоветовать учащимся перед ответом на поставленные вопросы рассмотреть графики. Целесообразно спросить их, что обозначает каждое звено изображённых на рисунке ломаных (отрезок ломаной описывает движение спортсмена на 50-метровке). Можно предложить аккуратно карандашом обозначить вершины ломаных буквами, что поможет не запутаться при ответе на вопросы.

Дополнительно, например, можно спросить, за сколько метров от финиша Пётр обогнал Олега; за сколько секунд каждый спортсмен проплыл половину дистанции; на сколько секунд быстрее Олег проплыл первую 50-метровку и др. Полезно предложить учащимся самим придумать вопросы по графику.

Выполнение задания 2 можно обыграть в форме соревнования комментаторов спортивного состязания.

3. Используя графики, изображённые на рисунке, постройте в одной системе координат графики движения этих же спортсменов, отложив по горизонтальной оси время движения, а по вертикальной - расстояние, которое проплыл спортсмен с начала заплыва.

Определите по графику:

а) среднюю скорость движения каждого спортсмена на первой 100-метровке;

б) среднюю скорость движения каждого спортсмена на всей дистанции.

Объясните, что, с точки зрения содержания задач, означают точки пересечения графиков на вашем рисунке.

Здесь нужно посоветовать учащимся, что прежде чем строить новый график, целесообразно, используя предложенный график, составить таблицу значений новой зависимости.

Изучение функциональной линии на восьмом году обучения посвящено введению самого понятия функции и сопутствующих ему терминов, формированию представлений обучающихся о свойствах функций, а также изучению линейной функции и графика функции, как формы ее отображения.

В большинстве исследованных учебниках изложение вопроса о функциях строится на базе опыта, приобретённого обучающимися при изучении многообразных зависимостей между величинами. Кроме того, исследуетсябольшое количество графиков (и представлено множество упражнений на график функции), знакомых восьмиклассникам к этому моменту.

В процессе изучения функциональной линии на восьмом году обучения акцент делается не столько на определение понятия функции, сколько на овладение обучающимися новой терминологией и символикой, своеобразное введение нового языка.

В данном ключе для педагога можно порекомендовать при формировании нового языка, приуроченного к функциональной линии,постоянно сопоставлять его с уже освоенным языком. Также можно дать рекомендацию предлагать обучающимсянеоднократно переформулировать задачу или вопрос с языка функций на язык графиков или уравнений и наоборот. Такой подход позволил бы в ходе изучения материала функциональной линии научить детей понимать эквивалентность таких формулировок, как: «определите, в каких точках график функции пересекает ось х», «найдите нули функций », «найдите корни уравнения», воспринимать их спокойно и понимать требование преподавателя.

Дополнительно при преподавании функциональной линии в восьмом классе можно рекомендовать при изложении материала сделать акцентна графики реальных зависимостей, отвести особое место практическим работам, вопросам и задачам прикладного и практического характера. Это не только позволит обучающимся более полно освоить материал функциональной линии на восьмом году обучения, но и соотносится с условиями системно-деятельностного подхода и требованиями федеральных государственных образовательных стандартов.

Кроме того, обучающиеся в восьмом классе получают общие представления о скорости возрастания или убывания функции.

При изучении возрастания и убывания функции можно порекомендовать усилить прикладную направленность при изучении материала. В частности, в случае изучения линейной функции, которой уделяется особое внимание на восьмом году обучения,необходимо четко формулировать мысль о том, что с помощью этой функции описываются процессы, протекающие с постоянной скоростью. Кроме того, при таком подходе, в процессе решения задач обучающиеся получат возможность моделировать с помощью изучаемых функций самые разнообразные реальные ситуации.

Изучение функций можно осуществить на основе инвариантных заданий.

· Рассмотрение реальных ситуаций, которые описываются математическими моделями - линейными функциями

На складе было 500 т угля. Ежедневно стали подвозить по 30 т угля. Сколько угля будет на складе через 2, 4,10 дней?

Турист проехал на автобусе 15 км от пункта Л до пункта В. Затем в том же направлении; но уже пешком, продолжил путь со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от А будет турист через 2 ч, через 4 ч, через 5 ч ходьбы?

· Определение линейной функции, сочетание различных способов ее задания

1. Что называется линейной функцией?

2. Укажите линейные функции среди заданных: а) формулой; б) таблицей; в) графиком; г) словесно.

3. Запишите формулу, задающую линейную функцию, график которой проходит через точки А (-3,3) и В (3, -3), постройте эту прямую.

4. Некоторая линейная функция задана таблицей. Задайте ее формулой, если известно, что одно из значений функции записано неверно. Например,

х	-2	-1	0	1	2
у	-8	-4	-2	1	4

5. На рисунке изображены прямые. Найдите формулы, задающие каждую из них.

6. Задачи, содержащие реальные ситуации.

7. Приведите пример реальной ситуации. Модель которой является линейная функция.

· График линейной функции. Построение и чтение графика линейной функции

1. Постройте график функции, заданной формулой (у = - 2х - 4; у = - 3х + 6, у= 1,5х - 2 и т.д) на всей области определения или на отрезке. Определите по графику: а) принадлежит ли прямой точка С (-7; 6); б) значение х(у) по известному значению у (х); в) координаты точек пересечения с осями координат; г) наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [-3; 1,2];д) при каких значения х значения функции положительны (отрицательны). С помощью графика запишите: а) несколько значений х,при которых значение функции положительно (отрицательно); б) координаты двух точек, одна из которых принадлежит графику данной функции, а другая - не принадлежит.

2. Изобразите схематично графики функций, заданных формулой, таблицей, словесно. ₍Выясните с помощью графиков, являются ли таблицы таблицами значений линейных функций. Если являются, то задайте линейные функции формулами.

3. По изображению графика линейной функцииу = к х+ bопределите знаки коэффициентов к и b.

4. По знакам коэффициентов к и bопределите примерное расположение прямой у = к х+ b

5. Объясните: может ли график линейной функции располагаться только в I и II (во II и IV; в Ш и IV; в I и III; в I и IV; во II и III) координатных четвертях?

6. Задайте число к так, чтобы график функции у = к х+ 2 был расположен в I и II (в I, II и III; в I, II и IV) четвертях.

· Функциональная символика

1. Дана функция у =f (х), где f (х)= 2х+1(f (х)= -х). Найдите:f (0), f (-1), f (0,2), f (-1/4), f (а), f (3а), f (х-3), f (х) +1, f (х) - а, f (х +2) -1, f (х+т) -п, f (2х) +4.

2. При каких значениях аргумента выполняется равенство f (х+1) =f (х+4) и др.

· Преобразование графиков функций

В данной теме это направление изучения функций рассматривается в пропедевтическом плане.

1. Дан график линейной функции у = f(x). В этой же системе координат изобразите графики функций у = -f(x),y= f (х -2), у = f (х) +3.

· Исследование функций, заданных несколькими формулами на разных промежутках

1. По графику функции (рис. справа) запишите ее аналитическое выражение

2. Дана функция у =f (х), где

Постройте график функции и по нему найдите, если это возможно,f (1/2), f (3), f (-3).

· Задания на применение свойств функций к решению уравнений, неравенств

1. Найдите точку пересечения графиков функций: у =2х -1, у = 5 - х

2. Решите графически систему уравнений:

3. С помощью графика линейной функции у=f(х),

решите уравнения и неравенства:f (х)=3, f (х), f (х), f (х)

· Частный случай линейной функции - прямая пропорциональность рассматривается в ходе изучения линейной функции.

В восьмом классе обучающимся на изучение функциональной линии отведено от четырнадцати до шестнадцати часов, за данный период вполне возможно усилить практическую направленность изучаемого материала. Это также соотносится с условиями системно-деятельностного подхода, так как целью изучения функциональной линии является не заучивание свойств функции, а вооружение обучающихся инструментами ее изучения и общематематическими навыками.

На девятом году обученияподводится общий итог изучения функциональной линии, а также, исследуется квадратичная функция.

Раздел, посвященный изучению квадратичной функции разделен на пять пунктов, четыре из которых посвящены собственно функциональной линии:

1. График и свойства функции.

2. Какую функцию называют квадратичной?

3. График функции.

4. Сдвиг графика функции вдоль осей координат.

5. Квадратные неравенства.

Цель раздела, посвященного квадратичной функции, - познакомить обучающихся с квадратичной функцией как с математической моделью, описывающей многие зависимости между величинами, научить строить график квадратичной функции и читать по нему свойства этой функции. Также, сделан акцент на необходимость сформировать умение использовать данные графика для решения квадратных неравенств [12].

Сам раздел «квадратичная функция» изучается в девятом классе с общего знакомства с функцией у = ах² + bх + с. В процессе небольшого исторического экскурса устанавливается геометрическое «происхождение» параболы и приводятся примеры использования её свойств в проектировании и технике. Подобный фрагмент, дающий начало изучению функциональной линии на девятом году обучения и сопровождаемый серией разнообразных заданий, делает дальнейшее изучение темы осознанным и целенаправленным.

После вводного экскурса изложение материала осуществляется следующим образом: первоначально рассматриваются свойства и график функции у = ах². После чего изучается вопрос о графиках функций у = ах² + q, у = а(х + р)², у = а(х + р)² + q, строящихсяпосредством сдвига вдоль осей координат «стандартной» параболы у = ах².

Заключительным этапом выступает доказательство теоремы о том, что график любой функции вида у = ах² + bх + с, может быть получен путем сдвигов вдоль координатных осей параболы у = ах².

Обучающимся предлагается по коэффициентам квадратного трехчлена ах² + bх + с представить общий вид соответствующей параболы и вычислить координаты её вершины.

На девятом году обучения в системе упражнений значительное место отводится задачам прикладного характера. В заключение темы вводится рассмотрение вопроса о решении квадратных неравенств, и, используемый при этом прием основан на использовании графиков.

В качестве общих рекомендаций по совершенствованию системы изучения функциональной линии на девятом году обучения можно предложить следующие:

· Уделять внимание практической стороне изучаемого материала, путем формулирования практической значимости функциональной линии для дальнейшей жизни вне школы.

· Соотносить график квадратичной функции с системой графиков функций других видов.

· Более тщательно исследовать совместно с обучающимися моменты сдвига графика параболы относительно разных осей координат.

· Предложить большее количество аналитических задач и упражнений, формирующих логику и последовательность рассуждений.

Ряд общих методических рекомендаций по изучению функциональной линии можно предложить исходя из требований к подготовке обучающихся после изучения данного раздела.

Обучающиеся седьмых-девятых классов должны владеть следующими умениями и навыками:

· Употребление функциональной терминологии (значение функции, аргумент, область определения, график функции, возрастание убывание).

· Понимание терминологии при чтение текста, в речи педагога, в формулировке задач.

· Узнавание содержательного смысла важнейших свойств функции.

· Умение по графику функции отвечать на вопросы, касающиеся ее свойств: указывать нули, промежутки возрастания и убывания, знакопостоянства.

· Навык поиска значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком, решать обратную задачу.

· Построение графика функций (линейной, прямой и обратной пропорциональности, квадратичной функции).

· Интерпретация в несложных случаях графиков реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы.

Для реализации данных результатов освоения функциональной линии и формирования целостного и системного понимания значения понятия функции необходимо не только в полной мере освоить материал функциональной линии, но и спланировать результаты обучения исходя из системно-деятельностного подхода.

Понимание терминологии достигается обучающимися при постоянном обращении к терминам, сопутствующим функциональной линии. В этой связи можно порекомендовать предлагать обучающимся больше заданий на перевод одного типа информации в другой: из графической в текстовую, аналитическую, табличную, а также производить обратные действия. Также необходимо разработать систему оценивания обучающихся.

Конкретизируя вышесказанное, можно порекомендовать при введении понятия функции необходимо отказаться от четкой формулировки определения. Учитывая тот факт, что в действующих учебниках нет единства в вопросе определения функции, целесообразно вводить сам термин и его определение в девятом классе, и до этого периода обучения строить теорию при отсутствии определения функции.

Само определение функции наиболее целесообразно вводить через понятие соответствия, после того, как обучающиеся накопят значительныйопыт в работе с этим понятием и вполне осмыслят его как на интуитивном, так и на рабочем уровне.

Введение определения целесообразно начинать с рассмотрения объема понятия, что позволяет не только сделать доступным учебный материал для учащихся с преобладанием образного стиля мышления, но и подвести учащихся к самостоятельному выделению свойств, существенных для понятия. А значит, подготовить к формулировке определения, что будет работать на формирование такого УУД, как умение определять понятие. Такая организация деятельности позволит реализовать и системно - деятельностный подход. Кроме того, необходимо учитывать, что в алгебре рассматривается четыре способа задания функции: аналитический, графический, табличный и словесный. Поэтому формируя объем понятия, предложить учащимся задачи, в которых рассматриваются все эти способы. К примеру, задачи на соответствие числа людей определенному моменту времени, зависимость уровня воды в емкости от времени, зависимость энергии от времени. В ходе решения задач, учащиеся отвечают на вопросы и заполняют таблицу, анализируя которую, сами могут подойти к формулировке определения «числовой функции числового аргумента».

Множество 1	Множество 2	Правило (соответствие, закон)	Единственность
Время (ч)	Число покупателей (чел)	Каждому моменту времени соответствует определенное число людей	Каждому моменту времени соответствует определенное число людей
Порядковый номер дня недели	Уровень воды в поилке (см)	Каждому дню недели соответствует определенный уровень воды в емкости	Каждому моменту времени соответствует определенное число людей
Время (ч)	Потребляемая энергия ( кВтч)	Каждому моменту времени соответствует определенное количество израсходованной электроэнергии	Каждому моменту времени соответствует определенное число людей
Число	Число

Вопросы к каждой задаче должны быть направлены на выделение двух множеств и связи между ними (общие свойства соподчиненных понятий) и на выявление природы выделенных множеств и особенность связи между ними6единственное значение зависимой переменной для каждого определенного значения независимой переменной. Результатом такой работы является запись определения понятия «функции» в алгоритмическом виде:

Функция -

Работа с такой формой определения способствует формированию у учащихся таких УУД как, выделение свойств, существенных для понятия, определение понятия и отнесения объекта к понятию.

С целью более грамотного формирования понятия функции у обучающихся полезно в ходе изучения функциональной линии рассматривать кусочные функции, в силу того, что они во многих случаях являются математическими моделями реальных ситуаций. Изучение кусочных функций помогает легче понять сам термин функции и препятствует отождествлению функций с их аналитической записью.

На основании вышеизложенного предлагается вводить понятие функции и ее свойств на девятом году обучения по следующему плану:

1. Определение числовой функции.

2. Область определения функции.

3. Область значения функции.

4. Способы задания функций и чтение графиков.

При введении критериев оценок необходимо учитывать, что для получения отметки «3» обучающимся необходимо уметь решать задачи на прямое воспроизведение теории. Отметка «4» выставляется в случае, когда обучающийся, решать задачи на прямое воспроизведение теории, кроме этого,обучающийся должен уметь решать задачи, используя перенос знаний, и задачи простого уровня имеющие нестандартный вид.Для получения отличной отметки необходимо уметь решать задачи на применение знаний в незнакомой ситуации, использовать при этом творческий перенос знаний. Также обучающийся должен решать задачи среднего и сложного уровня имеющие нестандартный вид, должен уметь решать задачи на применение не только математического аппарата, но и логического.

Обучающиеся старшей школы должны владеть следующими умениями и навыками:

· Понимание значения и содержания основных свойств числовых функций (монотонность, экстремумы, сохранение знака, наибольшее и наименьшее значение, ограниченность, периодичность) и их графическую интерпретацию.

· Определение значения функции по значению аргумента при любом способе задания функции, применяя в случае необходимости вычислительную технику.

· Узнавание геометрического и механического смысла производной.

· Умение находить производные элементарных функций, пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования суммы и произведения.

· Навык изображать графики основных элементарных функций, описывать свойства этих функций, опираясь на график.

· Навык поиска в простейших случаях первообразных функций.

· Применение производной для исследования функций в несложных ситуациях на монотонность и экстремумы.

· Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений функций.

· Вычисление в простейших случаях значения интегралов, применять интегралы для нахождения площадей криволинейных трапеций[21].

· Исходя из требований к обучающимся старшей школы, можно дать общие рекомендации по преподаванию функциональной линии в старшей школе:

· Использовать кусочные функции при изучении функциональной линии.

· Повышать степень сложности заданий по мере изучения функциональной линии.

· Связывать упражнения с вариантами применения знаний из раздела функциональной линии в реальной жизни.

· Предлагать задания на использование логических рассуждений.

Из общих рекомендаций, подходящих для любого возрастного уровня, можно сформулировать такие, как введение вариативности в обучение и учет индивидуальных и возрастных особенностей обучающихся. Также необходимо сделать акцент на развитие у обучающихся метапредметных знаний, умений и навыков и тренировку навыков вычисления. Кроме этого, следует предлагать обучающимся задания, отражающие зависимости из реальной жизни. Следование подобным рекомендациям позволят обучающимся сформировать метапредметные знания, умения и навыки, что согласуется с условиями системно-деятельностного подхода, а также отвечает концепции «профессионального ученика», разработанной в рамках федеральных государственных образовательных стандартов.

§3. Описание организации и результатов экспериментальной работы по изучению функциональной линии при обучении математике

В целях организации экспериментальной работы было проведено опытное преподавание пробных уроков из раздела функциональной линии, организованное по данным математической и методической литературы.

По методическим материалам были разработаны и проведены факультативные занятия в общеобразовательной школе по разделу функциональной линии.Занятия проводились под руководством преподавателя математики, ведущего часы в классах, на базе которых проводился эксперимент. Факультативные занятия были разработаны для седьмого, восьмого и девятого классов по три занятия для каждого класса.

Занятия представляют собой подбор упражнений на функции повышенной сложности из различных учебных пособий и методических рекомендаций. Занятия для каждого класса соответствовали материалу, изучаемому на конкретном году обучения. Старшие классы не были включены в эксперимент, поскольку интенсивное изучение функциональной линии предусмотрено только в седьмом, восьмом и девятом классах.

Сама опытно-экспериментальная работа представляла собой замер времени решения математических задач обучающимися из раздела функциональной линии. Для замера времени каждому обучающемуся были предложены три задачи - по одной из задач простого, среднего и сложного уровня. Каждый обучающийся решал на скорость все три задачи, после чего высчитывалось среднеарифметическое время решения одной (суммирование времени, ушедшего на решение трех задач и деление на три).

Обучающиеся каждого класса были разделены на три группы - базовую, куда вошли обучающиеся, имеющие среднюю оценку за первую четверть 2015-2016 учебного года по математике «3», среднюю и группу повышенного уровня, имеющие соответственно оценки «4» и «5».

По каждой группе было рассчитано среднее время решения задачи обучающимся до прохождения трех факультативных занятий и после. Время рассчитывалось как среднее арифметическое (сумма времени потраченного каждым учеником в группе, разделенное на количество учеников в группе).

При ошибке ученика в какой-либо из задач, к среднему времени прибавлялось пять минут, это позволяло условно корректировать результат и усилить чистоту эксперимента.

Данный эксперимент был организован во всех классах параллели седьмого, восьмого и девятого года обучения.

По итогам эксперимента были построены диаграммы, отражающие динамику времени, затраченного каждым обучающимся на решение задач. Результаты эксперимента в параллели седьмых классов показаны на рисунке 1.



Рис. 1 Динамика времени, затраченного на решение задач обучающимися седьмых классов.

На рисунке 1 можно проследить, что среднее время, которое обучающиеся затратили на решение задач снизилось на шесть-семь минут. Причем данная динамика отмечена не только в группе обучающихся, более способных к математике и имеющих оценку «отлично» по предмету, но и в средней и базовой группах.

Подобная же картина прослеживается для параллели восьмых классов, показанная на рисунке 2.



Рис. 2 Динамика времени, затраченного на решение задач обучающимися восьмых классов.

Причем, по рисунку 2 следует отметить, что особо положительная динамика (существенное сокращение времени, затраченного на решение задач) отмечено для базовой группы обучающихся (имеющих оценку «3» по математике), где наблюдается наиболее существенная разница между показателями времени до и после эксперимента.

В параллели девятых классов также отмечено сокращение времени на решение задач, однако в данной параллели исследовано только два класса, так как в школе, на базе которой проводился эксперимент имеется только два девятых класса, вследствие сокращения числа обучающихся (по причине ухода учеников в колледжи или профильные школы после восьми лет обучения). Динамика отражена на рисунке 3.

Кроме того, можно отметить по трем диаграммам (рисунки 1, 2, 3) общее сокращение времени на решение задач. То есть, обучающиеся седьмого года обучения в целом тратят на решение задач больше времени, нежели обучающиеся восьмого года обучения. Наиболее короткий временной период для решения задач требуется для обучающихся девятого класса, что также отражено на рисунке 3.



Рис. 2 Динамика времени, затраченного на решение задач обучающимися седьмых классов.

Таким образом, можно отметить, что проведенный эксперимент положительно повлиял на навык решения задач обучающимися на всех исследованных параллелях. Общее время, которое обучающиеся тратили на решение задач, существенно сократилось.

Необходимо отметить, что данный эффект был достигнут после проведения трех факультативных занятий, для достижения более высоких результатов необходимо вводить подобные занятия в систему.

Помимо выработки навыка решения задач, в том числе и задач повышенной сложности, в рамках факультативных занятий такого типа достигается реализация ряда условий системно-деятельностного подхода, в частности - формирование ряда метапредметных навыков, навыка логического рассуждения, навыка быстрой обработки информации (получения задания, осознания требования этого задания и его решения). Кроме того, подобные факультативные занятия тренируют память и внимание обучающихся, и позволяют лучше подготовиться к освоению курса математики в старшей школе, прохождению государственной итоговой аттестации и поступлению в высшие учебные заведения.



Заключение

По итогам исследования можно сделать следующие выводы:

1. На основании анализа учебных пособий можно заключить, что основными недостатками исследованных линий учебников является отсутствие целостности и системности изложения материала, что отрицательно сказывается на реализации системно-деятельностного подхода. Кроме того, в большинстве линий учебных пособий, за исключением учебников Г.В. Дорофеева, не прослеживается предварительной подготовки к введению понятия функции в учебный курс математики, что отрицательно сказывается на освоении материал функциональной линии. Во всех исследованных учебниках изложение материала происходит «по спирали», то есть с последовательным возвратом к основным и наиболее главным моментам и с «подъемом на ступеньку» после каждого возврата.

2. Во всех исследованных учебных пособиях существуют разрозненные элементы системно-деятельностного подхода, характерно отсутствие целостности и системности. Это также является отрицательным фактором реализации системно-деятельностного подхода в силу того, что материал раздела функциональной линии является наилучшим инструментом реализации системно-деятельностного подхода в силу своей специфики. Кроме того, функциональная линии и ее изучение является базой для формирования метапредметных знаний, умений и навыков, и при отсутствии системно-деятельностного подхода при изложении данного материала возникают трудности при формировании метапредметных знаний обучающихся. В наибольшей степени системно-деятельностный подход представлен в учебных пособиях под редакцией Г.К. Муравина О.В. Муравиной. Данный факт выражается в том, что данная линия учебников делает максимальный акцент на формирование универсальных учебных действий.

3. Основными особенностями системно-деятельностного подхода к обучению в условиях введения федерального государственного образовательного стандарта является его согласование с концепцией «профессионального ученика». Кроме того, как в условиях системно-деятельностного подхода, так и в условиях федеральных государственных образовательных стандартов сделан единый акцент - не на освоение обучающимся как можно большего количества материала, а на формирование у него навыков самостоятельного обучения и работы с информацией.

4. Следует отметить, что на современном этапе, большинство исследованных учебных пособий не приспособлено к реализации системно-деятельностного подхода, несмотря на то, что они составлены с учетом требований ФГОС. В связи с этим, целесообразным можно считать введение дополнительных факультативных занятий по математике, на которых будет происходить не изучение дополнительного материала учебного курса и изучение методов работы с материалом, в частности методов решения функциональных задач и навыков работы с функциями и их графиками.

5. Ключевыми основами изучения функциональной линии в общеобразовательной школе в курсе математики является целостность и системность этого процесса, подразумевающие, что материал должен быть изложен последовательно, во взаимосвязи его отдельных элементов, и кроме того, должен иметь опору на реальные жизненные ситуации.

6. Основная цель изучения функциональной линии в условиях системно-деятельностного подхода - это не запоминание обучающимся всех нюансов учебного материала, а понимание им взаимосвязи природных и жизненных процессов, навык их описания и логического объяснения при помощи функции.

7. Изучение функциональной линии в общеобразовательной школе при успешном ее проведении, позволяет сформировать большую часть метапредметных навыков, которыми вооружен будущий выпускник. Косвенным образом это подтверждают результаты проведенного эксперимента, показавшего, что обучающиеся затрачивают намного меньше времени на решение задач после прохождения факультативных занятий по материалу «функции», так как приобретают навык логических рассуждений.

8. Основные методические рекомендации по изучению функциональной линии при обучении математике в условиях системно-деятельностного подхода можно выделить следующие:

· Предлагать обучающимся больше творческих заданий по разделу «функции» и рассматривать ряд вопросов на реальных жизненных ситуациях.

· Делать акцент не на выполнение обучающимися большого количества упражнений, а на вооружение их навыками логического и математического рассуждения. С этой целью необходимо производить поиск нетипичных заданий на функции, которые не могут быть решены «по трафарету», и позволяющих вырабатывать и задействовать навыки логического рассуждения.

· Предлагать обучающимся самостоятельно придумывать задания по разделу «функции».

· Использовать приемы рефлексии и взаимопроверки обучающихся.

· Отдавать предпочтение активным методам обучения, таким как проблемное обучение, проблемно-исследовательский метод, учебно-исследовательская деятельность.

· Менять педагогические технологии при преподавании функциональной линии, что позволит разнообразить способы восприятия материала обучающимися, и как следствие, повысить их интерес к предмету и общую познавательную активность.

· Сочетать при преподавании функциональной линии инновационных и традиционных методов обучения.

· Комбинировать различные педагогические технологии.

· Использовать различные типы и методы рефлексии, позволяющие контролировать и корректировать результаты изучения функциональной линии.

· Соблюдать типологию уроков, пригодных для использования в условиях системно-деятельностного подхода.

· Учитывать требования ФГОС при преподавании функциональной линии и факторы, обеспечивающие реализацию системно-деятельностного подхода.

Залогом освоения материала функциональной линии являетсяработа в три этапа - планирование и постановка цели изучения конкретного материала, планомерное достижение цели, выводы и коррекция результатов (путем сопоставления цели и достигнутых результатов).

В заключение следует сказать, что поставленная цель работы достигнута, в частности, проведено рассмотрение теоретических основ обучения математике в общеобразовательной школе на примере анализа учебных пособий. Наиболее полно реализовать системно-деятельностныйподход позволяют учебники под редакцией Г.К. Муравина О.В. Муравиной. математический обучение системный

В работе также выделены основные особенности реализации системно-деятельностного подхода к обучению в условиях введения федерального государственного образовательного стандарта, в частности, такие, как акцент на формирование универсальных учебных действий, становление метапредметных навыков, в частности, навыков преобразования информации.

Также в работе проведено рассмотрение основ изучения функциональной линии в общеобразовательной школе в курсе математики. В частности, можно сделать вывод о том, что изучение функциональной линии является наилучшим инструментом и материалом для реализации системно-деятельностного подхода.

Практическая значимость данной работы состоит в том, что по результатам исследования проведена разработка методических рекомендаций по изучению функциональной линии при обучении математике в условиях системно-деятельностного подхода.

Значение и место изучения функциональной линии в курсе математики седьмого, восьмого и девятого классов различно. В учебных пособиях, исследованных в данной работе, функциональная линия не является ведущей, за исключением учебного комплекта А.Г. Мордковича. В учебниках А.Г. Мордковича этой линии отводится ключевая роль. Реализация системно-деятельностного подхода представляет собой ряд разрозненных элементов.

Во всех исследованных учебных комплектах введение понятия «функция» осуществляется конкретно-индуктивным путем, при использовании генетического подхода.

Что касается метода исследования функций, то с этой целью в большинстве учебников применяется комбинированный метод.

В линии учебных пособийГ.В. Дорофеева теоретический материал изложен достаточно интересно, наличествует много фактов из истории математики. Минусом данной линии учебников является то, что в этих учебниках большая часть сведений приведены без доказательств, хотя есть и много задач на доказательство.

Необходимо отметить, что в большинстве проанализированных учебников формулировки упражнений и задач интересны, разнообразны и в них прослеживается практическая направленность и связь с другими науками,в частности, с физикой и геометрией. Сделан акцент на становление вычислительной культурыобучающихся, кроме того, обеспечена уровневая дифференциация в обучении.

В большинстве учебников исследование конкретных функций происходит графически, аналитический и табличный методы исследования являются вспомогательными.

Обновление методов преподавания функциональной линии в школе возможно только через научно обоснованное совершенствование педагогической технологии. Любая педагогическая технология учитывает уровень и особенности развития учащихся, требования к структурированию содержания и организации предметного материала; организационные формы и методы обеспечения учебного процесса; критерии оценки эффективности педагогической технологии.

Педагогическая технология - это определенная система, реализуемая на практике. Системно-деятельностный подход является методологической основой изучения, конструирования и применения педагогической технологии.

Технологический подход имеет воплощение в построении систем обучения в прошлом и настоящем.

Каждая педагогическая технология имеет свои преимущества и недостатки. При наличии определенных условий реализация этой техники дает самые эффективные результаты, в других же условиях она может быть малоэффективной и ее целесообразно заменить другой технологией. Вопросы взаимосвязи технологий обучения, выработки критериев отбора технологий обучения являются на сегодняшний день одним из сложнейших проблем дидактики.

...