Воспитание в процессе обучения математике
История, состояние и перспективы методической подготовки будущего учителя математики. Понятие, система и реализация принципа обучения математике. Классификация методов обучение математике. Аксиоматический метод построения школьного курса геометрии.
Рубрика | Педагогика |
Вид | учебное пособие |
Язык | русский |
Дата добавления | 25.11.2012 |
Размер файла | 158,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Термин «технология» в педагогической литературе используется в различных словосочетаниях: педагогическая технология, технология личностно ориентированного образования, технология учебного процесса, технология обучения, технология развивающего обучения и т. д. В научно-педагогической литературе представлен широкий спектр трактовок этих понятий. Так, понятие педагогической технологии предлагают вводить как посредством расплывчатых, вычурных определений, так и с помощью аксиоматического метода. Приведем ряд трактовок. Педагогическая технология -- целенаправленное использование объектов, приемов, технических средств обучения, событий и отношений в учебном процессе; педагогическая технология -- концептуальная мозаика педагогических понятий; педагогическая технология -- педагогическая профессия; педагогическая технология -- комплексный интегративный процесс, включающий людей, идеи, средства, способы организации деятельности.
Термин «технология», вообще говоря, не является для нас новым, правда, ранее он связывался главным образом с производственной сферой, например, технология металлов, технология изготовления бетона и т. д. Поскольку понятие технологии в педагогику пришло из производственной сферы, то рассмотрим основные признаки технологии производственного процесса. Энциклопедия разъясняет технологию как совокупность методов обработки, изготовления, изменения состояния, свойств, формы сырья материала или полуфабриката, осуществляемых в процессе производства продукции. Технологическая карта, важнейший элемент технологии, рассматривается как форма технологической организации, в которой записан весь процесс обработки изделия, указаны операции и их составные части, материалы, производственное оборудование и технологические режимы, необходимые для изготовления изделия время, квалификация работников и т. п. Укажем еще одно понятие -- технологические теории, для которых характерно признание определяющей роли производства, техники в развитии общества и отрицание значения производственных отношений. Итак, технологизация процесса изначально предполагает достаточно глубокое знание закономерностей его функционирования и отрицание роли личностного фактора в его осуществлении. Главное в управлении технологизируемым процессом заключается в знании всех его этапов, последовательности их реализации, закономерностей протекания процесса. Очевидно, что, чем больше известно о каком-либо процессе, тем выше возможность его тех- нологизации.
В данное время в педагогических науках, в частности в методике обучения математике, известны многие закономерности процесса обучения, поэтому правомерно говорить о технологии этого процесса. Ясно, что теоретическое осмысление явления, процесса невозможно вне построения его модели. В зависимости от конкретных целей исследования ученые выбирают разные модели исследуемого процесса. Конструирование модели непременно требует отвлечения от некоторых атрибутов изучаемого феномена. Так, исследуя процесс обучения, авторы его моделей отвлекаются от личности конкретного учителя, которая имеет большое значение в реализации учебного процесса. Процесс обучения математике чаще моделируется системой, компонентами которой являются цели обучения математике, содержание математического образования, методы, формы и средства обучения математике. Появление ряда идей, в частности гуманизации и гуманитаризации образования, корректирует конструирование методической системы обучения математике введением в нее новых компонентов. Закономерные связи между компонентами системы, а также между компонентами и внешней средой образуют теорию обучения математике, обусловленную избирательной моделью процесса обучения и его внешней средой. В данном контексте методику обучения (в узком смысле) можно рассматривать как приложение теории. Например, методика формирования понятия линейной функции разрабатывается с учетом теории формирования математических понятий и специфики самого понятия линейной функции. Цель методики в узком смысле заключается в «переводе» теоретических положений в плоскость конкретных явлений. Технологии обучения призваны организационно упорядочить все зависимости процесса обучения, выстроить его этапы, выделить условия их реализации, соотнести с возможностями школьников и т. п. Можно сказать, что теория обучения математике выявляет закономерности функционирования методической системы обучения математике, методика строит их приложения, а технология разрабатывает способы реализации модели этой системы. При таком подходе технология предполагает диагностируемость целей и выявление условий (методов, средств, форм, зависимостей), т. е. проектирование процесса обучения математике, осуществление которого призвано достичь намеченных целей обучения. Таким образом, технология основывается на теории обучения математике и ее приложениях и ее эффективность зависит от уровня их развития. Мы же в понятие методики обучения математике вкладываем широкий смысл: теория, ее приложения, технология обучения математике являются составляющими методики обучения математике.
Пример. В методике обучения математике достаточно хорошо исследован процесс формирования понятий: выделены этапы формирования. известны действия, адекватные указанным этапам, разработаны типы упражнений, ориентированные на усвоение действий. Сказанное дает основание для утверждения о том, что процесс формирования понятий технологизируем. Данное утверждение истинно, если речь идет о всем процессе. Однако в нем присутствуют такие элементы, которые поддаются технологизании частично. Это касается, в частности, этапа применения понятия, особенно на творческом уровне. Его реализация осуществляется посредством задач, решение которых основывается на использовании различных эвристик. Однако даже владение большим набором эвристик не гарантирует однозначно успеха в решении задачи. Он во многом обусловлен интуицией ученика, его опытом, многими личностными качествами. Таким образом, процесс формирования понятия не может быть технологизируем во всех деталях.
Еще сложнее технологизация воспитательной сферы, где огромное значение имеет личность учителя. А все то, что идет от нее, что воспитывается в ученике благодаря ей, остается за порогом технологии обучения. Между тем масса примеров из школьной жизни говорит о том, что личность педагога может многое изменить во взглядах, потребностях, идеалах обучаемых.
Известная «методика Шаталова», по сути, является одной из технологий обучения. Она базируется на определенной совокупности теоретических положений, каждое из которых уже было известно в дидактике и методике обучения математике. В. Ф. Шаталов выделил принципы крупноблочного введения теоретических знаний, усвоения знаний на основе их многократного вариативного повторения, сочетания постоянного внешнего контроля за ходом усвоения и его оценки с самоконтролем и самооценкой, гармоничного развития репродуктивного и продуктивного мышления. В его системе принципы реализуются с помощью специальных средств (опорные сигналы, письменные и магнитофонные опросы, творческие конспекты, релейные контрольные работы, листы самоконтроля и открытый учет знаний) и приемов (циклическое развитие практических навыков учащихся, открытые мысли и т. д.).
В. Ф. Шаталов весьма грамотно отобрал адекватные теоретическим положениям средства, приемы, нашел оптимальные их сочетания и последовательность, внедрил в практику свою методическую концепцию и получил планируемые результаты. Однако попытки многих учителей следовать ему не давали столь обнадеживающих результатов. Причина этому -- особое влияние на учащихся В. Ф. Шаталова. Последователи уступали ему именно в личных качествах педагога-воспитателя. А как технологизировать воспитание у школьников уважения к чужому мнению, терпимости, способности к компромиссу и мн. др.? По-видимому, в общении обучающего и обучаемых есть такие нюансы, которые придают их отношениям неповторимость, исключающую массовое тиражирование.
9. Аксиомы, теоремы, аксиоматический метод доказательства
Изучая курс геометрии, учащиеся должны понять, что геометрические предложения логически связаны между собой. Это означает, что одни предложения можно выводить из других, не пользуясь свойствами фигур, взятыми из опыта, наблюдений, «наглядных соображений». Процесс получения логических следствий называют рассуждениями или доказательствами. Такой способ доказательства предложений (с помощью логических выводов) является не отдельным примером в курсе геометрии, а продуманной системой.
Всякая теорема в геометрии доказывается с помощью логических рассуждений, получается как логическое следствие раннее известных предложений. Но доказать логически все предложения геометрии невозможно. Поэтому некоторые предложения геометрии, принимаемые без логического доказательства, называют аксиомами геометрии.
Таким образом, некоторые предложения геометрии принимаются без логического доказательства - аксиомы, а все другие ее предложения - теоремы - могут выводиться из этих аксиом как логические следствия. Каждая математическая теория начинается с формулировки таких предложений (аксиом), которые в этой теории считаются соблюдающимися с полной строгостью, хотя их происхождение не так просто увидеть.
Ответим на вопрос «В чем состоит логическое строение геометрии?»:
-перечисляются без определений основные геометрические понятия;
-с их помощью даются определения всем остальным геометрическим понятиям;
-формулируются аксиомы;
-на основании аксиом и определений доказываются теоремы.
В течение последних десятилетий было несколько попыток построить курс школьной геометрии на базе немногочисленных аксиом, причем с достаточно высокой математической строгостью этого построения. Однако срабатывало много факторов, которые не позволяли добиться больших успехов. Прежде всего в условиях массовой школы и обучения учащихся в раннем возрасте просто невозможно хотя бы потому, что для такого изучения геометрии просто нет учебного времени. Раннее знакомство с аксиоматикой и аксиоматическим построением не дает своего эффекта даже для способных к математике учащихся.
Однако изложение геометрического материала, лишенное какой-либо основы, не закладывающее возможности обосновывать и доказывать рассматриваемые утверждения, никому не нужно. При таком изложении вся роль курса геометрии в общем развитии и математическом образовании учащихся резко уменьшается. Немногочисленные аксиомы, которые появляются в курсе геометрии - это традиционные аксиомы пространства. Их наглядность, доступность, проверенность практикой не вызывает сомнений и обеспечивает тот важный уровень логического и общего развития, который необходим и ставится курсом «Геометрия 5-11».
Математики и методисты отмечают, что нет хорошей глобальной аксиоматики для обучения геометрии. Е.Тоцки выделяет три основных направления изучения геометрии.
Первое направление. Отбрасываем мнение о том, что к обучению геометрии в школе можно и нужно подходить как к глобально и дедуктивно организованной системе знаний. Геометрия становится источником превосходных тем для начала активной деятельности учеников на различном уровне.
Второе направление. По-прежнему пытаемся изучать геометрию, изложенную в аксиоматической и псевдоаксиоматической системе, например, на «модифицированном» подходе Евклида или на преобразованиях. В этом случае только немногие ученики будут в состоянии оказаться на высоте требований такого интеллектуального подхода, а еще меньшее число из них сумеет оценить ценности этой «игры».
Третье направление. В программах обучения математике будут введены «островки» и «архипелаги» геометрии в виде локально дедуктивных систем. Эти немногие будут награждены введением в такие аспекты математического мышления, которые невозможно передать на школьном уровне посредством никакой другой области математики, что позволяет:
-сохранить (по крайней мере) частично прежний «дух» школьного курса геометрии;
-использовать великолепный тезаурус примеров и упражнений, созданный в течение десятилетий;
-привить смысл доказательства и дедуктивных связей;
-не потерять многих проблем, которые провоцируют активность всех учеников.
Теперь поговорим о проведении доказательств в учебнике «Геометрия 5-11». Есть одна общая «беда» доказательств, предлагаемых практически во всех действующих учебниках - повелительное наклонение: делай так как мы! Никакие рассуждения, обсуждения, доказательства не должны сообщаться в готовом виде и навязываться авторами учебников. Главное, чтобы ученик, во-первых, всегда «чувствовал необходимость того или иного рассуждения или доказательства», а во-вторых, сам пытался бы что-то предложить и проверить.
Требования к проведению доказательств:
-прежде всего должно быть совершенно ясно, что дано и что требуется доказать;
-очень велика роль чертежа, причем чертежи сопровождают весь ход доказательства, в динамике, а не как обычно - на одном чертеже сразу все;
-главное - постоянно формировать потребность у учащихся в проведении доказательств, общая стратегия доказательства и любого его этапа должны быть смотивированы, обсуждены, самостоятельно осмыслены, только после этого есть смысл в проведении этих доказательств;
все основные этапы доказательства нумеруются, при этом, во-первых, их удобно видеть, а во-вторых, на них удобно ссылаться;
-очень важно, что в конце каждого пункта доказательства в скобках даны основания сделанных выводов - это либо определения, либо доказанные раннее теоремы, либо ссылки на предыдущие этапы доказательства.
9. Аксиоматический метод построения школьного курса геометрии
Одним из основных методов построения школьного курса геометрии является аксиоматический метод.
Идея аксиоматического построения геометрии была предложена и реализована Евклидом. Она состоит в том, что если мы не можем определить, что представляет собой исследуемый объект, то следует определить его свойства. Выделить существенные признаки объекта и абстрагироваться от несущественных. Если эти признаки подобраны хорошо, то сам объект ими полностью определяется.
Наличие определенных правил (аксиом) должно подкрепляться соответствующими интуитивными представлениями. Аксиоматический метод построения геометрии не является трудным для понимания школьников. Аксиомы можно рассматривать как правила игры в геометрию. Если правила определены, то играть по ним легче, чем при отсутствии правил.
Одной из проблем построения курса геометрии для школы является выбор такой аксиоматики, которая была бы пригодна для первоначального изучения геометрии. Одним из основных принципов, на котором должна строиться аксиоматика школьного курса геометрии, пригодная для первоначального изучения геометрии, является принцип элементарности.
Рассмотрим аксиоматику геометрии, реализованную в учебнике геометрии И.М.Смирновой, В.А.Смирнова, отвечающую принципу элементарности.
К числу основных геометрических фигур в этой аксиоматике относятся точки, прямые и плоскости. Первые аксиомы относятся к понятию принадлежности. Следующие свойства, относящиеся к понятию равенства отрезков, принимаются за аксиомы. Далее дается аксиомы взаимного расположения точек на плоскости относительно данной прямой. После идут аксиомы, относящиеся к понятию равенства углов. Потом - теорема о вертикальных углах. Это - первая теорема и первое доказательство. В дальнейшем их будет много. Ученикам нужно постараться понять доказательство. Выученное доказательство не означает его понимания. Важны не сами слова, а их смысл. Один и тот же смысл может выражаться различными словами. Позже принимаются аксиомы о треугольниках, на основании которых доказываются признаки равенства треугольников и решаются задачи. То, что при выполнении необходимых условий две окружности пересекаются, ниоткуда не следует. Обычно этот факт опускается. В этом учебнике это принимается за аксиому.
Заметим, что до этого момента при изложении геометрии не использовалась аксиома параллельных. Все теоремы носили абсолютный характер, т.е. относились к абсолютной геометрии, не использующей аксиомы параллельных. Таким образом, аксиома параллельных вводится не сразу. Сначала излагается абсолютная геометрия, а только затем - геометрия, использующая аксиому параллельных.
Важность такого разделения геометрии обусловлена тем, что оно формирует правильную интуицию и дает возможность на ее основе в дальнейшем изучать различные неевклидовы геометрии: геометрию Лобачевского, проективную геометрию и др.
Завершает аксиомы планиметрии один из вариантов аксиомы непрерывности. К этому времени учащиеся уже имеют более полное представление о действительных числах.
Приведенная система аксиом является избыточной в том смысле, что некоторые последующие аксиомы перекрывают предыдущие.
10. Методика введение математических понятий конкретно-индуктивным методом и абстрактно-дедуктивным методом
Математические понятия. Методика введения математических понятий.
Термин «понятие» обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания.
Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций.
Каждое понятие объединяет в себе класс объектов - объем этого понятия - и характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса, и только им, - содержание этого понятия. Например, понятие «треугольник» соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство - наличие 3-х сторон, 3-х вершин, 3-х углов(это содержание понятия) и т.д.
Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.
Формирование понятий - сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания - ощущений - и протекающий часто по следующей схеме: ощущение - восприятие - представление - понятие.
Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.
Процесс формирования математических понятий в обучении математики будет эффективным, если он ориентирует учащихся на обобщение и абстрагирование существенных признаков формируемого понятия.
Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение.
В математике и в обучении математике применяются различные способы определения понятий.
Наиболее часто, особенно в обучении геометрии, встречаются определение «через ближайший род и видовое отличие.
Примером такого определения является следующее:
Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом.
Как видно, это определение состоит из 2-х частей: «прямоугольник» - определяемое понятие и «параллелограмм с прямым углом» - определяющее понятие. Связка «есть» (иногда вместо «прямоугольник есть…» говорят «прямоугольником называется…») означает здесь, что термин «прямоугольник» (вновь введенный) обозначает то же понятие, что и выражение «параллелограмм с прямым углом», составленное из ранее уже известных терминов («параллелограмм», «прямой угол»).
Такое определение является явным определением, в котором явно выделено определяемое и определяющее понятия. Оно позволяет нам заменить при необходимости одно понятие другим. Очень часто такой замены пользуемся в доказательствах теорем.
Однако не все математические понятия могут определяться таким образом. Процесс формально-логического определения, как видно из приведенного выше примера, есть процесс сведения одного понятия к другому, с более широким объемом, второго - к третьему, с еще более широким объемом, и т.д. Процесс сведения не может быть бесконечным. Должны быть некоторые исходные, первоначальные понятия, которые неопределяемы через другие понятия данной теории, так как им не предшествуют никакие другие понятия этой теории.
В процессе обучения математики должны создаваться такие педагогические ситуации, которые помогли бы учащимся открыть характерную особенность системы математических понятий, связанную с дедуктивным построением теории. Для этой цели можно использовать различный, конкретный материал. Например, можно построить такую последовательность определений:
- квадрат-ромб с прямым углом;
- ромб-параллелограмм с разными смежными сторонами;
- параллелограмм-четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;
- четырехугольник-многоугольник с четырьмя сторонами;
- многоугольник-фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией;
- фигура-множество точек.
Как видно, этот процесс сведения одних понятий к другим доходит до понятий «множество» и «точка», которые принимаются за первоначальные и именно поэтому не определяются через другие понятия.
Итак, первоначальные, исходные понятия не определяются явным образом через другие понятия данной теории. Это, однако, не означает, что они никак не определяются. Таким образом, когда говорят, например, что понятия «точка» и «прямая»-исходные понятия и поэтому не определяются, надо это понимать точнее: «не определяются явно через другие понятия».
Один и тот же раздел школьного курса обучения математики может строиться с помощью различных систем понятий, различающихся между собой порядком введения понятий или самими понятиями. Выбор исходных понятий не определяет однозначно последовательность изучения понятий системы. Система понятий оказывается лишь частично упорядоченной. Например, в традиционной системе понятий стереометрии такие понятия, как «угол скрещивающихся прямых» и «перпендикулярность прямых и плоскостей», могут изучаться в любом порядке.
Об определении не имеет смысла говорить, истинно оно или ложно. Определение может быть правильным (корректным) или неправильным (некорректным) в зависимости от того, удовлетворяет оно или нет определенным требованиям.
Формирование математических понятий в обучении математики возможно лишь при условии их именования, то есть приписывания им определенных имен. Поэтому важно напомнить принципы корректного употребления имен.
Принцип предметности: предложение говорит о предметах, имена которых встречаются в этом предложении (а не об их именах). Например, предложение «3<5» говорит о том, что число, обозначенное цифрой 3, меньше числа, обозначенного цифрой 5, то есть говорит о числах, а не об их именах, встречающихся в этом предложении.
Принцип однозначности: каждый символ (термин), используемый в качестве имени, обозначает не более одного объекта, иными словами, каждое имя имеет не более одного значения. Например, утверждая, что число а нельзя делить на 0, мы не утверждаем, что не возможна запись «а:0». Нарушение принципа однозначности имеет серьезные последствия, особенно в обучении математики, так как это означает применение имен с более чем одним значением, приводящее к путанице и к смещению понятий.
Принцип замены имен: предложение не меняет своего истинного значения, когда одно из входящих в него имен заменяется другим именем, имеющим то же самое значение (то есть синоним). Различные имена одного и того же предмета часто по-разному характеризуют его, с помощью различной информации о нем. В таком случае говорят, что имена имеют одно и то же значение, но различные смыслы. Например, одна и та же прямая может обозначаться символом «а» или символом «АВ». Первое из этих имен - простое имя, а второе имя - составное, обладающее большей познавательной ценностью, которое содержит другие имена («А», «В»). Таким образом, в отношении именования участвуют три различных понятия: «имя», «значение имени», «смысл имени».
В математике часто применяются так называемые индуктивные (рекурсивные) определения, которые постепенно внедряются и в школьном обучении.
В наиболее простых случаях, которые встречаются в школьном обучении, индуктивное определение функции натурального аргумента (последовательности).
Пока индуктивные определения редко встречаются в школьном обучении, но, учитывая их широкое распространение и значение в математике (рекурсивные функции - одно из математических уточнений интуитивного понятия алгоритма), можно предполагать, что их применение в обучении математике будет постепенно расширяться.
Мы уже говорили о том, что содержание понятия раскрывается с помощью определения (явного или неявного), а объем - с помощью классификации. Часто классификация состоит из многоступенчатого разбиения множества объектов на два класса с помощью некоторого свойства (двучленное деление, или «дихотомия», в терминах классической логики).
Значение деятельности по классификации (одного из важнейших видов умственной деятельности) далеко выходит за рамки усвоения математических знаний. Необходимость классифицировать возникает в любой области человеческой деятельности. Этому нужно учить в школе.
Каждое понятие объединяет в себе класс объектов и свойства присущие всем объекта этого класса.Формирование понятия начинается с образования простейших форм познания: ощущений, и протекает по следующей схеме:
Ощущение - восприятие - представление - понятие.
Способы определения понятия:
1. Через ближайший род и видовое отличие.
2. Через процесс формально-логического определения.
Квадрат - ромб - параллелограмм - четырёхугольник - многоугольник - фигура.
Не все явно определение можно отнести к определениям через ближайший род и видовое отличие.
Знание определения ещё не гарантирует усвоения понятия. Один из аспектов формализма математических понятий состоит в том, что некоторые учащиеся зная точную формулировку определения, не распознают определяемый объект в различных ситуациях, где он встречается.
В школьной математике встречаются определения различной структуры, чем сложнее структура определения, тем более тщательная должна быть работа по его разъяснению, для предупреждения формального усвоения.
Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отношений) - объем этого понятия - и характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса, и только им, - содержание этого понятия. Например, понятие "треугольник" соединяет в себе класс всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство - наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие "уравнение" соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство - равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия).
Содержание понятия раскрывается с помощью определения, объем - с помощью классификации. Посредством определения и классификации отдельные понятия организуются в систему взаимосвязанных понятий.
Формирование понятий - сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания - ощущений - и протекающий часто по следующей схеме: ощущения - восприятие - представление - понятие.
Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.
Чувственная ступень в процессе формирования понятий соответствует первому этапу пути познания вообще, т. е. "живому созерцанию", и поэтому ее осуществление требует широкого применения наглядности. Если ученику никогда не показывали модель куба или предметы, имеющие форму куба, то у него не может образоваться представления, а следовательно, и понятия куба.
Процесс формирования понятий будет эффективным, если он ориентирует учащихся на обобщение и абстрагирование существенных признаков (характеристического свойства) формируемого понятия.
Рассмотрим процесс формирования понятий на примере понятия куба.
Детям (6-7лет) показывают много предметов, отличающихся формой, размерами, окраской, материалом, из которого они сделаны, причем таких, что одни из них имеют форму куба, а другие нет. Дети, после того как им показывают на одно из этих тел и говорят, что это куб, безошибочно отбирают все те тела, которые имеют такую же форму, пренебрегая различиями, касающимися размера, окраски, материала. Здесь выделение из класса предметов подкласса, отождествление тел производится по одному еще недостаточно проанализированному признаку - внешней форме. Дети еще не знают свойств куба, они распознают его только по форме.
Дальнейшая работа по формированию понятия куба состоит в анализе этой формы с целью выяснения ее свойств. Учащимся предлагают путем наблюдения найти, что есть общего у всех отобранных тел, имеющих форму куба, чем они отличаются от остальных. Устанавливается, что у каждого куба 8 вершин, 6 граней. Но у некоторых тел, которые мы не отнесли к кубам, тоже 8 вершин и 6 граней. Оказывается, у куба все грани - квадраты (эта работа обычно проводится после аналогичной работы по выделению класса квадратов из множества плоских фигур).
Остается один шаг к образованию понятия куба - переход от представления к понятию путем абстрагирования, т. е. отделения общих свойств от прочих, несущественных. Разумеется, на начальном этапе обучения нельзя еще говорить о полном абстрагировании этих свойств, у детей еще не образовывается понятие куба в чистом виде, они еще не определяют куб и противопоставляют его прямоугольному параллелепипеду с различными измерениями. В дальнейшем же, когда будет сконструирована логически упорядоченная система геометрических понятий (в рамках систематического курса геометрии), учащиеся узнают, что куб - это вид прямоугольного параллелепипеда. В этом - диалектика развития понятий.
Приведенный пример показывает, что процесс формирования понятий, как правило, длительный процесс, способствующий развитию обобщающей и абстрагирующей деятельности учащихся.
Однако формирование математических понятий не всегда протекает по приведенной выше схеме, начинающейся с ощущений. В частности, когда формируемое понятие связано, в той или иной форме, с категорией бесконечности (как, например, понятия прямой, плоскости, плотности множества рациональных чисел, предела и др.), то чувственная ступень играет меньшую роль, так как мы не в состоянии воспринимать бесконечное (ни в какой форме), и наглядность из средства, способствующего формированию понятия, иногда становится тормозящим фактором.
Например, бесконечность множества рациональных чисел, лежащих между любыми двумя рациональными числами, не подкрепляется, а, наоборот, "опровергается" конкретным восприятием конечного отрезка, содержащего это множество. Свойство плотности множества рациональных чисел нельзя обнаружить опытным путем, оно не подтверждается наглядными геометрическими представлениями, а устанавливается логически. Этот и другие многочисленные примеры подтверждают выводы наших психологов о том, что восприятие наглядного материала в силу объективных особенностей этого материала может играть не только положительную, но и отрицательную роль.
Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение.
В математике и в обучении математике применяются различные способы определения понятий.
Наиболее часто, особенно в обучении геометрии, встречается определение "через ближайший род и видовое отличие". Примером такого определения является следующее: Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом. Как видно, это определение состоит из двух частей: "прямоугольник" - определяемое понятие и "параллелограмм с прямым углом" - определяющее понятие. Связка "есть" (иногда вместо "прямоугольник есть..." говорят "прямоугольником называется...") означает здесь, что термин "прямоугольник" (вновь введенный) обозначает то же понятие, что и выражение "параллелограмм с прямым углом", составленное из ранее уже известных терминов ("параллелограмм", "прямой угол").
Анализируя определяющее понятие "параллелограмм с прямым углом", выделяем понятие "параллелограмм" (ближайший род) и свойство "наличие прямого угла" (видовое отличие). Название "ближайший род" оправдано тем, что не выделено другое понятие, объем которого включается в множество параллелограммов и включает множество прямоугольников. Если бы мы определили прямоугольник как четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и имеется прямой угол, то мы получили бы, как видно, более громоздкое определение именно потому, что понятие "четырехугольник" не является ближайшим родом для прямоугольника (имеется понятие "параллелограмм", объем которого включается в множество четырехугольников и включает множество прямоугольников), и поэтому усложнилось характеристическое свойство (видовое отличие).
11. Психолого-педагогические основы в обучении математике
Успешность обучения в значительной степени зависит от психологической подготовки учителя. Однако психологи порой не связывают психологические процессы с процессом обучения. Как известно всеми познавательными процессами управляет мозг. У человека общая поверхность коры головного мозга в среднем 2000кв.см., 2/3 её залегает в глубине борозд. Кора головного мозга имеет толщину 2-5мм. и состоит примерно из 15 миллиардов клеток, величина которых колеблется от 0,005 до 0,05 мм. Они различны как по форме, так и по выполняемым функциям. Некоторые из этих клеток способны устанавливать до 10 тысяч контактов со своими «коллегами». А общая масса клеток коры головного мозга обеспечивает число связей порядка 10, ни одна ЭВМ не в состоянии достигнуть подобных результатов. Возможности мозга безграничны, но используются частично до 4-5% их потенциальных качеств. Это объясняется несовершенством системы обучения. Существуют определённые законы высшей нервной деятельности в объясняют познавательные процессы.
1 закон: Закон взаимной индукции.
Он гласит: «Если возбуждается один участок головного мозга, другие в это время тормозят». Если вы заняты решением математической задачи, то все ваши знания о литературе, театре, истории как бы замирают. Действие закона взаимной индукции объясняется особенностями образования условного рефлекса. Для того чтобы обеспечить усвоение материала, учителю необходимо добиться, чтобы все ученики были внимательны.
2 закон: Закон динамического стереотипа.
Его формулировка: «При частых постоянных раздражениях одних участков головного мозга и столь же постоянных торможениях других, происходит устойчивое распределение очагов возбуждения и торможения». Это значит, что если ученик постоянно систематически занимается каким-то предметом, то на определённых участках головного мозга образуются устойчивые связи, постоянная готовность, лёгкая возбудимость, и наоборот если ученик постоянно не работает над каким-то предметом, то на этих участках образуются очаги торможения, ученик постоянно отстаёт по этим предметам.
Чем больше очагов возбуждения в головном мозге, тем больше места для образования новых.
12. Формирование познавательного интереса к математике интереса к математике
Формирование интереса к математике.
Прежде всего учителю следует знать, что процесс образования знаний поддаётся управлению, регламентированию и совершенствованию, чтобы управлять этим приёмом необходимо знать его закономерности, последовательность действий, а это возможно лишь при условии ясного понимания психологических особенностей всех основных этапов образования знаний.
Первая сигнальная система - это психический процесс в мозгу человека, предметов, действиях на его органы чувств непосредственно.
При помощи принципа обучения как наглядность создаётся основа знаний. Первым источником всех наших знаний является ощущение, оно поддаётся развитию и совершенствованию. Более сложный психический процесс - восприятие, обеспечивает в нашем сознании отражение тех предметов, которые непосредственно действуют на органы чувств, восприятие проходит активно, зависит от знаний и опыта человека.
Одним из важных процессов является память, это сложный психический процесс, заключающийся в запоминании, сохранении и последующем воспроизведении того, что ранее воспринимали, делали, чувствовали. Память - это кладовая знаний, база, основа, без которой нельзя обойтись, но вместе с тем не допустимо ею ограничиваться.
Воображение - это сложный психический процесс, заключающийся в создании новых образов на основе новых восприятий и знаний, неотъемлемая часть сложных мыслительных операций. Человек, прежде чем что-либо открыть, создаёт воображаемую модель, опережает естественный ход событий.
Вершиной познавательных процессов является мышление и речь. В процессе мышления человек устанавливает закономерности связей между общими свойствами явлений и предметами.
Виды мышления:
1. образные
2. абстрактно-логические
3. наглядно-действенные
Речь в значительной степени действует на мышление: внешняя речь, монологическая речь, письменная речь.
Существует шесть методик обучения методов познавательной деятельности:
1. Учащимся показывают образец решения задачи, после чего они самостоятельно или коллективно решают задачи. На основе накопленного опыта им предлагается самостоятельно составить общий план действий по решению задач.
2. Учащимся дают готовую инструкцию по решению задач, образец применения и задание для самостоятельной работы. В процессе выполнения задания, трудные места анализируются коллективно.
3. Учащимся дают план решения задач для одной темы. Потренировавшись в его применении, школьники переходят к следующей теме, для которой им предлагается составить новый план по старому.
4. Учащимся дают общий план работы и методы его конкретизации, приступая к новой теме они предварительно составляют вариацию общего плана соответственно теме занятия и закрепляют его в процессе решения задач.
5. Школьников обучают на конкретном примере, как планировать решение задач по заданной теме и разделу, затем данный план используется при решении конкретных классов задач.
6. У школьников формируется обобщённый приём составления планов общих и частных, путём компонентов деятельности планирования.
а) Образец (цель конечного результата деятельности)
б) Объект преобразования (его состав и структура, свойства и т.д.)
в) Средства планирования и порядок разработки (последовательность операций) и использования плана
г) В качестве основных компонентов деятельности по решению задач любой задачи, как теоретической, так и практической. В данной методике выделяются (образец конечного продукта действия, операция)
Познавательный интерес - к учебнопознавательной деятельности является мощным двигателем в обучении. Развитие познавательного интереса способствует росту сознательного отношения к учению, развитию познавательных процессов, умению ими управлять, сознательно их регулировать. Задача формирования познавательных интересов очень актуальна для построения учебного материала, так как школе необходимо привить ученику стремление к постоянному пополнению своих знаний с помощью самообразования, содействовать побуждениям, расширять свой общий и специальный кругозор.
Под познавательным интересом понимают - особую избирательную направленность личности на процесс познания; стремление обращать на что-то внимание, познавать какие-либо предметы и явления; прошедшую стадию мотивации и придающую деятельности человека увлекательный характер.
Классификация познавательного интереса:
1. Прямой (непосредственный)
2.Коссвенный (опосредованный)
В случае прямого интереса человека привлекает сам предмет , деятельность определенного вида. Но не редко случается и так, что прямого интереса, например к математике, ученик не испытывает, но он интересуется физикой и понимает, что без математики в этой области сделать ничего нельзя. В этом случае проявляется косвенный интерес.
13. Воспитание в процессе обучения математике
Основной целью воспитания в современной школе является подготовка подрастающего поколения к активному участию в строительстве процветающего государства. Для школы характерно полное совпадение целей воспитания в школе, в семье и вне школы. Велика также роль коллектива в воспитании отдельной личности. Воспитание школьника суть всестороннее формирование всей психики молодого человека, т.е. формирование его интеллектуальных и нравственных качеств, воспитание воли одновременно с побуждением к деятельности и т.д.
Процесс обучения , в частности процесс обучения математике, способен активно воздействовать на личность каждого отдельного учащегося и дает возможность каждому отдельному учащемуся активно участвовать в деятельности школьных коллективов.
Поэтому управление процессом воспитания учащихся есть управление их деятельностью как учебной , так и такой, при которой учащийся вступает в различные общественные и личностные отношения .Процесс обучения математике заключает в себе большие возможности для создания весьма эффективных воспитательных ситуаций , способствующих успешному решению общих задач воспитания молодежи.
При этом следует иметь в виду некоторые принципиальные положения, повышающие эффективность результатов воспитания в процессе обучения вообще и в процессе обучения математике в частности.
1)Воспитание учащихся должно иметь непрерывный , планомерный характер. Вряд ли, например, можно ожидать серьезных результатов от проведения эпизодических мероприятий воспитательного характера.
2) Воспитание в процессе обучения не должно быть навязчивым; лучше, если оно будет иметь скрытый характер , когда его подтекст воспринимается учащимися как внутреннее самостоятельно сформировавшееся у них убеждение или норма поведения. Следует также отметить , что личный пример учителя , его мировоззрение и нравственные качества играют важную роль в воспитании.
3) Воспитание в процессе обучения должно в идеале перерастать в самовоспитание.
В процессе обучения математике необходимо показывать учащимся, что математические абстракции (понятие числа, фигуры, функции и т.д.) не есть продукт «чистого разума» ученых-математиков , результат отражения и научного обобщения в процессе многовековой практики человечества, различных объектов и явлений реальной действительности. Таким образом, обучая школьников математике, важно, прежде всего, показать, что источник возникновения математики - это реальный мир, что, чем глубже наши знания математики, тем шире проникновения в жизнь.
Большой и благодатный материал в деле воспитания у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения дают историко-математические сведения.
Успехи в обучении математике во многом зависят от развития у учащихся устойчивого интереса к предмету. Прежде всего, следует обратить внимание на то, что интерес к математике вырабатывается тогда, когда школьнику понятно то, о чем говорит учитель.
Поэтому и целесообразно в обучении математике следовать основным дидактическим принципам обучения; от простого к сложному, от конкретных наблюдений, примеров и опытов к выводам и обобщениям и т.п.
Эстетическое воспитание также является органической частью их воспитания. Под эстетическим воспитанием следует понимать формирование системы умений и навыков, относящихся ко всем искусствам, всем формам проявления прекрасного в окружающей нас действительности и приобретенных как в процессе обучения, так и во внешкольной деятельности.
14. Роль задач в обучении математике, классификация математических задач
В обучении математике задачам всегда отводилась достаточно большая, если не решающая, роль. Сейчас всё большее распространение получает прогрессивный метод обучения через задачи как реализация системы проблемного обучения. Основные идеи этого метода находят в какой-то мере отражение в новых учебниках. Задачи становятся не только и не столько целью, сколько средством обучения.
Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы решения задач. В основном решались типовые, стандартные задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения.
Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам, алгоритм решения которых либо неизвестен, либо не существует.
В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения математике приводит к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартной задаче возникает необходимость в вариативном поиске решения.
"Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно не доступной цели. Решение задач означает нахождение этого средства". Определённые группы задач, предназначенных для классных и внеклассных занятий, вполне пригодны для выработки "надлежащих навыков мысли", навыков, направленных на поиски решения задач. В своей книге М. И. Махмутов рассказывает об исследовании, проведённом группой учёных, математиков и психологов с целью выявления закономерностей активизации познавательной деятельности учащихся. Вот что он пишет в книге:
"Теоретическое осмысление работ лучших учителей помогло обнаружить в учебном процессе общую закономерность активизации познавательной деятельности учащихся: напряжение интеллектуальных сил ученика вызывается главным образом постановкой проблемных вопросов, проблемных познавательных задач и учебных заданий исследовательского характера. Это напряжение рождается в столкновении с трудностью в понимании и осмыслении нового факта или понятия и характеризуется наличием проблемной ситуации, высокого интереса учащегося к теме, его эмоционального настроя и волевого усилия."
Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемную ситуацию. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами. Применять математические знания в жизненных ситуациях учат соответствующие практические задачи. Итак, как видно из приведённого выше обзора мнений различных специалистов в области образования и обучения математике, задача является основным звеном внутри процесса обучения, а тем более такого, как проблемное и развивающее.
Каждая конкретная математическая задача предназначается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагогических, дидактических учебных целей. Эти цели характеризуются как содержанием задачи, так и назначением которое придаёт задаче - учитель. Дидактические цели определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей её применений из всех ролей, которым отводятся конкретные задачи, можно выделить её ведущую роль.
Обучающая роль математических задач.
Обучающую роль выполняют при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике и её конкретным дисциплинам. Выделяют несколько видов задач по их обучающей роли:
1) задачи для усвоения математических понятий. Чтобы овладеть понятиями недостаточно выучить определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова, чётко знать свойства изучаемого понятия. Так, например, для усвоения понятия логарифма, большую пользу принесут упражнения в переходе от записей с показательными функциями и их значениями к записям в логарифмической форме и наоборот. В решении простейших логарифмических уравнений содержащих переменную под знаком логарифма, так и в его основании в формировании определения логарифма для конкретного заданного числа, при конкретном заданном основании в применении тождества.
2) Задачи для овладения математической символикой. Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение.
3) Задачи для обучения доказательства. Обучение доказательства одна из важнейших целей обучения математике. Существенную роль в обучении доказательствам играют упражнения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. В курсе геометрии 7-8 классов практикуются доказательства по готовым чертежам, которые тоже служат обучению доказательства.
4) Задачи для формирования математических умений и навыков. Первые такие задачи следует решать с подробным объяснением со стороны учащихся всех новых деталей решения, это помогает осмысленному формированию умений. В первых упражнениях в умножении дробных чисел полезно выполнить подробные записи и объяснить их. Прочные навыки формируются тогда, когда они применяются совместно с ранее сформированными умениями и навыками в выполнении других действий. При изучении интегралов полезно включить их вычисление в систему других действий.
5) Обучающую роль играют и задачи претворяющие изучение новых математических фактов, создающие проблемную ситуацию, с целью приобретения учащимися новых знаний. Здесь следует рассматривать те задачи, с помощью которых подготавливается сложное для учащихся доказательство теоремы. Созданию проблемной ситуации для введения и изучения способов решения квадратных уравнений послужат задачи приводящие к такому уровню. Для подготовки к изучению более или менее сложных теорем, играющих серьёзную роль, могут быть предложены задачи, приводящие к формулировке теоремы, задачи на доказательство одного из промежуточных фактов в доказательстве теорем.
Развитие мышления у учащихся при решении математических задач.
1) Мыслительные умения, восприятия и память при решении задач.
2) Обучение мышлению - одно из основных назначений задач и упражнений заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке.
3) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность учащихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления, во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач:
а) задачи и упражнения, включающие элементы исследования.
б) Задачи на доказательства. Такие задачи оказывают существенное влияние на развитие мышления учащихся. При выполнении доказательств, оттачивается логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов.
...Подобные документы
Понятие и особенности обучения математике. Математика как учебный предмет. Предмет методики преподавания математики. Основные задачи методики преподавания математики. Цели и содержание обучения математике. Формы обучения математике.
курсовая работа [23,4 K], добавлен 04.09.2006Психолого-педагогические основы развития одарённых учащихся в процессе обучения математике. Методические особенности постановки обучения математике в 5-6 классах, направленного на развитие одарённых детей. Реализация данных целей во внеклассной работе.
дипломная работа [386,3 K], добавлен 19.04.2011Урок математики, его структура. Основные требования к уроку математики. Типы уроков и методика их построения. Основные формы внеклассной работы по математике в средней школе. Методы и формы проверки знаний, умений и навыков учащихся по математике.
реферат [19,9 K], добавлен 07.03.2010Понятие "развивающее обучение". Включение в процесс обучения математике приемов умственных действий: анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение. Формирование способности к теоретическому обобщению, обоснования истинности суждений.
реферат [1,0 M], добавлен 23.11.2008Основы использования тестов в процессе обучения математике. Значение тестового контроля в условиях реформы российского образования. Использование информационных технологий в процессе обучения математике в старших классах общеобразовательных школ.
дипломная работа [629,0 K], добавлен 22.10.2012Теоретические основы дифференциации. Возможности и пути использования дифференциации в учебном процессе. Из опыта использования дифференциации в процессе преподавания математики. Дифференциация обучения математике в 11 классе.
дипломная работа [63,9 K], добавлен 08.08.2007Общая характеристика методов научного исследования. Классификация методов обучения в дидактике. Общие методы обучения математике. Процесс познания и процесс обучения учащихся. Определение обобщения и специализации, абстрагирования и конкретизации.
реферат [102,4 K], добавлен 07.03.2010Общее понятие и основные группы методов обучения, их характеристика. Активизация учебно-познавательной деятельности учащихся. Особенности использования методов обучения на уроках математики. Контроль и учет знаний, умений и навыков учащихся по математике.
курсовая работа [88,7 K], добавлен 06.02.2014Цели обучения и воспитания в средней школе. Формирование умений строить математические модели простейших реальных явлений, представлений о математике как части общечеловеческой культуры. Эстетическое воспитание в процессе обучения. Этапы техники оригами.
курсовая работа [5,9 M], добавлен 12.01.2011Уровни олимпиад по математике. Сущность факультативной работы в школе. Основные задачи факультативов. Школьная геометрия: многообразие идей и методов. Избранные темы школьного курса математики. Методика проведения факультативных занятий по математике.
курсовая работа [393,7 K], добавлен 16.05.2015Теоретические основы использования тифлотехнических средств обучения математике младших школьников с нарушением зрения. Особенности обучения математике младших школьников с нарушениями зрения, исследование их познавательного интереса на уроках математики.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 16.04.2019Использование тестов для оценки качества знаний учащихся по математике. Использование тестов в технологии блочного обучения математике. Экспериментальное применение тестов в блочном обучении математике на примере темы "Интеграл".
дипломная работа [272,7 K], добавлен 08.08.2007Сущность метода проектов, его роль, значение и место в процессе обучения. Методика организации проектной деятельности школьников в процессе обучения математике. Организация проектной деятельности на примере проекта "Строительство дачи" в 9 классе.
дипломная работа [627,5 K], добавлен 06.01.2010Специфика дифференцированного обучения учащихся по математике. Повышение познавательной активности на уроках математики посредством дифференцированного подхода. Психолого-педагогические основы и критерии. Методика организации работы по обучению.
курсовая работа [60,7 K], добавлен 24.05.2012Статус и содержание методики обучения математике. Необходимость учета идей гуманизации и гуманитаризации образования при составлении методики. Законы становления методической науки. Развитие теории формирования математических понятий в средней школе.
статья [16,2 K], добавлен 15.09.2009Определение, предмет, задачи, проблемы и методы методики преподавания математики. Связь ее с другими науками. История развития преподавания математики. Принципы дидактики в ее обучении. Содержание обучения математики. Математика как учебный предмет.
реферат [42,0 K], добавлен 07.03.2010Самоанализ урока математики. Теория и технология самоанализа в учебном процессе. Системы упражнения по повышению компетентности учителя математики. Цель урока, отбор материала, выбор методов и форм обучения. Опыт применения технологии самоанализа урока.
аттестационная работа [112,9 K], добавлен 28.05.2008Обучение математике во второй младшей, средней и старшей группах детского сада. Организация работы. Методы и приемы обучения. Воспитание элементарных навыков учебной деятельности. Ориентировка в пространстве и времени.
методичка [159,2 K], добавлен 14.09.2007Разновидности и функции эвристик в обучении математике. Творческое мышление как результат эвристического обучения. Пути и условия организации эвристического обучения в школе. Формирование эвристических приемов при обучении математике учащихся 5-6 классов.
дипломная работа [355,0 K], добавлен 30.03.2011Теоретические аспекты квантового обучения. Психолого-педагогические и философские основания квантового обучения. Основные идеи и методы, применяемые в квантовом обучении. Особенности применения квантового обучения при обучении математике.
дипломная работа [955,9 K], добавлен 08.08.2007