Воспитание в процессе обучения математике

История, состояние и перспективы методической подготовки будущего учителя математики. Понятие, система и реализация принципа обучения математике. Классификация методов обучение математике. Аксиоматический метод построения школьного курса геометрии.

Рубрика Педагогика
Вид учебное пособие
Язык русский
Дата добавления 25.11.2012
Размер файла 158,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Так, например, при изучении в V классе признаков делимости натуральных чисел на занятиях математического кружка рассматривались признаки делимости чисел, не предусмотренные программой (признак делимости на 7, на 11 и т. д.); при изучении геометрических задач на построение циркулем и линейкой на занятиях математического кружка рассматривались геометрические построения при помощи одной линейки и т. п.

Также традиционным для рассмотрения на внеклассных занятиях по математике были исторические экскурсы по той или иной теме, математические софизмы, задачи повышенной трудности и т. д.

За последние десятилетия в математике возникли новые направления, имеющие не только большое практическое значение, но и большой познавательный интерес. Экспериментальные исследования, проведенные в ряде школ, показали, что многие вопросы так называемой современной математики (в объеме своих начальных понятий) вполне доступны и весьма интересны для изучения их учащимися, даже начиная с IV класса. На это справедливо указывал Н. Я. Виленкин, предлагая на внеклассных занятиях по математике знакомить учащихся с элементами вычислительной математики, производной и интегралом, основными понятиями математической логики, современной алгебры, комбинаторики, теории информации и т. д. Н. Я. Виленкин рекомендует обращать внимание и на практическую направленность внеклассных занятий и ее занимательность, которые можно реализовать рассмотрением соответствующих задач.

Отметим, что многие из этих вопросов уже нашли свое отражение в программе факультативных занятий по математике; вместе с тем некоторые из них могут быть интересными и доступными для учащихся IV--VI классов.

Происходящее сейчас обновление содержания основного курса математики привело к возникновению тенденции обновления содержания внеклассных занятий по математике, однако это не означает, что следует полностью отказаться от тех или иных традиционных вопросов, которые составляли до сих пор содержание внеклассных занятий и вызывают у учащихся неизменный интерес (например, функции и графики, математические парадоксы и софизмы, неопределенные уравнения, логические и исторические задачи и т. д.)'.

Можно рекомендовать следующие формы проведения внеклассной работы с учащимися, особо интересующимися математикой:

*математические кружки;

*математические викторины, конкурсы и олимпиады; математические вечера; математические экскурсии;

*внеклассное чтение математической литературы; математические рефераты и сочинения;

*школьная математическая печать.

Говоря об олимпиаде, следует отметить, что до сих пор эта форма внеклассной работы с учащимися являлась своеобразным итогом проделанной работы (чаще всего кружковой). Олимпиада -- соревнование, которое, несомненно, стимулирует рост учащихся в смысле их математического образования, воспитывает у них математическое мышление, интерес к математике, настойчивость -- желание не отстать от тех, которые успешно справляются с олимпиадным заданием; часто именно участие в олимпиаде и подготовка к ней побуждает учащихся к самостоятельной работе, вырабатывает умение работать с научно-популярной литературой и т. д. Математические олимпиады проводятся на различных уровнях: школьные, районные, городские, областные, республиканские, общесоюзные и международные. В проведении областных' и республиканских олимпиад активно участвуют педагогические институты и университеты; общесоюзная олимпиада проводится под эгидой Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Олимпиады также оказывают положительное влияние и на об-щий уровень преподавания математики, во многом позволяют выявить качество математических знаний учащихся и, кроме того, в какой-то степени ориентируют учителя, характеризуя уровень той математической подготовки, которая считается высокой.

Однако следует обратить внимание на то немаловажное обстоятельство, что олимпиады не являются серьезным источником новой, интересующей учащихся информации и потому не могут считаться основной формой углубленной математической подготовки молодежи.

В последнее время все большую популярность среди учащихся, проявляющих к изучению математики повышенный интерес и способности, завоевывают такие формы углубленной специальной математической подготовки, примыкающие к внеклассной работе, как юношеские математические школы (ЮМШ), заочные математические школы (ЗМШ), школы и классы с математическим уклоном специально для подготовки программистов-вычислителей.

Имея в виду, что каждая из выше перечисленных форм достаточно полно представлена в методической литературе, мы ограничимся здесь лишь краткой характеристикой основных форм этого вида работы: математического кружка, внеклассного чтения математической литературы, школ и классов с математическим уклоном.

20. Роль внеклассной работы по математике

Внеклассная работа учащихся по математике и методика её проведения

Требования, предъявляемые программой по математике, школьными учебниками и сложившейся методикой обучения, рассчитаны на так называемого "среднего" ученика. Однако уже с первых классов начинается резкое расслоение коллектива учащихся: на тех, кто легко и с интересом усваивают программный материал по математике, на тех, кто добивается при изучении математики лишь удовлетворительных результатов, и тех, кому успешное изучение математики дается с большим трудом.

Все это приводит к необходимости индивидуализации обучения математике, одной из форм которой является внеклассная работа.

Под внеклассной работой по математике понимаются необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время.

Следует различать два вида внеклассной работы по математике: работа с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала (дополнительные внеклассные занятия); работа с учащимися, проявляющими к изучению математики повышенный, по сравнению с другими, интерес и способности (собственно внеклассная работа в традиционном понимании смысла этого термина).

Говоря о первом направлении внеклассной работы, следует отметить, что этот вид внеклассной работы с учащимися по математике в настоящее время имеет место в каждой школе. Вместе с тем повышение эффективности обучения математике с необходимостью должно привести к снижению значения дополнительной учебной работы с отстающими. В идеальном случае первый вид внеклассной работы должен иметь ярко выраженный индивидуальный характер и проявляться лишь в исключительных случаях (например, в случае продолжительной болезни учащегося, перехода из школы другого типа т. п.). Однако в настоящее время эта работа требует еще значительного внимания со стороны учителя математики.

Роль внеклассной работы в подготовке учащихся, отстающих от других в изучении программного материала

Основной целью ее является своевременная ликвидация (и предупреждение) имеющихся у учащихся пробелов в знаниях и умениях по курсу математики.

Передовой опыт работы учителей математики свидетельствует об эффективности следующих положений, связанных с организацией и проведением внеклассной работы с отстающими.

1. Дополнительные (внеклассные) занятия по математике целесообразно проводить с небольшими группами отстающих (по 3-4 человека в каждой); эти группы учащихся должны быть достаточно однородны как с точки зрения имеющихся у школьников пробелов в знаниях, так и с точки зрения способностей к обучаемости.

2. Следует максимально индивидуализировать эти занятия (например, предлагая каждому из таких учащихся заранее подготовленное индивидуальное задание и оказывая в процессе его выполнения конкретную помощь каждому).

3. Занятия с отстающими в школе целесообразно проводить не чаще одного раза в неделю, сочетая эту форму занятий с домашней работой учащихся по индивидуальному плану.

4. После повторного изучения того или иного раздела математики на дополнительных занятиях необходимо провести итоговый контроль с выставлением оценки по теме.

5. Дополнительные занятия по математике, как правило, должны иметь обучающий характер; при проведении занятий полезно использовать соответствующие варианты самостоятельных или контрольных работ из "Дидактических материалов", а также учебные пособия (и задания) программированного типа.

6. Учителю математики необходимо постоянно анализировать причины отставания отдельных учащихся при изучении ими математики, изучать типичные ошибки, допускаемые учащимися при изучении той или иной темы. Это делает дополнительные занятия по математике более эффективными.

Роль внеклассной работы в подготовке учащихся, проявляющих к изучению математики повышенный интерес и способности

Второе из указанных выше направлений внеклассной работы по математике - занятия с учащимися, проявляющими к ее изучению повышенный интерес, отвечает следующим основным целям:

1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям.

2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу.

3. Оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера.

4. Воспитание высокой культуры математического мышления.

5. Развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой.

6. Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математики в технике и практике социалистического строительства.

7. Расширение и углубление представлений учащихся о культурно-исторической ценности математики.

8. Воспитание учащихся чувства коллективизма и умения сочетать индивидуальную работу с коллективной.

9. Установление более тесных деловых контактов между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников.

10. Создание актива, способного оказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике всего коллектива данного класса (помощь в изготовлении наглядных пособий, занятиях с отстающими , в пропаганде математических знаний среди других учащихся).

Предполагается, что реализация этих целей частично осуществляется на уроках. Однако в процессе классных занятий, ограниченных рамками учебного времени и программы, это не удается сделать с достаточной полнотой. Поэтому окончательная и полная реализация этих целей переносится на внеклассные занятия по математике этого вида.

Математический кружок -- одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий. В основе кружковой работы лежит принцип строгой добровольности. Обычно кружковые занятия организуются для хорошо успевающих учащихся. Однако следует иметь в виду, что иногда и слабо успевающие учащиеся изъявляют желание участвовать в работе математического кружка и нередко весьма успешно занимаются там; учителю математики не следует этому препятствовать. Необходимо лишь более внимательно отнестись к таким учащимся, постараться укрепить имеющиеся у них ростки интереса к математике, проследить за тем,, чтобы работа в математическом кружке оказалась для них посильной. Конечно, наличие слабо успевающих учащихся среди членов математического кружка затрудняет работу учителя, однако путем индивидуализации заданий, предлагаемых учителем кружковцам, можно в некоторой степени ослабить эти трудности. Главное -- сохранить массовый характер кружковых занятий по математике, являющийся следствием доступности посещения кружковых занятий всеми желающими.

Уже при организации математического кружка необходимо заинтересовать учащихся, показать им, что работа в кружке не является дублированием классных занятий, четко сформулировать цели и раскрыть характер предстоящей работы (для этого целесообразно выделить часть времени на одном из уроков математики, с тем чтобы обратиться с сообщением об организации кружка ко всему классу).

На первом занятии кружка надо наметить основное содержание работы, выбрать старосту кружка, договориться с учащимися о правах и обязанностях члена кружка, составить план работы и распределить поручения за те или иные мероприятия (выпуск математической стенной газеты, ведение документации работы кружка и т. п.).

Занятия кружка целесообразно проводить один раз в неделю, выделяя на каждое занятие по одному часу. К организации работы математического кружка целесообразно привлекать самих учащихся (поручать им подготовку небольших сообщений по изучаемой теме, подбор задач и упражнений по конкретной теме, подготовку справок исторического характера, изготовление моделей и рисунков к данному занятию и т. д.). На занятиях математического кружка учитель должен создать «атмосферу» свободного обмена мнениями и активной дискуссии.

Тематика кружковых занятий по математике в современной школе весьма разнообразна.

В тематике кружковых занятий для IV--X классов находят место вопросы, связанные с историей математики, жизнью и деятельностью советских и зарубежных известных математиков.

21. Специфические особенности работы школ и классов с углубленным изучением математики

Важнейшей задачей современного обучения математике и, особенно, в классах с углубленным изучением математики, является развитие математического мышления, при этом получаемые знания должны быть основой для самостоятельного приобретения новых знаний и развития новых умений. В данных условиях представляется перспективным поиск средств совершенствования обучения математике в специализированных классах математического профиля, направленных на развитие творческих способностей учащихся. Это особенно важно, если учитывать тот факт, что многие учащиеся не будут в последующем профессионально заниматься математикой.

В настоящее время имеется несоответствие между самой сущностью углубленного изучения математики, его основной задачей и состоянием обучения в классах углубленного изучения математики. Многие учителя стремятся значительно расширить объем изучаемого материала, включая темы, выходящие за рамки школьного курса математики или углубляют уже имеющийся в основном курсе материал за счет решения задач повышенной трудности, усложненных с технической стороны, либо олимпиадного характера. К тому же авторы многих пособий, предназначенных для этих классов, ориентируют учителя именно на такую постановку обучения. На самом деле главная задача обучения в классах углубленного изучения математики - более глубокое в сравнении с обычной школой изучение программного материала. По нашему мнению, это означает, что содержание обучения в таких классах помимо включения дополнительных математических вопросов должно в большей степени ориентироваться на более полное с научной точки зрения рассмотрение вопросов базового уровня. Это позволит после приобретения теоретических знаний по математике перейти к их применению, выработке практических умений, развитию творчества учащихся, что будет способствовать развитию математических способностей, а также соответствовать возрастным особенностям школьников, у которых формируется устойчивый интерес к математической деятельности. Поэтому мы предлагаем в классах с углубленным изучением математики обратить внимание на вопросы, относящиеся к школьной теории чисел. Линия числа является одной из наиболее важных содержательных линий школьного курса математики, но материал проходится, как правило, только в курсе 5-6 классов, где изучаются выборочные вопросы и решаются, в основном, задачи алгоритмического характера. Тогда как, теория чисел содержит материал, доступный для освоения учащимися, наглядный и интересный, применение которого можно показать на задачах, для решения которых учащимся потребуются математические способности и творческий подход. Это соответствует нашим требованиям о том, что содержание и методика обучения в математических классах должны предполагать максимально возможно полное и строго логичное построение и освоение программного материала, а также разностороннее применение его на практике. Таким образом, учебный материал, классов с углубленным изучением математики, должен быть, в основном, в рамках программ и стандартов школьного курса математики, но изучаться значительно глубже, чем в обычной средней школе.

Также акцентируется внимание на развитие в процессе обучения (в том числе и математике) таких общих исследовательских умений, как:

- умение формулировать учебную проблему;

- умение выдвигать предположение, гипотезу;

- умение осуществлять доказательство в решении учебной проблемы;

- умение экспериментально проверять теоретически обоснованную гипотезу;

- умение делать обобщающие заключения и вывод.

Выделяются общие действия, характерные для математики:

- выяснение влияния определенного условия на выполнение некоторого свойства объекта;

- выделение условий, при которых выполняется некоторое свойство объекта;

- выяснение факта, показывающего, как с изменением условий изменяется установленный результат.

Кроме того, в работах по методике математики основное внимание уделяется развитию исследовательских умений при решении задач. Мы же считаем, что развитие исследовательских умений учащихся может происходить и при изучении теоретического материала.

В работах педагогов и психологов отмечены педагогические условия, на которые надо ориентироваться при организации исследовательской деятельности и качества личности, формирование которых необходимо для развития исследовательских умений.В образовании провозглашен принцип личностно-ориентированного взаимодействия учителя с учениками, в связи, с чем начальный этап обучения предмету имеет целью общее интеллектуальное развитие учащихся, воспитание необходимых качеств мышления посредством организации умственной деятельности на базе учебного материала. Социальным заказом общества школе в психолого-педагогическом плане является переход от ориентации на среднего ученика к дифференцированному и индивидуальному подходу. Это означает, в том числе, ориентацию на индивидуально-психологические особенности ученика.

Известно, что обучение применительно к среднему уровню - к среднему развитию, средней подготовленности, средней успеваемости, иначе говоря, с ориентацией на некоего мифического "среднего" ученика, часто приводит к тому, что "сильные" ученики искусственно сдерживаются в развитии, теряют интерес к учению, которое не требует от них умственного напряжения; "слабые" ученики, наоборот, часто обречены на хроническое отставание и также теряют интерес к учению, которое требует от них слишком большого умственного напряжения.

"Средние" ученики - это ученики очень разные. Они отличаются интересами и склонностями, особенностями восприятия, памяти, воображения, мышления.

Цель сохранить и развить индивидуальность детей должна преследоваться при создании новых школьных программ дифференцированного обучения. Опыт работы школ и классов, в которых преподавание некоторых предметов ведется по углубленным программам, свидетельствует о необходимости максимального учета индивидуального фактора, а также об использовании разнообразных форм работы с учащимися в целях полноценного развития их природных склонностей .

Дифференцированное обучение математике, организация школ и классов с углубленным изучением математики требует создания условий для общего развития учащегося, для проявления его индивидуальности, использования его личного (субъективного) опыта, развития внутренней инициативы обучаемого, включения его в учебно-исследовательскую деятельность, что позволит значительно повысить интерес к знаниям у учащихся и собственную обучаемость. Организуя деятельность учащихся в специализированных классах, необходимо учитывать типические отличия детей и их проявление в школьном обучении. Имеется в виду и тип нервной системы, наличие математических способностей, одаренность детей .

Учебная деятельность побуждается в большей степени социальными мотивами учения: мотив долга, престижная мотивация и мотивы самосовершенствования. Больше нравятся гуманитарные предметы. Не нравятся, как правило, предметы физико-математического цикла. Мотивы обучения в большей степени связаны со становлением их личности, со стремлением к самопознанию, к самосовершенствованию. Большой интерес вызывает эстетическая сторона предметов.

Познавательная потребность связана в большей степени с потребностью в новых впечатлениях.

Учебная деятельность побуждается, прежде всего, познавательными мотивами. Привлекает сам процесс учения. Присущи высокая потребность в постоянной умственной деятельности, желание решать трудные, необычные задачи.

Больше нравятся предметы физико-математического цикла. Наиболее значимые мотивы связаны больше с собственно интеллектуальной деятельностью. У них большой интерес к теории, к методам научного исследования, к самостоятельным поискам. Сами занятия школьными науками рассматриваются как средство для развития своего мышления. Более сформированы зрелые формы познавательной потребности, направленные на содержание и сам процесс овладения знаниями. Мечтатели с более яркими фантазиями и воображением. В своем поведении более склонны полагаться на интуицию. Следуют более чувству, чем рассудку.

Более практичны и реалистичны. В своих поступках более подчиняются рассудку, логике. Предпочитают общению интеллектуальные занятия. Спокойны и уравновешенны. Хорошо владеют собой даже в трудных ситуациях. Более высокий уровень интеллектуального развития. Стараются планировать свое поведение. Хорошо осознают собственные недостатки.

22. Методика изучения темы «Делимость натуральных чисел»

Делимость чисел в программе входит в тему «Натуральные числа». Основные вопросы делимости чисел:

1) Признаки делимости чисел;

2) Разложение чисел на простые множители;

3) Общие делители нескольких чисел;

4) Наименьшее кратное нескольких чисел.

Изучение делимости чисел имеет цель не только создать необходимую базу для изучения дробей, но и расширить знания учащихся о свойствах натуральных чисел, а кроме того, научить их рассматривать всякое натуральное число как произведение натуральных чисел.

Признаки делимости

В программу включены признаки делимости на 2; 5; 9 и 3. В основу изучения их положено следующее.

1) Признаком делимости одного числа на другое называется необходимое и достаточное условие делимости первого числа на второе.

2) Если одно из двух слагаемых делится на какое-нибудь число, то для того, чтобы вся сумма разделилась на это число, необходимо и достаточно, чтобы другое слагаемое делилось на то же число.

3) Чтобы произведение двух сомножителей делилось на данное число, достаточно, чтобы один из сомножителей делился на это число.

Первый урок о делимости чисел посвящается введению понятий: делитель числа, кратное число. Этот урок следует за повторением всех действий над целыми числами, и поэтому его полезно начать с вопроса: для всех ли пар целых чисел выполнимы все 4 арифметических действия? Предложить придумать примеры невыполнимости действий вычитания и деления. Показать, что признак невыполнимости вычитания прост; не производя же деления, иногда трудно установить, делится ли нацело одно число на другое. Затем перейти к решению задач, которые показывают цель изучения этого раздела. Такими задачами могут служить задачи на определение размеров прямоугольника по его площади и размеров прямоугольного параллелепипеда по его объему, например:

1. Под клумбу нужно отвести участок в виде прямоугольника, площадь которого равна 24 м2. Найти длину и ширину его.

2. Найти длину, ширину и высоту прямоугольного ящика, объем которого равен 40 дм3 (если длина, ширина и высота выражаются целыми числами).

В результате решения этих задач ученики приходят к выводу, что необходимо уметь числа раскладывать на множители: число 24 на два множителя, 40 на три множителя, а для этого нужно знать, на какие числа делятся данные числа без остатка.

Полезно устно выполнить упражнения, решение которых упрощается путем применения разложения на множители, например 72*125. Рассуждения при решении можно записать так:

72*125=(8*9)*125 = (8*125)*9 = 9000.

Затем вводятся понятия «делитель числа», «число, кратное данного числа». Эти понятия закрепляются решением примеров.

Дано число 16. Назовите его делители, назовите несколько чисел, кратных 16. Назовите наименьший делитель данного числа, наименьшее кратное его, наибольший делитель, наибольшее кратное этого числа. Следующие уроки посвящаются изучению на частных примерах основным теорем делимости.

Примерный план урока на тему «Делимость суммы».

1. Устные упражнения на нахождение делителей данного числа, кратного данного числа.

2. Перед учащимися ставится задача: найти признаки, по которым можно узнать, не производя деления, делится ли одно число на другое.

Записывается тема урока.

Вывешиваются по очереди таблицы для наблюдений. Первый справа столбец закрыт. Его открывают после того, как ученики сделали вывод относительно делимости суммы.

Таблица 1.

Делимость слагаемых

Примеры

Делимость суммы

Каждое слагаемое делится на 2 без остатка

8+14=22

8+12+6=26

Сумма делится на 2 без остатка

Каждое слагаемое делится на 5 без остатка

25+45 = 70

30+40+35 = 105

Сумма делится на 5 без остатка

Каждое слагаемое делится на 3 без остатка

3+9=12

15+24+30=69

Сумма делится на 3 без остатка

Наблюдения учащихся за каждым слагаемым и суммой.

Самостоятельное придумывание примеров и запись примеров в тетрадях с объяснением.

Вывод, сделанный самостоятельно учащимися после проведенных наблюдений: если каждое слагаемое делится на одно и то же число, то и сумма разделится на это число.

Ученики записывают вывод в тетрадях.

Аналогичная работа проводится над таблицами (2,3).

Таблица 2.

Делимость слагаемых

Примеры

Делимость суммы

Одно из слагаемых не делится без остатка на 2

12+5=17

18+13+14=45

Сумма не делится без остатка на 2

Одно из слагаемых не делится без остатка на 5

6+40=46

7+20+30+40=97

Сумма не делится без остатка на 5

Одно из слагаемых не делится без остатка на 3

17+12=29

15+24+16=55

Сумма не делится без остатка на 3

Одно из слагаемых не делится без остатка на 11

14+33=47

44+55+12=111

Сумма не делится без остатка на 11

Самостоятельный вывод: если одно из слагаемых не делится, а все прочие делятся на данное число, то сумма не разделится на это число.

Самостоятельное придумывание учащимися (после наблюдения) примеров на тот и другой случай.

Вывод (дают ученики): если ни одно из двух слагаемых не делится на данное число, то сумма иногда делится, а иногда не делится на то же число.

Задачи (решаются устно).

1. В класс, в котором 40 учеников, принесены для раздачи три пачки тетрадей: две по 50 тетрадей, третья - 60. Если ученикам из каждой пачки дать поровну, то можно ли еще разделить на 40 человек оставшиеся тетради?

2. В класс, в котором 40 учеников, принесены для раздачи три пачки карандашей: в одной - 45 карандашей, во второй - 54, а в третьей - 44. Если каждому ученику из каждой пачки дать поровну, то можно ли еще разделить на 40 человек оставшиеся карандаши?

Наблюдения над примерами:

(8+7):5 - сумма остатков делится на 5 и сумма делится на 5.

(8+8):5- сумма остатков не делится на 5 и сумма не делится на 5.

Вывод: если ни одно слагаемое не делится на данное число, то сумма разделится на это число в том случае, когда сумма остатков делится на данное число.

Домашнее задание. Придумать на каждый случай делимости суммы по одному примеру.

На следующем уроке можно рассмотреть с учениками следующие суммы:

1) 7 + 5 + 6;

2) 8 + 6 + 5;

3) 8 + 11 + 6.

Учащиеся путем наблюдений приходят к выводу, что если более чем одно из слагаемых не делится на данное число, то сумма может делиться на данное число, а может не делиться. Первая сумма делится на три, вторая не делится на пять, третья сумма делится на пять.

При повторении пройденного учениками еще раз предлагаются примеры сумм двух слагаемых. В результате формулируется признак делимости суммы на данное число, то их сумма делится на это число тогда и только тогда, когда другое слагаемое делится на это число. Этот признак используется при выводе частных признаков делимости на 2 и 5. Данное число разбивается на два слагаемых, из которых одно делится на данное число, таким образом делимость всего числа будет зависеть только от второго слагаемого. Признаки делимости лучше всего проходить в следующем порядке: на одном уроке признаки делимости на 2 и 5, на другом - на 9, на третьем - закрепление признака делимости на 9 и признак делимости на 3.

При изучении признаков делимости на 9 и на 3 рассматривается сначала делимость разрядных единиц на 9, потом разрядных чисел на 9.

При формулировке признаков делимости следует объяснить ученикам значение слов «те и только те» и требовать их употребления. Эти слова заменяют: «необходимо и достаточно».

Например, после того как учащиеся пришли к выводу, что если сумма цифр делится на 3, то и число делится на 3, полезно поставить вопрос, будет ли делиться на 3 число, сумма цифр которого не делится на 3. Отсюда можно перейти к краткой формулировке при помощи слов «те и только те».

Разложение чисел на простые множители.

Разложение чисел на простые множители - основной вопрос раздела «Делимость чисел». На первом уроке, посвященном этому вопросу, снова возвращаются к задачам определения размеров прямоугольника по его площади, размеров прямоугольного параллелепипеда по его объему. При решении этих задач ученики убеждаются, что существуют числа, который могут быть представлены только как произведение единицы на само число, и после этого вводится определение простого числа.

Для закрепления представлений о простых и составных числах и их распределении в натуральном ряду чисел полезно познакомить учащихся с составлением таблицы простых чисел при помощи так называемого «решете Эратосфена».

«Решетом Эратосфена» называется прием для составления простых чисел, который был найден греческим ученым Эратосфеном (276-193 гг. до н.э.). Учащиеся знакомятся сначала с механическим приемом составления таблицы простых чисел. В тетрадях чертят квадрат со стороной 5 см, разделенный на 100 клеток, в каждой клетке записывают натуральное число, начиная от 1 до 100, и учитель предлагает зачеркивать числа: сначала 1, потом каждое второе число после 2, каждое третье число после 3, каждое пятое число после 5 и каждое седьмое после 7.

После этого учитель предлагает объяснить, почему полученные числа простые. Учащиеся называют числа, вычеркнутые после 2.

4 = 2 + 2; 6 = 2 + 2 + 2; 8 = 2 + 2 + 2 + 2 и т.д. и убеждаются, что все эти числа кратные 2, вычеркнутые после 3: 6 = 3 + 3; 9 = 3 + 3 + 3 и т.д. Эти числа, кратные 3. Следующие группы чисел - кратные 5, кратные 7. Выясняется вопрос, почему не вычеркиваются числа, кратные 11. Так как самое большое число в таблице 100 при делении на 11 дает в частном 9, то кратные 11 имеют делитель меньше 9. Числа, кратные 11, уже вычеркнуты.

Обращается внимание, что единица не считается на простым, ни составным числом, так как она имеет только один делитель, простые же числа имеют два делителя и только два, составные - три и более.

Полезно рассказать учащимся, что число простых чисел неограниченно, нельзя назвать последнее простое число.

Чтобы, не пользуясь таблицей, установить, что данное число простое, необходимо попробовать делить его на все последовательные простые числа до тех пор, пока в частном на получится число, меньшее делителя, и только тогда можно сделать вывод, что данное число простое.

Следует познакомить учащихся с таблицей простых чисел и приучить их пользоваться этой таблицей. Большинство учеников обычно не представляют простого числа, которое больше двузначного числа. Они с трудом воспринимают, что числа 2143, 4373, 5639 - простые числа.

Далее перед учениками ставится задача разложения чисел на простые множители. Сначала следует представить число в виде произведения составных множителей, а затем уже получить разложение на простые множители. На нескольких примерах ученики наблюдают, что всякое составное число раскладывается только на один ряд простых множителей, независимо от способов разложения, например:

36=4*9=2*2*3*3

36=6*6=2*3*2*3=2*2*3*3

Полезно начать разложение с небольших чисел и составить таблицу разложения составных чисел от 4 до 20. Особо следует остановиться на разложении чисел, записанных единицей с нулями, на простые множители. Числа, оканчивающиеся нулями, удобно разлагать на множители, выделив сначала составной множитель, записанный единицей с нулями.

45000=45*1000=5*3*3*2*2*2*5*5*5=2*2*2*3*3*5*5*5*5

Запись разложения на множители с помощью вертикальной черты следует использовать только в тех случаях, когда промежуточное разложение на составные множители затруднительно. При записи разложения с помощью вертикальной черты учащиеся часто не представляют числа в виде произведения и производят разложение механически. Разложение на множители используется для нахождения делителей числа с целью подготовки к изучению вопросов: делители данного числа и кранные данного числа.

Следует рассмотреть решение примеров вида - найти частое кратчайшим путем:

1) (5*7):7;

2) (2*3*5):2 и т.д.

Затем показать, что произведение нескольких сомножителей можно представить в виде произведения любого его множителя на произведение всех остальных, например:

210=2*3*5*7=2*(3*5*7)=3*(2*5*7)=5*(2*3*7)=7*(2*3*5)

Составное число можно разложить на два множителя другим способом.

210=(2*3)*(5*7)=(2*5)*(3*7)=(2*7)*(3*5)=(2*3*5)*7=(2*3*7)*5

Ученики приходят к выводу:

1) делитель составного числа может быть произведением двух, трех, четырех и т.д. его любых простых множителей;

2) кратное данного числа должно содержать все простые множители делителя.

Один из уроков следует посвятить введению понятия общего делителя нескольких чисел. Учащимся предлагается найти делители чисел и выписать общие делители. После рассмотрения ряда конкретных примеров они дают определение общего делителя. Учащиеся знакомятся с взаимно простыми числами. Им следует предложить указать среди общих делителей наибольший общий делитель.

Не рассматривая способа отыскания наибольшего общего делителя данных чисел, полезно решить задачи, показывающие практическое применение понятия общего делителя, например:

1. Длина прямоугольника 175 м, ширина 105 м. Чертежник хочет сделать план участка, приняв 1 см на чертеже равным такому целому числу метров, чтобы чертеж имел наименьшие размеры, выраженные в целых числах. Какой масштаб нужно взять?

2. Начертить диаграмму, изображающую в виде прямоугольников с равными основаниями следующие глубины:

Великого океана в среднем - 3500м., Атлантического - 3780 м., Сев.Ледовитого - 4830м., Средиземного моря - 1400 м.

Какой масштаб нужно взять, приняв 1 мм равным такому целому числу метров, чтобы чертеж имел наименьшие размеры, выраженные в целых числах?

Ученики для решения используют признаки делимости чисел. Рассмотрим примерную систему упражнений, подводящую учащихся к понятию наименьшего общего кратного двух или нескольких чисел и к способу его нахождения.

1. Даны два числа: 3 и 4. Записать числа, кратные каждого из них в отдельности.

Подчеркните общие кратные чисел 3 и 4. Можно ли еще назвать числа, которые будут общими кратными чисел 3 и 4? Назовите их. Можно ли найти наибольшее общее кратное? Назовите наименьшее общее кратное чисел 3 и 4.

2. Найдите также общие кратные для чисел 4 и 5, подчеркните и выделите среди них наименьшее.

3. То же для чисел 18 и 15.

4. Какое число называется наименьшим общим кратным данных чисел?

Решить 1-2 задачи, аналогичные данной: «Требуется приготовить ящик для укладки коробок шириной в 9 см и длиной в 21 см. Какова должна быть наименьшая величина стороны квадратного дна, чтобы коробки поместились в ящике вплотную? Сделать чертеж, на котором длина клеточки тетради соответствует 3 см в действительности».

После выполнения упражнений учащимся предлагается разложить на простые множители данные числа, найти их НОК и сравнить состав сомножителей полученных произведений, например: 9 = 3*3; 21 = 3*7; 63 = 3*3*7. Ученики замечают, что в НОК входят все множители одного числа и недостающие множители из разложения второго числа. Полученные наблюдения подводят учащихся к формулировке правила нахождения НОК.

23. Методика изучения темы «Обыкновенные и десятичные дроби и действия над ними»

Введение дробных чисел в школьном курсе связывается с необходимостью более точного измерения величин, с делением чисел. В связи с этим целесообразно познакомить учащихся с возникновением дробных чисел в процессе практической деятельности человека, а именно в процессе измерения. Краткая историческая справка поможет учащимся лучше овладеть данным материалом. Согласно программе и учебнику по математике формирование понятий дроби начинается с умения получать доли при делении какой-либо величины на несколько равных частей.

Учащимся сообщается, что для выражения одной или нескольких долей предмета нужны новые числа, а именно дроби. Далее приводятся примеры обыкновенных дробей и даётся форма записи обыкновенной дроби, проводится обучение чтению. Учащиеся должны помнить: числитель дроби -- количественное числительное женского рода (одна, две и т.д.), а знаменатель -- порядковое числительное (седьмая, сотая, двести тридцатая и т.д.). Например, -- одна пятая; -- две шестых; -- семь десятых; -- восемьдесят три сто пятьдесят вторых. В процессе работы над закреплением понятия дроби необходимо познакомить учащихся с происхождением слова «дробь», ввести термины «числитель», «знаменатель». После рассматриваются признаки дробей, затем приведение дробей к общему знаменателю (замена дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели).

Объяснение материала сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого нужно начертить на доске квадрат и разделить его на 9 равных частей (долей), для того чтобы учащиеся убедились, что каждая часть (доля) может выражаться дробью . Предложить учащимся закрасить две такие части одним цветом, три части - другим цветом и поставить перед ними вопрос: «Сколько всего закрашенных частей». Ученики ответят, что закрашено 5 частей. Если записать сказанное в виде дроби, то получится

;

при записи с помощью букв:

.

После этого учащиеся сами могут сформулировать правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

Далее можно переходить к правилу сложения дробей с разными знаменателями. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к наименьшему общему знаменателю, затем, используя правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями, продолжать выполнить сложение.

Например, чтобы найти сумму дробей 5/7+3/4, нужно найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. НОК (7,4)=28. Следовательно, наибольшим общим знаменателем дробей 5/7 и 3/4 является число 28. Дополнительные множители 28:7=4 и 28:4=7.

Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю

.

Выполняемость переместительного и сочетательного свойств при сложении дробей учащиеся должны проверить сами. Тогда усвоение нового материала будет более результативным.

Например,

- переместительное свойство

- сочетательное свойство.

Поскольку целые части смешанных чисел являются натуральными числами, сложение смешанных чисел состоит из сложения натуральных чисел и сложения дробей с разными знаменателями. Кроме того, при сложении смешанных чисел, складывая целые и дробные части отдельно, применяют переместительное и сочетательное свойства сложения.

Например,

После того, как учащиеся овладеют навыками сложений смешанных чисел, задавая наводящие вопросы, можно предложить им сформулировать правило сложения смешанных чисел.

Учащиеся, используя пример 12 5/7+9/14, приходят к выводу о том, что сумма смешанного числа и правильной дроби является смешанным числом.

Например,

.

Учащиеся могут приобрести навыки сложения натурального и смешанного чисел при выполнении таких примеров:

.

Чтобы закрепить навыки, приобретенные учащимися при изучении основных положений данной темы, учитель может провести фронтальный опрос, предложить повторить правила сложения различных смешанных чисел.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями объясняется использованием отрезков различной длины.

Например: длина отрезка АВ равна , а длина отрезка АС-. Найдите длину отрезка СВ.

Решение: СВ = АВ-АС, тогда СВ=7/8-3/8=4/8=1/2.

При написании формул с помощью букв вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, выглядит так:

, где .

Далее следует объяснение вычитания дробей с разными знаменателями. Для вычитания дробей с разными знаменателями нужно привести к наименьшему общему знаменателю данные дроби, записав их с одинаковыми знаменателями.

Например,

.

После выполнения учащимися нескольких примеров и овладения навыками таких вычислений можно задать наводящие вопросы, для того чтобы учащиеся сформулировали правило вычитания дробей с разными знаменателями.

Выполнение умножения обыкновенных дробей обычно рассматривается на примере нахождения площади прямоугольника, вырезанного из квадрата. Чтобы вырезать прямоугольник длиной 4/5дм, шириной - 2/3 дм из квадрата, длина которого равна 1 дм, нужно, разделив его на 15 частей, вырезать прямоугольник, длина которого состоит из 4 частей, ширина из 2 частей. Тогда учащиеся убеждаются в том, что вырезанный прямоугольник состоит из 8 частей и что площадь одной части равна 1/15 дм2. Отсюда видно, что площадь полученного прямоугольника равна 8/15 дм2 . Числитель дроби представляет собой произведение числителей умножаемых дробей , а знаменатель - произведение знаменателей умножаемых дробей . После этого, задавая дополнительные наводящие вопросы можно помочь учащимся самостоятельно сформулировать правило умножения дробей.

Например,

1. На сколько частей разделили квадрат?

2. Из скольких частей состоит прямоугольник?

3. Как получили числитель дроби произведения?

4. Как получили знаменатель дроби произведения?

Ответив на эти вопросы, учащиеся смогут самостоятельно сформулировать правило умножения дробей.

Учитель обязательно должен дать правило умножения дробей, произнеся определение приподнятым тоном, затем показать, как это правило записывается с помощью букв

.

Следует напомнить учащимся о том, что, прежде, чей приступить к умножению обыкновенных дробей, нужно сократить дроби и записать их в виде несократимых дробей, затем выполнить умножение.

Например,

.

В учебнике особое внимание уделено умножению натуральных чисел на обыкновенные дроби. Любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби со знаменателем 1. При умножении его на 1 снова получается само это число. Поэтому при умножении натурального числа на дробь нет необходимости в представлении натурального числа в виде неправильной дроби со знаменателем 1. После объяснения этого учащимся нужно сформулировать правило: чтобы умножить натуральное число на дробь, надо числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

или .

Например,

.

При объяснении учащимся правила умножения смешанных чисел следует сказать о том, что сначала необходимо представить их в виде неправильных дробей, только затем приступить к умножению их, применяя правило умножения дробей.

Например,

.

В учебнике деление обыкновенных дробей объясняется на примере решения уравнения, в котором один из множителей дан в виде неизвестной дроби.

В начале, когда учащиеся только приступают к изучению деления дробей, они могут записать последовательно все производимые ими операции. Когда учащиеся овладеют навыками выполнения деления обыкновенных дробей, учитель может требовать от них сокращенную запись деления дробей.

Это, во-первых, позволяет экономить время, во-вторых, способствует повышению скорости мышления учащихся, прививает навыки логического мышления. Такой дидактический прием лишен наглядности, однако он постоянно активизируя познавательную деятельность учащихся, имеет прогрессивное значение.

Десятичные дроби не являются новыми числами по сравнению с обыкновенными дробями. Они представляют лишь другую запись ранее известных обыкновенных дробей со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д. В математических вычислениях и практических расчетах более удобными являются десятичные дроби. Основные цели изучения темы «Десятичные дроби» - сформировать навыки чтения, записи, сравнения и вычислений с десятичными дробями, их округления. При изучении темы рассматриваются возможности записи чисел в различных эквивалентных формах. Для этой цели предлагаются задания на запись натуральных чисел в виде обыкновенной и десятичной дроби, на запись десятичных дробей в виде обыкновенных, на выбор обыкновенных дробей, которые можно записать в виде десятичных, пользуясь основным свойством дроби.

Поскольку десятичные дроби являются числами, записанными в десятичной системе, сложение десятичных дробей выполняют так же, как и сложение натуральных чисел. Запись слагаемых одно под другим в столбик так, чтобы запятые оказались друг под другом, является основным условием сложения десятичных дробей. Об этом следует сказать учащимся. При такой записи слагаемых одноименные разряды указываются друг под другом, что позволяет произвести сложения десятичных дробей. После этого десятичные дроби складываем так же, как складывали натуральные числа. В полученном результате запятую ставим под запятой в данных дробях.

При использовании этого способа сложения нужно, превратив слагаемые (десятичные дроби в обыкновенные), проверить полученную сумму сложением обыкновенных дробей.

При сложении десятичных дробей выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения. Использование этих свойств облегчает выполнение сложения дробей.

Например,

(2,3+5,81)+6,7=(2,3+6,7)+5,81=9+5,81=14,81

- здесь использовано переместительное свойство сложения.

В задании для предварительной подготовки учащихся к новой теме уменьшаемое и вычитаемое, данные в виде десятичных дробей, записаны так, чтобы одноименные разряды оказались друг под другом. Учащиеся выполняют вычитание десятичных дробей по разрядам, начиная с наименьшего разряда.

3,7-1,2=2,5

7,21-1,5=5,71

25-2,64=22,36.

При вычитании десятичных дробей, точно так же как и в случае сложения десятичных дробей, уменьшаемые и вычитаемые дроби записывают так, чтобы запятые находились друг под другом, затем уравнивают число десятичных знаков них, выполняют вычитание, начиная с наименьшего разряда.

Например,

18,45-9,76=8,69

18,45

- 9,76

8,69

Проверка в виде обыкновенных дробей.

Если уменьшаемое представляет собой натуральное число, то, поставив после него запятую, к нему приписывают нужное число нулей и выполняют вычитание.

Тему умножения десятичных дробей начинается с умножения десятичной дроби на натуральное число.

Умножение десятичной дроби на натуральное число можно заменить суммой слагаемых, каждое из которых равно этой десятичной дроби, а количество слагаемых - данному натуральному числу.

Например,

.

При умножении десятичных дробей на разрядные единицы 10,100, 1000 и т. д. путем логического синтеза учащиеся приходят к следующему выводу. Чтобы умножить десятичную дробь на 10,100,1000 и т.д.

разрядные единицы, надо запятую в этой дроби перенести настолько знаков вправо, сколько нулей в разрядной единице.

После объяснения материала нужно задать вопросы по основным моментам новой темы. Это способствует закреплению и обобщению знаний учащихся.

При выполнении умножения десятичных дробей нужно обратить внимание учащихся на то, что сумма десятичных знаков множителей равна количеству десятичных знаков произведения. После этого учащиеся смогут путем логического синтеза самостоятельно сформулировать правило умножения десятичных дробей. Затем можно приступить к проверке уровня усвоения учащимися новой темы.

При делении десятичной дроби на натуральное число сначала делят целую часть десятичной дроби на натуральное число, ставят запятую в частном после окончания деления целой части (для того, чтобы отделить целую часть частного от его дробной части), затем делят дробную часть.

Например, .

Правильность полученного результата учащиеся могут проверить умножением частного на делитель: .

Например, . Решая пример, сформулируем правило деления десятичной дроби на натуральное число:

1. не обращая внимания на запятую, нужно разделить дробь на это число;

2. поставить запятую в частном, когда закончится деление целой части, продолжить деление, пока в остатке не останется нуль.

Если целая часть делимого меньше делителя, то частное начинается с нуля.

Например, 1,2:5=0,24.

Чтобы разделить десятичную дробь на разрядные единицы 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую десятичной дроби на столько знаков влево, сколько нулей в разрядных единицах. Деление десятичных дробей на разрядные единицы 10, 100, 1000 и умножение десятичных дробей на разрядные доли 0,1, 0,01, 0,001 и т.д. дают одинаковый результат.

Например,4,29:10=0,429.

Важным элементом методики изучения чисел является убеждение учащихся в целесообразности введения новых чисел. Обыкновенные дроби использовались для записи долей. Возможность записать доли с помощью обыкновенных дробей является одним из приемов убеждения учащихся в полезности таких дробей. Помимо этого существуют еще два других приема, показывающих необходимость введения дробных чисел. Мотивировать введение дробных чисел можно также тем, что с их помощью операция деления натуральных чисел делается всегда выполнимой. Как известно, в множестве натуральных чисел число 2 не делится на число 3. дополним это множество дробями и вновь рассмотрим деление числа 2 на 3. Третий прием мотивации введения дробных чисел связывается с задачей измерения величин. Пусть, например, требуется измерить длину отрезка в сантиметрах.

24. Различные способы и методы решения задач

Анализ и синтез находят широкое применение при решении текстовых задач. Напомним, что анализ - это метод рассуждений от искомым к данным. Синтез - это метод рассуждений, ведущий от данных к искомым. Оба эти метода обычно применяются во взаимосвязи.

Анализ и синтез находят применение практически при решении каждого вида задач:

1) Анализ и синтез при решении задач на доказательство.

Задача: Шар касается всех трех боковых граней треугольной пирамиды в точке пересечения их биссектрис.

Доказать, что пирамида является правильной.

Анализ: Чтобы доказать, что пирамида правильная, достаточно доказать, что в основании ее лежит правильный треугольник, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Для доказательства первого предположения достаточно установить, что AC=AB=BC, а это в свою очередь необходимое условие того, что ASC=ASB=BSC. Достаточно доказать, что KSC=LSC, LBS=MBS. Это верно т.к. KS=LS=MS, KC=LC, LB=MB (как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности).

...

Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.