"Научные понятия не усваиваются и не заучиваются ребенком, не берутся памятью, а возникают и складываются с помощью величайшего напряжения всей активности его собственной мысли". (Выготский Л.С.)

Наше познание объективной действительности начинается с ощущения и восприятия. Но, начинаясь с ощущений и восприятий, познание действительности не заканчивается ими. От ощущений и восприятий оно переходит к мышлению.

Мышление даёт ответ на такие вопросы, которые нельзя разрешить путём непосредственного, чувственного отражения. Благодаря мышлению человек правильно ориентируется в окружающем мире, используя ранее полученные обобщения в новой, конкретной обстановке. Деятельность человека разумна благодаря знанию законов, взаимосвязей объективной действительности [18].

Эффективность и качество обучения математике определяется не только глубиной и прочностью овладения школьниками системой математических знаний, умений и навыков, предусмотренных программой, но и уровнем их математического развития, степенью подготовки к самостоятельному овладению знаниями, сформированностью умений выявлять, усваивать и запоминать основное из того большого объёма информации, который содержит школьный курс математики. Таким образом, у школьников должны быть сформированы определенные качества мышления, твёрдые навыки рационального учебного труда, развит познавательный интерес. Поэтому естественно, что среди многих проблем совершенствования обучения математике в средней школе большое значение имеет проблема формирования у учащихся математического мышления [19].

Специфика математики такова, что изучение этого учебного предмета, пожалуй, наиболее сильно влияет на развитие мышления школьников. И действительно, развитие мышления школьников тесно связано с формированием приёмов мышления в процессе их учебной деятельности. Эти приёмы (анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и т.д.) выступают также как специфические методы научного исследования, особенно ярко проявляющиеся при обучении математике (и в частности, при решении задач).

Всё человеческое познание есть не что иное, как непрекращающийся процесс постановки и разрешения всё новых и новых задач, вопросов, проблем. И лишь тогда человек усвоит научные формулы и положения, когда увидит в них не просто фразы, которые надлежит запомнить, а прежде всего с трудом найденные ответы на живые вопросы, естественно вырастающие из жизни. Ясно, что человек, увидевший в теоретической формуле ясный ответ на заинтересовавший его вопрос, проблему, трудность, эту теоретическую формулу не забудет. Ему не нужно будет её зазубривать, он её запомнит легко и естественно. А и забудет - не беда, всегда выведет снова, когда ему встретится ситуация - задача с тем же составом условий. Это и есть ум" Поэтому современное обучение характеризуется стремлением сделать развитие мышления школьников управляемым процессом, а основные приёмы мышления - специальным предметом усвоения.

В процессе эволюции математики - науки и методики математики естественно изменилось то содержание, которое вкладывалось в понятие "математическое мышление", существенно возросла роль проблемы развития мышления в процессе обучения математике.

Известный советский психолог А.Н. Леонтьев обоснованно считал, что "жизненный, правдивый подход к воспитанию - это такой подход к отдельным воспитательным и даже образовательным задачам, который исходит из требований к человеку: каким человек должен быть в жизни и чем он должен быть для этого вооружен, какими должны быть его знания, его мышление, чувства и т.д.". Следовательно, организуя и проводя обучение математике, необходимо все время иметь в виду тот идеал человека, который создан нашим обществом [20].

Если мы с этой точки зрения посмотрим на задачи общего образования, и в частности на задачи школьного курса математики, то придем к выводу, что одной из первоочередных и важнейших является задача развития мышления учащихся.

Качества человека, формируемые в учебно-воспитательном процессе, делятся на общие и специальные. Мышление, конечно, относится к общим качествам, и его формирование происходит в процессе обучения всем учебным предметам, в процессе всей жизни учащихся. Однако общепризнанно и исторический опыт это подтверждает, что обучение математике в формировании мышления играет первостепенную и исключительно большую роль. Тем более, что в данное время выдвигается задача формирования у учащихся не любого мышления, а научно-теоретического, в формировании которого роль математики еще более значительна. Поэтому нужно установить, какой вклад в решение задачи формирования научно-теоретического мышления может внести обучение математике, как оно должно быть для этого организовано, каково должно быть его содержание и методы обучения. Чтобы разобраться во всем этом, необходимо предварительно выяснить, в чем сущность мышления, каковы его особенности и виды, каким образом происходит процесс формирования мышления у детей [18].

С помощью мышления человек познает окружающий мир. Однако познание может осуществляться и без мышления, с помощью одних лишь органов чувств (чувственное познание), дающее человеку разного рода ощущения, восприятия и представления о внешнем мире. Чувственное познание является непосредственным, ибо оно осуществляется в результате прямого контакта человека, его органов чувств, с познаваемым объектом. Между тем мышление является опосредствованным познанием объекта, ибо оно осуществляется путем чувственного восприятия совсем другого объекта, закономерно связанного с познаваемым объектом, или же путем мысленной переработки чувственных представлений.

Мышление позволяет человеку выявить в познаваемых объектах не только отдельные их свойства и стороны, что возможно установить с помощью чувств, но и отношения и закономерности связей и отношений между этими свойствами и сторонами. Тем самым с помощью мышления человек познает общие свойства и отношения, выделяет среди этих свойств существенные, определяющие характер объектов. Это позволяет человеку предвидеть результаты наблюдаемых событий, явлений и своих собственных действий [17].

Итак, если чувственное познание дает человеку первичную информацию об объектах окружающего мира в виде отдельных свойств и наглядных представлений (образов) о них, то мышление перерабатывает эту информацию, выделяет в выявленных свойствах существенные, сопоставляет одни объекты с, другими, что дает возможность обобщения свойств и создание общих понятий, а на основе представлений-образов - строить идеальные действия с этими объектами и тем самым предсказывать возможные результаты действий и преобразований объектов, позволяет планировать свои действия с этими объектами.

Вся эта огромная работа выполняется с помощью мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации.

Сравнение - это сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств каждого из сравниваемых объектов) между ними. Эта операция лежит в основе всех других мыслительных операций,

Анализ - это мысленное расчленение предмета познания на части.

Синтез - мысленное соединение отдельных элементов или частей в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно. Ф. Энгельс по этому поводу писал:". мышление состоит столько же в разложении предметов сознания на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в некоторое единство. Без анализа нет синтеза".

Анализ и синтез как мыслительные операции не следует смешивать с аналитическим и синтетическим методами доказательства теорем и решения задач (иногда даже выделяют аналитико-синтетический и синтетико-аналитический методы). В любом из этих методов используется и анализ и синтез, как мыслительные операции, а различаются они лишь ходом рассуждений, идущих от условий к заключению. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть любой пример.

Задача. Доказать, что полусумма кубов двух неравных положительных чисел больше куба их полусуммы.

Решение (синтетический метод).

1-й шаг. Обозначим рассматриваемые числа через a и b. По условию а, b (1) и a?b (2).

2-й шаг. Из условия (1) следует, что a+b (3), а из условия (2), что (4) и т.д.

Уже в этих двух шагах легко усмотреть применение и анализа, и синтеза. Действительно, для того чтобы выполнить первый шаг, нужно было расчленить формулировку задачи на отдельные условия (анализ), затем сравнить эти условия с имеющимися у нас знаниями, подвести их под общие понятия и получить условия (1) и (2) (синтез). Точно так же во втором шаге мы объединили условия (1) (синтез), расчленили условие (2) на два возможных случая и т.д. Заметим, что здесь использовались и другие мыслительные операции (сравнение, обобщение, конкретизация). Вообще во всякой сложной мыслительной деятельности, такой, как доказательство теорем, решение задач и т.п., всегда используются многие мыслительные операции, а не какая-нибудь одна.

Абстракция - это мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абстракции выделенное свойство или признак сам становится предметом мышления. Все математические понятия как раз и представляют собой абстрактные объекты. Так, например, понятно геометрической фигуры образуется путем выделения в наблюдаемых предметах их формы, протяженности и взаимного положения в пространстве и отвлечения от всех других свойств (материала, цвета, массы и т.д.). Но при этом производится не только абстрагирование (выделение указанных свойств и отбрасывание всех остальных), но и идеализация этих свойств путём мысленного перехода к предельным формам, которые реально, конечно, не существуют (идеальная прямая, точка, плоскость и т.д.).

Обобщение используется в двух различных формах:

1) как мысленное выделение общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов в группы на основе выделенных инвариантов (эмпирическое обобщение);

2) как мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектах в результате анализа их существенных свойств в виде общего понятия для целого класса объектов (научно-теоретическое обобщение).

Если для первой формы обобщения характерно выделение в сравниваемых объектах любых общих признаков, то для теоретической формы обобщения характерно выделение лишь существенных свойств, которые могут быть найдены в результате анализа даже одного объекта с последующим подведением других объектов под это выделенное общее существенное свойство. Следовательно, эмпирическому обобщению соответствует движение мысли от частного к общему, а теоретическому обобщению - движение от общего к частному, от внутреннего к внешнему [18].

Конкретизация также может выступать в двух формах:

1) как мысленный переход от общего к единичному, частному и 2) как восхождение от абстрактно-общего к конкретно-частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего: как наполнение, обогащение абстрактно-общего конкретным содержанием. Например, когда от общей формулы площади треугольника переходят к формуле площади прямоугольного треугольника, то тем самым производят конкретизацию в первой форме. Когда же общее понятие геометрической фигуры как множества точек плоскости иллюстрируют на примерах треугольника, четырехугольника, круга и т.п. и выявляют при этом такие общие свойства геометрических фигур, как разбиение контуром фигуры всей плоскости на две области и другие, то тем самым производят конкретизацию во второй форме.

В зависимости от связи между чувственными и отвлеченными элементами различают три вида мышления:

1) Наглядно-действенное;

2) Наглядно-образное;

3) Теоретическое (отвлеченное, понятийное).

Наглядно-действенное мышление характерно для ребенка младенческого возраста (до 3 лет включительно), когда мысленное познание объектов совершается в процессе практических действий с этими объектами.

Наглядно-образное мышление - возникает в дошкольном возрасте и представляет собой мышление с помощью наглядных образов, поэтому такое мышление подчинено восприятию, в нем отсутствует в развернутом виде абстрагирование.

Теоретическое мышление появляется у ребенка в школьный период, и оно характерно тем, что совершается в форме абстрактных понятий и рассуждений.

В сложных мыслительных действиях взрослого имеются элементы всех трех видов мышления, но какой-то один из них обычно преобладает. Так, при доказательстве теорем, решении задач доминирует, конечно, теоретический тип мышления, хотя там используются и элементы наглядно-действенного и наглядно-образного мышления (построение чертежей, схем, мысленные и практические их преобразования и т.п.) [19].

Одновременно с развитием мышления у ребенка развивается и речь. В речи мысль обретает материальную форму, в которой она только и может быть воспринята другими людьми и самим человеком. Высокоразвитое мышление вообще невозможно вне речи, оно всегда связано с языком, и речь выступает как материальная оболочка мышления.

Каким же образом развивается мышление у ребенка? Как человек переходит от одного вида мышления к следующему? Что оказывает влияние на этот процесс? На этот счет психологи придерживаются разных взглядов.

Ряд зарубежных психологов во главе с известным французским психологом Жаном Пиаже считают, что процесс умственного развития является самостоятельным и независимым от обучения, он имеет свои собственные внутренние закономерности. Обучение может лишь задерживать или ускорять сроки появления у ребенка соответствующих видов мышления, не изменяя их последовательности и особенностей. Жан Пиаже писал: "Это большая ошибка - думать, что ребенок приобретает понятие числа и другие математические понятия непосредственно в обучении. Наоборот, в значительной степени он развивает их самостоятельно и спонтанно". Большинство советских психологов (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев и др.) придерживались и придерживаются диаметрально противоположной точки зрения. Они, не отождествляя процессы обучения и умственного развития, считают, что обучение должно идти вперёди развития. Само умственное развитие рассматривается как процесс присвоения ребенком общественно-исторического опыта, и поэтому он имеет конкретно-историческую, социальную природу: его этапы и психологические особенности определяются системой организации и способом передачи ребенку общественного опыта. Все виды, и особенности мыслительной деятельности имеют объективные, общественно задаваемые образцы и усваиваются ребенком, как в стихийном, так и в целенаправленном обучении. При этом роль обучения в умственном развитии исторически все время возрастает и в настоящее время является решающей.Л.С. Выготский указывал, что обучение должно ориентироваться главным образом на еще не сложившиеся, но возникающие психические виды деятельности ребенка. Он ввел понятие зоны ближайшего развития, в которой ребенок еще самостоятельно не может выполнять данную деятельность, но уже может ее выполнить при помощи взрослого. Выполняя эту деятельность при постоянно уменьшающейся помощи взрослого, ребенок переходит из зоны ближайшего развития в зону актуального развития, в которой он уже эту деятельность может выполнить вполне самостоятельно. Следовательно, процессы умственного развития и обучения, являются тесно связанными и взаимно обусловленными: обучение опирается на достигнутый уровень развития и способствует дальнейшему развитию ребенка, переходу его на следующий более высокий уровень развития. Но развитие не следует за обучением как тень, автоматически: оно зависит от содержания и характера обучения и многих других факторов - социальных и воспитательных (семьи, среды, природных задатков и т.д.) [21].

Несомненно, между системой обучения и ходом умственного развития учащихся существует тесная взаимосвязь, подчиняющаяся определённым закономерностям, поиски которых являются в настоящее время одной из центральных проблем педагогической психологии.

Говоря о связи обучения и развития, известный советский кибернетик А.А. Фельдбаум, разделяя мнение психологов, отмечает, что задачи обучения и развития нельзя отрывать друг от друга. Вместе с тем он пишет: "Накопление знаний играет в процессе обучения немалую, но отнюдь не решающую роль. Человек может забыть многие конкретные факты, на базе которых совершенствовались его качества. Но если они достигли высокого уровня, то человек справится со сложнейшими задачами, а это и означает, что он достиг высокого уровня культуры мышления" [19].

К сожалению, в настоящее время в психологии мышления не выявилось единого подхода к трактовке мышления, к объяснению тех "механизмов", которые им управляют. В педагогической психологии отсутствует общепринятая концепция, на основе которой обучение и развитие школьников (в частности, математические обучение и развитие) могла быть организовано заведомо эффективно.

В современной психологии мышление понимается как "Социально обусловленный процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщённого отражения действительности в ходе её анализа и синтеза". Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы.

Известно, что всякая познавательная деятельность начинается с ощущений и восприятий, переходя затем в мышление (сначала на уровне представлений, а затем на уровне понятий). Понятия, выступая одновременно и как формы отражения реальных объектов, и как средства мысленного, идеализированного их воспроизведения, конструирования (т.е. как особое мыслительное действие), образуют микроэлементы научного знания. Человек продолжает познавать окружающий мир опосредованно, выявляя такие свойства изучаемого реального объекта и такие его связи с другими объектами, которые непосредственно не воспринимаются, не ощущаются и не наблюдаются. Так возникают элементы научного знания [18].

Пытаясь разобраться в психологии математического мышления, Д. Мордухай-Болтовской выделяет в нем два процесса: постановку проблемы и ее решение, и указывает свойства ума, необходимые для успешного осуществления этих процессов. Для успешной постановки проблемы главным необходимым условием он считает творческое воображение: "При самом выборе проблемы иногда необходимо делать гипотезу, необходима не точная цепь силлогизмов, а воображение". Второй составляющей называет память на схемы рассуждений и бессознательные мыслительные процессы. "Мышление математика … глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая на ее поверхность, то погружаясь в глубину". Так же Д. Мордухай-Болтовской выделяет остроумие, как одно из характерных свойств математической способности "способность обнимать умом за раз два совершенно разнородных предмета", (то есть остроумие это способность объединять в одном суждении понятия из двух малосвязанных областей) и, наконец, быстроту математического мышления. При этом он особо отмечает, что при анализе математической способности следует резко отличать склонность к известному роду занятий от способностей [20].

Так, Б.А. Кордемский не говорит о математических способностях, а выделяет элементы математического мышления. К ним он относит инициативность (желание самому постигнуть проблему, стремление к самостоятельному поиску способов и средств решения задачи), гибкость и критичность ума (придумывание и применение нешаблонных, оригинальных, остроумных приемов решения задач и методов рассуждений с постоянной проверкой их правильности, строгости и практической ценности). Кроме этого, он выделяет и такой элемент, как волевые усилия, под которыми понимает "упорство и настойчивость, которые проявляются в преодолении трудностей, возникающих в процессе овладения математическими методами при решении задач" [20].

З.П. Горельченко отмечает, что "подлинное увлечение серьезными математическими задачами характерно только для учеников, влюбленных в математику и проявляющих повышенные способности к успешным занятиям ею. Этим учащимся свойственно стремление попробовать свои силы, прежде всего на содержательных задачах, которые решали многие математики, и решение которых до сих пор не найдено" [11].

Под математическим мышлением будем понимать, во-первых, ту форму, в которой проявляется диалектическое мышление в процессе познания человеком конкретной науки математики или в процессе применения математики в других науках, технике, в государстве, да и в обществе в целом; во-вторых, ту специфику, которая обусловлена самой природой математической науки, применяемых ею методов познания явлений реальной действительности, а также теми общими приёмами мышления, которые при этом используются [20].

Очевидно, что математическое мышление полностью отвечает той характеристике, которая присуща мышлению вообще. Вместе с тем "учить специфически человеческому мышлению - значит учить диалектике…" Последнее характеризуется осознанием изменчивости, двойственности, противоречивости, единства, взаимосвязи и взаимозависимости понятий и соотношений. Мыслить диалектически, кроме того, означает проявлять способность к нешаблонному разностороннему подходу при изучении объектов и явлений, при решении возникающих при этом проблем. Для диалектического мышления характерны также понимание различий между умозаключениями достоверными и вероятными (правдоподобными) и осознание единства и противоположности в проявлении конечного и бесконечного.

Одной из разновидностей диалектического мышления является мышление научно-теоретическое (или мышление абстрактное).

В.В. Давыдов, исследовавший вопросы формирования научно-теоретического мышления у школьников, показал, что "лишь такое математическое, физическое и прочее теоретическое мышление может истинно отразить свой объект, которое выступает как логическое мышление, перерабатывающее свой опытный материал в категориях логики…. Так, лишь задавая человеку содержательное обобщение, можно полагать, что он будет ориентироваться именно на существенные свойства вещи и вычленять их из массы несуществующих свойств, т.е. будет обладать "чутьём процесса". Критерий такого обобщения (как и всех других категорий) формирует диалектическая логика, выступающая тем самым и главным "критерием" теоретического мышления…". Таким образом, полноценное математическое мышление есть, прежде всего, мышление диалектическое [19].

Математическое мышление, являясь мышлением диалектическим, есть вместе с тем, мышление естественнонаучное и потому обладает многими свойствами, присущими последнему.

Естественнонаучное мышление может быть охарактеризовано со стороны соответствующих ему умений осуществлять поэтапное решение научных проблем. Совокупность таких умений определяет так называемый естественнонаучный метод познания, который состоит из следующих элементов:

ь понимание проблемы; точное определение её и отграничение от других проблем;

ь изучение всех ситуаций, связанных с данной проблемой; планирование поиска решения проблемы; выбор наиболее вероятной гипотезы; планирование и проведение эксперимента по проверке гипотезы;

ь проведение контрольного эксперимента;

ь выводы и их обоснование, выбор оптимального способа решения;

ь распространение выводов на новые ситуации, в которых действуют те же факторы.

Математическое мышление имеет свои специфические черты и особенности, которые обусловлены спецификой изучаемых при этом объектов, а также спецификой методов их изучения.

Прежде всего, отметим, что математическое мышление часто характеризуют проявлением, так называемых математических способностей. В психолого-дидактической и методической литературе в структуру математических способностей включаются многие качества мыслительной деятельности, именуемые либо как собственно математические способности либо как особенности мышления математика, как качество ума. Существует общее мнение об активной работе в процессе математического мышления определённых качеств мышления (например, гибкость, пространственное воображение, умение выделять существенное и т.д.), которые в равной степени могут быть соотнесены как к математическому мышлению, так и научному [18].

Эти особенности мышления будем называть качествами научного мышления. Они представляют особую дидактическую значимость: формирование их у школьников способствует не только успешному обучению математике, но и успешному обучению другим предметам естественно-математического цикла. Последняя мысль подтверждается результатами исследований советского психолога педагога Ю.К. Бабанского, показавшего, что успешность учения школьников тесно связана с сформированностью у них таких качеств мышления, как самостоятельность мышления, умение выделять существенное, рациональность мышления, гибкость мышления, логичность речи, критичность мышления, зависимость успешности учения от уровня развития памяти и внимания оказалась меньшей [20].

Качества математического мышления представлены на рисунке 2.

Рисунок 2

Все эти качества мышления взаимодействуют друг с другом и часто выступают в органическом единстве. Например, для проявления гибкости мышления умение целесообразно варьировать способы решения познавательной проблемы, лёгкость перехода от одного пути решения проблемы другому; умение выходить за границы привычного способа действия, находить новые способы решения проблем при изменении задаваемых условий; умение перестраивать систему усвоенных знаний по мере овладения новыми знаниями и накопления опыта.

Таким образом, гибкость мышления обнаруживается в быстроте ориентировки в новых условиях, в умении видеть новое в известном, выделять существенное, выступающее в скрытой форме. Важно отметить, что А. Эйнштейн указывал на гибкость мышления как на характерную черту творчества.

В качестве примера проявления гибкости мышления может служить успешное решение школьниками таких, например, задач:

1. У двух зрячих один брат слепой, но у слепого нет зрячих братьев. Как это может быть?

Из первой фразы следует как будто, что речь идёт только о братьях, тогда как на самом деле зрячими оказываются сёстры. Пока мысль движется в привычном направлении, решение оказывается невозможным.

2. Два человека одновременно подошли к реке. У берега реки стояла лодка (лишь для одного человека). Тем не менее, оба сумели переправиться через речку на этой лодке. Каким образом?

Представим эту задачу на самостоятельность решения и на проверку гибкости вашего мышления [19].

Антиподом гибкости мышления является косность мышления, чаще называемая шаблонностью мышления или психологической инерцией.

Знания и опыт весьма часто воспроизводятся сознанием по определённым, привычным для данного индивидуума "проторенным путям". Возникает предрасположение к какому-либо конкретному методу или образу мышления, желание следовать известной системе правил в процессе решения задач, - шаблонность мышления. Шаблонность мышления является весьма серьёзной помехой изобретательству и вообще творческой деятельности; нередко шаблонность мышления выступает как следствие обучения. И действительно, опыт показывает, что шаблонность мышления весьма характерна для многих школьников (как часто, например, школьники начинают решать незнакомую им задачу тем способом, который им "первым пришёл в голову"). Именно на преодоление этого качества мышления направлены известные эвристики типа: "Забудь о том, что знаешь", "Помни, что методов много, а не один", "Не иди по проторенному пути" и т.п.

Следует отметить, что шаблонность мышления, присущая многим школьникам имеет как негативный, так и позитивный характер. Она избавляет школьника от необходимости заново усваивать те или иные операции, решать задачи тех типов, которые неоднократно им встречаются, безусловно, положительно сказывается на результатах обучения. Однако шаблонность мышления мешает школьникам мыслить оригинально, отделять главное от второстепенного, отыскивать новые пути решения задач, применять известные им знания в новой ситуации. Понятно, что всё это не способствует развитию творческих инициатив школьника.

Поэтому в обучении математике, весьма важно помогать школьникам преодолевать этот "психологический барьер", развивать у них гибкость мышления [18].

Высший уровень мышления проявляется в оригинальности мышления, которая в школьном обучении математике, как правило, выступает в необычности способов известных учащимся задач. Оригинальность мышления, чаще всего проявляется как следствие глубины мышления.

Глубина мышления характеризуется умением проникать в сущность каждого из изучаемых фактов, в их взаимосвязи с другими фактами; выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале (в условии задачи, способе её решения, результате); умение конструировать модели конкретных ситуаций. Глубину мышления нередко называют умение выделять существенное.

Глубина мышления проявляется, прежде всего, в умении отделить главное от второстепенного, обнаруживать логическую структуру рассуждения, отделить то, что строго доказано, о того, что принято "на веру", извлекать из математического текста главное из того, что в нём сказано (и не более того).

Конкретным примером проявления качества мышления может служить, например, правильное выполнение следующего задания: "Известно, что сложению соответствует одно обратное действие - вычитание; то же самое можно сказать и об умножении (хотя это действие более высокой ступени). Почему же действие возведение в степень имеет два себе обратных: извлечение корня и логарифмирование?"

Недейственность переместительного закона при возведении числа в степень оказывается для школьников весьма "глубоким" свойством.

Антиподом глубины мышления является поверхность мышления. Именно этим можно объяснить обычное для учащихся затруднение, возникающее у них при ответе на следующий вопрос: "Является ли последовательность вида 2, 2, 2, … прогрессией, если является, то какой?". Усвоив поверхностно определение прогрессии, учащиеся не понимают, что ответ на этот вопрос целиком и полностью зависит от того, оговорена ли в определении возможность равенства нулю разности (или единице знаменателя прогрессии) [20].

Целенаправленность мышления характеризуется стремлением осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную этой проблемой цель, а также в стремлении отыскать наиболее кратчайшие пути её достижения. Наличие у школьников этого качества мышления особенно важно при поиске плана решения математических задач, при изучении нового материала и т.д. Этому способствуют специально подобранные учителем задачи, вводящие в изучение новой темы, посредством которых перед учащимися раскрывается целесообразность её изучения и последовательность рассмотрения относящихся к ней вопросов.

Целенаправленность мышления даёт возможность более экономичного решения многих задач, которые обычным способом решаются если не сложно, то слишком долго. Таково, например, вычисление суммы: 1 + 2 + 3 + … + 97 + 98 + 99 + 100.

Поставив целью упростить вычисление посредством применения каких-либо законов сложения, школьник без труда установит известный способ вычисления этой суммы: 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 = (1+99) + (2 + 98) +…+ (49+51) + 50 + 100 = 5050.

Целенаправленность мышления тесно связана с таким нравственным качеством личности, как любознательность, своеобразным антиподом которому является любопытство. В основе того и другого качества личности лежат условные рефлексы, в силу которых избирательная активность человека всегда имеет целенаправленный, намеренный характер.

Первое из этих качеств (любознательность) обогащает знания и опыт человека именно в силу своей целенаправленности; любопытство, превращаясь в самоцель, гасит стремление человека к познанию, как только оно удовлетворено. Поэтому в обучении математике следует всячески поощрять любознательность учащихся и не поощрять любопытство.

"Чтобы обучаться, нам нужно понимать то (приспосабливаться к тому), чему нас учат. Но, чтобы с пользой применять знания, нужно уметь задавать вопросы типа: "Так ли это?"Почему?" - и особенно самый мощный из них: "А что, если…?". Человек, который постоянно задаёт такие вопросы, уже не просто учится".

Антиподом целенаправленности является бесцельность мышления. Как уже отмечалось, целенаправленность мышления даёт возможность более экономичного решения многих задач, которые обычным способом решаются если не сложно, то слишком долго. Тем самым целенаправленность мышления способствует проявлению такого качества, как рациональность мышления, характеризуемого склонностью к экономии времени и средств для решения поставленной проблемы, стремление отыскать оптимально простое в данных условиях решение задачи, использовать в ходе решения схемы, символику и условные обозначения.

Рациональность мышления часто проявляется при наличии широты мышления, которая характеризуется способностью к формированию обобщённых способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применения к частным, нетипичным случаям; умение охватить проблему, расширить область приложения результатов, полученных в процессе её разрешения. Поэтому широту мышления часто называют обобщённость мышления [19].

Это качество мышления проявляется в готовности школьников принять во внимание новые для них факты в процессе деятельности в известной (знакомой им) ситуации. Так, например, изучив распределительный закон умножения относительно сложения, записанный в форме a* (b+c) = a*b+a*c, учащиеся проявят известную широту мышления, если сразу сумеют применить этот закон в вычислении: 2,5*73,7+26,3*2,5.

Широта мышления учащихся проявляется также в умении классифицировать и систематизировать изучаемые математические факты, обобщать их, использовать обобщение и аналогию как методы решения задач. О наличии определённой широты мышления может свидетельствовать успешность решения методом обобщения, например следующей задачи.

Делятся ли все натуральные числа вида 276, 130, 191 и т.п. на 13?

Применение метода обобщения (обозначив числа такого вида ) делает эту задачу тривиальной:

Усмотрев в решении этой задачи возможность установить удобный способ умножения трёхзначного числа на 1001, двухзначного на 101 и однозначного на 11, учащиеся также проявят известную широту мышления.

Антиподом широты мышления является узость мышления. Именно этим, например, объясняется распространённая ошибка учащихся, считающих единицу простым число и т.п.

Все рассмотренные выше качества мышления могут проявиться лишь при условии проявления активности мышления, которая характеризуется постоянством усилий, направленных на решение некоторой проблемы, желанием обязательно решить поставленную проблему, изучить различные подходы к её решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменяющихся условий и т.д.

Активность мышления у учащихся проявляется также в желании рассмотреть различные способы решения одной и той же задачи, различные определения одного и того же математического понятия, обратиться к исследованию полученного результата и т.п. Так, например, учащиеся проявят определённую активность мышления, если спросят учителя: "Почему на нуль делить нельзя?". Учитель будет способствовать развитию у школьников активности мышления, если сумеет убедить их в том, что принятое в математике условие о невозможности деления на нуль разумно.

В самом деле, проверка действия деления умножением говорит о том, что при делении на нуль, мы либо не получаем никакого результата (пусть 0 = n, тогда n * 0 = 0, но 0 ), либо результатом деления на нуль следует считать любое число (если то 0любое число, так как n*0 = 0).

Качество мышления, которое является антиподом данному качеству, есть пассивность мышления. Отметим, что пассивность мышления является одной из основных причин слабого математического развития некоторых школьников и, в частности, формального усвоения содержания обучения математике.

В числе качеств научного мышления важное место занимает критичность мышления, которая характеризуется умением оценить правильность выбранных путей решения поставленной проблемы, получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности, значимости. В процессе обучения математике это качество мышления у учащихся проявляется склонностью (и умением) к различным проверкам, грубым прикидкам найденного (искомого) результата, а также к проверке умозаключений, сделанных с помощью индукции, аналогии и интуиции.

Критичность мышления школьников проявляется также в умении найти и исправить собственную ошибку, проследить заново все выкладки или ход рассуждения, чтобы натолкнуться на противоречие, помогающее осознавать причину ошибки. Отметим, что антипод данного качества мышления - не критичность ещё свойственна многим учащимся средней школы.

С критичностью мышления тесно связана доказательность мышления, характеризуемая умением терпеливо и скрупулёзно относиться к собиранию фактов, достаточных для вынесения какого-либо суждения; стремлением к обоснованию каждого шага решения задачи, умением отличать результаты достоверные от правдоподобных; вскрывать подлинную причинность связи посылки и заключения.