"Не мыслям надо учить, а учить мыслить" (Э. Кант).

Одной из актуальных проблем общества является формирование конкурентоспособной личности, готовой не только жить в меняющихся социальных и экономических условиях, но и активно влиять на существующую действительность, изменяя её к лучшему. В связи с этим на первый план выходят определённые требования к такой личности - креативность, активность, социальная ответственность, обладание развитым интеллектом, устойчивая мотивация к познавательной деятельности.

Возрастание роли математики в современной жизни привело к тому, что для адаптации в современном обществе и активному участию в нём необходимо быть математически грамотным человеком, способным:

ь Распознавать проблемы окружающей действительности и решать их средствами математики;

ь Анализировать методы решения;

ь Интерпретировать полученные результаты;

ь Формулировать и записывать результаты решения поставленной проблемы.

Специфика математического мышления проявляется не только в том, что ему присущи все качества научного мышления, но и в том, что для него характерны особые формы (разновидности проявления мышления), которые в ходе их описания обычно выделяются специальными терминами: конкретное и абстрактное мышление, функциональное мышление, интуитивное мышление и т.п.

Ребенок пришел в школу учиться - приобретать знания. Конечно, он выучит необходимые правила и законы, сумеет пересказать то, о чем узнает. Но ребенок должен научиться также, применять свои знания в новых, неожиданных ситуациях, находить свои, нестандартные ответы на возникающие вопросы, обнаруживать противоречия и самому ставить вопросы. Его успехи в школе будут зависеть от желания узнавать новое, от веры в свои силы и от умения работать - думать.

Умственная работа - это, прежде всего активное осмысление материала, любой информации, будь то объяснение учителя, практическое действие, книга или граф, наблюдение за животными или телевизионная передача. Активное осмысление, а не пассивное восприятие и заучивание, мы связываем с процессом мышления [17].

Мышление включает в себя такие действия как:

ь установление отношений между новой информацией и известной;

ь связи теоретических положений и понятий с личным опытом человека;

ь критический анализ высказываемой идеи и оценивание полученных результатов [16].

Эти действия опираются на умение мысленно представить себе ситуацию, проследить возможные ее изменения или изменения отдельных объектов под влиянием тех или иных воздействий, на способность предвосхищать результаты и соответственно планировать свои действия, выдвигать гипотезы и проверять их, объяснять наблюдаемые явления и факты, обосновывать свои решения. Всем этим ребенок должен овладеть во время обучения.

В процессе эволюции математики-науки и методики математики естественно изменилось то содержание, которое вкладывалось в понятие "математическое мышление", существенно возросла роль проблемы развития мышления в процессе обучения математике. Несомненно, между системой обучения и ходом умственного развития учащихся существует тесная взаимосвязь, подчиняющаяся определенным закономерностям, поиски которых являются в настоящее время одной из центральных проблем педагогической психологии. Практика школьного обучения настойчиво требует от учителя проводить конкретную работу по развитию у учащихся математического мышления.

Так как в процессе обучения математике обычно используются так называемые конкретно - индуктивные или абстрактные методы обучения, то, естественно, возникает необходимость (из дидактических соображений) говорить о конкретном (предметном) или абстрактном мышлении школьников.

Конкретное (предметное) мышление - это мышление в тесном взаимодействии с конкретной моделью объекта.

Различаются две формы конкретного мышления:

1. Неоперативное (наблюдение, чувственное восприятие);

2. Оперативное (непосредственные действия с конкретной моделью объекта).

Неоперативное конкретное мышление чаще всего проявляется у дошкольников и младших школьников, которые мыслят наглядными образами, воспринимая мир лишь на уровне представлений. То, что школьники на этом уровне развития не владеют понятиями, ярко иллюстрируется опытами психологов школы Ж. Пиаже. Рассмотрим некоторые из них:

1. Детям демонстрируются два сосуда. (Демонстрация сосудов представлена на рисунке 3 и рисунке 4).

Сосуды одинаковой формы и размеров, содержащие поровну тёмную жидкость. Дети легко устанавливают равенство жидкостей в первом и втором сосуде. Далее, на виду у детей жидкость из одного сосуда переливают в другой более высокий и узкий (рис. 4) и предлагают сравнить количество жидкости в этом сосуде. Дети утверждают, что жидкости в новом сосуде стало больше.

Рисунок 3 Рисунок 4

2. Детям демонстрирую цветы васильки и маки (например, 20 васильков и 3 мака). Затем спрашивают, чего больше: цветов или васильков? И хотя дети как будто бы знают, что и васильки и маки суть цветы, они отвечают, что васильков больше. Демонстрация васильков и маков представлена на рисунке 5.

Рисунок 5

3. Через полую непрозрачную трубку на виду у детей пропускают проволоку с фиксированными на ней шариками (красным, белым, синим, зелёным), пока все шарики не скроются в трубке. Дети наблюдают порядок "вхождения" шариков в трубку. Затем начинают обратное движение проволоки, предлагая детям назвать цвет шарика, который теперь выйдет первым, вторым и т.д. Дети обычно называют шарики в том порядке, в каком они "входили" в трубку. Полая непрозрачная трубка представлена на рисунке 6.

Рисунок 6

Дело в том, что неоперативное мышление детей ещё непосредственно и полностью подчиненно их восприятию и потому они пока не могут отвлечься, абстрагироваться с помощью понятий от некоторых наиболее бросающихся в глаза свойств рассматриваемого предмета. В частности, думая о первом сосуде (см. рис. 3 и рис. 4 первый опыт Пиаже), дети смотрят на новый сосуд и им представляется, что жидкость в нём занимает больше места, чем раньше (уровень жидкости стал выше). Их мышление, протекающее в форме наглядных образов, приводит к выводу (следуя за восприятием), что жидкости в сосудах стало не поровну.

В процессе обучения математике в среднем и старшем звене школы воздействие на неоперативное конкретное мышление учащихся проявляется при использовании различных наглядных пособий, диафильмов, кино и телевидения, компьютерных технологий.

Возвращаясь к описанным выше трём опытам Ж. Пиаже, отметим, что сам Пиаже объясняет ошибочные ответы детей отсутствием у них способностей к особым мыслительным операциям (постоянство целого, устойчивое отношение части к целому и обратимость), без формирования которых невозможно овладением натурального числа.

Вместе с тем, Ж. Пиаже утверждает (и это утверждение согласуется с мнениями многих советских психологов), что оперативное конкретное мышление является более действенным для подготовки детей к овладению абстрактными понятиями. Самостоятельная мыслительная деятельность выделяется именно по мере развития практической деятельности, лежащей в основе развивающейся психики ребёнка.

Конкретное мышление играет большую роль в образовании абстрактных понятий, в конструировании особых свойств математического мышления, развитие которых способствует познанию математических абстракций.

Поэтому психологи рекомендуют широко использовать различные дидактические пособия (например, геоплан Гаттеньо, линеечки Кюзинера и т.п.), с которыми школьники могут действовать непосредственно в процессе обучения. В процессе обучения математике роль конкретного мышления особенно велика в младших и средних классах. В целях развития у учащихся этого типа мышления, помимо традиционного применения наглядных средств в обучении, необходимо учить школьников общим рассуждениям на конкретных (частных) примерах.

Так, например, весьма полезны следующие упражнения:

1. Объяснить, почему сложение в столбик даёт правильный результат?

Предполагается, что это вычисление записывается в строчку и школьники приводят необходимые обоснования правильности перехода от одного выражения к равному ему (указывая, какие законы действий здесь применены).

Объяснение представлено в таблице 1.

Таблица 1

2. Доказать (методом от противного), что если

Пусть тогда или .

, то .

, то , что невозможно.

3. Объяснить, почему

В старших классах мера конкретного в процессе познания убывает в то время, как само конкретное меняет свою форму, на смену конкретному приходит абстрактное, которое должно выступать как целесообразное обобщение конкретного, например, можно использовать при введении в новую тему.

Содействуя развитию у учащихся неоперативного конкретного мышления, полезно помнить о том, что постоянное обращение к наглядным представлениям может оказаться вредным. Так, например, чрезмерное увлечение наглядностью преподавания начал стереометрии может затормозить формирование у учащихся пространственного воображения.

Абстрактное мышление тесно связано с мыслительной операцией, называемой абстрагированием. Напомним, что абстрагирование имеет двойственный характер: негативный (отвлекаются от некоторых сторон или свойств изучаемого объекта) и позитивный (выделяют определённые стороны или свойства этого же объекта, подлежащие изучению).

Поэтому абстрактным мышлением называют мышление, которое характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания изучаемого объекта в пользу общих свойств, подлежащих изучению.

Абстрактное мышление может проявляться в процессе обучения математике:

1. В явном виде. Например, рассматривая в курсе геометрии понятие геометрического тела, мы явно отвлекаемся от всех свойств реальных тел, кроме формы, размеров и положения в пространстве;

2. В неявном виде. Например, при счёте предметов конкретного множества мы неявно отвлекаемся от свойств каждого отдельного предмета, полагая, что все предметы одинаковы (тождественны).

Подразделение абстрактного мышления представлено на рисунке 7.

Рисунок 7

Аналитическое мышление характеризуется чёткостью отдельных этапов в познании, полным осознанием как его содержания, так и применяемых операций. Оно проявляется в процессе обучения через:

1) Аналитический способ доказательства теорем и решения задач (чтобы узнать, надо знать);

2) Решение задач методом уравнений;

3) Исследование результата решения некоторой задачи и т.п.;

В свою очередь, побуждая школьников к упомянутой выше математической деятельности, учитель может способствовать развитию у учащихся аналитического мышления.

Аналитическое мышление не выступает изолировано от других видов абстрактного мышления; на отдельных этапах мышления оно может лишь превалировать над теми видами, с которыми оно выступает совместно. Этот вид мышления тесно связан с мыслительной операцией анализа.

Логическое мышление характеризуется обычно умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты, обобщать полученные выводы и т.п. Известно, что развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике является предметом особой заботы учителей и методистов. В процессе обучения математике логическое мышление проявляется (и развивается) у учащихся прежде всего в ходе различных математических выводов: индуктивных (полная индукция) и дедуктивных, в ходе доказательств теорем, обоснований решения задач и т.д.

Развитию логического мышления учащихся 4-6 классов могут способствовать, например, следующие упражнения:

1. 123545 + 424135 и 424135 + 123545.

2. Верно или неверно утверждение: "Чтобы углы были смежными, достаточно, чтобы они имели общую сторону". Будет ли это условие необходимым?

3. Решить уравнений:

(решение рекомендуется провести известным "методом интервалов").

Следует обратить внимание и на так называемые логические задачи, которые могут найти своё место в содержании домашних заданий, хотя бы в качестве необязательных упражнений (только для желающих), такие, например, как: "Двое играют в такую игру: первый называет однозначное число (т.е. целое от 1 до 9). Второй прибавляет к нему ещё какое-либо однозначное число и называет сумму. К этой сумме первый прибавляет ещё какое-нибудь однозначное число и опять называет сумму и т.д. Выигрывает тот, кто первым назовёт 66. Как нужно играть в такую игру, чтобы выиграть? Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?".

Пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами.

Известно, что невысокий уровень развития пространственного воображения и мышления учащихся обычно является для них камнем преткновения при изучении стереометрии, так как оно не формируется сразу; для его успешного развития обычно способствует использование в обучении таких компьютерных средств обучения, как презентации, кинофильмы, диафильмы и различные математические программы.

Широкое применение наглядных пособий (компьютерных средств обучения) при изучении стереометрии, конечно, в какой-то мере способствует развитию у учащихся пространственного мышления (и воображения).

В этом отношении для учащихся полезны задачи следующего вида:

1) Пересечёт ли отрезок АВ какую-либо из сторон KML?

Рисунок 8

2) Сколько отрезков изображено на рисунке 9

Рисунок 9

3) Сколько треугольников изображено на рисунке 10

Рисунок 10

Эти задачи полезно предлагать учащимся 3-5 классов.

Понятно, что немалую пользу в развитии пространственного мышления учащихся могут принести соответствующие задания, выполняемы на уроках труда или изготовление моделей пространственных фигур.

Функциональное мышление, характеризуется осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами (и умением это использовать), ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих идей школьного курса математики - идеи функции.

Наиболее характерными чертами функционального мышления являются:

"Умеет учить тот, кто учит интересно" (А. Эйнштейн).

Внеклассная работа по математике воспитывает и развивает интерес, а также формирует способности ребёнка. Управлять этим процессом - значит не только развивать и совершенствовать заложенное в человеке природой, но формировать у него потребность в постоянном саморазвитии и самореализации, так как каждый человек воспитывает себя, прежде всего сам, здесь добытое лично - добыто на всю жизнь [22].

Под внеклассной работой понимаются не обязательные, занятия с учащимися во внеурочное время. Математические школы, факультативные занятия и кружки призваны углублять математические знания школьников, уже определивших основной круг своих учебных интересов. Учитывая, что потребность в специалистах-математиках сейчас очень велика, необходимо формировать соответствующий интерес еще в школе. На уроках математики имеется немало возможностей заинтересовать школьников содержанием этой науки. Вместе с тем основная цель занятий всё же состоит в обучении определённому комплексу процедур математического характера, занимательность изложения подчинена этой цели, развитие способностей учащихся происходит в рамках изучения обязательного материала. Нередко участие во внеклассной работе по математике может явиться первым этапом углубленного изучения математики и привести к выбору факультатива по математики, к поступлению в математическую школу, к самостоятельному изучению заинтересовавшего материала и т. п [23].

Одной из важнейших целей проведения внеклассной работы по математике является развитие интереса учащихся к математике, привлечение их к занятиям в факультативах, посредством которых у них будут развиваться способности к этой науке.

Учащихся привлекает возможность добровольного участия, это помогает выявить учащихся, имеющих интерес и склонности к занятиям математикой. Также у школьников имеется большое желание проверить свои силы, математические способности, умение решать нестандартные задачи [24].

Основные цели проведения внеклассной работе по математике следующие:

1. Определить степень заинтересованности учеников и учителей во внеклассной работе по математике.

2. Определить степень совпадения интересов педагога и учеников.

3. Определить место внеклассной работы по математике средних и старших классов в школьной жизни.

4. Накопление определенного запаса математических фактов и сведений, умений и навыков, дополняющих и углубляющих знания, приобретаемые в процессе обучения для развития способностей [22].

Развитие и воспитание математической инициативы способствует возникновению у человека интереса к математике, поднимает на более высокую ступень общее качество ума и воли.

Существуют различные виды классификации внеклассной работы по математике, они весьма подробно освещены в многочисленной педагогической и методической литературе. Ю.М. Колягин различает два вида внеклассной работы по математике [24]:

Ш Работа с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала, т.е. дополнительные занятия по математике.

Ш Работа с учащимися проявляющими интерес к математике.

Но можно выделить ещё и третий вид работы:

Ш Работа с учащимися по развитию интереса и способностей в изучении математики.

Цели второго вида внеклассной работы по математике могут быть очень разнообразны и зависят от того, что интересно и что хотят узнать нового о математике ученики так, например:

1. Развитие и углубление знаний по программному материалу.

2. Привитие им навыков исследовательской работы.

3. Воспитание культуры математического мышления.

4. Развитие представлений о практическом применении математики и т.п.

Третий вид внеклассной работы может носить подобные цели, но главный упор делается на развитие интересов математики в соответствии с возможностями и способностями этой группы учащихся.

Существуют следующие формы внеклассной работы:

1. Математический кружок.

2. Факультатив.

3. Олимпиады, конкурсы, викторины.

4. Математические олимпиады.

5. Математические дискуссии.

6. Неделя математики.

7. Школьная и классная математическая печать.

8. Изготовление математических моделей.

9. Математические экскурсии.

В качестве примера применения внеклассной работы, может послужить методическая разработка: "Неделя математики" представленная учителями математики Ивановой С. А. и Турхан Л.П., которую можно просмотреть в приложении 1 [37]. Данная методическая разработка представляет особый интерес, поскольку содержит планирование интеллектуальных игр и программ, которые оформлены с использование компьютерных технологий и значительно повышают интерес у учащихся к предмету, а также выявляют у учащихся способности к математике.

Указанные формы часто пересекаются и поэтому трудно провести между ними резкие границы. Более того, элементы многих форм могут быть использованы при организации работы по какой либо одной из них. Например,

при проведении математического вечера можно использовать соревнования, конкурсы, доклады и т.д.

Основным видом внеклассной работы по математике в школе являются факультативные занятия по математике. Вызывая интерес учащихся к предмету, факультативы способствуют развитию математического кругозора, творческих способностей учащихся. Их дополняют разовые мероприятия проводимые как в школе (математические вечера, викторины, олимпиады, КВН, соревнования команд и др.), так и вне школы (математические конкурсы, занятия в физико-математических школах, конкурсы по решению задач и др.).

Математический кружок - одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий. В основе кружковой работы лежит принцип строгой добровольности. Обычно кружковые занятия организуются для хорошо успевающих учащихся. Однако следует иметь в виду, что иногда и слабо успевающие учащиеся изъявляют желание участвовать в работе математического кружка и нередко весьма успешно занимаются там; учителю математики не следует этому препятствовать. Необходимо лишь более внимательно отнестись к таким учащимся, постараться укрепить имеющиеся у них ростки интереса к математике, проследить за тем, чтобы работа в математическом кружке оказалась для них посильной. Конечно, наличие слабо успевающих учащихся среди членов математического кружка затрудняет работу учителя, однако путем индивидуализации заданий, предлагаемых учителем кружковцам, можно в некоторой степени ослабить эти трудности. Главное - сохранить массовый характер кружковых занятий по математике, являющийся следствием доступности посещения кружковых занятий всеми желающими [25].

Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Одним из средств развития интересов и творческих способностей являются олимпиадные задания.

Избрав олимпиаду одной из форм повышения интереса учащихся к предметам общеобразовательного цикла, можно найти метод развития логического мышления учащихся, укрепления навыков самостоятельного приобретения знаний, т. к удовлетворение, которое испытывают учащиеся при решении необычных задач, побуждает к дальнейшему глубокому изучения предмета.

Требования, предъявляемые программой по математике, школьными учебниками и сложившейся методикой обучения, рассчитаны на так называемого "среднего" ученика. Однако уже с первых классов начинается резкое расслоение коллектива учащихся: на тех, кто легко и с интересом усваивают программный материал по математике, на тех, кто добивается при изучении математики лишь удовлетворительных результатов, и тех, кому успешное изучение математики дается с большим трудом. Все это приводит к необходимости индивидуализации обучения математике, одной из форм которой является внеклассная работа [26].

Внеклассная работа по математике составляет неразрывную часть учебно-воспитательного процесса обучения математике, сложного процесса воздействия на сознание и поведение учащихся, углубления и расширения их знаний и навыков.

Обучение математике - это основное, но не единственное средство развития математической инициативы. Активно содействует математическому развитию и в не учебные средства (сюда можно отнести массовые популярные математические журналы, сборники математических развлечений, игр и занимательных задач, математические олимпиады школьного, городского и более высоких уровней, пропаганда математических знаний по телевидению), основным из которых является внеклассная работа по математике в школе [23].

Таким образом, внеклассная работа по математике имеет огромное значение. Различные виды этой работы в их совокупности содействуют развитию интереса учащихся: восприятия, представлений, внимания, памяти, мышления, речи, воображения. Она помогает формированию творческих способностей учащихся, элементы которых проявляются в процессе выбора наиболее рациональных способов решения задач, в математической или логической смекалке, при проведении на внеклассных занятиях групповых игр. Некоторые виды внеклассной работы позволяют глубже понять роль математики в жизни, а также содействует воспитанию товарищества и взаимопомощи. В результате такой работы происходит воспитание культуры чувств, а так же развитие и таких интеллектуальных чувств, как справедливости, чести, долга, ответственности. Главное же значение внеклассной работы по математике в том, что она содействует развитию математических способностей школьников.

В качестве примера, рассмотрим составленную мной методическую разработку внеклассного мероприятия по математике "Своя игра", целями которой, являлись:

1. Развитие познавательного интереса к математике;

2. Развивать творческие способности и логическое мышление;

3. Воспитание умения работать в команде, уважения к сопернику, воспитание чувства ответственности.

Оборудование: экран, проектор, презентация, шарики, таблички с афоризмами математиков.

Структура игры представлена в таблице 2.

Таблица 2

Вступительное слово учителя. Здравствуйте дорогие гости, зрители и участники игры. Сегодня мы проведём с вами интеллектуальное мероприятие "Своя игра". Игра состоит из трёх раундов. Первые 2 раунда по 9 вопросов (отвечают команды-участницы), третий раунд для капитанов команд состоит из 5 вопросов. Пока жюри в лице ваших преподавателей будут подводить итоги игры, мы проведём игру со зрителями. Итак, начнём, 1 раунд.

Начало 1-го раунда. В 1 раунде команды по должны выбрать вопрос по стоимости ответа за него в баллах. За правильный ответ команда получает тот бал, на вопрос которого ответила. За неправильный ответ стоимость вопроса в балах вычитается из общего резерва команды.

В 1-м раунде 9 вопросов и 3 команды (очередность заранее предопределена жеребьёвкой) принимают в нём участие. Вид вопросов 1-го раунда представлен на рисунке 14.

Первый раунд

Вопросы за 10 баллов.