Размещено на http://www.allbest.ru

3

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Тернопільський національний педагогічний університет ім. В. Гнатюка

Фізико-математичний факультет

Кафедра математичного аналізу

Прохира Лілія Володимирівна

ДИПЛОМНА РОБОТА

Теоретичні основи для реалізації розділу “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних” курсу математичного аналізу за допомогою комп'ютерних технологій

Тернопіль 2005

ВСТУП

У час активного наукового розвитку, актуальною є проблема вибору таких засобів навчання, які б давали найкращі результати. Перехід на кредитно-модульну систему, дав поштовх до використання навчально-методичного забезпечення, основу якого складають електронні підручники.

Метою дипломної роботи є підбір матеріалу для написання електронного підручника з деяких розділів курсу математичного аналізу, що сприяє підвищенню ефективності самостійної роботи студентів та створення відповідного посібника.

У ході виконання дипломної роботи нами створений такий навчальний посібник, який містить розділи “Елементи функціонального аналізу” та “Диференціальне числення функцій багатьох змінних”.

В існуючих підручниках з математичного аналізу є різні підходи до висвітлення одних і тих же питань, що викликає певні труднощі. Ці підручники писалися в той період, коли деякі питання сучасної програми не вивчались і навпаки. Тому нашим завданням було зібрати необхідні матеріали, як єдине ціле. Що ми й зробили.

Електронний підручник складається з двох частин. У першій - “Елементи функціонального аналізу”, введено поняття метричного простору, скалярного добутку, відкритих та замкнених множин, неперервних відображень. В цій частині також висвітлено теорію компактних множин, повних метричних просторів. Детально розглянуто властивості функцій неперервних на компактах, а також принцип стискуючих відображень.

У другій частині “Диференціальне числення функцій багатьох змінних” дано поняття дійсної функції багатьох змінних, часткового приросту функції по змінній х_і, викладено основи диференціального числення функцій багатьох змінних. Докладно розглянуто питання диференційовності функцій, інваріантності форми диференціала та похідної за напрямком. Окремі розділи відведено для частинних похідних та диференціалів вищих порядків, теорії неявних функцій та екстремумів функцій.

електронний посібник аналіз диференціальний числення

ЧАСТИНА I. ЕЛЕМЕНТИ ФУНКЦІОНАЛЬНОГО АНАЛІЗУ

Розділ 1. Метричні простори

§ 1. Поняття метричного простору

В математичному аналізі ми часто зустрічаємося з поняттям границі. Причому в деяких випадках для послідовності одних і тих же об'єктів, в зв'язку з різними задачами, вводяться різні поняття границі. Всі ці поняття збіжності мають те спільне, що збіжність послідовності елементів {х_п} до елемента х₀ означає необмежене “наближення” х_п до х₀, необмежене зменшення “відстані” між цими елементами, коли номер п необмежено зростає. В залежності від того, як ми розуміємо відстань між елементами х_п і х₀, ми отримаємо різні означення границі. Тоді є зручним для деяких множин елементів дати загальне поняття відстані між елементами, а потім ввести за допомогою цієї відстані поняття границі. Такі множини називаються метричними просторами.

Означення 1.1. Множина Ч називається метричним простором, якщо для будь-яких x, y із множини Ч ставиться у відповідність дійсне число с(x,y) і при цьому виконуються наступні умови:

1)с(x,y)?0, при чому с(x,y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y (аксіома тотожності);

2)с(x,y)=с(y,x) (аксіома симетрії);

3)x,y,z є Ч виконується умова с(x,z)?с(x,y)+с(y,z) (аксіома трикутника).

Прикладами метричних просторів є: відрізок, 3-вимірний простір. Елементи простору називаються точками простору, с(x,y) називається відстанню між елементами x,y. Якщо введена відстань, то говорять, що введена метрика.

Якщо візьмемо будь-яку множину, то можна ввести метрику, поклавши с(x,y)=1, якщо xy і с(x,y)=0, якщо x=y.

§ 2. Нормований метричний простір

Надалі ми будемо використовувати поняття лінійної системи, яке розглядалося в лінійній алгебрі.

Означення 2.1. Непорожня множина Ч називається лінійною системою над полем Р, дійсних чисел, якщо:

I.Для будь-яких двох елементів хR і уR є однозначно визначений третій елемент z=x+y, який називається їх сумою, причому

1) х+у=у+х (комутативність додавання),

2) х+(у+z)=(x+y)+z (асоціативність додавання).

II.Для будь-якого дійсного числа і будь-якого елемента хR існує і притому єдиний елемент х, який називається добутком елемента х на число , причому ( і - числа, х, у - елементи):

3)(х)=()х (асоціативність множення),

4)1^.х=х,

5)(х+у)=х+у (дистрибутивність множення

6)(+)х=х+х відносно додавання).

III.Існує такий елемент R, який називається нульовим, що

7) 0х= для будь-якого хR.

Означення 2.1. Лінійний система Х називається лінійним нормованим простором, якщо ставиться у відповідність дійсне число , яке задовільняє наступним умовам:

1)?0, причому =0 тоді і тільки тоді, коли ;

2), виконується рівність ;

3)для довільних з множини виконується нерівність

Число називається нормою елемента х. Елементи множини називаються точками, або векторами простору.

Якщо в лінійному нормованому просторі за відстань між елементами х, у прийняти

(2.1),

то отримаємо метричний простір.

Дійсно, з умови 1) означення 1.3 випливає, що , причому тоді і тільки тоді, коли , а це еквівалентно тому, що. Так, як , то з умови 2) означення 1.3 маємо

.

Виконання умови 3) означення метричного простору слідує з властивості 3) означення 2.1. Дійсно нехай , тоді

.

Таким чином ми переконались, що будь-який лінійний нормований простір стає метричним простором, якщо покласти . При цьому слід зауважити, що .

Зауваження 1.1 Якщо маємо лінійну систему і на ній введена матрика, то не завжди величину можна прийняти за . Справді, розглянемо множину S всіх послідовностей дійсних чисел . Коли відстань між двома послідовностями і , визначимо рівністю , то множина S стане метричним простором. Якщо в цьому просторі ввести поняття суми х+у і добутку х, елементів х на дійсне число , як це робиться з послідовностями, а за нульовий елемент прийняти =(0,0,...,0), то даний метричний простір стане лінійною системою. Коли за значення норми елемента х прийняти число , то не буде виконуватись друга аксіома норми, тобто не завжди дорівнює

§ 3. Скалярний добуток

Означення 3.1. Нехай маємо лінійну систему Х. Говорять, що на лінійній системі Х введено скалярний добуток, якщо будь-якій парі елементів і із цієї системи ставиться у відповідність дійсне число , яке задовільняє наступним умовам:

1)(х,у)=(у,х);

2)(х+у,z)=(x,z)+(y,z);

3) для довільного дійсного числа і довільних виконується рівність (х,у)=(х,у);

4)(х,х)0 причому (х,х)=0 тоді і тільки тоді коли х=.

Число (х,у) називають скалярним добутком елементів х і у. З означення скалярного добутку випливає:

, .

Позначимо . Пізніше ми покажемо, що ця величина задовольняє всім умовам норми.

Теорема 3.1. Нехай Х - лінійна система , на якій введено скалярний добуток. Тоді для будь-яких і має місце нерівність

(3.1)

Нерівність (3.1) називається нерівністю Коші-Буняковського.

Доведення. Якщо , то нерівність (3.1) очевидна.

Розглянемо випадок, коли . Нехай , очевидно, . Розглянемо скалярний добуток де л - довільне дійсне число. Внаслідок означення скалярного добутку (умова 4) при довільному . Перетворивши вираз, який стоїть в лівій частині нерівності одержимо: , або . Оскільки квадратний тричлен при всіх дійсних невідє'мний, то дискримінант цього тричлена недодатній, тобто звідси і слідує нерівність (3.1).

Покажемо, що величина є нормою. Виконання умови , очевидне. Причому тоді і тільки тоді, коли . Це слідує із умови 4) означення скалярного добутку. З рівності , де - дійсне число, слідує, що . Переконаємось, що . Так, як , то внаслідок нерівності (3.1) маємо: . Звідси слідує: . Нерівність доведена.

Таким чином ми бачимо, що лінійна система, на якій введено скалярний добуток, стає лінійним нормованим простором, якщо норму визначити рівністю , а значить і метричним, якщо за відстань між елементами х і у прийняти величину .

§ 4. Приклади метричних просторів

I. Простір Rⁿ. Розглянемо множину, елементами якої є упорядковані набори n дійсних чисел . Якщо суму елементів і визначимо рівністю , а добуток , де - рівністю , і за нульовий елемент приймемо , то дана множина стане лінійною системою. Введемо скалярний добуток елементів х і у формулою:

(4.1).

Покажемо, що при цьому виконуються всі умови скалярного добутку.

1) - очевидно.

2).

3)Нехай ,,. Тоді

.

4)Для довільного х із даної множини маємо . Звідси робимо висновок: , причому тоді і тільки тоді, коли всі .Таким чином формула (4.1) визначає скалярний добуток.

Ввівши норму на даній лінійній системі формулою , ми одержуємо лінійний нормований простір.

Тепер можна ввести відстань між елементами таким чином:

.

Означення 4.1. Простір, елементами якого є упорядковані набори п дійсних чисел , а відстань між елементами , визначається рівністю , називається простором .

II. Простір l_2. Розглянемо множину елементами якої є послідовності дійсних чисел таких, що .

Введемо суму елементів і таким чином: . Покажемо, що належить цій множині, тобто . Так, як при кожному п виконується нерівність і кожний із рядів ; збіжний, то на основі ознаки порівняння збіжності додатніх рядів, ряд теж збіжний, тобто х+у належать даній множині.

Якщо за добуток дійсного числа на елемент х із цієї множини приймемо послідовність , а за нульовий елемент приймемо , то дана множина стане лінійною системою. Введемо скалярний добуток елементів і формулою

(4.2).

Покажемо, що ряд, який стоїть в лівій частині рівності (4.2) є збіжний. З нерівності вірній при кожному , на основі ознаки порівняння збіжності додатніх рядів, слідує абсолютна збіжність цього ряду. Виконання умов скалярного добутку перевіряється так само, як і в попередньому пункті.

Введемо норму:

(4.3).

Таким чином дана лінійна система є нормованим лінійним простором, а значить і метричним, якщо за відстань між і прийняти:

(4.4).

Означення 4.2. Простір, елементами якого є послідовності дійсних чисел, які задовольняють умову , а відстань між елементами і визначається формулою

 називається простором .

III.Простір С[а,в]. Розглянемо множину функцій неперервних на сегменті [а,в]. Якщо під сумою двох функцій розуміти звичайну суму функцій, під добутком числа на функцію , звичайний добуток числа на функцію, а за нульовий елемент прийняти функцію тотожньо рівну нулю, то дана множина стає лінійною системою. Введемо на цій системі норму рівністю:

(4.5)

Вираз в правій частині існує для будь-якої функції з даної множини внаслідок 2-ї теореми Вейєрштрасса.

Покажемо, що виконуються умови 1)-3) означення норми.

1.Нерівність , причому , тоді і тільки тоді коли очевидна.

2..

3.Поскільки при кожному виконується нерівність , то і , або те саме, що .

Таким чином наша лінійна система стає нормованим простором, якщо норму визначити рівністю (4.5), а значить і метричним, якщо відстань між точками х, у цього простору визначити формулою

 (4.6).

Означення 4.3. Простір елементами якого є функції неперервні на сигменті і відстань визначається формулою (4.6) називається простором .

Розділ 2. Збіжність в метричних просторах

§ 1. Границя послідовності

В цьому параграфі ми розглянемо одне з найважливіших понять математичного аналізу - границю послідовності в метричному просторі. Ви побачите, що тут буде багато чого схожого на те, що вивчалось для послідовностей дійсних чисел.

Означення 1.1. Кулею з центром в точці , радіуса r, в метричному просторі Х називається множина точок цього простору, які задовільняють умови: .

Кулю з центром в і радіуса r будемо позначати .

Означення 1.2. Околом точки будемо називати кулю з центром в цій точці.

Означення 1.3. -околом точки називається куля .

Кулю, яка введена в означенні 1.1, називають відкритою кулею. Іноді вживають поняття замкненої кулі з центром в точці і радіусом r - це множина точок метричного простору, для яких виконується нерівність . Замкнену кулю позначають . -окіл точки х₀ будемо позначати S(x₀;), або О(х₀).

Означення 1.4. Множина М метричного простору Х називається обмеженою , якщо існує замкнена куля, яка містить цю множину.

Нехай маємо послідовність

(1.1)

елементами якої є точки метричного простору Х.

Означення 1.5. Точка , метричного простору Х, називається границею послідовності (1.1), якщо .

Дане означення, очевидно еквівалентне наступному:

Означення 1.5.* Точка є границею послідовності (1.1), якщо NN, таке, що для всіх n?N, виконується нерівність .

Якщо є границею послідовності (1.1), то це записують так: .

Як ми бачимо, означення границі послідовності в метричному просторі, аналогічне означенню границі послідовності дійсних чисел (Якщо , то ).

Якщо , то геометрично це означає, що який би ми окіл точки не взяли, починаючи з деякого номера, всі члени послідовності попадуть в цей окіл.

Означення 1.6. Послідовність, яка має границю, називається збіжною.

Теорема 1.1. Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Доведення. Нехай і . Поскільки ,коли , то . Зачить .

Теорема 1.2. Якщо послідовність має границю, , то і будь-яка її підпослідовність має границю .

Доведення. Нехай . Тоді , на основі властивості границі для послідовностей дійсних чисел , де - підпослідовність послідовності .

Теорема 1.3. Якщо послідовність має границю, то вона - обмежена.

Доведення. Нехай . Візьмемо , тоді існує натуральне число N таке, що при всіх виконується нерівність:

(1.2).

Нерівність може не виконуватись тільки для перших N-1 елементів цієї послідовності. Якщо за r візьмемо , то для всіх n виконується нерівність: .

Означення1.7. Нехай маємо послідовність елементів метричного простору Х. Дана послідовність називається фундаментальною, якщо NN таке, що при всіх n?N, m?N виконується нерівність .

Tеорема 1.4. Якщо послідовність має границю, то вона - фундаментальна.

Дана теорема доводиться аналогічно, як і для послідовностей дійсних чисел.

Обернене твердження, як це було для дійсних чисел, в довільному метричному просторі не вірне. Дійсно, розглянемо простір, елементами якого є раціональні числа і відстань між х і у визначимо рівністю . Послідовність , nN належить цьому простору, вона - фундаментальна, але границі не має ( ірраціональне число).

Лема 1.1. Для будь-яких x, y, z, u з метричного простору Х правильна нерівність:

(1.3).

Доведення. За аксіомою трикутника маємо

,

звідси

(1.4).

Помінявши місцями x i z, y i u, одержимо:

(1.5).

З (1.4) і (1.5) випливає (1.3). Лему доведено.

Теорема 1.5. Коли , , то .

Доведення. За лемою 1.1 , коли . Теорему доведено.

Нехай маємо лінійний нормований простір. Тоді в цьому просторі можемо ввести метрику, поклавши . Збіжність в метриці породженій нормою, називають збіжністю по нормі.

Теорема 1.6. Якщо послідовність фундаментальна і існує підпослідовність цієї послідовності, яка збігається до , то і сама послідовність збігається до .

Доведення. Нехай фундаментальна послідовність, - збіжна підпослідовність, . Візьмемо . Внаслідок фундаментальності , існує натуральне число N₁ таке, що при , виконується нерівність:

(1.6).

Внаслідок збіжності існує натуральне , що при виконується нерівність

(1.7).

Нехай . Візьмемо , враховуючи, що , використовуючи (1.6) і (1.7), при будемо мати

.

Звідки слідує, що . Теорема доведена.

§ 2. Збіжність в просторах Rⁿ, l₂, C[a;b]

В цьому параграфі ми розглянемо, що означає збіжність в деяких просторах.

Розглянемо збіжність в просторі Rⁿ.

Нехай маємо послідовність , , і , де . Згідно з означенням границі послідовності, маємо: .

З нерівності , вірної при кожному k (k=1,2,…,n), робимо висновок, що при кожному k .

Таким чином ми бачимо, що із збіжності послідовності в метриці простору , слідує покоординатна збіжність.

Вірно і навпаки. Нехай при кожному і, і=1, 2, …,n . Тоді , а це означає, що .

Висновок: збіжність в просторі Rⁿ еквівалентна покоординатній збіжності.

Розглянемо збіжність в l₂.

Нехай , , . Як і в попередньому випадку переконуємось, що з збіжності послідовності в метриці простору , слідує покоординатна збіжність.

Обернене твердження, взагалі кажучи, невірне. Візьмемо послідовність: ; …; ;…

Для кожного і, і=1, 2,…, існує границя , в той час, як послідовність простору не належить.

Розглянемо збіжність в просторі С[a;b].

Нехай , де (збіжність розуміється в метриці простору ). Це означає, що або . Візьмемо , тоді існує натуральне , що при виконується нерівність: , а значить, що при всіх виконується нерівність . Тобто послідовність функцій збігається рівномірно. Таким чином, із збіжності послідовності в метриці простору С[a;b] слідує рівномірна збіжність.

Нехай послідовність {x_n(t)} функцій з C[a;b] збігається рівномірно до функції x₀(t). З теорем про неперервність границі рівномірно-збіжної послідовності неперервних функцій, слідує, що х₀(t) неперервна функція, тобто x₀C[a;b]. Візьмемо >0 . Тоді існує натуральне число N, що при всіх виконується нерівність , для всіх , а значить, і при . Звідси робимо висновок . Тобто послідовність збігається до в метриці простору С[a;b].

Таким чином можна зробити висновок: збіжність послідовності функцій в метриці простору С[a;b] еквівалентна рівномірній збіжності цієї послідовності на сегменті [a;b].

Розділ 3. Відкриті і замкнені множини

§ 1. Деякі поняття теорії метричних просторів

Нехай маємо метричний простір Х, і Е - множина цього простору, х₀Х - точка простору Х.

Означення 1.1. Точка , називається граничною точкою множини Е, якщо в будь-якому околі цієї точки міститься хоча б одна точка множини Е, відмінна від .

Означення 1.2. Точка , називається граничною точкою множини Е, якщо в будь-якому околі цієї точки міститься нескінченна множина точок множини Е.

Означення 1.1 і 1.2 - еквівалентні. Те, що з другого означення випливає перше, очевидно. Покажемо, що з першого означення слідує друге. Доведемо це методом від супротивного! Припустимо, що гранична точка множини Е згідно означення 1.1 і не є граничною згідно означення 1.2. Тоді існує окіл S(x₀;) такий, що в ньому міститься скінченна кількість точок з множини Е. Нехай це будуть точки , причому . Серед чисел , вибираємо найменше. Нехай воно дорівнює r₀. Візьмемо окіл S(x₀;r₀), очевидно . Тоді в околі S(x₀;r₀) нема жодної точки з множини Е, відмінної від . Таким чином ми прийшли до протиріччя.

Означення 1.3. Множину граничних точок множини Е називають похідною множиною множини Е.

Похідну множину позначають .

Теорема 1.1. Для того, щоб точка була граничною точкою множини Е, необхідно і достатньо, щоб існувала збіжна до послідовність попарно різних і відмінних від точок .

Доведення. Необхідність. Нехай . В кулі існує безліч точок з множини Е. Візьмемо одну з них, яка відмінна від і позначимо її . В кулі також є нескінченна множина точок з Е. Візьмемо одну з них, відмінну від і і позначимо її . Аналогічно з кулі відділяємо точку , яка належить множині Е і відмінна від . Продовжуючи цей процес до нескінченності, одержимо послідовність , , всі різні і . Так, як , коли , то .

Достатність. Нехай , , коли , і . Тоді для всякого існує натуральне число N таке, що при точки , тобто містяться в -околі точки . Отже гранична точка множини Е.

Означення 1.4. Точка , називається точкою дотику множини , якщо в будь-якому околі цієї точки міститься хоча б одна точка з множини Е.

З означення ми бачимо, що точками дотику множини Е є точки самої множини і точки, які є граничними точками для неї.

Означення 1.5. Точка, яка належить множині, але не є граничною для неї, називається ізольованою точкою множини.

Означення 1.6. Точка , називається межовою точкою множини , якщо в будь-якому її околі є точки, які належать даній множині, і точки, які їй не належать.

Означення 1.7. Точка , називається внутрішньою точкою множини , якщо вона належить цій множині разом з деяким своїм околом.

§ 2. Замикання і його властивості

Означення 2.1. Множина всіх точок дотику множини , називається замиканням даної множини.

Замикання множини будемо позначати .

З означення ми бачимо, що , де - похідна множини .

Теорема 2.1. Замикання множини має наступні властивості:

1);

2), тобто замикання множини співпадає з самим замиканням;

3)якщо і - множини метричного простору Х і , то ;

4)якщо і - множини метричного простору Х , то .

Доведення. 1)Включення очевидне.

2)Доведемо, що

(2.1).

Перш за все замітимо, що на основі властивості 1),

(2.2).

Покажемо протилежне включення:

 (2.3).

Нехай . Візьмемо довільний -окіл, , точки . В цьому околі є хоча б одна точка з . Позначимо її . Візьмемо і розглянемо -окіл, , точки . Оскільки для будь-якої точки х з цього околу виконується нерівність:

,

то робимо висновок, що

(2.4)

Так як , то в околі міститься хоча б одна точка з множини Е, тому внаслідок (2.4), в околі також міститься хоча б одна точка з множини Е. Тобто . Цим самим доведено співвідношення (2.3). З (2.2) і (2.3) слідує рівність (2.1).

3)Якщо , то кожна точка дотику є точкою дотику , цим самим властивість 3) доведена.

4)Доведемо, що

(2.5).

Покажемо, що

(2.6).

Нехай . Переконаємось, що , або . Якщо , то існує окіл точки такий, що в ньому нема жодної точки з . Якби не належала , то існував би окіл в якому нема жодної точки з . Тоді в околі , де нема точок ні з , ні з , а значить і з об'єднання , тобто , таким чином , або , а значить . Включення (2.5) доведено.

Доведемо обернене включення. З того, що і , слідує, що і , а значить і

(2.7).

З (2.6) і (2.7) слідує (2.5). Теорему доведено.

§ 3. Замкнені множини і їх властивості

Означення 3.1. Множина F метричного простору Х, називається замкненою, якщо вона містить всі свої граничні точки.

Інакше кажучи, F - замкнена множина, якщо .

Наприклад: сегмент [a;b] - замкнена множина; множина, яка складається з скінченної кількості точок - замкнена (). Покажемо, що замкнена куля є замкненою множиною. Для цього треба показати, що якщо -гранична точка , то . Нехай гранична точка . Тоді внаслідок теореми 1.1, знайдеться послідовність , яка збігається до . За теоремою 1.4 розділу 2, маємо . Оскільки , то , тобто . Твердження доведено.

Теорема 3.1. Об'єднання скінченного числа замкнених множин є множиною замкненою.

Доведення. Нехай , - замкнені множини. Покажемо, що F - замкнена множина. Нехай . Покажемо, що є граничною точкою хоча б однієї з . Доведемо від супротивного. Припустимо, що не є граничною точкою жодної з множин . Так як , то існує окіл в якому нема жодної точки з (відмінної від ). Аналогічно, існує окіл , в якому нема жодної точки з (відмінної від ) і т. д. Існує окіл в якому нема жодної точки з (відмінної від ). Тоді в околі де нема жодної точки з , а значить і з об'єднання (відмінної від ). Тобто . Прийшли до протиріччя. Таким чином . Внаслідок замкненості точки , а значить і об'єднанню . Теорему доведено.

Зауваження: об'єднання нескінченної множини замкнених множин може і не бути замкненим. Це випливає з наступного прикладу: .

Кожна з множин замкнена, а об'єднання цих множин не є замкненим, ((-1;1) не є замкненою множиною).

§ 4. Відкриті множини і їх влативості

Нехай Х - метричний простір.

Означення 4.1. Множина метричного простору називається відкритою, якщо кожна її точка є внутрішньою точкою цієї множини.

Весь простір Х - відкрита множина. Порожня множина за означенням є відкритою. Будь-яка куля є відкритою множиною. Покажемо це. Нехай , тобто r. Позначимо через . Якщо , то . Отже . Таким чином кожна точка кулі належить кулі , тобто . Значить кожна точка є внутрішньою точкою.

Нехай Е множина простору Х. Через СЕ будуть позначати доповнення множини Е до простору Х.

Теорема 4.1. Для того, щоб множина G метричного простору Х була відкритою, необхідно і достатньо, щоб доповнення СG цієї множини до простору Х було замкненим.

Доведення. Необхідність. Нехай G - відкрита множина, і гранична точка СG. Покажемо, що . Припустимо, що . Тоді . Так, як G є відкритою множиною, то - внутрішня точка цієї множини, а тому існує окіл цієї точки, який повністю міститься в G і, значить, в ньому нема жодної точки з СG, що суперечить означенню граничної точки. Таким чином . Тобто якщо , то . Множина СG - замкнена.

Достатність. Нехай СG - замкнена і . Внаслідок замкненості СG точка не може бути точкою дотику CG. Значить існує окіл такий, що в ньому немає жодної точки CG, тобто міститься повністю в G. Таким чином кожна точка множини G є внутрішньою точкою цієї множини. Тобто множина G - відкрита.

Теорема 4.2. Переріз скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною.

Теорема 4.3. Об'єднання довільної множини відкритих множин є множина відкрита.

Доведення обох теорем - схожі. Ми доведемо теорему 4.2.

Нехай , де - відкриті множини. Розглянемо доповнення СG множини G до простору Х. . Так як кожна множина відкрита, то доповнення СG_і - замкнене. Внаслідок теореми 3.1, множина є замкненою множиною, а множина G внаслідок теореми 4.1, є відкритою множиною.

Зауваження до теореми 4.2. Переріз нескінченної множини відкритих множин може і не бути відкритою множиною. Це видно з наступного прикладу:

.

Розділ 4. Неперервні відображення

§ 1. Поняття функції

Означення 1.1. Нехай маємо дві множини Х і У. Якщо кожному елементу за певним законом ставиться у відповідність один і тільки один елемент у із множини У, то говорять, що на множині Х задана функція f (або відображення множини Х в множину У).

Записують так: . Якщо у відповідає х, то записують так: . Множина Х називається областю визначення функції f. Множина тих , які приймає функція, називається областю значень функції , - область значень, (не обов'язково ). Якщо , говорять, що функція відображає множину Х на множину У.

Через будемо позначати прообраз множини (це множина А всіх тих х-ів з Х, що ).

§ 2. Границя і неперервність функції

Нехай маємо два метричні простори Х і У. Відстань в просторі Х будемо позначати , в просторі У - ₁.

Нехай множина М міститься в Х, , на множині М задана функція , яка відображає множину М в У, гранична точка множини М.

Означення 2.1. Елемент b простору У, називається границею функції f, коли х прямує до , якщо для довільного існує таке, що для будь-якого х із множини М , яке задовольняє умові , виконується нерівність: .

Дане означення евівалентне наступному.

Означення 2.2. Елемент b простору У, називається границею функції f, коли х прямує до , якщо для довільної послідовності вилученої з М, причому , яка збігається до , відповідна послідовність значень функції збігається до b.

Еквівалентність обох означень доводиться як і для дійсних функцій.

Якщо b - границя функції f при х, прямуючому до , то записують так: , іноді пишуть, коли . Якщо , то це геометрично означає, що який би ми окіл точки b не взяли, то знайдеться проколотий окіл точки х₀ такий, що якщо х попаде в цей проколотий окіл, то f(x) попадає у вибраний окіл точки b (проколотий окіл точки х₀ - це окіл точки х₀ з якого вилучено точку х₀).

Означення 2.3. Функція f, ,називається неперервною в точці , якщо для довільного , існує , таке, що для всіх х з множини М , які задовільняють умові , визначається нерівність .

Якщо є граничною точкою множини М , то це означення еквівалентне наступному.

Означення 2.4. Функція f називається неперервною в точці , якщо .

Еквівалентність обох означень для цього випадку очевидна.

Означення 2.5. Функція f, яка відображає множину М метричного простору Х в метричний простір У , називається неперервною на множині М, якщо вона неперервна в кожній точці цієї множини.

Означення 2.6. Функція f , , називається рівномірно неперервною на множині М, якщо для довільного , існує таке , що для будь-яких х₁ і х₂ із множини М, які задовольняють умові , виконується рівність .

Якщо f рівномірно неперервна на М, то вона і неперервна на цій множині. Обернене твердження взагалі невірне.

Теорема 2.1. (Критерій неперервності). Для того, щоб відображення f:XY було неперервним в Х, необхідно і достатньо, щоб прообразом будь-якої відкритої множини простору У була відкрита множина простору Х.

Доведення. Необхідність. Нехай f неперервне відображення і G відкрита множина простору У, f ^-1(G) прообраз G. Якщо f ^-1(G) є порожньою множиною, то все зрозуміло, бо порожня множина є відкритою множиною. Нехай f ^-1(G) і х₀ f ^-1(G). Тоді у₀=f(x₀) G. Оскільки G відкрита множина, то існує -окіл S(y₀;) точки у₀, який повністю лежить в G. Так, як відображення f неперервне в точці х₀, то існує -окіл цієї точки такий, що для всякого х з цього околу, f(x) належить S(y₀,). Отже всі точки -околу точки х₀ належать f -¹(G), а це означає, що х₀ внутрішня точка f -¹(G), а f -¹(G) є відкритою множиною.

Достатність. Нехай прообразом будь-якої відкритої множини є відкрита множина. Покажемо, що f неперервна функція в G. Нехай х₀Х, у₀=f(x₀)Y. Візьмемо довільний -окіл S(f(x₀),) точок f(x₀). Оскільки він є відкритою множиною, то його прообразом є відкрита множина, яка містить точку х₀. Тому існує -окіл S(x₀,) точки х₀, який повністю міститься в f -¹(G). А це означає, що f є неперервною функцією в точці х₀, а отже і в просторі Х. Теорему доведено.

§ 3. Зв'язні множини. Збереження зв'язності при неперервних відображеннях

Означення 3.1. Множина М метричного простору Х, називається зв'язною, якщо при будь-якому розбиті її на дві непорожні множини, хоча б одна з них містить хоча б одну точку дотику другої.

Теорема 3.1. Образ зв'язної множини при неперервному відображенні є зв'язною множиною.

Доведення. Нехай , f неперервна функція, М зв'язна множина. Покажемо, що є зв'язною множиною. Розіб'ємо множину В на дві непорожні множини В₁ і В₂. . Через А₁ позначимо прообраз множини В₁, а через А₂ - прообраз множини В₂. Очевидно . Причому А₁ і А₂ - непорожні множини. Оскільки М є зв'язною множиною, то одна із множин А₁ або А₂ містить хоча б одну точку дотику другої. Нехай х₀А₁ і є точкою дотику множини А₂. Нехай f(x₀)=y₀ , у₀ є В₁. Візьмемо довільний окіл точки у₀. Внаслідок неперервності функції f в точці х₀ знайдеться окіл точки х₀ такий, що, коли то . Так як х₀ - точка дотику множини А₂, то в околі є хоча б одна точка з цієї множини, а значить в є хоча б одна точка з В₂, тобто точка у₀ є точкою дотику множини В₂.

Аналогічно показуємо, що, якщо х₀А₂ і є точкою дотику А₁, то у₀=f(x₀) є В₂ і є точкою дотику В₁. Теорему доведено.

Означення 3.2. Відкрита зв'язна множина, називається областю.

Розділ 5. Компактні множини

§ 1. Компакти і їх властивості

Нехай Х - метричний простір, К - множина з цього простору.

Означення1.1. Множина К метричного простору Х, називається компактом, якщо з будь-якої послідовності елементів цієї множини можна виділити підпослідовність, збіжну до точки, яка належить К.

Теорема 1.1. Всякий компакт К метричного простору Х є замненою множиною.

Доведення. Нехай К компакт і х₀ гранична точка К. Візьмемо послідовність {x_n}, x_n є К, таку, що (існування такої послідовності слідує з теореми 1.1. розділу 3.). Оскільки К компакт, то з {x_n} можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки х^*, яка належить К. Оскільки границя послідовності і границя будь-якої її підпослідовності рівні, то х^*=х₀. Таким чином х₀К, а це означає, що К є замкненою множиною.

Теорема 1.2. Всякий компакт К, метричного простору К є обмеженою множиною.

Доведення. Припустимо, що К необмежена множина. Виберемо довільну точку . Тоді для кожного натурального числа п, знайдеться елемент х_п є К такий, що . Візьмемо послідовність {x_n}. Так, як К є компактом, то з {x_n} можна виділити підпослідовність , збіжну до точки х^*, яка належить К, . Це означає, що . З нерівності слідує , коли . Прийшли до протиріччя. Теорему доведено.

Означення 1.2. Діаметром множини Е метричного простору Х, називається точна верхня межа множини {}, де x' , x^” є Е.

Теорема 1.3. Нехай задана послідовність компактів метричного простору Х. Тоді переріз не порожний.

Доведення. Вибравши в кожному К_п по точці х_п, одержимо послідовність . Так як К₁ є компакт, то з можна виділити підпослідовність ,яка збігається до точки, яка належить К₁. Нехай . Оскільки при кожному п, починаючи з п_к>n, всі члени послідовності належать К_п і К_п замкнена, то х₀ є К_п. А це значить, що .

Теорема 1.4. Нехай маємо послідовність компактів метричного простору Х, діаметри яких прямують до нуля. Тоді існує єдина точка, яка належить всім компактам.

Доведення. Те, що існує точка, яка належить всім компактам слідує з попередньої теореми. Покажемо, що така точка - єдина.

Припустимо, що існує хоча б дві різні точки х' i x^”, які належать всім компактам. Нехай , тоді діаметри всіх К_п не менші d. Так як діаметри компактів пямують до нуля, то починаючи з деякого номера, їхні діаметри будуть менші d. Прийшли до протиріччя. Теорему доведено.

§ 2. Компакти в просторі Rⁿ

Відомо, що з будь-якої обмеженої послідовності {xn} дійсних чисел, можна виділити збіжну підпослідовність. Ця теорема називається теоремою Больцано-Вейєрштраса. Аналогічна теорема справедлива для послідовності з простору Rⁿ.

Теорема 2.1. (теорема Больцано-Вейєрштраса в Rⁿ ). З будь-якої обмеженої послідовності в просторі Rⁿ, можна виділити збіжну підпослідовність.

Доведення. Нехай маємо послідовність х⁽¹⁾, х⁽²⁾,…,х^(m),..елементів простору Rⁿ, x^(m)=(x₁^(m), x₂^(m),…,x_n^(m)). Припустимо, що дана послідовність обмежена. Тоді існує точка х⁽⁰⁾=(х₁⁽⁰⁾. х₂⁽⁰⁾,…,х_п⁽⁰⁾ ) і дійсне число r таке, що , для всіх т. Тобто для всіх т виконується нерівність:

(2.1).

З нерівності , вірній при k=1,2,…,n, слідує, що кожна з числових послідовностей {x_k^(m)} - обмежена.

Візьмемо послідовність {x₁^(m)}. На основі теореми Больцано-Вейєштраса для дійсних чисел, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність , .

Розглянемо підпослідовність послідовності {x₂^(m)}. З неї можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай , і т. д. З підпослідовності виділити збіжну підпослідовність , .

Візьмемо підпослідовність , послідовності {х^(т)}, . Оскільки , ,..., , то , де х^*=(х₁^*,...,х_п^* ). Теорему доведено.

Іноді дану теорему формулюють в іншому вигляді.

Теорема 2.1^/. Будь-яка нескінченна обмежена множина в Rⁿ, має хоча б одну граничну точку.

Доведення. Нехай обмежена нескінченна множина, тоді з неї можна виділити послідовність {х^(т)}, причому х^(k) х^(р), якщо kp. Внаслідок теореми 2.1, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність. Нехай границя цієї підпослідовності дорівнює х^*. На основі теореми 1.1 розділу 3 (критерію того, що дана точка є граничною точкою множини), х^* є Е^/.

Теорема 2.2. Для того, щоб множина К простору Rⁿ, була компактом, необхідно і достатньо, щоб вона була замкненою і обмеженою.

Доведення. Необхідність, слідує з теорем 2.1 і 2.2. Доведемо достатність.

Візьмемо послідовність {x^(m)}, х_т є К. З обмеженості множини К, слідує обмеженіть {x^(m)}. На основі теореми Больцано-Вейєрштраса, з цієї послідовності можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай . Очевидно х⁽⁰⁾ - точка дотику множини К. З замкненості К випливає, що х⁽⁰⁾ є К. Звідси робимо висновок, що К - компакт.

§ 3. Критерій компактності

Нехай маємо множину Е метричного простору Х і {} - система відкритих множин цього простору.

Означення 3.1. Говорять, що система {} відкритих множин, покриває множину Е, якщо кожна точка х є Е, належить хоча б одній з множин , цієї системи.

Теорема 3.1. (Гейне-Бареля). Нехай К - компакт, який належить метричному простору Х. Тоді з будь-якого відкритого покриття компакта К можна виділити скінченне підпокриття.

Доведення. Нехай К - компакт, - довільне відкрите покриття К. Спочатку доведемо, що існує ₀>0 таке, що при будь-якому х є К, куля S(x, ₀) входить цілком в деяку множину .

Припустимо, що це не так. Тоді знайдеться послідовність чисел _п0, _п>0 і точок х_п є М, таких, що кулі S(x_n, _п) не ввійдуть ні в одну з множин . З послідовності {x_n}, можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки х₀ є К (внаслідок того, що К компакт). Так, як система покриває К, то знайдеться множина з цієї системи така, що . Внаслідок того, що є відкритою множиною, то цілком містить деяку кулю. Виберемо п_к настільки великим, щоб і , з нерівності , справедливої для будь-якого х із кулі , робимо висновок, що , хоча за побудовою не може входити ні в одне . Це протиріччя доводить справедливість твердження.

Нехай ₀>0 вибране так, що виконується вище доведене твердження. Покажемо, що існує скінченна кількість точок , , що .

Припустимо, що це не так. Візьмемо довільне х₁К. Тоді існує х₂К таке, що (х₁;x₂)₀ (в іншому випадку компакт містився б у кулі S(x₁;₀)). Аналогічно існує х₃К, таке, що (х₁;x₃)₀, (х₂;x₃)₀ і т.д. Одержимо послідовність {x_n}, таку, що (х_i;x_j)₀, при ij. Очевидно, що жодна підпослідовність цієї послідовності не є фундаментальною, а значить і збіжною. Прийшли до протиріччя.

Таким чином існує скінченна кількість точок х₁, х₂,..., х_р, х_іК, що . Так, як цілком входить в деяку множину , то . Теорему доведено.

Теорема 3.2. Нехай К - непорожня множина метричного простору Х. Якщо із будь-якої системи {}, відкритих множин, яка покриває К, можна виділити скінченне підпокриття, то К - компакт.

Доведення. Припустимо, що К не є компактом. Тоді існує послідовність {х_п} така, що з неї не можна виділити підпослідовніть, яка збігається до точки множини К. Тоді кожна точка х множини К має окіл S(x;) ( - залежить від х) в якому міститься не більше, як скінченна кількість елементів послідовності. (Якби в довільному околі якоїсь точки х^* є К, міститься нескінченна множина точок послідовності, то існувала б підпослідовність послідовності {х_п}, яка б збігалася до до х^*). Множина куль S(x;) покриває множину К. Внаслідок умови теореми, існує скінченна кількість куль S(у_і, _і), (і=1,2,...,р), які покривають К. Так, як всі елементи послідовності {х_п} містяться в , а в кожній S(у_і, _і) міститься скінченна кількість елементів послідовності, то {х_п} має скінченну кількість елементів, що суперечить означенню послідовності. Теорему доведено.

З теорем 3.1 і 3.1, слідує критерій того, що К є ком пактом.

Теорема 3.3. Для того, щоб множина К метричного простору Х була компактом, необхідно і достатньо, щоб з кожного відкритого покриття К можна було виділити скінченне підпокриття.

§ 4. Властивості функцій неперервних на компакті

Коли ми вивчали функції дійсної змінної, то ми бачили, що якщо функція неперервна на сегменті, то вона мала цілий ряд властивостей. Деякі з цих властивостей мають місце для функцій неперервних на компактах.

Нехай маємо метричні простори Х і У, через будемо позначити відстань в Х, - відстань в У; К Х компакт в Х.

Теорема 4.1. Якщо функція f неперервна на компакті К, то образ f(К), цього компакта, є компактом.

Доведення. Нехай f:K XY неперервна функція на компакті К. Через f(К) позначимо образ К при даному відрбраженні. Покажемо, що f(К) компакт. Нехай у₁, у₂,..., у_п... послідовність з f(К). Через х_п позначимо - прообраз у_п. Якщо якась точка у_п має декілька прообразів, то будемо брати будь-який з них. Таким чином ми отримали послідовність {х_п}, х_п є К. Так як К компакт, то з {х_п} можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки, яка належить К. Нехай , f(х₀)=у₀f(K). Розглянемо підпослідовність послідовності {у_п}. Поскільки f неперервна в х₀, то . Звідси й слідує, що К є компактом.

...