Нехай а₁₁0, тоді

Ф(h₁h₂)=1/a₁₁(a₁₁²h₁²+2a₁₁a₁₂h₁h₂+a₁₂²h₂²+a₁₁a₂₂h₂² -a₁₂²h₂²)=

=1/a₁₁((a₁₁h₁+a₁₂h₂)²+(а₁₁а₂₂-а₁₂²)h₂²)

Якщо h₁=1; h₂=0,то вираз в дужках додатній. Якщо візьмемо і , то одержимо точку, яка лежить на одиничному колі і для якої вираз в дужках є від'ємним. Отже наш диференціал 2-го порядку є знакозмінною квадратичною формою, коли а₁₁0.

У випадку, коли а₁₁=0, Ф(h₁,h₂)=(2a₁₂h₁h₂+a₂₂h₂²)=(2a₁₂h₁+a₂₂h₂)h₂. Підберемо h₁; h₂ так, щоб 2а₁₂h₁>a₂₂h₂, h₁²+h₂²=1. Тоді величини 2а₁₂h₁+a₂₂h₂ і 2a₁₂h₁+a₂₂(-h₂) матимуть один і той самий знак, а значить (2a₁₂h₁+a₂₂h₂)h₂ і (2a₁₂h₁+a₂₂(-h₂))(-h₂) матимуть різні знаки. Це означає, що квадратична форма не є знаковизначеною. На основі попередньої теореми екстремуму в точці М₀ немає. Теорему доведено.

§ 4. Умовний екстремум

Часто в математиці зустрічаються задачі пов'язані з відшуканням екстремуму функції, аргументи якої задовольняють додатковим умовам зв'язку. Екстремуми такого типу називаються умовними.

Розглянемо приклад. Знайти екстремуми функції U=x²+y² при умові, що х і у задовільняють умові зв'язку х+у-1=0. Таким чином ми шукаємо екстремум функції не на всій площині, а лише на прямій х+у-1=0. Для розв'язання цієї задачі в рівняння функції U=x²+y² підставляємо значення y=-x+1, знайдене з рівняння зв'язку. Цим самим ми звели поставлену перед нами задачу до задачі про відшукання звичайного екстремуму функції U=2x²-2x+1. Оскільки похідна U=4x-2 дорівнює нулю при х=1/2 і U(1/2)=4>0, то при х=1/2 дана функція має мінімум, який дорівнює 1/2. Таким чином функція U=x²+y² при умові зв'язку х+у-1=0 має умовний мінімум U=1/2 в точці (1/2; 1/2). Слід відмітити, що мінімум функції досягається в точці (0,0) і дорівнює 0.

Перейдемо до загальної задачі про відшукання умовного екстремуму. Нехай треба знайти екстремум функції т+п змінних.

U=f(y₁,y₂,…,y_m,x₁ x₂,…,x_n) (4.1)

При наявності т-умов зв'язку

(4.2)

Означення 4.1 Будемо говорити, що в точці М₀(у₁⁽⁰⁾,...,у_т⁽⁰⁾,х₁⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾) координати якої задовольняють умовам зв'язку (4.2), функція (4.1) при наявності зв'язків (4.2) має умовний максимум (мінімум), якщо існує окіл цієї точки такий, що для всіх точок М з даного околу, координати яких задовольняють рівнянням зв'язку (4.2), виконується нерівність: f(M)f(M₀) (f(M)f(M₀)).

Для знаходження умовного екстремуму функції (4.1) при наявності зв'язків (4.2) припустимо, що функції, які стоять в лівих частинах рівностей (4.2) диференційовані в деякому околі точки М₀, при цьому частинні похідні цих функцій по змінних у₁,...,у_т неперервні в цій точці і якобіан

 (4.3)

не дорівнює нулю. В цьому випадку внаслідок теореми (3.1) (розділу 4 цієї частини) існують додатні числа ₁,...,_т і окіл точки М₀(х₁⁽⁰⁾,...х_п⁽⁰⁾) такий, що в цьому околі визначені т функцій

(4.4),

які задовільняють умови у₁-у₁⁽⁰⁾<₁,...,у_т-у_т⁽⁰⁾<_m і які є єдиним диференційованим розв'язком системи (4.2).

Підставивши знайдені функції (4.3) в (4.1) ми зводимо нашу задачу про існування умовного екстремуму до задачі про існування звичайного екстремуму функції.

U=f(₁(x₁,…,x_n),…,_m(x₁,…,x_n), x₁,…,x_n,)=Ф(х₁,...,х_п) (4.5).

Розглянемо, як не знаходячи розв'язків системи (4.2) можна встановити необхідні умови існування умовного екстремуму в точці М₀. Нехай функція диференційовна в точці М₀ і має умовний екстремум при наявності зв'язків (4.2) або те саме, що функція (4.5) має звичайний екстремум в точці М₀. Звідси слідує, що , а значить

(4.6)

при довільних дх₁,...,дх_п. На основі інваріантності форми диференціала формулу (4.6) можна записати можна записати наступним чином:

(4.7)

(при цьому частинні похідні беруться в точці М₀). Зазначимо, що dy₁,dy₂,…,dy_m є диференціалами функцій (4.4) і тому рівність (4.7) не є тотожністю відносно цих диференціалів. Якщо в рівняння зв'язку (4.2) замість у₁,...у_т підставити функції (4.4) то одержимо тотожності. Диференціюючи їх одержимо

(4.8).

Так, як якобіан (4.3) не дорівнює нулю в точці М₀, то з цієї системи можна знайти dy₁,…,dy_m. Вони є лінійними функціями відносно dx₁,…,dx_n, якщо знайти ці вирази і підставити в (4.7), то одержимо:

А₁dx₁+…+A_ndx_n=0, (4.9)

де А₁,...,А_п виражаються через частинні похідні f, F₁,…,F_m в точці М₀. Так, як в (4.9) фігурують тільки диференціали незалежних змінних, то А₁=А₂=...=А_п=0. Приєднуючи до цих рівностей т умов зв'язку (4.2), одержимо необхідну умову існування умовного екстремуму, яку записують у такому вигляді:

А₁=0,...,А_п=0, F₁=0,…,F_m=0 (4.10),

що являє систему т+п рівнянь з т+п невідомими.

При знаходженні точки можливого умовного екстремуму методом, який ми розглянули, часто виникають труднощі, зв'язані з тим, що частина змінних х₁,...,х_п розглядаються нами, як незалежні, а інші - як функції від цих змінних. Лагранж запропонував метод, який спрощує цю незручність. Розглянемо функцію:

(у₁,...,у_т,х₁,...,х_п)=f(у₁,...,у_т,х₁,...,х_п)+₁F₁(у₁,...,у_т,х₁,...,х_п)+…

…+_mF_m (у₁,...,у_т,х₁,...,х_п ) (4.11),

де _1,...,т- довільні сталі. Цю функцію називають функцією Лагранжа. Легко бачити, що якщо рівність (4.8) помножити відповідно на _1,...,т і одержані рівності скласти почленно з рівнянням (4.7), то одержаний результат можна записати у вигляді:

(4.12).

Так, як при наявності зв'язків (4.2) F(M)-F(M₀)=(M)-(M₀) екстремуми функцій (4.3) і (4.11) співпадають. Підберемо ₁,...,_т так, щоб

(4.13).

Це можна зробити бо ці рівності приводять до лінійної системи рівнянь відносно ₁,...,_т



визначник якої рівний якобіяну (4.3), відмінний від нуля. При таких ₁,...,_т рівність (4.12) матиме вигляд

(4.14).

Оскільки х₁,...,х_п - незалежні змінні, то з (4.14) слідує, що

(4.15).

Приєднавши до рівнянь (4.13) і (4.15) умови зв'язку (4.2), ми одержимо систему п+2т рівнянь

(4.16)

для визначення п+т координат точки умовного екстремуму і множників ₁,...,_т.

Практично для реалізації цього методу поступають наступним чином: складають функцію Лагранжа і для неї знаходять точки можливого звичайного екстремуму. Для виключення ₁,...,_т застосовують умову зв'язку.

Розглянемо один із шляхів дослідження точок можливого умовного екстремуму. Припустимо, що в точці М₀ виконуються необхідні умови умовного екстремуму (4.16). Крім цього, нехай в деякому її околі функції (4.1) і (4.2) - двічі диференційовані і всі частинні похідні другого порядку - неперервні в точці М₀. Так, як при наявності зв'язків (4.2) екстремуми функцій U=f(y₁,…,y_m,x₁,…,x_n) і Лагранжа співпадають, то з результатів параграфу де розглядалися достатні умови існування екстремуму слідує, що якщо при наявності умов зв'язку (4.2) другий диференціал d² в точці М₀ є додатньо визначеною квадратичною формою, то в точці М₀ функція має умовний мінімум, а якщо d² є від'ємно визначеною квадратичною формою, то функція має умовний максимум.

Зазначимо, що другий диференціал d² в точці М₀ можливого умовного екстремуму можна вираховувати так, якби всі змінні x₁,…,x_n ,y₁,…,y_m були незалежними. Дійсно:

.

Але, оскільки, , то

(4.17).

Оскільки нам потрібно встановити знаковизначеність d² при наявності зв'язків (4.2), то в формулу (4.17) замість dy₁,…,dy_m потрібно підставити іх значення, знайдені з системи (4.8) і після цього досліджувати знаковизначеність квадратичної форми d².

Розглянемо приклад. Знайти умовні екстремуми функції: U=x₁^m+…+x_n^m, якщо х₁+...х_п=па, а>0, n>1.

Складаємо функцію Лагранжа . З системи

знаходимо =-та^т-1 і координати х_і=а, точки М₀ можливого екстремуму. Знаходимо другий диференціал d² функції , . В точці М₀(а,...,а) . Так, як d²(a,…,a)>0, то в точці М₀ функція U має мінімум, U_min=na^m.

ЧАСТИНА III. РОЗРОБКА ЕЛЕКТРОННОГО ПОСІБНИКА “ЕЛЕМЕНТИ ФУНКЦІОНАЛЬНОГО АНАЛІЗУ ТА ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ”

У час активного наукового розвитку, актуальною є проблема вибору таких засобів навчання, які б давали найкращі результати. Перехід на кредитно-модульну систему дав поштовх до використання нового навчально-методичного забезпечення.

Якщо в традиційній освітній системі навчання проходить шляхом читання книг, то сьогодні з'явилося багато інших методів. Особливістю сучасного педагогічного процесу є те, що на відміну від традиційного навчання, де центральною фігурою є вчитель, викладач, центр тяжіння при використанні інформаційних технологій поступово переноситься на учня, студента, який активно будує свій навчальний процес, вибираючи власний напрям в розвинутому навчальному середовищі. Важливою функцією викладача при цьому є підтримка студента в його діяльності: сприяти його успішному руху в морі навчальної інформації, полегшувати вирішення проблем, що виникають, допомагати в освоєнні великої за обсягом інформації.

Таким чином, в даний час з різних предметів існують електронні підручники. Розробники підручників такого типу намагаються широко використовувати специфіку віртуального середовища з ціллю підвищення ефективності самостійної роботи школярів і студентів з навчальним матеріалом. У новому інформаційному середовищі реалізується варіативний характер планування діяльності з вивчення даної теми, диференціюються рівні її освоювання, забезпечується оперативне орієнтування в структурі навчального тексту, використовуються різноманітні пошукові системи, представлені динамічні малюнки і відеосюжети, існує звуковий супровід візуальної інформації, має місце моніторинг навчальних успіхів учня, студента в роботі над кожною темою, а також контроль якості набутих ними знань і умінь.

Є ряд навчальних технологій, які сьогодні існують і можуть бути реалізовані в електронному навчальному посібнику. Структура і зміст електронного підручника, його функціональні можливості повинні підтримувати:

1. технологію формування у користувачів основних елементів структури наукового знання (фактів, понять, законів, теорій, наукової картини світу);

2. технологію формування загальних знань і навичок роботи користувачів з навчальною інформацією, представленою як у традиційній навчальній книзі, так і в електронній версії:

v Вміння працювати з блоками інформації, які мають різну знакову форму представлення:

· текстом

§ виділяти головне, істотні елементи його змісту;

§ систематизувати і узагальнювати інформацію (встановлювати зв'язок між його основними елементами);

§ користуватися раціональними способами наочної фіксації головного в змісті, способами візуального відображення структури прочитаного (конспект, план-конспект, тезиси, опорний конспект, схеми, таблиці тощо);

· науковою символікою;

· графіками;

· схемами, таблицями (в тому числі електронними), діаграмами;

· малюнками;

· фотознімками;

· анімаційними (або числовими) моделями.

v Вміння працювати з апаратом орієнтування, тобто раціонально користуватися:

· змістом;

· анотацією, вступом, висновками;

· предметним, іменним та іншими покажчиками, словниками тощо;

· бібліографічним списком;

· системою додатків;

· системою „навігатор” і пошуковими системами в віртуальному середовищі.

v Вміння працювати з апаратом засвоєння матеріалу:

· систематизуючими таблицями і схемами, які ілюструють структуру інформації;

· прикладами, що відображають досвід застосування інформації в розв'язанні конкретних задач;

· системою задач і запитань для самостійної роботи над матеріалом і самоконтролю якості його засвоєння.

v Вмінням користуватися книгою (інформаційною системою ПК і її інструментальними можливостями) з метою підготовки:

· успішного виступу;

· письмової роботи:

§ рецензії, анотації;

§ реферату;

§ тез.

3. технологію контролю якості знань і вмінь користувачів;

4. технологію розвитку творчих здібностей в процесі роботи з навчальною інформацією.

Інтерактивний характер електронного підручника та інструментальні можливості ПК дозволяють реалізувати дані технології навчання на найвищому рівні ефективності з точки зору їх освітнього характеру.

Надзвичайно важливий пошук нових конструктивних підходів до розробки електронного підручника, які дозволяють зробити цей підручник інформаційно більш об'ємним і процесуально більш ефективним по відношенню не тільки до традиційного паперового варіанту, але і до існуючих його віртуальних версій.

У ході виконання дипломної роботи нами створений такий навчальний посібник, який містить курс математичного аналізу.

Програмне середовище підручника

Електронний підручник “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функції багатьох змінних” був створений за допомогою програми Microsoft FrontPage, яка призначена для створення web-сторінок, як без використання мови HTML, так і з можливістю перегляду HTML-кодів. Це дозволило нам достатньо легко створювати Web-документи, які доступні стандартним програмним засобам, з якими працюють в мережі. Програма дає змогу створити окрему сторінку чи сайт двома способами: з нуля, чи скориставшись шаблоном з колекції програми FrontPage.

За допомогою цієї програми можна вставляти багато різних об'єктів, наприклад, кнопки, тексти, що рухаються, лічильники відвідувань, аркуші електронних таблиць, діаграми, створювати графічні мініатюри, таблиці, карти, фрейми, інтерактивні форми, надавати об'єктам анімаційні ефекти, задавати способи зміни сторінок тощо.

Одним з найважливіших понять у мові HTML є гіперпосилання, яке допомагає вставляти посилання на інші документи чи ресурси прямо на сторінці. Гіперпосилання дозволили нам встановлювати асоціативні зв'язки між окремими частинами підручника, а також реалізувати можливість багаторазового проходження навчального матеріалу, що допустиме в даних умовах і позитивно впливає на засвоєння, закріплення отриманих вмінь і навичок. Гіпертекст від звичайного тексту відрізняється чіткою структурою, можливістю практично миттєвого доступу до будь-якої частини навчального матеріалу. Гіпертекст може містити посилання на різні об'єкти. Об'єктами можуть бути:

будь-який текст;

графічна ілюстрація;

анімація;

аудіофрагмент;

відеофрагмент;

яка-небудь програма.

Особливість програми Microsoft FrontPage у тому, що вона є зручною для створення та адміністрування великого професійного сайту. Це досягається за допомогою таких режимів роботи з сайтом, як звіт, навігаційна карта сайту, схема гіперпосилань, завдання для колективу дизайнерів та виконавців.

Для успішної роботи з програмою потрібно знати головні принципи її функціонування, зберігати файли сторінок сайту у конкретній папці і в ручну не переміщати їх, щоб не переривати зв'язок між сторінками тощо. Після створення сайту користувач може його опублікувати на web-сервері командою Publish. Переглянути створений сайт можна і в домашніх умовах. Однак, якщо застосовувались деякі компоненти чи елементи управління формою, що потребують програмної підтримки, то повноцінне функціонування такого сайту буде можливе лише на web-сервері, який має відповідні засоби для їх опрацювання, що називаються Microsoft FrontPage Extensions. Сервери, які працюють з операційною системою Unix, такими засобами, зазвичай, не володіють.

Електронний підручник, створений на основі розглянутих вище програмних продуктів, може передаватися учням на дискетах, CD-ROM, за допомогою електронної пошти, або розміщуватися на ftp-серверах Інтернет. Ясно, що при розміщенні електронного підручника у всесвітній мережі, ми отримаємо новий рівень ефективності його використання, адже значно розшириться коло користувачів, з'явиться можливість застосування даної розробки для дистанційного навчання.

Застосування гіпертексту дозволило нам подолати обмеження, характерні для звичайних навчальних матеріалів-текстів. Пошук і перегляд повідомлень, поданих у лінійній послідовності, без ознак, що відображають їх структуру, призводить до великого навантаження на пам'ять і ускладнює ефективне розуміння безпосереднього контексту конкретного фрагмента.

Під час набору тексту підручника ми особливу увагу та багато часу приділяли створенню формул. Нам вдалося подолати труднощі, що виникали з відшуканням деяких символів та математичних знаків за допомогою використання програми MathType.

В електронному посібнику використано підпрограми створені на мові Java script. Саме таким чином поміщено вікно швидкого переходу між розділами.

<SELECT

onchange="{&#13;&#10;for (var i=0; i < this.length; i++) {&#13;&#10;if (this.options[i].selected) {&#13;&#10;if (i!=0) {&#13;&#10;top.window.location=this.options[i].value;&#13;&#10;break;&#13;&#10;}&#13;&#10;}&#13;&#10;}&#13;&#10;}&#13;&#10;"

name=Map> <OPTION value=# selected>Швидкий перхід на інші Розділи

<OPTION value=../rozdil1/1.1.htm>Розділ 1. Приклади метричних просторів</OPTION>

<OPTION value=../rozdil2/1.2.htm>Розділ 2. Збіжність в метричних просторах

<OPTION value=../rozdil3/1.3.htm>Розділ 3. Відкриті і замкнені множини

<OPTION value=../rozdil4/1.4.htm>Розділ 4. Неперервні відображення

<OPTION value=../rozdil5/1.5.htm>Розділ 5. Компактні множини

<OPTION value=../rozdil6/1.6.htm>Розділ 6. Повні метричні простори

<OPTION value=../rozdil2.1/2.1.htm>Ч2.Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних

<OPTION value=../rozdil2.2/2.2.htm>Ч2.Розділ 2. Диференціальні функції багатьох змінних

<OPTION value=../rozdil2.3/2.3.htm>Ч2.Розділ 3. Частинні похідні та диференціали вищих порядків

<OPTION value=../rozdil2.4/2.4.htm>Ч2.Розділ 4. Неявні функції

<OPTION value=../rozdil2.5/2.5.htm>Ч2.Розділ 5. Екстремуми функцій

<OPTION value=../index.htm>НА ГОЛОВНУ------------------------------

</OPTION></SELECT></SELECT>

Як працювати з підручником?

Розроблений електронний навчальний курс має зручний для роботи інтерфейс. Він дозволяє ознайомитись із змістом підручника, перейти до конкретного розділу чи параграфу. Для цього необхідно вибрати потрібні розділ і тему у змісті підручника. Налаштовані гіперпосилання відкриють їх. Щоб перейти з даної теми до іншого розділу, а згодом до інших тем можна використати вікно швидкого переходу (рис 3), створеного за допомогою підпрограми на мові Java script або повернутись у головне меню, звернувшись до напису “головне меню”, яке знаходиться на кожній сторінці у зручному місці (рис 4).

рис3 рис4

Електронний навчальний курс, крім гіперпосилань, містить ще й графіку, анімацію та мультимедійні ефекти, що збільшують його ефективність та привабливість (рис1).

рис1 рис2

Перевагою електронного підручника над класичним “паперовим” посібником є забезпечення стимуляції активного самонавчання та контролю над ним. Гіпертекстова структура курсу дозволяє здійснювати індивідуальну траєкторію навчання. За необхідності можна роздрукувати частину підручника та видати його необхідним тиражем.

Форма електронного підручника - блочна. А це означає, що окремі блоки можуть змінюватися, доповнюватися в ході навчання. На відміну від паперових підручників, зміна електронних блоків не потребує істотних витрат на перевидання.

Електронний варіант підручника розміщенний у навчальних ресурсах фізико-математичного факультету. Він є зручним та доступним засобом навчання.

Отож, нашим підручником можуть користуватися усі бажаючі студенти та викладачі, не затрачаючи час на пошук необхідної інформації.

ВИСНОВКИ

У дипломній роботі здійснено відбір деяких питань пов'язаних з викладанням окремих розділів математичного аналізу та врахуванням принципів розробки електронних підручників.

1 Викладено елементи функціонального аналізу. При цьому розглянуто поняття метричного простору, приведені приклади метричних просторів. Також детально висвітлено теорію компактів та повних метричних просторів.

2 Розглянуті питання диференціального числення функції багатьох змінних, зокрема введено поняття диференційовності та частинних похідних функцій багатьох змінних, диференціали і частинні похідні вищих порядків. Викладена теорія неявних функцій, та питання пов'язані з відшуканням екстремумів.

3 Створений електронний посібник “Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних”, що буде використовуватися студентами в процесі вивчення курсу математичного аналізу.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Баранова Ю.Ю., Перевалова Е.А. Тюрина Е.Е., Чадин А.А. Методика использования электронных учебников в образовательном процессе. //Информатика и образование. 2000. №8. С. 43-47.

2. Давидов М. О. Курс математичного аналізу, т.II - Київ: “Вища школа”, 1991. - 368с.

3. Давидов М. О. Курс математичного аналізу, т.III - Київ: “Вища школа”, 1992. - 360с.

4. Деревинна А.Ю., Кошелев М.Б., Семикин В.А. Принципы создания електронных учебников. // Откритое образование. - 2001. - №2. - с.14-16.

5. Иванов В.Л. Структура электронного учебника. // Информатика и образование. 2001 - № 6.

6. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа,

часть II.- М.: ”Наука”, 1993. - 448с.

7. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. - М.: “Высшая школа”, 1982. - 273с.

8. Максимов Г.Н., Вишняков А.В., Капустин Ю.И. Электронный учебник -что это? // Откритое образование. - 2002. - №2. - с. 19-21.

9. Матрос Д.Ш. Электронная модель школьного учебника. //Информатика и образование. 2000 - № 8.

10. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа, т.II. - М.: ”Наука”, 1968. - 464с.

11. Христочевский С.А. Базовые элементы электронных учебников и мультимедийных энциклопедий. Системы и средства информатики. Вып.9. Г.: Наука. Физматлит, 1999.

12. Христочевский С.А. Электронные мультимедийные учебники и энциклопедии. //Информатика и образование. 2000 - № 2. С 70-77.

Размещено на Allbest.ru

...