Нехай Е Х, f:ЕУ. f(Е), образ Е при даному відображенні. Якщо виявиться, що для кожного у є f(Е) існує тільки одне х є Е таке, що f(х)=у, то на f(Е) можна визначити функцію, яка кожному уf(Е) ставить у відповідність хЕ таке, що f(x)=y. Ця функція називається оберненою до f. Позначають обернену функцію: . Зрозуміло, що областю визначення оберненої функції є f(E), а областю значень - Е. При цьому f є оберненою до .

Очевидно, для того, щоб функція f мала обернену, тобто була оборотною, необхідно і достатньо, щоб відображення f:Ef(E) - було взаємно-однозначним.

Теорема 4.2. Якщо функція f:KXY, неперервна на компакті і відображення f:Kf(K) - взаємно-однозначне, то обернене відображення - неперервне на f(K).

Доведення. Доведення проведемо методом від супротивного. Припустимо, що не є неперервною функцією на f(K). Тоді існує y₀f(K) таке, що в ній має розрив. Нехай f ^-1(y₀)=х₀. Оскільки f ^-1 має розрив в точці у₀, то існує >0 таке, що для кожного натурального п, знайдеться у_пf(K) таке, що , але . Нехай х_п=f ^-1(у_п), х_пК. Так, як К компакт, то з послідовності {x_n} можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки із множини К, , з нерівності слідує

,

коли . Звідси робимо висновок, що х₀х^*. Внаслідок неперервності f маємо

(4.1)

(f(x^*)y₀, так як у₀=f(x₀), а відображення взаємно-однозначне). З іншого боку , коли , тобто , що суперечить (4.1). Теорему доведено.

Теорема 4.3. Якщо функція f:KXY, неперервна на компакті К, то вона і рівномірно неперервна на К.

Доведення. Доведення проведемо методом від супротивного. Припустимо, що функція f не є рівномірно неперервною на К. Тоді існує ₀>0 таке, що для кожного натурального п знайдуться точки , які належать множині К такі, що , але .

Одержали дві послідовності . Поскільки К - компакт, то з можна виділити підпослідовність , яка збігається до точки х₀, яка належить К. Розглянемо підпослідовність послідовності . З нерівності слідує, що . Так, як функція f неперервна в точці х₀, то і . Тобто

= (4.3).

З нерівності робимо висновок, що , що суперечить нерівності при всіх натуральних k. Теорему доведено.

Розглянемо деякі властивості функцій неперервних на компакті, значення яких є дійсні числа, тобто f:KXR (R - множина дійсних чисел). Такі функції називаються числовими.

Теорема 4.4. (Вейєрштрасса) Якщо числова функція неперервна на компакті КХ, то вона обмежена на К і приймає на ньому найбільше та найменше значення.

Доведення. Нехай f:KXR є неперервною на К. Внаслідок Т.4.1, множина f(K) - компакт, а, оскільки, компакт є обмеженою множиною, то f(K) є обмеженою множиною.

Доведемо, що функція приймає найбільше і найменше значення на К, тобто існують точки х₁ і х₂ такі, що для всіх хК виконується нерівність: . Нехай . Візьмемо >0. Тоді існує хК таке, що. Звідси робимо висновок, що b є точкою дотику f(K). Внаслідок замкненості f(K) (Т. 1.1), bf(K). Значить існує х₁К, що f(x₁)=b.

Аналогічно показуємо, що існує х₂К таке, що f(x₂)=а, де . Теорема доведена.

Розділ 6. Повні метричні простори

§ 1. Приклади повних метричних просторів

Раніше ми показали, що коли послідовність елементів {х_п} метричного простору Х має границю, то вона фундаментальна. Був приведений приклад, який показував, що обернене твердження взагалі кажучи невірне.

Означення 1.1 Метричний простір називається повним, якщо будь-яка фундаментальна послідовність цього простору має границю.

Прикладом повного метричного простору є R - множина дійсних чисел. Простір, елементами якого є раціональні числа і відстань між числами визначається рівністю не є повним.

Покажемо повноту просторів Rⁿ, l₂, C[a;b].

Встановимо повноту Rⁿ

Нехай маємо фундаментальну послідовність {x^(m)} елементів простору Rⁿ: x^(m)=(x₁^(m), x₂^(m),…,x_n^(m)).

З нерівності, вірної при кожному і,(і=1,2,...,п) і фундаментальності {x^(m)} випливає фундаментальність кожної з послідовностей {x_i^(m)}, і=1,2,…,п, а, значить і збіжність, внаслідок критерію Коші збіжності числової послідовності. Нехай . Тоді послідовність {x^(m)} збігається до х⁽⁰⁾=(х₁⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾), оскільки в просторі Rⁿ покоординатна збіжність еквівалентна збіжності в метриці цього простору. Повнота простору Rⁿ доведена.

Розглянемо простір l₂

Візьмемо довільну фундаментальну послідовність {x⁽ⁿ⁾} елементів простору l₂. х^(п)=(х₁^(п), х₂^(п),...,х_і^(п),...) . Як це було зроблено вище, встановлюємо, що при кожному і, послідовність {x_i⁽ⁿ⁾} - фундаментальна, а значить - збіжна.

Нехай . Покажемо, що послідовність х⁽⁰⁾=(х₁⁽⁰⁾,х₂⁽⁰⁾,..,х_і⁽⁰⁾,..) є елементом простору l₂ і .

Візьмемо >0. Тоді існує натуральне число N таке, що при всіх пN i mN виконується нерівність або те саме

 (1.1)

З цієї нерівності слідує, що при кожному фіксованому натуральному р

(1.2)

Якщо ми п зафіксуємо, а т спрямуємо до нескінченності, то одержимо:

.

Оскільки ця нерівність вірна при будь-якому натуральному р, то перейшовши до границі, коли р прямує до нескінченності, одержимо:

(1.3)

Звідси виливає, що послідовність (х₁^(п)-х₁⁽⁰⁾, х₂^(п)-х₂⁽⁰⁾,...,х_і^(п)-х_і⁽⁰⁾,...)l₂. З рівності х_і⁽⁰⁾=х_і^(п)-(х_і^(п)-х_і⁽⁰⁾) і з того, що l₂ є лінійною системою, робимо висновок, що х⁽⁰⁾=(х₁⁽⁰⁾,...,х_і⁽⁰⁾,...)l₂. З нерівності (1.3), яка вірна при будь-якому nN робимо висновок, що . Повнота простору l₂ доведена.

Розглянемо простір С[a;b]

Нехай {x_n} - фундаментальна послідовність елементів простору С[a;b]. Візьмемо >0. Тоді існує натуральне число N таке, що при пN i mN виконується нерівність: або , а це означає, що при будь-якому t виконується нерівність: при пN i mN.

З критерію Коші рівномірної збіжності робимо висновок, що дана послідовність функцій збігається рівномірно до х₀ на сегменті [a;b]. Оскільки всі х_п неперервні на [a;b], то х₀ теж неперервна на даному сегменті. Тобто х₀С[a;b]. Оскільки збіжність {x_n} в просторі С[a;b] еквівалентна рівномірній збіжності цієї послідовності, то робимо висновок, що . Повнота С[a;b] доведена.

Нехай маємо лінійний нормований простір.

Лінійний нормований простір, називається простором Банаха (або банаховим простором), якщо він є повним простором в метриці породженій нормою. Наведені вище приклади є прикладами банахових просторів. Серед банахових просторів особливе місце займають гільбертові простори.

Означення. Нескінченно вимірна лінійна система, на якій введено скалярний добуток, називається простором Гільберта (або гільбертовим простором), якщо вона є повним метричним простором в метриці породженій скалярним добутком.

Простір l₂ є простором Гільберта.

§ 2. Властивості повних метричних просторів

Теорема 2.1. Будь-яка замкнена множина F повного метричного простору Х, сама є повним метричним простором (метрика в F визначається так само, як і в Х).

Доведення. Нехай {x_n} - фундаментальна послідовність, х_пF. Оскільки Х- повний простір, то існує границя цієї послідовності . Так, як F - замкнена множина, то х₀F. Отже, будь-яка фундаментальна послідовність точок х_пF, має в F границю. Теорему доведено.

Теорема 2.2. Для того, щоб метричний простір Х був повним, необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність вкладених одна в одну замкнених куль, радіуси яких прямують до нуля, мала непорожній переріз.

Доведення. Необхідність. Нехай простір Х є повним простором, і - послідовність вкладених одна в одну замкнених куль цього простору, причому .

Покажемо, що послідовність {x_n}, центрів цих куль, утворює фундаментальну послідовність. Дійсно, так як при m>n , то . Оскільки r_n0, то для будь-якого >0 існує натуральне число N таке, що при nN виконується нерівність r_n<, а, значить при nN маємо . А це означає, що {x_n} - фундаментальна послідовність. Внаслідок повноти Х, існує . Кулі вкладені одна в одну, тому при kn. Оскільки замкнена множина, то , при кожному п, а значить . Необхідність доведена.

Достатність. Нехай будь-яка послідовність вкладених замкнених куль, радіуси яких прямують до 0, має спільну точку. Покажемо, що простір Х є повним простором. Нехай {x_n} фундаментальна послідовність точок цього простору. З означення фундаментальної послідовності матимемо: 0, існує п()N таке, що тN, mn(), справедлива нерівність:

(2.1).

Із (2.1) випливає, що для знайдеться n₁N: m>n₁,

(2.2).

Утворимо замкнену кулю з центром в і радіусом рівним 1. На основі нерівності (2.1), для , знайдеться n₂N, n₂>n₁: m>n₂. Утворимо знову замкнену кулю з центром в і радіусом рівним 1/2. Зазначимо, що . Візьмемо будь-яке x, тоді

,

звідси випливає, що . Отже . Продовжуючи цей процес, одержимо послідовність вкладених замкнених куль радіуси яких прямують до нуля, а центри знаходяться в точках . На основі припущення теореми, існує точка х₀, яка належить всім . Оскільки для кожного k виконується нерівність , то . Так, як фундаментальна послідовність {x_n} має збіжну підпослідовність , то на основі теореми 1.6. розділу 2, послідовність {x_n} збіжна. Теорему доведено.

Теорема 2.3. Нехай в повному метричному просторі маємо послідовність вкладених одна в одну замкнених куль, радіуси яких прямують до нуля. Тоді існує єдина точка, яка належить всім цим кулям.

Доведення. Нехай - послідовність замкнених куль, які задовільняють умові теореми: , r_n0, коли . Існування точки спільної всім кулям слідує з теореми 2.2. Припустимо, що таких точок є більше ніж одна і нехай - точки, які належать всім кулям. Так, як при всіх п, то маємо , що неможливо, бо r_n0 при п. Значить точка, яка є спільною для всіх куль - єдина.

§ 3. Теорема Банаха

Одним із важливих прикладів неперервних відображень є, так звані, стискуючі відображення.

Означення 3.1. Нехай f відображення метричного простору X₁ в X₂. Відображення називається стискуючим, якщо : 0<<1: x, yX₁, справедлива нерівність: .

Легко показати, що стискуюче відображення є неперервним. Дійсно, нехай х₀Х₁. Тоді . Якщо хх₀, то , а значить . Отже, відображення є неперервним.

Дуже часто в математиці виникає потреба з'ясувати при яких умовах те чи інше рівняння має на деякій множині єдиний розв'язок. При розв'язуванні цієї задачі використовують властивості стискуючих відображень заданих в повних метричних просторах.

Означення 3.2. Нехай f відображає Х в Х. Точка х₀Х, називається нерухомою точкою оператора f , якщо f(x₀)=x₀.

Теорема (Банаха). Якщо f:XX є стискуючим відображенням, і Х повний метричний простір, то відображення f в даному просторі має єдину нерухому точку.

Доведення. Візьмемо довільне х₀Х, х₁=f(x₀), x₂=f(x₁)_,…x_n=f(x_n-1),… В результаті одержали послідовність {x_n}X. Тоді

(3.1).

Візьмемо будь-яке п, тоді p

(^n+p-1+^n+p-2+… ...+ⁿ)(x₁;x₀)<(ⁿ+ⁿ⁺¹+…+^n+p-1+^n+p+…)(x₁;x₀)= (x₁;x₀).

Оскільки 0<<1, то останній вираз при п, прямує до нуля так, що >0, n₀: nn₀, справедлива .

З останніх двох нерівностей одержуємо, що послідовність {x_n} є фундаментальною, а оскільки простір повний, то і збіжною до деякої точки аХ.

Внаслідок неперервності відображення f маємо:

.

Звідси слідує, що а є нерухомою точкою цього відображення.

Для доведення єдиності точки а, припустимо, що b є ще одна нерухома точка відображення: b=f(b), причому ab. Тоді матимемо:

, бо 0<<1.

Прийшли до суперечності. Теорему доведено.

ЧАСТИНА II. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Розділ 1. Поняття дійсної функції багатьох змінних

В цьому розділі ми для функцій f, які діють з RⁿR, побудуємо апарат диференційного числення і вкажемо на деякі його застосування. Оскільки областю визначення цієї функції будуть деякі множини з простору Rⁿ, кожна точка яких задається п дійсними координатами, а значеннями цієї функції є дійсні числа, то функції, які ми будемо вивчати, називатимуться дійснозначними функціями від п дійсних змінних або функціями багатьох змінних.

Таким чином, в цьому розділі ми будемо займатися функціями виду:

f: ER¹ ERⁿ , E - область визначення функції, f(E)R - множина значень.

Графіком функції двох дійсних змінних є деяка поверхня в просторі R³. Звичайно можна ввести поняття графіка і для функції більшої кількості змінних, але тоді ця множина М буде розміщена в просторі, розмірність якого більша або рівна 4, і цей об'єкт зобразити важко.

Із попередньої частини випливає, що для функцій багатьох змінних можна вводити поняття границі і поняття неперервності. Зауважимо, що ці речі переносяться сюди.

Домовимось, окіл точки х⁽⁰⁾ , радіуса r позначати , а проколотий окіл - .

Означення 1.1. (неперервність функції за Гейне). Нехай f:ER, x⁽⁰⁾E. f називається неперервною в точці х⁽⁰⁾, якщо для будь-якої послідовності {x^(к)}: x^(к)E , яка збігається до х⁽⁰⁾, послідовність {f(x^(к))} - збіжна до числа f(x⁽⁰⁾).

Означення 1.2. (неперервність функції по Коші). Нехай f: ER, x⁽⁰⁾E. Функція f називається неперервною в точці х⁽⁰⁾,якщо для будь-якого >0 існує >0 таке, що для всякого хЕ, що задовільняє нерівності (х;x⁽⁰⁾)<, виконується нерівність f(x)-f(x⁽⁰⁾)<.

Якщо х⁽⁰⁾є граничною точкою множини Е, то означення неперервності можна сформулювати наступним чином.

Означення 1.3. Нехай f: ER, x⁽⁰⁾E і х⁽⁰⁾ гранична точка множини Е. Функція f називається неперервною в точці х⁽⁰⁾, якщо .

Зрозуміло, що якщо f - неперервна в усіх точках множини Е, то вона називається неперервною на множині Е.

Як і для функцій однієї змінної, так і для функцій багатьох змінних мають місце теореми Вейєрштрасса. Так, як обмежена замкнена множина в просторі Rⁿ є компактом, то на основі теореми 4.4 розділу 5, першої частини дані теореми можна сформулювати наступним чином.

Теорема 1.1. (Теорема Вейєрштрасса). Якщо функція f неперервна на обмеженій і замкненій множині FRⁿ, то вона обмежена на цій множині і досягає на ній своїх найбільшого і найменшого значень.

Теорема 1.2. Якщо G відкрита і зв'язна множина в просторі Rⁿ, то будь-які дві точки цієї множини можна з'єднати неперервною кривою, всі точки якої належать множині G.

Доведення. Припустимо, що висновок теореми не вірний. Це означає, що існують дві точки х⁽¹⁾ і х⁽²⁾, які належать множині G, які не можна з'єднати неперервною кривою, всі точки якої належать множині G.

Позначимо через А множину, що містить точку х⁽¹⁾ і всі ті точки множини G, які можна з'єднати із точкою х⁽¹⁾ неперервною кривою, яка належить G. Решту точок, - позначимо через В. Тобто В=G-A.

Оскільки G - відкрита, то х⁽¹⁾ входить в G разом з деяким своїм околом. Зрозуміло, що всі точки околу можна з'єднати з центром неперервною кривою (навіть прямолінійним відрізком), тобто до А входять всі точки з околу. Це означає, що А - непорожня і відкрита множина, бо якщо якась точка х⁽³⁾А, тобто її можна зєднати з х⁽¹⁾ неперервною кривою, то неперервною кривою можна з'єднати з точкою х⁽¹⁾ всі точки з деякого околу точки х⁽³⁾.

Очевидно, що В - непорожня (бо там є х⁽²⁾) і також відкрита. Із побудови видно, що АВ=, а також , що G= AB. Оскільки множина G зв'язна, то хоча б одна з цих множин містить точку дотику другої. Нехай точка х⁽⁰⁾А є точкою дотику множини В. Тоді в будь-якому околі точки х⁽⁰⁾ є хоча б одна точка з множини В. Візьмемо окіл точки х⁽⁰⁾, який міститься в G. Всі точки з цього околу можна сполучити з х⁽⁰⁾ неперервною кривою, яка лежить в G, а значить х⁽⁰⁾ не може бути точкою дотику множини В. Аналогічно встановлюється, що жодна точка множини В не може бути точкою дотику множини А. Прийшли до суперечності. Теорему доведено.

Приклад. Нехай маємо функцію

Чи буде функція неперервною в точці (0;0)? Для цього потрібно з'ясувати чи буде ?

За умовою. Розглянемо два шляхи прямування (x;y)(0;0).

,

,

а це означає, що дана функція в даній точці границі не має. Значить в цій точці функція має розрив.

Нагадаємо, що будь-яка зв'язна відкрита множина, називаєтся областю.

Множина, що є об'єднанням області G і її граничних точок, називається замкненою областю.

Теорема1.3. (про неперервність складної функції). Нехай маємо функцію z=f(x₁, x₂,…, x_n) причому точка (х₁,...,х_п)Е, ERⁿ. Нехай задано ще таку систему функцій:

х₁=₁(t₁,…,t_k)

x₂=₂(t₁,…t_k)

.....................

x_n=_n(t₁,…,t_k),

де точки (t₁,…,t_k)GR^k. Якщо функції ₁,…,_n неперервні в точці С=(t₁⁽⁰⁾,…,t_k⁽⁰⁾)G, а функція z=f(x₁, x₂,…, x_n) неперервна в точці (х₁⁽⁰⁾,…х_п⁽⁰⁾)=х⁽⁰⁾Е (тут х₁⁽⁰⁾=₁(t₁⁽⁰⁾,…,t_k⁽⁰⁾), х₂⁽⁰⁾=₂(t₁⁽⁰⁾,…,t_k⁽⁰⁾),..., х_п⁽⁰⁾=_п(t₁⁽⁰⁾,…,t_k⁽⁰⁾)), то складна функція z від (t₁,…,t_k) - неперервна в точці t⁽⁰⁾= =(t₁⁽⁰⁾,…,t_k⁽⁰⁾).

Доведення. Оскільки функції ₁,...,_п - неперервні в точці t⁽⁰⁾,то (з означення неперервності за Гейне), для будь-якої послідовності t^(і), яка належить множині G і збіжна до t⁽⁰⁾ матимемо, що х^(і)=(х₁^(і),...,х_п^(і)) (х₁⁽⁰⁾,…х_п⁽⁰⁾). Тоді, оскільки функція f(x₁, x₂,.., x_n)= f(x) є неперервною в точці х⁽⁰⁾, то за означенням Гейне, з того, що послідовність х^(і) збігається до х⁽⁰⁾, слідує, що , або те саме,

А це означає, що складна функція неперервна в точці t⁽⁰⁾. Теорему доведено.

Оскільки дана функція має множину значень, яка є деякою множиною дійсних чисел, які можна порівнювати, то виникає питання: чи має місце тут теорема Больцано-Коші?

Теорема 1.4. Больцано-Коші (для функції багатьох змінних.)

Нехай f:ER неперервна на зв'язній множині ЕRⁿ. Якщо f(x⁽¹⁾)=A, f(x⁽²⁾)=B; x⁽¹⁾, x⁽²⁾E, AB, то для будь-якої точки C,(CR), що лежить між А і В, існує точка х⁽³⁾Е така, що f(x⁽³⁾)=C.

Доведення. Оскільки Е зв'язна множина в Rⁿ, то за теоремою 1.1, будь-які дві її точки можна з'єднати неперервною кривою, всі точки якої належать множині Е. Це означає, що неперервною кривою можна з'єднати і точки х⁽¹⁾, х⁽²⁾, де х⁽¹⁾=(х₁⁽¹⁾, х₂⁽¹⁾,..., х_п⁽¹⁾), х⁽²⁾=(х₁⁽²⁾, х₂⁽²⁾,..., х_п⁽²⁾).

Таким чином існують функції х₁=₁(t), х₂=₂(t),…, х_n=_n(t), - неперервні на [,] , (₁()…_n())=x⁽¹⁾, (₁()…_n())=x⁽²⁾ і якщо t змінюється від до , то точка рухається по цій кривій від х⁽¹⁾до х⁽²⁾.

Розглянемо нашу функцію в точках тільки цієї неперервної кривої. Оскільки точки кривої задаються системою рівнянь від змінної t, z=f(x₁, x₂,…,x_n), а точки (x₁, x₂,…,x_n) належать кривій, то х₁=₁(t), x₂=₂(t),…, x_n=_n(t). Це означає, що наша функція z є складною функцією параметра t, z=f(₁(t),₂(t),…,_n(t)), t[,]=(t) .

()=, ()=.

Оскільки f неперервна на Е, то вона неперервна в точках кривої, що належить цій множині. Кожний аргумент х_і, теж є неперервною функцією параметра t. Тому за теоремою 1.2, матимемо, що складна функція (t) є неперервною функцією однієї змінної на [, ], а звідси за теоремою Больцано-Коші (з одномірного аналізу) випливає, що існує [, ]: ()=C (з умови теореми), тобто f(₁(), ₂(),…, _n())=C, а оскільки точка (₁(), ₂(),…, _n()) є точкою нашої кривої, то вона є і точкою множини Е, позначимо її х⁽³⁾.Таким чином f(x⁽³⁾)=С. Теорему доведено.

Приведемо ще одне різницеве означення неперервності функції багатьох змінних.

Означення 1.4. Нехай U=f(x₁,…,x_n) - задана в деякій області G, і (х₁⁽⁰⁾,х₂⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾)G. Надамо цій точці приріст, так щоб новоутворена точка не вийшла за межі області G. Одержимо точку . Тоді величина , називається приростом функції f(x₁; x₂;…;x_n).

Зрозуміло, що функція U=f(x₁,…,x_n)буде неперервною в точці (x₁⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾) тоді і тільки тоді, коли .

Розділ 2. Диференційовність функцій багатьох змінних

§ 1. Поняття диференційовної функції. Часткові похідні. Необхідні умови диференційовності

Очевидно є проблема перенесення означення похідної функції однієї змінної на похідну функції багатьох змінних. І ця проблема полягає в тому, що кожна із змінних має свій приріст.

В зв'язку з цим, перенести означення похідної можна, якщо приріст надавати не всім змінним, а тільки одній із них. В результаті ми одержимо аналог похідної, який будемо називати частковою похідною від функції багатьох змінних, як було в одномірному аналізі.

Означення 1.1. Величину , називають частковим приростом функціі по змінній х_і, де х_і0, в точці х⁽⁰⁾.

Означення 1.2. Якщо існує границя , то її називають частинною похідною функції U(x) в точці х⁽⁰⁾ і позначають: , або .

Означення 1.3. Функція U=f(x), називається диференційовною в точці х⁽⁰⁾, якщо повний приріст цієї функції в цій точці можна зобразити у вигдяді

, (1.1),

де А_і - незалежні від величини, _і є функціями від , які прямують до нуля, коли .

Означення 1.4. Якщо функція диференційовна в точці х₀, то вираз називається диференціалом функції в даній точці і позначається ,

.

Як ми бачимо, диференціал це є лінійна відносно частина приросту функції. З рівності (1.1) слідує, що якщо функція диференційовна в точці , то вона неперервна в цій точці.

Теорема 1.1. Якщо функція диференційовна в точці, то існують усі часткові похідні в цій точці.

Якщо рівність (1.1) справедлива для будь-якого приросту х⁽⁰⁾, то вона справедлива, коли , а решта . Тоді , поділимо обидві частини на . Після переходу до границі, одержимо:

.

Обернене твердження взагалі невірне.

Розглянемо функцію

В точці (0;0) існують часткові похідні.

;

.

Але дана функція не є неперервною в точці (0;0), тому вона не може бути і диференційовною в цій точці.

Таким чином цей приклад показує:

1)Із існування всіх часткових похідних в точці, не випливає диференційовність цієї функції в цій точці.

2)Не обов'язково розривна функція не повинна мати часткових похідних.

Зауважимо, що в означенні диференційовної функції на накладається умова: .

З теореми 1.1. бачимо, що якщо функція диференційовна в точці х₀, то її приріст можемо записати у вигляді

,

де _і - нескінченно малі функції від .

Якщо - незалежні змінні, то їх прирости називаються диференціалами, тобто: .

Таким чином диференціал функції можна записати у вигляді

.

Як ми знаємо, між диференційовністю функції однієї змінної в якійсь точці х₀ і наявністю дотичної до графіка функції в точці (х₀, f(x₀)), є зв'язок. Перенести його на функцію будь-якої кількості змінних (3) - не можливо, бо графік такої функції буде розміщуватись в просторі розмірності >3. Та все ж таки для функції z=f(x;y) таку проблему можна ставити, бо її графіком буде деяка поверхня в просторі R³, для якої ми можемо ввести поняття дотичної площини, а отже, можливо, і зможемо зв'язати проблему існування дотичної площини з умовою диференційовності функції.

Означення 2.4. Площина Р, називається дотичною до деякої поверхні G в деякій точці М₀(у₀; x₀; z₀) цієї поверхні, якщо:

1) М₀Р;

2) кут між цією площиною і січною М₀М, де М - будь-яка точка поверхні G, прямує до нуля, якщо точка М прямує до співпадання з точкою М₀.

Нехай функція z=f(x; y) диференційовна в точці А(х₀; y₀), тоді приріст функції можна записати у вигляді

, _, коли 0, де _.

Розглянемо площину: і покажемо, що вона є дотичною до поверхні в точці (х₀; y₀; z₀), де z₀=f(x₀; y₀). Для того, щоб довести, що ця площина буде дотичною до нашої поверхні в точці (х₀; y₀; z₀) потрібно показати:

1) що вона проходить через точку (х₀; y₀; z₀), а це очевидно, бо координати цієї точки наше рівняння задовільняють;

2) що кут між нормаллю цієї площини і січною прямуватиме до 90, коли точка М прямує до точки М₀, рухаючись по цій поверхні.

Нехай -- вектор нормалі до площини в точці М₀. Розглянемо вектор , де М(х; y; z) - довільна точка на поверхні.

Врахувавши, що , одержимо:

, коли ,

це рівнозначне тому, що коли ММ₀ по поверхні, то кут між і прямує до 90, а це означає, що кут між площиною і січною прямує до нуля.

Отже площина є дотичною до функції в точці М₀(х₀; y₀; z₀).

§ 2. Достатні умови диференційовності функції багатьох змінних

В попередньому параграфі ми показали, що, якщо функція диференційовна в точці, то в даній точці існують часткові похідні. Обернене твердження взагалі кажучи не вірне. Але при цьому має місце наступна теорема.

Теорема 2.1. Нехай функція U=(x₁; x₂;…;x_n) в деякому околі точки А(х₁⁽⁰⁾; x₂⁽⁰⁾;…;x_n⁽⁰⁾) має всі частинні похідні. Якщо вони є функціями неперервними в точці А, то дана функція - диференційовна в цій точці.

Доведення. Для простоти викладу будемо вважати, що наша функція залежить від двох змінних, U=f(x; y), A(x₀; y₀).

Надамо х₀, у₀ прирости такі, що точка належить околу, в якому існують часткові похідні. Використовуючи теорему Лагранжа, одержимо:

,

де , . Оскільки за умовою f ^/_x і f ^/_y - неперервна в точці х₀, у₀, то величини і прямують до нуля, коли . Знайшовши з останніх двох рівностей перші доданки справа і підставивши їх у суму, одержимо:

,

а це означає, що наша функція в точці А є диференційовною. Теорему доведено.

§ 3. Диференційовність складної функції.

Коли ми розглядали поняття диференційовності функції, то в представленні вважалося, що одночасно не можуть дорівнювати нулю. Тобто функції _і не визначені в точці (0,...,0). Якщо доозначимо _і в точці (0,0,...,0), поклавши _і(0,...,0)=0, то рівність (1.1) матиме зміст і тоді, коли всі .

Нехай функції

(3.1)

визначені в області D₁R^k, а функція U=f(x₁,…,x_n) визначена в області DRⁿ при чому, якщо точка (t₁,…,t_k)D₁, то точка (₁(t₁,…,t_k ),…, _n(t₁,…, t_k))D. Тоді ми одержимо складну функцію U=f(₁(t₁,…,t_k ),…, _n(t₁,…, t_k)), яка визначена в області D₁.

Теорема 3.2. Нехай всі функції (3.1.) диференційовні в А(t₁⁽⁰⁾,…,t_k⁽⁰⁾), а функція U=f(x₁,…,x_n) диференційовна в точці В(x₁⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾), де х_і⁽⁰⁾=_I(t₁⁽⁰⁾,…,t_k⁽⁰⁾), тоді складна функція U(t₁,…,t_k) -диференційовна в точці А і при цьому її часткові похідні обчислюються по формулі:

, де і=1,...,k.

Доведення. Для простоти викладок, проведемо доведення, коли U=f(x₁,x₂), x₁=₁(t₁, t₂, t₃); x₂=₂(t₁, t₂, t₃), A=(t₁⁽⁰⁾, t₂⁽⁰⁾, t₃⁽⁰⁾), B=(x₁⁽⁰⁾, x₂⁽⁰⁾).

Оскільки функції ₁, ₂ диференційовні в точці А за умовою, то надавши t₁⁽⁰⁾, t₂⁽⁰⁾, t₃⁽⁰⁾ прирости t₁, t₂, t₃, які одночасно всі не дорівнюють нулю, прирости функцій х₁, х₂, що відповідають цим приростам, можна записати у вигляді:

(3.2)

, (3.3),

де _і, _і0, а значить і 0, коли t_k0. Оскільки х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾, одержали прирости х_1, х₂, які обчислюються за допомогою формул (3.2), (3.3), то в силу того, що U=f(x_1, x₂) в точці В диференційовна, її приріст в цій точці можна записати у вигляді:

(3.4),

тут _{1, 2}0, коли (х₁,х₂)(0,0) (при цьому можуть х₁=х₂=0).

Підставивши (3.2) і (3.3) в (3.4), одержимо:

Замінивши множники біля t₁, t₂, t₃ , в останніх трьох доданках, відповідно на ₁, ₂, ₃, отримаємо:

Якщо t₁, t₂, t₃0, то ₁, ₂, ₃0, ₁, ₂, ₃0, і х₁, х₂0, а значить ₁0, ₂0. Тому ₁, ₂, ₃0. Звідси робимо висновок, що функція U(t₁, t₂, t₃) - диференційовна в точці , і при цьому , де і=1, 2, 3.

§ 4. Інваріантність форми диференціала функції багатьох змінних.

Нехай функція U=f(x₁,…,x_n) диференційовна в точці В, а функції х₁₌₁(t₁,…,t_k) ,…,x_n=n(t₁,…, t_k), як вимагалось в теоремі 3.2 - диференційовні в точці А, при чому координати точки В зв'язані з координатами точки А, як і вимагалось в цій теоремі. Тоді, як ми довели, U(t₁…,t_k) диференційовна в точці А. А оскільки t_i - незалежні аргументи, то існує диференціал нашої функції дорівнює:

Так, як при кожному і, то dU можна переписати у вигляті:

,

а останній вираз не відрізняється від dU, коли х₁,...,х_n - незалежні змінні.

Отже ми довели: форма диференціала функції багатьох змінних не залежить від того, чи її аргументи - незалежні змінні, чи функції якихось інших знінних. Ця властивість називається інваріантністю форми диференціала.

§ 5. Похідна за напрямком. Градієнт

Нехай маємо напрямок в точці М₀(х₀, у₀, z₀)R³, заданий одиничним вектором , який утворює, з додатніми напрямками осей ОХ, ОУ, ОZ, кути, що відповідно дорівнюють , , . Через точку М₀ проведемо пряму, яка проходить вздовж вектора . За додатній напрямок візьмемо напрям вектора . На цій прямій виберемо точку М, відмінну від М₀.

Означення 5.1. Орієнтовною довжиною відрізка М₀М з початком в точці М₀ і кінцем в точці М, називається число, яке дорівнює довжині цього відрізка, коли напрям вектора співпадає з напрямом , або число, яке дорівнює довжині цього відрізка взятій із знаком мінус, коли напрямки векторів і - протилежні.

Нехай функція U=f(x, y, z) - визначена в деякому околі точки М₀(х₀,у₀,z₀), точка М, відмінна від М₀, яка лежить на вище згаданій прямій і належить даному околу.

Означення 5.2. Якщо існує границя , то її називають похідною функції f(x,y,z) в точці М₀ за напрямком вектора і позначають: , .

Таким чином , , є похідними за напрямками, які визначаються відповідно додатніми напрямками осей ОХ, ОУ, ОZ.

Теорема 5.1. Якщо функція f(x,y,z) диференційовна в точці М₀(x₀,y₀,z₀), то в цій точці вона має похідну за будь-яким напрямком і при цьому виконується рівність:

. (5.1)

Доведення. Нахай маємо точку М₀ і через неї проведена пряма, яка проходить через вектор . На прямій взято точку , . Так, як функція диференційовна в точці М₀, то

,

де ₁, ₂, ₃ прямують до нуля, коли х0, у0, z0. Оскільки х=М₀Мcos, у=М₀Мcos, z=М₀Мcos, то

. (5.2).

Оскільки, якщо ММ₀, то х, у, z,0, а значить і ₁, ₂, ₃ прямують до нуля. Таким чином права частина рівності (5.2) ( а отже і ліва), має границю, коли ММ₀, що дорівнює

...