Теоретичні основи для реалізації розділу "Елементи функціонального аналізу та диференціальне числення функцій багатьох змінних" курсу математичного аналізу за допомогою комп’ютерних технологій

.

Це означає, що похідна за напрямком існує і виконується рівність (5.1).

Теорему доведено.

Нехай функція U=f(x,y,z) диференційовна в точці М₀(х₀,у₀,z₀). Тоді за теоремою 5.1, в цій точці існує похідна функції за будь-яким напрямком. Часто виникає питання: за яким напрямком ця похідна буде найбільша?

Розглянемо два вектори: одиничний вектор , який визначає напрямок, і , який називається градієнтом функції f(x,y,z) в точці М₀(x₀,y₀,z₀), тут - орти. Скалярний добуток (,gradf(x₀,y₀,z₀)) цих векторів, дорівнює:

.

Порівнявши з формулою (5.1) ми бачимо

 (5.3).

З іншого боку

(5.4),

де - кут між цими векторами. Так, як , то з формул (5.3), (5.4), одержимо:

(5.5).

Права частина (а значить і ліва), якщо f(x₀,y₀,z₀)0, набуває найбільшого значення при =0. Таким чином, якщо , , одночасно не дорівнюють нулю, то найбільшого значення похідна за напрямком набуває в напрямі градієнта даної функції. Похідна в цьому напрямі дорівнює:

.

Врахувавши, що дорівнює швидкості зміни функції в напрямі, який визначається вектором , то можна сказати, що якщо градієнт функції в точці М₀ не дорівнює нулю, то він напрямлений в бік найбільшого зростання функції.

Розділ 3. Частинні похідні і диференціали вищих порядків

§ 1. Частинні похідні вищих порядків

Нехай функція U=f(x₁,…,x_n) визначена в області D і в кожній точці існує частинна похідна по змінній х_і. Тоді ця частинна похідна є функцією змінних х₁,...,х_п, яка визначена в цій області. Може трапитись, що ця функція в точці має частинну похідну по змінній х_к. Тоді цю частинну похідну називають частинною похідною другого порядку або другою частинною похідною функції U=f(x₁,…,x_n) в точці М₀ спочатку по змінній х_i, а потім по змінній х_к і позначають так: . При цьому, якщо іk, то частинну похідну називають змішаною частинною похідною.

Аналогічно вводяться частинні похідні третього, четвертого і т. д. порядків.

Нехай в області D існує частинна похідна (m=1) порядку по змінних і ця частинна похідна в точці М₀(х₁⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾) має частинну похідну по змінній . Тоді цю частинну похідну називають частинною похідною m-го порядку або m-тою частинною похідною функції U=f(x₁,…,x_n)в точці М₀ по змінних . Співвідношення, яке визначає цю частинну похідну записують так:

.

Якщо не всі індекси і₁, і₂,...,і_т співпадають між собою, то частинна похідна називається змішаною.

Розглянемо приклад. Знайти частинні похідні другого порядку функції . Отримаємо

; ; ; ; ; .

§ 2. Достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.

В вище наведеному прикладі змішані похідні ; функції були рівні. Наступний приклад показує, що це не завжди так.

Нехай .

Тоді ;

Розглянемо достатні умови незалежності змішаних частинних похідних від порядку диференціювання.

Означення 2.1. Функція U=f(x₁,…,x_n), називається т раз диференційовною в точці М₀(х₁⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾) , якщо всі частинні похідні (т-1)-го порядку є функціями диференційовними в цій точці .

Теорема 2.1. Для того, щоб функція U=f(x₁,…,x_n) була т раз диференційовною в точці М₀(х₁⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾) достатньо, щоб її частинні похідні т-го порядку були визначені в деякому околі точки М₀ і були неперервними функціями в цій точці.

Справедливість цього твердження слідує з теореми про достатню умову диференційовності функції.

Теорема 2.2. (про рівність змішаних похідних другого порядку). Якщо функція U=f(x,у) двічі диференційовна в точці М₀(х₀, у₀), то .

Доведення. Так як функція U=f(x;y) двічі диференційовна в точці М₀, то частинні похідні f ^/_x(x;y) і f ^/_y(x;y) визначені в деякому околі точки М₀.

Розглянемо вираз

=f(x₀+h, y₀+h)-f(x₀+h, y₀)-f(x₀, y₀+h)+f(x₀;y₀), (2.1),

де h - довільне число, таке, що точка М₀(х₀+h, y₀+h) міститься у вище вказаному околі. Переписавши у вигляді

=(f(x₀+h, y₀+h))-f(x₀+h, y₀))-(f(x₀, y₀+h)-f(x₀;y₀)),

помічаємо, що це є приростом функції (х)=f(x, y₀+h)-f(x, y₀) в точці х₀. Тобто

=(х₀)=(х₀+h)-(х₀) (2.2).

Оскільки функція (х) на х₀, х₀+h задовільняє умові теореми Лагранжа, то

=(х₀+₁,h)h=(f_x(x₀+₁h,y₀+h)-f_x(x₀+₁h,y₀))h=(f_x(x₀+₁h,y₀+h)-f_x(x₀,y₀)-(f_x(x₀+₁h,y₀)-f_x(x₀,y₀)))h (2.3).

де 0<₁<1. Так, як f_x(x,y)- диференційовна в точці М₀, то

f_x(x₀+₁h,y₀+h)-f_x(x₀,y₀)=f_xx(x₀,y₀) ₁h+f_xy(x₀,y₀)h+₁(h) ₁h+₂(h)h, (2.4).

f_x(x₀+₁h,y₀)-f_x(x₀,y₀)=f_xx(x₀,y₀) h+₃(h) ₁h, (2.5)

при цьому ₁(h), ₂(h),₃(h) прямують до нуля, коли h0.

Підставивши (2.4) і (2.5) в (2.3), одержимо:

=((f_xx(x₀,y₀)₁h+f_xy(x₀,y₀)h+₁(h)₁h+₂(h)h)-((f_xx(x₀,y₀)₁h+₃(h) ₁h))h=(f_xy(x₀,y₀)+₁(h) ₁+₂(h)-₃(h) ₁)h²=(f_xy(x₀,y₀)+₁(h))h² , (2.6),

де ₁(h)=₁(h)₁+₂(h)+₃(h)₁.

Переписавши у наступному вигляді

=(f(x₀+h,y₀+h)-f(x₀,y₀+h))-(f(x₀,y₀+h)-f(x₀,y₀)),

бачимо, що є приростом функції (y)=f(x₀+h,y)-f(x₀,y) в точці у₀. Застосувавши теорему Лагранжа і врахувавши диференційовність f_y(x,y) в точці М₀, ми отримаємо наступне представлення для ,

=(f_yx(x₀,y₀)+₂(h))h² (2.7),

при цьому ₂()0, коли h0.

Прирівнявши праві частини рівностей (2.6) і (2.7) і скоротивши на h², отримаємо:

f_xy(x₀,y₀)+₁(h)=f_yx(x₀,y₀)+₂(h) (2.8).

Перейшовши до границі, коли h0, отримаємо:f_xy(x₀,y₀)=f_yx(x₀,y₀). Теорема доведена.

Наступна теорема теж дає достатні умови рівності змішаних похідних другого порядку.

Теорема 2.3. Нехай в деякому околі точки М₀(х₀,у₀) функція U=f(x,y) має частинні похідні f_x, f_y, f_xy, f_yx. Якщо f_xy і f_yx неперервні в М₀, то f_xy(x₀,y₀)=f_yx(x₀,y₀).

Доведення. Розглянемо =f(x₀+h, y₀+h)-f(x₀+h, y₀)-f(x₀, y₀+h)+f(x₀;y₀). Замітимо, що =(х₀), де (х)=f(x, y₀+h)-f(x, y₀). Застосувавши теорему Лагранжа до (х), отримаємо:

=(f_x(x₀+₁h,y₀+h)-f_x(x₀+₁h,y₀)), де 0<₁<1.

Застосувавши теорему Лагранжа до функції t(y)=f_x(x₀+₁h,y) на відрізку у₀,у₀+h, одержимо

=f_xy(x₀+₁h,y₀+₂h)h², 0<₂<1.

Внаслідок неперервності f_xy(x,y) в точці (х₀,у₀), маємо

=(f_xy(x₀,y₀)+₁(h))h² (2.9),

де ₁(h)0, коли h0. Представивши у вигляді =(у), де (у)=f(x₀+h,y)-

-f(x₀,y), аналогічно одержуємо

=(f_yx(x₀;y₀)+₂(h))h² (2.10),

де ₂(h)0, коли h0. Прирівнявши праві частини рівностей (2.9) і (2.10), скоротивши на h² і перейшовши до границі, коли h прямує до нуля, отримаємо f_xy(x₀;y₀)=f_yx(x₀;y₀).

Теорема 2.4. Якщо U=f(x₀;…;x_n) m разів диференційовна в точці М₀, то змішана частинна похідна, в цій точці, не залежить від порядку повторного диференціювання.

Доведення. Очевидно, достатньо довести незалежність значень давільної т-тої змішаної похідної від порядку проведення двох послідовних диференціювань. Тобто достатньо довести рівність:

(2.11).

Розглянемо функцію . Ця функція є диференційовною функцією від змінних, тому внаслідок теореми 2.2. маємо:

.

Звідси і слідує рівність (2.11). Теорему доведено.

§ 3. Диференціали вищих порядків

Нехай маємо функцію U=f(x₁,…,x_n), яка диференційовна в деякій області D. Тоді в кожній точці цієї області існує диференціал , який є функцією від змінних х₁,...х_п.

Припустимо, що в точці М₀(х₁⁽⁰⁾,...,х_п⁽⁰⁾) наша функція двічі диференційовна. Тоді диференціал від диференціала 1-го порядку, називається другим диференціалом або диференціалом 2-го порядку і позначається d²U=d(dU).

Нехай х₁,...х_п- незалежні аргументи, тоді

.

Врахувавши, що змішана частинна похідна не залежить від порядку диференціювання, одержимо:

Введемо символ . Тоді dU можна записати у вигляді ;

.

Аналогічно під диференціалом 3-го порядку будемо розуміти d(d²U). Якщо х_і незалежні аргументи, то міркуючи аналогічно можна одержати, що

.

Аналогічно вводиться диференціал k-го порядку функції U і символічна форма його буде такою:

.

При цьому піднесення символа до степеня k виконується аналогічно, як піднесення многочлена до цього степеня.

Коли ми розглядали диференціал 1-го порядку, то його форма не залежала від того чи х_і незалежні змінні, чи є функціями від інших змінних.

Подивимось, чи зберігається форма диференціала, для вищих порядків. Для простоти, розглянемо функцію 2-х змінних.

Нехай U=f(x;y) і при цьому х і у є функціями від інших змінних. Тоді

d²U=d(dU)=d(f_xdx+f_ydy)=d(f_xdx)+d(f_ydy)=dxd(f_x)+f_xd(dx)+dyd(f_y)+f_yd(dy)=.

Як бачимо, тут появилося два доданки, яких не було в диференціалі 2-го порядку, коли х і у незалежні змінні. Отже, диференціал 2-го, а значить і вищих порядків, не має властивості інваріантності форми, якою володіє диференціал 1-го порядку.

Проте, легко бачити, що якщо х_і лінійно залежать від змінних t₁,…,t_k, то диференціали d²x₁=d²x₂=…=d²x_n=0 і при цьому форма диференціала зберігається. В цьому випадку можна записати:

.

§ 4. Формула Тейлора для функцій багатьох змінних

Як відомо, для функції U=F(t) (п+1) раз диференційовної в околі точки t₀, має місце рівність:

,

де 0<<1.

Запишемо дещо по-іншому цю формулу. Нехай t-t₀=t, тоді:

F(t)-F(t₀)=F(t₀)

(4.1)

Дивлячись на цей вигляд формули Тейлора, неважко догадатись, що її можна перенести і на функції багатьох змінних.

Теорема 4.1(Формула Тейлора для функції багатьох змінних)

Нехай функція U=F(x₁;x₂;…;x_k) (n+1) раз диференційовна в деякому околі точки М₀(х₁⁽⁰⁾,....,х_к⁽⁰⁾), тоді справедлива рівність:

, (4.1)

де і точка N(х₁,...,х_к) належить заданому околу. В диференціалах, які стоять справа, dx_i=x_i=x_i-x_i⁽⁰⁾, останній доданок цієї формули, називається залишковим членом формули Тейлора у формі Лагранжа.

Доведення. Для простоти викладу доведемо цю формулу для функції двох змінних.

Нехай функція U=F(x₁;x₂), яка (п+1) разів диференційовна в околі точки М₀(х₁⁽⁰⁾;x₂⁽⁰⁾).

Візьмемо точку М₁(х₁⁽⁰⁾+х₁;x₂⁽⁰⁾+x₂). Проведемо через точки М₀ і М₁ пряму, рівняння якої буде: ;

Звідки ; .

При цьому, якщо t0;1, то М(х₁;x₂) пробіжить відрізок М₀М₁.

Розглядатимемо функцію U=F(x₁;x₂) лише в точках відрізка М₀М₁. На цьому відрізку ця функція є функцією однієї змінної t: U=F(x₁⁽⁰⁾+tx₁;x₂⁽⁰⁾+tx₂)=f(t). З того, що х₁, і х₂ є лінійними функціями від t і задана функція (п+1) разів диференційовна в околі точки М₀ слідує, що ця складна функція по t є (п+1) раз диференційовною в околі точки t₀=0. Тоді з формули (4.1), одержуємо:

(4.2).

Замітимо, що в нашому випадку

f(0)=F(x₁⁽⁰⁾+x₁;x₂⁽⁰⁾+x₂)-F(x₁⁽⁰⁾;x₂⁽⁰⁾)=f(1)-f(0)=

Оскільки, як ми встановили вище, диференціали вищих порядків мають властивість інваріантності форми, якщо змінні лінійно залежать від інших аргументів, (від t), то всі інші доданки формули (4.2) матимуть вигляд

; k=1,2,…n

,

де NМ₀;M₁. Врахувавши це все, і, підставивши у формулу (4.2), ми одержимо формулу Тейлора, де в точці N, буде деяка точка на М₀;М₁. Теорему доведено.

Дана формула Тейлора дозволить нам в наступних параграфах вирішувати проблеми екстремумів функцій багатьох змінних.

Розділ 4. Неявні функції

§ 1. Існування неявної функції однієї змінної

Розглянемо криву х²+у²=1, це є коло.

Зрозуміло, що якщо точка М₀ належить колу і не належить його горизонтальному діаметру, то завжди можна знайти окіл точки такий, що в ньому дане рівняння задає єдину функцію у від х, що визначена на проекції цієї дуги на вісь ОХ, тобто х, що належить проекції у(х):х²+у(х)²=1. Будемо казати, що рівняння х²+у²=1 задає неявну функцію у від х.

Нехай функція F(x;y) визначена на множині ЕR² і Х - проекція цієї множини на вісь ОХ.

Будемо говорити, що рівняння F(x;y)=0, задає у, як функцію від х, у=f(х) на множині Х, якщо хХ існує пара (х;f(x))Е, яка задовільняє рівняння F(x;y)=0, тобто F(x;f(x))=0 є тотожністю на множині Х.

В нашому прикладі , .

Ми бачимо, що в околі точки М₀ це рівняння задаває єдину функцію у(х), щоб знайти її явне вираження, ми розв'язали наше рівняння відносно у. Та це вдасться зробити не завжди. Одже виникає така задача: як маючи певні властивості функції F, прогнозувати існування цієї неявно заданої функції, а також, які властивості повинна мати F, щоб ця неявно задана функція була, наприклад, неперервною чи диференційовною.

Зауважимо, що навіть на нашому простому прикладі видно, що якщо ми візьмемо т. М₀(1,0), то такої єдиної визначеної функції, як вище вже не буде. Якщо ми спроектуємо будь-який окіл цієї точки М₀ на ОХ, то помітимо, що на інтервалі, що належить проекції цього околу, рівняння кола задає безліч функцій у(х).

Теорема 1.1. Нехай:

1) функція F(x;y) неперервна разом із своїми частинними похідними F_x і F_y в деякому уколі т. М₀(х₀,у₀);

2) F_y в точці (x₀;y₀) не дорівнює нулю;

3) F(x₀;y₀)=0.

Тоді в деякому прямокутнику П={(x;y) x₀-₁<x<x₀+₁, y₀-₂<y<y₀+₂}, рівняння F(x;y)=0 задаватиме єдину функцію у=f(x), яка задовільняє наступним умовам:

1) ця функція буде неперервною на інтервалі (х₀-₁;x₀+₁);

2) на цьому інтервалі існує f(x), яка буде неперервною.

Доведення. Нехай . З умов 1,2 теореми випливає, що деякий окіл т. М₀, такий, що для всіх точок М, з цього околу, F(x;y) буде диференційовною і F_y(x;y)>0

Впишемо в цей окіл замкнений прямокутник з центром в точці М₀ , сторони якого паралельні до координатних осей. Проведемо через т.М₀ відрізок в прямокутнику паралельний до ОУ, розглянемо функцію F_y(x;y). В точках відрізка АВ вона матиме вигляд F_y(x₀;y) (вона є похідною від функції F(x₀;y) по змінній у). Оскільки F_y(x₀;y)>0 і y₀-₂yy₀+₂, то функція F(x₀;y) є монотонно зростаючою на сегменті [y₀-₂; y₀+₂].Звідси і з того, що F(x₀, y₀)=0 одержуємо, що F(x₀, y₀-₂)<0, F(x₀;y₀+)>0 тобто, інакше кажучи, F(A)<0, F(B)>0. Так, як функція F(x,y) є неперервна в точці А і в точці В (тому що обидві ці точки належать околу де вона є неперервною), то існують окіл точки А і окіл точки В такі, що в межах першого F(x;y)<0, а другого F(x;y)>0. Не зменшуючи загальності, можна вважати, що радіуси цих околів рівні. Якщо радіус цього околу ₁ , то із вище сказаного слідує, що для будь-якого х, який належить (х₀-₁, х₀+₁), F(x,y₀-₂)<0, a F(x,y₀+₂)>0.

Візьмемо будь-яке х, яке належить (х₀-₁;х₀+₁) і проведемо через це х пряму, перпендикулярну до ОХ. Оскільки точка А лежить на відрізку А₁А₂, а в кожній точці цього відрізка F(x;y)<0, то F(A)<0. Аналогічно F(B)>0.

Розглянемо функцію F(x;y) на відрізку АВ. На цьому відрізку вона є функцією однієї змінної у (бо тут х зафіксоване). При цьому вона буде неперервною на [y₀-₂;y₀+₂] і строго зростаючою. Оскільки в лівому кінці інтервала вона приймає від'ємне значення, а в правому - додатнє, то із всього сказаного вище випливає (за теоремою Больцано-Коші), існування єдиного у із інтервала (y₀-₂;y₀+₂) такого, що F(x;y)=0.

Таким чином ми встановили, що на інтервалі (х₀-₁,х₀+₁) існує єдина функція y=f(x) така, що F(x,f(x))=0 на цьому інтервалі.

Покажемо, що функция f(x) неперервна на інтервалі (х₀-₁,х₀+₁). Нехай х(х₀-₁,х₀+₁). Дамо х приріст х. Тоді функція одержить приріст y.

Точки (x;y) і (х+х;y+y), де y=f(x), y+y=f(x+y) задовільняють рівнянню F(x;y)=0. Таким чином

F(x;y)=F(х+х;y+y)-F(x;y)=0.

Використовуючи теорему Лагранжа, одержимо:

0=F(х+х;y+y)-F(x;y)=(F(х+х;y+y)-F(x;y+y))+(F(x;y+y)-F(x;y))=

=F_x(x+x;y+y)x+F_y(x;y+₁y)y,

де 0<<1, 0<₁<1. Так, як F_y?0, то

(1.1).

Оскільки F_x і F_y неперервні у замкнутому прямокутнику і F_y >0, то існують М>0 і т>0 такі, що F_x ?M і F_y>m.

Таким чином . Звідси маємо . Якщо х0, то y0, а це і означає, що f(x) неперервна в точці х.

Покажемо, що існує похідна f(x) для будь-якого х(х₀-₁,х₀+₁). Нехай х(х₀-₁,х₀+₁). Надамо х приріст х. Тоді функция одержить приріст у. Якщо х0 то і у0. При цьому , де 0<<1, 0<₁<1. Враховуючи, що F_x і F_у неперервні і F_у?0, перейшовши до границі, коли х0, одержимо:

.

А це і означає, що похідна в точці х існує і

.

Крім цього, як випливає з останньої формули,є неперервна на інтервалі (х₀-;x₀+) тому, що чисельник і знаменник останньої рівності є композиція неперервних функцій і і у=f(x). Теорему доведено.

§ 2. Існування неявної функції багатьох змінних

У цьому параграфі ми розглянемо узагальнення вище доведеної теореми для випадку функції двох змінних.

Теорема 2.1 Нехай М₀(х₀,у₀,z₀)R³ і F(x,y,z) такі, що

1) F(x₀,y₀,z₀)=0;

2) в деякому околі точки М₀, функція F(x,y,z) і F_x; F_y;F_z неперервні;

3) F_z(x₀,y₀,z₀)0.

Тоді в деякому паралелепіпеді П={x,y,z: x₀-₁<x<x₀+₁, y₀-₂<y<y₀-₂,

z₀-₃<z<z₀+₃} рівняння F(x,y,z) визначатиме єдину функцію z=F(x,y), яка буде визначена в прямокутнику П₁={(х,у): x₀-₁<x<x₀+₁, y₀-₂<y<y₀-₂}, яка буде неперервно диференційовною в цьому прямокутнику.

Частинні похідні будуть обчислюватися за формулами:

;

Аналогічна теорема має місце для випадку функції від більше ніж 3-х змінних.

§ 3. Існування неявної функції, яка задається системою рівнянь

Іноді буває, що неявні функції задаються системою рівнянь. При цьому має місце така теорема.

Теорема 3.1 Нехай маємо таку систему:

 (3.1)

і- точка, координати якої задовільняють кожному рівнянню системи (3.1).

Тоді, якщо:

1) в деякому околі точки М₀, існують всі часткові похідні першого порядку функцій F₁,…,F_m,при чому частинні похідні , де ; , будуть неперервні в точці М₀;

2) величина, яка називається якобіяном і позначається

відмінна від нуля в точці М₀, то існують додатні числа ₁>0, ₂>0,…,_m>0 та окіл точки такий, що в ньому існує єдиний набір функцій:

U₁=₁(x₁,…,x_n)

U₂=₂(x₁,…,x_n)

………………..

U_m=₂(x₁,…,x_n),

які є розв'язками системи (3.1). В межах цього околу матимуть місце нерівності:

Кожна з функцій _і є неперервною в цьому околі точки М₀ та диференційовною в ньому.

В зв'язку з цією теоремою виникає питання, а як же знайти частинні похідні від функцій _і, які одержалися в попередній теоремі. Адже із формулювання зрозуміло, що теорема стверджує тільки існування тих функцій і не дає можливості їх явно задати. Отже, як знайти їх частинні похідні?

Для цього продиференціюємо кожне із рівнянь системи (3.1) по змінній х_1. Зважаючи на те, що х_і - незалежні змінні, а U_i - функції від х₁...х_п, матимемо:

……………………………………………

Ми одержимо систему m лінійних рівнянь відносно т невідомих . Головний визначник цієї системи це є якобіян, взятий в точці М₀, який за умовою теореми не дорівнює нулю.

Розв'язавши цю систему, ми знайдемо

Для того, щоб знайти частинні похідні по інших змінних зробимо те саме.

Розділ 5. Екстремуми функцій

§ 1. Поняття екстремума функцій багатьох змінних

Нехай функція U=f(x₁,x₂,…,x_n) задана на множині ЕR^п.

Означення 1.1 Будемо говорити, що в точці функція має максимум, якщо існує окіл цієї точки такий, що для будь-яких точок М із цього околу, які належать множині Е, виконується нерівність: f(M)?f(M₀).

Означення 1.2 Будемо говорити, що в точці функція має мінімум, якщо існує окіл цієї точки такий, що для будь-яких точок М із цього околу, які належать множині Е, виконується нерівність: f(M)?f(M₀).

Як і в одномірному випадку точки максимуму та мінімуму функції називають точками екстремуму.

Теорема 1.1. (Необхідні умови існування екстремуму).

Нехай функція U=f(x₁,…x_n), яка задана в області D, має в точці екстремум. Якщо в цій точці існують всі її частинні похідні 1-го порядку, то всі вони дорівнюють нулю: .

Доведення. Нехай дана функція в даній точці має максимум. Тоді функція , як функція від однієї змінної по х₁має в точці х⁰₁ теж максимум, причому похідна в цій точці дорівнює частинній похідній . Оскільки функція має похідну в цій точці і ця точка є для неї точкою максимуму, то за відомою теоремою з одномірного аналізу її похідна, а отже і , аналогічно і з всіма іншими частинними похідними.

Аналогічно доводиться теорема, коли функція має мінімум.

Теорему доведено.

Означення 1.3 Точку М₀, в якій всі частинні похідні функцій , або не існують, називають критичною точкою цієї функції.

Точки в яких всі частинні похідні 1-го порядку дорівнюють нулю, називають ще й стаціонарними.

Таким чином, щоб функція мала екстремум в даній точці необхідно, щоб ця точка була критичною. Наступний приклад показує, що це не є достатньою умовою.

Розглянемo функцію z=xy. Точка (0,0) тут є критичною, але в ній екстремуму немає. Бо який би ми окіл не взяли, в ньому існують точки в яких значення функції більші від значень функції в точці (0,0) та існують точки, в яких значення функції менші.

§ 2. Деякі відомості з теорії квадратичних форм

В цьому параграфі ми розглянемо деякі питання теорії квадратичних форм, які нам будуть потрібні надалі.

Означення 2.1 Функція

, а_іk=а_kі=сonst, (2.1),

яка залежить від змінних h₁, h₂,…, h_n, називається квадратичною формою від вказаних змінних.

Означення 2.2 Квадратична форма називається додатньо визначеною (від'ємно визначеною), якщо при будь-яких значеннях h₁, h₂,…, h_n, одночасно не рівних нулю, вона набуває додатніх (від'ємних) значень.

Додатньо визначені та від'ємно визначені форми називаються знаковизначеними.

Означення 2.3 Квадратична форма називається знакозмінною, якщо вона приймає як додатні так і від'ємні значення.

Означення 2.4 Квадратична форма називається квазізнаковизначеною, якщо вона приймає лише недодатні або лише невід'ємні значення, але при цьому вона дорівнює нулю при деяких h₁, h₂,…, h_n, які одночасно не дорівнюють нулю.

Сформулюємо критерій Сільвестера знаковизначеності квадратичних форм.

Симетричну матрицю будемо називати матрицею квадратичної форми (2.1). Визначники А₁=а₁₁, ,..., називаються головними мінорами матриці А квадратичної форми.

Теорема 2.1 Для того, щоб квадратична форма (2.1) була додатньо визначеною необхідно і достатньо, щоб виконувалися нерівності:

А₁>0, A₂>0,…, A_n>0 (2.2).

Для того, щоб квадратична форма була від'ємно визначеною необхідно і достатньо, щоб знаки головних мінорів А₁, А₂,..., А_п чергувалися, причому А₁>0.

Очевидно диференціал другого порядку функції U=f(x₁, x₂,…,x_n) в точці М₀(х⁽⁰⁾₁,...,х⁽⁰⁾_п) є квадратичною формою змінних х₁, х₂,...,х_п.

Для формулювання достатніх умов існування екстремуму функції багатьох змінних використовуються квадратичні форми.

§ 3. Достатні умови існування екстремуму

Розглянемо достатні умови існування екстремуму.

Теорема 3.1 Нехай функція U=f(x₁, x₂,…, x_n) має в деякому околі стаціонарної точки М₀ частинні похідні до 2-го порядку включно, причому вони неперервні в точці М₀. Тоді, якщо в точці М₀ диференціал 2-го порядку цієї функції є знаковизначеною квадратичною формою, то в цій точці функція має екстремум: максимум, якщо ця форма від'ємно визначена та мінімум, якщо-додатньо визначена. Якщо диференціал 2-го порядку в цій точці є знакозмінною квадратичною формою, то екстремуму в точці М₀ немає.

Доведення. З умови теореми маємо, що наша функція двічі диференційовна в деякому околі точки М₀. Тому для будь-якої точки М з цього околу за формулою Тейлора матимемо, що

,

при цьому , N - проміжна точка з координатами N=(x⁽⁰⁾₁+₁x₁; x⁽⁰⁾₂+₂x₂,…, x⁽⁰⁾_n+_nx_n), де 0<₁<1,…,0<_n<1.

,

де , коли (х₁,...,х_п)(0,...,0).

Нехай тоді

.

Розглянемо поведінку множника в другому доданку при ²: коли (х₁,...,х_п)(0,...0).

Таким чином , де ()0, коли 0.

Отже ми тільки що довели, що для будь-якої точки М справедлива рівність:

(3.1).

Перетворимо перший доданок останньої рівності:

=,

де , h_i1 і h₁²+…+h_n²=1.

Звідси і з (3.1) будемо мати:

(3.2).

Нехай диференціал 2-го порядку в точці М₀ є додатньо визначеною квадратичною формою. Оскільки диференціал 2-го порядку в точці М₀ дорівнює добутку першого доданка справа в (3.2) без множника , то цей доданок теж є додатньо визначеною квадратичною формою заданою на одиничній сфері простору Rⁿ. Оскільки ця квадратична форма є функцією неперервною на цій точці, а сфера Rⁿ є компактом (бо вона замкнена і обмежена) то за теоремою Вейєрштрасса на цій сфері знайдеться точка (h₁⁽⁰⁾,…,h_n⁽⁰⁾) в якій ця квадратична форма приймає найменше значення . Оскільки форма додатньо визначена, то 0. Отже перший доданок справа в (3.2) завжди більший або рівний /2. Оскільки ()0 коли 0 то знайдеться ₁>0: ₁ матимемо: ()</4.

Візьмемо . Тоді будемо мати

.

Отже ми довели, що U(M)>U(M₀) для будь-якої точки М з ₁-околу точки М₀, а це означає, що в точці М₀ функція має мінімум (для максимуму доведення аналогічне).

Розглянемо доведення 2-ї частини теореми. Для цього зробимо кілька зауважень відносно квадратичної форми.

Якщо Ф(t₁,…,t_n) деяка знакозмінна квадратична форма, то можна підібрати дві точки h=(h₁,…,h_n), h=(h₁,…,h_n) такі, що h_i1; h_i1, ; h₁ ²+…+h_n ²=1; h₁ ²+…+h_n ²=1 і Ф(h)>0, Ф(h)<0. Дійсно, оскільки Ф знакозмінна квадратична форма, то знайдуться дві точки t=(t₁,…,t_n), t=(t₁,..,t_n): Ф(t)>0, Ф(t)<0. Покладемо

, ,

ми одержимо h і h такі, що задовольняють умови і ;.

Візьмемо довільне >0. Нехай h=(h₁,…,h_n) така точка на одиничній сфері, що . Візьмемо точку таку, що , а значить . Тоді

_.

Оскільки ()0, коли 0, а перший доданок є додатнім і не залежить від , то можна підібрати настільки малим, що вираз в дужках зберігатиме знак першого доданка. Тобто ми в як завгодно малому околі точки М₀, знайшли точку М, таку що U(M)-U(M₀)>0. Провівши аналогічні дослідження для U(M)-U(M₀), ми отримаємо, що в як завгодно малому околі точки М₀ знайдеться точка М , значення функції в якій менше за значення в точці М₀. Отже в точці М₀ функція не має екстремуму. Теорему доведено.

Часто виникає потреба дослідити на екстремум функцію двох змінних. Розглянемо цей випадок.

Теорема 3.2 (Достатні умови існування екстремуму для функції 2-х змінних). Нехай функція U=f(x;y) має частинні похідні другого порядку в деякому околі стаціонарної точки М₀, які неперервні в цій точці. Нехай а₁₁=f_xx(M₀); а₂₂=f_yy(M₀); а₁₂=f_xy(M₀) і (М₀)=а₁₁а₂₂-а₁₂². Якщо (М₀)>0, то в точці М₀ функція U має екстремум, а саме мінімум, коли а₁₁>0 і максимум, коли а₁₁<0. Якщо (М₀)<0 то екстремуму в точці М₀ дана функція немає.

Доведення. Перша частина теореми слідує з теореми 3.1 і критерію Сільвестера знаковизначеності квадратичної форми, бо А₁=а₁₁, А₂=а₁₁а₂₂-а₁₂². Тому, якщо М₀>0, то d²U є знаковизначеною квадратичною формою, а саме, якщо а₁₁>0 додатньо визначеною і при а₁₁<0 - від'ємно визначеною. А значить, якщо а₁₁>0 функція має мінімум, а при а₁₁<0 - максимум.

Розглянемо випадок коли (М₀)<0. На основі доведеного в теоремі 3.1, квадратичну форму диференціала в точці М₀ можна записати у вигляді: Ф=(a₁₁h₁²+2a₁₂h₁h₂+a₂₂h₂²), де h₁²+h₂²=1. Покажемо, що в цьому випадку квадратична форма 2-го диференціала в точці М₀ є знакозмінною. Для цього достатньо знайти дві точки h=(h₁,h₂), h=(h₁,h₂) на одиничному колі такі, що в одній із них форма Ф буде додатньою, а в іншій - від'ємною величиною.

...