При этом 5 регионов из числа регионов, находящихся на низком уровне, набрали критически малые итоговые баллы (всего 1 балл из 12 или после нормирования: 0,08 баллов), что говорит о необходимости пересмотра образовательной политики в системе повышения квалификации педагогов (Воронежская область, Республика Ингушетия, Республика Крым, Республика Марий Эл, Сахалинская область).

Количественное распределение регионов по уровням имеет «почти нормальную» закономерность и выглядит следующим образом (рис. 2).

Рис 2. График распределения регионов по уровням интегрального показателя «Индекс качества региональной системы повышения квалификации учителей»

Безусловно, на низкое значение интегрального показателя повлияли данные по отдельным его параметрам.

Так, по параметру «Качество программ» у чрезмерно значительного числа регионов (30 регионов) 0 баллов, что говорит о том, что содержание реализуемых программ повышения квалификации учителей в этих регионах не соответствует реальным запросам педагогов и не отвечает современным реалиям и требованиям образования.

Также по параметру «Качество обучения» 34 региона набрали не более 1 балла (0 баллов - 14 регионов; 1 балл - 20 регионов).

В большей степени на такой результат повлияло отсутствие в регионах практики повышения квалификации учителей в форме стажировки: из всего количества обученных в 2017 году учителей в среднем лишь 4,5% учителей прошли обучение в форме стажировки.

Соответственно, только 13 регионов из 79 набрали по 1 баллу по этому показателю (у 66 регионов - 0 баллов).

Это тем более вызывает тревогу, что в последние годы в системе общего образования в рамках федеральной целевой программы развития образования на 2016-2020 г.г. были реализованы мероприятия, направленные на формирование стажировочных площадок в субъектах, на которых бы реализовывались инновационные образовательные программы, призванные стать образцом для распространения Субсидии как инструмент реализации государственной политики в сфере образования (по данным 2016 года) / А. А. Беликов, С. И. Заир-Бек, А. Е. Коротовских; Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», Институт образования. -- М.: НИУ ВШЭ, 2017. -- 40 с. -- 300 экз. -- (Факты образования. № 1 (10))..

Возможно, это свидетельствует о низком качестве (или иных проблемах) диссеминации инновационного опыта образовательных организаций региона в структуру содержания образовательной деятельности организаций, реализующих программы повышения квалификации учителей.

Распределение количества регионов по отдельным параметрам отражено на рис.3.



Рис 3. Сравнение распределения регионов по отдельным параметрам показателя «ИК региональной системы повышения квалификации учителей»

Сравнение средних значений по каждому параметру (после проведения процедуры нормирования и определения среднего по параметру) позволяет определить как «западающий» - параметр «Качество программ» (табл. 9):

Таблица 9.

Дифференциация средних значений внутренних параметров и интегрального параметра «Индекс качества региональной системы повышения квалификации учителей»

Среднее значение по параметру «Индивидуализация обучения»	Среднее значение по параметру «Качество обучения»	Среднее значение по параметру «качество программ»	Среднее значение интегрального параметра «Индекс качества»
0,43	0,43	0,39	0,42

Отметим, что именно на слабое содержание программ дополнительного профессионального образования педагогов указывают исследователи проблем развития системы ДППО, а также и сами учителя. Сопоставимые данные получены и нами, которые будут представлены во втором параграфе третьей главе.

Регионы лидеры по отдельным параметрам (со средним значением показателя более 0,8) представлены в табл.10.

Таблица 10.

Регионы-лидеры по значениям внутренних параметров и интегрального параметра «Индекс качества региональной системы повышения квалификации учителей»

По показателю «Индивидуализация обучения»	По показателю «Качество обучения»	По показателю «Качество программ»	По интегральному показателю «Индекс качества»
Красноярский край	Курганская обл.	Белгородская обл.	Новосибирская обл.
Липецкая обл.	Новосибирская обл.	Владимирская обл.	Курганская обл.
Ярославская обл.	Оренбургская обл.	Вологодская обл.	Чувашская респуб.
		Еврейская АО
		Мурманская обл.
		Новосибирская обл.
		Оренбургская обл.
		Псковская обл.
		Республика Адыгея
		Тульская обл.
		Челябинская обл.
		Чувашская респуб.
		Ямало-Ненецкий АО

Регионами-лидерами по интегральному показателю «Индекс качества региональной системы повышения квалификации учителей», достигших высокого уровня, являются: Новосибирская область, Курганская область, Чувашская республика.

На уровне выше среднего со значением индекса 0,75 еще семь регионов: Белгородская область, Владимирская область, Липецкая область, Мурманская область, Оренбургская область, Псковская область, Ханты-Мансийский АО.

Сравнение «ТОП-10» регионов-лидеров по значению индекса образовательной инфраструктуры различных уровней образования (ИОИ) с определенным нами индексом качества региональной системы повышения квалификации учителей (ИКРСПКУ) показывает, что в целом есть совпадения по трём регионам: Чувашская республика (по значению ИОИ на 3 позиции), Ханты-Мансийский АО (по значению ИОИ на 5 позиции), Белгородская область (по значению ИОИ на 7-ой позиции). Также по уровню «Дополнительное образование детей и взрослых» есть совпадение по трём регионам (табл. 11).

Таблица 11.

Регионы-лидеры по значениям индексов образовательной инфраструктуры различных уровней образования

Общее школьное образование	Дополнительное образование	Среднее профессиональное образование	Интегральный индекс	Индекс качества ДППО
Москва	Санкт-Петербург	Респуб. Карелия	Москва	Новосибирская об.
Республика Саха (Якутия)	Самарская обл.	ХМАО	Чувашская респ.	Курганская обл.
Республика Алтай	Оренбургская об.	Чувашская респ.	Санкт-Петербург	Чувашская респ.
Тамбовская обл.	Калужская обл.	Вологодская обл.	Тамбовская обл.	Белгородская обл.
Карачаево-Черкесская респ.	Хабаровский кр.	Костромская обл.	ХМАО	Владимирская об.
Чувашская респ.	Ненецкий АО	Респ. Марий Эл	Респ. Мордовия	Липецкая обл.
Республика Тыва	Мурманская обл.	Сахалинская обл.	Белгородская обл.	Мурманская обл.
Респ. Татарстан	Липецкая обл.	Москва	Республика Саха (Якутия)	Оренбургская об.
Белгородская об.	Республика Саха (Якутия)	Свердловская обл.	Респуб. Карелия	Псковская обл.
Респ. Ингушетия	Тамбовская обл.	Курская обл.	Респ. Марий Эл	ХМАО

В завершении отметим, что потенциал развития региональных систем повышения квалификации заложен в развитии отдельных параметров образовательной инфраструктуры региональной системы повышения квалификации учителей. Это может выражаться в реализации отельных проектов, направленных на развитие конкретного параметра, входящего в интегральный показатель.

Выводы по2 главе

1. На основе методологии индекса образовательной инфраструктуры региона (С.И. Заир-Бек и др.) разработана анкета, которая в целом позволяет выявить важные характеристики региональных систем повышения квалификации учителей, направленные профессиональное развитие педагогов.

2. Сформированный агрегированный показатель «Индекс качества региональных систем повышения квалификации учителей», учитывающий такие важные характеристики как: сеть региональных образовательных организаций, обеспечивающих реализацию программ ДППО, их кадровое обеспечение; качество образовательных программ и их информационно-методическое обеспечение, а также условия для индивидуализации образования учителей, позволил сформировать базу данных для проведения сравнительного анализа региональных систем повышения квалификации учителей.

3. Анализ региональных моделей повышения квалификации учителей выявил в целом средний уровень развития российской системы повышения квалификации учителей: у 81% от всех регионов РФ интегральный индекс качества на среднем, ниже среднего и низком уровнях, что актуализирует задачи совершенствования региональных моделей и систем профессионального развития педагогов.

4. Исследование внутренних показателей, способных оказать влияние на значение интегрального индекса, выявило недостаточный уровень качества региональных программ повышения квалификации учителей (у более 30 регионов РФ выявлено отсутствие актуальных направлений содержания образования).

5. Развитие качества региональных моделей повышения квалификации учителей может строиться в контексте повышения отдельных параметров интегрального индекса качества.



Глава 3. Развивающий потенциал региональной системы повышения квалификации учителей-предметников

3.1 Анализ влияния региональной модели повышения квалификации учителей-предметников на их профессиональную компетентность

Одним из ключевых вопросов нашего исследования является вопрос обнаружения связей между качеством сформированной образовательной инфраструктурой региональной системы повышения квалификации учителей-предметников и уровнем их (учителей) профессиональных компетенций.

Специфика дизайна второго этапа нашего исследования состоит в том, что проводится не эксперимент, в котором возможно было бы проследить группу учителей до и после прохождения ими курсов повышения квалификации, а в том, что осуществляется попытка выявления влияния образовательной инфраструктуры региональной системы ДППО (как совокупности специфических условий при реализации образовательных программ) на профессиональную компетентность учителей-предметников региона.

При этом качество этой инфраструктуры определяется на основе развитости общих для системы характеристик (параграф 2.1.).

Возможность обнаружения такой связи будем исследовать разными статистическими методами: параметрическими и непараметрическими (как более чувствительными к небольшим выборкам).

Для этого будем считать, что профессиональная компетентность учителя (обозначим ее через «Y») есть некая функция от совокупности условий, которые созданы ему в региональной системе дополнительного профессионального педагогического образования (всю совокупность условий обозначим через «Х»), т.е. Y = F(X).

В данном предположении Y признаем результативным признаком, а Х - совокупным факторным признаком, зависящим от региональных особенностей и специфики в реализации общих для всех региональных систем ДППО условий.

Опишем процедуру определения «Индекса качества региональной системы повышения квалификации учителей (ИКРСПКУ)» (факторного признака Х).

Специфика в том, что сравнение теперь идет не по всей совокупности данных 79 регионов (глава 2), а только по новой выборке.

Итак, выборку составили 13 регионов, в которых Рособрнадзором проведено исследование профессиональных компетенций учителей русского языка и литературы. Выборка случайная.

Вся совокупность выявленных показателей региональных систем повышения квалификации (параграф 2.1.) агрегированы нами в 3 группы показателей: «Индивидуализация обучения», «Качество обучения», «Качество программ» (параграф 2.2.).

Отметим здесь, что согласно проведенного анализа индекса качества региональной системы повышения квалификации учителей (ИКРСПКУ)

Так как исходные данные (переменные) имеют разный формат исчисления, а соответственно разный тип, то осуществлен перевод всех независимых количественных переменных (измеряемых в разных единицах) в номинативный тип.

Для этого применен метод ранжирования по среднему показателю: по каждой переменной вычислялось среднее значение по выборке, а затем значению показателя каждого региона присваивалось одно из двух значений 0 или 1, в зависимости от сравнения показателя региона со средним значением по выборке.



Таблица 12.

Перевод данных по показателю «Количество региональных организаций, участвующих в реализации программ повышения квалификации учителей» в номинативный вид

№ п/п	Регион	Количество региональных организаций, участвующих в реализации программ повышения квалификации учителей	Показатель, после процедуры ранжирования
1.	Волгоградская область	5	1
2.	Кабардино-Балкарская Республика	1	0
3.	Курганская область	4	1
4.	Ленинградская область	2	0
5.	Московская область	4	1
6.	Республика Адыгея	1	0
7.	Республика Ингушетия	1	0
8.	Республика Татарстан	10	1
9.	Рязанская область	2	0
10.	Томская область	3	1
11.	Хабаровский край	3	1
12.	Чеченская Республика	1	0
13.	Ярославская область	7	1
	Итого:	44 (ср. = 3)

Так, например, по первому параметру «Индивидуализация обучения» анализ анкет по пункту «количество региональных организаций, участвующих в реализации программ повышения квалификации учителей» выявил по регионам следующие данные (табл. 8).

Таким образом, общее количество региональных организаций, участвующих в реализации ДПО для учителей, во всех 13-ти регионах равняется 44.

Среднее количество организаций по выборке - 3,38.

После округления - 3. Далее, для регионов, индивидуальный показатель которых больше или равен среднему (т.е. «3») ставим «1», для других - «0» (табл.12.).

Аналогичным образом были преобразованы все остальные данные по данному показателю (табл.13). Где:

А - количество региональных организаций, участвующих в реализации программ повышения квалификации учителей;

Б - общее количество программ ДППО в регионе;

В - Количество учителей на 1 программу ДППО;

Г - Доля учителей, освоивших программы ДППО в дистанционном формате;

Д - Объем финансирования курсов ПК на одного учителя.

1 - Волгоградская область,

2 - Кабардино-Балкарская республика,

3 - Курганская обл.,

4 - Ленинградская обл.,

5 - Московская обл.,

6 - Республика Адыгея,

7 - Республика Ингушетия,

8 - Республика Татарстан,

9 - Рязанская область,

10 - Томская область,

11 - Хабаровский край,

12 - Чеченская Республика,

13 - Ярославская область.

Таблица 13.

Перевод исходных данных регионов в номинативный вид по параметру «Индивидуализация обучения».

		Общ.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
1.	А	44	5	1	4	2	4	1	1	10	2	3	3	1	7
	если ? 3, то 1 (иначе 0)	(ср.=3)	1	0	1	0	1	0	0	1	0	1	1	0	1
2.	Б	2343	433	25	123	214	499	46	60	164	77	395	90	34	183
	В	44,05	27,42	306,04	30,11	32,61	39,24	43,00	89,05	62,45	73,65	19,61	51,96	379,35	26,63
	если ? 44,05, то 1 (иначе 0)		1	0	1	1	1	1	0	0	0	1	0	0	1
3.	Г	2,08%	0,21%	0,00%	17,90%	0,43%	0,00%	0,00%	0,00%	0,00%	0,00%	4,58%	10,59%	0,00%	11,80%
	если ? 2,08, то 0 (иначе 1)		0	0	1	0	0	0	0	0	0	1	1	0	1
4.	Д	7327,21	4421,02	1538,33	2896,34	17576,10	16811,19	8039,48	182,33	3816,87	2262,43	3313,33	5944,43	3655,75	11370,51
	если ? 7327, то 1 (иначе 0)		0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0	1
	Итого сумма баллов:	1,69	2	0	3	2	3	2	0	1	0	3	2	0	4

Аналогичным образом были преобразованы все другие данные (приложение 3). По каждому показателю максимально 4 балла, итоговое значение максимально 12 баллов.

Таким образом, для каждого субъекта РФ были определен «индекс качества региональной системы повышения квалификации учителей» (табл. 14):

Таблица 14.

Индекс качества региональных систем повышения квалификации учителей в исследуемых территориях.

№ п/п	Регион	Индивидуализация обучения	Качество обучения	Качество программ	ИК РСПКУ
1.	Волгоградская область	2	2	0	4
2.	Кабардино-Балкарская Республика	0	1	2	3
3.	Курганская область	3	2	4	9
4.	Ленинградская область	2	1	1	4
5.	Московская область	3	3	4	10
6.	Республика Адыгея	2	1	4	7
7.	Республика Ингушетия	0	1	1	2
8.	Республика Татарстан	1	3	4	8
9.	Рязанская область	0	0	2	2
10.	Томская область	3	0	0	3
11.	Хабаровский край	2	1	0	3
12.	Чеченская Республика	0	2	0	2
13.	Ярославская область	4	1	0	5
	Среднее по выборке:	1,69	1,38	1,69	4,77

Профессиональная компетентность учителей определялась по методике научного коллектива Санкт-Петербургского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена, разработанной в рамках реализации ими проекта «Организация и проведение мероприятий по уровневой оценке компетенций учителей русского языка и математики в 2017 году» https://docplayer.ru/52511170-Aprobaciya-modeli-urovnevoy-ocenki-kompetenciy-uchiteley-russkogo-yazyka-i-matematiki.html.

Полное описание методики не является предметом рассмотрения или анализа нашего исследования. Мы лишь используем полученные данные для последующего сопоставительного анализа.

Обозначим лишь важные для нас отдельные положения проведенного исследования.

Основными ориентирами разработки содержания диагностического материала для последующей оценки и владения профессиональной компетентностью явились требования ФГОС ОО и стандарт профессиональной деятельности учителя.

Объектами выявления и анализа в проведенном исследовании уровневой оценки компетенций учителей стали:

1. Владение предметной компетенцией, предполагающей проявление способности к решению задач с предметным содержанием.

2. Владение методической компетенцией, предполагающей проявление способности к созданию предметной среды учебной дисциплины, проектированию и осуществлению образовательного процесса.

3. Владение общепрофессиональной компетенцией, предполагающей проявление способности к выстраиванию взаимодействие с участниками образовательных отношений, проектированию и реализации образовательной программы (психолого-педагогические аспекты деятельности учителя).

Были определены следующие уровни оценки компетенций педагога:

- Уровень I. Характеризуется умением решать педагогические задачи в ситуации определенности.

- Уровень II. Характеризуется умением решать педагогические задачи в ситуации вероятностной определенности.

- Уровень III. Характеризуется умением решать педагогические задачи, действуя в ситуации неопределенности.

Диагностический инструментарий уровневой оценки компетенций состоял из следующих блоков:

- Анализ решения учителем тестовых заданий по предмету (до 12 баллов у учителей математики и до 17 баллов у учителей русского языка).

- Анализ решения учителем трёх методических задач (до 15 баллов) и одной профессиональной задачи (до 40 баллов).

- Анализ видеозаписи урока учителя (до 36 баллов).

По совокупности набранных баллов (до 100) определялся уровень профессиональной компетентности учителя, к оценке которых привлекались федеральные эксперты.

Таким образом были получены соответствующие данные по каждому региону в разрезе исследуемых предметов. Полные данные по каждому предмету представлены в приложении 2. Здесь представим общие средние данные по регионам (табл. 15.):

Таблица 15.

Данные по оценке профессиональных компетенций учителей в рамках апробации уровневой оценки компетенций в 13 субъектах РФ

ОБЩИЕ ДАННЫЕ ПО МАТЕМАТИКЕ И РУССКОМУ ЯЗЫКУ
Регион:	Предметные задания	Методические задания	Профессиональная задача	Видеоурок	Итого
Волгоградская область	8,93	11,18	27,20	23,58	70,89
Кабардино-Балкарская Республика	8,17	10,35	24,20	25,56	68,28
Курганская область	8,43	10,28	25,20	22,86	66,76
Ленинградская область	9,19	11,40	29,80	25,20	75,59
Московская область	8,78	9,60	26,20	23,76	68,34
Республика Адыгея	8,11	9,38	24,40	23,40	65,29
Республика Ингушетия	7,85	10,20	20,80	21,24	60,09
Республика Татарстан	9,12	11,93	31,60	25,38	78,03
Рязанская область	9,04	11,03	27,40	25,74	73,21
Томская область	8,00	9,15	25,20	25,38	67,73
Хабаровский край	8,39	10,13	25,20	21,96	65,68
Чеченская Республика	6,41	9,15	11,80	16,56	43,92
Ярославская область	8,84	10,95	27,60	25,38	72,77
Общее по регионам:	8,38	10,20	25,20	23,40	67,18

Общие средние данные по всем регионам (в колонке «Итого») нами и будут использоваться как результирующая переменная «Профессиональная компетентность» (Y).

Для наглядного изображения формы связи между изучаемыми показателями построим сначала графическую модель зависимости.

Для этого в прямоугольной системе координат строим график, по оси ординат отложим индивидуальные значения результативного признака Y (данные профессиональной компетентности учителей), а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X. Совокупность точек результативного и факторного признаков называют полем корреляции.

На основании поля корреляции наших данных можно предположить, что линейная связь между значениями X и Y отсутствует. Имеем (рис. 2).

Рисунок 4. График поля корреляции исходных переменных

Оценка на основе уравнения парной регрессии. Стандартное линейное уравнение регрессии имеет вид

y = bx + a.



Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид

y = bx + a + е.

При этом еi - наблюдаемые значения (оценки) ошибок еi, a и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти. Здесь е - случайная ошибка (отклонение).

Так как отклонения еi для каждого конкретного наблюдения i - случайны и их значения в выборке неизвестны, то: 1) по наблюдениям xi и yi можно получить только оценки параметров б и в; 2) оценками параметров б и в регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке.

Для оценки параметров б и в - можно использовать метод наименьших квадратов (МНК). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (е) и независимой переменной (x).

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ?(yi - y*i)2 > min

Имеем систему нормальных уравнений:

a*n + b*?x = ?y

a*?x + b*?x2 = ?y*x



Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл.16).

Таблица 16.

Расчетные данные для оценки параметров регрессии методом наименьших квадратов (МНК).

№	х	у	х2	у2	х*у
1	4	70.885	16	5024.6832	283.54
2	3	68.28	9	4662.1584	204.84
3	9	66.76	81	4456.8976	600.84
4	4	75.585	16	5713.0922	302.34
5	10	68.335	100	4669.6722	683.35
6	7	65.285	49	4262.1312	456.995
7	2	60.085	4	3610.2072	120.17
8	8	78.025	64	6087.9006	624.2
9	2	73.205	4	5358.972	146.41
10	3	67.73	9	4587.3529	203.19
11	3	65.675	9	4313.2056	197.025
12	2	43.915	4	1928.5272	87.83
13	5	72.765	25	5294.7452	363.825
?	62	876.53	390	59969.5458	4274.555

Для наших данных система уравнений примет вид:

Домножим уравнение (1) системы на (-4.769), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

Получаем: 94.322*b = 94.383 Откуда b = 0.9987

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

13a + 62*b = 876.53

13a + 62*0.9987 = 876.53

13a = 814.613

a = 62.6626

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии:

b = 0.9987, a = 62.6626

Эмпирическое уравнение регрессии примет вид:

y = 0.9987 x + 62.6626

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов вi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Найдем отдельные параметры регрессии.

Выборочные средние:

Выборочные дисперсии:



Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции b находим по формуле, не решая систему непосредственно:

Рассчитаем коэффициент корреляции. Имеем Ковариация:

Рассчитаем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными).

Их критерии оцениваем по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая.

В нашем случае связь между признаком Y и фактором X умеренная и прямая. Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Оценим значимость коэффициента корреляции.

Сформулируем следующие гипотезы:

H0: rxy = 0, нет линейной взаимосвязи между переменными;

H1: rxy ? 0, есть линейная взаимосвязь между переменными;

Для того чтобы при уровне значимости б проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ? 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия (величина случайной ошибки)

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости б и числу степеней свободы k = n - 2 найдем критическую точку tкрит двусторонней критической области.

Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет.

Если |tнабл| > tкрит - нулевую гипотезу отвергают.

Имеем:



По таблице Стьюдента с уровнем значимости б=0.05 и степенями свободы k=11 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;б/2) = (11;0.025) = 2.201, где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если |tнабл| > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку |tнабл| < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, получаем, что коэффициент корреляции статистически - не значим.

Произведем интервальную оценку для коэффициента корреляции, т.е. найдем доверительный интервал по формуле:

Итак, доверительный интервал для коэффициента корреляции.

r(-0.298;0.956)

Оценка на основе уравнения регрессии. Как рассчитано выше, линейное уравнение регрессии имеет вид:

y = 0.999 x + 62.663



Коэффициент регрессии b = 0.999 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В нашем случае считаем, что с увеличением на 1 единицу показателя потенциала региональной системы дополнительного профессионального педагогического образования (РДПО), компетентность учителя (y) повышается в среднем на 0.999. Коэффициент a = 62.663 формально показывает прогнозируемый уровень компетентности у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями. Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения. Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 - прямая связь, иначе - обратная). В нашем случае связь прямая.

Рассчитаем коэффициент эластичности. Считают, что коэффициенты регрессии нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х. Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты. Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.



Коэффициент эластичности находим по формуле:

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами получаем, что влияние Х на Y не существенно.

Рассчитаем Бета - коэффициент, который показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения Sx приведет к увеличению среднего значения Y на 32.9% среднеквадратичного отклонения Sy. Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.



В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 9.85%. Поскольку ошибка больше 7%, то это указывает, что полученное нами уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.

Оценка на основе эмпирического корреляционного отношения. Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерения тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].

где

Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляции rxy = 0.329. Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x умеренно влияет на y.

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции rxy.

Рассчитаем коэффициент детерминации. Квадрат (множественного) коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака. Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R2= 0.3292 = 0.1082, т.е. в 10.82% случаев изменения Х приводят к изменению Y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая. То есть остальные 89.18% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 17):

Таблица 17.

Данные для анализа параметров регрессии.

№	х	у	у(х)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	|y - yx|:y
1	4	70.885	66.657	11.969	17.874	0.0596
2	3	68.28	65.659	0.73	6.872	0.0384
3	9	66.76	71.65	0.443	23.917	0.0733
4	4	75.585	66.657	66.579	79.706	0.118
5	10	68.335	72.649	0.827	18.612	0.0631
6	7	65.285	69.653	4.581	19.081	0.0669
7	2	60.085	64.66	53.881	20.929	0.0761
8	8	78.025	70.652	112.352	54.364	0.0945
9	2	73.205	64.66	33.404	73.019	0.117
10	3	67.73	65.659	0.0928	4.291	0.0306
11	3	65.675	65.659	3.064	0.000271	0.000251
12	2	43.915	64.66	552.738	430.35	0.472
13	5	72.765	67.656	28.511	26.103	0.0702
?	62	876.53	876.53	869.173	775.119	1.28

Проведем анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии. Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2 = 70.465 - необъясненная дисперсия или дисперсия ошибки регрессии (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S = 8.39 - стандартная ошибка оценки.

Стандартная ошибка регрессии рассматривается в качестве меры разброса данных наблюдений от смоделированных значений. Чем меньше значение стандартной ошибки регрессии, тем качество модели выше.

Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X:

(a + bxi ± е), где



tкрит (n-m-1;б/2) = (11;0.025) = 2.201. Имеем (табл. 18.).

Таблица 18.

Данные для оценки доверительных интервалов регрессии.

xi	y = 62.66 + 1xi	еi	ymin = y - еi	ymax = y + еi
4	66.657	19.229	47.428	85.886
3	65.659	19.467	46.192	85.125
9	71.65	20.794	50.856	92.445
4	66.657	19.229	47.428	85.886
10	72.649	21.602	51.047	94.251
7	69.653	19.638	50.016	89.291
2	64.66	19.884	44.776	84.544
8	70.652	20.135	50.517	90.786
2	64.66	19.884	44.776	84.544
3	65.659	19.467	46.192	85.125
3	65.659	19.467	46.192	85.125
2	64.66	19.884	44.776	84.544
5	67.656	19.178	48.477	86.834

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Оценка коэффициентов линейного уравнения регрессии. Произведем оценку модели с помощью критерия Стьюдента. С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y).

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигаем гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигаем альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности.

Проверим гипотезу H0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H1 не равно) на уровне значимости б=0.05.

H0: b = 0, то есть между переменными x и y отсутствует линейная взаимосвязь в генеральной совокупности;

H1: b ? 0, то есть между переменными x и y есть линейная взаимосвязь в генеральной совокупности.

В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используем t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента. Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (б) и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.

Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-б) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости б. Имеем:

tкрит (n-m-1;б/2) = (11;0.025) = 2.201

Поскольку 1.16 < 2.201, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом b можно пренебречь.

Поскольку 13.24 > 2.201, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии. С надежность 95% они будут следующими:

(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)

(1 - 2.201*0.864; 1 + 2.201*0.864)

(-0.904;2.901)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)

(62.663 - 2.201*4.735; 62.663 + 2.201*4.735)

(52.242;73.083)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически незначима.

Рассчитаем критерий Фишера. Коэффициент детерминации R2 используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.

Проверим значимость модели регрессии с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.

Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m - число факторов в модели.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости б.

2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

или по формуле:



где

где m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б. Уровень значимости б - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно б принимается равной 0,05 или 0,01.

4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу. В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-б) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=11, Fтабл = 4.84

Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим, т.е. найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна.

Таким образом, нами комплексно рассмотрена зависимость Y (профессиональная компетентность учителя) от X (качество образовательной инфраструктуры региональной системы повышения квалификации учителей).

На этапе спецификации выбрана парная линейная регрессия. Оценены её параметры методом наименьших квадратов. Статистическая значимость уравнения проверена с помощью коэффициента детерминации и критерия Фишера.

Установлено:

1. В исследуемой ситуации лишь 10.82% общей вариабельности Y объясняется изменением X.

2. Параметры модели при расчетах на основе основных методов статистически не значимы.

Причинами существования случайной ошибки и несостоятельности модели могут быть:

1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных; 2. Агрегирование переменных; 3. Неправильная функциональная спецификация; 4. Ошибки измерения.

Сравнительная оценка значений ИКРСПКУ по выборке. В виду того, что полученные результаты статистического анализа свидетельствуют о слабой корреляции исследуемых параметров, проведем дополнительный сравнительный анализ отдельных параметров индекса ка...