Проблема бесконечности в философии и математике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Проблема бесконечности в философии и математике

бесконечность несоизмеримость аристотель

Неизвестно, когда человек стал впервые задумываться над понятием бесконечности, можно лишь предположить, что такая возможность непосредственно связана с появлением у человека самой физиологической способности разумно мыслить, то есть находить в бесконечном множестве различных утверждений истинные утверждения и определять утверждения ложные. Культуры народов мира содержат свидетельства, указывающие на то, что задолго до появления математической науки существовала высокоразвитая традиция мифологического осмысления бесконечности, связанная с представлением о бессмертных богах и их борьбой с демоническими силами.

Многие тысячи лет представление о бесконечности развивалось исключительно благодаря мифологии, древние религии забывались, видоизменялись, обрастали более подробными толкованиями, но человеческих знаний не хватало для того, чтобы перейти к строго логическому определению данного понятия. Первые шаги на пути к научному осмыслению проблемы бесконечности были предприняты математиками античности. Переняв знания, накопленные жрецами Вавилона и Египта, древнегреческие математики были гораздо меньше подвержены влиянию жесткого религиозного догматизма, что позволило им удивительно быстро превзойти своих учителей и заложить основы научного метода познания. Если в восточных храмах особое внимание уделялось, прежде всего, послушанию и следованию раз и навсегда установленному канону, то в греческих полисах высоко ценились личные способности, умение вести дискуссию и находить обоснование своей правоты; поэтому с введения Фалесом Милетским в VI веке до н.э. традиции математического доказательства и следует, по всей видимости, говорить о зарождении науки.

По легенде с именем другого знаменитого древнегреческого философа Пифагора Самосского связано не только нахождение доказательства теоремы о сумме квадратов катетов прямоугольного треугольника, ему же более поздние античные авторы приписывали доказательство еще одной важной теоремы, предопределившей ход развития математики вплоть до открытия в XIX веке теории бесконечных множеств. Речь идет о теореме несоизмеримости стороны и диагонали квадрата с основанием, равным единице. Хотя в Древней Греции не пользовались десятичной системой счисления и, что более важно, не имели представления о непрерывных десятичных дробях, математикам-пифагорейцам удалось привести настолько убедительные доводы в пользу несоизмеримости v2, что их методом четных и нечетных до сих пор принято объяснять иррациональность данного числа.

Однако в наши дни мало кто задается вопросом, почему теорема несоизмеримости, которой не перестают удивляться многие современные математики, долгое время находилась в пифагорейской школе под запретом, и даже после того, как пифагорейцы Феодор, Теэтет и Архит доказали несоизмеримости других отрезков и обобщенные случаи для корней неполных квадратов и кубов, Платон и Аристотель продолжали обсуждать логическое обоснование понятия несоизмеримости, ибо уже тогда, задолго до появления теории иррациональных чисел и теории бесконечных множеств, данное явление настораживало, поскольку приводило к нарушению гармонии числовых соотношений. Чтобы в этом убедиться, достаточно взглянуть на любую реконструкцию пифагорейской теоремы о несоизмеримости v2, в которой рассматривается геометрическое построение:

,

где AC - диагональ единичного квадрата ABCD, по которой строится диагональный квадрат ACEF, вдвое больший квадрата ABCD.

То же самое отношение можно записать следующим образом:

.

Отдавая себе отчет в том, что n в этой записи обозначает сторону квадрата, равную единице, то есть n=1=n²=1², весьма сложно признать доказательство пифагорейцев вполне корректным, так как в нем утверждается, что оба числа m и n - четные. По определению четными числами называются такие числа, которые делятся нацело на 2, следовательно, соглашаясь с доказательством теоремы о несоизмеримости v2, мы соглашаемся с положением о четности единицы. Поскольку любое число ряда N={1,2,3…} можно представить суммой таких «четных» единиц, то «четными» числами в таком случае, вообще говоря, будут все натуральные числа, а значит, если мы применим метод пифагорейцев к числу v4, то для него тоже не найдется несократимого отношения двух целых чисел, а раз так, оно тоже окажется «иррациональным».

Не менее значимым для античных философов было другое противоречие, которое следовало из теории несоизмеримости. Иррациональные числовые соотношения воспринимались древнегреческими математиками как проявление хаоса, в то же время, несоизмеримый отрезок v5 = ц + Ф, широко использовавшийся уже в V веке до н.э. при возведении храмов и величественных скульптурных изваяний, считался одним из выражений совершенной космической гармонии. Конечно, по тем скудным письменным источникам, которыми располагает наука, нельзя ни доказать, ни опровергнуть, скажем, то, что скульптор Фидий, по имени которого число 1,61803… принято обозначать буквой Ф, умел получать достаточно точное его значение. Но известно, что до Платона в рамках пифагорейской школы существовало представление о бесконечном приближении к квадратному корню v2 путем соизмерения боковых и диагональных чисел: 3/2 > 7/5 > 17/12 и т.д. /1, с.176/.

Поэтому весьма сомнительно, чтобы пифагорейцы, чьей эмблемой была пентаграмма, и древние зодчие, прекрасно знавшие теорию пропорциональности и полезные свойства удвоенного квадрата, не могли применить тот же метод прибавления боковых и диагональных чисел для соизмерения его диагонали v5 с получением приближений от единичного и удвоенного отрезков, соответственно 7/3 > 29/13 > 123/55 > …? и 7/6 > 29/26 > 123/110 > …?. Откуда следует, что для вывода числа Ф было достаточно прибавлять пропорцию 1/2 к каждому из членов известной последовательности: 7/6 + 1/2 > 29/26 + 1/2 > 123/110 + 1/2 и т.д. Раз так, нет никаких оснований для категорических заявлений некоторых исследователей, доказывающих, будто бы в диалоге «Тимей» Платона не содержится даже намека на знание древнегреческими математиками числового выражения золотого сечения /2, с.506/.

Другое дело, что пропорциональные приближения, получаемые пифагорейцами, не записывались в десятичных дробях, а конкретные знания, как и подобает всякому тайному обществу, скрывались от профанов с помощью отвлеченного символизма. Поэтому если внешней причиной упадка пифагорейской школы справедливо называют разгром около 430 года до н.э. пифагорейского союза в Италии, то внутренней причиной, которая позднее привела к кризису всей античной науки и переходу ее в область мистицизма, было установление пифагорейцами того, что математическая гармония недостижима, так как зависит от представления о несоизмеримых отрезках. Для последователей Пифагора, установивших, что божественная пропорция числа Ф сводится к несоизмеримости, был уже совсем не так очевиден смысл пифагорейского символа веры «все есть число», согласно которому любое явление можно описать языком математики. Между тем, это есть фундаментальное положение всей математической науки, благодаря которому только и возможно само ее существование.

Понятие бесконечности, так или иначе, исследовалось во всех без исключения античных школах. Одним из основателей логического подхода к изучению бесконечности, был легендарный древнегреческий философ Эпименид, его знаменитый вопрос «Один критянин сказал, что все критяне лжецы - лжец ли он?» индуцировал бесконечность циклического умозаключения: если он лжец, то на острове Крит найдется хотя бы один нелжец, тогда честным критянином может оказаться сам говорящий, в этом случае утверждение, что все критяне лжецы, будет правдивым, но тогда говорящий тоже будет лжецом, а если он лжец, то…?. В противовес пифагорейской школе, принимавшей единицу в качестве неделимого числового атома, развивалось другое научное направление, берущее начало в учении о безграничном Анаксимандра и далее в учении Анаксагора, утверждавшего, что предела делимости не существует. В апориях Зенона Элейского, была наглядно представлена бесконечная дихотомия отрезков, допускавшая существование актуально-бесконечных величин и позволявшая утверждать возможность выполнения в абстрактно-математическом мире парадоксальных ситуаций, таких, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, а выпущенная в цель стрела будет вечно находиться в неподвижности, ведь прежде, чем пролететь весь путь, ей придется пролететь его половину, а до этого четверть, восьмую, шестнадцатую пути и так до бесконечности, что должно занять бесконечно много времени.

В IV веке до н.э. математик, врач и астроном Евдокс Книдский, ученик пифагорейца Архита, сделал самое необычное для античной науки открытие. Изучив теорию несоизмеримости, он пришел к поразительному выводу о том, что отрезки, называемые в пифагорейской школе несоизмеримыми, на самом деле вполне соизмеримы. Что собой представляют приближения 3/2, 7/5, 17/12…, как не отношения целых чисел, получаемые при построении отрезка v2, а приближения 7/3, 29/13, 123/55… и 7/6, 29/26, 123/110… отношения целых при построении v5? Разве нахождение боковых и диагональных чисел не говорит о том, что мы фактически соизмеряем несоизмеримый отрезок с единицей?

Обоснование этой мысли побудило Евдокса искать точное определение понятия отношения величин и понятия пропорциональности (от греч. ЬнЬлпгпт, «соизмеримый», «согласный»), и когда такие определения были найдены, ему, вероятно, удалось с помощью геометрической алгебры доказать соизмеримость отрезков, изучаемых пифагорейцами как несоизмеримые. Тем самым можно объяснить его отъезд из Южной Италии, возникновение разногласий с Архитом и Платоном, а также странное отсутствие упоминаний о математической школе Евдокса, хотя его труды оказали огромное влияние на всю античную геометрию.

Рисунок 1 - Евдокс (либо Птолемей)

Для Евдокса в установлении соотношений отрезков соизмеримых и отрезков несоизмеримых не было никаких принципиальных различий. В V книге «Начал» Евклида содержится следующее определение, принадлежащее Евдоксу: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга» (Начала. Кн.V, опр.4) /3, с.142/. В самом деле, для v2 и единицы будет справедливо общее для всех соизмеримых величин неравенство х · b > a, где a больше b (то есть существует такое х, что х · 1 > v2). Раз единица и v2 находятся между собой в некотором отношении, то проблема их соизмеримости сводится к тому, чтобы взять такое множество катетов или единичных отрезков, чтобы они по общей длине оказались равны длине соответствующего им множества гипотенуз. Так как Евдокс отвергал актуальную бесконечность пифагорейцев и элеатов. Можно предположить, что он не просто допускал бесконечное продолжение ряда 3/2, 7/5, 17/12 …?, но пытался доказать существование такого шага или отрезка, который задает максимально близкое к тождеству значение, выраженное целым числом, позволяющее затем установить отношение равенства, избытка и недостатка для v2.

В противном случае, если такого конечного отрезка не существует, то не найдется и величины, опираясь на которую можно превзойти длину отрезка v2. Другими словами, окажется, что Ахиллес, бегущий по стороне квадрата, в состоянии догнать и обогнать черепаху, потому что длина его шага будет величиной постоянной, а бег Ахиллеса по диагонали никогда не завершится, потому что по закону построения иррациональной дроби v2 длина его шага станет до бесконечности сокращаться. Хотя Евдокс не указал арифметический способ достижения точного равенства между стороной и диагональю единичного квадрата, из его учения следовало, что построение соизмеримых и несоизмеримых отрезков происходит по одному и тому же правилу посредством потенциально-бесконечной делимости отрезков, определяющей геометрическую непрерывность на числовой прямой.

Рисунок 2 - Аристотель. Скульптурное изображение

Ко времени Платона и Аристотеля античная наука накопила множество противоречивых сведений, относящихся к самым различным школам. Поэтому перед Аристотелем возникла сложная задача определения достоверности тех знаний, касающихся природы вещей и человеческого сознания, что восходили к более древним философам и его современникам. Несмотря на то, что Аристотелем на долгие века была закреплена неверная космологическая концепция и ряд других сомнительных теорий, обусловленных веянием эпохи, предложенный им метод определения наиболее достоверных знаний путем выявления содержащихся в них противоречий остается едва ли не единственным инструментом познания, позволяющим нам и сегодня находить истинные и ложные суждения.

Разумеется, Аристотель не ставил перед собой задачу опровержения теоремы несоизмеримости. Несмотря на попытки критического анализа учения пифагорейцев, он был вынужден согласиться с ее доказательством. Однако он указал на то, что понятие бесконечности у пифагорейцев отождествлялось лишь с операцией бесконечного увеличения значения, возникавшего при постепенном построении гномонов вокруг единицы. Из того, что единица, точнее бесконечная монада, воспринималась пифагорейцами в качестве числа неделимого, обратная операция бесконечного деления величин становилась действием недопустимым, что приводило к определенным затруднениям в геометрии. Поэтому Аристотель в своем трактате «Физика» доказывал необходимость пересмотра пифагорейских представлений, разделяя взгляды Евдокса на геометрию.

Обосновав введение бесконечной делимости в математику, Аристотель настоял на признании учения Евдокса, с которым был заложен прочный фундамент математической науки. Тем не менее, принципиально важный переход от пифагорейской дискретной геометрии, в которой точка являлась одномерным объектом, к геометрии, в которой точка стала объектом нульмерным, остался в античности практически незамеченным. Больше того, если о преобразованиях в геометрии, связанных с именем Аристотеля, в истории науки хоть как-то упоминается, то вопрос о том, как отразилась теория бесконечной делимости на арифметике, совершенно не освещен. Это связано с тем, что сам философ провел в своих трудах разделение двух понятий арифметического числа и геометрической величины. Для геометрической величины он допускал деление на бесконечное множество частей, а для числа продолжал считать пределом делимости единицу, соглашаясь с пифагорейцами. Аристотель не придавал особого значения тому, что геометрическая величина тоже выражается через число, поэтому утверждал, «что для числа имеется предел в направлении к наименьшему, а в направлении к большему оно всегда превосходит любое множество, для величин же наоборот: в направлении к меньшему оно превосходит все своей малостью, а в направлении к большему бесконечной величины не бывает. Причина та, что единица неделима» /2, с.648/.

Но если Аристотель не обращал внимания, что бесконечная делимость является свойством чисел, то как могло случиться, чтобы в современной математике, в которой всюду используются дробные числа и принцип бесконечной делимости давно перенесен на единицу, никто не заметил, что мы имеем дело с двумя различными арифметиками, содержащими различные наборы аксиом, как будто арифметика с неделимой единицей ничем не отличается от арифметики, в которой ее деление допускается. Между тем, очевидно, что арифметика Пифагора, содержащая аксиому о неделимости единицы, и современная арифметика, в наборе аксиом которой такого положения уже не содержится, представляют собой разные арифметики. Следовательно, далеко не все теоремы, которые полагались справедливыми в рамках одной арифметики, будут справедливы при другом аксиоматическом наборе.

Разделив арифметику и геометрию, Аристотель, тем не менее, уже не считал, подобно пифагорейцам, что бесконечность существует как некое актуально-заданное бесконечное число или монада (под числом, всегда превосходящим любое множество он подразумевал только возможность появления конечного числа вида n+1 в потенциально-бесконечном множестве натуральных чисел). Теория бесконечной делимости величин привела его к критике актуальной бесконечности, устойчивое представление о которой, задолго до Г.Кантора, сложилось в философии, математике и мифологии. В своей «Физике» Аристотель общедоступным языком пытался показать абсурдность представления об актуальной бесконечности, однако все его доказательства сводились к весьма спутанным размышлениям, «а именно, если бесконечное - сущность и не относится к некоторому субстрату, то быть бесконечным и бесконечное - одно и то же, следовательно, оно или неделимо, или делимо на бесконечные, но одному и тому же предмету быть многими бесконечными невозможно (...) поэтому нелепо мнение тех, кто говорит так же, как пифагорейцы: они одновременно делают бесконечное сущностью и расчленяют его на части» /2, с.640, 641/.

Постараемся разъяснить противоречие в определении актуальной бесконечности, о котором говорил Аристотель, прибегнув к более конкретному языку геометрии. Для того чтобы некоторый отрезок AB можно было делить до бесконечности, необходимо, чтобы правило бесконечной делимости распространялось и на сам этот отрезок, то есть, чтобы он тоже мог стать дробной частью все более и более длинных отрезков AC, AD, AE и т.д. Если же допустить, что отрезок AB актуально-бесконечен, то есть больше всех конечных отрезков, то правило бесконечной делимости к нему самому будет уже неприменимо (ведь и бесконечное уменьшение отрезка, и бесконечное его увеличение суть следствия одного и того же представления о бесконечности).

Поскольку нельзя построить конечный отрезок, бульший актуально-бесконечного отрезка AB, то следует признать недостаток длины AB, а значит, признать, что длина его оказалась меньше бесконечной протяженности. Если же допустить, что отрезками, бульшими, чем актуально-бесконечный AB, будут уже не конечные отрезки, а некоторые еще более бульшие актуально-бесконечные отрезки a1, a2, a3 …?, то следует согласиться с тем, что правило делимости для AB выполнимо только в множестве актуально-бесконечных отрезков {AB, a1, a2, a3 …?}, а раз так, деление AB на конечные отрезки будет противоречить правилу его делимости в множестве актуально-бесконечных. Даже если допустить, что для актуально-бесконечного отрезка АВ выполняется и правило делимости в конечных отрезках, и правило делимости в отрезках актуально-бесконечных, избежать логического противоречия все равно не получится. При рассмотрении уже следующего за АВ актуально-бесконечного отрезка a1 необходимо, чтобы конечные отрезки, содержащиеся в АВ, содержались и в a1, то есть необходимо, чтобы a1 тоже можно было делить на конечные отрезки. Но если мы разделим еще более бульший, чем АВ, актуально-бесконечный отрезок a1 на конечные отрезки, то окажется, что в нем найдется хотя бы один конечный отрезок, бульший АВ. Следовательно, исходное утверждение о том, что актуально-бесконечный отрезок АВ больше всех конечных отрезков, будет неверным.

Таким образом, теория бесконечной делимости позволила Аристотелю высказать незаслуженно забытую в современной математике теорему «Infinitum Actu Non Datur» (с лат. «бесконечность не задана актуально»), которая выступает связующим звеном при построении непротиворечивой математической теории, объединяющей геометрическую непрерывность и дискретность арифметических вычислений. Несмотря на то, что данная теорема более двух тысяч лет не имела строгого математического доказательства, ее формулировка позволяла объяснять все парадоксы, известные в античности. Так, абстрактно-математическое состязание Ахиллеса с черепахой не могло быть бесконечным, хотя бы потому, что при сокращении расстояния между ними возникал такой промежуток, который был меньше длины шага Ахиллеса и ахиллесовой пяты, короче которой задать длину шага невозможно. Тогда для продолжения соревнований потребовалось бы уменьшить ахиллесову пяту и, соответственно, размеры самого Ахиллеса. Его уменьшением пришлось бы заниматься до бесконечности, всякий раз, как только он начинал приближаться к черепахе, что означало бы отсутствие у бегущего Ахиллеса каких бы то ни было размеров. Длина ахиллесовой пяты, таким образом, должна была из двухмерного геометрического объекта перейти в объект нульмерный, да и сам Ахиллес оказался бы нульмерной точкой. Другими словами, не имея определенных размеров, невозможно догнать черепаху, просто в силу того, что никто ее догонять не будет.

В связи с тем, что в античности не были четко детерминированы различные аксиоматические наборы, исторически сложилось так, что в математике до сих пор нет удовлетворительного ответа на вопрос, что следует понимать под нулевым значением величин. В теории множеств, которая возникла как продолжение пифагорейской теории несоизмеримости, нуль полагается актуально существующим пустым множеством, которое является подмножеством любого множества, поскольку любое непустое множество обладает тем свойством, что оно, вообще говоря, может отсутствовать. Однако вывод об актуальности существования пустого множества из этого делать преждевременно. Предположив, что числовая прямая состоит из актуально-пустых нульмерных точек, сумма которых равна нулю, мы делаем неразличимым одномерное пространство от нульмерного, то же можно сказать о пространстве какой угодно размерности, поэтому представление об актуальности нулевого значения, несмотря на формальные удобства такого подхода, ведет к отрицанию всякой протяженности и к невозможности введения какой бы то ни было системы координат /4, с.14/.

Чтобы избежать логических затруднений, достаточно рассматривать нулевое значение как предел бесконечного уменьшения величины. Именно к такому представлению о незавершенности нулевого значения мы приходим, рассматривая все меньшие отрезки длины на числовой прямой: 0,1; 0,01; 0,00…1 > 0,(0) /4, с.103/. Приняв условным началом отсчета для одномерного объекта конечную величину 0,001, мы обнаружим, что для двухмерного объекта началом отсчета при тех же условиях будет уже величина 0,001І = 0,000001, а для трехмерного объекта величина 0,001і = 0,000000001. Так как размерности объектов можно неограниченно увеличивать, то конечная величина 0,001, взятая в качестве условного начала отсчета, уже будет содержать потенциально возможное бесконечное приближение к нульмерному объекту.

Однако общее представление о бесконечном дробном значении прижилось в арифметике далеко не сразу. Шестидесятеричная система счисления, которой пользовались античные математики и астрономы, была лучше приспособлена для вычислений в целых числах, так как до шестидесяти счет велся по десятичному основанию, а числа больше шестидесяти записывались по основанию шестидесятеричному. К тому же, широкое распространение счетных досок абаков служило наглядным подтверждением правильности вывода пифагорейской арифметики о неделимости единицы. Но от этого мысли Евдокса о бесконечной делимости величин и непрерывности в геометрии, а также попытка Аристотеля обосновать существование лишь потенциальной бесконечности и достичь примирения между приверженцами арифметической и геометрической школ, не стали менее значимыми для дальнейшего развития математики и всей фундаментальной науки.

Порой кажется невероятным, что всего через несколько столетий после Архимеда, который стал применять определения Евдокса для решения практических задач и открыл поистине безграничные возможности метода интегрирования, античная наука неожиданно перестала развиваться, а после развала эллинистических государств и краха Римской империи и вовсе пришла в упадок, продолжив свое развитие только в арабских странах, где совершенствовалась алгебраическая арифметика, астрономия, химия и другие научные направления /5, с.21/.

Ни упоминание о кровопролитных войнах, ни ссылки на разрушение печально известной Александрийской библиотеки не могут в целом объяснить более чем тысячелетнее забвение наук и господство иррационализма в странах Западной Европы на протяжении периода средневековья. Для определения внутренней причины научной деградации, необходимо перейти к тому времени, когда жажда наживы подтолкнула представителей христианской цивилизации начать вооруженное вторжение на Ближний Восток. Крестовые походы обернулись отнюдь не укреплением католической церкви, а небывалым интересом к античному наследию и возвращением многих знаний, утраченных, казалось, уже навсегда.

Одним из первых математиков, который по арабским переводам в XII веке изучил античную геометрию, индийскую арифметику и усвоил все передовые достижения арабских математиков аль-Хорезми и Абу Камила, был Леонардо Пизанский, известный по прозвищу Фибоначчи (от итал. Figlio Buono Nato Ci, «хороший сын родился»). В своей выдающейся «Книге абака» Леонардо изложил арифметику целых чисел в арабо-индийской нумерации и алгебраические методы решения самых разнообразных уравнений. Кроме того, он впервые в истории математики обнаружил последовательность чисел ряда Фибоначчи, каждое из которых равно сумме двух предыдущих 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…?, а отношение соседних задает приближение к числу Ф: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13…?.

Рисунок 3 - Леонардо Фибоначчи

В работах Леонардо Пизанского уже свободно применялись обыкновенные дроби, записанные в десятичной нумерации, заимствованной арабскими учеными у индийских брахманов. Именно отсутствие такой четкой системы счисления предопределило вычислительные ограничения в древнегреческой науке и, в конце концов, направило ученых поздней античности в русло абстрактных размышлений, слабо связанных с действительностью. Неслучайно поэтому, свежий взгляд на арифметику практически сразу привел Леонардо Фибоначчи к математическому открытию и позволил ему обнаружить числовую последовательность, названную в его честь. Однако арифметика обыкновенных дробей не позволяла в полной мере осознать логические затруднения в совмещении теории несоизмеримости и теории рациональных чисел, и даже после введения десятичных дробей, вплоть до XIX века, в математике было принято обходить данный вопрос и полностью полагаться на авторитет древнегреческих мыслителей.

Дальнейшее пробуждение науки в средневековье во многом стало возможно благодаря учению доминиканского монаха, теолога и схоласта Фомы Аквинского. В своих трактатах «Сумма теологии», «Сумма философии» и в других сочинениях он сумел согласовать христианское вероучение с философскими идеями Аристотеля. Несмотря на ожесточенные споры, которые велись в среде христианских философов вокруг бесконечности как основного атрибута божественной истины, Фома Аквинский настаивал на ее потенциальности в соответствии с представлениями древних авторов о том, что непрерывное не может состоять из неделимого.

Так как актуальное существование ограничено формой, то признание актуальной бесконечности означало бы ограничение могущества Бога, в то же время, бесконечное движение и гармония вселенной должны были находиться в соответствии с некоторым воздействием божественного разума, который, стало быть, есть актуальный перводвижитель материи. Возникающее таким образом противоречие Фома Аквинский объяснял так же, как его объясняли философы античности, ссылаясь на ущербность самого человеческого разума, неспособного к восприятию таинства триединства, воскрешения во плоти и совмещения в божественной истине действительного акта с потенциальной бесконечностью.

Философские воззрения Аристотеля воспринимались в христианской теологии без каких-либо существенных поправок. Томас Брадвардин в XIV веке подробно излагал в своем «Трактате о континууме» теорию бесконечной делимости величин, соглашаясь с аристотелевской критикой непрерывного пространства атомистов, и не замечал, что континуум атомистов логически следовал из положений самого Аристотеля, согласно которым единица была неделима и для числа имелся актуальный предел в направлении к наименьшему. Настоящий прорыв в средневековой науке наметился только XV веке, благодаря смелости и гибкости ума кардинала Николая Кузанского, неожиданно выступившего против аристотелевской бесконечности, которая к тому времени рассматривалась как совершенный канон, согласующийся с текстом священного Писания, противопоставив ей бесконечность актуальную.Если Фома Аквинский видел в актуальной бесконечности ограничение божественного разума, то для Николая Кузанского в ее существовании, приводящем к нарушению всех рассудочных законов, наоборот, проявлялось поразительное величие сверх-рассудочной личности. Хотя оба христианских теолога сходились во мнении о непостижимости истины, в учении Кузанского возник один весьма свойственный для сторонников актуальной бесконечности тезис. В своем трактате «Об ученом незнании» он не только демонстрирует осведомленность в мистериях пифагорейцев, рассуждает в духе даосизма о проявлении наивысшего знания в незнании и обосновывает тождеством прямой линии и окружности бесконечного радиуса совпадение в абсолютном бытии минимума и максимума, но приходит к обобщению о соединении в божественном провидении противоположностей, что в расширительном смысле можно воспринять как единение в понятии бесконечности и божественном разуме наиболее логически несовместимых определений истины и лжи.

Конечно, сам Николай Кузанский ни о каком расширительном смысле соединения противоположностей не задумывался, а если бы задумывался, то, учитывая суровые законы священной инквизиции, вряд ли осмелился об этом написать. Что действительно имело для науки значение, так это то, что он поставил в своих работах под сомнение научные взгляды Аристотеля. Такого внутрицерковного отклонения от аристотелевской картины мира оказалось достаточно, чтобы привести в действие шестеренки гигантского исторического механизма по переосмыслению античных теорий и установок средневековья. Леонардо ди сер Пьйро да Винчи уже не просто разделял мысли древнегреческого философа Аристарха и выдающегося теолога Николая из Кузы о движении Земли вокруг Солнца, но называл в качестве критерия истины знания, полученные опытным путем, а не педантичные книжные умствования схоластов. Даже занятия живописью были для Леонардо да Винчи не легкомысленным подражанием форме, они больше походили на своеобразный исследовательский эксперимент, в котором творец, законы естества и творение алхимически сливались в единый процесс поиска и осмысления гармонии, той содержательной ее силы, что служила художнику неисчерпаемым источником вдохновения.

Но, пожалуй, наиболее значительным достижением эпохи Возрождения был выход в свет сочинения Николая Коперника «О вращении небесных сфер», в котором ученый объяснял попятное движение планет, смену суток и времен года в рамках гелиоцентрической модели мира. Поначалу книга Коперника распространялась в Европе без особых ограничений, пока не стали проступать религиозно-политические последствия ее публикации. Из теории Николая Коперника следовало, что католическая церковь придерживалась неверных космологических представлений, веками утверждая, что суждения отцов церкви и средневековое общественное устройство целиком и полностью исходят от Бога и, стало быть, не подлежат никакому видоизменению.

Становление гелиоцентрической модели мира является в истории науки самым ярким примером того, насколько жестко могут преследоваться научные убеждения, ставящие вопрос о взаимодействии абстрактных философских течений с вполне конкретным политическим строем и внутренним психологическим состоянием общества. Речь идет, конечно же, о научной деятельности и трагической гибели Джордано Бруно, католического священника, ученого и философа, подхватившего идеи Николая Кузанского, Коперника, Томаса Диггеса и других мыслителей XV-XVI веков об устройстве вселенной и создавшего свою, во многом уникальную, систему, в которой мысли о мироздании соседствовали с мыслями об устроении человеческой памяти и сознания.

Рисунок 5 - Джордано Бруно

В философии Джордано Бруно, помимо представлений о бесконечности и однородности вселенной, получил развитие принцип Николая Кузанского, состоящий в сочетании противоположностей в законе мировой гармонии. Однако было бы упрощением считать, что Джордано Бруно являлся однозначным сторонником идеи актуальной бесконечности. Как раз напротив, в понимании проблемы бесконечного он был склонен к последовательному изложению теории Евдокса и Аристотеля, упрекая последнего в неверном разделении формы и материи, которое, проистекает из аристотелевского разделения геометрии и арифметики /6, с.116/.

Джордано Бруно доказывал существование лишь активной и пассивной потенции, реализуемой благодаря движению материи. Если принять, вслед за Николаем Кузанским, идею об актуальной бесконечности в качестве абсолютной истины, то она в диалоге Бруно «О причине, начале и едином» отождествляется с абсолютнейшей возможностью, которая «может быть схвачена интеллектом лишь путем отрицания: не может она, говорю я, быть понята, ни поскольку она может быть всем, ни поскольку есть все, ибо интеллект, когда он желает понять что-либо, формирует интеллигибельные идеи, которым он уподобляется, с которыми он соизмеряет и сравнивает себя, но это невозможно в данном случае, ибо интеллект никогда не бывает столь большим, чтобы он не мог быть больше, она же, будучи неизмеримой со всех сторон и во всех смыслах, не может быть большей. Нет, следовательно, глаза, который мог бы приблизиться или же имел бы доступ к столь высочайшему свету и столь глубочайшей пропасти» /6, с.132/.

Добавив к этим словам критику Джордано Бруно абстрактной математики в его «Камераценском акротизме», можно констатировать, что не только бесконечно простирающаяся вселенная, но и бесконечно малое понималось Джордано с позициипотенциальной бесконечности или такой бесконечной делимости величин, которая может быть задана только некоторым конечным шагом: «Если разум и математика, вопреки всякой практике и обычаю, хотят в пустом воображении допустить бесконечно делимое, пусть делают, что хотят. Природа, во всяком случае, производит такое деление, которое явно доходит до последних минимальных частиц, к каковым уже никакие ухищрения и никакие орудия не имеют подступа» /6, с.160/.

В своих трактатах Джордано Бруно впервые подверг содержательной критике всю философию Аристотеля, в которой утверждалось существование потенциальной бесконечности и напрочь отсутствовало место, в котором данная бесконечность могла бы пребывать, так как аристотелевская модель вселенной была конечной, а форма рассматривалась в отрыве от материи. В своем учении Джордано Бруно перешел от исследования бесконечности к исследованию интеллекта, поскольку между ними обнаруживается связь уже в том, что ни то, ни другое не фиксируется посредством внешнего прибора и не наблюдается в качестве объекта.

Несмотря на то, что философия Джордано Бруно отвергала «пустые математические образы» и понятие актуальной бесконечности, следующий за Джордано великий мыслитель и естествоиспытатель Галилео Галилей, развивая идею относительности движения (содержавшуюся еще у Зенона, а затем у Николая Коперника в его объяснениях иллюзии обращения Солнца вокруг Земли), был вынужден вновь прибегнуть к представлению об актуальной бесконечности. Изучение ускорения падающих тел потребовало допустить существование бесконечно малых «неделимых пустот», обеспечивающих связь между телами, и Галилео Галилей предложил рассматривать такие пространства между телами в качестве «пустых точек» или промежутков, лишенных величины.

Рисунок 6 - Колесо Аристотеля

В качестве математического доказательства существования актуально-пустого множества и актуальной бесконечности Галилео Галилей приводил свою интерпретацию широко известной средневековой задачи «Колесо Аристотеля»: почему при совместном движении двух концентрических окружностей бульшая проходит такое же расстояние, что меньшая, а при раздельном движении пройденное ими расстояние зависит от радиуса? Галилео Галилей рассматривал совместное движение двух вложенных равносторонних многоугольников и доказывал, что расстояние, пройденное меньшим многоугольником, будет почти равно пройденному бульшим, если к пути меньшего прибавить все пропущенные им пустые промежутки, которые суть дуги описанной вокруг него окружности. Так как число таких пустых промежутков равняется числу сторон многоугольника и так как по мере увеличения числа сторон длины дуг сокращаются, то в предельном случае (когда движутся окружности) пустые промежутки окажутся без размеров, а их число будет актуально-бесконечным. Раз пустые промежутки будут лишены какой бы то ни было величины, следовательно, не будет наблюдаться и никакой разницы в пройденных концентрическими колесами расстояниях.

Самого Галилео Галилея такое решение не устраивало, он неоднократно подчеркивал непостижимость и противоречивость введенных им промежутков, не имеющих величины, называя их то пустыми точками, то неделимыми пустотами или, затем, просто атомами. Возможно, более зрелое суждение позволило Галилею заметить допущенные Псевдо-Аристотелем неточности в формулировке задачи «Колесо Аристотеля», и он усомнился в корректности своего доказательства /7, с.48/.

Другой знаменитый современник Галилео Галилея, Иоганн Кеплер, сформулировал три закона движения планет солнечной системы, которые окончательно склонили чашу весов в пользу гелиоцентрической модели мира. Как показал Кеплер, орбиты движения планет, во-первых, имеют эллипсообразную форму; во-вторых, скорость движения планет тем больше, чем ближе к Солнцу они проходят; и, в-третьих, квадраты годовых периодов обращения планет равны кубам их средних расстояний от Солнца. Это последнее обстоятельство навело Иоганна Кеплера на мысль о существовании общей закономерности орбитального распределения планет солнечной системы. И такая закономерность была им обнаружена в системе, заданной Платоновыми телами.

Рисунок 7 - Платоновы тела и гармония сфер Иоганна Кеплера

Вписав среднюю орбиту Земли в сферу, Иоганн Кеплер описал вокруг нее додекаэдр, вокруг которого описал сферу и получил на ней среднюю орбиту Марса. Описав тетраэдр вокруг сферы Марса и еще одну сферу вокруг тетраэдра, он получил на ней среднюю орбиту Юпитера. Вокруг сферы Юпитера он описал куб, и на сфере, описанной вокруг него, получил среднюю орбиту Сатурна. Внутри земной орбиты Кеплер расположил икосаэдр, вокруг которого обращается Венера, а внутри орбиты Венеры вложил додекаэдр для орбиты Меркурия.

Эта система Платоновых тел, математически объясняющая средние орбитальные диаметры планетарной модели, была затем дополнена Иоганном Кеплером наблюдениями за скоростями движения планет, которые он сравнил с изменением частот основных музыкальных диапазонов. Такое своеобразное шестиголосие планет солнечной системы было названо им гармонией сфер. Однако обнаружение Галилеем четырех спутников Юпитера, расположение орбит которых не совпадало с системой вложенных Платоновых тел Кеплера, привел к скоропостижной критике, а затем к полному отказу от обнаруженной Кеплером закономерности.

Как наивно полагали противники гармонии сфер, если бы данная закономерность, была действительно астрономическим открытием, то все спутники всех космических тел располагались бы на орбитах так, как показал Иоганн Кеплер; более того, так как планет в солнечной системе на самом деле оказалось больше, чем в модели Иоганна Кеплера, то и весь его поиск космической гармонии обращается в ничто. Таким образом, в науке была привита идея о бессмысленности обобщений на основе математической гармонии, которые, якобы не обладают никакой прогностической функцией, необходимой для признания теории подлинно научной. Вообще, всю критику открытия Иоганна Кеплера можно сравнить с утверждением, что из семи основных диапазонов в музыке следует возможность построения только одной мелодии, что, очевидно, неверно. Подобного рода пренебрежение к математике и отрицание гармонии приводило и приводит науку к серьезным, быть может, фатальным стратегическим ошибкам в ее развитии /8/.

В том же XVII веке Рене Декарт нашел универсальный метод координат, на котором строится вся аналитическая геометрия. Как утверждал сам Декарт, интуитивное предчувствие возникновения данного метода явилось ему в трех сновидениях, в одном их которых он оказался рядом с бушующим вихрем, неподдающимся никакому вразумительному объяснению. Тем не менее, он заметил, что если понять, каким образом устроен этот огромный вихорь, если понять его изнутри, как он есть на самом деле, то никакого вреда этот вихорь причинить не может. Из своих сновидений Рене Декарт вынес ощущение энтузиазма, как будто бы в его руках оказался магический ключ, отпиравший «бесценные сокровища познания вселенной и раскрывающий перед ним истинные основания науки» /9, с.45/. И действительно, метод координат Рене Декарта стал своеобразным мостом, установившим тесную взаимосвязь между геометрическими объектами и алгебраическими формулами, который позволил уравнять в правах рациональные и иррациональные числа, а практически позволил говорить о единстве природы геометрической величины и арифметического числа, опровергая противоположное мнение античных ученых. Не смотря на то, что Декарт не осознал в полной мере философское значение своего метода, те возможности, которые возникли в математике после произведенного им бессознательного объединения геометрии и арифметики, незамедлительно отразились на бурном развитии науки и во многом предопределили направление дальнейших фундаментальных исследований.

Философские идеи и математические открытия Галилео Галилея, Иоганна Кеплера, Пьера Ферма, Рене Декарта, Дж. Валлиса, Исаака Барроу и других не менее выдающихся мыслителей XVII века были обобщены в философской системе Исаака Ньютона, который в предисловии к своим «Математическим началам натуральной философии» обозначил суть своего подхода к изучению законов физики в следующих словах: «Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления (…) Многое заставляет меня предполагать, что все эти явления обуславливаются некоторыми силами, с которыми частицы тел, вследствие причин покуда неизвестных, или стремятся друг к другу и сцепляются в правильные фигуры, или же взаимно отталкиваются и удаляются друг от друга. Так как эти силы неизвестны, то до сих пор попытки философов объяснить явления природы и оставались бесплодными» /10, с.3/.

За время успешного развития в XX веке теории относительности философия Исаака Ньютона обросла настолько толстым слоем пыли, что общеупотребительным стало пренебрежение к ней и вульгарный пересказ ее положений.

Рисунок 8 - Исаак Ньютон

Учитывая то, что далеко не каждый в совершенстве понимает теорию относительности и квантовую физику, забвение натуральной философии Исаака Ньютона приводит в обществе к полному отторжению законов естества, как следствие, к снижению психической адекватности и к развитию безответственности у людей постмодернистского типа. Было сделано все для того, чтобы дискредитировать идеи рационалистической философии и свести их к механистической, подобной маятниковым часам, вселенной, которую Ньютон, якобы, изобрел и рассматривал как окончательную истину /11, с.245-250/.

Но за постоянной критикой натуральной философии Исаака Ньютона и всех представлений о так называемом непустом пространстве (или эфире, который был для основателей электродинамики источником многих инновационных решений), стоит уверенность в бесполезности создания каких бы то ни было умозрительных моделей, подобных модели Иоганна Кеплера, который вместо того, чтобы сделать вывод о еще более сложных, чем эллипсы, траекториях движения планет, сделал шаг к обобщению и поиску скрытой гармонии /12, с.248/. Господствующая парадигма науки состоит в убежденности, что истинные суждения и расширение круга познаний возможны только методами все бульшего абстрактного математизирования теорий, лежащих далеко за гранью возможностей человеческой интуиции. Такая убежденность стала следствием признания безоговорочной истинности теории относительности А.Эйнштейна и принципа неопределенностей В.Гейзенберга, исключающего одновременное получение информации о скорости частицы и ее пространственной координаты. Однако определенные сомнения в абсолютной справедливости теории относительности до сих пор возникают, и чаще всего в периодических изданиях появляются сообщения, связанные с различным толкованием опытов с фазовыми скоростями, на которые в стандартной теории не налагается ограничений, так как считается, что фазовая скорость не несет в себе никакой информации.

Другим любопытным феноменом, названным А.Эйнштейном «кошмарным фактором дальнодействия» (с англ. «spooky action at distance»), который не рассматривается в современной физике как явление, связанное с передачей информации, выступает так называемое запутанное квантовое состояние. Как показали неоднократные опыты, произведенные в исследовательском центре в Женеве, пара запутанных частиц продолжает сохранять взаимосвязанность параметров на значительном удалении друг от друга, хотя, согласно теории относительности, за время измерений фотоны не могут успеть провзаимодействовать между собой, потому что скорость передачи информации в таком случае в несколько порядков превысит скорость света. Считается, что частицы в подобных экспериментах физически между собой никак не взаимодействуют, а сохраняют корреляцию, которая существовала в едином многочастичном состоянии до разделения фотонов. Однако отрицание информационной значимости этих корреляций и признание того, что они не имеют никакого физического смысла, равносильно отрицанию физической сущности других явлений природы, связанных с одновременным нахождением одной и той же информации в различных частях пространства, что означает, например, невозможность выполнения согласованных физических действий для живого существа, представляющего собой систему из множества клеток, каждая из которых в одно и то же время содержит общую для всего организма генетическую информацию.

Более отчетливо эту мысль, проистекающую из незавершенности бесконечно малых и бесконечно больших значений, охарактеризовал Г.В.Чефранов: «То, что будет близкодействием для геометрических масштабов 10^-70?10²⁷ см, окажется дальнодействием для масштабов 10^?180-10^?70 см, то, что будет близкодействием для таких масштабов, окажется дальнодействием для масштабов 10^?270-10^?180 см, и так далее. Следовательно, разница между близкодействием и дальнодействием оказывается чисто арифметической: неприменимость дальнодействия сохраняется для меньших масштабов, в то время как то же явление в бульших масштабах выглядит как близкодействие» /4, с.48/. Поиск подходов к решению проблем масштабирования в современной физике нашел свое выражение в создании струнной теории, которая постулирует существование множества неизвестных измерений и субстанций претендуя на объединение большого и малого (гравитационного притяжения и других видов взаимодействий). Но все предложенные на сегодняшний день струнные версии по нескольким параметрам расходятся с экспериментальными данными, а перебор других версий единой теории струн исчисляется огромным множеством вариантов, порядка 10⁵⁰⁰, что сопоставимо с числом атомов в обозримой вселенной. Поэтому не удивительно, что некоторые физики, достаточно много времени уделившие изучению струнной теории, приходят к выводу о бесперспективности поиска истинной версии в таком огромном множестве вариантов, содержащих ложные выводы о физических явлениях, например, указывая на существование в природе таких частиц материи, которые в действительности не существуют и существовать не могут /11, с.245-250/.

Чтобы понять глубинную разницу между математическими основами философии Исаака Ньютона и абсолютизированной теорией относительности, следует обратиться к тем представлениям о бесконечности, которые приняты для каждой из них в качестве истинных. Если в натуральной философии говорится о возможности передачи информации с потенциально-бесконечной скоростью, то в теории относительности мы сталкиваемся с актуальной бесконечностью, ибо в ней полагается, что движение со сверхсветовой скоростью недостижимо; более того, достижима только бесконечная аппроксимация к скорости света, так как при с масса тела до бесконечности возрастет, а течение времени полностью остановится. Поэтому двигаться со скоростью света, согласно данному подходу, могут только частицы с нулевой массой покоя, такие как фотон и нейтрино. При этом вводится не только постулат об актуально-бесконечном приближении к скорости света для всех материальных тел (масса покоя которых больше нуля), но утверждается постулат об актуально-существующем нулевом значении массы покоя фотона и постулат об актуально-пустом физическом пространстве.

Впервые историческая взаимосвязь теории относительности с античной и средневековой космологией через понятие актуальной бесконечности была обнаружена священником и профессором математики Павлом Флоренским, который в философско-математическом трактате «О мнимостях в геометрии» сумел показать, что теория относительности есть фактическая реабилитация, ни больше, ни меньше, Птолемее-Дантовой модели мироздания. Свидетельством тому выступает уже характер движения Данте и Вергилия, попадающих из центра Земли, где находится скованный льдами Люцифер, в Эмпирей, бесконечную область созерцания Бога, лежащую за сферами семи планет, сферой неподвижных звезд и за хрустальной твердью небесной. Раз Данте и Вергилий проходят сквозь бездну Ада и оказываются в высочайшей области Эмпирея, ни разу не повернув назад, то объяснение такому движению можно дать только в рамках эллиптической римановой геометрии пространства, которую «эвклидовская чернь не зрит». Далее, поскольку обобщенный принцип относительности особо подчеркивает, что все инерциальные системы отсчета являются равноправными, то нет и не может быть никаких доказательств обращения Земли вокруг Солнца; это, стало быть, лишь рассудочная Копернианская гипотеза, тогда как подлинно философскому разуму надлежит придерживаться «верности земле, земному, достоверному опыту» /13, с.48/.