Проблема бесконечности в философии и математике

Единственное, чего не учел Павел Флоренский, призывая к верности геоцентрической модели вселенной и актуальной бесконечности, так это то, что он вместе с тем призывает принять точку зрения самого Люцифера, противоборство которого состоит именно в том, чтобы провозгласить себя центром Вселенной, возвысившись над Логосом для распространения безумия и Хаоса. Религиозное сознание философа, конечно же, не могло допустить подобной саморазрушительной идеи - и буквально в следующем абзаце у Павла Флоренского мы читаем опровержение принципа предельности мировых скоростей, то есть всего того, о чем он говорил выше: «Что собственно значит предельность величины 3·10¹⁰ см/сек? Это значит вовсе не невозможность скоростей равных и больших с, а - лишь появление вместе с ними вполне новых, пока нами наглядно непредставимых, если угодно - трансцендентальных нашему земному, кантовскому опыту, условий жизни» /13, с.49/. Понять противоречивые метания Флоренского не сложно, так как актуальная бесконечность, в каком бы виде она ни проявилась в античности или средневековье, всегда вела к бесконечному сомнению и теологическому разрыву божественного разума и разума человеческого. Из предельности скорости света следует, что человеческое существо никак не сообщается с бесконечностью, потому что для взгляда из достаточно удаленной области вселенной не будет существовать ни человека, ни Земли /14, с.689/. Если в космологии древних конечность вселенной служила сближению бесконечно могущего Логоса и человека, то, исходя из положений теории относительности, никакая бесконечность не может повлиять на события, происходящие на Земле. Следовательно, человеческая совесть, то есть соединение человека с вечными законами интеллектуальной гармонии, становится в таком мире бессмысленной выдумкой, жалким, отмирающим рудиментом культуры.

Сторонники абсолютизации теории относительности А.Эйнштейна настаивают на том, что допущение передачи информации со сверхсветовой скоростью нарушает фундаментальный принцип причинности, ибо из формулировок теории в этом случае будет следовать выполнимость некоторого события до того, как сложатся все необходимые условия. Но такие заявления не вполне соответствуют действительности. Принцип причинно-следственной связи, заложенный в теории относительности, оперирует целочисленным значением кластера информации, тогда как в информационной среде не запрещается передача дробных его значений. Признание же потенциальной бесконечности, вообще говоря, означает, что любая информация представима в виде дробной части более общей совокупности причинно-следственных связей. Во сне человек способен увидеть фрагмент некоторого события, которое с ним еще не произошло, что никоим образом не нарушает классический принцип причинности, так как все обстоятельства данного события останутся для человека неизвестными. С аналогичным дроблением информации мы, очевидно, сталкиваемся в экспериментах по пропусканию света через усиливающую среду и в таких широко обсуждаемых теориях как, например, теория кварков, электрические заряды которых должны иметь дробное значение /15, с.605/.

Можно сколько угодно спорить о натуральной философии и уличать Исаака Ньютона в том, что он не стал накладывать ограничение на скорость распространения света, однако для него не существовало колоссального разрыва математики и физики, который произошел в XX веке под влиянием теории относительности. Поэтому вывод о мгновенных скоростях, понимаемых как возможность распространения информации за одну и ту же единицу времени для потенциально-бесконечных расстояний, непосредственно следовал у него из математической традиции Архимеда и арабских математиков, а также из представления о потенциальном характере бесконечно малых величин. Представления, которое объединяло не только Хр.Гюйгенса, И.Ньютона и Г.Лейбница (который говорил лишь об удобстве условного равенства абсолютного нуля и непустого множества), но и все последующие поколения математиков на протяжении VIII - XIX вв., достаточно назвать имена таких выдающихся ученых как Л.Эйлер, К.Ф.Гаусс, О.Коши, К.Вейерштрасс.

Задолго до того, как учеными XX века была осознана проблема ограничения возможностей познания, связанная с неполнотой описания реальности в квантовой физике, на которую указывал А.Эйнштейн, и с теоремой К.Гёделя, которого волновал вопрос о возможности устранения математических противоречий, эти ограничения были скрупулезно исследованы знаменитым немецким философом Иммануилом Кантом. В своей «Критике чистого разума» он подробно рассмотрел возникновение паралогизмов, то есть ложных по форме умозаключений, возникающих в результате примешивания к процессу познания некоторых субъективных факторов.

Рисунок 9 - Эммануил Кант

Развивая мысль Аристотеля о том, что понятие бесконечности не лежит в области чувственного опыта, а дано только в качестве априорного суждения, Кант приходит к выводу о неизбежности добавления к представлению о бесконечности того, что постигается человеком в результате восприятия конечных и целокупных величин. В отличие от Аристотеля, Иммануил Кант рассматривает бесконечность двояко, в качестве неограниченного возрастания и неограниченного убывания, но при этом делает существенную оговорку. Если бы человек созерцал бесконечную делимость или бесконечное развертывание пространства, то по прошествии времени его разум перестал бы помнить сам предмет, который был взят в качестве точки отсчета. Стало быть, из опыта для целостного восприятия объектов действительности возникает некое ограничение, которое есть инстинкт самосохранения картезианского Я мыслю. Поэтому появление монады Пифагора, атомов Демокрита, неделимых пустот Галилея, монады Г.Лейбница, появление актуально пустого множества и завершенной бесконечности обусловлены самими законами мышления и составляют с априорным понятием о потенциальной бесконечности антиномию чистого разума, выраженную у Канта в четырех-ипостасной борьбе ограниченного с безграничным /16, с.575/.

Так как с незапамятных времен математики используют иррациональные числа, не располагая достаточным знанием, что собой представляют эти последовательности, и почему они коммутируют с числами рациональными, всю чистую математику Кант отнес к «исключительно спекулятивной науке», в которой отсутствие ответа на вопрос признается вполне удовлетворительным ответом /16, с.637/. Так как сам Иммануил Кант не видел способов разрешения антиномии чистого разума, то в этом его определении не содержалось никакой эмоциональной нагрузки. Он лишь беспристрастно указал на антиномию априорного знания иррациональных чисел и отсутствие адекватных этому знанию эмпирических представлений: «О целом, делимом до бесконечности, ни в коем случае непозволительно сказать, что оно состоит из бесконечного множества частей. В самом деле, хотя все части содержатся в созерцании целого, однако в нем не содержится все деление, состоящее лишь в продолжающемся разделении или самом регрессе, который единственно и делает ряд действительным. Так как этот регресс бесконечен, то в данном целом, правда, содержатся как агрегаты все члены (части), до которых доходит регресс, однако не весь ряд деления, который последовательно бесконечен и никогда не есть целый ряд, следовательно, не может показывать бесконечного множества частей и собирания их в одно целое» /16, с.687/.

Однако, несмотря на скептический настрой, Иммануил Кант не исключал возможность существования полного разрешения антиномии чистого разума, которое, впрочем, нельзя получить в результате чувственного опыта: «Собственная же неизменная основная мера природы -- это ее абсолютное целое, которое в ней как в явлении есть совокупная бесконечность. Но так как эта основная мера есть само себе противоречащее понятие (ввиду невозможности абсолютной целокупности бесконечного прогресса), то эта величина объекта природы, на которую сила воображения напрасно тратит всю свою способность к соединению, должна привести понятие природы к сверхчувственному субстрату (лежащему в основе ее, а также в основе нашей способности мыслить), который превосходит своей величиной всякий масштаб внешних чувств и поэтому заставляет, вынося суждение о возвышенном, относить его не столько к предмету, сколько к настроенности души при определении его» /17, с.281/. То есть, «существует, следовательно, безграничное, но и недоступное всей нашей способности познания поле, а именно поле сверхчувственного, на котором мы не находим для себя никакой почвы и, значит, не можем иметь в нем области теоретического познания» /17, с.89/.

Поскольку Иммануил Кант позволял себе делать критические высказывания о математике и говорил о том, что целое непозволительно представлять в виде всей совокупности бесконечного множества дробных частей, то его идея вынужденного заблуждения в представлении об актуально бесконечном не пользуется особой популярностью. Зато довольно часто, как только возникает необходимость привести логическое обоснование истинности понятия актуальной бесконечности, приходится встречать ссылку на другого немецкого мыслителя Георга Вильгельма Фридриха Гегеля /18, с.59-63/. В своем философском трактате «Наука логики» Гегель, действительно, вводит два определения бесконечного. Дурной бесконечностью он называет простое отрицание конечного, тогда как истинная бесконечность должна находиться в соответствии с принципом отрицания отрицания, то есть быть некоторым утверждением, позволяющим осуществлять переход от количества к качеству. На основании чего многие замечательные философы, к числу которых примыкал Павел Флоренский, полагали, что под истинной бесконечностью Гегель понимал бесконечность актуальную или завершенную, воспринимаемую как цельный объект и потому самою себя отрицающую, а раз так, остается только признать, что под дурной бесконечностью он понимал бесконечность потенциальную или незавершенную /19, с.495, 507/.

Рисунок 10 - Георг Вильгельм Фридрих Гегель

Гегель избегал математических определений, но вряд ли это может быть поводом для толкования его высказываний в духе актуальной бесконечности, которую он якобы называл истинной. При сопоставлении текста с конкретными математическими понятиями слова Гегеля обнаруживают совершенно иное содержание: «Главное в том, чтобы различить истинное понятие бесконечности и дурную бесконечность, бесконечное разума и бесконечное рассудка; однако последнее есть оконеченное бесконечное, и мы увидим, что, удерживая бесконечное чистым от конечного и вдали от него, мы его лишь оконечиваем. Бесконечное есть: a) в простом определении утвердительное как отрицание конечного; b) но оно тем самым находится во взаимоопределении с конечным и есть абстрактное, одностороннее бесконечное; c) оно есть само снятие этого бесконечного, а равно и конечного, как единый процесс, -- и есть истинное бесконечное». Но если актуальная бесконечность есть истинная, то как можно мыслить ее единым процессом, если переход от бесконечной непериодической десятичной дроби 1,4142…? к конечному отрезку v2 происходит путем оконечивания, то есть трансцендентного завершения, образующейся последовательности? Разве уже само представление о непериодической бесконечной дроби не есть удержание бесконечного чистым от конечного и вдали от него? Между тем, единый процесс, сочетающий в себе снятие бесконечного, а равно и конечного, всегда наблюдается в потенциально-бесконечных множествах, таких как бесконечные периодические десятичные дроби. Далее у Гегеля читаем: «Бесконечное есть отрицание отрицания, утвердительное бытие, которое, выйдя из ограниченности, вновь себя восстановило. Бесконечное существует, и оно существует в более интенсивном смысле, чем то первое непосредственное бытие; оно есть истинное бытие и возвышение над пределом» /20, с.201/. Если актуальная бесконечность есть истинная, то каким тогда образом бесконечная непериодическая десятичная дробь вновь себя восстанавливает, не имея каких-либо конечных атрибутов для самоидентификации, и как можно возвыситься над пределом актуально-пустого нулевого значения? /20, с.306/

Основной философской идеей XIX века был нигилизм, основателем которого называют Гегеля с его историческим законом отрицания отрицания. Поэтому если бы в математической науке тогда существовала мода на актуальную бесконечность, то, несомненно, в моду бы вошло ее отрицание. Так как под истинным смыслом науки нигилистами понимался бесконечный процесс отрицания, то содержание высказываний Гегеля об истинной бесконечности, по-видимому, не подвергалось серьезному изучению. Да и нужно ли было это делать, если, руководствуясь принципами нигилизма, достаточно было приступить к отрицанию любого понятия, которое считается истинным, как тут же открывались заманчивые перспективы перехода к более высокому уровню познания истины.

Тем не менее, от нигилистов ускользало то обстоятельство, что мысль об истинной бесконечности Георга Вильгельма Фридриха Гегеля заключалась именно в двойном отрицании, ни больше, ни меньше. Отрицание первое являлось простым отрицанием конечного и приводило к противоречивому дурному бесконечному рассудка; отрицание второе устанавливало подвижную сочетаемость бесконечного с конечным и разрешало рассудочное противоречие. Гегель не говорил о том, что отрицание третьего порядка (или отрицание отрицания первого отрицания) тоже должно быть истинным, так как это означало бы неистинность отрицания второго. Гегелевское понимание бесконечного не сводилось к постоянному сомнению или к утверждению, что истинной бесконечности не существует, поэтому «Бесконечное вообще» (с нем. «Die Unendliche ьberhaupt»), которое следует за двойным отрицанием, возвращая нас к рассудочному противоречию, Гегель тоже не считал истинным. В качестве такого «Бесконечного вообще» можно рассматривать условное обозначение бесконечного множества Х всех действительных чисел, которое охватывается целиком по общему свойству, но никак не по количеству, или множество N всех натуральных чисел вида n + 1 и другие.

Было бы преувеличением говорить о том, что никто из математиков не понимал различия между истинной бесконечностью, о которой говорил Гегель, и актуальной бесконечностью. Математик и теолог Бернард Больцано, который первый ввел понятие о верхней границе и определил критерий сходимости рядов, более известный под именем критерия Коши, а также предвосхитил появление теории бесконечных множеств Г.Кантора, такую разницу отчетливо понимал. Его математический трактат «Парадоксы бесконечного» начинается с анализа гегелевских определений. Он соглашается с Гегелем в том, что простое отрицание конечного является дурным бесконечным, но актуальную бесконечность вполне обоснованно соотносил с гегелевской «Бесконечностью вообще», подчеркивая ее трансцендентальную завершенность.

Рисунок 11 - Бернард Больцано

Он искренне верил в предметность бесконечности, в то, что ее свойства непосредственно проявляются во всех конечных объектах, а потому, между прочим, утверждал, что информационные процессы разумной жизни никак не влияют на формирование вселенной, выпуская само существование человеческой культуры и доказывая, будто бы отсутствие разумной жизни совершенно ничего не изменяет в природе.

Гегеля он упрекал за то, что тот признавал истинной лишь потенциальную бесконечность и отказывал в том же «Бесконечности вообще»: «Это, столь известное математикам, понятие о бесконечном [то есть «Бесконечное вообще»] не удовлетворяет однако некоторых философов, особенно философов новейшего времени, как Гегеля, и его последователей. Они называют его презрительно плохим бесконечным и думают, что знают несравненно более высокое, истинное, качественное бесконечное, которое они находят только в Боге (…) [таковой является] Величина, которая может быть всегда взята бьльшей, чем мы ее брали раньше, и которая может стать бьльше, чем каждая данная конечная величина, может при этом оставаться всегда просто конечной величиной [приводит ряд натуральных чисел 1,2,3,…?] (…) Я не допускаю только того, чтобы философу известен был какой-либо предмет, которому он был бы в праве приписать свою бесконечность».

Зато для религиозного разума не составляет никакой сложности найти такой предмет, который являет собой «Бесконечность вообще», и Бернард Больцано напоминает, что таким всесовершенным единым следует назвать бесконечного Бога: «Мы должны приписать ему силу познания, которая и есть истинное всеведение, то есть обнимает бесконечное множество истин (…) Это должно быть Все, заключающее в себе каждое нечто, абсолютное Все, вне которого нет ничего (…) Это была бы совокупность не только всех действительных вещей, но также и всего того, что не имеет никакой действительности». Уточняя свою мысль, он повторяет неизбежно возникающее во всяком обосновании актуально бесконечного положение о том, что абсолютная истина должна по необходимости включать все истинные утверждения и все ложные утверждения, то самое теософское положение, к которому приблизился Николай Кузанский, но которое не посмел применить в качестве логического доказательства.

Не случайно поэтому, говоря об истине, Больцано подразумевает ее множественность: «Очень легко заметить, что многообразие предложений и истин самих в себе - бесконечно. Если мы станем, например, рассматривать какую-нибудь истину, скажем, предложение, что истины вообще не существуют, или любую другую истину, которую мы обозначим через А, то увидим, что предложение, выраженное словами "А истинно", уже отлично от А, потому что предложение А имеет, очевидно, совершенно другое подлежащее (…) Далее по тому самому закону, по которому мы вывели из предложения А отличное от него предложение, которое мы назовем В, мы можем вывести из В третье предложение С и так далее (…) Совокупность эта - утверждаю я - обнимает такое многообразие частей (предложений), которое больше, чем всякое конечное многообразие» /21, с.12-17/.

Другими словами, утверждая актуальную бесконечность, Больцано отсылает к логической структуре парадокса «Лжец» философа Эпименида. Действительно, если брать в качестве начального предложение, что истин не существует, то утверждение истинности этого предложения есть противоречие, так как получена истина, которой по условию быть не должно. Коль скоро возможно бесконечное логическое построение такого рода, в котором «истинных» и «неистинных» утверждений всегда поровну, так как любое «истинное» в нем можно назвать «неистинным», следует признать, что утверждение о существовании истины и утверждение о ее несуществовании равноправны. Поэтому имеется свободный выбор, какой стороны этого философского вопроса придерживаться. Однако в стремлении к постижению бесконечности ни Бернарда Больцано, ни других приверженцев актуальной бесконечности не смущает то, что такая свобода достигается путем предположения, что «истины вообще не существуют», а ведь только так становится возможным множество, включающее «не только все действительные вещи, но также и все то, что не имеет никакой действительности». Множество, содержащее в себе все истинные и ложные утверждения в неразличимом виде ; тогда и только тогда возникает не равноправие даже, но значительный перевес актуальной бесконечности, которая включает в себя истину и ложь, отображая их как «единое целое».

Представить бурное и разнообразное развитие науки в XIX веке нельзя без великих ученых, таких как К.Ф.Гаусс, который доказал основную теорему алгебры и впервые обнаружил, как могут меняться геометрические свойства в зависимости от масштабов пространства /22/, О.Коши, который усовершенствовал теорию пределов, Н.Абеля, Н.Лобачевского, У.Гамильтона, Ф.Клейна /23, с.279/, Б.Римана, К.Вейерштрасса, Г.Миньковского, а также многих других математиков, особняком от которых следует назвать Л.Кронекера, работавшего над арифметической теорией алгебраических величин. Подобно атомисту Демокриту, он не признавал теорию несоизмеримости и выступал против теории иррациональных чисел К.Вейерштрасса и теоретико-множественной школы Г.Кантора. По мнению Л.Кронекера, логический подход в геометрии не исключал возможности появления ошибок; для того чтобы их исключить, он настаивал на арифметизации математики, то есть на сведении ее к арифметике целых чисел, которые называл творением Бога, тогда как все прочие числа - ума человеческого.

Изучением аксиом и созданием неевклидовых геометрий в XIX веке занимались многие выдающиеся математики, но только Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд по достоинству оценил содержащийся в евклидовой геометрии парадокс, вызванный явной нестыковкой аксиомы измерения Евдокса с несоизмеримыми отрезками длины. В математическом сочинении «Непрерывность и иррациональные числа» (1859 г.) Р.Дедекинд пишет: «Фактом величайшей важности является то обстоятельство, что на прямой L есть бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Действительно, если точка "p" соответствует рациональному числу "a", то, как известно, длина "0р" соизмерима с употребленной при построении единицей длины, то есть существует третья длина, так называемая общая мера, относительно которой обе длины представляются целыми кратными. Но уже древние греки знали и доказали, что существуют длины, несоизмеримые с данной единицей длины, - например, диагональ квадрата, сторона которого есть единица длины. Если нанести такую несоизмеримую длину от точки "0" на прямую, то получим конечную точку, которой не соответствует никакое рациональное число» /24, с.15/. Другими словами, ни в одном из восемнадцати основных определений, которые содержатся в V книге «Начал» Евклида, не учтено наличие несоизмеримых отрезков. Следовательно, на числовой прямой выпадают все точки, соответствующие иррациональным числам, поэтому нельзя сказать, что прямая в евклидовой геометрии является непрерывной.

Пожалуй, Р.Дедекинд был первый, кто в полной мере осознал всю необоснованность аристотелевского разделения арифметического числа и геометрической величины: «Принятое до сих пор введение иррациональных чисел связывается именно с понятием о протяженных величинах - которое само нигде не определено - и определяет число как результат измерения такой величины другою такого же рода. Вместо этого я требую, чтобы арифметика развивалась сама из себя (…) чтобы иррациональные числа были вполне определены через посредство рациональных. Но как это сделать - вот в чем вопрос» /24, с.16/.

Ответ был найден Р.Дедекиндом в том, чтобы вместо соизмеримых и несоизмеримых отрезков взять два класса P и Q, таких что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго, при этом существует одна и только одна точка, которая производит сечение прямой на два класса. Однако такая непрерывность числовой прямой достигалась за счет того, что точка сечения двух классов относилась к первому или ко второму классу совершенно произвольно, откуда следовала возможность отнести все точки прямой к какому-то одному классу, либо к классу рациональных, либо к классу иррациональных чисел. Поэтому Дедекинд соглашался, что тем самым он ничуть не приоткрывает тайну непрерывности, ибо «решительно не в состоянии привести какое бы то ни было доказательство справедливости этого принципа, и никто не в состоянии. Принятие этого свойства прямой линии есть не что иное как аксиома, посредством которой мы только и признаем за прямой ее непрерывность» /24, с.18/.

Данные числовые классы, обозначающие бесконечные множества, и понятие о сечении иррациональных чисел, благодаря которому Р.Дедекинд ввел в евклидовой геометрии непрерывность прямой, позволили Георгу Фердинанду Людвигу Филиппу Кантору (1872 г.) осуществить в математике поражающий воображение переворот, обосновав не без помощи символов Р.Дедекинда понятие актуальной бесконечности /25, с.335/. Но Г.Кантор, по крайней мере, относился с уважением к противоположному утверждению об истинности незавершенной бесконечности, чего, надо сказать, напрочь лишены многие адепты теории бесконечных множеств в наши дни. Это чувство зиждилось у Г.Кантора на том логическом основании, что само нахождение новых трансфинитных чисел, которые следовали за первым таким числом, свидетельствовало о незавершенном характере актуальной бесконечности, которая, таким образом, была еще доступна увеличению.

В статье «К учению о трансфинитном» Г.Кантор публикует обзорное письмо по теории бесконечных множеств одного серьезного теолога, которой выразил удовлетворение тем, что Г.Кантор четко различает актуально бесконечное и собственно бесконечное, поскольку последнее не может быть подвергнуто существенному увеличению или убыванию. Теолог пишет: «При таком понимании дела в Вашем понятии трансфинитного нет, насколько я пока вижу, никакой опасности для религиозных истин. Но в одном пункте Вы, конечно, заблуждаетесь относительно несомненной истины (…) В предположении, что Ваше актуальное трансфинитное не содержит в себе никакого противоречия, Ваше заключение о возможности сотворения трансфинитного из понятия всемогущества вполне правильно. Но, к сожалению, Вы делаете дальнейший шаг и умозаключаете, что "от Его всеблагости и величия Бог приходит к необходимости фактически последовавшего сотворения трансфинитного". Именно потому, что Бог есть сам по себе абсолютно бесконечное благо и абсолютное величие, которые не могут быть ни увеличены, ни уменьшены, необходимость сотворения чего бы то ни было представляет собой противоречие» /25, с.275/. Внутренняя свобода, исключающая возникновение противоречий, есть основополагающий аспект в понимании божественного, поэтому теолог пророчески описал дальнейшую судьбу теории бесконечных множеств и то несчастье, которое подстерегало ее создателя.

В самом деле, несмотря на словесные заверения Г.Кантора и всех последователей теории бесконечных множеств о том, что актуальное трансфинитное не содержит совершенно никаких противоречий, напротив даже, является единственно возможным выходом из парадоксальности иррациональных чисел, на практике вся история теоретико-множественного направления соткана из противоречий, которые устранялись введением аксиоматических запретов. Прежде всего, речь здесь идет о наивысшем проявлении математического творчества самого Г.Кантора, который построил бесконечное множество, составленное из всех трансфинитных чисел, и натолкнулся на парадокс - оно само должно было выражаться трансфинитным числом ?, а значит, включать самое себя и оказаться больше самого себя, что по определению, вытекающему из понятия об актуальной бесконечности, невозможно /12, с.296/. Подобных казусов до введения соответствующих запретов Э.Цермело и А.Френкелем было открыто достаточно много. Поэтому само становление теории бесконечных множеств как науки подтверждало правоту философа Гегеля, бескомпромиссно назвавшего актуальную бесконечность дурной бесконечностью, что переживалось Г.Кантором крайне болезненно. Вплоть до того, что он предлагал полностью отказаться от всего потенциально-бесконечного, поскольку «этим путем устанавливается определенный, хотя довольно скромный и простой принцип, который рекомендуется всем как ариаднова нить. Он должен служить тому, чтобы удержать полет математической фантазии и спекуляции в надлежащих границах, где они не рискуют попасть в пропасть "трансцендентного", туда, где, как говорится в целях назидания и спасительного страха, "все возможно"» /25, с.71-72/.

После обнаружения парадоксов в теории бесконечных множеств Г.Кантора, многие математики (в частности, Анри Пуанкаре, который всегда поддерживал прогрессивные направления научной мысли), выразили свою озабоченность по поводу дальнейшего развития математики, поскольку такой путь, состоящий в обнаружении противоречий и принудительном их исключении, шел вразрез с понятием о математике как о точной науке, сужал ее возможности, а в перспективе - заводил в логико-концептуальный тупик. Даже Дэвид Гильберт, высоко оценивший теорию бесконечных множеств, назвав ее своего рода «трансфинитным раем», из которого никто никогда не изгонит математиков, настаивал на том, что разрешение проблемы Г.Кантора о мощности континуума есть первостепенная задача математики, «могущая значительно стимулировать дальнейшее развитие науки» /26/. Точку зрения Д.Гильберта на парадоксы теории множеств можно охарактеризовать такими его словами: «Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике - в этом образце достоверности и истинности - образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же тогда искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?» /27, с.136/.

Рисунок 12 - Девид Гильберт

Размышляя над парадоксами теории Г.Кантора, Д.Гильберт сделал вывод, что причина парадоксов лежит в самих основаниях математики, а точнее, в аксиомах арифметики, так как из геометрических представлений никаких значительных затруднений с введением теории бесконечных множеств Г.Кантора не возникало. Более того, интуитивно понятная евклидовая геометрия, казалось, находилась в полном согласии с теорией множеств. Поэтому непрерывность числовой прямой Р.Дедекинда должна была логически следовать из теории бесконечных множеств, однако этого не происходило, и все попытки Г.Кантора обосновать свою гипотезу континуума неизменно сопровождались возникновением неустранимых препятствий.

Поиск противоречий в аксиомах арифметики привел Д.Гильберта к глубокому исследованию оснований геометрии и созданию аксиоматической теории. Главным требованием, которое Д.Гильберт предъявлял к решению математических задач, была логическая строгость, при этом он верил, что получение строгого решения не всегда сопровождается все бульшим усложнением логико-математических теорий, и старался обратить на это внимание в своем докладе на II Международном Конгрессе математиков: «Будет большой ошибкой думать, что строгость в доказательстве - это враг простоты. Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном: строгие методы являются в то же время простейшими и наиболее доступными (…) Возможно, что в большинстве случаев, когда мы напрасно ищем ответа на вопрос, причина нашей неудачи заключается в том, что еще неразрешены или не полностью решены более простые и легкие проблемы, чем данная. Тогда все дело заключается в том, чтобы найти эти более легкие проблемы и осуществить их решение наиболее совершенными средствами, при помощи понятий, поддающихся обобщению» /26/.

Как известно, Д.Гильберт признавал теорию множеств, с оговоркой, что в будущем будет найдена аксиоматическая ошибка, приводящая к парадоксам. Другого мнения на этот счет придерживался Анри Пуанкаре. В своем философско-математическом трактате «Наука и гипотеза» в противовес Д.Гильберту он поставил следующий вопрос: «Являются ли аксиомы, явно формулируемые в руководствах, единственными основаниями геометрии?», - и указал на существование многих скрытых аксиом, содержащихся в теоремах, доказательства которых с формальной точки зрения безупречны /28, с.36/. Поэтому, несмотря на то, что евклидова геометрия является наиболее удобной, простой и согласующейся с чувственным опытом, Анри Пуанкаре не видел смысла в том, чтобы закреплять за ней звание подлинно истинной или выражаемой одними только инвариантными аксиомами арифметики и правилами классической логики. Раз так, усилий Д.Гильберта могло оказаться недостаточно для разрешения парадоксов теории множеств.

Рисунок 13 - Анри Пуанкаре

От внимательного взгляда Анри Пуанкаре не могло ускользнуть то, что Р.Дедекинд, Г.Кантор и Д.Гильберт исходили из положения о непротиворечивости евклидовой геометрии; и когда в теории Г.Кантора обнаружились противоречия, они продолжали видеть в евклидовой геометрии образец математической строгости, испытывая недоумение, почему она не содержит внутренних противоречий, тогда как в теории множеств, которая из нее вытекала, такие противоречия появлялись. Между тем, убеждение в эквивалентности арифметики и евклидовой геометрии, безусловно, является одной из скрытых аксиом, над которой никто, кроме самого Анри Пуанкаре, всерьез не задумывался, а значит, никто не пытался найти ошибку в аксиомах арифметики и выявить внутреннее противоречие в евклидовой геометрии, ведущее к парадоксам в теории бесконечных множеств.

Вместе с введением в 1908-1922 годах системы аксиом Цермело-Френкеля, исключившей парадоксальные множества Г.Кантора, в математике отчетливо наметилась программа дальнейшего развития, состоявшая в том, чтобы совершенствовать математическую логику и, по возможности, находить и устранять с помощью аксиом возникающие противоречия. Многим тогда казалось, что парадоксы актуальной бесконечности, наконец, были полностью разрешены. Всеобщее успокоение сменилось очередной волной сомнений, после того, как в 1931 году Курт Гёдель в статье «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем» опубликовал первую теорему неполноты, согласно которой любая непротиворечивая теория, включающая арифметику натуральных чисел, не может быть выражена некоторым конечным набором утверждений /29, с.20/. Тогда как при построении «ненаивной» теории бесконечных множеств предполагалось, что конечного набора аксиом вполне достаточно, чтобы построить абсолютно непротиворечивую теорию, ведь онтологически уже само понятие об актуальной бесконечности указывало на то, что бесконечное множество истинных утверждений может быть выражено конечным числом.

Не удивительно, что в 1935 году лучшие умы теоретико-множественной школы организовали тайное общество математиков, приступившее к публикации своих трудов под общим псевдонимом Николя Бурбаки. Воодушевленные целью объединения всей математики под знаменем актуальной бесконечности, сотрудники общества Николя Бурбаки приступили к пространному изложению своих взглядов, исходя из аксиоматической теории множеств в поисках достойного ответа теореме К.Гёделя.

Однако в 1963 году, когда творчество Николя Бурбаки достигло своего наивысшего расцвета, Поль Коэн привел доказательство, согласно которому ни гипотеза континуума Г.Кантора, ни аксиома выбора Э.Цермело, не зависят от системы аксиом Цермело-Френкеля, что в соединении с теоремой К.Гёделя означало невозможность ни доказать, ни опровергнуть в рамках существующей теории понятие непрерывности и упорядоченности числовой прямой. Такой неутешительный прогноз П.Коэна вызвал в теоретико-множественной школе очередной кризис, закончившийся выходом из общества Николя Бурбаки А.Гротендика. Что касается П.Коэна, разделившего всех математиков на реалистов и формалистов, то он, вопреки собственным результатам, старался поддержать и без того отчаянное положение формалистов: «Наша интуиция о недостижимых или измеримых кардиналах еще недостаточно развита (…) Мне кажется, тем не менее, что полезно развивать наше таинственное чувство, позволяющее нам судить о приемлемости тех или иных аксиом. Здесь, разумеется, мы должны полностью отказаться от научно-обоснованных программ и вернуться к почти инстинктивному уровню, сродни тому, на котором человек впервые начинал думать о математике (…) Математика подобна прометееву труду, который полон жизни, силы и привлекательности, но содержит в себе самом зерно разрушающего сомнения. К счастью, мы редко останавливаемся, чтобы обозреть положение дел и подумать об этих глубочайших вопросах (…) Когда сомнения начинают нас одолевать (что, я надеюсь, происходит нечасто), мы отступаем под безопасные своды теории чисел, откуда, собравшись с духом, снова бросаемся в неверные воды теории множеств. Такова наша судьба - жить, сомневаясь; преследовать цель, в абсолютности которой мы не уверены; короче говоря, понимать, что наша единственная "истинная" наука имеет все ту же смертную, возможно, всего лишь опытную природу» /30, с.9-15/.

Постоянное сомнение в существовании истины, к которому призывали формалисты, и само определение ее как субъективного суждения (а значит, «для каждого существует своя истина») удовлетворяло далеко не всех математиков. В то же время, никто не решался выдвинуть проблему, которая могла бы способствовать выходу из создавшегося положения. Впервые в Советском Союзе такая проблема была поставлена в 1977 году в книге Алексея Петровича Стахова «Введение в алгоритмическую теорию измерения», в которой описывались неизвестные ранее оптимальные алгоритмы и позиционные системы счисления. Из построения позиционных систем, основанных на последовательностях иррациональных чисел, а именно - гармонического числа Ф, обладающего уникальными математическими свойствами, следовало, что иррациональные числа можно с успехом применять для решения практических задач в качестве счетных множеств. Необходимым и достаточным условием при этом должно было выступать существование только потенциальной бесконечности, а раз так, возникал вопрос: насколько вообще может быть оправданно введение в математику актуальной бесконечности? В связи с чем «уместно обратить внимание на внутреннюю противоречивость (в диалектическом смысле) теоретико-множественной теории измерения (и как следствие теории действительных чисел), допускающей в своих исходных положениях (аксиомы непрерывности) сосуществование диалектически противоречивых представлений о бесконечном (актуальной, "статической", завершенной бесконечности - в аксиомах Кантора, (и Дедекинда) и бесконечности потенциальной, "становящейся", незавершенной - в аксиоме Архимеда)» /31, с.26/.

Пожалуй, лучше всего передать глубину диалектического противоречия в основаниях математики позволяют исследования П.Флоренского, связанные с понятием антиномии (от греч. бнфйнпмЯб, «противозаконие»), то есть таким утверждением, в котором некоторое высказывание и его отрицание признаются равноистинными. Поскольку абсолютная истина должна включать в себя все истинные отрицания, то антиномия, согласно П.Флоренскому, есть не что иное как отражение божественного разума в человеческом рассудке. Ему же принадлежит запись символического определения антиномии:

P = (p ? - p) ? V

«Антиномия есть такое предложение, которое, будучи истинным, содержит в себе совместно тезис и антитезис, так что недоступно никакому возражению». Обозначение V (от лат. Veritas, «Истина») потребовалось ввести для того, чтобы различить определение истины от лжи (символ Л, перевернутое V), которая у П.Флоренского выражается ровно той же формулой антиномии:

Л = (p ? - p)

Поэтому философский вопрос П.Флоренского заключался в том, как отличить божественную истину от лжи, если «по своему составу Р нисколько не разнится от простого противоречия Л»? /19, с.152/ Подобно другим религиозным мыслителям, теолог и математик П.Флоренский склонялся к агностицизму и представлению об ущербности человеческого разума, неспособного разрешить данный вопрос, стало быть, отличить божественное от демонического. В то же время, П.Флоренский обнаружил зависимость этого вопроса от определения истинного понятия бесконечности как главного божественного атрибута. Восприняв учение Николая Кузанского о «сверх-рассудочной» личности Бога и учение о «трансфинитном рае» Г.Кантора, философ был вынужден согласиться, что божественный разум должен соотноситься с непостижимой уму актуальной бесконечностью, выводимой из иррациональных чисел.

Между тем, полностью отрицать потенциальную бесконечность невозможно, ибо тем самым мы будем не в состоянии дать определение актуальной бесконечности. Следовательно, при нахождении истинного понятия бесконечности, мы сталкиваемся с совмещением в скрытой аксиоме теоретико-множественной теории двух понятий о бесконечном. Продолжив размышления П.Флоренского, можно записать следующие две формулы для бесконечности актуальной, статической (?А) и бесконечности потенциальной, становящейся (?P):

?V = ?А ? ?P;

?Л = ?А ? ?P,

где (?V) - истинное понятие бесконечности, (?Л) - ложное.

То есть, либо совмещение двух понятий о бесконечности выражает собой истинное утверждение, либо оно выражает собой утверждение ложное. Если мы признаем (?V), то истинное понятие бесконечности есть такое антиномийное определение, которое включает в себя тезис о ее завершенности (?А) и антитезис о ее незавершенности (?P). Если мы признаем (?Л), то истинным понятием будет либо ?V = ?А, либо ?V = ?Р. Поскольку, отбрасывая (?P), мы делаем невозможным определение (?А), то в данном случае истинным окажется утверждение (?P).

Такая постановка задачи ровным счетом ничего не разъясняет. Для тех, кто признает (?V), приведенное выше размышление будет лишь подтверждать иррациональную природу бесконечности. Но метод П.Флоренского не исчерпывается этим неконструктивным определением истины и лжи. Признавая антиномийное определение (?V), мы выдвигаем правило, по которому признаем истинность метода антиномии в изучении бесконечности. Раз так, совмещение тезиса и антитезиса в понятии «бесконечность» будет всегда выполнимо (если оно выполняется не всегда, то говорить об истинности данного метода мы будем не вправе). Тогда, если тезис и антитезис в понятии «бесконечность» всегда совмещается, оба противоположных предложения (?V) либо (?Л) тоже будут являться антиномийным определением. Заменив между ними логическое «либо» на логическое «и», запишем:

?V1 = ?V ? ?Л;

?Л1 = ?V ? ?Л,

где предложение (?V1) означает, что истинным будет и совмещение (?А) и (?P) в (?V), и их разделение в (?Л).

Тогда актуальная бесконечность должна существовать и совместно с потенциальной в (?V), и независимо от нее в (?Л). Но определение актуальной бесконечности невозможно дать независимо от определения потенциальной, поэтому предложение о совмещении (?V) и (?Л) следует принять как ложное (?Л1).

То есть, отказываясь признавать утверждение ?V = ?Р и продолжая настаивать, что истинное понятие бесконечности есть совмещение (?А) и (?P), мы переходим к вопросу: истинно ли, что в понятии о бесконечном истина и ложь совпадают, либо такое утверждение ложно? Все остальные формулы, которые только можно вывести из этой антимонии, будут повторять вопрос о совпадении истины и лжи: (?V1 = ?V ? ?Л либо ?Л1 = ?V ? ?Л) > (?V2 = ?V1 ? ?Л1 либо ?Л2 = ?V1 ? ?Л1) > (?V3 = ?V2 ? ?Л2 либо ?Л3 = ?V2 ? ?Л2) и так далее. Тем самым, никогда не признавая ложность антиномийного определения бесконечности, мы не только утверждаем равноистинность (?А) и (?P), но имеем строгое доказательство тезиса Николая Кузанского о совпадении в понятии бесконечности противоположностей, что в теологическом смысле означает получение строгого доказательства единоипостасности божественного разума и древнего змия.

Таков водораздел между двумя определениями антиномии П.Флоренского: противозаконие позволительно назвать истиной лишь в том смысле, что оно всегда скрывает истинное значение от разума, который по тем или иным причинам не хочет или не готов его установить. Истина есть снятие антиномии и возможность освобождения от противоречий и лжи посредством совершенствования разума. Иначе, если такого освобождения не происходит, антиномия замыкает порочный круг противозакония и приводит любую систему к безумию Хаоса /32/. Бесконечная структура, которую мы получили, настаивая на равноистинности (?А) и (?P), идентична формальной записи парадокса «Лжец», причем ее построение было бы невозможно, если бы мы исключили из начала логической цепочки утверждение ?V = ?Р. Точно так же парадокс «Лжец» философа Эпименида никогда бы не возник, если бы изрекший его критянин, не имел изначально понятия о том, что такое правда. Наличие в доказательстве Г.Кантора о несчетности всех действительных чисел этой антиномийной последовательности, совмещающей в себе истину и ложь, было доказано математиком и философом Александром Зенкиным.

Если критические замечания математика Л.Брауера, физика П.Бриджмена, логика Л.Виттгенштейна (по мнению которого «диагональное доказательство Г.Кантора "вообще не имеет отношения к тому, что в логике принято называть дедукцией"» /33, с.320-323/) и других ученых, строились на интуитивном отторжении теории множеств, то А.Зенкин сумел формализовать эту критику и показать, в чем именно проявляется логическая недостаточность доказательства несчетности, с помощью которого Г.Кантором было сделано умозаключение о необходимости введения актуальной бесконечности. В статье «Ошибка Георга Кантора», опубликованной в журнале «Вопросы философии», А.Зенкин привел доказательство несчетности в полное соответствие с дедуктивной системой, то есть такой системой, в которой каждое предложение выводится из конечного набора правил, взятых в качестве начальных условий доказательства /34, с.165-168/.

Рисунок 14 - Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор

Доказательство счетности всех действительных чисел, которое привел А.Зенкин, имеет силу не только в применении к диагональному методу Г.Кантора. Из начальных условий произвольности выбора эталона длины и потенциально-бесконечного пересчета действительных чисел любой одномерный объект, например, разорванную окружность, можно представить на числовой прямой единичным отрезком /35, с.162/. То же можно сказать о множествах, которые образованы эталонами и соответствующими им объектами других размерностей (из любой площади можно построить площадь произвольного двухмерного эталона, или единичного квадрата, из любого объема можно построить трехмерный эталон, или единичный куб, и т.д.). Доказательство Г.Кантора имело бы смысл, если бы рассмотренные им квадрат и диагональ действительно имели актуально-бесконечные размеры, такие что построение квадрата еще бьльших размеров оказалось бы невозможно. Но задача на построение такого квадрата внутренне противоречива, так как процесс построения актуально-бесконечного квадрата не может быть завершен, а значит, такой геометрической фигуры не существует.

Вслед за публикацией профессором А.Зенкиным доказательства теоремы Аристотеля «Infinitum Actu Non Datur» представителями теоретико-множественного направления были сделаны многочисленные словесные заявления, призванные высмеять математика и обвинить его в непрофессионализме. Но все эти заявления не были подкреплены математическими результатами: никто из профессиональных математиков не опровергнул истинность потенциальной бесконечности, никто не разрешил проблему континуума Г.Кантора, никто не нашел ошибку в рассуждениях К.Гёделя и П.Коэна, доказавших, что проблема континуума не может быть разрешена в рамках принятой системы аксиом Цермело-Френкеля. В качестве новых результатов были предложены, работы замечательного математика А.Френкеля /27, с.12/, написанные задолго до появления доказательств П.Коэна и не содержащие никакого анализа исследований А.Зенкина, который с доказательством П.Коэна был знаком и совершенно не хотел признавать истинность актуальной бесконечности лишь для того, чтобы «полностью отказаться от научно-обоснованных программ и вернуться к почти инстинктивному уровню, сродни тому, на котором человек впервые начинал думать о математике».

Наиболее показательная научная дискуссия двух уважаемых ученых, состоялась на страницах журнала «Вопросы философии». Доктор философских наук Я.В.Шрамко, ссылаясь на авторитет таких математиков, как Г.Кантор, А.Френкель, и символического логика В.Ходжеса, доказывал, что А.Зенкин всего лишь использовал известную слабость доказательства от противного, тогда как, помимо негативной формулировки теоремы Г.Кантора, имеется эквивалентная ей позитивная формулировка, которая была доказана в соответствии со всеми правилами формальной логики. Но, как заметил А.Пуанкаре, формально безупречное доказательство может содержать ряд скрытых аксиом, приводящих к противоречиям. На существование таких аксиом в доказательстве Г.Кантора, или так называемых «фигур умолчания», пытался обратить внимание в ответной статье А.Зенкин /34, с.157-169/. По его мнению, если позитивная и негативная формулировки теоремы Г.Кантора эквивалентны, то опровержение одной из них должно было означать опровержение другой. Но в этом-то как раз и состояла вся сложность; как совершенно справедливо указывал Я.В.Шрамко, «центром тяжести» в теореме Г.Кантора выступает диагональный метод, который, в свою очередь, опровергнуть нельзя, ибо в нем верно отражаются свойства иррационального числа v2. Если бы диагональный метод можно было опровергнуть, то это сделал бы еще Г.Кантор, который размышлял над ним не меньше других математиков и, в конце концов, пришел к выводу, что «трансфинитные числа стоят или падают вместе с конечными иррациональными числами. По своему внутреннему существу они подобны друг другу, ибо как те, так и другие суть определенно отграниченные образования или модификации (ЬцщсйумЭнб) актуально бесконечного» /25, с.284/.

В этом смысле принципиальная и открытая позиция Я.В.Шрамко вполне понятна, потому что он защищал математические традиции в не меньшей степени, чем А.Зенкин. Причем традиции, которые сложились задолго до того, как Аристотелем была сформулирована теорема «Infinitum Actu Non Datur», которые восходят к пифагорейским, древнеегипетским и ведическим мистериям, суть которых состоит в архаичной трансформации теории несоизмеримости.

Можно соглашаться или не соглашаться с геометрией, в которой признается только аксиома измерения Евдокса-Архимеда, но в такой геометрии находят свое разрешение фундаментальные математические проблемы. Прежде всего, выявляется некорректность теоремы о несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, которая многие века использовалась в математике, по сути дела, без доказательства, то есть в виде одной из скрытых аксиом геометрии. Наличие в античной науке теории несоизмеримостей привело Аристотеля к мысли о разделении геометрии и арифметики, поэтому с устранением проблемы несоизмеримости решается задача А.Френкеля о снятии через единое понятие числа противоречия между арифметикой и геометрией. Вместе с тем, обнаруживается противоречие в аксиомах арифметики, о котором интуитивно догадывался Д.Гильберт. Признание доказательства теоремы о несоизмеримости означает признание того, что с помощью возведения в квадрат сократимой дроби можно получить несократимую, а возведением в квадрат непериодической дроби получить периодическую.