Протологика: новый взгляд на природу логического

Размещено на http://www.allbest.ru/

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ РАН

На правах рукописи

09.00.07 - логика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

доктора философских наук

ПРОТОЛОГИКА: НОВЫЙ ВЗГЛЯД НА ПРИРОДУ ЛОГИЧЕСКОГО

Шалак Владимир Иванович

Москва - 2010 г.



Работа выполнена в секторе логики Института философии РАН

Официальные оппоненты:

Доктор философских наук, профессор Бахтияров Камиль Ибрагимович

Доктор философских наук Герасимова Ирина Алексеевна

Доктор физико-математических наук, профессор Непейвода Николай Николаевич

Ведущая организация: Кафедра логики Философского факультета Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 10 июня 2010 г. в 15-00 часов на заседании Диссертационного совета Д.002.015.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора философских наук при Институте философии РАН по адресу: 119992, Москва, ул. Волхонка, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института философии РАН

Автореферат разослан 2010 г.

И.о. ученого секретаря диссертационного совета Доктор философских наук /Киященко Л.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Логика интересует философов не сама по себе, а с точки зрения тех познавательных функций, которые она помогает реализовывать. Более ста лет назад был поставлен вопрос о необходимости перехода к новой логике, которая позволила бы решить ряд проблем, накопившихся в математике и точном естествознании. Выразительных возможностей предшествующей традиционной логики, началами которой мы обязаны Аристотелю, было явно недостаточно для представления назревших научных идей. Основания современной символической логики были заложены в трудах Дж.Пеано, Ч.Пирса, Г.Фреге, Б.Рассела. Казалось, развитию логики был дан новый мощный импульс, но парадоксальным образом именно с тех пор тема ее оснований не перестает обсуждаться в специальной литературе, и все последующее развитие логики так или иначе связано с их методической критикой. Результатом этого стал системный кризис, который переживает логика в настоящее время. Как иначе объяснить то, что через две с половиной тысячи лет после возникновения логики и через сто лет после ее реформирования ученые все чаще задаются вопросом, что же это все-таки за наука? Bйziau J.-Y. What is "formal logic"?, Revista Brasileira de Filosofia, 232 (2009); Gabbay, D. M. What is a Logical System?, Clarendon, Oxford, 1994.- P.454; Wang Hao What is logic? // The Monist. Vol. 77. N 3. 1994. - P. 261-277; Hacking I. What is logic? // The Journal of Philosophy. Vol. 76. N 6. 1979. - P.285-319; Feferman S. Logic, logics, and logicism // Notre Dame Journal of Formal Logic, V.40, №1, 1999.- P.31-54; Карпенко А.С. Логика на рубеже тысячелетий // Логические исследования. Вып.7 - М.: Наука, 2000. - с. 7-60. Предлагаемое диссертационное исследование как раз и посвящено поиску ответа на вопрос о глубинной природе логики.

Следует отметить, что по времени нарастание кризисных явлений в логике совпало с переходом от классической науки к неклассической. Если основания традиционной логики в целом достаточно хорошо соответствовали идеалам классической науки, то неклассическая наука естественным образом потребовала пересмотра и переосмысления многих исконно логических понятий. Это, в конце концов, привело к тому, что не осталось ни одного логического принципа, которого не коснулась бы тень сомнения. Существуют ли логические законы? Имеет ли логика право налагать какие-либо ограничения на свойства предметной области еще до того, как они будут обнаружены и исследованы? Понятие истины и понятие следования перестали быть связующей основой логики, превратившись в технические средства задания логических систем. Спектр возможных истинностных значений протянулся от двух значений классической логики до континуума многозначной логики и расплывчатых значений нечеткой логики. Новые методы логико-математического анализа привели к дальнейшему размножению логических систем. Логика потеряла свой нормативный характер, без которого это уже совсем другая наука, и для нее можно было бы придумать другое название, а не использовать старое, привнося в него чуждый смысл.

Логика в ее современном виде перестала быть универсальным инструментом интеллектуального познания, превратившись всего лишь в набор методов, используемых в различных науках. Вригт Г.Х. фон «Логика и философия в XX веке» // Вопросы философии. №8. 1992. - с. 80-91. Это говорит о том, что реформа логики на рубеже XIX-XX в. так и не была завершена, и те конструкции, которые все еще считаются лежащими в ее основании, на самом деле таковыми не являются. Без ответа на главный вопрос о природе логического эта наука рискует и вовсе прекратить свое существование.

Степень разработанности проблемы. На протяжении XX в. обращение к теме оснований логики принимало разные формы. Если сначала это была критика существующих основоположений логики Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. - М.: Наука, 1989. - 264 с.; Јukasiewicz, J. O logice trґowartoґsciowej // Ruch Filozoficzny 1920, 6: P.170-171; Brouwer L.E.J. Intuitionism and Formalism // Bulletin of the American Mathematical Society, V.20, 1908. - p.81-96; Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Математический сборник. Т. 4. № 2. 1938. - с. 287-308. и выяснение границ ее применимости Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. - М.: Наука, 1982. - 560 с.; Tarski A. Logic, Semantics, Metamathematics. Papers from 1923 to 1938. - Oxford, 1956. - 472 p.; Gцdel K. On Undecidable Propositions of Formal Mathematical Systems (Princeton. Lectures, 1934) // Davis M., ed. The Undecidable. - New York: Raven Press, 1965. - p. 41-71., на смену этому пришли поиски альтернатив в лице релевантных, паранепротиворечивых, диаграммных и пр. логик, которые не столько помогали приблизиться к решению проблемы, сколько усугубляли кризис, умножая и без того большое число различных логических систем. Ответ на вопрос об основаниях логики следовало искать на более высоком, выходящем за привычные рамки уровне абстракции. В последние десятилетия такие исследования стали появляться. Gabbay, D. M. Labelled Deductive Systems, vol. 1, Clarendon, Oxford, 1996. - P. 497.; Bйziau J.-Y. 13 Questions about universal logic”, Bull. of the Section of Logic, 35 (2006), pp.133-150. Весьма интересны работы, проводимые Ж.И.Безьё под лозунгами универсальной логики.

Как известно, Бурбаки предложил представлять математику как науку о трех фундаментальных видах структур: алгебраических, топологических и порядковых. Логике при этом отводилась роль частного представителя алгебраических структур. Ж.И.Безьё выразил намерение оспорить такое отношение к логике и показать, что ей соответствует особый четвертый вид структур - логических.

Универсальная логика - это не очередная логическая система. Она находится в таком же отношении к конкретным логикам, как универсальная алгебра к конкретным алгебрам. Если универсальная алгебра - это некоторое множество с некоторыми никак не специфицированными функциями над ним, то универсальная логика - это абстрактное множество формул со столь же абстрактным отношением выводимости, на которое не налагаются никакие конкретные ограничения. Ж.И.Безьё показал, что фундаментальное с математической точки зрения понятие изоморфизма структур не решает задачи выделения эквивалентных универсальных логик. Но это как раз и означает, что логика не сводима к обычным математическим структурам.

Исследования в рамках универсальной логики не исключают возможности существования и других подходов к проблеме. Ж.И.Безьё идет по пути прямого обобщения уже известных логических структур. Такой подход вполне правомерен, но не дает ответа на очень простой вопрос, почему мы изначально относим эти структуры к логическим? Без ответа на него результат обобщения может оказаться ошибочным.

Цель и задачи исследования. Общий план исследования выглядит следующим образом. Мы начнем с определения того, что будем понимать под логикой. После этого в подтверждение кризисного состояния современной логики рассмотрим основные трансформации, которые претерпели основоположения логики на протяжении последних двух с половиной тысяч лет. Это касается понятия логического закона, понятия истины, понятия логического следования. Поскольку на рубеже XIX-XX в. произошел переход от традиционной логики к символической, что было связано с появлением новых методов логического анализа, им также должна быть дана оценка. логика закон истина следование

Считается, что логика лежит в основании других наук. Но в этом случае мы должны дать хоть какое-то объяснение известному несоответствию между слабыми выразительными возможностями языка традиционной логики и богатейшими достижениями точных наук, полученными без всякой видимой опоры на нее. Чтобы не прибегать к помощи понятия интуиции, мы попытаемся дать ответ в терминах особых протологических структур как носителей логического.

Если логика понимается нами как интеллектуальная познавательная деятельность, осуществляемая с помощью языка, то основания протологики мы попытаемся обнаружить на более высоком уровне абстракции языка как знаковой системы. Это и станет отправной точкой в исследовании протологики.

Следующая задача, которую необходимо решить, - выделение элементов, из которых складывается протологика. Центральным понятием, вокруг которого будет строиться протологика, должно стать понятие протологического следования.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

Доказана теорема о том, что язык логики первого порядка с функциональными символами и единственным предикатом равенства не уступает по своим выразительным возможностям полному языку логики предикатов первого порядка с равенством.

Доказана теорема о том, что язык логики первого порядка с функциональными символами и одноместными предикатными символами не уступает по своим выразительным возможностям полному языку логики предикатов первого порядка с равенством.

Показано, что расширение языка традиционной логики функциональными символами приводит к значительному увеличению ее выразительных возможностей.

Дано определение понятия протологического следования в применении к языку как знаковой системе.

Введено понятие лингвистического априоризма.

Определено понятие дефинициальной логики, задаваемой единственным правилом устранения определений.

Доказан ряд теорем об отношении дефинициальной и комбинаторной логики.

Доказана теорема об определимости в дефинициальной логике рекурсивных функций.

Введено понятие определения через неподвижные точки.

Определено понятие протологики.

Доказан ряд теорем об отношении протологики и комбинаторной логики.

Определено понятие логико-лингвистической вычислимости.

Проанализировано соотношение дефинициальной логики, л-исчисления и комбинаторной логики.

В качестве примеров теорий на основе протологики построена протобулева логика и теория квантитативных рассуждений.

Научная новизна работы. Основные результаты, выносимые на защиту. Новизна подхода заключается в том, что решение поставленных логических задач предлагается искать на уровне абстрактной теории знаков. Для этого понадобилось сформулировать ключевое понятие протологического следования и исследовать его свойства.

Были получены следующие новые результаты, выносимые на защиту:

Выразительные возможности языка логики предикатов первого порядка практически не отличаются от выразительных возможностей языка первого порядка с единственным предикатом равенства и функциональными символами.

Выразительные возможности языка логики предикатов первого порядка практически не отличаются от выразительных возможностей языка функциональных символов и одноместных предикатов.

На уровне абстрактной теории знаков существуют богатые по своим выразительным возможностям структуры, которые могут быть отнесены к логике.

Детерминационные связи, существующие между выражениями языка в силу одной лишь их знаковой природы, налагают ограничения на возможные способы оперирования ими. Будучи независимыми от возможных интерпретаций языка, они могут рассматриваться как основа протологических рассуждений.

Первый вид связей между выражениями языка имеет место в силу их иерархической композициональной структуры.

Второй вид связей обусловлен существованием традиционно относимой к логике операции определения-сокращения, побочным эффектом которой является введение новых абстрактных объектов мысли.

Идеальная знаковая деятельность логического субъекта, осуществляемая на уровне протологических связей между выражениями языка, уже содержит в себе все необходимые элементы эффективной вычислимости.

Теоретическое и практическое значение диссертации. Теоретическая значимость работы заключается в новом взгляде на основания логики, более тесной их связи с теорией знаков. Это может послужить отправным пунктом для дальнейших исследований в данной области.

Отдельным и в определенном смысле независимым результатом является переоценка отношения между традиционной и современной логикой, и роли в науке понятия функциональной связи.

Результаты работы могут найти применение в учебном процессе при подготовке спецкурсов по логике и ее основаниям, предназначенных для студентов и аспирантов высших учебных заведений.

Логико-лингвистическое уточнение понятия вычислимости может быть использовано не только в теоретических целях, но и при проектировании языков для систем искусственного интеллекта.

Апробация работы. Проблематика диссертационного исследования неоднократно обсуждалась на научно-исследовательском семинаре сектора логики Института философии РАН, на научном семинаре кафедры логики философского факультета МГУ, на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и математической логики ТвГУ, на заседании научного семинара МГУ по основаниям математики, на заседании научного семинара для аспирантов мехмата МГУ.

Ряд результатов исследования был доложен на международных конференциях «Смирновские чтения» (Москва, 1999, 2003, 2007, 2009) и на международных конференциях по современной логике (С-Петербург, 2000, 2006, 2008).

Основные результаты диссертационного исследования отражены в научных публикациях автора, в том числе в двух монографиях «Логический анализ сети Интернет» и «О понятии логического следования».

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы исследования, характеризуется степень ее разработанности, формулируются цели и задачи работы, ее методологические основы, перечисляются положения диссертации, выносимые на защиту, указывается научная новизна полученных результатов, их теоретическая и практическая значимость, апробация полученных результатов.

ПЕРВАЯ ГЛАВА - «О логике и ее основаниях» - посвящена рассмотрению основных симптомов кризисного состояния современной логики.

Для подавляющего большинства тех, кому знаком этот термин, логика ассоциируется со строгостью и правильностью мышления. К такому пониманию близок смысл многих ее определений. Коль скоро мы обнаруживаем у себя способность к абстрактному мышлению, мы заинтересованы и в существовании «нормативной науки о формах и приемах интеллектуальной познавательной деятельности, осуществляемой с помощью языка» Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. Учебник. М.: Космополис, 1994. С.9.. Эта наука нужна нам для того, чтобы всякий раз, когда приходится вторгаться в сферу непознанного, она служила нашим интеллектуальным проводником, уберегая от ненужных ошибок.

Косвенные свидетельства существования регулярных форм и приемов интеллектуальной деятельности мы обнаруживаем практически во всех очагах человеческой культуры - Древнем Египте, Вавилоне, Китае, Индии, а возникновение логики как науки связываем с относительно коротким периодом в истории Древней Греции. В трудах Аристотеля впервые было изложено целостное логическое учение, включавшее в себя теорию понятий, теорию определений, теорию суждений, теорию доказательств и теорию правдоподобных рассуждений. Несколько позже в него были включены достижения других философских школ, и уже в средние века оно преподносилось как вполне законченный канон научной аргументации.

Отсутствие на протяжении длительного времени видимого прогресса в логике вовсе не означало, что не было получено никаких результатов. Это было время «вызревания отдельных идей» Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967. С.112.. Дальнейшее развитие получили теория модальностей, теория логического следования, теория семантических парадоксов и др. Прогресс логики, как и прогресс математики, в значительной степени тормозился из-за отсутствия удобной символики. Скачок в развитии логики произошел на рубеже XIX-XX вв. благодаря трудам таких ученых как Дж. Пеано, Ч. Пирс, Г. Фреге, Б.Рассел, когда на смену традиционной пришла современная символическая логика. Парадоксальным образом, но ее дальнейшее бурное развитие происходило одновременно с коренной ревизией собственных оснований, и к концу XX века все настойчивее стал звучать вопрос, что есть логика?

Параграф первый - «Законы логики». Идея законов логики неразрывно связана с высказанной две с половиной тысячи лет назад идеей объяснения всего многообразия окружающего нас мира исходя из небольшого набора принципов. Лишь умопостигаемое бытие, а не данные органов чувств, обладает действительной реальностью.

Умопостижение окружающего мира представлялось возможным при условии, если мысли следовали законам бытия. Законы логики суть наиболее общие законы бытия. С учением Парменида о едином, неизменном, вечном и неподвижном бытии связывают логический закон тождества в его метафизическом истолковании, с которым, в свою очередь, «связано метафизическое истолкование закона противоречия как невозможности для вещи в одно и то же время в одном и том же отношении обладать противоречащими друг другу определениями» Ахманов А.С. Логическое учение Аристотеля. М.: Едиториал УРСС, 2002. С.20.. Нельзя познать бытие, если мыслить с нарушением его законов.

У высказанной в таком виде идеи законов логики были и слабые стороны. Достаточно иметь другой взгляд на начала бытия, и законы логики рушатся. В числе тех, кто выступал против Парменида, был Гераклит из Эфеса. Он отрицал неподвижность бытия, утверждая, что мир изменчив. Этого было достаточно, чтобы отрицать закон тождества и закон противоречия в их онтологической интерпретации.

Потребовалось пройти более чем двум тысячелетиям, чтобы законы логики были поставлены под сомнение. В том же городе и в том же университете, где впервые увидела свет «Воображаемая геометрия» Н.И.Лобачевского, была предпринята попытка пересмотра законов логики. Создателем неаристотелевой логики в 1910 г. стал приват-доцент кафедры философии Казанского университета Н.А.Васильев. Уже в первой своей логической работе, проводя различие между суждениями о фактах и суждениями о понятиях, он приходит к выводу, что для суждений о понятиях «закон исключенного третьего вовсе не есть логический закон, равноправный с логическими законами тождества, противоречия и достаточного основания, обнимающими всю сферу логики и мышления» Васильев Н.А. О частных суждениях, о треугольнике противоположностей, о законе исключенного четвертого // Воображаемая логика. Избранные труды. М.: Наука, 1989. С. 49.. Основанием для отрицания логического статуса закона исключенного третьего явилось его невыполнение для суждений о понятиях, поскольку логические законы, по мнению Н.А.Васильева, должны обнимать всю сферу логики и мышления. В следующих его работах речь идет уже напрямую о воображаемой логике, построенной по примеру воображаемой геометрии Н.И.Лобачевского.

Прошло совсем немного времени, и появилась квантовая механика - описание физического мира, в котором нарушаются законы классической логики. Два истинных порознь высказывания могут оказаться несовместимыми в мире, подчиняющемся законам квантовой механики. С точки зрения классической логики, это нонсенс. Вместе с несовместимостью некоторых истинных высказываний в квантовомеханическом мире нарушаются и другие казавшиеся ранее незыблемыми законы логики.

Первый серьезный шаг в разрушении устоявшихся взглядов на незыблемость оснований логики и ее законов был сделан. За ним последовали другие. Хотя термин «законы логики» все еще продолжают употреблять, но смысл его зачастую трудноуловим. Количество возможных логических систем сравнялось с континуумом. Одновременно с этим удивительным образом стал ускользать и смысл того, что такое логика?

Параграф второй - «Понятие истины». Вторым столпом логики является понятие истины. Его роль в логике не сводится к одному лишь известному классическому определению истинности, а имеет глубокие философские корни. Истина - это не просто соответствие содержания мысли и реальности, но и ценностный идеал знания. Мы переняли и сохранили это ценностное отношение к идее Истины. Нет ничего удивительного в том, что именно эта идея была положена в основание логики и стала ее связующей основой.

Простота классического определения истинности настолько подкупает, что кажется, будто и логика, построенная на нем, должна быть идеальной. Однако не все так просто.

Признавая существование изменяющегося мира явлений, Аристотель, по причине неприменимости к нему понятия истины, ограничивает предмет познания, а тем самым и сферу применимости логики, одним лишь неизменным.

Если законом противоречия в рассуждениях пользовались задолго до Аристотеля, то ясную формулировку закона исключенного третьего мы находим именно у него. Аристотель не только сформулировал этот закон, но и сам же обнаружил его неприменимость к высказываниям о будущих событиях, поскольку в противном случае из него вытекало бы нежелательное следствие - логический детерминизм. Как и в случае изменяющегося мира явлений, Аристотель не находит лучшего выхода, чем просто ограничить сферу применимости этого закона. Последующие попытки каким-либо образом разрешить эту проблему и сделать закон исключенного третьего универсальным успехом не увенчались Карпенко А.С. Фатализм и случайность будущего: Логический анализ. М.: Наука, 1990. 214 с..

Еще одним шагом в разрушении оснований логики стало увеличение числа истинностных значений, которые могут иметь предложения языка. Этот шаг был сделан Я.Лукасевичем Јukasiewicz, J. O logice trґowartoґsciowej // Ruch Filozoficzny 1920, 6. P.170-171.. Поводом для столь радикального изменения взглядов на понятие истинности послужили не умозрительные предположения, а анализ проблемы, связанной с высказываниями о будущих событиях. Допуская, что высказывание «Завтра произойдет морское сражение, или не верно, что завтра произойдет морское сражение» истинно, поскольку имеет форму закона исключенного третьего, но в то же время ни высказыванию «Завтра произойдет морское сражение», ни высказыванию «Не верно, что завтра произойдет морское сражение» сегодня не может быть приписана ни истина, ни ложь, так как это означало бы логический детерминизм, Аристотель нарушает им же самим провозглашенный принцип двузначности. Согласно Я.Лукасевичу, проблема логического детерминизма в рассматриваемом случае могла быть решена, если допустить, что помимо истины и лжи существуют и другие значения, которые могут принимать предложения. Так возникла первая трехзначная логика.

Всего лишь через 9 лет после появления трехзначной, Я.Лукасевичем была построена бесконечнозначная логика. Возможность строгого построения многозначных логик и их применение для решения конкретных познавательных задач сразу привлекли к себе внимание. Кроме Я.Лукасевича, у истоков нового направления исследований стояли такие ученые как Э.Пост и Д.Бочвар.

Появление все новых и новых многозначных логик помимо кажущегося расширения творческого горизонта имело и обратную сторону. Стал теряться смысл истинностных значений и того, что мы называем логическими связками.

Размывание понятия истины в логике происходило не только по пути увеличения истинностных значений. Претерпел изменения первоначально простой смысл аристотелевского «говорить о том, что сущее есть и не-сущее не есть, - значит говорить истинное». Истину стали различать в зависимости от способа ее установления, стали допускать как отсутствие истинностного значения у предложений, так и одновременное приписывание нескольких значений. Рядом с корреспондентской теорией истины появились когерентная, прагматическая, дефляционная и другие теории. Понятие истины стало играть в логике все более и более техническую роль, далеко не всегда допускающую содержательное истолкование.

Параграф третий - «Логическое следование». Ассоциируя логику с правильным мышлением, под этим чаще всего подразумевают умение правильно рассуждать. Но что есть правильное рассуждение? Чем отличается правильное рассуждение от неправильного?

Внутренняя структура простых суждений получает у Аристотеля онтологическое обоснование. Мир состоит из вещей, которым присущи или не присущи те или иные свойства. Посредством простых суждений на уровне языка и его употребления мы всего лишь воспроизводим это строение. Лишь истинные суждения отражают действительное строение мира. Следующий шаг - это переход от одних суждений к другим. Доказательство состоит из посылок и цепочки умозаключений. Посылки могут быть как истинными, так и ложными. Из ложных посылок могут следовать как истинные, так и ложные заключения. Но вот из истинных посылок должны следовать лишь истинные заключения, и лишь такое доказательство является научным.

Мало у кого возникали сомнения в том, что обоснованием логически правильных рассуждений является переход от истинных посылок к истинным заключениям. За этим стояли глубокие философские системы древности. Для Платона целью познания является мир вечных и неизменных идей, который один лишь обладает действительным бытием. Рассуждения, которые происходят с нарушением законов мира идей, с нарушением законов Истины, уводят нас в мир изменчивых явлений и потому недопустимы.

Для Аристотеля целью познания является познание вечных форм. Лишь относительно вечных форм могут быть высказаны истинные суждения. Научный силлогизм понимался им как переход от безусловно истинных посылок к истинным заключениям. Такой переход гарантировал, что знание, получаемое путем дедукции из исходных посылок, будет знанием о вечном.

Такое понимание следования не подвергалось сомнению. Это продолжалось вплоть до середины XIX в., когда стали появляться математические теории, говорить об истинности которых в прежнем смысле стало затруднительно. Обоснование логического следования в терминах сохранения истинности от посылок к заключениям начало терять смысл. Каким может быть обоснование рассуждений в геометрии Евклида в сравнении с геометрией Н.Лобачевского?

Понятие истинности в отношении математических теорий начало терять свой первоначальный смысл: «”математическая истина” пребывает исключительно в логической дедукции из посылок, произвольно установленных аксиом» Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. С.28.. В 1936 г. А.Тарский предложил строгое уточнение отношения логического следования, как семантического обоснования правильных рассуждений. Он вполне осознавал трудность поставленной задачи, но вместо того, чтобы предложить свое философское обоснования предлагаемого определения, всего лишь ссылается на согласованность с определением, которое ранее дал Р.Карнап, на «определенные рассуждения интуитивного свойства» и на складывающееся у него «впечатление», что все правильно. В результате предложенное А.Тарским определение логического следования явилось всего лишь механическим переносом старого аристотелевского определения в новый философский контекст. Если для Аристотеля доказательство исходит из безусловно истинных посылок и потому является познавательной процедурой, то для А.Тарского следование всего лишь способ связывания предложений в одну цепочку. Но в этом случае понятие истины при обосновании логического следования теряет свою исключительность, и вместо него могут быть использованы другие понятия.

Параграф четвертый - «Метод формализации». Первый шаг на пути к формализации логики сделал Аристотель, когда при изложении теории силлогистического вывода для обозначения общих имен стал использовать переменные. С тех пор одной из плодотворных тенденций развития логики была разработка и введение в нее специальной символики. Достаточно открыть любой том «Principia Mathematica», чтобы убедиться, какая большая работа в этом направлении была проделана.

В знаменитом выступлении на Международном математическом конгрессе 1900 г. Д.Гильберт сформулировал список из 23 наиболее важных проблем. На втором месте в этом списке стояла задача прямого доказательства непротиворечивости анализа.

В поисках способов решения данной задачи Д.Гильберт пришел к идее метаматематики - науки, объектами изучения которой должны были стать сами математические доказательства. Метод формализации требует выявления используемых понятий и представления их в строго заданном языке. Метод аксиоматизации требует представления исходных положений теории в виде набора аксиом. Если задан язык, заданы аксиомы и заданы правила вывода, то появляется возможность отождествить теорию с множеством ее теорем. Это в свою очередь позволяет поставить на прочную математическую основу изучение отношений между различными логиками и теориями.

Варьируя множество исходных аксиом и правил вывода, мы получаем различные теории. В 1932 г. К.Гёдель показал, что между интуиционистской и классической логикой, понимаемых как множества теорем, существует еще, по крайней мере, счетное множество промежуточных логик, получивших название суперинтуиционистских. Позже было доказано, что таких логик даже не счетное множество, а континуум. Сначала этот результат поразил воображение, но прошло немного времени, и сегодня метатеоремами о континуальности расширений или о континуумах промежуточных логик никого уже не удивишь. Здравый смысл подсказывает, что на самом деле это не логики в старом добром смысле, а просто дедуктивно замкнутые множества формул. Но где критерий, чтобы отличить одно от другого? Если логика понимается как наука о должном, и мы хотели бы сохранить такое понимание, то не может быть даже двух различных логик.

К логике предъявляется естественное требование быть свободной от произвольно принятых допущений. Стремление удовлетворить этому требованию очень часто принимает форму перебора всех возможных вариантов. Так появляются многочисленные приспособленные на все случаи жизни логики, между которыми трудно осуществить осмысленный выбор.

Параграф пятый - «Классическая логика». Среди множества логик существует одна, которая занимает выделенное место. Речь идет о классической логике предикатов первого порядка. Основанием для особого отношения к ней является простота языка, простота интерпретации логических связок, простота стандартной реляционной семантики, а также ряд полезных свойств, которыми она обладает.

Однако язык логики предикатов налагает жесткие ограничения на способы выражения мысли. Мир, который можно описать с помощью этого языка, принципиально статичен. Чтобы рассуждать о пространстве, мы должны мыслить его в виде совокупности точек, находящихся друг с другом в тех или иных отношениях, но никак внутренне не связанных между собой. Время и движение на языке логики предикатов можно представить лишь кинематографически, как последовательность кадров, последовательность мгновенных состояний. Никакой внутренней связи между этими кадрами нет, она постулируется лишь внешним образом как некоторое отношение раньше-позже. Иллюзии течения времени и движения возникают лишь за счет частоты смены кадров.

Для классической логики предикатов построено несколько типов семантики, но наиболее прозрачной является реляционная. В ней индивидные переменные пробегают по элементам универсума рассуждения, предикатным символам сопоставлены отношения на элементах универсума рассуждения, функциональным символам сопоставлены функциональные отношения.

Канторовский рай в математике, культивируемые навыки мыслить в рамках теоретико-множественной парадигмы могут служить тормозом развитию науки. В подтверждение сказанному приведем пример из недавней истории математики, который хорошо известен, но недостаточно оценен логиками и методологами науки.

Одним из крупных достижений математики XX в. было создание комбинаторной логики Шейнфинкеля-Карри Schцnfinkel M. Ьber die Bausteine der mathematischen Logik // Mathematische Annalen, 92 (1924), S.305-316., Curry H.B. Grundlagen der kombinatorischen Logik // American Journal of Mathematics. V.52, P.509-536, P.789-834. и л-исчисления А.Чёрча Church A. The Calculi of Lambda-Conversion // Annals of Mathematical Studies. 1941, №6. 82 p.. Произошло это в конце 20-х - начале 30-х гг., а осознание их огромного значения для науки стало приходить лишь сейчас. Одной из целей построения этих исчислений был поиск новых функциональных оснований математики.

Если теоретико-множественное представление функций является экстенсиональным, то в л-исчислении они трактуются интенсионально, как некоторые предписания. Привычное со школьной скамьи представление функций в виде формул является примером вычислительного предписания, а л-исчисление - это формализованная теория оперирования такими предписаниями. В 1936 году А.Чёрч средствами чистого л исчисления получил результат, который принес ему широкую известность. Он доказал существование неразрешимых проблем, откуда следовала неразрешимость арифметики и неразрешимость исчисления предикатов первого порядка. Результат о л определимости арифметических функций позволил А.Чёрчу сформулировать знаменитый тезис о том, что класс всех функций, которые вычислимы с интуитивной точки зрения, совпадает с классом функций, определимых в л исчислении. В 1937 году А.Тьюринг доказал, что класс л определимых функций совпадает с классом функций, определимых в его собственном формализме Turing, A.M. On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem // Proceedings of the London Mathematical Society, series 2, 42 (1936-37), P. 230-265..

Предложенное А.Тьюрингом строгое уточнение понятия механического вычисления не вызывало никаких претензий. Можно было сомневаться лишь в том, действительно ли любое механическое вычисление может быть промоделировано с помощью машин Тьюринга, но сомнений в том, что это действительно вычисления, не было. Результат А.Тьюринга 1937 года по своей сути является доказательством полноты л-исчисления относительно его собственного формализма. Таким образом, л-исчисление получило очень хорошую вычислительную семантику, сомнений в надежности которой просто не существовало. Результаты о неразрешимости арифметики и исчисления предикатов первого порядка сразу стали широко известны и должны были бы привлечь к л-исчислению особое внимание математиков и логиков. Но этого удивительным образом не произошло. Подавляющее большинство математической общественности просто игнорировало л-исчисление и связанную с ним комбинаторную логику. Причина оказалась на удивление простой.

К тому времени теория множеств уже начала свое победное шествие как универсальный язык математики. Теоретико-множественная парадигма гласила, что все математические понятия могут и должны быть записаны на языке теории множеств, а то, что нельзя представить в этом языке, к математике имеет лишь весьма опосредованное отношение. Оказалось, что для л-исчисления нельзя построить стандартную теоретико-множественную семантику, в которой л-термы интерпретировались бы теоретико-множественными функциями. Еще раз подчеркнем, что л-термы уже имели прекрасную функциональную интерпретацию в терминах машин Тьюринга, но не имели таковой в терминах теории множеств. Развитие л-исчисления тормозилось лишь по той причине, что оно не имело удовлетворительной интерпретации в теории множеств. И это несмотря на то, что с его помощью был получен целый ряд важнейших математических результатов.

Та интерпретация функциональных символов, которая принята в реляционной семантике логики предикатов, не позволяла построить модель для л-исчисления. Лишь в 1969 г., занимаясь построением теории вычислений высших порядков, Д.Скотт обнаружил, что может построить модель для безтипового л-исчисления, которая в каком-то смысле может пониматься как функциональная. Элементами этой модели являются не функции в обычном смысле, ибо это как было, так и остается невозможным в рамках ZF, а бесконечные последовательности специально построенных функций. Затем были построены и другие, более простые, модели. Сразу после того, как математики получили хоть и сложную, но все-таки теоретико-множественную модель л-исчисления, количество работ по данной тематике резко увеличилось.

Урок, который следовало бы извлечь из этой истории, заключается в том, что претензии теории множеств на гибкость и универсальность являются не более чем претензиями. Ограничения, принимаемые в теории множеств, могут вступать в конфликт с запросами познавательной практики. История с л-исчислением в каком-то смысле разрешилась, но никто не может дать гарантии, что другие ценные идеи не были или не будут отброшены лишь потому, что они невыразимы в стандартных теоретико-множественных терминах, и по одной этой причине кажутся ошибочными. Вывод, который необходимо сделать, очевиден. Логика не должна налагать никаких ограничений ни на язык, ни на модели изучаемой реальности.

Параграф шестой - «Наука без логики». В работах, связанных с историей науки, часто можно встретить утверждения о том, что появление во времена Древней Греции понятий доказательства и дедуктивного метода привело к ускорению развития науки и в первую очередь математики. В подтверждение этому приводят математические достижения, связанные с именами Пифагора, Теэтета, Евдокса, Евклида, Архимеда, Аполлония, Диофанта и др. Однако эти примеры сами по себе ничего не доказывают. Совершенно не понятно, о каком понятии доказательства идет речь? Мы прекрасно знаем, что выразительных возможностей языка аристотелевской логики совершенно не достаточно для того, чтобы в нем могли быть представлены действительно замечательные результаты, полученные математиками Древней Греции, Александрии, арабскими алгебраистами и др. Не столь велико и различие между методами получения нового математического знания учеными Древнего Востока и Древней Греции.

Известный алгебраист и историк математики ВандерВарден пишет о Диофанте, что «его методы имеют гораздо больше общего с вавилонской алгеброй, чем с характером мышления классических греческих ученых» Варден Б.Л. ван дер Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: КомКнига, 2007. С.89.. Бурбаки также признает, что влияние логики Аристотеля на развитие математики вовсе не столь значительно, как нам кажется.

Такое положение дел сохранялось вплоть до недавнего времени. Наука развивалась быстрыми темпами, но совершенно не понятно, как с логической точки зрения это было возможно. Можно не интересоваться формальной логикой, но в любом случае приходится придерживаться каких-то общепринятых способов аргументации, чтобы убеждать коллег в своей правоте, передавать знания в учебных классах и т.д. Невозможно для решения каждой новой задачи одновременно изобретать еще и новые способы рассуждений.

К попытке дать объяснение в терминах интуиции прибегает Х.Карри. Но ссылка на интуицию - это всего лишь уход от ответа, отговорка, которая сама по себе ничего не объясняет. Если до некоторых пор еще можно было полагаться на интуицию, то наступил момент, когда и этому пришел конец. В обиход стали входить новые математические структуры, которые явным образом противоречили интуиции. С другой стороны, аксиомы геометрии, истинность которых И.Канту представлялась очевидной, были поставлены под сомнение.

Параграф седьмой - «Итоги и перспективы». В 1991 году, выступая на IX Международном конгрессе по логике, методологии и философии науки, неутешительный итог развитию логики подвел Г.Х.фонВригт. Он пришел к выводу, что логика в XXI в. уже не будет принадлежать к ведущим философским направлениям.

Действительно, логика сегодня уже не представляет единого целого и выглядит как совокупность методов, которые находят применение в других направлениях научных исследований. Эти методы доказали свою эффективность, и строгость их такова, что они допускают реализацию даже в компьютерных системах, функционирующих по четко определенным алгоритмам.

С другой стороны, современная логика так и не выполнила своего глобального предназначения стать интеллектуальным проводником. Поскольку эта задача осталась нерешенной, не стоит торопиться с исключением логики из числа философских дисциплин. В конце XX - начале XXI вв. стала набирать силу встречная интеграционная тенденция поиска новых оснований логики Bйziau J.-Y. 13 Questions about universal logic”, Bulletin of the Section of Logic, 35 (2006), P.133-150., требующая деятельного участия философов.

ВТОРАЯ ГЛАВА - «Функции vs отношения» - посвящена вопросу сравнительной оценки выразительных возможностей языка логики предикатов первого порядка с равенством и субъектно-предикатных языков, расширенных за счет включения функциональных символов.

Довольно распространенной является точка зрения, что переход к современной логике, совершенный на рубеже XIX-XX вв., был связан с увеличением выразительных возможностей ее языка за счет включения в него, среди прочего, суждений об отношениях. Считается, что переход к языку и логике отношений был закономерным шагом, поскольку с его помощью появилась возможность дать более полное описание окружающего нас мира. Он благотворно сказался не только на самой логике, но и на общем развитии науки.

Вопреки устоявшемуся мнению язык свойств (одноместных отношений) и функций вполне достаточен для выражения тех же математических и физических идей, которые находят оформление в терминах многоместных отношений. С логической точки зрения, не было никакой необходимости для отказа от субъектно-предикатного языка и имевшей богатую историю субстантивной метафизики.

Параграф первый - «Логика функций» - посвящен доказательству того, что язык функций по выразительным возможностям не уступает языку отношений.

Пусть нам дана теория T1 в языке исчисления предикатов первого порядка с равенством, одной из аксиом которой является формула ¬ (a=b), где a и b - замкнутые термы. Имеет место следующая лемма.

Лемма 1. Если P - n-местный предикатный символ языка теории T1, то в ней доказуемы следующие формулы:

?y((P(x)&y=a) v (¬P(x)&y=b))

((P(x)&y=a) v (¬P(x)&y=b)) & ((P(x)&z=a) v (¬P(x)&z=b)) ? y=z

где x - кортеж из n попарно отличных переменных.

Это позволяет нам перейти к теории T2, полученной путем расширения языка теории T1 за счет добавления для каждого n-местного предикатного символа P нового функционального символа fP и принятия для каждого из них новой аксиомы (P(x)&fP(x)=a)v(¬P(x)&fP(x)=b), где x - кортеж из n попарно отличных переменных. Основанием для этого служит предложение 2.29 о введении новых функциональных символов из учебника Э.Мендельсона Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1976. 320 с..

Лемма 2. В теории T2 доказуемы следующие формулы:

fP(x)=a v fP(x)=b

P(x) ? fP(x)=a

Лемма 3. Теории T1 и T2 взаимопогружаемы.

Определим функцию б из языка теории T2 в ее подъязык, содержащий лишь функциональные символы и единственный двухместный предикатный символ равенства.

б(t1 = t2) = (t1 = t2)

б(P(t1,…,tn)) = fP(t1,…,tn)=a

б(¬A) = ¬б(A)

б(AЎB) = б(A)Ўб(B) Ў?{&, v, ?, ?}

б(QxB) = Qxб(B) Q?{?, ?}

Определим теорию T3. Пусть формула A является аксиомой теории T3, если и только если A=б(B), где B собственная аксиома теории T2.

Лемма 4. Теории T2 и T3 взаимопогружаемы.

Теорема1. Для всякой первопорядковой теории в языке логики предикатов с равенством, в которой для некоторых двух замкнутых термов a и b доказуема формула ¬(a=b), существует взаимопогрузимая с ней первопорядковая теория в языке с одними лишь функциональными символами и единственным предикатом равенства.

Оказывается, что мы можем пойти дальше и устранить равенство, заменив его единственным одноместным предикатным символом. Пусть теория T4 получена путем расширения языка теории T3 новым одноместным предикатным символом H и добавлением новой аксиомы H(x)?x=a.

Лемма 5. Теории T3 и T4 взаимопогружаемы.

Определим функцию из языка теории T4 в ее подъязык, содержащий лишь функциональные символы и единственный одноместный предикатный символ H.

(H(t)) = H(t)

(t1=t2) = H(f=(t1,t2))

(¬A) = ¬(A)

(AЎB) = (A)Ў(B) Ў?{&, v, ?, ?}

(QxB) = Qx (B) Q?{?, ?}

Определим теорию T5. Формула A является аксиомой теории T5, если и только если A= (B), где B либо аксиома равенства, либо собственная аксиома теории T4.

Лемма 6. Теории T4 и T5 взаимопогружаемы.

Следующая теорема является простым следствие теоремы 1 и лемм 5 и 6.

Теорема 2. Для всякой первопорядковой теории в языке логики предикатов с равенством, в которой для некоторых двух замкнутых термов a и b доказуема формула ¬(a=b), существует взаимопогрузимая с ней теория, язык которой содержит лишь функциональные символы и единственный одноместный предикат.

Параграф второй - «Функциональные расширения традиционных языков». Понятие функции в связи с механическими и геометрическими представлениями начало входить в регулярный научный обиход благодаря таким ученым как Ф.Виет, Р.Декарт, Г.Лейбниц, И.Ньютон, но обращение к функциональным зависимостям имеет более глубокие исторические корни. Примером функциональных зависимостей, которые широко использовались в математической практике, были геометрические построения. Сложные геометрические объекты мыслились не сами по себе, а как результат порождающих их операций. Первые же три постулата геометрии Евклида можно рассматривать как утверждения о конкретных функциональных связях между точками, линиями и окружностями.

1. Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести линию.

2. И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать до прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг. Начала Евклида. Книги I-VI. ОГИЗ, Москва-Ленинград, 1948. С.14.

Постулаты и теоремы Евклида нельзя записать не только на языке силлогистики Аристотеля, но и на его расширении, полученном за счет добавления логических связок. Причина не в том, что доказательства Евклида опираются на наглядные геометрические построения, а в языке силлогистики и логики высказываний ничего подобного нет. Диаграммы - это лишь вспомогательное средство для наглядной фиксации используемых функциональных связей. Требовалось время, чтобы ввести в логический язык понятие функции. Произошло это в XIX в. практически одновременно с возникновением современной символической логики, представители которой, впрочем, поспешили заявить об избыточности понятия функции и замене его функциональными отношениями.

Попробуем представить, какой могла бы стать логика, если бы понятие функции было введено в язык на несколько веков раньше. Могла бы расширенная таким образом традиционная логика послужить основанием других наук и в первую очередь математики? Насколько необходим был переход от субъектно-предикатной структуры атомарных предложений к реляционной? В том, что он не был необходим с теоретической точки зрения, мы уже убедились в предыдущем параграфе. Теперь же речь пойдет о конкретных языках логики и возможных, но нереализованных тенденциях их развития.

Начнем с расширения функциональными символами языка силлогистики. Мы сделаем это на примере первых трех постулатов геометрии Евклида.

Исходные символы:

Точка, Линия, Ограниченная_линия, Круг - общие имена;

соединить(_,_), продолжить(_), описать(_,_) - функциональные символы для представления элементарных геометрических построений;

A, E, I, O - силлогистические константы.

Общие термы:

Если P - общее имя, то P - общий терм;

Если S и P - общие термы, то соединить(S,P), продолжить(S), описать(S,P) - общие термы;

Ничто другое общим термом не является.

Формулы:

Если S и P - общие термы, то (A S P), (E S P), (I S P), (O S P) - формулы;

Ничто другое формулой не является.

Интерпретация выражений этого языка достаточно очевидна. Модель - это пара M=<W,>, где - функция интерпретации, обладающая следующими свойствами:

Если P - общее имя, то (P)W;

Если f - n-местный функциональный символ, то (f):W*…n*W>W.

Интерес представляет определение [t,M] - значения терма t в модели M.

Если P - общее имя, то [P,M]= (P)



[f(s1,..,sn),M]={ (f)(a1,…,an)| a1?[s1,M],…, an?[sn,M]}

Истинность формулы в модели определим так же, как и в фундаментальной силлогистике.

. . . .

Приведенные выше три постулата геометрии Евклида могут быть записаны на этом языке следующим образом.

(A соединить(Точка,Точка) Линия)

(A продолжить(Ограниченная_линия) Линия)

(A описать(Точка,Точка) Круг)

Таким образом, язык силлогистики, расширенный функциональными символами, пригоден для представления достаточно сложных геометрических объектов и построений.

Интерес представляют языки сингулярной позитивной силлогистики, в элементарных формулах которых на месте субъекта могут стоять лишь единичные термы.

Исходные символы:

a, b, c,… - единичные имена;

Точка, Линия, Ограниченная_линия, Круг - общие имена;

соединить(_,_), продолжить(_), описать(_,_) - функциональные символы для представления элементарных геометрических построений;

суть - двухместная силлогистическая константа;

¬, &, ? - логические связки «не…», «…и…», «если…, то…».

Единичные термы:

Если a - единичное имя, то a - единичный терм;

Если s, t - единичные термы, то соединить(s,t), продолжить(s), описать(s,t) - единичные термы;

Ничто другое единичным термом не является.

Формулы:

Если t - единичный терм, а P - общее имя, то (t суть P) - формула;

Если A и B - формулы, то ¬A, (A&B), (A?B) - формулы;

Ничто другое формулой не является.

Моделью языка будем называть пару M=<W,ц>, где ц - функция интерпретации, обладающая следующими свойствами:

Если a - единичное имя, то ц(a)?W;

Если P - общее имя, то ц(P)W;

Если f - n-местный функциональный символ, то ц(f):W*…n*W>W.

Определение значения терма в модели и значения формулы - очевидны, как и перевод на этот язык постулатов геометрии.

...