Протологика: новый взгляд на природу логического

(A x y)=def(x y F)

(O x y)=def(x T y)

Пусть эти пять определений составляют множество ?. Тогда имеют место требуемые выводимости:

Легко показать, что в языке дефинициальной логики определимы любые конечнозначные табличные функции Шалак В.И. Лингвистический априоризм // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. Вып. XIX. М., 2009. С. 104-114..

Параграф седьмой - «Вычислимые функции». Особый интерес вызывает вопрос об определимости в языке дефинициальной логики вычислимых функций. Положительный ответ на него уже следует из теоремы 4 о рекурсивной вложимости комбинаторной логики в дефинициальную, поскольку известно, что в комбинаторной логике эти функции определимы. Но возможно и прямое доказательство. Оно и приведено в седьмом параграфе.

Параграф восьмой - «Вычислимость и дефинициальная логика». В настоящее время известен целый ряд математических уточнений интуитивного понятия эффективной вычислимости. Первыми в этом ряду стоят машины А.Тьюринга, л-исчисление А.Чёрча, исчисление равенств Эрбрана-Гёделя, канонические системы Э.Поста, нормальные алгорифмы А.Маркова и др. Каждый новый язык программирования, а их число уже давно перевалило за тысячу, также можно рассматривать как очередное формальное уточнение интуитивного понятия эффективной вычислимости. В то же время принципиальных идей в этой области не так много, и они вполне обозримы.

Во-первых, это теоретические модели вычислительных машин, которые в разное время были предложены А.Тьюрингом Turing, A.M. On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem // Proceedings of the London Mathematical Society, series 2, 42 (1936-37), P. 230-265., Э.Постом Post E. L., Finite Combinatory Processes - Formulation 1 // Journal of Symbolic Logic. 1936, V.1. P.103-105., ХаоВаном Wang Hao A variant to Turing's theory of computing machines // Journal of the Association for Computing Machinery. 1957, V. 4. P.63-92., Дж.Шефердсоном и Х.Старджисом Shepherdson J. C., Sturgis H. E. Computability of recursive functions // Journal of the Association for Computing Machinery. 1963, V.10, N.2. P.217-255., М.Минским Minsky M. Computation: Finite and Infinite Machines. Prentice-Hall, 1967. 317 p. и др.

Во-вторых, это ориентированное на вычисление арифметических функций Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1976. С.261-278. уточнение Эрбрана-Гёделя, которое формулируется в виде специального исчисления равенств. Основная идея заключается в том, чтобы представить процесс вычисления функции посредством дедукции равенства термов, где равенство понимается как равенство по определению. Для этого постулируется существование нуля и существование функции «следует за…», которые затем могут участвовать в определении новых функций.

В-третьих, это канонические системы Поста и нормальные алгорифмы Маркова, посредством которых представимы эффективные функции над множествами символьных строк.

В-четвертых, это комбинаторная вычислимость по Шейнфинкелю-Карри и л-исчисление Чёрча, аксиоматизирующие понятие функции как формульного предписания.

В этот же ряд можно поставить и логико-лингвистическое уточнение понятия вычислимости, базирующееся на двух простых логических операциях - аналогах широко используемых операций введения и устранения определений. Вычислимость оказывается связанной с логикой гораздо более тесными узами, чем это можно было предположить.

Исходные символы языка:

Var - множество переменных;

Const - множество констант;

=df - символ определения;

), ( - скобки.

Термы:

Если x?Var, то x - терм;

Если D?Const, то D - терм;

Если X и Y - термы, то (XY) - терм;

Ничто другое термом не является.

Определения. Если T - терм, FV(T){x1,…,xn}, n?0 и D?Const, то Dx1…xn=dfT - определение.

Программа:

Ш - программа.

Если T - терм и FV(T){x1,…,xn}, D?Const и D не является определяемым символом ни одного другого определения программы р, то рU{Dx1…xn=dfT} - программа.

Ничто другое программой не является.

Правило устранения определений. Если Dx1…xn=dfT?р, а X{DY1…Yn} - терм, с выделенным вхождением DY1…Yn, то X{T[Y1/x1,…,Yn/xn]} есть результат замены DY1…Yn согласно определению на T[Y1/x1,…,Yn/xn].

Вычисление:

Вычислением терма T по программе р называется такая непустая последовательность термов <T0,…,Ti-1,Ti,…>, что T0?T и для всякого i>0 верно, что терм Ti получен из терма Ti-1 посредством применения правила DPE.

Терм Tn называется результатом вычисления <T0, …,Tn>, если к нему не применимо правило DPE.

Всякая программа - это некоторое, возможно пустое, множество определений. Кроме запрета дублировать определяемые символы, никаких других ограничений на построение программ нет. Определения могут вводиться в любом порядке. Заметим, что в терм T определения Dx1…xn=dfT, добавляемого на очередном шаге построения программы, уже может входить как символ D, так и определяемые символы других определений независимо от того, на каком шаге они были или еще только будут добавлены к программе. Это означает, что предложенный формализм логико-лингвистической базируется на множественных определениях через неподвижные точки, которые были рассмотрены нами в пятом параграфе.

ПЯТАЯ ГЛАВА - «Протологика» посвящена изучению свойств протологической выводимости. В системе протологики, которая была сформулирована нами в седьмом параграфе третьей главы, можно выделить три составляющие.

Первая составляющая представлена константами языка. Это то, что уже известно субъекту интеллектуальной деятельности и хранится в его памяти в виде элементарных знаков. Правило введения констант CI разрешает использовать эти знаки в процессе интеллектуальной деятельности.

Вторая составляющая - синтетическая деятельность. Она заключается в переходе от более простых знаков к более сложным. На семантическом уровне это может быть смешение красок или смешение химических веществ, умножение чисел или забивание гвоздей, построение чертежа дома или создание новой теории. Все это примеры синтетической деятельности, которые обобщены в правиле построения термов TI.

Третья составляющая - систематизирующая и аналитическая деятельность. Посредством операции введения определений DI мы расширяем язык новыми (теоретическими) терминами. Посредством операции устранения определений DE мы реализуем аналитическую деятельность.

Параграф первый - «Свойства протологики».

Теорема 1. (о консервативности определений). Пусть ? - произвольное множество определений, X?L(?) и У?L(?). Если вывод ?;У>>X не имеет места, то и для любого нового определения Dx1…xn =def T вывод ?U{Dx1…xn =def T}; У>>X также не будет иметь места.

Пусть ц - функция перевода термов дефинициальной логики в термы комбинаторной, которую мы определили в четвертом параграфе четвертой главы.

Лемма 1.

Если в протологике имеет место выводимость ?;{X1,…,Xn}>>X, то в комбинаторной логике для некоторого комбинатора H доказуема редукцияHц(X1)…ц(Xn) ? ц(X).

Если в протологике имеет место выводимость ?;Ш>>X, то в комбинаторной логике для некоторого комбинатора H доказуема редукция H?ц(X).

Лемма 2. Пусть{Kxy=defx,Sxyz=def((xz)(yz))}??. Если в комбинаторной логике для некоторого комбинатора H доказуема редукцииHX1…Xn?Y, то в протологике имеет место выводимость?;{X1,…,Xn}>>Y.

Лемма 3. Пусть?={Kxy=defx,Sxyz=def((xz)(yz))} и X1,…,Xn?L(?). Если в комбинаторной логике для некоторого комбинатора H доказуема редукцияHц(X1)…ц(Xn)?ц(Y), то в протологике имеет место выводимость ?;{X1,…,Xn}>>Y.

Теорема 2. Пусть?={Kxy=defx,Sxyz=def((xz)(yz))}. В протологике имеет место выводимость ?;{X1,…,Xn}>>Y, если и только если в комбинаторной логике для некоторого комбинатора H доказуема редукцииHц(X1)…ц(Xn)?ц(Y).

Если сравнить условия теоремы 2 с определением протологического следования, то легко заметить, что она может рассматриваться как теорема о полноте протологики относительно комбинаторной логики.

Параграф второй - «Модели протологики». Модели задаются относительно текущего множества принятых определений. В самом простом случае, когда множество определений пусто, они совпадают с моделями для языка сложных выражений, которые мы уже рассмотрели ранее.

Стандартной моделью протологики будем называть алгебру ее термов. В основе этой алгебры лежит отношение дефинициального равенства термов, которое является отношением эквивалентности.

Лемма 4. Отношение дефинициального равенства обладает свойством конгруэнтности, т.е. из X=?Y и U=?W следует (XU)=?(YW)

Конгруэнтность дефинициального равенства по отношению к единственной термообразующей операции языка позволяет перейти к классам дефинициально равных термов. Пусть X? L(?). Посредством |X|? обозначим класс термов, дефинициально равных X. В тех случаях, когда множество определений ? фиксировано, и это не может вызвать недоразумений, вместо |X|? будем писать просто |X|.

Обозначим посредством T? множество классов дефинициально равных термов. Конгруэнтность отношения дефинициального равенства позволяет нам определить бинарную операцию |X|?|Y|= |(XY)|.

Обозначим посредством {?} множество всех классов термов, дефинициально равных вводимым определениями ? констант.

Алгеброй термов протологики будем называть тройку A(?)=<T?, ?, {?}>.

Характеристической особенностью данной алгебры является то, что если |D| ?{?} для определения Dx1…xn=defU, то для всех термов |Z1|,…,|Zn|?T? имеет место ((…(|D|*|Z1|)*…)*|Zn|)=|U[Z1/x1,…,Zn/xn]|.

Если множество определений пусто, то алгебра термов является просто группоидом, и каждый класс |X|?T? состоит из единственного терма X.

Лемма 5. Если A(?1)=<T?1,*,{?1}>, A(?2)=<T?2,*,{?2}> и ?1??2, то функция ц:T?1>T?2, задаваемая посредством ц(|X|?1)=|X|?2, является вложением и |X|?1ц(|X|?1).

Лемма 6. Если A(?1)=<T?1,*,{?1}>, A(?2)=<T?2,*,{?2}>, ?2=?1U{Dx1…xn=defU} и n>0, то существует такой элемент |Y|?T?2, что ни для одного |X|?T?1 не имеет места |X||Y|.

Эта лемма важна для лучшего понимания протологики и роли, которую играют в ней определения. Смысл ее заключается в том, что всякий раз принятие нового определения Dx1…xn=defU при условии, что n>0, приводит к собственному расширению алгебры термов. Новые объекты мысли, вводимые посредством определений, не сводимы к старым. Они образуют новые структуры, не смешиваясь с уже существующими и не разрушая их.

Моделью языка протологики L(?) будем называть пару M=<W, ц>, где W ? Ш, а ц - функция интерпретации, удовлетворяющая следующим условиям:

ц(a) ?W - a?Const;

ц(()) : W*W>W

Для обозначения бинарной операции ц(()):W*W>W будем использовать символ *.

Как и ранее, в нашем распоряжении имеется множество всех функций приписываний переменным Val=WVar.

Значение терма в модели:

[x,M,v] = v(x) - x?Var

[a,M,v] = ц(a) - a?Const

[(XY),M,v] = ([X,M,v]*[Y,M,v])

Рассмотренные нами алгебры термов являются моделями языка протологики. Стандартной интерпретацией в алгебре термов является функция ц, сопоставляющая константам D классы |D|?. При каноническом приписывании vc(x)=|x|? значением терма X в модели A(?)будет [X, A(?),vc]=|X|?.

Параграф третий - «Протобулева логика». Протологика в том виде, как мы ее представили, - это, прежде всего, инструмент для теоретического анализа определенных видов знаковой деятельности. Она имеет примерно такое же отношение к реально проводимым рассуждениям, какое имеют машины Тьюринга к реальным вычислениям и построениям.

Теория, с точки зрения протологики, может быть представлена как набор постулатов-выводимостей, каждому из которых на уровне семантики сопоставлена функция, позволяющая вычислить значение заключения на основании значений посылок.

У1||-A1 - ?v(v(A1)=f1(v(У1))

У2||-A2 - ?v(v(A2)=f2(v(У2))

. . .

Уn||-An - ?v(v(An)=fn(v(Уn))

Выполнение многошагового протологического вывода сопровождается на уровне семантики синтезом функции, связывающей значения исходных посылок со значением результирующего заключения. Это является гарантией того, что в ходе манипуляций со знаками мы действительно не теряем их соответствия внеположной реальности.

Сказанное проиллюстрируем на примере построения протобулевой логики - теории протологических рассуждений с использованием истинностнозначных термов Шалак В.И. Логика альтернативного отношения следования // Логические исследования. Вып.13. М.: Наука, 2006. С. 287-304., Шалак В.И. О понятии логического следования. М.: ИФРАН, 2007. 170 с..

В классической логике некоторое умозаключение считается правильным, если и только если при истинности посылок оно гарантирует истинность заключений.

Из множества формул У следует формула A, если и только если в каждой модели M, в которой истинны все формулы множества У, будет истинна и формула A.

Кратко, с использованием общепринятой логической символики, это можно записать в следующем виде:

У|=A-?M(?B(B?У>M[B]=true) > M[A]=true)

где M[A]=true означает, что в модели M истинна формула A.

Логика призвана удерживать нас от заблуждений. Перефразируя Аристотеля, скажем, что заблуждение - это говорить о сущем, что его нет, или о не-сущем, что оно есть. При классическом понимании следования истинность посылок является достаточным условием истинности заключения. Классическая логика предохраняет нас от заблуждений лишь в том случае, если все исходные посылки истинны. Что случится, если хотя бы одна из посылок окажется ложной? Тогда классическая логика снимает с себя всякую ответственность, и заключение может быть как истинным, так и ложным.

Как строить выводы из посылок, относительно которых не принимается допущение об их истинности, но в то же время не впадать в заблуждения? Чтобы этого не случилось, мы должны быть способны, придя в ходе рассуждения к некоторому заключению, определить его истинностное значение. Т.е. форма умозаключения может считаться правильной, если знание истинностных значений посылок является достаточным условием знания истинностного значения заключения. Говоря об истинностных значениях посылок, мы не требуем, чтобы они были одновременно истинны, а допускаем любое распределение значений. Для нас совершенно не важно, будет ли результирующее истинностное значение заключения истиной или ложью. Главным является то, что если это значение - истина, то мы должны быть в состоянии определить, что оно - истина, а если - ложь, то мы должны быть в состоянии определить, что оно - ложь. В отношении заключения мы не лишаем себя возможности «говорить о том, что сущее есть и не-сущее не есть», а принимаем это в качестве необходимого условия правильности рассуждений. Это приводит нас к следующему определению следования.

Из множества формул У={B1,..,Bk} следует формула A, если и только если существует функция f, которая позволяет по истинностным значениям формул множества У, вычислить истинностное значение формулы A.

{B1,..,Bk}||=A-?f?v(v(A)=f(v(B1),..,v(Bk))

где v-обычное приписывание истинностных значений формулам языка.

Исходные символы языка:

Var - множество пропозициональных переменных;

&, v, ¬ - логические связки.

), ( - скобки.

Формулы:

Всякая переменная p?Var является формулой.

Если A и B - формулы, то (A&B), (AvB), ¬A также формулы.

Ничто другое формулой не является.

Пусть Val = {T,F}Var - множество приписываний истинностных значений пропозициональным переменным нашего языка. Обычным образом мы распространяем функции приписывания истинностных значений на все формулы языка.

Протобулево следование. Из множества формул Г={B1,…,Bk} следует формула A (Г||=A), если и только если существует функция f:{T,F}k>{T,F}, которая позволяет для произвольного приписывания v?Val на основании оценок v(B1),…,v(Bk) вычислить оценку v(A), т.е. v(A)=f(v(B1),…,v(Bk)).

{B1,..,Bk}||=A-?f?v(v(A)=f(v(B1),..,v(Bk))

Выводимостью будем называть выражение вида Г||-A, где A - формула, а Г={B1,…,Bk} - конечное (k?0) множество формул. Будем называть множество формул Г посылками выводимости, а формулу A - ее заключением.

Аксиоматизацию отношения следования представим в виде набора выводимостей и правил перехода от одних выводимостей к другим. Формулы, доказуемые в классической логике высказываний, будем обозначать посредством |-A.

В правиле R.1 мы используем ссылку на доказуемую в классической логике эквивалентность. Эта ссылка позволяет нам дать компактную аксиоматизацию, но не является обязательной. С равным успехом мы могли бы оставить одно лишь правило R.2, а R.1 заменить несколькими аксиомами, соответствующими аксиомам булевой алгебры, по правилу: если A=B - аксиома булевой алгебры, то к набору наших аксиом-выводимостей мы добавляем две новые - {A}||-B и {B}||-A.

Доказательством называется непустая конечная последовательность, каждый из элементов которой является либо доказуемой формулой классического исчисления высказываний вида A?B, либо аксиомой-выводимостью A.1-A.3, либо выводимостью, полученной из предыдущих элементов последовательности по правилам R.1-R.2. Доказанной считается выводимость, являющаяся конечным элементом последовательности.

Теорема 3. (о непротиворечивости протобулевой логики) Если Г||-A, то Г||=A.

Теорема 4. (о полноте протобулевой логики). Если Г||=A, то Г||-A.

Параграф четвертый - «Квантитативная логика». В протобулевой логике исследуется, как ведут себя в протологических рассуждениях истинностнозначные термы. Аналогичным образом мы можем построить теорию квантитативных рассуждений, когда предложениям языка сопоставляются не оценки истины или лжи, а специальные количественные оценки Шалак В.И. Квантитативное расширение логики // Материалы IX Общероссийской научной конференции. Санкт-Петербург, 22-24 июня 2006 г. СПб., 2006. С. 400-402..

Мы опираемся на тот факт, что в протологике представимы все вычислимые функции. Отношение следования в квантитативной логике определяется не через вычислимость истинностного значения заключения по истинностным значениям посылок, как в протобулевой логике, а через вычислимость количественной оценки заключения на основании количественных оценок посылок.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ диссертационного исследования подводятся его итоги и формулируются результаты.

МОНОГРАФИИ

1. Шалак В.И. Логический анализ сети Интернет. М.: ИФРАН, 2005. 96 с. (3,3 а.л.)

2. Шалак В.И. О понятии логического следования. М.: ИФРАН, 2007. 170 с. (4,8 а.л.)

3. Статьи в периодических изданиях, рекомендованных ВАК

4. Шалак В.И. Об альтернативном определении логического следования // Эпистемология & философия науки. 2007, Т.XIII, №3. С. 199-205. (1 а.л.)

5. Шалак В.И. О логическом следовании // Вестник МГУ, Серия 7: Философия. N5. 2007. (0,71 а.л.)

6. Шалак В.И. О скрытых математических структурах языка // Полигнозис. 2008, №3. С.31-36. (0,42 а.л.)

7. Шалак В.И. Канон и органон // Эпистемология & философия науки. 2008, Т.XIV, №4. С.210-217. (0,46 а.л.)

8. Шалак В.И. Протологика // Вестник ВятГГУ. 2009, № 1(1). С. 12-17. (0,55 а.л.)

9. Шалак В.И. Логика апорий // Полигнозис. 2009, №1. С.25-31. (0,54 а.л.)

10. Статьи

11. Шалак В.И. Квантитативное расширение логики // Материалы IX Общероссийской научной конференции. Санкт-Петербург, 22-24 июня 2006 г. СПб., 2006. С. 400-402. (0,15 а.л.)

12. Шалак В.И. Логическая модель сети Интернет // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. Вып. XVIII. М., 2006. С. 134-144. (0,45 а.л.)

13. Шалак В.И. Альтернативное определение логического следования // Логические исследования. Вып.13. М.: Наука, 2006. С. 274-286. (0,65 а.л.)

14. Шалак В.И. Логика альтернативного отношения следования // Логические исследования. Вып.13. М.: Наука, 2006. С. 287-304. (0,7 а.л.)

15. Шалак В.И. Логический анализ апорий Зенона // "Смирновские чтения по логике", конф. (2007; Москва). 5-я конференция "Смирновские чтения по логике", 20-22 июня 2007 г. С. 164-165. (0,1 а.л.)

16. Шалак В.И. Логика термов // Логические исследования. Вып.14. М.: Наука, 2007. С.286-300. (0,49 а.л.)

17. Шалак В.И. Логико-лингвистическое уточнение понятия вычислимости // Тезисы: X Общероссийской научной конференции, С-Петербург, 26-28 июня 2008 г. С.404-407. (0,14 а.л.)

18. Шалак В.И. Против апорий // Противоположности и парадоксы. М.: "Канон+" РООИ "Реабилитация", 2008. С.189-204. (0,66 а.л.)

19. Шалак В.И. Шейнфинкель и комбинаторная логика // Логические исследования. Вып.15. - М.: Наука. С. (0,65 а.л.)

20. Шалак В.И. Логический анализ дефинициальной дедукции // Логические исследования. Вып.15. - М.: Наука. С. (0,71 а.л.)

21. Шалак В.И. О белых пятнах в логике // "Шестые Смирновские чтения по логике". Материалы международной научной конференции 17-19 июня 2009 г. С.110. (0,05 а.л.)

22. Шалак В.И. Лингвистический априоризм // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. Вып. XIX. М., 2009. С.104-114. (0,4 а.л.)

23. Шалак В.И. Логика функций vs логика отношений // Логические исследования. Вып.16. М.: Наука. С. (0,46 а.л.)

Размещено на Allbest.ru